THÉORIE DES PRIX ARBITRÉS, OUTILS MULTICRITÈRES ET CHOIX DES PORTEFEUILLES

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1 THÉORIE DES PRIX ARBITRÉS, OUTILS MULTICRITÈRES ET CHOIX DES PORTEFEUILLES THÉORIE DES PRIX ARBITRÉS, OUTILS MULTICRITÈRES ET CHOIX DES PORTEFEUILLES Christian Hurson (Université de Rouen) et Nadine Xella-Ricci (Université d Aix-en-Provence) 1 Résumé. On réunit la théorie dite APT et l approche multicritère pour faciliter la composition des portefeuilles. À l aide de l APT, on obtient des portefeuilles efficients et identifie les facteurs de risque mesurables. À l aide de la méthode de surclassement ELECTRE-TRI et du système interactif MINORA, on discerne des portefeuilles performants en s appuyant sur les facteurs de risque de l APT comme critères. Le tout est illustré par un test sur la Bourse de Paris. I. INTRODUCTION Selon les travaux de Markowitz (1952), le portefeuille choisi résulte en théorie d un compromis entre le risque et le rendement. Tout portefeuilliste poursuivrait deux objectifs: maximiser la rentabilité attendue et minimiser le risque. En sont issus le modèle d évaluation des actifs, mieux connu sous le nom de Capital Asset Pricing Model (le CAPM ci-après) et la théorie des prix arbitrés, mieux connue sous le nom de Arbitrage Pricing Theory (Ross, 1976; l APT ci-après). Il s agit de relations d équilibre entre le rendement attendu d un actif et un facteur de risque pour le CAPM classique, et plusieurs facteurs de risque pour l APT. Pour ce qui est du rendement, il a deux composantes: l attendue et l inattendue. Selon l APT, cette dernière dépend d un nombre limité de facteurs de risque commun à tous les titres et d un facteur spécifique à l actif. 1 Christian Hurson est professeur à l Université de Rouen et membre du CREGO. Son adresse est: IAE de Rouen, boulevard Siegfried, Mont Saint Aignan Cedex, France; (tél.: ; fax: ; Nadine Xella- Ricci est à la Faculté d Économie Appliquée et membre du CETFI. Son adresse est: 18, rue de l Opéra, Aix-en-Provence, France; Sa thèse (Xella- Ricci, 1994) a influencé le contenu du présent article. Les auteurs remercient l équipe Finéco pour sa précieuse aide éditoriale. FINÉCO, vol. 8, N o 2, 2 e semestre

2 CHRISTIAN HURSON ET NADINE XELLA-RICCI L APT, contrairement au CAPM, ne dépend pas d un portefeuille de marché et n impose pas un comportement restrictif à l investisseur. Elle permet d expliquer les rendements des actifs en fonction de plusieurs sources de risque et d évaluer efficacement le rendement des portefeuilles. Toutefois, elle ne permet pas de répondre à la question: comment choisir entre portefeuilles efficients? Or, les outils multicritères d aide à la décision permettent de répondre à cette question. De plus, ils prennent en compte les préférences de l investisseur. Notre premier but est d appliquer l APT pour construire un ensemble de portefeuilles efficients afin de déterminer leur rendement attendu et d identifier les différents facteurs communs de risque. Il nous importe ensuite d utiliser les outils multicritères que sont ELECTRE-TRI (Yu, 1992) et le système interactif MINORA (Siskos et al., 1993; Spyridakos et Yannacopoulos, 1995) pour sélectionner des portefeuilles soumis à plusieurs sources de risque. Dans ce qui suit, à la section II, nous présentons l APT et montrons que sa nature multifactorielle se prête à l utilisation des outils multicritères. Notre méthodologie est décrite à la section III tandis que nous l appliquons à la section IV. Enfin, la section V sert de conclusion. II. L APT ET L OUTIL MULTICRITÈRE En théorie financière moderne, on cherche à cerner les flux futurs des actifs par leur niveau attendu et la dispersion autour, donc par leur risque. Trois approches se distinguent:. l analyse fondamentale dans laquelle l actif vaut ses flux attendus actualisés;. l analyse technique qui s appuie sur les récurrences ou patterns dans l évolution des prix, rendements et volumes; et,. l approche issue des travaux de Markowitz (1952) sur la sélection des portefeuilles, avec les modèles et théories qui ont suivi, dont le CAPM et l APT. Le CAPM attribué à Sharpe (1963), Mossin (1966) et Lintner (1965), relie linéairement le rendement attendu de l actif E(R i ) à son risque, dit bêta (β i ), marquant sa sensibilité au mouvement de l économie globale prise comme unique facteur déterminant, soit: E(R i ) = Taux sûr + (Prime de risque) β i (1) Toutefois, le modèle (1) résiste mal aux tests empiriques. Rappelons-nous la critique de Roll (1977) sur sa non testabilité, la mise en évidence de multiples anomalies (liées notamment à la taille des firmes et à des effets saisonniers), l instabilité des paramètres de risque, etc. En bref, la relation d équilibre dans le marché serait mal décrite par le CAPM. D où la nécessité d une meilleure description, dont celle fournie par l APT de Ross (1976). 88 FINÉCO, vol. 8, N o 2, 2 e semestre 1998

3 THÉORIE DES PRIX ARBITRÉS, OUTILS MULTICRITÈRES ET CHOIX DES PORTEFEUILLES L APT propose une relation multifactorielle entre risque et rendement. Elle nécessite moins d hypothèses restrictives que le CAPM. Elle présuppose que le rendement aléatoire, R i, d un actif i (i=1,2,...,n) égale son rendement attendu de base, E(R i ), l inattendu s expliquant par une combinaison linéaire des sensibilités de l actif à des facteurs communs (symboliquement, des β ik à des F k, k=1,2,...,k<<n) et par une valeur résiduelle aléatoire spécifique à la firme de niveau attendu 0. Les facteurs de risque représentent les surprises incontournables auxquelles sont confrontés les investisseurs. On estime que ces surprises s annulent en moyenne à long terme. D où l équation (2) pour l APT: R i = E(R i ) + Σ k b ik F k + e i. (2) L argumentation de Ross veut que l arbitragiste ne soit pas récompensé et que son portefeuille, en proportion w i des écarts de prix perçus ne lui procure aucun enrichissement, ne possède aucun risque bêta et ne génère aucun rendement complémentaire, soit, symboliquement, dans l ordre, (a): Σw i = 0; (b): Σw i b ik = 0; et, (c) Σw E(R i ) = 0. Le raisonnement ci-dessus combiné à l algèbre linéaire permet de démontrer qu un vecteur w des proportions de chaque titre dans le portefeuille d arbitrage est orthogonal à un vecteur de 1 (a), au vecteur des sensibilités B (b) et au vecteur des attentes E (c). Alors le rendement attendu s exprime par une combinaison linéaire d une constante fois 1, plus une constante fois b i1, plus une constante fois b i2 et ceci jusqu à b ik. Ainsi, parvient-on à la relation fondamentale de l APT, soit l équation (2) en version attendue: E(R i ) = λ 0 + Σ k b ik λ k (3) Cette égalité est reliée au terme d erreur du portefeuille d arbitrage. Quand le nombre d actifs, n, s accroît, la variance des erreurs devient négligeable et tend vers zéro d après la loi des grands nombres. Mais cette loi pourrait n être pas suffisante, entre autres difficultés inhérentes au modèle. D où l apport critique de plusieurs auteurs. L argument d arbitrage En considérant l arbitrage comme la capacité de créer des séquences (ou suites) de portefeuilles dans le cadre d une structure factorielle stricte, Huberman (1982) montre que l erreur d évaluation est bornée supérieurement. Puis, Ingersoll (1982) s oriente vers des portefeuilles d arbitrage asymptotiques pour obtenir une borne d évaluation plus faible sans nécessiter la diagonalité de la matrice des variances-covariances. Chamberlain et Rothschild (1983), quant à eux, dérivent une borne supérieure dans le cadre d une structure factorielle approchée. Dans ces structures, l écart d évaluation est fini, mais l amplitude de l erreur est de nature FINÉCO, vol. 8, N o 2, 2 e semestre

4 CHRISTIAN HURSON ET NADINE XELLA-RICCI inconnue. Ainsi, les investisseurs s assurent eux-même contre le risque propre en détenant beaucoup de titres en faible quantité. Mais quel nombre de titres suffit et en quelle quantité? car dans les contextes ci-dessus, on évalue les titres pris globalement, mais on ne dit pas comment l APT évalue chaque titre. L argument d équilibre Une manière de répondre à ces questions est de faire appel à l argument d équilibre où le degré d aversion au risque de l investisseur serait relié: (1) soit à son taux marginal de substitution, pour lequel cas Connor (1982), Dybvig (1982) et Grinblatt et Titman (1982) ont développé une borne inférieure ou supérieure pour l écart d évaluation qui est fonction du degré d aversion pour le risque, de l offre de titres par tête et du risque résiduel; ou (2) soit à la détention d un portefeuille bien diversifié (Shanken, 1982, 1985; Gilles et Leroy, 1991). Connor (1984) a de plus proposé une APT en équilibre compétitif qui s applique en économie tant finie qu infinie avec un mécanisme de diversification différent, à la condition que les investisseurs détiennent un portefeuille bien diversifié. Chen et Ingersoll (1983), pour leur part, exige qu un tel portefeuille soit optimal pour au moins un investisseur riscophobe qui maximise son utilité. L APT fondée sur l équilibre offre une base conceptuelle plus forte que l APT centrée sur l arbitrage en la reliant aux marchés compétitifs. Cependant, la théorie implique un nombre suffisant de titres sans préciser le nombre ou la nature des facteurs de risque (Xella-Ricci, 1994). Le lien entre l APT et l aide multicritère à la décision L APT semble offrir une meilleure description du lien rendement-risque que le CAPM, car elle prend en compte plusieurs sources de risque et l erreur résiduelle est réduite. De plus, l APT normalise et impose moins d hypothèses restrictives que le CAPM quant au comportement riscophobe de l investisseur, quant à la nécessité d intégrer le portefeuille de marché pour évaluer le rendement de chaque titre, etc. Dans la réalité, l investisseur qui désire composer un portefeuille d actions ne se conforme pas forcément aux axiomes classiques, à la Von Neumann-Morgenstern, sur la rationalité du comportement (Allais, 1953; Luce, 1956). On peut même se demander si cette rationalité n est pas limitée et différente d un investisseur à l autre. C est pourquoi il est très intéressant d adapter le modèle aux préférences de l investisseur car chaque individu a ses préférences propres et confronte des risques particuliers. Ainsi, doit-on tenir compte de la spécificité de l investisseur quand il s agit de l aider à composer son portefeuille. Ce constat, qui s applique à tout processus de décision, fonde les méthodes d aide multicritère à la décision. 90 FINÉCO, vol. 8, N o 2, 2 e semestre 1998

5 THÉORIE DES PRIX ARBITRÉS, OUTILS MULTICRITÈRES ET CHOIX DES PORTEFEUILLES En identifiant différentes sources de risque, l APT plaide pour une gestion des portefeuilles de nature multicritère dont le cadre méthodologique est déjà disponible. En effet, grâce à ce cadre, on peut faire le lien entre l évaluation multicritère d un portefeuille d actifs et la recherche d une solution satisfaisant aux préférences de l investisseur. Les méthodes multicritères permettent la prise en compte des objectifs spécifiques de l investisseur et n imposent aucun schéma normatif aux comportements de ses agents. Enfin, la mise en oeuvre des méthodes multicritères permet de synthétiser dans une seule procédure les aspects théoriques et pratiques de la gestion de portefeuille et d utiliser la théorie de manière non normative. Toutefois, cette mise en oeuvre n est pas facilitée tant par la complexité inhérente à la composition de portefeuilles que par l utilisation de critères d origines bien diverses et parfois en opposition. Par contre, l aide multicritère à la décision favo-rise l analyse des compromis entre les critères et permet de gérer l hétérogénéité des échelles de mesure en cause et la nature floue et imprécise des évaluations obtenues. Finalement, l outil multicritère permet, en systématisant le processus de décision, de gagner du temps et d accroître le nombre d actifs candidats, ce qui contribue à l efficience des marchés et à la compétitivité entre agents. L aide multicritère à la décision Rappelons au lecteur peu familier avec l outil multicritère qu il nécessite un travail en 4 étapes: (1) élaboration d un ensemble de décisions et choix de la problématique (rangement, tri, choix,...); (2) élaboration d une famille cohérente de critères présentant des propriétés d exhaustivité, de non redondance et de cohésion; (3) modélisation des préférences du décideur et choix de la méthode d agrégation (ou famille de méthodes); et, (4) application de la méthode retenue. Soulignons, une fois de plus, la complémentarité de l APT et de l outil multicritère dans la recherche d un ensemble de facteurs indépendants expliquant mieux la rentabilité des actifs, qu ils soient des titres ou des portefeuilles. Ci-dessous, nous travaillons avec des portefeuilles afin d obtenir des résultats plus clairs. Leur rangement et leur tri sont au coeur de la problématique. Le rangement permet de répondre à une préoccupation naturelle et commune aux analystes. Quant au tri, il nous sied de l exécuter en fonction de trois catégories seulement: le bon portefeuille, le mauvais et l incertain. Cette catégorisation s accorde bien à la propension chez les portefeuillistes d identifier les portefeuilles intéressants, pas intéressants, ou qui méritent plus d étude. Pour choisir entre les méthodes multicritères disponibles, nous avons dû distinguer entre familles et écoles ou approches. Trois familles se centrent respectivement sur la théorie de l utilité multi-attributs (MAUT), les méthodes de surclassement et les méthodes interactives. Le rattache- FINÉCO, vol. 8, N o 2, 2 e semestre

6 CHRISTIAN HURSON ET NADINE XELLA-RICCI ment des méthodes à des familles n étant pas toujours évident, d aucuns préfèrent les rattacher à d autres approches, dont la descriptive et la constructive 2. L expérience, ainsi que certaines études, nous prédisposent en faveur de l approche constructive. Nous l estimons plus réaliste du fait qu elle s accommode d un décideur ayant des préférences souvent incohérentes, peu structurées, au fil des choix successifs. Selon nous, elle peut mieux aider le décideur à résoudre son problème de choix sans imposer la perspective normative. En gestion des portefeuilles, elle favorise l analyse des compromis et la compréhension des liens rendement-risque complexes. En bref, nous croyons juste d opter pour l approche constructive. Notons que l hypothèse d existence d un ordre s accorde à la nature d une fonction d utilité et sous-entend une complète comparabilité transitive. Ainsi, une méthode interactive comme MINORA paraît être bien adaptée aux problèmes de rangement. Pour les problèmes de tri, une méthode de surclassement comme ELECTRE-TRI nous semble convenir, et d autant plus qu elle admet la présence d intransitivités et d incomparabilités dans les préférences du décideur. III. MÉTHODOLOGIE Voyons notre méthodologie de plus près, d abord en exposant la version de l APT choisie, puis en présentant les deux méthodes multicritères retenues. Méthodologie et APT. Notons que l existence de la structure factorielle dans l équation (2) est une hypothèse alors que l équation (3) est une implication de l APT. Pour tester l APT sur des données du passé, nous avons supposé que les informations pertinentes ne varient pas d une période à l autre et suffisent à déterminer les attentes réelles. Les tests sur l APT visent à connaître le nombre et la nature des facteurs de risque. Déjà, dans les travaux de Merton (1973) en contexte d évaluation intertemporelle, on suggère l existence d au moins deux facteurs dans l économie. Chez Long (1974), et Cox et al. (1985), on suggère des facteurs multiples. Dans l APT, on propose généralement deux méthodes: 2 Les auteurs peuvent fournir une évaluation comparative des familles et approches. On peut aussi lire Roy et Bouyssou (1993) et bien d autres auteurs apparaissant dans la bibliographie en fin d article. 92 FINÉCO, vol. 8, N o 2, 2 e semestre 1998

7 THÉORIE DES PRIX ARBITRÉS, OUTILS MULTICRITÈRES ET CHOIX DES PORTEFEUILLES - soit on établit le nombre de facteurs qui suffisent pour accepter que la matrice des variances résiduelles soit diagonale moyennant divers outils, dont l analyse en composantes principales et l analyse factorielle (Roll et Ross, 1980; Dhrymes et al., 1984, 1985); ou - soit on présume du nombre de facteurs pour tester la validité de l APT (Chen, 1983; Oldfield et Rogalski, 1981; etc.). Pour ce qui est d identifier les facteurs, on adopte souvent des techniques inspirées de Fama et MacBeth (1973) et qui permettent de relier ces facteurs à des variables exogènes. Selon Roll et Ross (1983), plus de la moitié du rendement réalisé résulte de variations inattendues. Les forces systématiques agissant sur le rendement sont celles qui font varier le taux d actualisation et les revenus. Notre démarche d obtention des facteurs pertinents. Nous avons extrait des données boursières de la base SDIB de la Société des Bourses Françaises. Ces données couvrent la période allant de novembre 1983 à septembre Pour chaque titre, on tient compte des dividendes, des variations de capital, etc. Nous en retenons 168 dont les données suffisent à calculer partout le rendement mensuel logarithmique en tenant compte à la fois du cours et du nombre de titres échangés chaque jour pendant le mois, et cela afin d obtenir des cours pondérés pour les portefeuilles à constituer. Quant aux variables macro-économiques candidates à l insertion dans l APT, elles nous viennent de l O.C.D.E. et de l I.N.S.E.E. S y ajoute dans nos tests la variable portefeuille de marché. En première étape, on établit le nombre de facteurs significatifs. On calcule les bêtas, ou sensibilités, par régression liant les rendements issus des observations impaires aux variables macro-économiques candidates. En deuxième étape, on pratique des régressions liant les rendements des portefeuilles (obtenus avec des observations paires) aux bêtas des portefeuilles pour obtenir des primes de risque. La troisième étape applique une batterie de tests (F, t, R 2, etc.) pour déterminer le nombre de facteurs de risque mesurables. Sur les 16 possibilités de regroupement des 168 titres en portefeuille, nous avons opté pour 28 portefeuilles de 6 titres chacun comme le conseillent Gibbons et al. (1986). Ayant testé de multiples combinaisons de facteurs, nous avons retenu le meilleur modèle qui correspond à une APT sur les 12 facteurs du tableau 1. Ces calculs s inspirent de divers travaux sur l inflation ainsi que des études de Chen, Roll et Ross (1986) et de Chan, Chen et Hsieh (1985) sur l APT macroéconomique. MACRO12 correspond au portefeuille du marché français (CAC 240). FINÉCO, vol. 8, N o 2, 2 e semestre

8 CHRISTIAN HURSON ET NADINE XELLA-RICCI TABLEAU 1 Les variables explicatives de l inattendu dans l APT MACRO1 MACRO2 MACRO3 MACRO4 MACRO5 MACRO6 MACRO7 MACRO8 MACRO9 MACRO10 MACRO11 Croissance mensuelle de la production industrielle Croissance annuelle de la production industrielle Inflation inattendue Variation de l inflation attendue Variation de la prime de risque obligataire Variation de la prime de risque au marché (CAC 240) Variation de la structure à terme des taux d intérêt Variation de la balance commerciale Taux de croissance de la monnaie M2 Variation de l indice de marché (logarithmique) Variation de l indice des prix à la consommation NB: Les 11 variables sont utilisées avec: MACRO12: le rendement global du marché selon l indice CAC 240. Passons à nos outils multicritères de rangement et de tri. MINORA. L acronyme signifie Multicriteria Interactive Ordinal Regression Analysis. Il s agit d un outil multicritère interactif qui utilise l algorithme UTA pour ranger les actions envisageables, donc les options de choix. Pour l essentiel, le rangement via MINORA part d un sous-ensemble d options que l évaluateur range selon de multiples critères, et qui débouche, en plusieurs étapes interactives, sur une fonction d utilité additive la plus compatible avec son processus d évaluation. Quant à l interaction, elle prend la forme d une analyse des incohérences entre le rangement par le décideur et celui déduit des fonctions d utilité estimées par UTA. Elle s organise autour de 4 questions posées au décideur: (1) Est-il prêt à modifier son rangement? (2) Désire-t-il modifier le poids d un critère, son échelle ou son utilité marginale (analyse de compromis)? (3) Souhaite-t-il modifier la famille des critères retenus: ajouter, supprimer, modifier, diviser ou réunir certains critères? et (4) Veut-il modifier l ensemble de la formulation du problème? Ces questions renvoient aux étapes correspondantes de MINORA et la méthode s arrête quand un compromis acceptable est déterminé. La fonction résultante est extrapolée sur l ensemble des options de choix pour en obtenir un rangement complet (Siskos et al., 1993; Spyridakos et Yannacopoulos, 1995). Pour le portefeuilliste, MINORA présente deux avantages majeurs. Il fournit un rangement des actifs financiers considérés (titres ou portefeuilles), ce en quoi il rejoint une préoccupation constante chez lui, en plus de fournir une analyse interactive des incohérences. Ainsi lui aide-t-il à construire son propre modèle. De plus, il organise, dans une procédure unique, toute l activité d aide à la décision, de la formulation du problème jusqu au résultat final (un rangement des actifs par ordre de préférence dans le cas de MINORA). En même temps, le portefeuilliste est cons- 94 FINÉCO, vol. 8, N o 2, 2 e semestre 1998

9 THÉORIE DES PRIX ARBITRÉS, OUTILS MULTICRITÈRES ET CHOIX DES PORTEFEUILLES tamment impliqué dans le processus de résolution et peut contrôler son évolution à tout moment. Enfin, notons que la méthode MINORA peut servir dans la résolution de nombreux problèmes de gestion (Zopounidis et al., 1995; Hurson et Zopounidis, 1996) et que les lecteurs de Finéco ont déjà bénéficié d une présentation de MINORA plus complète (Zopounidis, 1993, p ). ELECTRE TRI (ELTRI). Cet outil de tri est une méthode dite de surclassement que nous utilisons pour affecter les options (des portefeuilles) à l une des trois catégories: C1 (non intéressant), C2 (à étudier) et C3 (intéressant). Les catégories y sont délimitées par des profils de référence (un profil bas et un profil haut pour chaque catégorie). Pour trier les portefeuilles, ELTRI compare chacun d entre eux aux profils de référence en utilisant les concepts de seuils de discrimination en vue de construire un indice de concordance, des indices de discordance et finalement une relation de surclassement (Roy et Bouyssou, 1993). En plus, ELTRI recourt à deux procédures (pessimiste et optimiste) pour affecter chaque portefeuille à l une des catégories. Évidemment, l optimiste tend à classer les portefeuilles plus haut et la pessimiste plus bas. Elle convient aussi là où les moyens disponibles sont très contraignants. L optimiste est appliquée quand le décideur veut favoriser l inclusion d options présentant des particularités ou qualités qu il prise. En gestion de portefeuille, la procédure optimiste convient à l investisseur optimiste avec une politique d investissement spéculative par exemple, alors que le portefeuilliste qui gère passivement va préférer la procédure pessimiste. Nous venons de donner, les grandes lignes d ELTRI appliquée à notre contexte de choix. Notons que le présent volume de Finéco comprend plusieurs élaborations sur la méthodologie multicritère de type ELECTRE. IV. UNE APPLICATION SUR LE MARCHÉ FRANÇAIS La formulation multicritère de notre problème Rappelons que notre version de l APT nécessite la régression des douze macro-facteurs du tableau 1 sur les rendements mensuels de divers portefeuilles valopondérés. Dans la version retenue, nous testons l APT avec 28 portefeuilles de 6 titres après avoir suivi les recommandations de Gibbons et al. (1989) et vérifié que ce choix minimise la mesure d erreur classique (comme en témoigne le tableau 2) et maximise, le R 2 ajusté, entre autres précautions. Dans la majorité de nos tests, l explication vient surtout de la constante, de l indice des prix (variable 11) et du portefeuille de marché (12). Sont aussi significatives la prime de risque du marché (6), la croissance mensuelle de la production (1) et la croissance de la monnaie (9). Quant aux critères correspondant aux variables 2, 3, 4, 5, 7 et 8, ils n ont aucune FINÉCO, vol. 8, N o 2, 2 e semestre

10 CHRISTIAN HURSON ET NADINE XELLA-RICCI influence sur nos résultats. En les supprimant, les autres critères deviennent plus significatifs. D où la rétention dans notre étude des variables 1, 6, 9, 11 et 12 et les bêtas y correspondant, ce dont le tableau 3 donne un aperçu. Application d ELTRI En l absence d un vrai décideur (investisseur ou portefeuilliste mandaté) avec lequel appliquer l outil multicritère, nous simulons son comportement. D abord nous catégorisons les portefeuilles en intéressants (C 3 ), à étudier (C 2 ) et non intéressants (C 1 ), puis attribuons un poids (égal) à chaque critère. De plus, pour établir les indices de discordance et de concordance, nous utilisons les profils de référence et les seuils présentés au tableau 4. Concernant ces derniers dans notre contexte d application d ELTRI rappelons: a) que le seuil de discrimination, dit d indifférence, donne la limite en deça de laquelle la différence entre deux portefeuilles est jugée comme non significative (par exemple, une différence inférieure à 0,1 sur le critère bêta 1 au tableau 4.); b) que le seuil dit de préférence donne la différence minimale qu on doit trouver entre deux portefeuilles pour que l un soit strictement préféré à l autre sur le critère en cause (par exemple, la différence 0,5 sur bêta 1 au tableau 4; et, c) que dans la procédure pessimiste le rangement d un portefeuille dans une catégorie peut être interdit dès qu au moins l un des critères favorise le profil bas de sa catégorie par une différence supérieure au seuil de veto (dans notre cas, ce seuil a été rendu inopérant en lui assignant une valeur élevée, vu que nos critères bêtas ont la même signification de sensibilité à une macro-variable et qu on leur attribue la même importance). Le tableau 5 présente les résultats des classements de la méthode ELTRI avec les deux procédures, optimiste et pessimiste. Les portefeuilles de meilleure catégorie (C 3 ) dans les deux classements sont proposés sans hésitation au décideur. Ceux de la pire catégorie (C 1 ) dans les deux classements sont rejetés. Les entre deux ayant des valeurs moyennes sur tous les critères sont à étudier. Là où des portefeuilles appartiennent à différentes catégories selon la procédure optimiste ou pessimiste, cela indique qu ils sont incomparables avec un ou plusieurs profils de référence. Ceux des catégories 2 et 3 (incomparables avec le profil haut) sont considérés comme relativement intéressants. Inversement, ceux des catégories 1 et 2 (incomparables avec le profil bas) sont vus comme relativement non intéressants. Les portefeuilles des catégories 1 et 3 sont incomparables avec les deux profils: ils ont de bonnes valeurs sur certains critères et, simultanément, de mauvaises sur d autres. Aussi, doivent-ils être étudiés comme ceux de la catégorie C 2. Nous voyons ici que la notion d incomparabilité inhérente à la méthode ELTRI génère de l information qui particularise les portefeuilles en termes de risque ou d opportunités intéressantes. 96 FINÉCO, vol. 8, N o 2, 2 e semestre 1998

11 THÉORIE DES PRIX ARBITRÉS, OUTILS MULTICRITÈRES ET CHOIX DES PORTEFEUILLES TABLEAU 2 Composition des portefeuilles et mesure d erreur de prédiction (MEP) classique* RR007: 24 portefeuilles de 7 titres MEP = 0, RR006: 28 portefeuilles de 6 titres MEP = 0, RR004: 42 portefeuilles de 4 titres MEP = 0, * MEP = ( 1 N)Σ( Erreur) 2 NB: Les MEP pour les autres combinaisons possibles avec 168 titres (14 portefeuilles à 12 titres, 21 p. à 8, 56 p. à 3 et 84 à 2) ont des MEP supérieures à celle de RR006 (28 p. à 6). TABLEAU 3 Les critères (ou facteurs bêta de sensibilité) choisis multipliés par 1000* Bêta 1 Bêta 6 Bêta 9 Bêta 11 Bêta CAC240 ou Bêta 12 Portefeuille Portefeuille Bêta 1 Bêta 6 Bêta 9 Bêta 11 Bêta CAC240 ou Bêta 12 P P P P P P P P P P P P * Le tableau complet est disponible auprès des auteurs. TABLEAU 4 Profils de référence, seuils et paramètres bêtas préférentiels Bêta 1 Bêta 6 Bêta 9 Bêta 11 Bêta 12 = β (CAC240) Profil haut Profil bas Seuil d indifférence Seuil de préférence Seuil de veto FINÉCO, vol. 8, N o 2, 2 e semestre

12 CHRISTIAN HURSON ET NADINE XELLA-RICCI TABLEAU 5 Résultats d ELTRI* Catégorie Procédure pessimiste Procédure optimiste 1. Non intéressant P4, P7, P9, P11, P12, P13, P15, P22, P23, P25, P27 2. À étudier P6, P10, P14, P16, P17, P18, P19, P20, P24, P26, P28 P4, P15, P27 P6, P10, P11, P12, P13, P17, P18, P20, P24, P25, P26, P28 3. Intéressant P1, P2, P3, P5, P8, P21 P1, P2, P3, P5, P7, P8, P9, P14, P16, P19, P21, P22, P23 * Niveau de coupe λ adopté = 0,67 (= Proportion minimale de critères favorables). Application de MINORA L application de MINORA nécessite un ensemble de portefeuilles de référence, rangés par ordre de préférence, dont le choix obéit à deux principes: 1) n inclure que des portefeuilles connus de l investisseur pour qu il puisse les ranger, 2) s assurer que les portefeuilles couvrent l ensemble des possibilités pour que l estimation de la fonction d utilité soit efficace. En l absence d un investisseur réel, seul le second principe a été respecté. Pour faciliter la recherche d un ensemble de référence, MINORA calcule les liens entre les différents portefeuilles. Le second principe aidant, nous avons choisi un ensemble de 18 portefeuilles non liés. Pour les ranger, nous avons utilisé les résultats d ELTRI de telle manière: (1) que les portefeuilles affectés à la catégorie C 3 dans les deux procédures prennent le rang 1; (2) que ceux catégorisés C 3 dans la procédure optimiste et C 2 dans la procédure pessimiste prennent le rang 2; (3) que ceux catégorisés C 3 dans la procédure optimiste et C 1 dans la procédure pessimiste, ou C 2 dans les deux cas, prennent le rang 3; (4) que ceux catégorisés C 2 dans la procédure optimiste et C 1 dans la procédure pessimiste prennent le rang 4; et, (5) que ceux catégorisés C 1 dans les deux procédures prennent le rang 5. Ce faisant, on homogénéise les résultats et facilite leur comparaison. Il en a résulté pour nous un ensemble de référence composé des portefeuilles 1, 2, 3 et 8 de rang 1, 16 et 18 de rang 2, 22, 7 et 9 de rang 3, 13 et 11 de rang 4 et 15 et 4 de rang 5. En l occurrence, le système MINORA a donné la fonction d utilité additive suivante: u(g) = 0,043u 1 (bêta 1) + 0,285u 2 (bêta 6) + 0,103u 3 (bêta 9) (8) +0,285u 4 (bêta 11) + 0,284u 5 (bêta 12: CAC) 98 FINÉCO, vol. 8, N o 2, 2 e semestre 1998

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