Statistiques et probabilités : Loi Normale. Les I.P.R. et Formateurs de l Académie de LILLE

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1 Statistiques et probabilités : Loi Normale Les I.P.R. et Formateurs de l Académie de LILLE

2 Bulletin officiel spécial 8 du 13 octobre 2011

3 Cadre général : loi à densité Définition Une fonction f définie sur R telle que f est positive f est continue l aire du domaine délimité par la courbe C f, courbe représentative de la fonction f et par l axe des abscisses, est égale à 1 est appelée fonction densité ou densité.

4 Cadre général : loi à densité Définition Une fonction f définie sur R telle que f est positive f est continue l aire du domaine délimité par la courbe C f, courbe représentative de la fonction f et par l axe des abscisses, est égale à 1 est appelée fonction densité ou densité. ATTENTION : Toute théorie générale des lois à densité et des intégrales sur un intervalle non borné est exclue.

5 Cadre général : loi à densité Exemple :

6 Cadre général : loi à densité Exemple : cas particulier de la loi Bêta (α = 2 et β = 6)

7 Cadre général : loi à densité Définition - Notation Soient Ω l univers d une expérience aléatoire X une variable aléatoire continue, définie sur Ω, de densité f J est un intervalle de R. La probabilité que X prenne ses valeurs dans l intervalle J, notée P({X J}), est définie comme l aire du domaine suivant {M(x; y) ; x J et 0 y f (x)}

8 Cadre général : loi à densité Définition - Notation Soient Ω l univers d une expérience aléatoire X une variable aléatoire continue, définie sur Ω, de densité f J est un intervalle de R. La probabilité que X prenne ses valeurs dans l intervalle J, notée P({X J}), est définie comme l aire du domaine suivant {M(x; y) ; x J et 0 y f (x)} Réinvestissement du chapitre sur l intégration.

9 Cadre général : loi à densité Exemple :

10 Cadre général : loi à densité Exemple : cas particulier de la loi Bêta

11 Bulletin officiel spécial 8 du 13 octobre 2011

12 Loi normale centrée réduite : densité Capacités attendues : Connaître la fonction de densité de la loi normale et sa représentation graphique.

13 Loi normale centrée réduite : densité Capacités attendues : Connaître la fonction de densité de la loi normale et sa représentation graphique. Définition-Notation Une variable aléatoire continue X suit la loi normale centrée réduite lorsque sa densité f est définie sur R par f (x) = 1 x 2 e 2 2π Notation : N(0, 1)

14 Loi normale centrée réduite : densité Courbe représentative de la densité de la loi normale centrée réduite.

15 Loi normale centrée réduite : densité Courbe représentative de la densité de la loi normale centrée réduite. La densité de la loi normale centrée réduite est une fonction paire

16 Loi normale centrée réduite : densité Courbe représentative de la densité de la loi normale centrée réduite. La densité de la loi normale centrée réduite est une fonction paire sa courbe C f est donc symétrique par rapport à l axe des ordonnées

17 Loi normale centrée réduite : introduction Théorème de de Moivre-Laplace (admis), uniquement en S Soient n un entier naturel non nul p un nombre réel fixé appartenant à l intervalle ]0; 1[ X n une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n; p).

18 Loi normale centrée réduite : introduction Théorème de de Moivre-Laplace (admis), uniquement en S Soient n un entier naturel non nul p un nombre réel fixé appartenant à l intervalle ]0; 1[ X n une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n; p). Alors pour tous nombres réels a et b tels que a < b, b lim P(a n + Zn b) = 1 x 2 e 2 dx a 2π X n n p où Z n est la variable aléatoire définie par Z n =. n p (1 p)

19 Loi normale centrée réduite : introduction Théorème de de Moivre-Laplace (admis), uniquement en S Soient n un entier naturel non nul p un nombre réel fixé appartenant à l intervalle ]0; 1[ X n une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n; p). Alors pour tous nombres réels a et b tels que a < b, b lim P(a n + Zn b) = 1 x 2 e 2 dx a 2π X n n p où Z n est la variable aléatoire définie par Z n =. n p (1 p) Introduction de la loi normale centrée réduite : observation des représentations graphiques des lois

20 Loi normale centrée réduite : introduction Théorème de de Moivre-Laplace (admis), uniquement en S Soient n un entier naturel non nul p un nombre réel fixé appartenant à l intervalle ]0; 1[ X n une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n; p). Alors pour tous nombres réels a et b tels que a < b, b lim P(a n + Zn b) = 1 x 2 e 2 dx a 2π X n n p où Z n est la variable aléatoire définie par Z n =. n p (1 p) Introduction de la loi normale centrée réduite : observation des représentations graphiques des lois Approximation d une loi binomiale par une loi normale généralisation Théorème Centrale Limite

21 Loi normale centrée réduite : introduction Théorème de de Moivre-Laplace (admis), uniquement en S Soient n un entier naturel non nul p un nombre réel fixé appartenant à l intervalle ]0; 1[ X n une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n; p). Alors pour tous nombres réels a et b tels que a < b, b lim P(a n + Zn b) = 1 x 2 e 2 dx a 2π X n n p où Z n est la variable aléatoire définie par Z n =. n p (1 p) Introduction de la loi normale centrée réduite : observation des représentations graphiques des lois Approximation d une loi binomiale par une loi normale généralisation Théorème Centrale Limite ATTENTION à la correction dite de continuité (qui n est pas au programme).

22 Loi normale centrée réduite : propriétés et démonstration Propriété (uniquement en S) A savoir démontrer Pour tout nombre réel α dans l intervalle ]0 ;1[, il existe un unique réel positif u α tel que P( u α X u α) = 1 α où X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

23 Loi normale centrée réduite : propriétés et démonstration Propriété (uniquement en S) A savoir démontrer Pour tout nombre réel α dans l intervalle ]0 ;1[, il existe un unique réel positif u α tel que P( u α X u α) = 1 α où X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Réinvestissement du chapitre sur l intégration.

24 Loi normale centrée réduite : propriétés et démonstration Propriété (uniquement en S) A savoir démontrer Pour tout nombre réel α dans l intervalle ]0 ;1[, il existe un unique réel positif u α tel que P( u α X u α) = 1 α où X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Réinvestissement du chapitre sur l intégration. Réinvestissement du chapitre sur les fonctions.

25 Loi normale centrée réduite : propriétés et démonstration Propriété (uniquement en S) A savoir démontrer Pour tout nombre réel α dans l intervalle ]0 ;1[, il existe un unique réel positif u α tel que P( u α X u α) = 1 α où X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Réinvestissement du chapitre sur l intégration. Réinvestissement du chapitre sur les fonctions. Démonstration :

26 Loi normale centrée réduite : propriétés et démonstration Propriété (uniquement en S) A savoir démontrer Pour tout nombre réel α dans l intervalle ]0 ;1[, il existe un unique réel positif u α tel que P( u α X u α) = 1 α où X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Réinvestissement du chapitre sur l intégration. Réinvestissement du chapitre sur les fonctions. Démonstration : Soit α un nombre réel dans l intervalle ]0; 1[.

27 Loi normale centrée réduite : propriétés et démonstration Propriété (uniquement en S) A savoir démontrer Pour tout nombre réel α dans l intervalle ]0 ;1[, il existe un unique réel positif u α tel que P( u α X u α) = 1 α où X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Réinvestissement du chapitre sur l intégration. Réinvestissement du chapitre sur les fonctions. Démonstration : Soit α un nombre réel dans l intervalle ]0; 1[. On définit la fonction F sur [0; + [ par F (b) = b 0 1 2π e x 2 2 dx

28 Loi normale centrée réduite : propriétés et démonstration Propriété (uniquement en S) A savoir démontrer Pour tout nombre réel α dans l intervalle ]0 ;1[, il existe un unique réel positif u α tel que P( u α X u α) = 1 α où X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Réinvestissement du chapitre sur l intégration. Réinvestissement du chapitre sur les fonctions. Démonstration : Soit α un nombre réel dans l intervalle ]0; 1[. On définit la fonction F sur [0; + [ par F (b) = b 0 1 x 2 e 2 dx 2π F est l unique primitive de la densité f sur [0; + [ qui s annule en 0.

29 Loi normale centrée réduite : propriétés et démonstration (suite) F est continue sur [0; + [

30 Loi normale centrée réduite : propriétés et démonstration (suite) F est continue sur [0; + [ F est strictement croissante sur [0; + [

31 Loi normale centrée réduite : propriétés et démonstration (suite) F est continue sur [0; + [ F est strictement croissante sur [0; + [ F prend ses valeurs dans [0; 1 ] 2

32 Loi normale centrée réduite : propriétés et démonstration (suite) F est continue sur [0; + [ F est strictement croissante sur [0; + [ F prend ses valeurs dans [0; 1 2 ] Comme 0 < α < 1, 0 < 1 α 2 < 1 2.

33 Loi normale centrée réduite : propriétés et démonstration (suite) F est continue sur [0; + [ F est strictement croissante sur [0; + [ F prend ses valeurs dans [0; 1 2 ] Comme 0 < α < 1, 0 < 1 α 2 < 1 2.

34 Loi normale centrée réduite : propriétés et démonstration (suite) F est continue sur [0; + [ F est strictement croissante sur [0; + [ F prend ses valeurs dans [0; 1 2 ] Comme 0 < α < 1, 0 < 1 α 2 < 1 2. Ainsi, d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique nombre réel strictement positif que l on note u α tel que F (u α) = 1 α 2

35 Loi normale centrée réduite : propriétés et démonstration (suite) F est continue sur [0; + [ F est strictement croissante sur [0; + [ F prend ses valeurs dans [0; 1 2 ] Comme 0 < α < 1, 0 < 1 α 2 < 1 2. Ainsi, d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique nombre réel strictement positif que l on note u α tel que F (u α) = 1 α 2 Par symétrie de la courbe C f et par linéarité de l intégrale, le résultat s ensuit.

36 Loi normale centrée réduite : propriétés Propriété (série S) Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. La probabilité que X prenne ses valeurs dans l intervalle [ 1, 96; 1, 96] est telle que : P(X [ 1, 96; 1, 96]) 0, 95 La probabilité que X prenne ses valeurs dans l intervalle [ 2, 58; 2, 58] est telle que : P(X [ 2, 58; 2, 58]) 0, 99

37 Loi normale centrée réduite : propriétés Propriété (série S) Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. La probabilité que X prenne ses valeurs dans l intervalle [ 1, 96; 1, 96] est telle que : P(X [ 1, 96; 1, 96]) 0, 95 La probabilité que X prenne ses valeurs dans l intervalle [ 2, 58; 2, 58] est telle que : P(X [ 2, 58; 2, 58]) 0, 99 Propriété (série ES-L) Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. La probabilité que X prenne ses valeurs dans l intervalle [ 1, 96; 1, 96] est telle que : P(X [ 1, 96; 1, 96]) 0, 95

38 Loi normale centrée réduite : propriétés Propriété (série S) Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. La probabilité que X prenne ses valeurs dans l intervalle [ 1, 96; 1, 96] est telle que : P(X [ 1, 96; 1, 96]) 0, 95 La probabilité que X prenne ses valeurs dans l intervalle [ 2, 58; 2, 58] est telle que : P(X [ 2, 58; 2, 58]) 0, 99 Propriété (série ES-L) Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. La probabilité que X prenne ses valeurs dans l intervalle [ 1, 96; 1, 96] est telle que : P(X [ 1, 96; 1, 96]) 0, 95 Donne une idée de la répartition des valeurs prises par X

39 Loi normale centrée réduite : propriétés Propriété (série S) Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. La probabilité que X prenne ses valeurs dans l intervalle [ 1, 96; 1, 96] est telle que : P(X [ 1, 96; 1, 96]) 0, 95 La probabilité que X prenne ses valeurs dans l intervalle [ 2, 58; 2, 58] est telle que : P(X [ 2, 58; 2, 58]) 0, 99 Propriété (série ES-L) Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. La probabilité que X prenne ses valeurs dans l intervalle [ 1, 96; 1, 96] est telle que : P(X [ 1, 96; 1, 96]) 0, 95 Donne une idée de la répartition des valeurs prises par X Justifie les valeurs utilisées dans le chapitre sur les intervalles de fluctuation.

40 Loi normale centrée réduite : propriétés et illustrations P(X [ 1, 96; 1, 96]) 0, 95 P(X [ 2, 58; 2, 58]) 0, 99

41 Bulletin officiel spécial 8 du 13 octobre 2011

42 Loi normale : définition Définition-Notation Une variable aléatoire continue X suit une loi normale d espérance µ et d écart-type σ si la variable aléatoire continue X µ σ Notation : N(µ, σ 2 ) suit la loi normale centrée réduite.

43 Loi normale : définition Définition-Notation Une variable aléatoire continue X suit une loi normale d espérance µ et d écart-type σ si la variable aléatoire continue X µ σ Notation : N(µ, σ 2 ) suit la loi normale centrée réduite. ATTENTION : la connaissance d une expression algébrique de la densité d une loi normale n est pas un attendu du programme!

44 Loi normale : propriétés Commentaires : On fait percevoir l information apportée par la valeur de l écart-type.

45 Loi normale : propriétés Commentaires : On fait percevoir l information apportée par la valeur de l écart-type. Capacités attendues : Connaître une valeur approchée de la probabilité de certains évènements.

46 Loi normale : propriétés Commentaires : On fait percevoir l information apportée par la valeur de l écart-type. Capacités attendues : Connaître une valeur approchée de la probabilité de certains évènements. Propriétés Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale N(µ, σ 2 ). Alors La probabilité de l événement {X [µ σ; µ + σ]} est telle que P({X [µ σ; µ + σ]}) 0, 68 La probabilité de l événement {X [µ 2σ; µ + 2σ]} est telle que P({X [µ 2σ; µ + 2σ]}) 0, 95 La probabilité de l événement {X [µ 3σ; µ + 3σ]} est telle que P({X [µ 3σ; µ + 3σ]}) 0, 99

47 Loi normale : propriétés et illustration

48 Loi normale : calcul d une probabilité et calculatrices Texas Instrument : T.I. 83 plus La fonction s appelle normalfrép

49 Loi normale : calcul d une probabilité et calculatrices Texas Instrument : T.I. 83 plus La fonction s appelle normalfrép

50 Loi normale : calcul d une probabilité et calculatrices Texas Instrument : T.I. 83 plus La fonction s appelle normalfrép Pour calculer P(a X b) où X suit la loi normale N (µ, σ 2 ),

51 Loi normale : calcul d une probabilité et calculatrices Texas Instrument : T.I. 83 plus La fonction s appelle normalfrép Pour calculer P(a X b) où X suit la loi normale N (µ, σ 2 ), il faut saisir dans cet ordre a, b, µ et σ.

52 Loi normale : calcul d une probabilité et calculatrices CASIO : CASIO Graph 35+

53 Loi normale : calcul d une probabilité et calculatrices CASIO : CASIO Graph 35+ La fonction s appelle Normal C.D.

54 Loi normale : calcul d une probabilité et calculatrices CASIO : CASIO Graph 35+ La fonction s appelle Normal C.D.

55 Loi normale : calcul d une probabilité et calculatrices CASIO : CASIO Graph 35+ La fonction s appelle Normal C.D. Pour calculer P(a X b) où X suit la loi normale N (µ, σ 2 ),

56 Loi normale : calcul d une probabilité et calculatrices CASIO : CASIO Graph 35+ La fonction s appelle Normal C.D. Pour calculer P(a X b) où X suit la loi normale N (µ, σ 2 ), il faut saisir dans cet ordre a, b, σ et µ.

57 Loi normale : calcul d une probabilité et tableurs TABLEURS : Open office ; Excel

58 Loi normale : calcul d une probabilité et tableurs TABLEURS : Open office ; Excel La fonction s appelle LOI.NORMALE

59 Loi normale : calcul d une probabilité et tableurs TABLEURS : Open office ; Excel La fonction s appelle LOI.NORMALE

60 Loi normale : calcul d une probabilité et tableurs TABLEURS : Open office ; Excel La fonction s appelle LOI.NORMALE Pour calculer P(X b) où X suit la loi normale N (µ, σ 2 ),

61 Loi normale : calcul d une probabilité et tableurs TABLEURS : Open office ; Excel La fonction s appelle LOI.NORMALE Pour calculer P(X b) où X suit la loi normale N (µ, σ 2 ), il faut saisir dans cet ordre b, µ, σ et VRAI.

62 Loi normale : exercice Énoncé. La taille exprimée en centimètres d un enfant de dix ans suit la loi normale d espérance 135 (cm) et d écart-type 5,9 (cm).

63 Loi normale : exercice Énoncé. La taille exprimée en centimètres d un enfant de dix ans suit la loi normale d espérance 135 (cm) et d écart-type 5,9 (cm). Déterminer la probabilité qu un enfant de 10 ans mesure moins de 126 cm.

64 Loi normale : exercice Énoncé. La taille exprimée en centimètres d un enfant de dix ans suit la loi normale d espérance 135 (cm) et d écart-type 5,9 (cm). Déterminer la probabilité qu un enfant de 10 ans mesure moins de 126 cm. 1 Etape 1 : on définit la variable aléatoire X qui à un enfant de dix ans (choix aléatoire et équiprobable) associe sa taille en cm.

65 Loi normale : exercice Énoncé. La taille exprimée en centimètres d un enfant de dix ans suit la loi normale d espérance 135 (cm) et d écart-type 5,9 (cm). Déterminer la probabilité qu un enfant de 10 ans mesure moins de 126 cm. 1 Etape 1 : on définit la variable aléatoire X qui à un enfant de dix ans (choix aléatoire et équiprobable) associe sa taille en cm. 2 Etape 2 : on identifie les paramètres de la loi suivie par la variable aléatoire X : la variable aléatoire X suit la loi normale N(135; )

66 Loi normale : exercice Énoncé. La taille exprimée en centimètres d un enfant de dix ans suit la loi normale d espérance 135 (cm) et d écart-type 5,9 (cm). Déterminer la probabilité qu un enfant de 10 ans mesure moins de 126 cm. 1 Etape 1 : on définit la variable aléatoire X qui à un enfant de dix ans (choix aléatoire et équiprobable) associe sa taille en cm. 2 Etape 2 : on identifie les paramètres de la loi suivie par la variable aléatoire X : la variable aléatoire X suit la loi normale N(135; ) 3 Etape 3 : on traduit l énoncé à l aide de la variable aléatoire X : Calculer P(X 126)

67 Loi normale : exercice Énoncé. La taille exprimée en centimètres d un enfant de dix ans suit la loi normale d espérance 135 (cm) et d écart-type 5,9 (cm). Déterminer la probabilité qu un enfant de 10 ans mesure moins de 126 cm. 1 Etape 1 : on définit la variable aléatoire X qui à un enfant de dix ans (choix aléatoire et équiprobable) associe sa taille en cm. 2 Etape 2 : on identifie les paramètres de la loi suivie par la variable aléatoire X : la variable aléatoire X suit la loi normale N(135; ) 3 Etape 3 : on traduit l énoncé à l aide de la variable aléatoire X : Calculer P(X 126) 4 Etape 4 : on interprète géométriquement cette probabilité.

68 Loi normale : exercice

69 Loi normale : exercice P(X 126) = 0, 5 P(126 X 135)

70 Loi normale : exercice P(X 126) = 0, 5 P(126 X 135) = 0, f (x)dx

71 Loi normale et applications Texas Instrument : T.I. 83 plus

72 Loi normale et applications Texas Instrument : T.I. 83 plus CASIO : CASIO Graph 35+

73 Loi normale et applications Texas Instrument : T.I. 83 plus CASIO : CASIO Graph 35+ TABLEURS : Open office ; Excel

74 Loi normale et applications Texas Instrument : T.I. 83 plus CASIO : CASIO Graph 35+ TABLEURS : Open office ; Excel

75 Merci pour votre participation active

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