Moments partiels crédibilistes et application à l évaluation de la performance de fonds spéculatifs

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1 Moments patiels cédibilistes et application à l évaluation de la pefomance de fonds spéculatifs Alfed MBAIRADJIM M. 1 & Jules SADEFO K. 2 & Michel TERRAZA 3 1 LAMETA- Univesité Montpellie 1 et moussa 2 LAMETA- Univesité Montpellie 1 et 3 LAMETA- Univesité Montpellie 1 et Vesion povisoie Résumé. Cet aticle analyse la pefomance des fonds spéculatifs en supposant que les facteus de isque sont des vaiables floues. Dans le but de mesue le isque elatif aux petes, on intoduit la notion de isque de pete est nouvellement intoduite avec la théoie de la cédibilité, et on etudie ses popiétés mathématiques. En se basant su les concepts de moments patiels infeieu et supéieu d ode 1 et 2 des vaiable floues, les vesions cédibilistes des atios de Shape, de Sotino et de Gain-Pete sont intoduites et théoiquement discutées. Des méthodes de simulation numéiques sont ensuite poposées pou pemette de calcule ces nouveaux atios de pefomance. Dans une étude empiique, on pogamme la méthode du maximum d entopies afin d estime les distibutions de cédibilité de quelques fonds spéculatifs fançais évalués pa appot à ces nouvelles mesues de pefomances. Mots-clés. Fonds spéculatifs; Mesue de cédibilité; Moments patiels; Evaluation de pefomance. Abstact. The aim of this pape is to analyze the hedge fund pefomance assuming that the isk factos ae fuzzy vaiable. In ode to measue the isk elating to loss, the notion of downside isk is oiginally intoduced in this pape with cedibility theoy, and thei mathematical popeties ae studied. Based on the concept of upside and downside patial moments of fuzzy vaiable, the cedibilistic vesions of Shape atio, Sotino atio and Gain-Loss atio ae consideed and theoetically discussed. To compute these new pefomance atios, a fuzzy simulation method is pesented. In addition, in the empiical study, we fist implement the maximum entopy methods fo the cedibility distibution estimation and the numeical examples ae given on Fench hedge funds anking. Keywods. Hedge Funds; Cedibility measue; Patial moments; Pefomance Evaluation. 1

2 1 Intoduction Le atio de Shape est l une des mesues le plus communément utilisé pou l évaluation, le classement et la segmentation des fonds spéculatifs. Initialement motivé pa l analyse moyenne-vaiance et le modèle d évaluation des actifs financies (MEDAF), la mesue de Shape est définie comme le appot ente la pime de isque d un investissement et l écat-type de son endement. L analyse moyenne-vaiance et le MEDAF étant soumis à l hypothèse de nomalité de la distibution des endements, l utilisation du atio de Shape devient discutable quand on est en pésence d une distibution asymétique ou caactéisée pa une queue épaisse. Plusieus altenatives ont été poposées dans la littéatue pou emédie à cette limite. Sotino et al. (1991, 1996 et 1999) ont poposé de emplace le taux sans isque pa un seuil choisi pa l investisseu et l écat-type pa la acine caée de la vaiance patielle infeieue des endements. Ils amélioent ce esultat en utilisant pou un seuil fixé, la moyenne patielle supéieue au détiment de la moyenne tanslatée. Pa ailleus, Benado et Ledoit (2000) suggèent d utilise pou un seuil fixé, le appot ente les moyennes patielles supéieues et infeieues des endements pou mesue l attactivité d une oppotunité d investissement. Toutes ces études supposent que les facteus de isques sont des vaiables aléatoies taités pa la théoie des pobabilités. Duant cette denièe décennie, de nombeux checheus ont intoduits la mesue de cédibilité au détiment de celle de pobabilité dans la modélisation en finance quantitative. Ces auteus justifient leu appoche de modélisation pa la difficulté qu a la théoie des pobabilités à taite efficacement l infomation qui povient de données histoiques éelles dont la natue est vague et ambigüe à cause des impefections du maché. Ainsi, plusieus modèles de sélection de potefeuille ont été développés pa des auteus tels Huang (2007, 2008), Qin et al. (2009) Li et al. (2010). Ces denies jugent en effet, qu il est plus aisonnable de suppose que les facteus de isque sont des vaiables floues quand la pofondeu de la base de données d appentissage est limitée. Ces aisons deviennent encoe plus petinentes quand il s agit d une classe d actif financies comme les fonds spéculatifs. En effet, Compte tenu de leu natue pivée et pace qu ils ne sont pas soumis à une églementation sticte, il y a une absence de tanspaence su les activités des géants des fonds spéculatifs. Comme ils ont la possibilité de ne pas ende public leus pefomances, les ésultats jounalies publiés sont souvent sujet à des biais (Elling (2006)). La vaiable floue a été intoduite pa Zadeh (1965) pou décie des événements ne pouvant ête obsevés avec pécision. La mesue de possibilité a été définie pa le meme auteu en 1978 pou evalue les vaiables floues, elle ne véifie pas cependant la popiété d auto-dualité. La mesue de cédibilité intoduite pa Liu (2002) pemet de sumonte cette limite et popose des popiétés similaies à celles de la mesue de pobabilité. 2

3 Nous poposons dans cet aticle d intoduie le nouveau concept de moment patiel infeieu et supéieu d ode 1 et 2 avec la mesue de cédibilité. Ils sont ensuite appliqués à la constuction des atios de Shape, de Sotino, de Gain-Pete cédibilistes. L aticle débute pa une intoduction de la notion des moments patiels en theoie de cédibilité et pa l établissement de quelques popiétés (Section 1). La section 2 intoduit et discute théoiquement les atios de pefomance cédibiliste et la section 3 expose une appoche non-paamétique basée su la méthode des noyaux, qui sea appliquée dans la suite pou l estimation de la distibution de cédibilité des endements des fonds spéculatifs. La section 4 est une coute illustation empiique de la méthode poposée su 10 fonds spéculatifs fançais. La section 5 pésente les conclusions de l aticle. 2 Popiétés des moments patiels cédibilistes d ode 1 et 2 Soit ξ une vaiable floue de fonction d appatenance µ. Pou un sous-ensemble B de R, Liu and Liu (2002) definissent la mesue de cédibilité de ξ B pa C{ξ B} = 1 2 ( sup µ(x) + 1 sup µ(x) x B x B c Pou une vaiable flou, Liu and Liu (2002) ont défini un opeateu d espéance pa appot la mesue de cédibilité comme suit E[ξ] = + 0 C{ξ }d sous evese d existence d une de ces deux intégales au moins. 0 ) (1) C{ξ }d, (2) La distibution de cédibilité Φ(x) : R [0, 1] pou une vaiable floue ξ est définie selon Liu (2004) pa Φ(x) = C{θ Θ ξ(θ) x} (3) et sa fonction de densité coespondante φ : R [0, + ) est telle que Φ(x) = x φ(y)dy, x R, (4) + φ(y)dy = 1 (5) 3

4 Pou une vaiable flou ξ avec une moyenne finie, Liu and Liu (2002) ont définis une vaiance de la manièe suivante V a[ξ] = E[(ξ E[ξ]) 2 ] (6) Afin d intoduie les moments patiels, nous définissons pou un nombe éel et une vaiable floue ξ, les deux vaiables floues suivantes (ξ ) ξ si ξ, = 0 si ξ >. (ξ ) + 0 si ξ, = ξ si ξ >. Pa analogie à la théoie de pobabilité et pou un seuil, nous définissons les moments patiels supéieus et infeieus d ode p espectivement pa M p ξ, () = E[[(ξ ) ] p ] (9) M +p ξ, () = E[[(ξ ) + ] p ] (10) Pou les besoins de note étude, nous nous intéessons dans la suite aux cas coespondants à p = 1, 2. Remaquons que pou p = 2 et = E[ξ], le moment patiel infeieu est la semivaiance intoduite pa Huang(2008) pou la sélection de potefeuille. Pou p = 2, les théoèmes suivants, donnent quelques popiétés des moments patiels (7) (8) Théoeme 2.1 M 2 ξ, () et M +2 ξ, () sont espectivement des fonctions coissantes et décoissantes de. Théoeme 2.2 Pou un éel, M 2 ξ, () = M +2 ξ, () = 0 si et seulement si C{ξ = } = 1. Nous énonçons ensuite le lemme 2.1 qui définit les distibutions de cédibilité des vaiables floues patielles pou un seuil fixé d une classe de vaiable floue. Cette classe compote les vaiables floues les plus communément utilisées dans la littéatue telles que les tiangulaies ou les nomales (voi Liu (2002) pou plus de détails). Lemme 2.1 Soit ξ une vaiable floue continue avec une fonction d appatenance µ ξ. S il existe un point x 0 tel que µ ξ soit coissante su (, x 0 ) et décoissante (x 0, + ), on a alos: 4

5 1. Si x 0 C{(ξ ) µ(x + )/2 si x 0, x} = 1 si x > 0. ; 0 si x 0, C{(ξ ) + x} = µ(x + )/2 si 0 x x 0, (2 µ(x + ))/2 si x > x Si > x 0 µ(x + )/2 si x x 0, C{(ξ ) x} = (2 µ(x))/2 si x 0 < x 0, ; 1 si 0 < x. C{(ξ ) + 0 si x 0, x} = (2 µ(x + ))/2 si 0 < x. En appliquant le lemme 2.1, nous établissons le théoème 2.3 pemettant de calcule les moments patiels d ode 1 et 2. Théoeme 2.3 Soit ξ une vaiable floue avec une fonction d appatenance continue µ ξ et t un nombe éel. Si il existe un point x 0 tel que µ ξ soit coissante ], x 0 ] et décoissante su [x 0, + [, alos 1. (a) si t x 0 Mξ 1 = E[(ξ t) ] = 1 t µ ξ ()d 2 (b) si t > x 0 M +1 ξ (t) = E[(ξ t) + ] = x 0 t 1 2 M 1 ξ (t) = E[(ξ t) ] = x 0 t 1 2 M +1 ξ (t) = E[(ξ t) + ] = 1 2 t x0 t x0 µ ξ ()d µ ξ ()d µ ξ ()d x 0 t µ ξ ()d x 0 µ ξ ()d 5

6 2. (a) si t x 0 (b) si t > x 0 M 2 ξ (t) = t M +2 ξ (t) = (x 0 t) 2 M 2 ξ (t) = (x 0 t) 2 + M +2 ξ (t) = + t ( t)µ ξ ()d x0 t t ( t)µ ξ ()d ( t)µ ξ ()d + x 0 ( t)µ ξ ()d + x 0 x0 ( t)µ ξ ()d ( t)µ ξ ()d Quand les facteus de isque flous sont des vaiables floues quelconques, il devient difficile d obteni la valeu exacte des moments. Pou cela, nous utilisons les méthodes de simulations floues pou les calcule. Pemièement intoduites pa Liu et Iwamua (1998), leu convegence a été pouvée pa Liu (2006). Elles sont ensuite été appliquées avec succès pou la ésolution de nombeux poblèmes d optimisation pa des auteus tels que Liu (2002), Huang (2007, 2007) et Li et al. (2010). Nous adaptons la fome généale poposée pa Liu (2002) à la ésolution de note poblème de calcul de moments patiels dans une section de note aticle. Algoithme 2.1 Etape 1. Initialise β = 0. Etape 2. Génée aléatoiement υ k tels que µ(υ jk ) ɛ pou k = 1, 2,..., K, où ɛ est un nombe suffisamment gand. Etape 3. Détemine les deux nombes a = min (f(x, t, p)), b = max (f(x, t, p)). 1 k K 1 k K Etape 4. Génée aléatoiement un nombe éel de l intevalle [a, b]. Etape 5. Si, alos β β + C{(ξ t) }. Etape 6. Si <, alos β β + C{(ξ t) < }. Etape 7. Répéte les étapes 4 à 6 K fois. Etape 8. Renvoye a 0 + b 0 + β(b a)/k. Si on souhaite calcule M +p ξ (t) alos f(x, t, p) = max{x t, 0} p et f(x, t, p) = min{x t, 0} p pou le calcul de M p ξ (t). 6

7 3 Ratio de pefomance cédibilistes Soit ξ une vaiable floue, f le taux sans isque et t un nombe éel. Tous les atios de pefomance cédibilistes sont intoduits pa analogie à leus homologues pobabilistes. Nous définissons pemièement le atio de Shape cédibiliste comme suit S ξ = E[ξ f] V a[ξ]. (11) En suivant Sotino et van de Mee (1991, 1999) et d autes auteus qui y sont cités, nous poposons une amélioation du atio de Shape pa l intemédiaie du atio de Sotino en emplaçant le taux sans isque pa un seuil t et l écat type pa la acine caé de la vaiance patielle infeieue SoR ξ (t) = E[ξ] t M 2 ξ (t). (12) En emplaçant le numéateu du atio de Sotino pa la moyenne patielle supéieue, nous obtenons le atio du potentiel supéieue (UP R) comme suit Ces deux denies atios sont liés de la manièe suivante Ils sont en oute bonés comme suit 1. 0 UP R ξ (t) 2. 1 SoR ξ (t) UP R ξ (t) = E[(ξ t)+ ] M 2 ξ (t). (13) UP R ξ (t) = SoR ξ (t) E[(ξ t) ]. (14) Dans le polongement de Benado and Ledoit (2000), on évalue l attactivité d une oppotunité d investissement en compaant les moyennes patielles supéieues et infeieues. Cette mesue de pefomance appelée atio de Gain-pete, est fomellement définie pa GLR ξ (t) = E[(ξ t)+ ] E[(ξ t) ]. (15) 7

8 4 Repésentation floue de la entabilité La epésentation floue d une vaiable consiste à assigne une fonction d appatenance à la vaiable a pati d un échantillon obsevé. La gande difficulté de cette epésentation éside dans l absence d une méthode compaable à celle du maximum de vaisemblance en pobabilité. Dans les études évoquées pécédemment dans l intoduction, les auteus font une hypothèse a pioi su les fomes des fonctions d appatenance. Ils choisissent généalement des fomes simples et connues comme la tiangulaie, la gaussienne ou l exponentielle. Nous poposons dans cette étude de mette en uve une méthode nonpaamétique écemment intoduite pa Guo et al. (2007) appelée méthode d estimation pa noyaux du maximum d entopie. Elle débute pa l estimation de la densité de cédibilité qui est successivement utilisée pou appoxime la distibution de cédibilité et la fonction d appatenance et l entopie floue. Cette denièe intoduite pa Liu (2007) pa analogie à l entopie pobabiliste, mesue la quantité d infomation moyenne contenue dans la vaiable. La méthode d estimation pa maximum d entopie peut ête pésentée de la manièe suivante : Soit un échantillon {x 1,..., x n } de longueu n, la densité de cédibilité est définie pa les noyaux de la manièe suivante φ h (x) = 1 nh n i=1 K( x i x ), (16) h où K est un noyau et le paamète h > 0 appelé fenête, égit le degé de lissage. La distibution de cédibilité est ensuite donnée pa ˆΦ ξ (x) = 1 x n K( x i u )du. (17) nh h On en déduit la fonction d appatenance de la manièe suivante: 2 x ni=1 nh K( x i u )du si ˆΦξ (x) < 0.5, h ˆµ ξ (x) = 1 si lim y x ˆΦξ (x) < 0.5 ˆΦ ξ (x) (18) 2 2 x ni=1 nh K( x i u )du si lim ˆΦ h y x ξ (x) 0.5. La fonction objective empiique pou la echeche de la valeu optimale du paamète de lissage h, est définie comme la moyenne des entopies évaluées su les obsevations {x 1, x 2,..., x n },c est à die, J(h x 1, x 2,..., x n ) = 1 n S(C{ξ(θ) = x i }) (19) n L agument ĥ qui maximise la fonction J est choisi comme le paamète optimal. i=1 i=1 8

9 5 Etude empiique Afin de d illuste les mesues de pefomance poposées, nous poposons de éalise une bève étude empiique potant su dix fonds spéculatifs fançais aléatoiement choisis. Les données de l étude sont les séies tempoelles de pix jounalies de clôtues couvant la péiode allant de janvie 2000 à décembe Ces pix sont ensuite utilisés pou calcule les endements en supposant que les dividendes sont nuls. La Table 1 pésente la liste complète des fonds étudiés ainsi que les abéviations utilisées dans l étude. Noms Abev. Noms Abev. AGF Asac Actions Cap/Dis AGFAsAct Coupole IM Monde CoupIM Atout Monde Cap AtoutMond Elite 1818 Monde Oppotunite Elit1818 Baclays Dynamique Oppotunite Dis BacDynOp Finexpansion Intenational Cap/Dis FinInt Cadif Convictions Sectoielles CadConvict Gassoots Gass Chaussie Intenational ChauInt HSBC Actions Intenationales HSBCActInt Table 1: Liste et abéviations des fonds spéculatifs utilisés dans l empiique. On estime les paamètes de lissage optimal en maximisant l entopie en utilisant le noyau gaussien. On en déduit les fonctions d appatenances des endements des fonds spéculatifs considéés qui sont epésentés su la figue 1. Les fonctions d appatenances ont en généale une fome en cloche assez pointue. Elles sont asymétiques et unimodale avec un plus gand degé d appatenance pou les endements négatifs. AGFAsAct AtoutMond BacDynOp CadConvict ChauInt CoupIM Elit1818 FinInt Gass HSBCActInt Figue 1: Fonctions d appatenance des endements des fonds spéculatifs étudiés, estimés pa la méthode des noyaux. 9

10 A pati des fonctions d appatenances estimées, on met en oeuve les méthodes de simulations pésentées à la section 2 pou calcule successivement les moments patiels d ode 1 et 2. La moyenne et la vaiance sont calculées en utilisant les algoithmes décits dans Li et al. (2010). Pou les moments patiels, le seuil est fixé à 2% et on utilise 3000 cycles de simulations numéiques. Les ésultats obtenus (pésentés su le tableau 2) montent que les fonds spéculatifs étudiés à l exception d un seul, sont caactéisés pa des moyennes négatives. Les moments patiels issus des simulations pemettent de calcule les difféents atios de pefomance. Les valeus des atios sont pésentés su la table 3. Cette table popose aussi un classement des fonds pou chaque atio. Ce classement n est cependant qu une simple illustation de l effectivité des outils intoduits. Une analyse plus appofondie de ces outils est à envisage dans le polongement de cet aticle, en les compaants aux outils pobabilistes taditionnels. Fonds Moyenne M 1 ξ (t) M +1 ξ (t) Vaiance M 2 ξ (t) M +2 ξ (t) AGFAsAct -0, , , , , , AtoutMond -0, , , , , , BacDynOp -0, , , , , , CadConvict 0, , , , , , ChauInt -0, , , , , , CoupIM -0, , , , , , Elit1818-0, , , , , , FinInt -0, , , , , , Gass -0, , , , , , HSBCActInt -0, , , , , , Table 2: Les deux pemies moments et moments patiels (pou un seuil de t = 1%) des fonds spéculatifs études. Fonds Shape Sotino UPR GLR Fonds Val. Rang Val. Rang Val. Rang Val. Rang AGFAsAct -0, , , ,119 6 AtoutMond -0, , , ,051 9 BacDynOp -0, , , ,146 3 CadConvict 0, , , ,117 7 ChauInt -0, , , ,267 2 CoupIM -0, , , ,140 4 Elit1818-0, , , ,103 8 FinInt -0, , , ,139 5 Gass -0, , , ,324 1 HSBCActInt -0, , , , Table 3: Les valeus des difféents atios de pefomance accompagnées des classements qui en découlent. 10

11 6 Conclusions Dans cet aticle, nous intoduisons le nouveau concept de moments patiels d ode 1 et 2 de vaiable floue et nous etablissons plusieus de leus popiétés theoiques. Ces moments patiels sont ensuite utilisés pou fomule les vesions cédibilistes de quate mesues ajustées de pefomance (Ratios de Shape, de Sotino et de Gain-Pete). L application de ces atios de pefomance pou le classement de fonds spéculatifs pemet de gée efficacement la natue souvent buitée de leus endements. Pou cela, nous mettons en oeuve une méthode de noyau pou constuie la distibution de cédibilité des endements à pati d un échantillon obsevé. Enfin, en utilisant des méthodes de simulations numéiques, nous illustons nos ésultats theoiques su une base de données fomée de 10 fonds spéculatifs fançais. 11

12 Bibliogaphie [1] Eling, M. (2006). Autocoelation, bias, and fat tails - ae hedge funds eally attactive investments?. Jounal of Deivatives Use, Tading Regulation, 12: [2] Guo, R. Guo, D. Thiat C. Li X. (2007), Bivaiate Cedibility-Copulas. Jounal of Uncetain Systems, , [3] Huang, X. (2007). Potfolio selection with fuzzy etuns. Jounal of Intelligent and Fuzzy Systems, 18, [4] Huang, X. (2008). Mean-semivaiance models fo fuzzy potfolio selection. Jounal of Computational and Applied Mathematics, 217, 1-8. [5] Liu, B. (2002), Theoy and Pactice of Uncetain Pogamming, Physica-Velag, Heidelbeg. [6] Liu, B. Liu, Y.-K. (2002) Expected value of fuzzy vaiable and fuzzy expected value models, IEEE Tans. Fuzzy Systems [7] Liu,B. Iwamua,K.(1998) Chance constained pogamming with fuzzy paametes. Fuzzy Sets and Systems [8] Liu,Y.K.(2006) Convegent esults about the use of fuzzy simulation in fuzzy optimization poblems. IEEE Tansactions on Fuzzy Systems 14 (2) [9] Li, X., Qin, Z. F., Ka, S. (2010). Mean-vaiance-skewness model fo potfolio selection with fuzzy etuns. Euopean Jounal of Opeational Reseach, 202, [10] Qin, Z. F., Li, X., Ji, X. (2009). Potfolio selection based on fuzzy coss-entopy. Jounal of Computational and Applied Mathematics, 228, [11] Shape, W. F. (1964) Capital asset pices: A theoy of maket equilibium unde conditions of isk. Jounal of Finance, 19 (3), [12] Sotino, Fank A. and van de MEER R. (1991). Downside Risk. The Jounal of Potfolio Management, 17(4), [13] Zadeh, L. A. (1975).The concept of a linguistic vaiable and its application to appoximate easoning Infomation and science. 8, [14] Zadeh, L. (1965). Fuzzy sets. Infomation and Contol, 8,

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