«Pièges», «erreurs» et pathologie des calculs numériques

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1 Session de formation continue ENPC «Pièges», «erreurs» et pathologie des calculs numériques 6-8 octobre 2010 Philippe Mestat (LCPC)

2 «Pièges» pour débutant?. Conditions limites en déplacements : il faut empêcher les mouvements de corps rigides. Calcul aux points d intégration et exploitation des contraintes aux nœuds (post-processeur). Changements de valeurs de paramètres entre deux calculs enchaînés (par exemple des modules d Young). Relâchement d une condition aux limites en déplacements (par exemple, une condition u=0 que l on souhaite lever). Exploitation de calculs non convergés. Valeurs de paramètres constantes pour une grande profondeur (exemple : excavation et module d Young constant). Etc.

3 Convergences et méthode des éléments finis. Convergence au sens du maillage. Convergence au sens du processus itératif : - traitement des non linéarités. Convergence au sens du schéma d intégration locale : - équation différentielle des lois de comportement. Convergence au sens du chargement - pour une estimation de la charge de rupture

4 À propos de la validation des «modèles» u EF h,n,i Solution approchée à maillage, incréments et itération donnés u EF h,n Solution approchée à maillage et incréments donnés u EF n Solution exacte du problème éléments finis (incrément n) u Th n Solution exacte du problème théorique Véritable validation Validation u Exp n Valeur réelle (mesure)

5 Des questions à se poser? À valeurs de paramètres mécaniques données, quelle est la sensibilité des résultats au maillage (densité), au type d éléments finis, au «découpage» des sollicitations (phasage des travaux)? À modèle d éléments finis fixé, quelle est la sensibilité des résultats aux valeurs des paramètres de calcul?

6 L importance de la convergence au sens du maillage semble un peu perdue de vue par beaucoup d utilisateurs.. En 2D, les maillages sont généralement acceptables, sauf lorsqu il y a beaucoup de matériaux et d interfaces : risque de mauvaise estimation des contraintes dans les revêtements de tunnels ou dans les ouvrages de soutènement.. En 3D, les maillages sont la plupart du temps insuffisants. Personne n accepterait de faire des calculs 2D avec les densités de maillage considérées actuellement pour les modélisations 3D : - problème de taille des modèles 3D ; - compromis difficile à trouver ; - nécessité des estimateurs d erreur a posteriori.

7 Nombre de noeuds Évolution du nombre de nœuds dans les modèles 3D de tunnels Année

8 stross invert Calcul 3D Calcul 2D (densité habituelle)

9 Qu est-ce qu on valide? On ne valide pas seulement le logiciel, mais un ensemble lié au triplet «théorie logiciel utilisateur». Théorie et Logiciel : théorie physique, lois de comportement ; algorithmes de résolution. Utilisateur : hypothèses de calcul (à partir des données disponibles et/ou à cause de l absence de certaines données) ; types d essai réalisés ; méthodologie de détermination des valeurs des paramètres. On valide une chaîne d outils et de raisonnements.

10 Qu est-ce qu un bon modèle numérique d ouvrage? La validité d un modèle numérique ne peut être jugée sur une seule comparaison de calculs et de mesures. En pratique, la validation doit être fondée sur un ensemble d études concernant plusieurs types d ouvrage et sur une synthèse des comportements observés. Pour une étude, un «bon modèle» de calcul doit permettre de prévoir simultanément tous les aspects de la réponse du sol et des structures aux sollicitations qui leur sont imposées : déplacements verticaux et horizontaux, contraintes et pressions interstitielles, moments et efforts dans les structures.

11 Passage 3D - axi

12 Pression appliquée (kpa) Passage 3D - axi Calcul 2D Calcul 3D Tassement (mm)

13 Moormann & Katzenbach (2002)

14 Moormann & Katzenbach (2002)

15 Etude paramétrique Effets 3D Moormann & Katzenbach (2002)

16 Aspects 3D : ouvrages de soutènement La plupart des modèles d'ouvrages de soutènement sont réalisés en déformation plane. Cela suppose que les déplacements et la poussée des terres ne varient pas dans la direction longitudinale. Les résultats d'un modèle transversal constituent une certaine moyenne entre les comportements véritablement 3D dans un plan passant par l'axe d'un appui et dans le plan milieu entre deux appuis. Les résultats sont proches lorsque L/B > 5 environ, avec B largeur de l'excavation. Dans le cas contraire, les déplacements d'un modèle 2D sont supérieurs à ceux d'un modèle 3D.

17 Pièges avec les lois de comportement. Les pièges proviennent généralement de la programmation des lois de comportement dans les logiciels. Gestion des tractions : - logarithmes ou puissance de nombre négatif. Grandes valeurs pour les exponentielles. Pas de solution pour une équation implicite liée aux relations de comportement écrites au niveau d un point d intégration. Maillage identique pour une étude avec différentes lois de comportement? Cas de lois isotrope et anisotrope.

18 Pièges avec le critère de Mohr-Coulomb F(s ij ) = s 1 -s 3 - (s 1 + s 3 ) sin j -2 c cos j Régime d arêtes. Calculs des dérivées partielles? Troncature en traction Problèmes pour la programmation : gestion des tractions pour une cohésion faible ; convergence lente et difficile pour (j - y) grand ; si c 0, z tel que : [ 1-K 0 -(1+K 0 )sin j ] g z = 2 c cos j ; Convergence lente et «vérouillage» lorsque la cohésion est nulle (problèmes numériques).

19 Pièges avec le critère de Drucker-Prager F(s ij ) = q - a p - k Surface lisse sans arêtes, mais domaine élastique limité en extension Modélisation numérique : gestion des tractions pour k faible ; convergence difficile pour k faible ; dérivées partielles non définies pour un état de contraintes isotrope ; problèmes au sommet du cône du critère.

20 Maillage et lois de comportement Un maillage qui a fourni de bons résultats pour une loi de comportement n est pas forcément bien adapté pour une autre loi de comportement. Exemple : élasticité isotrope et anisotrope. Il en est de même pour le découpage en incréments de chargement.

21 Maillage et lois de comportement

22 Maillage et lois de comportement

23 Maillage et lois de comportement

24 Simulation des ouvrages de soutènement. Importance du phasage de construction : - notamment de la convergence de chaque phase intermédiaire. La notion d incrément est lié à des hauteurs d excavation et non directement à des forces ou des pressions : - problèmes pour modifier simplement la loi de chargement. Simulation des systèmes de soutènement 3D : - butons - ancrages

25 Phasage et incréments (1) Importance de la convergence de chaque phase intermédiaire Dans un calcul par étapes, les incréments correspondent à : des pressions ou des forces imposés ; des déplacements imposés ; une couche de sol à excaver ou à remblayer ; une épaisseur de béton à poser ou une inclusion à installer ; un traitement du sol (amélioration, injections, etc.) qui se traduit par des modifications des propriétés des terrains ; une évolution de la nappe phréatique.

26 Phasage et incréments (2) Pour les «passages difficiles», une discrétisation plus fine du chargement signifie : diminuer la hauteur d excavation pour une étape donnée ; appliquer les forces équivalentes ou le poids volumique g en plusieurs accroissements ; combiner les approches précédentes. En toute rigueur, pour un problème d excavation, il est impossible de «revenir en arrière» pour raffiner le chargement sans remettre en cause le maillage.

27 Calcul élastique pour un ouvrage de soutènement K 0 = 0,5 Mauvaise cinématique due à une réponse élastique linéaire

28 Composition d éléments finis de structure et de massifs de sol

29 Interaction poutre - massif de sol

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33 Modélisation du revêtement d un tunnel Éléments de poutre Éléments de massif

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35 Comparaison entre les éléments de poutre et les éléments de massif L'utilisation d'éléments de massif ayant une épaisseur relativement importante (supérieure à 0,5m) entraîne l'apparition d'un moment fléchissant significatif au pied du rideau, qui peut affecter sa stabilité. Dans le cas d'un rideau réel, les contraintes de cisaillement agissent de façon égale sur les deux côtés autour de l'axe neutre et n'ont donc pas de contribution dans le calcul du moment fléchissant. Dans les éléments de massif, les contraintes de cisaillement agissant sur les côtés des éléments contribuent au calcul du moment.

36 Cas 3D

37 Effets des conditions de liaison entre une structure et le sol

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39 (a) Composition simple (les rigidité sont ajoutées, le massif de sol ne reprend pas le degré de flexion de la poutre) ; (b) Fiche des pieds du portique dans le sol et composition simple dans la première couche de sol ; (c) Composition avec éléments de transition pour tenir compte du degré de flexion de la poutre. (a) (b) (c)

40 Les résultats numériques

41 Moments fléchissants

42 Pièges avec les conditions aux limites. Changement d une condition aux limites : - cela entraîne l application de la réaction avec un signe opposé.. Nouvelles conditions aux limites : - blocage de déplacements, cela entraîne un nouveau calcul de la matrice de rigidité. En fait, tout dépend de la manière dont va réagir le logiciel au cours des calculs enchaînés (phasage de construction).

43 Modélisations possibles pour un buton (1)

44 Exploitation des résultats en termes de contraintes. Ne pas oublier que même en déformation plane, le champ de contraintes reste tridimensionnel : la contrainte s zz perpendiculaire au plan joue un rôle non négligeable. Même en déformation plane, les critères de plasticité restent donc «tridimensionnels». Les contraintes sont calculées aux points d intégration et exploitées aux nœuds : - l interpolation «inverse» peut être source d erreur.

Fernando LOPEZ-CABALLERO

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