George Boole ( ) est un mathématicien. (étude de la validité du raisonnement) et la représentation symbolique utilisée en mathématique.
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- Henri Gascon
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1 lgèbre de oole George oole ( ) est un mathématicien autodidacte anglais qui voulait faire un lien entre la logique (étude de la validité du raisonnement) et la représentation symbolique utilisée en mathématique. ELE1300 Circuits logiques lgèbre de oole Il a écrit deux ouvrages sur le sujet : Mth Mathematicalti lnalysis of Logic (1847) n Investigation of the Laws of Thought (1854) Ces travaux n ont pas connu d intérêt particulier auprès de la communauté mathématique et scientifique de son époque, mis à part chez les logiciens ii 2 lgèbre de oole ( ) C est 70 ans plus tard que les travaux de oole gagnent l intérêt de tous, lorsque Claude hannon, alors étudiant à la maîtrise au MIT, fait le lien entre l algèbre de oole et la conception des circuits à relais. Claude hannon montre que l algèbre de oole peut-être utilisée pour optimiser les circuits à relais. Cette nouvelle avenue de recherche va ouvrir la voie à l ère numérique. C est parce que l algèbre de oole est au cœur de la conception numérique telle que l a pratiquée hannon que nous allons l étudier ici. i L algèbre de oole repose sur des axiomes, des postulats et des théorèmes qu il faut connaître par cœur! lgèbre de oole ( ) Une algèbre de oole est la donnée de : un ensemble E, deux éléments particuliers de E : 0 et 1 correspondant respectivement à FUX et VRI, deux opérations binaires sur E : + et (correspondant respectivement au OU et ET logiques), une opération unaire sur E : (correspondant à la négation NON logique). gq Nous allons nous pratiquer en classe, mais il faut que vous que vous le fassiez à la maison aussi 3 4
2 Postulats On admet les postulats suivants : Opérateur ET Opérateur OU Opérateur NON ( ) (+) ( ) P = 0 P = 0 P P = 0 P2.* 1 0=0 0 P = 1 5 P = 1 P5.* 1+0 = 1 P = 1 P xiomes Ces données vérifient les axiomes suivants : soient et C des éléments de E Commutativité + = + ssociativité (+)+C = +(+C) Distributivité Élément neutre Complémentation 6 (+C) = + C = +0 = 1 = ( ) C = ( C) + = 1 = 0 +( C) = (+) (+C) Principe de dualité Théorèmes (quelques) Remarque : le principe i de dualité s applique (involution) (idempotence) changer les + pour des changer les pour des + changer les 0 pour des 1 changer les 1 pour des 0 (loi d absorption) (loi de DeMorgan) (élément nul) 7 8
3 pplication de l algèbre de oole Nous allons utiliser l algèbre de oole pour effectuer des démonstration de manière analytique Exemple 1: pplication de l algèbre de oole ( ) Exemple 2: + C+ C = + C? + = +? + = (+) (+) + distributif sur = 1 (+) complémentation = + élément neutre 9 10 pplication de l algèbre de oole ( ) Exemple 3: ++C = C? pplication de l algèbre de oole ( ) On peut s amuser à prouver les théorèmes (idempotence) (loi d absorption) (loi de DeMorgan) 11 12
4 Table de vérité Table de vérité ( ) 1 2 n1 n i Deux expressions logiques sont égales ssi leur table de vérité sont identiques f,,..., i i 1 2 n Exemple : Loi de DeMorgan Un tableau qui illustre la correspondance entre l état d une fonction logique gq et la combinaison des états de ses variables Décomposition de hannon f (x 1, x 2,, x n ) = x 1 f (0, x 2,, x n )+ x 1 f (1, x 2,, x n ) Décomposition de hannon f (x 1, x 2,, x n ) = x 1 f (0, x 2,, x n )+ x 1 f (1, x 2,, x n ) Preuve: i x 1 = 0: x 1 f (0, x 2,, x n )+ x 1 f (1, x 2,, x n ) = f (0, x 2,, x n ) 1 2 n 1 2 n 2 n i x 1 =1: x 1 f (0, x 2,, x n )+ x 1 f (1, x 2,, x n ) = f (1, x2, 2, xn) ) 15 En combinant les deux résultats, on trouve que l assertion est vraie Il est possible d appliquer la décomposition de hannon récursivement, Exemple: FITE LE LIEN VEC L TLE DE VÉRITÉ oit f (x 1, x 2 2, x 3 3) une fonction logique à trois variables. f (x 1, x 2, x 3 ) = x 1 f (0, x 2, x 3 ) + x 1 f (1, x 2, x 3 ) = x 1 x 2 f (0, 0, x 3 )+x x 1 x 2 f (0, 1, x 3 )+ x 1 x 2 f (1, 0, x 3 ) + x 1 x 2 f (1, 1, x 3 ) = x 1x 2x 3 f (0, 0, 0) + x 1x 2x 3 f (0, 0, 1) + x 1 x 2 x 3 f (0, 1, 0) + x 1 x 2 x 3 f (0, 1, 1) + x 1 x 2 x 3 f (1, 0, 0) + x 1 x 2 x 3 f (1, 0, 1) + x 1 x 2 x 3 f (110)+ (1, 1, x 1 x 2 x 3 f (111)+ (1, 1, 1) 16
5 Décomposition de hannon (forme duale) f (x 1, x 2,, x n ) = (x 1 +f (0, x 2,, x n ))(x 1 + f (1, x 2,, x n )) En appliquant la décomposition de hannon récursivement, on aboutit à la forme canonique conjonctive. Exemple: QUELLE CONCLUION VEC L TLE DE VÉRITÉ oit f (x 1, x 2, x 3 ) une fonction logique à trois variables. f (x 1, x 2, x 3 ) = ( x 1 + f (0, x 2, x 3 ))( x 1 + f (1, x 2, x 3 )) = ( x 1 + x 2 + f (0, 0, x 3 ))( x 1 + x 2 + f (0, 1, x 3 )) ( x 1 + x 2 + f (1, 0, x 3 ))( x 1 + x 2 + f (1, 1, x 3 )) = ( x 1 + x 2 + x 3 +f (0, 0, 0))( x 1 + x 2 + x 3 + f (0, 0, 1)) ( x 1 + x 2 + x 3 + f (0, 1, 0))( x 1 + x 2 + x 3 + f (011)) (0, 1, 1)) ( x 1 + x 2 + x 3 + f (1, 0, 0))( x 1 + x 2 + x 3 + f (1, 0, 1)) ( x 1 + x 2 + x 3 + f (1, 1, 0))( x 1 + x 2 + x 3 + f (1, 1, 1)) 17 implifier l expression? En partant l expression logique 18 C C C C C C C C C C C C C C CC C C C implifier une expression logique CCC C C C Circuits logiques NON («NOT») ET («ND») OU («OR») ou ( C) ( ) ( C) ( C) ( ) ( C) ( C)( C) Ce qui, ultimement, se ramène à: C Circuits logiques : Introduction
6 Circuits logiques Circuits logiques NON-ET («NND») NON-OU («NOR») OU EXCLUIF («XOR») ÉQUIVLENCE («XNOR») Circuits logiques : Introduction 22 Circuits logiques : Introduction D une équation à un circuit F = (+)+(+) ( ) F D une équation à un circuit ( ) F = (+)+(+) ( ) = +(+)+ = ++ = +(+) = + =+ F=
7 D un circuit à une équation F Et là? x 1 x 0 Une conclusion? C m 0 m 1 m 2 f F = C+C m
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