TABLE DES MATIÈRES Schéma fonctionnel ou schéma bloc... 27

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "TABLE DES MATIÈRES. 1.6.1 Schéma fonctionnel ou schéma bloc... 27"

Transcription

1 TABLE DES MATIÈRES Caractérisation et étude des systèmes asservis. Systèmes asservis Structure d un système asservi Régulation et asservissement Caractéristiques d un système asservi Exemples de cahiers des charges de SA Les signaux canoniques Précision Rapidité Dépassements Stabilité Systèmes dynamiques Systèmes linéaires continus invariants Systèmes linéaires Systèmes continus Systèmes invariants Description des systèmes linéaires Description par les équations différentielles Résolution par la transformée de Laplace Fonction de transfert Transmittance Forme canonique Schéma bloc Pôles et zéros Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel Schéma fonctionnel ou schéma bloc

2 2 TABLE DES MATIÈRES.6.2 Des équations différentielles au schéma-bloc Manipulation des schémas blocs Exemple guide : détermination d une fonction de transfert Application guide : Moteur à courant continu à champ permanent Exercices Corrigés

3 CHAPITRE CARACTÉRISATION ET ÉTUDE DES SYSTÈMES ASSERVIS. Systèmes asservis Les systèmes asservis sont des systèmes automatisés, ils forment la plus grande partie des systèmes que nous allons étudier cette année... Structure d un système asservi L objectif d un système automatisé étant de remplacer l homme dans une tâche, nous allons pour établir la structure d un système automatisé commencer par étudier le fonctionnement d un système dans lequel l homme est la «partie commande». a ) Exemple : conducteur au volant d un véhicule θ d FIGURE. maintien de la trajectoire d une voiture Le conducteur doit suivre la route (figure.), pour cela : Il observe la route et son environnement et évalue la distance d qui sépare son véhicule du bord de la route. Il détermine en fonction du contexte l angle θ qu il doit donner au volant pour suivre la route.

4 2 Caractérisation et étude des systèmes asservis Il agit sur le volant (donc sur le système), la rotation du volant est transmise aux roues via la colonne de direction. puis de nouveau il recommence son observation pendant toute la durée du déplacement. Si un coup de vent dévie le véhicule, après avoir observé et mesuré l écart il agit pour s opposer à cette perturbation le plus rapidement possible. b ) Schéma fonctionnel Le fonctionnement peut être traduit par le schéma de la figure.2. perturbations consigne ɛ θ Comparer Déterminer Agir Transmettre erreur d d Mesurer (a) Schéma fonctionnel perturbations consigne ɛ θ Comparateur Régulateur Actionneur Effecteur erreur d d Capteur (b) Constituants FIGURE.2 Schémas caractéristiques d un asservissement Les schémas de la figure.2 présente la structure classique d un système asservis, on y retrouve la structure générique que nous avons détaillée dans le chapitre précédent (figure??). Elle fait apparaître une chaine directe d action et boucle de rétroaction. Un capteur mesure en permanence l évolution de la sortie à contrôler (ici la distance d) et en retourne une image (d ) à la partie commande qui la compare à la consigne. En fonction de l erreur (ɛ), le système va déterminer la nouvelle loi de commande (ici θ) et agir.

5 . Systèmes asservis 3 c ) Constituants et signaux Comparateur : le comparateur est chargé de comparer la consigne et l image de la grandeur à asservir. À la sortie du comparateur, on trouve l erreur (ou écart) entre ces deux informations. Partie commande ou régulateur : la partie commande, le régulateur, le contrôleur, détermine la loi de commande à partir de l erreur et de son évolution. Actionneur : c est l organe d action qui apporte l énergie au système pour produire l effet souhaité. Il est en général associé à un pré-actionneur qui permet de moduler l énergie. Capteur : le capteur prélève sur le système la grandeur réglée ( information physique ) et la transforme en un signal compréhensible par le régulateur. La précision et la rapidité sont deux caractéristiques importantes du capteur. Effecteur : L effecteur rassemble l ensemble des constituants qui vont permettre d obtenir la sortie à partir de l énergie fournie par l actionneur. On trouvera par exemple dans un asservissement qui agit sur de l énergie mécanique : un réducteur à engrenages, un système de transmission à poulie et courroies ou à chaîne, un mécanisme bielle manivelle, un système vis-écrou,... Consigne : la consigne, est la grandeur réglante du système, c est ce que l on veut obtenir. Sortie régulée : la sortie régulée représente le phénomène physique que doit régler le système, c est la raison d être du système. Perturbation : on appelle perturbation tout phénomène physique intervenant sur le système qui modifie l état de la sortie. Un système asservi doit pouvoir maintenir la sortie a son niveau indépendamment des perturbations. Écart, erreur : on appelle écart ou erreur, la différence entre la consigne et la sortie. Cette mesure ne peut être réalisée que sur des grandeurs comparables, on la réalisera donc en général entre la consigne et la mesure de la sortie...2 Régulation et asservissement On considère deux types principaux de systèmes asservis. Régulation : on appelle régulation un système asservi qui doit maintenir constante la sortie conformément à la consigne (constante) indépendamment des perturbations (régulation de température d un four, régulateur de vitesse,...). Asservissement : on appelle asservissement un système asservi dont la sortie doit suivre le plus fidèlement possible la consigne quelle que soit son évolution (suivi de trajectoire d un robot, asservissement de vitesse).

6 4 Caractérisation et étude des systèmes asservis.2 Caractéristiques d un système asservi.2. Exemples de cahiers des charges de SA Four : Un four électrique doit atteindre la température de consigne à 0 C près en moins de 30 min puis la maintenir sans fluctuation. À l ouverture de la porte la température ne doit pas chuter. Robot d assemblage : Un robot assure l assemblage de deux pièces, la première arrive sur un tapis et s arrête devant le poste d assemblage. Le robot saisit l autre pièce sur un tapis d amenage et la positionne sur la première. La précision d assemblage est de 0,2 mm. Robot d assemblage 2 : Afin d améliorer la productivité du poste précédent, on ne souhaite plus arrêter la première pièce et réaliser l assemblage de manière dynamique. Suspension : La suspension active doit assurer une hauteur de caisse constante quelle que soit la charge du véhicule et doit absorber les défauts de la route. Le nombre des oscillations résiduelles ne doit pas être supérieur à 3. Nous voyons au travers de ces quelques extraits de cahier de charges les caractéristiques que l on peut attendre d un système asservi : Le temps de réponse du four est de 30 min ; Le système de régulation du four doit permettre de rejeter les perturbations (ouverture de la porte) ; La précision est une qualité importante pour le four (0 C près), le premier robot ( 0,2 mm). Pour ces deux systèmes, il s agit de l erreur à une entrée constante (la température, la position), pour le deuxième robot, il doit être précis pendant le mouvement (suivi de trajectoire). Le système peut autoriser ou non les oscillations avant la stabilisation et bien sûr tous ces systèmes doivent être stables..2.2 Les signaux canoniques Pour étudier le comportement d un système asservi, on le sollicite avec des signaux canoniques qui permettent de caractériser des fonctionnements particuliers. a ) Échelon - Heaviside L échelon est le signal de base d étude des systèmes asservis. Il permet d étudier le comportement du système lorsqu on on lui applique une consigne constante. Il est généralement noté u(t) L échelon unitaire est appelé fonction de Heaviside et parfois noté H(t).

7 .2 Caractéristiques d un système asservi 5 L échelon est défini par : { t < 0 : e(t) = 0 t 0 : e(t) = E 0. L échelon unitaire par : { t < 0 : e(t) = 0 t 0 : e(t) =. s 0 0 t FIGURE.3 Échelon unitaire b ) Impulsion - Dirac Cette fonction permet de simuler le comportement à un choc, une impulsion. L impulsion ou fonction de Dirac (figure.4(a)) est définie par : t 0,δ(t) = 0 et ˆ δ(t) =. Elle est physiquement irréalisable elle peut être modélisée par la limite lorsque τ tend vers 0 de la fonction représentée sur la figure.4(b). s τ s 0 0 t 0 0 τ 0 t (a) impulsion de Dirac (b) modèle de l impulsion de Dirac FIGURE.4 impulsion de Dirac c ) Rampe

8 6 Caractérisation et étude des systèmes asservis L entrée en rampe permet d étudier le comportement dynamique d un système et principalement sa capacité à suivre une consigne variable. La rampe est définie par : { t < 0 : e(t) = 0 s t 0 : e(t) = a t. t 0 0 FIGURE.5 Rampe d ) Sinusoïdal L entrée sinusoïdale permet d étudier le comportement fréquentiel du système en faisant varier la pulsation du signal. Le signal sinusoïdal est défini par : { t < 0 : e(t) = 0 s t t 0 : e(t) = a sinω t FIGURE.6 Rampe.2.3 Précision La précision est caractérisée par l écart entre la consigne et la sortie. La précision peut être soit absolue, soit relative, elle est toujours définie par rapport à un type de sollicitation : un échelon si on souhaite caractériser la réponse pour une consigne constante, une rampe si on souhaite étudier le comportement dynamique. a ) Erreur indicielle L erreur indicielle est mesurée entre la valeur finale de la réponse du système en régime établi (à l infini) et la consigne en échelon unitaire. La figure.7 montre la réponse de plusieurs systèmes à un échelon unitaire. L erreur indicielle est notée ɛ i, par abus de langage, elle est souvent notée ɛ s et appelée erreur statique.

9 .2 Caractéristiques d un système asservi 7 s ε i t FIGURE.7 Erreur indicielle- réponse temporelle à un échelon b ) Erreur de traînage L erreur de traînage est une mesure de l aptitude d un système à suivre une consigne variable, elle est notée ɛ t. Cette erreur est mesurée en régime établi, entre la consigne et la réponse du système (figure.8 ). s ε t ε t t FIGURE.8 Erreur de traînage- réponse temporelle à une rampe

10 8 Caractérisation et étude des systèmes asservis.2.4 Rapidité La rapidité d un système caractérise le temps mis par le système à atteindre la valeur finale pour une entrée en échelon.ce n est théoriquement qu au bout d un temps infini que le régime permanent est atteint. Néanmoins, pour chiffrer en pratique la rapidité du régime transitoire, on a l habitude de considérer le temps de réponse à 5% ; c est le temps au bout duquel le système a atteint son régime permanent à 5% près et à partir duquel il ne s en écarte pas de plus de 5%. De la même manière on peut définir les temps de réponse à 0% et à 2%. La figure.9 montre pour trois réponses temporelles : la courbe est caractéristique d un système non oscillant, le temps de réponse à 5% de ce système est : T 5% = T. À partir de l instant T la réponse est toujours comprise entre les deux bandes à ±5% de la valeur finale. les courbes 2 et 3 sont caractéristiques d un système dont la réponse est oscillatoire amortie. Les instants T 2 et T 3 correspondent aux temps de réponse à 5% des réponses 2 et 3. s 3 2 5% -5% 0 0 T 2 T 3 T t FIGURE.9 Temps de réponse On constate en comparant les réponses des systèmes 2 et 3 que les temps de réponses sont comparables mais que le comportement est lui fortement différents. Le système 3 est fortement oscillant et semble plus «dynamique» que le système 2. Le temps de réponse, tel qu il est défini ne permet pas de différencier ces deux systèmes. Pour les différencier, il est possible de déterminer le temps de montée T m que l on détermine en mesurant l intervalle de temps séparant les instants auxquels la réponse indicielle vaut 0% et 90% de la valeur finale (ou entre 20% et 80%). On remarque sur la figure.0 que les deux temps de montée T m2 et T m3 sont notablement différents.

11 .2 Caractéristiques d un système asservi 9 s 3 2 5% -5% 90% 0 0 Tm2 T m3 T 2 T 3 t 0% FIGURE.0 Temps de montée.2.5 Dépassements La mesure du dépassement relatif des systèmes oscillatoires amortis permet d évaluer le taux d oscillation du système. L amplitude du dépassement et la rapidité de décroissance caractérise la stabilité relative. Le dépassement relatif est déterminé pour chaque dépassement de la valeur finale (figure.) D i % = S(t mi ) S( ) S( ) = d i ( ) avec D i % : le dépassement relatif pour le i me maximum. t mi : l instant du i me maximum. S( ) : la valeur finale. S(t mi ) : la valeur du i me maximum. d i = S(t mi ) S( ). Un critère important de réglage peut être l absence de dépassement..2.6 Stabilité La stabilité est la plus importante des caractéristiques que doit posséder un système asservi. Une manière intuitive de préciser la notion de stabilité est d imaginer un système que l on écarte de sa position initiale par une impulsion et de regarder son évolution, s il retrouve sa position initiale, il est stable, s il s en écarte, il est instable(figure.2).

12 0 Caractérisation et étude des systèmes asservis s d d 2 d 3 d4 0 0 t FIGURE. Dépassement Système Système Système Stabilité stable instable indifférent conditionnelle FIGURE.2 Stabilité des systèmes Un système à stabilité indifférente va s écarter de sa position initiale pour trouver une autre position stable différente de la première, le système s écarte mais ne diverge pas. Plusieurs définitions de la stabilité sont envisageables. Définition : Un système physique est stable si à une entrée bornée correspond une sortie bornée. Définition 2 : Un système physique est stable si la réponse libre du système tend vers zéro à l infini, c est dire qu il retourne spontanément vers son état d équilibre lorsqu il en est écarté. Ces deux définitions sont équivalentes pour les systèmes linéaires. La figure.3 présente la réponse temporelle de quelques systèmes sollicités par un échelon : les réponses, 2, 3, 4 sont caractéristiques de systèmes stables. La réponse est une réponse apériodique, les trois autres sont oscillatoires amorties.

13 .2 Caractéristiques d un système asservi s t FIGURE.3 Stabilité les réponses 5 et 6 sont celles de systèmes instables, elles sont toutes les deux divergentes, oscillatoire ou non. On note aussi en comparant les réponses 2 à 4 que le critère strict de stabilité, s il est nécessaire, n est pas suffisant. En effet est-il envisageable qu un système atteigne sa position définitive après un grande nombre d oscillations?.2.7 Systèmes dynamiques Les systèmes asservis sont une branche des systèmes dynamiques. On appelle système dynamique un système pour lequel, les grandeurs de sortie dépendent des valeurs présentes et passées des grandeurs d entrée. Parmi les systèmes dynamiques, nous limiterons notre étude aux seuls systèmes linéaires continus et invariants (SLCI).

14 2 Caractérisation et étude des systèmes asservis.3 Systèmes linéaires continus invariants.3. Systèmes linéaires Définition : Un système linéaire est un système pour lequel les relations entre les grandeurs d entrée et de sortie peuvent se mettre sous la forme d un ensemble d équations différentielles à coefficients constants. Les systèmes linéaires possèdent principalement deux propriétés : la proportionnalité ; l additivité. x (t) Système y (t) x 2 (t) = λ x (t) Système y 2 (t) = λ y (t) s x 2 (t) = λ x (t) y 2 (t) = λ y (t) x (t) y (t) 0 0 t FIGURE.4 Proportionalité a ) Principe de proportionnalité Définition : Si y(t) est la réponse à l entrée x(t) alors λ y(t) est la réponse à λ x(t). Dans un système linéaire, l effet est proportionnel à la cause (figure.4). L effet de proportionnalité n est effectif que lorsque le système a atteint sa position d équilibre ou que le régime permanent s est établi. La caractéristique Entrée / Sortie d un système linéaire est une droite dont la pente est appelée gain du système. La réponse, en régime définitif (en régime permanent) d un système linéaire à une entrée donnée est un signal de même nature que l entrée. Sur la figure.5 on constate que la réponse en régime établi à une entrée sinusoïdale de fréquence f est aussi une sinusoïde de même fréquence mais déphasée et atténuée.. Les équations différentielles seront abordées dans la suite du cours et approfondies en mathématiques

15 .3 Systèmes linéaires continus invariants 3 s s t 0 0 t 0 0 (a) f = 4Hz (b) f = 0Hz FIGURE.5 Comportement en régime permanent b ) Additivité - principe de superposition Définition : Si y (t) est la réponse à l entrée x (t) et y 2 (t) est la réponse à l entrée x 2 (t) alors, y (t) y 2 (t) est la réponse à l entrée x (t) x 2 (t)(figure.6) Les principes de proportionnalité et de superposition vont nous permettre, connaissant la réponse d un système à des sollicitations simples de déterminer par additivité et proportionnalité la réponse à des sollicitations plus complexes. s x 2 (t) x (t) y (t) y 2 (t) x 2 (t) y 2 (t) x (t) y (t) 0 0 t FIGURE.6 Principe de superposition

16 4 Caractérisation et étude des systèmes asservis c ) Principales non-linéarités Seuil : Un système présente un seuil si la sortie n évolue que lorsque l entrée dépasse une valeur minimale (seuil). Les seuils ont souvent pour origine des frottements secs. Saturation Un système présente une saturation lorsque la sortie n évolue plus audelà d une valeur limite. Ces saturations sont dues soit aux limites mécaniques du système (butées) soit aux limites des interfaces de puissance (saturation des amplificateurs opérationnels). Courbure : La quasi totalité des systèmes présente des courbures plus ou moins prononcées. Dans la plupart des cas le système est approché par une droite passant par l origine, mais il est aussi possible de linéariser autour d un point de fonctionnement. Hystérésis : Un système présente une réponse avec une hystérésis lorsque le comportement est différent suivant le sens d évolution de la variable d entrée. Exemple : cycle de magnétisation. y y y y x x x x (a) seuil (b) saturation (c) courbure (d) hystérésis FIGURE.7 Non-linéarités.3.2 Systèmes continus Un système est dit continu lorsque les grandeurs physiques qui le caractérisent, évoluent de manière continue d un état à un autre. On oppose les systèmes continus aux systèmes discrets pour lesquels l évolution d un état à un autre se fait par «saut» d une valeur à la suivante..3.3 Systèmes invariants On dit qu un système est invariant lorsque les caractéristiques du système ne se modifient pas dans le temps.

17 .4 Description des systèmes linéaires 5 Les systèmes réels ne sont ni linéaires, ni continus, ni invariants Il est par contre toujours possible de modéliser correctement le système afin que celui ci puisse être considéré comme linéaire, continu et invariant dans la zone d étude..4 Description des systèmes linéaires Pour réaliser la commande d un système, il est nécessaire d établir les relations existant entre les entrées (variables de commande) et les sorties (variables d observation), c est à dire être capable de modéliser le problème permettant de répondre à une question du type : Comment doit-on régler la chaudière pour avoir une température de 20 C? L ensemble de ces relations s appelle le «modèle mathématiques» du système ou modèle de connaissance..4. Description par les équations différentielles Un système dynamique linéaire peut être décrit par une équation différentielle à coefficients constants liant les grandeurs d entrée et de sortie. L équation générale d un système linéaire est de la forme : b m d m y(t) m on note : b d m y(t) d y(t) d n x(t) d m x(t) m m b b 0 y(t) = a n n a n m d x(t) a a 0 x(t) d y(t) = ẏ(t) dérivée re de y(t) par rapport au temps d 2 y(t) 2 = ÿ(t) dérivée 2 nd de y(t) par rapport au temps d n y(t) n dérivée n me de y(t) par rapport au temps Pour les systèmes réels, m n (principe de causalité 2 ) À partir de cette représentation il est possible de déterminer l évolution temporelle de la sortie en résolvant l équation différentielle. 2. nous verrons plus loin dans le cours

18 6 Caractérisation et étude des systèmes asservis.4.2 Résolution par la transformée de Laplace L utilisation de la transformée de Laplace permet de ramener la résolution d une équation différentielle a une manipulation algébrique puis à la lecture d un tableau de fonctions. Remarque : : pour toute cette partie et pour toute la suite, il est nécessaire de bien assimiler le cours sur la transformation de Laplace en annexe??. a ) Exemple guide - Sismographe Un sismographe est un instrument de mesure équipé d un capteur des mouvements du sol, le sismomètre, capable de les enregistrer sur un support visuel, le sismogramme. Un sismographe simple est constitué d un ressort de raideur k et de longueur naturelle l 0, d un amortisseur de coefficient de frottement h et d une masse M (m) considérée comme ponctuelle. Le ressort et l amortisseur sont fixés à un cadre(c) rigide solidaire du sol(s). L amortisseur exerce sur la masse M une force de frottement fluide proportionnelle à la vitesse relative de M par rapport au cadre. Un stylet reproduisant les déplacements verticaux de la masse M par rapport au cadre est fixé au niveau de la masse M (voir figure.8). On considère que l axe vertical z #» g est un des axes du référentiel galiléen. O g #» z g M Z(t) z(t) M = 0kg : masse de la masse M, k = 36kN m : raideur du ressort, l 0 : longueur à vide du ressort, h : coefficient de frottement fluide avec les valeurs suivantes : h = 2000N s m, h 2 = 200N s m, h 3 = 600N s m. (a) Schéma (b) Données FIGURE.8 Sismomètre On note, Z(t) le mouvement du sol et z(t) le mouvement du stylet. Le mouvement du stylet dépend de la sollicitation (Z(t)), de la masse et des caractéristiques ressort et de l amortisseur.

19 .4 Description des systèmes linéaires 7 Q. Détermination de l équation différentielle liant du mouvement liant Z(t) et z(t). Pour établir l équation différentielle, nous allons appliquer la deuxième loi de Newton 3 (Principe Fondamental de la Dynamique en Translation) qui s énonce : Dans un référentiel galiléen, la variation de la quantité de mouvement est égale à la somme des forces extérieures qui s exercent sur le solide : #» F ext = [ ] d p #» S/Rg que l on peut aussi écrire : #» F ext = M a #» S/Rg avec a #» S/Rg l accélération du solide par rapport au référentiel galiléen. La masse est soumise à 3 actions mécaniques : son poids #» P = M g zg #» l action du ressort qui s oppose à sa déformation #» F r = k (z l 0 ) z #» g l action de l amortisseur, force de frottement fluide proportionnelle à la vitesse relative de M par rapport au cadre : R g #» F a = h d z z #» g = h ż(t) z #» g Il reste à déterminer l accélération de la masse M par rapport au référentiel galiléen : a #» S/Rg. La masse M se déplace verticalement, la projection sur z #» g dans le référentiel galiléen est : O #» g M z #» g = Z(t) z(t). Pour un mouvement de translation vertical, l accélération est la dérivée seconde du déplacement, soit : ( a #» d 2 ) Z(t) S/Rg = 2 d2 z(t) zg #» 2 = ( Z(t) z(t) ) zg #». Le principe fondamental de la dynamique en translation s écrit donc : en réorganisant : M d2 Z(t) 2 M d2 z(t) 2 M d2 z(t) 2 3. vu en TS dans le cours de physique = M g k (z l 0 ) h d z h d z k z = M d2 Z(t) 2 M g k l 0

20 8 Caractérisation et étude des systèmes asservis À l équilibre (pas de mouvement), d2 z(t) 2 peut écrire On pose z = z e = 0 à l équilibre, donc : = 0, d2 Z(t) 2 k z e = M g k l 0 M g k l 0 = 0 L équation différentielle se simplifie donc en : M d2 z(t) 2 h d z(t) k z = M d2 Z(t) 2 M z(t) h ż(t) k z(t) = M Z(t) = 0, d z = 0 et z = z e, on L équation du mouvement est une équation différentielle du second ordre (dérivée seconde) à coefficients constants. La sortie est ici z(t), c est à dire le tracé du stylet sur le rouleau, il dépend de la sollicitation, l entrée ici, Z(t) et des coefficients de l équation. Il ne reste plus qu à la résoudre! Q2. Résolution de l équation différentielle L annexe?? présente les principes de la résolution des équations différentielles. On reconnaît une équation différentielle du second ordre à coefficients constants avec un second membre. Déterminons dans un premier temps la solution générale de l équation sans second membre : L équation caractéristique est M z(t) h ż(t) k z(t) = 0 M r 2 h r k = 0 = h 2 4 k M Compte tenu des valeurs numériques de h (figure.8(b)), prend les valeurs suivantes : pour h = 2000, = > 0 soit deux racines réelles r = h 2 M = 20 r 2 = h 2 M = 80 La solution générale de l équation différentielle sans second membre est donc : z(t) = A e 80 t A 2 e 20 t

21 .4 Description des systèmes linéaires 9 pour h 2 = = 0 r = h 2 2 M = 60 une racine double La solution générale de l équation différentielle sans second membre est donc : pour h 3 = 600 : 3 = < 0 soit deux racines complexes : z(t) = (A A 2 t) e 60 t r = h i 3 2 M r 2 = h i 3 2 M = 30 ( i 3 ) = 30 ( i 3 ) La solution générale de l équation différentielle sans second membre est donc : ( z(t) = A sin(30 3 t) A 2 cos(30 3 ) t) e 30 t Le sismomètre est soumis à une accélération sinusoïdale de pulsation ω et d amplitude A 0 : Z(t) = Γ 0 sin(ω t) Q3. Déterminer la réponse temporelle pour chacune des valeurs du coefficient de frottement fluide. L équation différentielle devient, avec le second membre M d2 z(t) 2 h d z(t) k z(t) = M Γ 0 sin(ω t) On recherche une solution particulière de la même forme que le second membre : z p (t) = A sin(ω t) B cos(ω t) d z p (t) = A ω cos(ω t) B ω sin(ω t) d z p (t) = A ω 2 sin(ω t) B ω 2 cos(ω t) en substituant dans l équation différentielle : M ( A ω 2 sin(ω t) B ω 2 cos(ω t) ) h (A ω cos(ω t) B ω sin(ω t)) k (A sin(ω t) B cos(ω t)) = M A 0 Γ 0 sin(ω t)

22 20 Caractérisation et étude des systèmes asservis M B ω 2 cos(ω t) M A ω 2 sin(ω t) h A ω cos(ω t) h B ω sin(ω t) k B cos(ω t) (k A sin(ω t) = M A 0 Γ 0 sin(ω t) ( M B ω 2 h A ω k B ) cos(ω t) ( M A ω 2 h B ω k A ) sin(ω t) = M Γ 0 sin(ω t) ( (k M ω 2 ) B h A ω ) cos(ω t) ( h B ω ( k M ω 2) A ) sin(ω t) = M Γ 0 sin(ω t) { h ω A ( k M ω 2 ) B = 0 h ω B ( k M ω 2) A = M Γ 0 B = h ω k M ω 2 A A = M Γ 0 (k M ω 2) h 2 ω 2 ( k M ω 2) 2 Q4. Déterminer la solution générale avec les conditions initiales suivantes : z(0) = 0 et ż(0) = 0 pour h = 200. La solution générale est la somme de la solution générale sans second membre et la solution particulière : z(t) = (A A 2 t) e 60 t A sin(ω t) B cos(ω t) les deux constantes A et A 2 sont déterminées à partir des conditions initiales, on obtient (pour Γ 0 = et ω = 0) : ( z(t) = ) 370 t e 60 t 3 7 cos(0 t) sin(0 t) La réponse temporelle (figure.9) montre que la sortie en régime permanent est de même période que le signal d entrée mais déphasée et atténuée. Nous voyons avec cet exemple que la résolution d un système linéaire peut s avérer relativement complexe. Il n est pas d usage en automatique d utiliser cette méthode, on préfère l utilisation de la transformée de Laplace.

23 .4 Description des systèmes linéaires 2 s Z(t) 000 t z(t) FIGURE.9 Réponse temporelle

24 22 Caractérisation et étude des systèmes asservis b ) Exemple guide - Sismographe - 2 On reprend l étude à partir de l équation différentielle du mouvement reliant le mouvement de la masse z(t) en fonction de l accélération verticale du boitier γ Z (t). M d2 z(t) 2 M d2 z(t) 2 h d z(t) h d z(t) k z = M d2 Z(t) 2 k z = M γ Z (t) On pose : L (z(t)) = Z(p) et L ( γ Z (t) ) = Γ(p) Q. On se place dans les conditions d Heaviside, écrire l équation différentielle dans le domaine symbolique. L équation différentielle devient : M p 2 Z(p) h p Z(p) k Z(p) = M Γ(p) Q2. En déduire Z(p) en fonction de Γ(p) Z(p) = M M p 2 h p k Γ(p) On soumet le cadre à une impulsion de Dirac γ Z (t) = δ(t). Q3. Déterminer la réponse temporelle pour les différentes valeurs de h. On a L ( γ Z (t) ) =, l équation devient : M Z(p) = M p 2 h p k Compte tenu des valeurs numériques dem = 0kg et k = 36kN m, pour les différentes valeurs de h : h = 2000N s m Z(p) = 0 0 p p = p p 3600 Le dénominateur admet 2 racines réelles (voir la re étude) Z(p) = ( p 80 ) ( p 20 )

25 .4 Description des systèmes linéaires 23 La décomposition en fraction simple s écrit : Z(p) = A B ( ) ( ) p 80 p 20 Par identification on obtient : Z(p) = 60 (p 80 ) 60 (p 20 ) À partir du tableau des transformées page??, on déduit la réponse temporelle pour un Dirac : ( z(t) = 60 e 80 t ) 60 e 20 t u(t) h 2 = 200N s m Z(p) = 0 0 p p = p 2 20 p 3600 Le dénominateur admet racine double Z(p) = ( ) 2 p 60 À partir du tableau des transformées page?? on obtient h 3 = 600N s m z(t) = t e 60 t u(t) Z(p) = p 2 60 p 3600 Le dénominateur admet 2 racines complexes conjuguées, pour déterminer la transformée inverse, on doit mettre la fraction rationnelle sous la forme : ( ω 0 ) z 2 e zω 0t sin ω 0 z 2.t Z(p) = p 2 60 p 3600 = p 2 2 0,5 60 p 60 2 soit ω 0 = 60rad s et z = 0,5. On retrouve la fonction temporelle à partir du tableau : ( ) z(t) = 60 e 0,5 60 t sin 60 0,5 2 t u(t) 0,5 2 z(t) = 30 3 e 30 t sin ( 30 3 ) t u(t

26 24 Caractérisation et étude des systèmes asservis La transformée de Laplace permet donc de résoudre les équations différentielles à coefficients constants. Cette méthode ne permet pas de résoudre d autres équations que celle que l on pourraient résoudre par la méthode classique, par contre elle permet de prendre en compte rapidement les conditions initiales et surtout les signaux d entrées composés. Exercice - Sismographe-suite Corrigé page?? Reprendre l exercice sur Sismographe page 6, dans le cas où h = 200. Q. Déterminer la réponse temporelle à partir des transformées de Laplace si la sollicitation est une sinusoïde. Q2. Déterminer la réponse temporelle à partir des transformées de Laplace pour la sollicitation décrite par le graphe ci-dessous : γ(t) 0,75 0,5 0,25 0,25 0,5 0,75 t Exercice 2- Circuit RC Corrigé page?? On se propose de déterminer l évolution de la tension aux bornes du R condensateur (v s (t)) en fonction de l évolution de la tension d entrée du circuit (v e (t)) du circuit RC (figure.20). Les relations qui décrivent le fonctionnement sont : La loi d Ohm aux bornes de la résistance : v e (t) v s (t) = R i (t) v e C FIGURE.20 Circuit RC v s La relation caractéristique d un condensateur parfait : i (t) = C d v s(t) Q. Établir l équation différentielle reliant la tension aux bornes du condensateur et la tension d entrée. Q2. Résoudre l équation différentielle si on soumet le circuit complètement déchargé (v s (0) = 0) à un échelon de tension (v e (t) = U 0 V pour t > 0). Q3. Tracer l allure de la réponse temporelle.

27 .5 Fonction de transfert Transmittance 25.5 Fonction de transfert Transmittance Un système dynamique linéaire est décrit par une équation différentielle à coefficients constants liant les grandeurs d entrée et de sortie. b m d m y(t) m b d m y(t) d y(t) d n x(t) d m x(t) m m b b 0 y(t) = a n n a n m d x(t) a a 0 x(t) On se place dans les conditions de Heaviside (toutes les conditions initiales sont nulles). On pose : L (x(t)) = X(p) et L ( y(t) ) = Y(p) En appliquant la transformée de Laplace aux deux membres de l égalité les conditions initiales étant nulles. ( bm p m b m p m b p b 0 ) Y(p) = ( an p n a n p n a p a 0 ) X(p) ce qui permet d écrire On appelle Y(p) = a n p n a n p n a p a 0 b m p m b m p m b p b 0 X(p) H(p) = Y(p) X(p) = a n p n a n p n a p a 0 b m p m b m p m b p b 0 la fonction de transfert (ou transmittance) du système. Dans le cas des systèmes physiques, le degré du dénominateur est supérieur au degré du numérateur : m > n..5. Forme canonique Il est toujours possible de mettre la fonction de transfert sous la forme suivante dite forme canonique avec : H(p) = N(p) D(p) = K N(p) p α D (p) = a n p n a n p n a p p ( α b m p m b m p m b p ) avec N(p) : un polynôme en p avec N(0) = ; D (p) : un polynôme en p avec D (0) = ; K : le gain de la fonction de transfert ; α : la classe de la fonction de transfert.

28 26 Caractérisation et étude des systèmes asservis.5.2 Schéma bloc À partir de la fonction de transfert, on établit le schéma bloc du système X(p) Y(p) X(p) a n p n a n p n a p a 0 Y(p) H(p) b soit m p m b m p m b p b Pôles et zéros On appelle zéros : les racines de N(p) = 0, le polygone du numérateur. pôles : les racines de D(p) = 0, le polynôme du dénominateur Exercice 3- Fonctions de transfert Corrigé page?? A. r ordre Soit un système décrit par l équation différentielle suivante : 5 d s(t) 8 s(t) = e(t) On pose E(p) = L (e(t)) et S(p) = L (s(t)). On se place dans les conditions de Heaviside. Q. Déterminer la fonction de transfert G(p) = S(p, la mettre sous forme canonique. E(p) Q2. Tracer le schéma bloc. Q3. Déterminer, à partir du tableau des transformée inverses, la réponse temporelle pour la réponse à une échelon Q4. Déterminer la réponse temporelle à partir des transformées de Laplace pour la sollicitation décrite par le graphe ci-dessous : γ(t),5 0,5 0,5,5 2 t

29 .6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel 27 B. 2 nd ordre Soit un système décrit par l équation différentielle suivante : 3 d2 s(t) 2 5 d s(t) 4 s(t) = de(t) 8 e(t) On pose E(p) = L (e(t)) et S(p) = L (s(t)). On se place dans les conditions de Heaviside. Q5. Déterminer la fonction de transfert G(p) = S(p, la mettre sous forme canonique. Q6. Tracer le schéma bloc. E(p).6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel.6. Schéma fonctionnel ou schéma bloc La représentation par le schéma fonctionnel permet de représenter de manière graphique un système linéaire. Chaque bloc du schéma caractérise une des fonctions du système (un des constituants), on associe à chaque bloc la fonction de transfert du constituant qu il représente. Les arcs qui relient les blocs portent les informations d entrée et de sortie de la fonction de transfert. On détermine la fonction de transfert de chaque constituant à partir des équations différentielles régissant son comportement. L allure globale du schéma renseigne sur sa structure (boucle ouverte, boucle fermée). Le système d équations est ainsi remplacé par un schéma comportant un ensemble de blocs représentant les fonctions du système. Les branches entre les blocs portent les variables intermédiaires du système. a ) Formalisme Bloc : E(p) H(p) S(p) Le bloc est représenté par un cadre rectangulaire, il possède une entrée et une sortie, la fonction de transfert du bloc est déterminée d après les équations de fonctionnement : H(p) = S(p) E(p). Jonction :

30 28 Caractérisation et étude des systèmes asservis E S S 2 Une jonction est un point de prélèvement. La variable de la branche est identique à celle de la branche 2 S = S 2 = E, un prélèvement d information ne modifie pas la variable. Sommateur : E 2 E E 3 Comparateur : E E 2 S ε La figure.2 montre le schéma-bloc d un système. Les sommateurs permettent d additionner et soustraire des variables, ils possèdent plusieurs entrées mais une seule sortie : S = E E 2 E 3. Le comparateur est un cas particulier de sommateur, il permet de calculer la différence entre deux signaux : ε = E E 2. n P E ɛ F G H u L M S n2 R Q FIGURE.2 Sschéma-bloc.6.2 Des équations différentielles au schéma-bloc Nous allons reprendre l exercice Circuit RC de la page 24 pour expliquer le passage au schéma-bloc. Les relations qui décrivent le fonctionnement sont : La loi d Ohm aux bornes de la résistance : v s (t) v e (t) = R i (t) La relation caractéristique d un condensateur parfait : i (t) = C d v s(t) On se place dans les conditions de Heaviside. Dans le domaine symbolique (avec les conventions précédentes) on peut écrire : v s (t) v e (t) = R i (t) i (t) = C d v s(t) { Vs (p) V e (p) = R p I(p) I(p) = C p V s (p)

31 .6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel 29 Pour chaque équation, on trace le schéma bloc élémentaire correspondant : I(p) = ( Vs (p) V e (p) ) V e (p) R I(p) R V s (p V s (p) = I(p) V s (p) C p C p puis on associe, les différents schémas élémentaires obtenus V e (p) I(p) V s (p) R C p D où la fonction de transfert en appliquant la formule de Black dans le cas d un retour unitaire : V s (p) V e (p) = BO(p) BO(p) = R C p R C p V s (p) V e (p) = R C p On le voit, le schéma-bloc, est un outil très pratique qui permet d obtenir rapidement la fonction de transfert d un système complexe. Associé à la transformée de Laplace, c est l outil de base de l étude des asservissements..6.3 Manipulation des schémas blocs Blocs en série : Il est possible de remplacer des blocs en série (sans jonction ni sommateur entre chaque bloc) par le bloc produit des fonctions de chaque bloc. Ainsi : ɛ u F G H = ɛ u) F G H Il est important de noter que si les blocs ont un sens physique (ils sont la traduction du comportement d un constituant), le bloc produit n a lui qu un sens mathématique. Déplacement d un sommateur : Il est souvent utile de déplacer un sommateur, soit pour faciliter l analyse, soit (souvent) pour transformer un schéma bloc en un schéma bloc à retour unitaire. Déplacement vers l amont : E H u n P L R S = E H L H n P R S

32 30 Caractérisation et étude des systèmes asservis Déplacement vers l aval : n P R L n P R E H u L S E = H L S Déplacement d une jonction : comme pour les sommateurs, il est souvent nécessaire de déplacer un point de prélèvement. Déplacement vers l aval L M S = L M S Q Déplacement vers l amont S L M Q M = L M S Q Q L a ) Fonction de transfert d un système linéaire à retour non unitaire Soit un système décrit par le schéma bloc de la figure.22 Chaine directe E(p) ε(p) H H 2 H 3 S(p) m(p) R 3 R 2 Chaine de retour FIGURE.22 Structure d un système linéaire à retour non unitaire On appelle : Fonction de transfert en boucle fermée (FTBF), la fonction définie par BF(p) = S(p) E(p) ; Chaine directe, la chaine constituée des blocs reliant l entrée et la sortie : on note, CD(p) = S(p), la fonction de transfert en chaine directe ; ε(p)

33 .6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel 3 Chaine de retour, la chaine constituée des blocs reliant la sortie au comparateur : on note CR(p) = m(p), la fonction de transfert de la chaine de retour S(p) Fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO), la fonction définie par BO(p) = m(p) = CD(p) CR(p). ε(p) Le schéma-bloc peut se ramener au schéma de la figure.23(a) que l on peut mettre sous la forme de la figure.23(b). E(p) ε(p) H H 2 H 3 S(p) E(p) ε(p) CD(p) S(p) m(p) m(p) R 2 R CR(p) (a) (b) FIGURE.23 Structure d un système linéaire à retour non unitaire À partir ce cette représentation on peut écrire les trois équations ci-dessous puis déterminer la fonction de transfert en boucle fermée du système S(p) = CD(p) ε(p) m(p) = CR(p) S(p) ε(p) = E(p) m(p) en substituant dans la re équation, on obtient : S(p) = CD(p) (E(p) CR(p) S(p) ) soit CD(p) S(p) = CD(p) CR(p) E(p) ce qui permet d écrire la fonction de transfert en boucle fermée : que l on écrit généralement : BF(p) = S(p) E(p) = BF(p) = S(p) E(p) = CD(p) CD(p) CR(p) CD(p) BO(p) et que l on nomme formule de Black Dans le cas particulier ou le schéma bloc est à retour unitaire (figure.24), alors la formule de Black devient. BF(p) = S(p) E(p) = BO(p) BO(p)

34 32 Caractérisation et étude des systèmes asservis E(p) ε(p) H H 2 H 3 S(p) FIGURE.24 Structure d un système linéaire à retour unitaire.6.4 Exemple guide : détermination d une fonction de transfert Il y a deux méthodes principales pour déterminer la fonction de transfert d un système, la prémière méthode s appuie sur la modification du schéma-bloc pour se ramener à une forme simple permettant d appliquer la formule de Black, l autre méthode est purement analytique. Souvent nous utiliserons une combinaison des deux. a ) Détermination par la modification du schéma bloc On reprend l exemple de la figure.2. Étape : On commence par simplifier tous les blocs en série (figure.25). E ε(p) F G H u n L P M S n2 Q R FIGURE.25 Détermination fonction de transfert - étape Étape 2 : Ensuite, il faut déplacer les jonctions ou les sommateurs qui sont entrelacés (sur la figure.26, on a choisit de déplacer la jonction vers l aval). E ε(p) F G H u n L P M S n2 Q R M FIGURE.26 Détermination fonction de transfert - étape 2

35 .6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel 33 Étape 3 : On applique ensuite la formule de Black lorsque c est possible, ici sur la boucle interne, on détermine la fonction de transfert S(p) (figure.27). U(p) S(p) U(p) = L M L M P E ε(p) F G H L M L M P S n2 Q R M FIGURE.27 Détermination fonction de transfert - étape 3 Étape 4 : Il ne reste plus qu à appliquer la formule de Black (figure.28) : Chaine directe : CD(p) = F G H L M L M P Chaine de retour : CR(p) = Q R M FTBO : BO(p) = F G H L M L M P Q R M = F G H L Q R L M P BF(p) = S(p) E (p) = CD(p) BO(p) = F G H L M BF(p) = L M P F G H L Q R F G H L M L M P F G H L Q R L M P E (p) F G H L M L M P F G H L Q R S (p) FIGURE.28 Détermination fonction de transfert - étape 4 b ) Détermination analytique Pour déterminer analytiquement la fonction de transfert, il est préférable de partir de la sortie et de remonter vers l entrée. Au préalable il est nécessaire de nommer toutes les entrées et sorties des sommateurs et des jonctions (figure.29). On écrit ensuite les différentes relations, en partant de chaque nœud de sortie (sortie générale, sortie des comparateurs, jonctions) en remontant jusqu au nœud précédent.

36 34 Caractérisation et étude des systèmes asservis n P E ε F G H u ε 2 L v S M n2 R Q FIGURE.29 Schéma-bloc - variables intermédiaires nommées S (p) = M v(p) v(p) = L ε 2 (p) ε 2 (p) = F G H ε P S (p) ε (p) = E (p) R Q v(p) On cherche à faire disparaitre les sorties de comparateurs, d abord ε S (p) = M v(p) v(p) = L F G H ε L P S (p) ε (p) = E (p) R Q v(p) puis ε 2 { S(p) = M v(p) v(p) = L F G H (E (p) R Q v(p) ) L P S (p) { S (p) = M v(p) v(p) = L F G H E (p) L F G H R Q v(p) L P S (p) soit { S (p) = M v(p) v(p)( L F G H R Q) = L F G H E (p) L P S (p) il reste à remplacer v(p) en ré-organisant : S (p)( L F G H R Q) = M L F G H E (p) M L P S (p) S (p)( M L P L F G H R Q) = M L F G H E (p) d où la fonction de transfert S (p) E (p) = M L F G H M L P L F G H R Q

37 .6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel 35 c ) Principe de superposition Une des propriétés principales des systèmes linéaires est la superposition, on retrouve cette propriétés dans la représentation par schéma blocs. E 2 G E F H S R FIGURE.30 Schéma-bloc avec 2 entrées Le schéma.30 présente un système dont la sortie S dépend de deux entrées E et E 2. Déterminons la sortie S(p) en fonction de E (p) et E 2 (p). S(p) = H (F (E (p) R S(p) ) G E 2 (p) ) S(p) = H F E (p) H F R S(p) H G E 2 (p) S(p) ( H F R) = H F E (p) H G E 2 (p) Finalement, on obtient la relation donnant S : S(p) = H F H F R E H G (p) H F R E 2(p) Montrons que l on peut déterminer cette fonction en utilisant la superposition Dans un premier temps, on pose E 2 (p) = 0 (figure.3(a)), le schéma devient celui de la figure.3(b) E 2 = 0 G E F H S E F H S R R (a) (b) FIGURE.3 Sschéma-bloc

38 36 Caractérisation et étude des systèmes asservis On détermine rapidement la fonction de transfert vis à vis de l entrée E (p) pour E 2 (p) = 0. H F S(p) E2 (p)=0 = H F R E (p) Dans un second temps, on pose E (p) = 0 (figure.32(a)), le schéma devient celui de la figure.32(b) que l on peut simplifier en déplaçant le signe négatif vers le sommateur (figure.32(c)). Finalement on peut mettre le schéma sous la forme classique de la figure.32(d) E 2 G E 2 G E = 0 F H S - F H S R (a) R (b) E 2 G F H S E 2 G H S R F R (c) (d) FIGURE.32 Sschéma-bloc On détermine ainsi rapidement la fonction de transfert vis à vis de l entrée E 2 (p) pour E (p) = 0. S(p) E (p)=0 = H G H F R E 2(p) On retrouve bien en sommant les deux fonctions, la fonction donnant S(p) en fonction de E (p) et E 2 (p) : S(p) = S(p) E2 (p)=0 S(p) E (p)=0 H F S(p) = H F R E H G (p) H F R E 2(p)

39 .6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel Application guide : Moteur à courant continu à champ permanent a ) Principe de fonctionnement Un moteur 4 à courant continu est constitué d un rotor bobiné (induit) qui est placé dans le champ magnétique créé par un stator (inducteur), le champ peut être créé par un aimant permanent ou par un stator bobiné. stator - inducteur collecteur rotor - induit FIGURE.33 Moteur à courant continu - écorché Le courant qui circule dans un conducteur du rotor placé dans le champ magnétique produit une force qui à tendance à faire tourner le rotor (figure.34). La force agissant sur le conducteur est proportionnelle au courant circulant dans le conducteur. Lorsque le rotor tourne une force électromotrice est induite dans le rotor qui s oppose à la tension d alimentation, cette tension, appelée force contre électromotrice f.c.e.m, est proportionnelle à la vitesse de rotation de l arbre moteur. b ) Modèle de connaissance D un point de vue électrique le moteur peut donc être modélisé de la façon suivante (schéma.34(b)). le rotor est équivalent à une résistance, une inductance et un générateur en série le stator est une inductance. On note : U(t) : tension de commande d induit, I(t) : courant d induit, E : force contre électromotrice, L, R : inductance et résistance d induit ; 4. Le principe et l étude des machines électriques sera approfondi en sciences physiques

40 38 Caractérisation et étude des systèmes asservis L u(t) R E(t) (a) schémla de principe (b) schéma électrique équivalent MCC à aimant permanent FIGURE.34 Schéma de principe moteur CC Pour la suite nous n étudierons que les moteurs dont le flux inducteur est constant (cas des moteurs à aimant permanent). Dans ce cas, le couple moteur est proportionnel au courant. Relations électromécaniques On peut donc écrire les deux relations électromécaniques du moteur : la force contre-électromotrice est proportionnelle à la vitesse de rotation : E(t) = K E ω n (t) le couple délivré par le moteur est proportionnel au courant dans le circuit induit : C m (t) = K T i (t) On appelle K E : constante de F.c.e.m du moteur. K T : constante de couple du moteur (dépendant du flux de l inducteur) ; Ces deux constantes sont égales. Équation électrique A partir du schéma équivalent du moteur on écrit l équation différentielle (loi des mailles) qui relie la tension de commande u(t) au courant i (t) dans le circuit : di (t) u(t) = R i (t) L E(t)

41 .6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel 39 FIGURE.35 Modélisation mécanique Comportement mécanique Le couple moteur c m (t) entraine le rotor en rotation et l arbre moteur. Le rotor a une inertie I r [kgm 2 ]. La charge est caractérisée par son inertie I c ramené sur l arbre moteur. Un couple résistant c r (t) s oppose au mouvement. L arbre moteur est en liaison pivot avec le bâti, les frottements dans la liaison sont modélisés par un couple de frottement fluide proportionnel à la vitesse de rotation : c f (t) = f ω m (t). L application du théorème du moment cinétique appliqué à l arbre moteur et à la charge donne : (I c I r ) dω m(t) = c m (t) f ω m (t) c r (t) On pose I e = I c I r, avec I e l inertie équivalente à l ensemble mobile ramené sur l arbre moteur. I e dω m(t) = c m (t) f ω m (t) c r (t) Le fonctionnement du moteur est donc traduit par ces quatre équations. c ) Schéma-bloc du moteur On pose : L (ω m (t)) = Ω m (p), L (c m (t)) = C m (p), L (c r (t)) = C r (p), L (u(t)) = U(p), L (E(t)) = E(p) et L (i (t)) = I(p). On se place dans les conditions de Heaviside. Dans le domaine symbolique, les quatre équations deviennent : c m (t) = K T i (t) C m (p) = K T I(p) E(t) = K E ω n (t) E(p) = K E Ω m (p) di (t) u(t) = R i (t) L E(t) U(p) = ( R L p ) I(p) E(p) I e dω m(t) = c m (t) f ω m (t) c r (t) I e p Ω m (p) = C m (p) f Ω m (p) C r (p) Pour chaque équation on peut tracer un schéma- bloc élémentaire :

42 40 Caractérisation et étude des systèmes asservis C m (p) = K T I(p) C m (p) K T I(p) E(p) = K E Ω m (p) Ω m (p) K E E(p) U(p) = ( R L p ) I(p) E(p) que l on met sous la forme I(p) = R L p (U(p) E(p) ) U(p) = I e p Ω m (p) = C m (p) f Ω m (p) C r (p) que l on met sous la forme Ω m (p) = U(p) R L p E(p C r (p) C m (p) f I e p I(p) Ω m (p) f I e p (C m (p) C r (p) ) À partir de ces schémas élémentaires, on construit le schéma-bloc du moteur à courant continu (figure.36). U(p) ɛ R L p I(p) K T C r (p) C m (p) I e p f Ω m (p) E(p) K E FIGURE.36 Schéma-bloc moteur à courant continu On constate que la vitesse de rotation du moteur dépend à la fois de la tension d alimentation et du couple résistant. On doit donc pouvoir écrire : Ω m (p) = H (p) U(p) H 2 (p) C r (p) d ) Détermination analytique de Ω m (p) Ω m (p) = I e p f Ω m (p) = I e p f Ω m (p) = I e p f ( Cm (p) C r (p) ) ( K T R L p ( K T R L p ) ( ) U(p) E(p) Cr (p) ( U(p) KE Ω m (p) ) ) C r (p)

43 .6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel 4 soit en réorganisant Ω m (p) = ( Ω m (p) K T (I e p f ) (R L p) U(p) K E K T (I e p f ) (R L p) Ω K T m(p) I e p f C r (p) ) K E K T = (I e p f ) (R L p) ( (Ie p f ) (R L p) K E K T Ω m (p) (I e p f ) (R L p) K T (I e p f ) (R L p) U(p) I e p f C r (p) ) = K T (I e p f ) (R L p) U(p) I e p f C r (p) Ω m (p) = K T R L p U(p) C r (p) (I e p f ) (R L p) K E K T (I e p f ) (R L p) K E K T On retrouve bien que Ω m (p) dépend bien de U(p) et C r (p). Cet exemple est important, le moteur à courant continu étant un des principaux actionneurs utilisés dans les asservissements.

Analyse des Systèmes Asservis

Analyse des Systèmes Asservis Analyse des Systèmes Asservis Après quelques rappels, nous verrons comment évaluer deux des caractéristiques principales d'un système asservi : Stabilité et Précision. Si ces caractéristiques ne sont pas

Plus en détail

M1/UE CSy - module P8 1

M1/UE CSy - module P8 1 M1/UE CSy - module P8 1 PROJET DE SIMULATION AVEC MATLAB RÉGULATION DU NIVEAU ET DE LA TEMPÉRATURE DANS UN BAC En vue de disposer d un volume constant de fluide à une température désirée, un processus

Plus en détail

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer

Plus en détail

M1/UE CSy - module P8 1

M1/UE CSy - module P8 1 M1/UE CSy - module P8 1 PROJET DE SIMULATION AVEC MATLAB MODÉLISATION D UNE SUSPENSION ET ÉTUDE DE SON COMPORTEMENT DYNAMIQUE La suspension d une automobile est habituellement assurée par quatre systèmes

Plus en détail

Automatique Linéaire 1 Travaux Dirigés 1A ISMIN

Automatique Linéaire 1 Travaux Dirigés 1A ISMIN Automatique Linéaire 1 Travaux Dirigés Travaux dirigés, Automatique linéaire 1 J.M. Dutertre 2014 TD 1 Introduction, modélisation, outils. Exercice 1.1 : Calcul de la réponse d un 2 nd ordre à une rampe

Plus en détail

1.1 Feuille n 2 : Modélisation et analyse d un système linéaire à partir des équations différentielles

1.1 Feuille n 2 : Modélisation et analyse d un système linéaire à partir des équations différentielles CHAPITRE 1 ANALYSE DES SYSTÈMES 1.1 Feuille n 2 : Modélisation et analyse d un système linéaire à partir des équations différentielles L objectif de ce TD est de montrer que l outil équation différentielle

Plus en détail

Concours EPITA 2009 Epreuve de Sciences Industrielles pour l ingénieur La suspension anti-plongée de la motocyclette BMW K1200S

Concours EPITA 2009 Epreuve de Sciences Industrielles pour l ingénieur La suspension anti-plongée de la motocyclette BMW K1200S Concours EPIT 2009 Epreuve de Sciences Industrielles pour l ingénieur La suspension anti-plongée de la motocyclette MW K1200S Durée : 2h. Calculatrices autorisées. Présentation du problème Le problème

Plus en détail

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté Chapitre 4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 4.1 Introduction Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à

Plus en détail

Automatique (AU3): Précision. Département GEII, IUT de Brest contact: vincent.choqueuse@univ-brest.fr

Automatique (AU3): Précision. Département GEII, IUT de Brest contact: vincent.choqueuse@univ-brest.fr Automatique (AU3): Précision des systèmes bouclés Département GEII, IUT de Brest contact: vincent.choqueuse@univ-brest.fr Plan de la présentation Introduction 2 Écart statique Définition Expression Entrée

Plus en détail

Analyse et Commande des systèmes linéaires

Analyse et Commande des systèmes linéaires Analyse et Commande des systèmes linéaires Frédéric Gouaisbaut LAAS-CNRS Tel : 05 61 33 63 07 email : fgouaisb@laas.fr webpage: www.laas.fr/ fgouaisb September 24, 2009 Présentation du Cours Volume Horaire:

Plus en détail

Le Système de Récupération de l Energie Cinétique (SREC)

Le Système de Récupération de l Energie Cinétique (SREC) Concours EPITA 011 Epreuve de Sciences Industrielles pour l ingénieur Le Système de Récupération de l Energie Cinétique (SREC) Tous documents interdits Calculatrice autorisée Durée : h L augmentation de

Plus en détail

Dimensionnement d une roue autonome pour une implantation sur un fauteuil roulant

Dimensionnement d une roue autonome pour une implantation sur un fauteuil roulant Dimensionnement d une roue autonome pour une implantation sur un fauteuil roulant I Présentation I.1 La roue autonome Ez-Wheel SAS est une entreprise française de technologie innovante fondée en 2009.

Plus en détail

TP 7 : oscillateur de torsion

TP 7 : oscillateur de torsion TP 7 : oscillateur de torsion Objectif : étude des oscillations libres et forcées d un pendule de torsion 1 Principe général 1.1 Définition Un pendule de torsion est constitué par un fil large (métallique)

Plus en détail

IUT Toulouse II - Automatique et Systèmes Génie Industriel et Maintenance GIM 2 Promo 14 Année 2007-2008. AUTOMATIQUE et SYSTEMES

IUT Toulouse II - Automatique et Systèmes Génie Industriel et Maintenance GIM 2 Promo 14 Année 2007-2008. AUTOMATIQUE et SYSTEMES IUT Toulouse II - Automatique et Systèmes Génie Industriel et Blagnac Maintenance GIM 2 Promo 14 Année 2007-2008 AUTOMATIQUE et SYSTEMES Les cours, TD et TP seront entièrement programmés en 2 ème année.

Plus en détail

a. Les éléments de base rectangle : représente un élément ou un groupe d éléments du système et son action associée

a. Les éléments de base rectangle : représente un élément ou un groupe d éléments du système et son action associée REGULATION 1/9 I. Présentation 1. Structure d'un système asservi L'objectif d'un système automatisé étant de remplacer l'homme dans une tâche, nous allons pour établir la structure d'un système automatisé

Plus en détail

ATS Génie électrique session 2005

ATS Génie électrique session 2005 Calculatrice scientifique autorisée Avertissements : Les quatre parties sont indépendantes mais il est vivement conseillé de les traiter dans l ordre ce qui peut aider à mieux comprendre le dispositif

Plus en détail

PRECISION - REJET DE PERTURBATIONS T.D. G.E.I.I.

PRECISION - REJET DE PERTURBATIONS T.D. G.E.I.I. PRECISION - REJET DE PERTURBATIONS T.D. G.E.I.I.. Donner les erreurs en position, en vitesse et en accélération d un système de transfert F BO = N(p) D(p) (transfert en boucle ouverte) bouclé par retour

Plus en détail

MOBILITE ET HYPERSTATISME

MOBILITE ET HYPERSTATISME MOBILITE ET HPERSTATISME 1- Objectifs : Le cours sur les chaînes de solides nous a permis de déterminer le degré de mobilité et le degré d hyperstatisme pour un mécanisme donné : m = Nc - rc et h = Ns

Plus en détail

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES «Génie Électronique» Session 2012 Épreuve : PHYSIQUE APPLIQUÉE Durée de l'épreuve : 4 heures Coefficient : 5 Dès que le sujet vous est

Plus en détail

Conversion électronique statique

Conversion électronique statique Conversion électronique statique Sommaire I) Généralités.2 A. Intérêts de la conversion électronique de puissance 2 B. Sources idéales.3 C. Composants électroniques..5 II) III) Hacheurs..7 A. Hacheur série

Plus en détail

Circuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance

Circuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance Chapitre 5 Circuits RL et RC Ce chapitre présente les deux autres éléments linéaires des circuits électriques : l inductance et la capacitance. On verra le comportement de ces deux éléments, et ensuite

Plus en détail

Etude d'un monte-charge

Etude d'un monte-charge BTS ELECTROTECHNIQUE Session 1998 3+

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Les constituants des chaînes fonctionnelles

Les constituants des chaînes fonctionnelles Les constituants des chaînes fonctionnelles On travaille sur des systèmes complexes, dans les champ de l automatique et de la mécanique Seule l approche fonctionnelle permet de les aborder Matière d œuvre

Plus en détail

Le moteur à courant continu à aimants permanents

Le moteur à courant continu à aimants permanents Le moteur à courant continu à aimants permanents Le moteur à courant continu à aimants permanents Principe, caractéristiques Alimentation, variation de vitesse Puissance, rendement Réversibilité Cette

Plus en détail

Chapitre 4. Travail et puissance. 4.1 Travail d une force. 4.1.1 Définition

Chapitre 4. Travail et puissance. 4.1 Travail d une force. 4.1.1 Définition Chapitre 4 Travail et puissance 4.1 Travail d une force 4.1.1 Définition En physique, le travail est une notion liée aux forces et aux déplacements de leurs points d application. Considérons une force

Plus en détail

ELEC2753 Electrotechnique examen du 11/06/2012

ELEC2753 Electrotechnique examen du 11/06/2012 ELEC2753 Electrotechnique examen du 11/06/2012 Pour faciliter la correction et la surveillance, merci de répondre aux 3 questions sur des feuilles différentes et d'écrire immédiatement votre nom sur toutes

Plus en détail

Section : ELECTROTECHNIQUE ET ELECTRONIQUE MARITIMES EPREUVE N 1 CULTURE DISCIPLINAIRE. (Durée : 5 heures ; Coefficient : 2)

Section : ELECTROTECHNIQUE ET ELECTRONIQUE MARITIMES EPREUVE N 1 CULTURE DISCIPLINAIRE. (Durée : 5 heures ; Coefficient : 2) CONCOURS DE RECRUTEMENT DE PROFESSEURS DE LYCEE PROFESSIONNEL AGRICOLE Enseignement Maritime SESSION 2015 Concours : EXTERNE Section : ELECTROTECHNIQUE ET ELECTRONIQUE MARITIMES EPREUVE N 1 CULTURE DISCIPLINAIRE

Plus en détail

Chapitre 4 : Identification

Chapitre 4 : Identification Chapitre 4 : Identification 1- Généralités - Identification en boucle ouverte.1 Méthodologie. Méthode directe : confrontation de la réponse théorique et expérimentale.3 Méthode de Strejc.4 Méthode de Broida.5

Plus en détail

EXAMENS PROPOSES EN STATIQUE ET CINEMATIQUE DES SOLIDES

EXAMENS PROPOSES EN STATIQUE ET CINEMATIQUE DES SOLIDES EXAMENS PROPOSES EN STATIQUE ET CINEMATIQUE DES SOLIDES L1 Page 41 Institut Supérieur des Etudes Technologique de Nabeul Département de Génie Mécanique EXAMEN DE MECANIQUE GENERALE Année universitaire

Plus en détail

Le moteur asynchrone triphasé

Le moteur asynchrone triphasé Cours d Electricité 2 Électrotechnique Le moteur asynchrone triphasé I.U.T Mesures Physiques Université Montpellier 2 Année universitaire 2008-2009 Table des matières 1 Définition et description 2 2 Principe

Plus en détail

Automatisation d une scie à ruban

Automatisation d une scie à ruban Automatisation d une scie à ruban La machine étudiée est une scie à ruban destinée à couper des matériaux isolants pour leur conditionnement (voir annexe 1) La scie à lame verticale (axe z ), et à tête

Plus en détail

EPREUVE OPTIONNELLE de SCIENCES INDUSTRIELLES

EPREUVE OPTIONNELLE de SCIENCES INDUSTRIELLES EPREUVE OPTIONNELLE de SCIENCES INDUSTRIELLES FERME-PORTE (ou «groom») Un «groom» est un système hydro-mécanique de fermeture automatique de porte. Description du fonctionnement La figure montre le dispositif

Plus en détail

MPSI PCSI DS N 1 5 Octobre 2014 Système de mesure de cavité (D après concours CCP TSI 2010)

MPSI PCSI DS N 1 5 Octobre 2014 Système de mesure de cavité (D après concours CCP TSI 2010) MPSI PCSI DS N 1 5 Octobre 2014 Système de mesure de cavité (D après concours CCP TSI 2010) Nom : Prénom : Classe : Mise en situation Mise en situation et présentation de la mesure Le sous-sol français

Plus en détail

ELECTROTECHNIQUE. Chapitre 5 Bobines couplées magnétiquement Inductances mutuelles. Électromagnétisme. Michel PIOU. Édition: 01/06/2010

ELECTROTECHNIQUE. Chapitre 5 Bobines couplées magnétiquement Inductances mutuelles. Électromagnétisme. Michel PIOU. Édition: 01/06/2010 ELECTROTECHNIQUE Électromagnétisme Michel PIOU Chapitre 5 Bobines couplées magnétiquement Inductances mutuelles Édition: 0/06/00 Extrait de la ressource en ligne MagnElecPro sur le site Internet Table

Plus en détail

STI2D : Enseignements Technologiques Transversaux

STI2D : Enseignements Technologiques Transversaux 1) Notion de moment d une force : Les effets d une force sur un solide dépendent de la position de la force par rapport au corps. Pour traduire avec précision les effets d une force, il est nécessaire

Plus en détail

Mini-projet guidé 09 Octobre 17 Décembre 2015

Mini-projet guidé 09 Octobre 17 Décembre 2015 Projet d Investigation et d Intégration 215-216 1/5 4 OPTIMISTION DU FONCTIONNEMENT D UN SCENSEUR Mini-projet guidé 9 Octobre 17 Décembre 215 Introduction : Le projet «Optimisation du fonctionnement d

Plus en détail

avec E qui ne dépend que de la fréquence de rotation.

avec E qui ne dépend que de la fréquence de rotation. Comment régler la vitesse d un moteur électrique?. Comment régler la vitesse d un moteur à courant continu? Capacités Connaissances Exemples d activités Connaître le modèle équivalent simplifié de l induit

Plus en détail

2. Déplacement d une charge ponctuelle dans un champ magnétique uniforme stationnaire

2. Déplacement d une charge ponctuelle dans un champ magnétique uniforme stationnaire Chapitre VII Forces électromagnétiques VII.a. Force de Lorentz La force à laquelle est soumis, à un instant t, un point matériel de charge q, situé en M et se déplaçant à une vitesse v(t) par rapport à

Plus en détail

Travaux Pratiques. :Direction assistée électrique Etude de la loi d assistance Temps alloué 2 heures A- MISE EN EVIDENCE DES PARAMETRES D'ASSISTANCE

Travaux Pratiques. :Direction assistée électrique Etude de la loi d assistance Temps alloué 2 heures A- MISE EN EVIDENCE DES PARAMETRES D'ASSISTANCE PSI* 24/01/14 Lycée P.Corneille tp_loi d_assistance_dae.doc Page 1/1 Travaux Pratiques. :Direction assistée électrique Etude de la loi d assistance Temps alloué 2 heures Vous disposez : De la direction

Plus en détail

moteur asynchrone MOTEUR ASYNCHRONE

moteur asynchrone MOTEUR ASYNCHRONE MOTEUR ASYNCHRONE Rappel: trois bobines, dont les axes font entre eux des angles de 120 et alimentées par un réseau triphasé équilibré, crée dans l'entrefer un champ magnétique radial, tournant à la fréquence

Plus en détail

DISQUE DUR. Figure 1 Disque dur ouvert

DISQUE DUR. Figure 1 Disque dur ouvert DISQUE DUR Le sujet est composé de 8 pages et d une feuille format A3 de dessins de détails, la réponse à toutes les questions sera rédigée sur les feuilles de réponses jointes au sujet. Toutes les questions

Plus en détail

SONDE. NOM : PRENOM : CLASSE : DS n 1 de SII. Samedi 27 septembre 2014 Durée 2 heures

SONDE. NOM : PRENOM : CLASSE : DS n 1 de SII. Samedi 27 septembre 2014 Durée 2 heures NOM : PRENOM : CLASSE : DS n 1 de SII Samedi 27 septembre 2014 Durée 2 heures La rédaction des réponses se fera sur les documents réponses uniquement! De nombreuses questions sont indépendantes : à vous

Plus en détail

Montages non linéaires à amplificateurs opérationnels

Montages non linéaires à amplificateurs opérationnels Montages non linéaires à amplificateurs opérationnels Partie théorique I. omparateur L utilisation la plus simple d un amplificateur opérationnel (AOP) en montage non-linéaire est le comparateur. Deux

Plus en détail

Etude d un haut-parleur

Etude d un haut-parleur Etude d un haut-parleur Le haut-parleur électrodynamique, dont l invention remonte à plus de cent ans, n a pas évolué dans son principe. Il a été amélioré d année en année par l utilisation de nouvelles

Plus en détail

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Sections : L1 Santé - 1 Olivier CAUDRELIER oc.polyprepas@orange.fr Chapitre 1 : Equations aux dimensions 1. Equation aux dimensions a) Dimension

Plus en détail

Automatique Linéaire 1 1A ISMIN

Automatique Linéaire 1 1A ISMIN Automatique linéaire 1 J.M. Dutertre 2014 Sommaire. I. Introduction, définitions, position du problème. p. 3 I.1. Introduction. p. 3 I.2. Définitions. p. 5 I.3. Position du problème. p. 6 II. Modélisation

Plus en détail

pendule pesant pendule élastique liquide dans un tube en U

pendule pesant pendule élastique liquide dans un tube en U Chapitre 2 Oscillateurs 2.1 Systèmes oscillants 2.1.1 Exemples d oscillateurs Les systèmes oscillants sont d une variété impressionnante et rares sont les domaines de la physique dans lesquels ils ne jouent

Plus en détail

BTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL

BTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL BTS Groupement A Mathématiques Session 11 Exercice 1 : 1 points Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL On considère un circuit composé d une résistance et d un condensateur représenté par

Plus en détail

TP force centrifuge. Ce TP est évalué à l'aide d'un questionnaire moodle.

TP force centrifuge. Ce TP est évalué à l'aide d'un questionnaire moodle. TP force centrifuge Ce TP est évalué à l'aide d'un questionnaire moodle. Objectif : Étudier la force centrifuge dans le cas d un objet ponctuel en rotation uniforme autour d un axe fixe. 1 Présentation

Plus en détail

15 exercices corrigés d Electrotechnique sur la machine à courant continu

15 exercices corrigés d Electrotechnique sur la machine à courant continu 15 exercices corrigés d Electrotechnique sur la machine à courant continu Sommaire Exercice MCC01 : machine à courant continu Exercice MCC02 : machine à courant continu à excitation indépendante Exercice

Plus en détail

Chapitre 4 : Etude Energétique

Chapitre 4 : Etude Energétique Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 4 : Energétique SMPC1 Chapitre 4 : Etude Energétique I Travail et Puissance d une force I.1)- Puissance d une force Soit un point matériel M de vitesse!!/!,

Plus en détail

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux. - Section Orthoptiste / stage i-prépa intensif -

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux. - Section Orthoptiste / stage i-prépa intensif - POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section Orthoptiste / stage i-prépa intensif - 1 Chapitre 10 : Condensateur et circuit RC I. Notions de base en électricité : a) Courant électrique

Plus en détail

Exercice 1 : 3 points

Exercice 1 : 3 points BACCALAUREAT PROFESSIONNEL MAINTENANCE de VEHICULES AUTOMOBILES MATHEMATIQUES (15 points) Exercice 1 : 3 points PARTIE 1 : Détermination du diamètre de la roue La géométrie des trains roulants, désigne

Plus en détail

MODÉLISATION D UNE SUSPENSION DE VOITURE T.D. G.E.I.I.

MODÉLISATION D UNE SUSPENSION DE VOITURE T.D. G.E.I.I. 1. Modèle de voiture MODÉLISATION D UNE SUSPENSION DE VOITURE T.D. G.E.I.I. Un modèle simpli é de voiture peut être obtenu en supposant le véhicule soumis uniquement à la force de traction u dûe au moteur

Plus en détail

CHAPITRE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté

CHAPITRE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté CHAPITE IV Oscillations ibres des Systèmes à plusieurs derés de liberté 010-011 CHAPITE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs derés de liberté Introduction : Dans ce chapitre, nous examinons

Plus en détail

CHAPITRE 2 DES SYSTÈMES LINÉAIRES AUX SYSTÈMES ASSERVIS. 2.1 Systèmes linéaires continus invariants Définition. 2.1.

CHAPITRE 2 DES SYSTÈMES LINÉAIRES AUX SYSTÈMES ASSERVIS. 2.1 Systèmes linéaires continus invariants Définition. 2.1. CHAPITRE 2 DES SYSTÈMES LINÉAIRES AUX SYSTÈMES ASSERVIS 2. Systèmes linéaires continus invariants 2.. Définition Définition : Un système linéaire est un système pour lequel les relations entre les grandeurs

Plus en détail

Moteurs à courant continu Moteurs asynchrones

Moteurs à courant continu Moteurs asynchrones Chapitre 17 Sciences Physiques - BTS Moteurs à courant continu Moteurs asynchrones 1 Loi de Laplace 1.1 Etude expérimentale Le conducteur est parcouru par un courant continu ; il est placé dans un champ

Plus en détail

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives.

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives. L G L G Prof. Éric J.M.DELHEZ ANALYSE MATHÉMATIQUE ÉALUATION FORMATIE Novembre 211 Ce test vous est proposé pour vous permettre de faire le point sur votre compréhension du cours d Analyse Mathématique.

Plus en détail

Le réglage mécanique virtuel

Le réglage mécanique virtuel Le réglage mécanique virtuel Didier LE PAPE [1] Un réglage mécanique est une modification de la configuration d un mécanisme, sans changement de la définition des pièces, réalisée afin de satisfaire une

Plus en détail

CI 2 SLCI : ÉTUDE DU COMPORTEMENT DES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS INVARIANTS

CI 2 SLCI : ÉTUDE DU COMPORTEMENT DES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS INVARIANTS CI 2 SLCI : ÉTUDE DU COMPORTEMENT DES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS INVARIANTS CHAPITRE 2 MODÉLISATION DES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS INVARIANTS TRANSFORMÉE DE LAPLACE TRAVAIL DIRIGÉ Robot Ericc Le robot

Plus en détail

Modélisation du système de la suspension BMW

Modélisation du système de la suspension BMW Problématique Modélisation du système de la suspension BMW La suspension de moto relie le siège et son pilote à la roue arrière de la moto. Les oscillations du sol doivent être absorbées par cette suspension

Plus en détail

MACHINE D EMPILAGE ET DE BROSSAGE DE PLAQUES DE BATTERIE (Banque PT SI1 2003)

MACHINE D EMPILAGE ET DE BROSSAGE DE PLAQUES DE BATTERIE (Banque PT SI1 2003) MACHINE D EMPILAGE ET DE BROSSAGE DE PLAQUES DE BATTERIE (Banque PT SI1 2003) 1.MISE EN SITUATION Le produit Une batterie électrique au plomb est composée de deux électrodes, une anode et une cathode réalisées

Plus en détail

Savoir-faire expérimentaux.

Savoir-faire expérimentaux. LYCEE LOUIS DE CORMONTAIGNE. 12 Place Cormontaigne BP 70624. 57010 METZ Cedex 1 Tél.: 03 87 31 85 31 Fax : 03 87 31 85 36 Sciences Appliquées. Savoir-faire expérimentaux. Référentiel : S5 Sciences Appliquées.

Plus en détail

L oscillateur OSCILLATEUR HARMONIQUE. Chapitre 1. I. Introduction, définitions. I.1. Exemple. I.2. Caractérisation du mouvement

L oscillateur OSCILLATEUR HARMONIQUE. Chapitre 1. I. Introduction, définitions. I.1. Exemple. I.2. Caractérisation du mouvement Chapitre 1 OSCILLATEUR HARMONIQUE harmonique étudié dans ce chapitre est un oscillateur mécanique constitué d un ressort et d une masse. Cet exemple simple permettra L oscillateur d introduire le concept

Plus en détail

E = k. La vitesse est nulle, la FEM E est nulle aussi. Ce = k. Um = E + R Im. 2 π 60 II CONSTITUTION D'UN MOTEUR À COURANT CONTINU

E = k. La vitesse est nulle, la FEM E est nulle aussi. Ce = k. Um = E + R Im. 2 π 60 II CONSTITUTION D'UN MOTEUR À COURANT CONTINU COURS TELN CORRIGÉ STRUCTURE ET FONCTIONNEMENT D'UN MOTEUR À COURANT CONTINU À AIMANT PERMANENT page 1 / 6 A PRÉSENTATION Beaucoup d'appplications nécessitent un couple de démarrage élevé. Le Moteur à

Plus en détail

UE MEMS TP 2 Dimensionnement d un capteur d accéleration et de son circuit de mesure

UE MEMS TP 2 Dimensionnement d un capteur d accéleration et de son circuit de mesure UE MEMS TP 2 Dimensionnement d un capteur d accéleration et de son circuit de mesure Dimitri Galayko 1 Introduction Ce TP représente la première partie du travail de conception d un système complet permettant

Plus en détail

1.1. Remplacer le début des phrases suivantes par : «La tension aux bornes d un(e)» ou «L intensité du courant dans un(e)».

1.1. Remplacer le début des phrases suivantes par : «La tension aux bornes d un(e)» ou «L intensité du courant dans un(e)». BTS 2003 Le problème porte sur l impression de tickets de caisse du système de distribution de cartes d entrée de piscine. Dans la première partie, on étudiera l impression thermique de tickets de caisse,

Plus en détail

Chapitre 3 Les régimes de fonctionnement de quelques circuits linéaires

Chapitre 3 Les régimes de fonctionnement de quelques circuits linéaires Chapitre 3 Les régimes de fonctionnement de quelques circuits linéaires 25 Lechapitreprécédent avait pour objet l étude decircuitsrésistifsalimentéspar dessourcesde tension ou de courant continues. Par

Plus en détail

Cours d électricité. Étude des régimes alternatifs. Mathieu Bardoux. 1 re année. IUT Saint-Omer / Dunkerque Département Génie Thermique et Énergie

Cours d électricité. Étude des régimes alternatifs. Mathieu Bardoux. 1 re année. IUT Saint-Omer / Dunkerque Département Génie Thermique et Énergie Cours d électricité Étude des régimes alternatifs Mathieu Bardoux mathieu.bardoux@univ-littoral.fr IUT Saint-Omer / Dunkerque Département Génie Thermique et Énergie 1 re année Plan du chapitre s sur les

Plus en détail

Les correcteurs accorderont une importance particulière à la rigueur des raisonnements et aux représentations graphiques demandées.

Les correcteurs accorderont une importance particulière à la rigueur des raisonnements et aux représentations graphiques demandées. Les correcteurs accorderont une importance particulière à la rigueur des raisonnements et aux représentations graphiques demandées. 1 Ce sujet aborde le phénomène d instabilité dans des systèmes dynamiques

Plus en détail

Nom :... Prénom :... Section :... No :... Exercice 1 (6 points) EPFL, Physique Générale I SIE & SMX, 2010-2011 Examen 14.01.2011

Nom :... Prénom :... Section :... No :... Exercice 1 (6 points) EPFL, Physique Générale I SIE & SMX, 2010-2011 Examen 14.01.2011 EPFL, Physique Générale I SIE & SMX, 200-20 Examen 4.0.20 Nom :... Prénom :... Section :... No :... Les seuls objets autorisés sont: Le formulaire "résumé mécanique" disponible sur le moodle une feuille

Plus en détail

Laboratoire N 3. Etude des machines asynchrones triphasées à cage d écureuil

Laboratoire N 3. Etude des machines asynchrones triphasées à cage d écureuil Chapitre 3 Laboratoire N 3 Etude des machines asynchrones triphasées à cage d écureuil 1. But du travail L étude des machines asynchrones à cage d écureuil. 2. Les indications pour l exécution du travail

Plus en détail

Concours CASTing 2011

Concours CASTing 2011 Concours CASTing 2011 Épreuve de mécanique Durée 1h30 Sans calculatrice Le candidat traitera deux exercices parmi les trois proposés dans le sujet. Dans le cas où les trois exercices seraient traités partiellement,

Plus en détail

T.P. numéro 27 : moteur asynchrone.

T.P. numéro 27 : moteur asynchrone. T.P. numéro 27 : moteur asynchrone. Buts du TP : le but de ce TP est l étude du moteur asynchrone triphasé. On étudie la plaque signalétique du moteur, puis on effectue un essai à vide et enfin un essai

Plus en détail

Modélisation d'un axe asservi d'un robot cueilleur de pommes

Modélisation d'un axe asservi d'un robot cueilleur de pommes Modélisation d'un axe asservi d'un robot cueilleur de pommes Problématique Le bras asservi Maxpid est issu d'un robot cueilleur de pommes. Il permet, après détection d'un fruit par un système optique,

Plus en détail

M4 OSCILLATEUR HARMONIQUE

M4 OSCILLATEUR HARMONIQUE M4 OSCILLATEUR HARMONIQUE I Modèle de l oscillateur harmonique (O.H.) I. Exemples Cf Cours I. Définition Définition : Un oscillateur harmonique à un degré de liberté x (X, θ,... ) est un système physique

Plus en détail

Test : principe fondamental de la dynamique et aspect énergétique

Test : principe fondamental de la dynamique et aspect énergétique Durée : 45 minutes Objectifs Test : principe fondamental de la dynamique et aspect énergétique Projection de forces. Calcul de durée d'accélération / décélération ou d'accélération / décélération ou de

Plus en détail

1 Préparation : asservissement de position

1 Préparation : asservissement de position EPU ELEC 3 Travaux Pratiques d Automatique n 4 Asservissement de position d un moteur Le but de cette manipulation est d étudier l asservissement de position d un moteur à courant continu. Le châssis comprend

Plus en détail

1 Systèmes triphasés symétriques

1 Systèmes triphasés symétriques 1 Systèmes triphasés symétriques 1.1 Introduction Un système triphasé est un ensemble de grandeurs (tensions ou courants) sinusoïdales de même fréquence, déphasées les unes par rapport aux autres. Le système

Plus en détail

TD16 Machine synchrone et MCC

TD16 Machine synchrone et MCC TD16 Machine synchrone et MCC 161 Machine synchrone simpliste A Travaux Dirigés Un aimant cylindrique allongé peut tourner autour de l'axe passant par son centre et perpendiculaire à son moment magnétique.

Plus en détail

Département de physique

Département de physique Département de physique Etude de la densité spectrale de puissance du bruit thermique dans une résistance Travail expérimental et rédaction du document : Jean-Baptiste Desmoulins (P.R.A.G.) mail : desmouli@physique.ens-cachan.fr

Plus en détail

Machine synchrone autopilotée : application aux asservissements : moteur brushless

Machine synchrone autopilotée : application aux asservissements : moteur brushless Machine synchrone autopilotée : application aux asservissements : moteur brushless Cours non exhaustif destiné aux étudiants de BTS maintenance industrielle (les textes en italiques ne sont pas à être

Plus en détail

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS David Ryckelynck Centre des Matériaux, Mines ParisTech David.Ryckelynck@mines-paristech.fr Bibliographie : Stabilité et mécanique non linéaire,

Plus en détail

MPSI FORMULAIRE LIONEL PORCHERON DANIEL PORCHERON MAGALI DÉCOMBE VASSET. Le Formulaire MPSI

MPSI FORMULAIRE LIONEL PORCHERON DANIEL PORCHERON MAGALI DÉCOMBE VASSET. Le Formulaire MPSI MPSI FORMULAIRE LIONEL PORCHERON DANIEL PORCHERON MAGALI DÉCOMBE VASSET Le Formulaire MPSI Conception et création de couverture : Atelier 3+ Collaboration technique : Thomas Fredon, ingénieur Télécom Bretagne

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Fonctions homographiques On donne ci-dessous deux définitions des fonctions homographiques, et on montre que ces deux définitions sont équivalentes. On décrit la courbe représentative d une fonction homographique.

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Chapitre 5. Le ressort. F ext. F ressort

Chapitre 5. Le ressort. F ext. F ressort Chapitre 5 Le ressort Le ressort est un élément fondamental de plusieurs mécanismes. Il existe plusieurs types de ressorts (à boudin, à lame, spiral etc.) Que l on comprime ou étire un ressort, tel que

Plus en détail

B = (R 2 + (x x c ) 2 )

B = (R 2 + (x x c ) 2 ) PHYSQ 126: Champ magnétique induit 1 CHAMP MAGNÉTIQUE INDUIT 1 But Cette expérience 1 a pour but d étudier le champ magnétique créé par un courant électrique, tel que décrit par la loi de Biot-Savart 2.

Plus en détail

Ce document a été mis en ligne par le Canopé de l académie de Bordeaux pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel.

Ce document a été mis en ligne par le Canopé de l académie de Bordeaux pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel. Ce document a été mis en ligne par le Canopé de l académie de Bordeaux pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel. Ce fichier numérique ne peut être reproduit, représenté,

Plus en détail

Cours d électricité. Dipôles simples en régime alternatif. Mathieu Bardoux. 1 re année: 2011-2012

Cours d électricité. Dipôles simples en régime alternatif. Mathieu Bardoux. 1 re année: 2011-2012 Cours d électricité Dipôles simples en régime alternatif Mathieu Bardoux mathieu.bardoux@univ-littoral.fr IUT Saint-Omer / Dunkerque Département Génie Thermique et Énergie 1 re année: 2011-2012 Plan du

Plus en détail

Le transistor bipolaire

Le transistor bipolaire IUT Louis Pasteur Mesures Physiques Electronique Analogique 2ème semestre 3ème partie Damien JACOB 08-09 Le transistor bipolaire I. Description et symboles Effet transistor : effet physique découvert en

Plus en détail

Cahier de vacances - Préparation à la Première S

Cahier de vacances - Préparation à la Première S Cahier de vacances - Préparation à la Première S Ce cahier est destiné à vous permettre d aborder le plus sereinement possible la classe de Première S. Je vous conseille de le travailler pendant les 0

Plus en détail

Principe de la variation de portée d une grue portuaire

Principe de la variation de portée d une grue portuaire 30t La variation de l angle -α- formé par la flèche et l horizontale engendre la variation de portée du crochet de levage. L angle -α- varie de 20 à 80 soit environ 60. La flèche de 30tonnes est mue au

Plus en détail

Dimensionnement d'un vérin électrique

Dimensionnement d'un vérin électrique Dimensionnement d'un vérin électrique Problématique Pour restituer les mouvements (et les accélérations) d'un vol par exemple, une solution classique est l'architecture appelée plate-fome Stewart. Celle-ci

Plus en détail

4.1 Charges en mouvement - Courant et intensité électriques

4.1 Charges en mouvement - Courant et intensité électriques Chapitre 4 Distributions de courants En électrostatique, les charges restent immobiles. Leur déplacement est à l origine des courants électriques qui sont la source du champ magnétique que nous étudierons

Plus en détail

Fiche technique expérimentale 5. Notions sur l acquisition numérique

Fiche technique expérimentale 5. Notions sur l acquisition numérique Fiche technique expérimentale 5 Notions sur l acquisition numérique D.Malka MPSI 2014-2015 Lycée Saint-Exupéry Ce bref guide traite de quelques éléments important sur l acquisition numérique des signaux

Plus en détail

Cours d électricité. Circuits électriques en courant constant. Mathieu Bardoux. 1 re année

Cours d électricité. Circuits électriques en courant constant. Mathieu Bardoux. 1 re année Cours d électricité Circuits électriques en courant constant Mathieu Bardoux mathieu.bardoux@univ-littoral.fr IUT Saint-Omer / Dunkerque Département Génie Thermique et Énergie 1 re année Objectifs du chapitre

Plus en détail

Automatique Modélisation et commande de systèmes par représentation d état

Automatique Modélisation et commande de systèmes par représentation d état Automatique Modélisation et commande de systèmes par représentation d état Marc BACHELIER - PPS5 October 30, 2013 Abstract Ce cours a pour objectif de faire découvrir des méthodes de conception de commande

Plus en détail

Cours d électrocinétique EC4-Régime sinusoïdal

Cours d électrocinétique EC4-Régime sinusoïdal Cours d électrocinétique EC4-Régime sinusoïdal 1 Introduction Dans les premiers chapitres d électrocinétique, nous avons travaillé sur les régimes transitoires des circuits comportant conducteur ohmique,

Plus en détail