Mathématiques Appliquées

Transcription

1 1 Mathématiques Appliquées Loïc Cellier Ces notes de cours sont destinées aux étudiants en première année au sein de l'institut Universitaire de Technologie, dont le cursus a pour objectif une spécialisation en Gestion, Logistique et Transport. Ce support de cours propose des bases en techniques quantitatives (dénombrement, probabilités et statistique, et introduction à la nance). Cet enseignement se compose de deux approches : un versant orienté vers les probabilités et les statistiques, avec le dénombrement et la théorie des ensembles, l'étude de probabilités conditionnelles (notion d'indépendance) et de variables aléatoires discrètes, ainsi que le choix et l'étude d'indicateurs statistiques, pour des distributions à une dimension et à deux dimensions ; puis, un autre versant orienté vers les mathématiques nancières, spéci- ques à la gestion d'une entreprise, avec l'étude de décisions d'investissement (intérêt simple, intérêt composé, taux proportionnel et taux actuariel), l'étude de choix d'investissement (valeur actuelle nette, taux de rendement interne, et délai de récupération actualisé), et l'étude de décision de nancement, et d'amortissement des équipements. Ce document est distribué sous la licence CreativeCommons Paternité - Pas d'utilisation Commerciale - Partage des Conditions Initiales à l'identique, version 4.0. Davantage d'information :

2

3 Table des matières 1 Dénombrement, probabilités et statistiques Dénombrement Combinatoire et théorie des ensembles Arrangements, permutations et combinaisons Exercices Probabilités conditionnelles Premières notions et indépendance Formule des probabilités totales Formule de Bayes Exercices Variable aléatoire discrète et lois discrètes usuelles Loi de Bernoulli et loi binomiale Loi de Poisson Loi de Pascal et loi géométrique Loi hypergéométrique Exercices Statistiques et distribution à 1 dimension Distribution à 1 dimension et premières dénitions Paramètres de position Paramètre de dispersion Exercices Statistiques et distribution à 2 dimensions Distribution à 2 dimensions et corrélation linéaire Ajustement linéaire d'une distribution à 2 dimensions Exercices Autres ressources (en ligne) Introduction à la nance Décisions d'investissement Intérêts, capitalisation et actualisation Suites arithmétiques et suites géométriques Intérêts simples et intérêts composés Taux proportionnel et taux actuariel Taux dans les placements bancaires Exercices Critères de choix d'investissement Valeur actuelle nette Taux de rendement interne

4 4 Table des matières Délai de récupération actualisé Cas particuliers Exercices Décisions de nancement Financement par fonds propres Financement par endettement Financement par quasi-fonds propres Structure nancière et coût du capital Exercices Amortissement des équipements Construction de l'information comptable Analyse d'investissement Analyse de ux Analyse de cash-ow Calcul de date Calcul sur les obligations Dépréciation et calcul du point mort Exercices Autres ressources (en ligne) Liste des gures 51 Liste des tableaux 53 Bibliographie 56

5

6 6 Chapitre 1. Dénombrement, probabilités et statistiques Chapitre 1 Dénombrement, probabilités et statistiques

7 1.1. Dénombrement Dénombrement Combinatoire et théorie des ensembles Dans le cadre de la combinatoire, les ensembles étudiés sont nis. Ainsi nous souhaitons dénombrer ( compter) des objets d'un ensemble ni. Soit E n un ensemble de n éléments, alors la quantité n est appelée le cardinal de E n (parfois nous rencontrons les notations : card(ω) = n ou Ω = n). Parfois aussi nous constituons un échantillon E (un sous-ensemble) à p éléments (de taille p, card(e) = p). Pour commencer, il faut souvent, pour la modélisation, savoir s'il est nécessaire ou pas de tenir compte de l'ordre et de la répétition. Dénition 1.1. Pour une disposition sans répétition, on ne peut reprendre un élément déjà choisi, c'est une disposition dans laquelle un élément peut apparaitre 0 ou 1 fois. Dénition 1.2. Pour une disposition avec répétition, nous pouvons reprendre un élément déjà choisi, c'est une disposition dans laquelle un élément peut gurer 0, 1 fois ou plus. Dénition 1.3. Pour une disposition ordonnée, l'ordre d'obtention d'un élément est important. Dénition 1.4. Pour une disposition non-ordonnée, l'ordre d'obtention d'un élément n'est pas important, on ne tient pas compte de l'ordre dans la caractérisation de la disposition. Dans la suite, avec des rappels de théorie des ensembles, nous manipulons des ensembles, et parlons des opérateurs (binaires) union ( ) et intersection ( ) et aussi de l'opérateur (unaire) complémentaire (.). Dénition 1.5. L'union de deux ensembles avec l'opérateur. L'union (parfois aussi appelée la réunion) de deux ensembles A et B, notée A B, correspond à l'ensemble des éléments de A ou (inclusif) de B (autrement dit, les éléments qui appartiennent à l'un, à l'autre ou aux deux). Ainsi l'expression x A B équivaut à l'expression x A ou x B. Dénition 1.6. L'intersection de deux ensembles avec l'opérateur. L'intersection (parfois aussi appelée la partie commune) de deux ensembles A et B, notée A B, correspond à l'ensemble des éléments qui sont dans A et dans B (autrement dit, les éléments appartiennent aux deux). Ainsi l'expression x A B équivaut à l'expression x A et x B. Remarque 1.7. Pour deux événements (A et B), l'intersection de deux événements (A B) est contenue dans la réunion de deux événements (A B). Autrement dit, nous avons l'inclusion suivante : A B A B. Dénition 1.8. Le complémentaire de l'ensemble A représente l'ensemble de tous les éléments qui ne sont pas dans A. Nous notons parfois A. Ainsi l'univers Ω peut être vu comme une bipartition (comme A A = Ω et A A = Ω). Exercice 1.9. Pour chacune des dénitions précédentes, donner des exemples.

8 8 Chapitre 1. Dénombrement, probabilités et statistiques Proposition Propriétés (associativité et distributivités) de et. Soit A, B et C trois ensembles d'événements quelconques, nous avons : A B C = (A B) C = A (B C) (associativité de l'opérateur ) ; A B C = (A B) C = A (B C) (associativité de l'opérateur ) ; A (B C) = (A B) (A C) (distributivité de par rapport à ) ; A (B C) = (A B) (A C) (distributivité de par rapport à ). Proposition Lois de De Morgan. Soit A et B deux ensembles d'événements quelconques, avec leurs complémentaires respectifs (A et B), nous avons : (A B) = A B et (A B) = A B. Exercice Jeux de cartes et Roi de c ur. Prenons un jeu de 52 cartes (4 couleurs 13 hauteurs). Quelle est la probabilité en tirant une carte d'avoir la couleur c ur? Quelle est la probabilité en tirant une carte d'avoir une gure (Roi, Dame ou Valet)? Quelle est la probabilité en tirant une carte d'avoir un Roi? Quelle est la probabilité en tirant une carte d'avoir le Roi de c ur? Exercice Combien existe-t-il de (nombres) pâlindrômes avec 2 chires? avec 3 chires? avec 1001 chires? Exercice Codes secrets d'une valise. Combien de choix possibles pour composer un code (secret) pour une valise équipée d'un verrou à 3 ou 4 chires? Exercice Cordelettes gagnantes. Alice tient dans sa main 6 cordelettes identiques (comme si elle tiennait un bouquet de eurs). Bob remarque les bouts de cordelettes qui dépassent de la main d'alice (6 en haut et 6 en bas). Bob décide de nouer les cordelettes, deux par deux, en haut ; et également en bas (sans savoir si un bout en haut et un autre en bas font partie d'une même cordelette ou non). Finalement Alice lâche toutes les cordelettes de sa main, et on retrouve sur le sol Quelles sont les possibilités qui peuvent être observées? 2. Quelle est la suite la plus probable de cette histoire? Exercice Pour chacune des dénitions suivantes, donner des exemples Arrangements, permutations et combinaisons Dénition Factorielle n. Pour un entier naturel n, nous appelons factorielle n (avec la notation!), le produit suivant : n! = n. Nous avons aussi de manière récursive : n! = n (n 1)! avec, par convention, 0! = 1. Remarquons que ce nombre croît très vite avec n. Lorsque n est grand, nous pouvons approximer factorielle n par la formule de Stirling : n! 2πn( n e )n.

9 1.1. Dénombrement 9 Dénition Arrangements avec répétition. Si nous avons à choisir p éléments parmi n dans une disposition ordonnée (les places sont distinctes) et avec répétition (nous pouvons choisir le même élément plusieurs fois), nous disons que nous avons a un arrangement de p éléments parmi n. (Remarque dans ce cas, il est possible que p > n.) Le nombre de manières de choisir p éléments ordonnés dans E n avec répétition (on est autorisé à reprendre un élément déjà choisi) est : n p. Dénition Arrangements sans répétition. Le nombre de manières de choisir p éléments ordonnés dans E n sans répétition est : A p n = n (n 1)... (n p + 1) = n! (n p)! Attention, impérativement p n. La première expression est le produit descendant de p entiers consécutifs à partir de n. La seconde expression est obtenue en multipliant en haut et en bas la première expression par (n p)!. Dénition Permutations avec répétition. Nous appelons permutation avec répétition de p éléments où n sont distincts (n p), une disposition ordonnée de l'ensemble de ces p éléments où le premier gure p 1 fois, le second p 2 fois, et cetera, tels que p 1 + p p n = p. Le nombre de permutations avec répétitions est : p! p 1!p 2!...p n!. Dénition Permutations sans répétition. Remarquons que c'est un arrangement sans répétition de n éléments parmi n. P n = A n n = n! (n n)! = n! Le nombre de manières d'ordonner (de numéroter) les éléments de E n est : n!. Dénition Combinaisons sans répétition. Le nombre de manières de choisir p éléments non ordonnés dans E n sans répétition est : C p n = Ap n p! = n! p!(n p)!. Exemple : Tirage simultané de p cartes parmi n. C'est aussi le nombre de parties à p éléments dans E n.

10 10 Chapitre 1. Dénombrement, probabilités et statistiques Remarque Les coecients Cn p vérient de plus la formule du binôme. Pour rappel : n (a + b) n = Cna p n k b k. k=0 C'est pour cette raison qu'ils sont aussi appelés coecients binomiaux. Nous invitons à apprécier le triangle de Pascal 1.1 et ses propriétés grâce à la vidéo de Soulé Table 1.1 Coecients binomiaux et triangle de Pascal Proposition Quelques propriétés des coecients C p n. i) C 0 n = C n n = 1 ; ii) C 1 n = n ; iii) Cn p = Cn n p ; iv) Cn p = C p 1 n 1 + Cp n 1 ; v) Cn p = Ap n p!. Dénition Combinaisons avec répétition. Le nombre de manières de choisir p éléments non ordonnés dans E n avec répétition est : Γ p n = C p (n + p 1)! n+p 1 =. p!(n 1)! C'est une disposition non-ordonnée de p éléments, à choisir parmi n éléments indiscernables, avec répétition. Le nombre de combinaisons avec répétitions de n objets pris p à p est : Γ p n = C p (n + p 1)! n+p 1 =. p!(n 1)! Remarquons aussi que nous avons : Γ p n = Γ p 1 n + Γ p n 1.

11 1.2. Probabilités conditionnelles Exercices Exercice Combien d'équipes de football diérentes le sélectionneur français Raymond Dorémi peut-il former avec ses 22 joueurs, dont 3 sont gardiens de but? (Précision ; une équipe se compose de 11 joueurs dont 1 gardien de but). (Notes de solution : Morvan et Morvan [MM08].) Exercice J'ai 4 euro 90 cents en poche. Je dois acheter un gâteau au chocolat à 2 euro 50 cents sachant que j'ai 10 pièces diérentes : 1 pièce de 2 euro ; 2 pièces de 1 euro (une belge et une française) ; 2 pièces de 20 cents (une allemande et une danoise) ; 5 pièces de 10 cents (une belge, une française, une italienne, une allemande et une danoise). Combien ai-je de façons possibles de payer? (Notes de solution : Morvan et Morvan [MM08].) Exercice Béline Nion, chanteuse de renommée internationale, collectionne les chaussures. Elle possède n paires de bottes, mais elle tient absolument à porter une paire dépareillée pendant ses concerts. Combien de possibilités a- t-elle? Traiter le cas pour n = 15. (Notes de solution : Morvan et Morvan [MM08].) Exercice Nous tirons simultanément trois cartes au hasard dans un jeu de 52 cartes bien battues. décrire les résultats possibles de cette expérience aléatoire. Combien y en a-t-il? Calculer la probabilité d'avoir tiré au moins un roi. Calculer la probabilité d'avoir tiré exactement un roi. (Notes de solution : Morvan et Morvan [MM08].) Exercice On met 21 boules numérotées de 1 à 21 dans un chapeau. Jacques prend simultanément 3 boules au hasard. Quelle est la probabilité que parmi les trois boules tirées, il y ait exactement un multiple de 5 et un multiple de 3? (Notes de solution : Morvan et Morvan [MM08].) Exercice La mairie a décidé d'orir 8 ordinateurs aux écoles de sa ville. La distribution se fait de manière aléatoire, de sorte que la probabilité pour chaque ordinateur de se trouver aecté à une école particulière est 1 3. Quelle est la probabilité pour que chaque école reçoive au moins un ordinateur? (Notes de solution : Morvan et Morvan [MM08].) Exercice Le paradoxe du chevalier de Meré. Est-il plus probable pour le Chevalier de Meré d'obtenir 1 as au moins en lançant 4 dés équilibrés que d'obtenir un double as au moins en lançant 24 fois 2 dés équilibrés? (Notes de solution : Morvan et Morvan [MM08].) 1.2 Probabilités conditionnelles Dénition Soit (Ω, T, p) un espace probabilisé et B un événement de probabilité non nulle. La probabilité que l'événement A se réalise, sachant que

12 12 Chapitre 1. Dénombrement, probabilités et statistiques B est réalisé, correspond à : p(a/b) = p(a B). p(b) Nous trouvons aussi la notation : p B (A) = p(a/b). Dénition Deux événements sont indépendants si, et seulement si, p(a B) = p(a) p(b). Nous parlons aussi de probabilité de Bayes. Si nous avons p(a/b) = p(a), cela signie que la probabilité de réalisation de A est indépendante de la réalisation de B Premières notions et indépendance Exercice Problème de Monty Hall. Le jeu oppose un présentateur à un candidat (le joueur). Ce joueur est placé devant trois portes fermées. Derrière l'une d'elles se trouve une voiture (ou tout autre prix magnique) et derrière chacune des deux autres se trouve une chèvre (ou tout autre prix sans importance). Il doit tout d'abord désigner une porte. Puis le présentateur ouvre une porte qui n'est ni celle choisie par le candidat, ni celle cachant la voiture (le présentateur sait quelle est la bonne porte dès le début). Le candidat a alors le droit ou bien de conserver son choix et d'ouvrir la porte qu'il a choisie initialement, ou bien de changer son choix et ainsi d'ouvrir la porte restante qu'il n'a pas choisie initialement. Que doit faire le candidat? Préciser les probabilités des diérentes stratégies. (Notes de solution : Dénition Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat est inconnu à l'avance, ne peut être calculé (par opposition avec une expérience déterministe dont nous pouvons prédire le résultat par un calcul). Dénition L'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire est également appelé l'univers des possibles (parfois encore, référentiel ou ensemble fondamental), nous le notons Ω. Nous parlons aussi de Ω comme l'événement certain (par opposition à l'événement impossible ). Dénition Un événement est une partie de l'ensemble Ω des résultats possibles. Nous disons que l'événement se réalise quand le résultat de l'expérience aléatoire appartient à (tombe dans) cette partie. Dénition Un événement est élémentaire s'il ne contient qu'un seul élément. (C'est un singleton.) Deux événements A et B sont incompatibles lorsque leur intersection correspond à l'ensemble vide (A B = ), s'ils ne peuvent pas se réaliser simultanément. Dénition L'ensemble T des événements est donc inclus dans l'ensemble P (Ω) des parties de Ω. Il est souvent, mais pas toujours, égal à tout P (Ω) ; certaines parties pourraient ne pas pouvoir être décrites par une phrase concrète. Trois conditions sont à vérier. 1. La collection T est stable par réunion et par intersection.

13 1.2. Probabilités conditionnelles La collection T est stable par passage au complémentaire. 3. La collection T contient : l'événement impossible ; l'événement certain Ω. La collection T des événements, munie des lois (réunion), (intersection) et. (passage au complémentaire) satisfaisant les trois propriétés ci-dessus est appelée tribu. (C'est une algèbre de Boole.) Sauf mention contraire, les notations précédentes sont conservées pour les prochains énoncés. Dénition Une loi de probabilité p est une application de T vers [0, 1] qui vérie l'axiomatique suivante (axiomatique de Kolmogorov, trois propriétés à satisfaire). 1. Pour tout événement E, la probabilité est comprise entre 0 et 1. 0 p(e) La probabilité est maximale et égale à 1 pour l'événement certain : p(ω) = Pour tout couple d'événements A et B incompatibles, A B =, la probabilité de leur réunion est égale à la somme de leurs probabilités respectives. p(a B) = p(a) + p(b). Remarque De ces propriétés caractérisant une loi de probabilité, nous pouvons déduire d'autres propriétés (ici, quatre conséquences). La probabilité de l'événement impossible est minimale et égale à 0. p( ) = 0. Pour deux événements, A et B, quelconques, la probabilité de leur réunion correspond à la somme de leurs probabilités respectives à laquelle nous retranchons la probabilité de leur intersection ; l'égalité de Poincaré : p(a B) = p(a) + p(b) p(a B). La probabilité du complémentaire de A correspond à la diérence entre la probabilité de l'événement certain et la probabilité de A. p(a) = 1 p(a). Pour tout événement A inclus dans l'événement B, la probabilité de A est inférieure ou égale à la probabilité de B ; l'inégalité de Boole : A B implique p(a) p(b).

14 14 Chapitre 1. Dénombrement, probabilités et statistiques Remarque Le but d'une telle application p est de mesurer les chances qu'un événement se réalise (estimer la vraisemblance d'un événement). Il y a beaucoup de lois de probabilités sur un même ensemble d'événements. C'est l'expérimentation statistique (nous eectuons et renouvellons l'expérience aléatoire un très grand nombre de fois, et nous notons la fréquence de réalisation d'un événement) qui permet de savoir si la loi choisie est en adéquation avec la réalité (observée et/ou observable). Dénition Un espace probabilisé (Ω, T, p) est la donnée de trois objets : Ω un ensemble de résultats possibles d'une expérience aléatoire, T un ensemble d'événements, et p une loi de probabilité sur cet ensemble Formule des probabilités totales Elle permet de calculer la probabilité d'un événement B à partir de probabilités conditionnelles. Si la collection de parties {A 1, A 2,..., A n } forme une partition de Ω. Autrement dit, avec n i=1a i = Ω et que les événements sont deux à deux disjoints : Alors nous avons la relation : i j A i A j =. p(b) = Σ n i=1 p(b/a i ) p(a i ). En particulier, pour une bipartition, si la partition n'est formée que de deux parties, A et A (l'événement complémentaire de A), nous avons : Formule de Bayes p(b) = p(b/a)p(a) + p(b/a)p(a) Cette formule permet de calculer p(a/b) connaissant p(b/a) et p(b/a). p(a/b) = p(b/a)p(a) p(b) Exercices = p(b/a)p(a) p(b/a)p(a) + p(b/a)p(a). Exercice Pierre et Paul jouent à pile ou face avec une pièce équilibrée. Montrer que les trois événements suivants sont indépendants deux à deux, mais qu'ils ne sont pas mutuellement indépendants. La pièce du premier joueur tombe sur pile. La pièce du second joueur tombe sur face. Les deux pièces tombent du même côté. (Notes de solution : Morvan et Morvan [MM08].) Exercice On lance au hasard trois dés équilibrés. Déterminer la probabilité d'obtenir un 2, sachant que le résultat du lancer a donné 3 nombres diérents. (Notes de solution : Morvan et Morvan [MM08].)

15 1.3. Variable aléatoire discrète et lois discrètes usuelles 15 Exercice Un hôpital teste un médicament. 15% des patients ont contracté une maladie M et 8% des patients prennent un médicament test. 1. Quelle est la probabilité qu'un patient soit malade et prenne un médicament. (a) dans le cas où la prise de médicament et la contraction de la maladie sont des événements indépendants. (b) dans le cas où la probabilité de la contraction de la maladie est de 4% lorsque nous avons pris le médicament. 2. Quelle est la probabilité qu'un patient n'ait pas pris de médicament et ne soit pas malade? (Notes de solution : Morvan et Morvan [MM08].) Exercice Le problème du parapluie perdu. Un jour d'orage, un camelot fait du porte à porte dans trois immeubles I 1, I 2 et I 3. Il visite tous les appartements, en repart... et s'aperçoit qu'il a oublié son parapluie. Il se rend dans l'immeuble I 1, qui se compose de n étages, et se rend compte que son parapluie ne se trouve pas dans l'un des (n 1) premiers étages. Quelle est la probabilité que le parapluie se trouve au n ième étage de I 1? Nous ferons les hypothèses (naturelles) suivantes : les probabilités que le parapluie se trouve dans I 1, I 2 ou I 3 sont égales, si le parapluie est dans I 1, les probabilités qu'il se trouve dans les étages E 1, E 2,... ou E n sont égales. (Notes de solution : Morvan et Morvan [MM08].) Exercice Le problème de la météo. Au village de Saint Amand, il fait beau 5 jours par semaine. Pour connaître le temps qu'il fera, nous avons 2 sources d'information : la météo nationale, qui a raison à 95% ; le plus vieux paysan du village, qui a raison à 90%. La météo annonce du mauvais temps, et le paysan du beau temps. Nous supposons que la météo et le paysan font leurs prévisions indépendamment l'un de l'autre, qu'il fasse beau le lendemain ou non. Quel est le temps le plus probable? (Indication : Soigner la modélisation. Utiliser la formule de Bayes.) (Notes de solution : Morvan et Morvan [MM08].) 1.3 Variable aléatoire discrète et lois discrètes usuelles Une distribution statistique associe à une valeur (ou un intervalle de valeurs) d'une variable statistique sa fréquence d'apparition à partir de résultats observés. Nous souhaitons introduire une notion analogue mais probabiliste : la fréquence d'apparition du résultat est remplacée par la probabilité d'apparition du résultat attendu. Nous allons donc introduire des variables probabilistes (nous disons plutôt variables aléatoires) avec leur distribution de probabilités (on dit plutôt loi de probabilité). Dénition Soit (Ω,T,p) un espace probabilisé. Une variable aléatoire réelle sur cet espace est une application qui à chaque élément de Ω (c'est à dire à

16 16 Chapitre 1. Dénombrement, probabilités et statistiques chaque résultat d'une expérience aléatoire) associe une donnée numérique réelle, avec les notations : X : Ω R. On demande seulement que l'image inverse d'un intervalle par X soit un événement, an de pouvoir évaluer la probabilité par p. La variable aléatoire est dite discrète si elle ne peut prendre ses valeurs que dans un ensemble discret (une suite de valeurs isolées). Elle est dite continue lorsqu'elle peut prendre ses valeurs dans tout un intervalle de R. Exemple (discret). Nous reprennons le lancé de deux dés. Nous posons : X({i, j}) = i + j. Sur la même expérience nous aurions pu considérer d'autres variables aléatoires (produit, diérence des valeurs des dés,...). Exemple (continu). Le test des trois ampoules électriques. Si nous nous intéressons à la durée de vie moyenne, la variable aléatoire naturelle est ici : X(x, y, z) = 1 3 (x + y + z). Dénition Loi de probabilité d'une variable aléatoire réelle X. Dans le cas discret, il s'agit de la donnée des p(x = i), expression qui désigne la probabilité de l'événement formé de tous les résultats ω sur lesquel X prend la valeur i : p(x = i) := p({ω Ω, X(ω) = i}). De même, pour le cas continu, p(i X j) est la probabilité de l'événement dont les éléments prennent par X une valeur entre i et j : p(i X j) := p({ω Ω, X(ω) [i, j]}). Exercice Concernant l'exemple de deux dés muni de la variable aléatoire X : somme des deux dés, calculer (en précisant l'événement correspondant) : p(x = 4), puis calculer p(x < 5). Dénition Fonction de répartition de X. C'est une fonction dénie par : F (a) = p(x < a). Elle est croissante de 0 à 1 et permet de trouver la probabilité de n'importe quel événement par : p(x a) = 1 F (a), p(a X b) = F (b) F (a). Exercice Pour une variable aléatoire discrète, c'est une fonction en escalier qui prend la valeur p p k sur l'intervalle ]x K, x k+1 ] Loi de Bernoulli et loi binomiale Dénition Loi de Bernoulli. Nous l'utilisons dès qu'une situation est analogue au modèle suivant : nous considèrons une urne avec des boules blanches en proportion p et noires en proportion q = 1 p. On tire une boule. Nous posons : X = 1 si la boule est blanche, X = 0 sinon. La loi de probabilité de cette variable aléatoire est : p(x = 1) = p, et p(x = 0) = q.

17 1.3. Variable aléatoire discrète et lois discrètes usuelles 17 Dénition Loi binomiale. Le modèle correspondant est le suivant : dans la même urne, on tire n boules avec remise. X est le nombre de boules blanches obtenues. Nous allons montrer que pour tout k entre 0 et n, p(x = k) = C k np k q n k. Remarque Si le nombre de boules dans l'urne est très grand et le nombre de tirages petit, nous pourrons considérer que le fait de remettre ou non les boules change peu le résultat. Nous pourrons alors utiliser la loi binomiale même s'il n'y a pas de remise Loi de Poisson Dénition Loi de Poisson. Nous utilisons dans une situation consistant à compter le nombre d'événements (appels téléphoniques, passage d'une voiture, accidents,...) pendant une durée donnée. La variable X est le nombre d'événements apparus pendant cette durée. Nous avons pour tout k 0 : où λ est un paramètre positif xé. λ λk p(x = k) = e k!, Loi de Pascal et loi géométrique Dénition La loi de Pascal, ou la loi géométrique quand r = 1. Dans la même urne, on tire maintenant des boules avec remise jusqu'à obtenir r boules blanches (r xé). Soit X le nombre de tirages nécessaires pour obtenir r boules blanches. Nous avons pour tout k r : p(x = k) = C r 1 k 1 pr q k r Loi hypergéométrique Dénition Loi hypergéométrique. C'est le même modèle que pour la loi binomiale, mais nous faisons les n tirages sans remise. La variable X est encore le nombre de boules blanches obtenues. Soit a le nombre de boules blanches dans l'urne, b le nombre de boules noires, a + b le nombre total. Nous avons (en raisonnant sur le nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles) : p(x = k) = Ck a C n k b Ca+b n. Remarque Contrairement à la loi binomiale, l'utilisation de cette loi nécessite la connaissance du nombre total a + b d'éléments dans l'urne. Exercice Une machine fabrique 2% de pièces défectueuses. On prélève un échantillon de 50 pièces. Repérer la loi de probabilité qui modélise cette situation, puis déterminer la probabilité qu'il contienne :

18 18 Chapitre 1. Dénombrement, probabilités et statistiques Figure 1.1 La planche de Galton : les empilements de billes rouges correspondent à la fonction de masse de la loi binomiale, la courbe bleue correspond à la densité de la loi normale (source : wikipédia : loi binomiale).

19 1.3. Variable aléatoire discrète et lois discrètes usuelles 19 Figure 1.2 Densité de probabilité (ou fonction de masse) La courbe rouge représente la fonction ϕ, densité de probabilité de la loi normale centrée réduite. (source : wikipédia : loi binomiale). deux pièces défectueuses ; une ; aucune. 2. On tire 10 cartes dans un jeu de 52 cartes. Repérer la loi de probabilité qui modélise cette situation, puis déterminer la probabilité d'obtenir 3 c urs. 3. Le nombre d'accidents suit une loi de Poisson de paramètre 2. Quelle est la probabilité que dans une journée donnée il y ait : aucun accident? 2 accidents? 4 accidents? Nous discutons à présent des paramètres d'une variables aléatoire discrète. Ils sont analogues aux paramètres de position ou dispersion d'une distribution statistique, en remplaçant les fréquences f i par les probabilités p i = p(x = i) : Dénition Espérance mathématique de X (appelée aussi moyenne probabiliste (théorique)). Nous faisons la moyenne des valeurs x i, i I en les pondérant par leur probabilité d'apparition p i = p(x = i) : E(X) = Σ i I p i x i. Dénition Écart-type de X. Posons x = E(X). Nous mesurons la dispersion des valeurs de X autour de x par le paramètre : σ = Σ i I p i (x i x) 2 = (Σ i I p i x 2 i ) x2. Dénition Son carré est aussi appelé variance de X. La variable centrée est X = X x. Sa moyenne est nulle. La variable centrée réduite est Y = X x σ. Sa moyenne est nulle et son écart-type vaut 1.

20 20 Chapitre 1. Dénombrement, probabilités et statistiques Exercice Calculer l'espérance et la variance de la loi de Bernoulli. Plus généralement, indiquons les paramètres des lois usuelles dans le tableau récapitulatif suivant. Espérance Variance Loi de Bernoulli p pq Loi binomiale np npq Loi de Poisson λ λ r rq Loi de Pascal p p 2 Loi hypergéométrique np npq( a+b n a+b 1 ) Table 1.2 Variable discrète, paramètres des lois usuelles. Remarque Dans le cas d'une loi de Poisson, la connaissance de E(X) détermine le paramètre λ. Nous discutons à présent de couple de variables aléatoires discrètes. Nous avons étudié en statistique descriptive des distributions à deux dimensions et leurs relations ou indépendance. Nous allons reprendre ces notions pour des distributions de probabilités. Nous considérons une expérience aléatoire décrite dans un espace probabilisé (Ω, T, p) pour laquelle, à chaque résultat ω de l'expérience, nous associons deux nombres X(ω) et Y (ω). Dénition Si le couple de variables prend des valeurs discrètes, alors sa loi de probabilité est la donnée de toutes les probabilités (avec les notations, la virgule doit être lue comme un et) : p ij = p(x = i, Y = j). Dénition La fonction de répartition du couple est : F (i, j) = p(x < i, Y < j). Dénition Les lois marginales sont obtenues en sommant sur toutes les valeurs d'une des deux variables. Elles permettent de calculer p(x = x i et Y quelconque) : p i. = Σ j p ij, p.j = Σ i p ij. Nous discutons à présent des paramètres d'un couple de variables aléatoires discrètes. Dénition Il y a d'abord les paramètres (espérance et écart-types) des lois marginales : E(X) = Σ i p i. x i, E(Y ) = Σ j p.j y j. σ(x) = Σ i p i. (x i x) 2, σ(y ) = Σ j p.j (y j y) 2, où x = E(X) et y = E(Y ).

21 1.3. Variable aléatoire discrète et lois discrètes usuelles 21 Dénition Nous mesurons la liaison ou l'indépendance des deux variables par la covariance : cov(x, Y ) = Σ i,j p ij (x i x)(y j y). Dénition Le coecient de corrélation linéaire est : r(x, Y ) = cov(x, Y ) σ(x)σ(y ). Rappelons que la variance est le carré de l'écart-type : var(x) = σ 2 (X), nous avons les propriétés suivantes : 1. L'égalité : cov(x, Y ) = E(X Y ) E(X) E(Y ) (formule de K nigs) ; 2. L'égalité : var(x + Y ) = var(x) + var(y ) + 2 cov(x, Y ) ; 3. Les bornes sur le coecient de corrélation linéaire : 1 r(x, Y ) +1. Nous discutons à présent l'indépendance de deux variables aléatoires à valeurs discrètes. Dénition Les lois (marginales) X et Y sont indépendantes lorsque la loi de probabilité du couple vérie, pour tout (i, j), p ij = p i. p.j. Remarque En eet, lorsque nous avons cette condition, la probabilité conditionnelle p(x = x i /Y = y j ) est indépendante de la condition Y = y j. Proposition Critères d'indépendance. Si X et Y sont indépendantes alors cov(x, Y ) = r(x, Y ) = 0. Si X et Y sont linéairement liées (Y = ax + b), alors r(x, Y ) = ± Exercices Exercice Nous jettons un dé, puis un autre autant de fois que nécessaire pour obtenir un nombre supérieur ou égal à celui du premier dé ; Soit X la valeur du premier lancé, et Y celle du dernier. Quel est l'ensemble des valeurs prises par le couple (X, Y )? Déterminer les lois de probabilité conditionnelle p(y = j/x = i) pour chaque valeur de i. En déduire la loi de probabilité du couple (X, Y ). Les variables sont-elles indépendantes? Exercice (Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson) Une petite entreprise emploie 20 personnes. Une étude statistique permet d'admettre qu'un jour donné la probabilité qu'un employé donné soit absent est de 0, 05. Nous admettons que les absences des employés un jour donné sont des événements indépendants. On note X la variable aléatoire qui à chaque jour choisi au hasard associe le nombre d'employés absents. 1. Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale et donner les paramètres n et p de cette loi.

22 22 Chapitre 1. Dénombrement, probabilités et statistiques 2. Calculer la probabilité (à 10 3 près) des événements suivants : (a) E 1 : un jour donné il y a exactement trois absents ; (b) E 2 : un jour donné il y a strictement plus de deux absents ; (c) E 3 : un jour donné le nombre d'absents est compris entre trois et six (bornes comprises). 3. Calculer l'espérance mathématique E(X). Que représente-t-elle? 4. Nous approchons cette loi binomiale par une loi de Poisson de paramètre λ = np, où n et p sont les paramètres de la loi binomiale. Déterminer les probabilités des événements E 1, E 2 et E 3 avec cette nouvelle loi et comparer avec les résultats obtenus à la question précédente. Exercice Combien de pièce de monnaie devons-nous lancer pour que la probabilité d'avoir au moins une fois pile dépasse 99%? (Indication : considérer la variable aléatoire X n = nombre de piles obtenus en n lancers.) Exercice À l'occasion de son anniversaire, Thomas distribue des bonbons. Son sac contient n bonbons, dont 2 sont rouges et les autres bleus. Il tire au hasard les bonbons les uns après les autres et les donne à ses copains. 1. On note X la variable aléatoire égale au rang du premier bonbon rouge extrait du sac. Déterminer la loi de X et son espérance. 2. On note Y la variable aléatoire égale au rang du deuxième bonbon rouge extrait du sac. Déterminer la loi de Y et son espérance. Exercice Sur un balcon, sont plaçés n pots de eurs alignés (n 3). Tante Berthe garnit au hasard (n 2) d'entre eux de magniques géraniums. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de pots (garnis) qui se trouvent entre les deux pots restés vides. Déterminer la loi de X et son espérance. Exercice Un joueur tire au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. Il gagne 20 euro si c'est un c ur, et perd 10 sinon. Quelle est l'espérance de gain algébrique (les pertes sont considérées comme des gains négatifs)? Comment modier ces valeurs pour que le jeu devienne équitable? Exercice Deux frères s'associent pour fonder une PME. Au bout d'une année, celle-ci emploie 10 personnes : 2 patrons, 3 employés et 5 ouvriers. Un journaliste s'intéressant à cette PME décide d'en interviewer trois personnes au hasard. Soit X le nombre de patrons et Y le nombre d'ouvriers parmi ces trois personnes interrogées. Déterminer les lois X et de Y ; calculer leurs espérances et écart-types. Déterminer (directement) la loi du couple (X, Y ), et retrouver les lois de X et Y. Calculer la covariance de (X, Y ). Ces variables aléatoires sont-elles indépendantes? Exercice Un tireur à l'arc très doué tire ses èches sur 5 cibles, les yeux bandés. S'il est sûr d'atteindre l'une des cibles, celle qui est touchée l'est de manière aléatoire. Il tire 20 èches. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de cibles qui n'ont pas été atteintes au cours des 20 tirs. Calculer l'espérance de X.

23 1.4. Statistiques et distribution à 1 dimension 23 Exercice Lorsqu'il se rend au collège, Damien passe toujours par la patisserie. Trois fois sur quatre, il achète un croissant pour 1 euro, et le reste du temps il achète un éclair au chocolat pour 2 euro. Soit X la variable aléatoire égale à la somme qu'il a dépensée en 20 jours. Déterminer la loi de X, son espérance et sa variance. Exercice Les petites truites de la rivière qui ont le malheur d'être péchées sont systématiquement remises à l'eau. On constate que le nombre de fois qu'une petite truite mord à un hameçon est une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre Calculer la probabilité qu'une petite truite ne soit jamais pêchée. 2. Calculer la probabilité qu'une petite truite soit pêchée au moins deux fois. 1.4 Statistiques et distribution à 1 dimension La statistique descriptive met en ordre les données brutes d'un paramètre, notamment par des présentations graphiques, et fournit des indicateurs de position (valeur moyenne, valeur médiane, quantiles,...), de dispersion autour de la valeur moyenne (écart-type,...), ou d'indépendance (dans le cas de plusieurs caractères). La statistique mathématique (ou inférentielle) fait des estimations sur un caractère uniquement à partir d'une connaissance partielle du caractère sur un échantillon. Elle nécessite l'utilisation de la théorie des probabilités. Elle permet des estimations (sondages,...) et devient une aide à la décision (tests statistiques) Distribution à 1 dimension et premières dénitions Dénition Échantillon. Un ensemble d'individus extraits d'une population initiale de manière aléatoire de façon à ce qu'il soit représentatif. Dénition Population. L'ensemble de tous les individus soumis à une étude statistique. Dénition Individu (ou unité statistique). Tout élément de la population étudiée. Dénition Paramètre. Il représente les valeurs caractéristiques d'une population étudiée. Dénition Paramètre qualitatif. Un paramètre qui peut être constaté (couleur des yeux, lieu de naissance,...). Dénition Paramètre quantitatif. Un paramètre qui peut être mésuré (température, taille, poids,...). Dénition Variable. Une entité qui peut prendre toutes les valeurs d'un ensemble donné, que nous appelons domaine de la variable. Dénition Série statistique. Un ensemble des résultats d'une étude statistique.

24 24 Chapitre 1. Dénombrement, probabilités et statistiques Soit E = {e 1,..., e n } une population et X : E N une distribution statistique quantitative discrète. Soit x 1, x 2,..., x k les valeurs prises par une distribution rangées par ordre croissant. Pour représenter un caractère discret d'une poulation, nous regroupons par classe C i tous les individus dont le caractère prend la même valeur x i, i = 1,..., k. Nous notons l'eectif de cette classe. L'eectif total est : n = n 1 + n n k = k n i. La donnée des classes et de leurs eectifs est la distribution statistique associée à X. L'eectif cumulé des i premières classes est : N i = n 1 + n n i = i=1 i n k. La proportion de la population prenant la valeur x i est donnée par la fréquence : f i = n i n La proportion de la population prenant une valeur inférieure ou égale à x i est donnée par la fréquence cumulée des i premières classes : F i = f 1 + f f i = N i n Dénition Nous la prolongeons pour tout réel x par la fonction en escalier : F (x) = x j x appelée fonction de répartition. La proportion de la population dont le caractère prend une valeur dans ]a, b] (faire attention aux bornes) est donnée par : F (b) F (a) Exercice La population étudiée est un ensemble de 30 familles. Le caractère discret étudié X est le nombre d'enfants. Les classes et leurs eectifs sont données dans le tableau suivant. Compléter le tableau. Quel est le pourcentage de familles admettant deux enfants? Quel est le pourcentage de familles admettant au plus un enfant? Quel est le pourcentage de familles admettant de 2 à 5 enfants? Les histogrammes des eectifs, puis des eectifs cumulés sont représentés. Nous avons utilisé la convention suivante : la largeur des colonnes contenant chaque valeur est identique pour chaque classe, et la hauteur égale à l'eectif. L'histogramme des fréquences (ou fréquences cumulées) est identique mais avec une graduation diérentes de l'axe vertical (les ordonnées sont ici normées, i.e ; divisées par l'eectif total n). Pour un caractère continu, nous partionnons l'ensemble de ses valeurs en une collection d'intervalles, I 1, I 2,..., I k, de la forme [c i 1, c i [. La classe C i regroupe les individus dont le caractère prend sa valeur dans l'intervalle [c i 1, c i [. Nous notons à nouveau n i son eectif. Les notions d'eectifs cumulés, fréquences et fréquences cumulées sont identiques. f j k=1

25 1.4. Statistiques et distribution à 1 dimension 25 Classes C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 C 8 Nombre d'enfants Eectifs Eectifs cumulés Fréquences Fréquences cumulées Table 1.3 Familles, étude du caractère : nombre d'enfants. Dénition La fontion de répartition F est maintenant construite comme suit : nous plaçons la valeur 0 au dessus de l'extrémité gauche de I 1, F 1 au dessus de son extrémité droite, puis chaque valeur F i au dessus de l'intervalle I i, en terminant par la valeur 1 à l'extrémité droite du dernier intervalle. Nous joignons les points obtenus. Ainsi nous avons les propriétés suivantes. La valeur F (a) représente le pourcentage de la population dont le caractère prend une valeur inférieure ou égale à a. La valeur 1 F (a) représente le pourcentage de la population dont le caractère prend une valeur strictement supérieure à a. La diérence des valeurs F (b) F (a) représente le pourcentage de la population dont le caractère prend une valeur dans l'intervalle ]a, b]. Exercice La distribution Y des tailles d'une population de 100 collégiens est donnée par le tableau suivant. Compléter le tableau. Représenter les histogrammes correspondants. Classes C 1 C 2 C 3 C 4 Valeurs en cm [150,155[ [155,160[ [160,165[ [165,170[ Eectifs Eectifs cumulés Fréquences Fréquences cumulées Table 1.4 Population de collégiens, étude du caractère : taille Paramètres de position Dénition Moyenne. Nous considérons la population E = {e α, α = 1,..., n} et le paramètre quantitatif X. Soit x 1,..., x k les valeurs prises par X à valeurs discrètes, et n 1,..., n k la distribution d'eectifs correspondante. Si le caractère est continu x i désigne le milieu de l'intervalle des valeurs [c i 1, c i [, ainsi x i = ci 1+ci 2. Le principal paramètre de position d'une distribution statistique

26 26 Chapitre 1. Dénombrement, probabilités et statistiques est sa moyenne : m = 1 n = 1 n = n α=1 k i=1 k i=1 X(e α ) n i x i f i x i. Remarque La seconde expression de la moyenne est simplement obtenue en regroupant les termes X(e α ) de la première somme prenant la même valeur x i. Elle est plus rapide à calculer. Remarque Étant données deux distributions statistiques X et Y sur un même ensemble, nous pouvons considérer la distribution somme X + Y, nous sommons les valeurs associées à chaque individu. Nous pouvons aussi multiplier par un scalaire (nombre réel) λ. Notons m X et m Y les moyennes de chaque distribution. Nous avons les propriétés de linéarité suivantes : m X+Y = m X + m Y et m λx = λ m X. Dénition Médiane. Le second paramètre de position fréquemment utilisé est la médiane. C'est la valeur notée x 1 qui partage la population en 2 deux parties de même eectif : les individus dont le caractère est inférieur à cette valeur et ceux pour lesquels le caractère est supérieur à cette valeur. C'est donc la valeur pour laquelle la fonction de répartition vaut 1 2. Nous calculons de la manière suivante : Cas discret avec n petit : nous rangeons les valeurs par ordre croissant : x 1 < x 2 <... < x k en répétant n i fois les valeurs de x i. La médiane x 1 2 est la valeur séparant cette suite en deux parties d'eectif égal. Dans le cas où n est pair, x 1 tombe entre deux valeurs distinctes : nous prenons 2 le milieu de ces valeurs. Cas continu : nous traçons le graphe de la fonction répartition F. Nous obtenons la médiane x en résolvant l'équation 1 F (x) = Pour cela, nous cherchons la classe médiane, i.e. l'intervalle de valeurs [a, b] contenant la médiane : les ordonnées F (a) et F (b) pour la fonction de répartition entourent la valeur 1, comme : 2 F (a) 1 2 et F (b) > 1 2. La pente p du segment de droite correspondant est donnée par : D'où la formule : p = x 1 F (b) F (a) b a = 1 2 F (a) x 1 a ; 2 1 = a + (b a) 2 F (a) 2 F (b) F (a).

27 1.4. Statistiques et distribution à 1 dimension 27 Deux autres paramètres de position suivent (les quantiles et les modes). Dénition Quantile(s). Des valeur(s) de la variable qui partagent la série statistique en n parties de même eectif (disons, si n = 2, c'est la médiane ; si n = 4, nous parlons de quartiles ; si n = 5, de quintiles ; ou encore, si n = 10, de déciles, si n = 100, de centiles). Nous dénissons de même que la médiane les quartiles x et 1 x comme étant les valeurs pour lesquelles la fonction de répartition F vaut 1 ou Ils se calculent de la même manière que la médiane : même formule en remplaçant 1 2 par 1 (ou ). Nous dénirions de même les quintiles, les déciles, centiles. Dénition Le (ou les) mode(s) (ou classes modales) correspondent aux classes d'eectif maximal. Il peut y en avoir plusieurs. Quelques paramètres de position peuvent être regroupés et gurés dans un diagramme appelé : boîte à moustaches. Figure 1.3 Représentation de données statistiques : Boîte à moustaches (source : wikipédia : représentations des données statistiques). Dénition Boîte à moustaches (en anglais, box plot). Une représentation de quelques uns des principaux paramètres statistiques de position (valeurs minimale, moyenne, maximale, et quartiles) Paramètre de dispersion Ils mesurent l'éloignement entre les valeurs x i et la valeur moyenne m, et se calculent donc à partir des écarts x i m. Nous moyennisons ensuite ces écarts de deux manières diérentes (l'écart moyen et l'écart-type). Dénition L'écart moyen (peu utilisé), c'est la moyenne des écarts : 1 n k i=1 n i x i m. Dénition L'écart-type (très utilisé), c'est la moyenne quadratique des écarts : σ = 1 k n i (x i m) n 2. i=1 Dénition Le carré de l'écart-type, noté σ 2, est appelé la variance de la disposition X.

28 28 Chapitre 1. Dénombrement, probabilités et statistiques Proposition Nous pouvons aussi calculer la variance σ 2 en utilisant la formule de K nigs : σ 2 = 1 n k i=1 = 1 n ( k i=1 n i (x i m) 2 ; n i x 2 i ) m 2. Deux autres paramètres de dispersion (moins utilisés, l'étendue et l'écart inter-quartiles) suivent. Dénition Étendue. La diérence entre les valeurs maximale et minimale : x max x min. Dénition Écart inter-quartile. La diérence entre le troisième et le premier quartile : x 3 x Exercices Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Statistiques et distribution à 2 dimensions Distribution à 2 dimensions et corrélation linéaire Soit (X, Y ) : E R 2 un caractère à deux dimensions sur une population de n éléments. Soit n ij, avec i = 1, 2,..., k, et j = 1, 2,..., l, l'eectif de la valeur (x i, y i ) (ou dans le cas continu, d'une classe déterminée par le produit de deux intervalles de valeurs). Nous avons : n = k i=1 l j=1 n ij ou, avec la notation abrégée, n = i,j Dénition L'application qui, à chaque valeur (ou classe de valeurs) associe l'eectif correspondant est la distribution statistique de (X, Y ). Nous pouvons dénir la distribution des fréquences par : f ij = n ij n. Exercice Nous reprenons la population des collégiens, mais nous mesurons maintenant les deux caractères (T, P ) = (T aille, P oids). Le tableau des eectifs n ij est le suivant. n ij.

29 1.5. Statistiques et distribution à 2 dimensions 29 P oids T aille [150; 155[ [155; 160[ [160; 165[ [165; 170[ distr. marg. de P [40; 45[ [45; 50[ [50; 55[ [55; 60[ distr. marg. de T Table 1.5 Population de collégiens, deux caractères : taille et poids Dénition Les distributions marginales sont deux distributions à une dimension obtenues en sommant les eectifs sur un des indices : n i. = l n ij, n.j = j=1 De même les fréquences marginales sont : k n ij. i=1 f i. = n i. n, f.j = n.j n. Dénissons à présent les fréquences conditionnelles. Les fréquences conditionnelles de X sachant que Y = y j sont les fréquences obtenues en ne regardant que la j ième colonne du tableau. Pour tout i (à j xé) : f i Y =yj = n ij n.j = f ij f.j. De même, les fréquences conditionnelles de Y sachant que X = x i sont les fréquences obtenues en ne regardant que la i ième ligne (rangée) du tableau. Pour tout j (à i xé) : f j X=xi = n ij n i. = f ij f i.. Exercice Quelle est la fréquence d'apparition d'une taille dans l'intervalle [160 ; 165 [ sachant que le poids d'un individu est compris entre 45kg et 50kg? Même question pour un poids compris entre 50kg et 55kg? Dénition Nous disons que les distributions X et Y sont indépendantes lorsque ces fréquences conditionnelles ne dépendent pas de la condition X = x i, c'est à dire lorsque le résultat obtenu est indépendant de l'indice i de la ligne (rangée) choisie. dans ce cas, nous avons : f ij f i. = i f ij i f i. = f ij 1 et nous avons donc : les distributions (marginales) X et Y sont indépendantes si, et seulement si, pour tout couple (i, j), f ij = f i. f.j. Dans le cadre de deux distributions (marginales) indépendantes, nous pouvons retrouver le tableau de la distribution (X, Y ) à deux dimensions uniquement en eectuant des produits à partir des distributions marginales X et Y.