CI-2 : MODÉLISER ET SIMULER LES SYS-

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1 CI-2 : MODÉLISER ET SIMULER LES SYS- TÈMES LINÉAIRES CONTINUS INVARIANTS. Objecifs ANALYSER MODELISER A l issue de la séquence, avec l aide du cours sur les ransformées de Laplace, l élève doi êre capable : A3 : d appréhender les analyses foncionnelle e srucurelle Idenifier les foncions des différens consiuans Repérer les consiuans dédiés aux foncions d un sysème Idenifier la srucure d un sysème asservi : chaine direce, capeur, commande, consigne, comparaeur, correceur Idenifier e posiionner les perurbaions Différencier régulaion e poursuie Idenifier la naure e les caracérisiques des flux échangés Idenifier la srucure d un sysème asservi : chaine direce, capeur, commande, consigne, comparaeur, correceur Idenifier e posiionner les perurbaions Différencier régulaion e poursuie B2 : de proposer un modèle de connaissance e de comporemen Analyser ou éablir le schéma-bloc du sysème Déerminer les foncions de ransfer Linéariser le modèle auour d un poin de foncionnemen Table des maières 1 Inroducion à l auomaique Sysème auomaique Différens ypes d auomaismes Sysème de commande coninu Sysème de commande en chaîne direce Perurbaion Sysème de commande en Boucle fermée (chaîne fermée) Sysème asservi Définiion d un sysème asservi Sysème régulaeur ou suiveur Performances d un sysème asservi Différens ypes de sysèmes Sysème monovariable Sysème invarian Sysème coninu Sysème linéaire Modélisaion des sysèmes linaires coninus invarians Noion de modélisaion Représenaion par schémas blocs Foncion de ransfer associée à un sysème Opéraions sur les schémas blocs FTBO - FTBF Dénominaions complémenaires GERMAIN GONDOR

2 1. INTRODUCTION À L AUTOMATIQUE 2/12 1 Inroducion à l auomaique 1.1 Sysème auomaique Définiions DÉFINITION: Sysème auomaique Sysème assuran des foncions avec peu ou sans inervenion humaine. Il es consiué généralemen d une parie commande (appelée aussi sysème de commande) e d une parie opéraive. DÉFINITION: L auomaique Discipline scienifique raian, d une par, de la caracérisaion des sysèmes auomaisés e d aure par du choix, de la concepion, e de la réalisaion du sysème de commande. Il s agi donc de modéliser le comporemen complexe des sysèmes : réalisan leurs foncions en relaive auonomie, assuran un conrôle des performances par la mise en place possible d une chaîne d acquisiion (boucle de reour) Quelques exemples caracérisiques Conduceur au volan de son véhicule (non auomaique) Le sysème que l homme commande, es sa voiure dans son environnemen (roue, ven, élémen exérieur,...). Les acions sur la direcion, le freinage, l accéléraion son issues de la réflexion de l homme à parir de l observaion, de mesures effecuées par l oeil. Ce n es pas à propremen parler un sysème auomaique car il inègre des composans naurels e manufacurés. Cependan ce sysème présene une srucure de bouclage par l analyse qu effecue le conduceur à chaque insan Piloe auomaique de baeau Le piloe auomaique es un disposiif permean d acionner la barre d un baeau de façon à lui permere de suivre un cap, quelles que soien les perurbaions dues aux vagues, aux courans. Le sysème es le baeau, la commande auomaique es réalisée par les élémens du piloe auomaique. Les acions sur la barre son issues du raiemen algorihmique effecué par la care élecronique comparan les informaions de cap choisi e de cap réel (observaion/boussole). Ces acions son exercées par un aure élémen du piloe appelé acionneur (vérin) Machine à laver Le sysème es la machine commandée par un disposiif auomaique : le programmaeur. Les sysèmes programmés n on pas nécessairemen une srucure bouclée e l auomaisaion pore sur un nombre fini d opéraions prédéerminées. A la

3 2. SYSTÈME DE COMMANDE CONTINU 3/12 différence des exemples précédens, le déroulemen du processus es figé. 1.2 Différens ypes d auomaismes Sysème insanané ou dynamique Lorsqu un sysème es soumis à une variaion brusque de la grandeur d enrée, il peu réagir de façon : Insanané : la sorie es direcemen donnée par l enrée sans aucune noion de emps (sysème insanané). Dynamique : la sorie dépend des valeurs présenes e passées des grandeurs d enrée (sysème dynamique). En réalié, il n exise que peu de sysèmes insananés car ou effe présene une ceraine "inerie " ou "mémoire". L appellaion "sysème insanané" relève donc souven de l approximaion Sysème binaire, sysème coninu Dans le cadre du programme, deux principales sources d informaions conduisan à des paries commandes différenes e pour lesquelles, des modélisaions différenes seron éudiées : à parir d informaions binaires (ou ou rien) : on appelle ces sysèmes des sysèmes logiques combinaoires (les acions dépenden uniquemen de l éa des enrées à l insan considéré) ou logiques séqueniels (les acions dépenden de l éa des enrées à l insan considéré mais aussi aux insans anérieurs). Ils ne conrôlen pas la manière don l ordre a éé exécué. Par ailleurs le nombre d opéraions es fini e prédéerminé. à parir d informaions coninues : ce son des sysèmes coninus. C es l obje de ce cours. 2 Sysème de commande coninu Les sysèmes éudiés dans ce cours son consiués de grandeurs physiques coninues. La grandeur de sorie (mean en jeu généralemen des énergies imporanes) es piloée par la grandeur d enrée ou commande (faible énergie). Il es alors possible de définir une relaion enrée-sorie. L énergie nécessaire à la grandeur de sorie ne provien pas direcemen de la commande. Elle es apporée dans le sysème via un préacionneur (ou amplificaeur). Enérgie Conraine de réglage Flux de maière d œuvre enrane AGIR SUR LA MO EN FONCTION Flux de maière d œuvre sorane Commande Sysème coninu Sorie Vision SADT DE LA COMMANDE Sysème coninu Vision schéma blocs EXEMPLE : Remplissage d un réservoir : une faible énergie nécessaire à la manœuvre du robine perme de commander un sysème impliquan une énergie imporane (débi e pression du fluide). EXEMPLE : Piloage d avion : une acion à faible puissance sur le manche à balai modifie la viesse de l ensemble de l avion (quanié de mouvemen imporane).

4 2. SYSTÈME DE COMMANDE CONTINU 4/ Sysème de commande en chaîne direce DÉFINITION: Chaîne direce : Un sysème foncionne en chaîne direce s il n y a pas de conrôle sur la manière don la consigne a éé exécuée. Commande Correceur Amplificaeur Processus Sorie Ainsi le remplissage du réservoir consiue un sysème en chaîne direce. Lorsque la relaion enre l ouverure d un robine e le débi es connue, il suffi d appliquer oujours la même consigne (ouverure du robine duran un emps donné) pour obenir le même niveau d eau dans un réservoir au remplissage. Lorsque l uilisaeur souhaie un niveau d eau précis, cee commande n es pas idéale car une légère variaion de pression dans le réseau d eau ou quelques fuies peuven perurber le sysème. 2.2 Perurbaion DÉFINITION: Perurbaion Aure cause agissan sur le sysème en plus de la consigne. C es une grandeur d enrée qui n es pas conrôlée. Perurbaion Commande Correceur Amplificaeur Processus Sorie EXEMPLE : Les fuies, l évaporaion ou la pression du réseau son des sources de perurbaions du réservoir. Pour un avion, les vens exérieurs son des perurbaions agissan sur sa direcion. En praique, pour obenir un niveau d eau précis, il suffi de mesurer le niveau e fermer le robine lorsque le niveau (la sorie) correspond à la consigne. 2.3 Sysème de commande en Boucle fermée (chaîne fermée) DÉFINITION: Sysème en boucle fermée Un sysème foncionne en boucle fermée si une mesure de la sorie es réalisée afin de la comparer à la consigne e d agir en conséquence. Commande Correceur Applificaeur Processus Capeur L asservissemen du sysème de commande consise à mesurer la sorie e à uiliser cee informaion pour corriger la grandeur d enrée du processus qui es auparavan amplifiée. Dans beaucoup d exemples de la vie courane, l homme réalise lui même l asservissemen. Mais il es possible de le faire auomaiquemen. Sorie Chaîne fermée réalisée par l homme Conrôle du niveau de réservoir

5 3. SYSTÈME ASSERVI 5/12 3 Sysème asservi 3.1 Définiion d un sysème asservi Un sysème asservi es un sysème : à amplificaion de puissance en boucle fermée DÉFINITION: Sysème asservi Sysème bouclé dans lequel la grandeur de reour es comparée à la grandeur d enrée par élaboraion d un signal, appelé écar. Ce signal écar es adapé e amplifié afin de commander la parie opéraive. Commande Correceur Applificaeur Processus Parie Commande (Sysème de commande) Appor d énergie Capeur Sorie 3.2 Sysème régulaeur ou suiveur On disingue généralemen les sysèmes régulaeurs où la consigne es consane (l asservissemen corrige les effes des perurbaions) e les sysèmes suiveurs où la consigne évolue coninûmen (l asservissemen sui la consigne). EXEMPLE : Un réfrigéraeur es consiué d un sysème régulaeur andis que la fusée Ariane possède un sysème suiveur. e=e 0 régulaeur Sysème e=e() Sysème suiveur 3.3 Performances d un sysème asservi En foncion du régime du sysème (ransioire ou permanen), il es possible de définir quare crières permean de mesurer les performances d un sysème asservi. Tous les graphes ci-dessous représenen l évoluion emporelle de la sorie d un sysème suie à une consigne en échelon (valeur consane imposée) Régime permanen DÉFINITION: Régime permanen Momen où le signal de sorie es éabli (emps longs) Précision DÉFINITION: Précision La précision qualifie l apiude du sysème à aeindre la valeur visée. Sysème peu précis Sysème précis Elle es mesurée par l écar enre la consigne souhaiée e la valeur effecivemen aeine par la grandeur de sorie.

6 3. SYSTÈME ASSERVI 6/ Sabilié DÉFINITION: Sabilié Un sysème es sable si à une enrée bornée correspond une sorie bornée. Sysème insable Sysème presque sable Sysème sable Régime ransioire Rapidié La rapidié es caracérisée par le emps que me le sysème à réagir à une variaion brusque de la grandeur d enrée. Cependan la valeur finale éan le plus souven aeine de manière asympoique on reien alors comme principal crière d évaluaion de la rapidié d un sysème, le emps de réponse à n%. En praique, on uilise le emps de réponse à 5%. 0 1 Sysème plus rapide Sysème plus len DÉFINITION: Temps de réponse à n% Temps mis par le sysème pour aeindre e reser dans une zone définie à±n%de sa valeur de régime permanen Amorissemen Sysème mal amori Sysème foremen amori Sysème bien amori L amorissemen es caracérisé par le rappor enre les ampliudes successives des oscillaions de la sorie. Plus ces oscillaions s aénuen rapidemen, plus le sysème es amori. Pour caracériser la qualié de l amorissemen on peu reenir deux crières : le aux de dépassemen (D), qui caracérise l ampliude maximale des oscillaions, D le emps de réponse à 5% ( 5% ) 0.5 5% Il es à noer que pour ceraines applicaions (l usinage par exemple) un comporemen oscillan n es pas auorisé e ou dépassemen es inaccepable

7 4. DIFFÉRENTS TYPES DE SYSTÈMES 7/12 4 Différens ypes de sysèmes Le cadre de l éude que nous allons nous fixer cee année es celui des sysèmes linéaires coninus invarians monovariables. 4.1 Sysème monovariable DÉFINITION: Sysème monovariable Sysème ne possédan qu une seule enrée e une seule sorie. Bien que les sysèmes auomaisés puissen gérer plusieurs sories en foncion de plusieurs enrées principales, nous nous limierons, pour des raisons de simplicié, aux sysèmes monovariables. Si le sysème doi obligaoiremen foncionner avec plusieurs enrées (ou une enrée e des perurbaions), il sera possible, dans cerains cas, d éudier séparémen la relaion enre la sorie e chacune des enrées, puis de superposer, dans un second emps, les effes de chaque enrée (par linéarié). 4.2 Sysème invarian DÉFINITION: Sysème invarian Sysème don les caracérisiques de comporemen ne se modifien pas dans le emps ("le sysème ne vieilli pas"). Ce n es pas le cas de ous les sysèmes physiques à cause noammen de l usure ou de la faigue. Par exemple, moeur hermique s alère avec le emps. Son comporemen s en rouve modifié Sysème coninu DÉFINITION: Sysème coninu Sysème où les variables d enrée e de sorie son définies pour ou insan. Les signaux son alors dis analogiques. En revanche, dans les sysèmes de commande modernes, l informaion es raiée de façon informaique ce qui nécessie un échanillonnage des signaux. Ce son des sysèmes e des signaux discres. 4.4 Sysème linéaire DÉFINITION: Sysème linéaire Sysème où l effe (signal de sorie) sera oujours proporionnel à la cause (signal d enrée).

8 5. MODÉLISATION DES SYSTÈMES LINAIRES CONTINUS INVARIANTS 8/12 La relaion de comporemen d un sysème linéaire peu se mere sous la forme d une équaion différenielle linéaire à coefficiens consans. Cee propriéé sera à la base des développemens ulérieurs (cf passage dans le domaine symbolique de Laplace) Principe de superposiion Le sysème éan linéaire, le principe de superposiion peu êre appliqué. Soien deux enrées e 1 () e e 2 () donnés e F une foncion linéaire elle que F[e 1 ()]= s 1 () e F[e 2 ()]= s 2 () avec s i (), sories correspondanes. Alors par linéarié de F, (λ,µ) R 2 :F[λ.e 1 ()µ.e 2 ()]=λ.f[e 1 ()]µ.f[e 2 ()]=λ.s 1 ()µ.s 2 () Traiemen des non linéariés La plupar des sysèmes physiques ne son pas linéaires sur oue la oalié de leur domaine d applicaion. Cependan dans de nombreux cas, ils ne son uilisés que sur une plage réduie de leur domaine. Sous ces condiions, il es possible en général d approcher le comporemen par un modèle linéaire. On di alors que le sysème es linéarisé. Appoximaion linéaire Zone d approximaion linéaire Sysème linéaire Sysème non linéaire Sysème linéarisé Quelques non linéariés remarquables Les sysèmes réels présenen des non linéariés. Voici quelques cas rès courammen observés : Dénominaion Sauraion Seuil Hysérésis S S S E Schéma Exemples Buée mécanique, aimanaion, moeur élecrique E Froemen E Jeux mécaniques, maériaux (élasomère) 5 Modélisaion des sysèmes linaires coninus invarians Afin de prévoir le comporemen du sysème, il s agi d êre capable de proposer une équaion relian l enrée e la sorie. Les sysèmes indusriels éan par naure complexes, il convien de décomposer le sysème en sous-sysèmes plus facilemen

9 5. MODÉLISATION DES SYSTÈMES LINAIRES CONTINUS INVARIANTS 9/12 modélisable par un modèle de comporemen ou un modèle de connaissance. Par assemblage des différens modèles, le comporemen global peu êre dédui. 5.1 Noion de modélisaion On disingue rois phases dans la modélisaion : 1. Isoler le sysème éudié en posiionnan la fronière 2. Effecuer une décomposiion en sous-sysèmes plus facilemen exploiable. 3. Éablir un modèle de connaissance ou modèle de comporemen pour chaque sous-sysème. DÉFINITION: Modèle de connaissance Modèle obenu à parir de lois physiques. Cee modélisaion es analyique e possède un sens physique for. DÉFINITION: Modèle de comporemen Modèle dans lequel le sous-sysème es remplacé par une boîe noire. Le comporemen réel es idenifié au mieux à parir de résulas expérimenaux. 5.2 Représenaion par schémas blocs Un sysème sera représené par un schéma bloc ou (schéma bloc foncionnel), dans lequel on pourra disinguer : comparaeur e() ǫ lien BLOC prélèvemen Les blocs : Chaque sous-sysème es représené par une boîe noire (bloc foncionnel). Chaque bloc foncionnel possède une seule enrée e une seule sorie (sysème monovariable). A chaque bloc foncionnel correspond une équaion différenielle linéaire à coefficiens consans : a n. d(n) s() d n...a 1. ds() d a 0.s()=b m. d(m) e() d m...b 1. de() d b 0.e() Suivan la représenaion envisagée, on indiquera à l inérieur du bloc pour : un schéma bloc foncionnel : le nom du composan ou l opéraeur mahémaique associé à un composan pariculier (exemple : l opéraeur pour un inégraeur). un schéma bloc : l équaion mahémaique issue de la ransformaion de Laplace de l équaion différenielle ou appelée encore foncion de ransfer. Les liens : Ils représenen les grandeurs physiques véhiculées dans le sysème. Ils son orienés. Sommaeur ou comparaeur : s() Un sommaeur se représene par un cercle, évenuellemen barré d une croix, auquel abouissen plusieurs flèches affecées d un signe "" ou "-" suivan l enrée considérée e d où par un seul arc représenan la somme algébrique des enrées. x y xy z x xy x y y xyz Poin de dérivaion ou de joncion :

10 5. MODÉLISATION DES SYSTÈMES LINAIRES CONTINUS INVARIANTS 10/12 x x x Poin de dérivaion Un poin de dérivaion es un poin où l on prélève un signal à desinaion d un ou plusieurs organes du sysème de commande. Le signal dans la branche de prélèvemen es le même que celui qui exise dans la branche principale. 5.3 Foncion de ransfer associée à un sysème Le modèle mahémaique (ou modèle dynamique) de comporemen d un sysème monovariable, linéaire, coninu e invarian peu êre décri par une équaion différenielle à coefficiens consans : a n. d(n) s() d n...a 1. ds() d a 0.s()=b m. d(m) e() d m...b 1. de() d b 0.e() avec n>m Supposons que le sysème soi iniialemen au repos e que pour négaif, l enrée e() e ses dérivées successives soien oues nulles. Cee remarque es égalemen vraie pour la sorie s() (condiions iniiales nulles de Heaviside). Les ransformées de Laplace permeen alors de ravailler aisémen avec ce ype d équaion. En effe, nous verrons que pour un sysème respecan les condiions d Heaviside: L [ d n ] f () d n = p n.f(p) Ainsi l équaion différenielle précédene devien: ( an.p n...a 1.pa 0 ).= ( bm.p m...b 1.pb 0 ). DÉFINITION: Foncion de ransfer ou ransmiance On appelle foncion de ransfer ou ransmiance la foncion définie par le rappor foncion de sorie sur foncion d enrée pris dans le domaine symbolique de Laplace. = = m b j.p j j=0 = n a i.p i i=0 L.C. d2 s d2 R.C.ds d s()=u() b m.p m...b 1.pb 0 a n.p n...a 1.pa 0 EXEMPLE : Circui RLC i() > u() [ L.C.p 2 R.C.p1 ].=U(p) R L C s() La ransmiance du sysème es une fracion raionnelle en p. représene le comporemen du sysème indépendammen du signal d enrée. Le schéma bloc dans le domaine de Laplace, défini le modèle mahémaique du sysème : La relaion enrée-sorie du sysème se me sous la forme =. En ordonnan les deux polynômes suivan les puissances croissanes de p, on obien l écriure suivane, encore appelée forme canonique de la foncion de ransfer : = = K p α 1b 1.p...b m.p m 1a 1.p...a n.p n On défini : les pôles : les racines du dénominaeur les zéros : les racines du numéraeur le gain: K la classe du sysème : siα>0 alors p=0 es un pôle du dénominaeur. On di que le sysème compore α inégraeurs.

11 5. MODÉLISATION DES SYSTÈMES LINAIRES CONTINUS INVARIANTS 11/ Opéraions sur les schémas blocs Deux schémas blocs son équivalens si leurs foncions de ransfer globales son égales Transmiances en série Transmiances en parallèle Srucure en boucle fermée H 1 (p) H 2 (p) H 1 (p).h 2 (p) H 1 (p) H 2 (p) M(p) R(p) H 1 (p) H 2 (p) 1.R(p) Déplacemen des poins de joncion e des sommaeurs Les schémas blocs peuven subir des modificaions en vu de les simplifier. La figure monre quelques schémas équivalens. La modificaion de la srucure du schéma a pour inconvénien de perdre le lien enre les enrées/sories du schéma e les grandeurs physiques du sysème éudié Déplacemen des poins de joncion Déplacemen des sommaeurs S 1 (p) S 2 (p) 1 S 1 (p) S 2 (p) E 1 (p) E 2 (p) E 1 (p) E 2 (p) S 1 (p) S 2 (p) S 1 (p) S 2 (p) E 1 (p) E 2 (p) E 1 (p) E 2 (p) 1 REMARQUE: Le sysème bouclé peu êre ransformé en un sysème à reour uniaire 1 R(p) M(p) R(p).R(p) 5.5 FTBO - FTBF Le passage du sysème en boucle ouvere au sysème en boucle fermée es rès imporan. On appelle FT BO la foncion de ransfer en boucle ouvere e FT BF la foncion de ransfer en boucle fermée.

12 5. MODÉLISATION DES SYSTÈMES LINAIRES CONTINUS INVARIANTS 12/ Sysème en boucle ouvere La Foncion de Transfer en Boucle Ouvere (FT BO) es le rappor enre la mesure M(p) e l écarε(p): ε(p) FT BO(p)= M(p) ε(p) = mesure =.R(p) écar ε(p) FT BO(p) =.R(p) M(p) M(p) R(p) Sysème en boucle fermée La Foncion de Transfer en Boucle Fermée (FT BF) es le rappor enre la sorie e l enrée : FT BF(p)= = Sorie Enrée = 1.R(p) FT BF(p)= 1.R(p) R(p) pour un reour non uniaire FT BF(p)= FT BO(p)/R(p) 1 FT BO(p) = 1.R(p) 5.6 Dénominaions complémenaires C(p) A(p) ε(p) B(p) On appelle erreur, la différence enre la consigne C(p) e la sorie. M(p) R(p) e rr ()=c() s() E rr (p)=c(p) Erreur E rr (p)=c(p) Ecar ε(p)= M(p) FTBO FTBF FTCD FT BO(p) = M(p) ε(p) =.R(p) FT BF(p) = C(p) = A(p)..B(p) 1.R(p) FTC = A(p)..B(p) Foncion de Transfer Foncion de Transfer Foncion de Transfer en Boucle Ouvere en Boucle Fermée en Chaîne Direce

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