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1 Les calcularices son auorisées B Le candida aachera la plus grande imporance à la claré, à la précision e à la concision de la rédacion Si un candida es amené à repérer ce qui peu lui sembler êre une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie e devra poursuivre sa composiion en expliquan les raisons des iniiaives qu il a éé amené à prendre oaion e bu du problème On désigne par : E : le - espace vecoriel des foncions f définies sur classe C sur, e qui vérifien f ( ) = ; à valeurs réelles, de E : l ensemble des foncions f apparenan à E () f a soi inégrable sur ; E : l ensemble des foncions f apparenan à E ( ()) a f soi inégrable sur e elles que la foncion e elles que la foncion On noe : / / f () = d pour f E ; = ( ( )) f d pour f E Le bu de ce problème es de comparer les ensembles E e E d une par, les foncions e d aure par Les paries I e II son consacrées à deux exemples, la parie III aborde le problème de comparaison de façon plus générale Tournez la page SVP

2 - - PATIE I Exemple Dans cee parie, on suppose que f es la foncion définie sur par f () = Arcan (où Arcan désigne la foncion Arcangene) I/ Monrer que f apparien à E I/ Monrer que, pour ou x, la foncion, e qu en pariculier f apparien à E H x : a es inégrable sur ( )( x ) I3/ Calcul de Pour x, on noe ϕ ( ) ( ) x = Hx d I3/ Monrer que la foncion ϕ es coninue sur I3/ variable T : Soi x, x ; décomposer en élémens simples la fracion raionnelle de la ( T )( T x ) I33/ En déduire l expression explicie de ϕ ( x) pour x, x I34/ Quelle es la valeur de? I4/ Eudier le signe de u Arcan u, pour u I5/ Monrer que, pour ou x, la foncion G x : ( x) Arcan a es inégrable sur ( )

3 - 3 - I6/ Calcul de Pour x, on pose θ ( ) ( ) x = G d x I6/ Monrer que la foncion θ es coninue sur I6/ Monrer que la foncion θ es de classe C sur I63/ Explicier θ ( x) pour x I64/ Explicier θ ( x) pour x I65/ Eablir une relaion enre ( ) f e ( ) θ I66/ En déduire la valeur de e celle de PATIE II Exemple Dans cee parie, on suppose que f es la foncion définie sur (où ln désigne la foncion logarihme népérien) par f () = ln ( ) II/ Calculer f () pour En déduire que f apparien à E Quelle es la valeur de? II/ Déerminer un équivalen (simple!) de ( ) ) II3/ Monrer que f apparien à E f lorsque (respecivemen lorsque Tournez la page SVP

4 - 4 - II4/ Calcul d une inégrale ln II4/ Monrer que la foncion ln On noe désormais J = d, a es inégrable sur l inervalle ] [ II4/ Monrer que, pour ou k, la foncion a k ln es inégrable sur k, ; explicier la valeur de : Jk = ( ln ) d l inervalle ] [, k II43/ Jusifier avec soin l égalié : J = Jk = ( ln ) d k= k=, II44/ Déduire de ce qui précède la valeur de l inégrale J, sachan que la série n n π converge e que = n 6 n= II5/ Calcul de, Pour simplifier, on noe ( ) () f I = ( f ) = d u u u u e e e e On rappelle que shu =, chu = pour (u ) e la relaion ch u sh u = II5/ Monrer que I = ( ) f d II5/ Jusifier le changemen de variable u f () ln ( ) = = dans l'inégrale obenue dans la quesion II5 ; que devien I quand on effecue ce changemen? Même quesion pour le changemen de variable v= e u II53/ En déduire la valeur de, puis celle de

5 - 5 - PATIE III Le bu de cee parie es de comparer, d une par, les ensembles E e E, e, d aure par, les foncions e III/ Soi f une foncion quelconque apparenan à E (donc de classe C sur e elle que f ( ) = ) On associe à f deux foncions g e h définies sur () f e h () = pour ou > On pose α f ( ) = III/ Quelle es la limie de h ( ) (respecivemen de ( ) par g() = g ) lorsque? f ( ) III/ Exprimer f () g () en foncion de ( ) h lorsque III3/ Quelle es la limie de g ( ) (respecivemen de g() g ()? (on exprimera les résulas en foncion de α = f ( ) ) III4/ Eablir, pour x >, la relaion : ( ) ( f () ) d = ( g ( x) ) ( g () ) d ( h() ) d 4 ] ] ] ], x, x, x (après avoir jusifié l'inégrabilié sur,x de chacune des foncions qui inerviennen) III/ Comparaison de E e E III/ Déduire de la relaion l inclusion : E E ] ] ) lorsque III/ Les ensembles E e E son-ils égaux? (On pourra considérer la foncion a sin ) Tournez la page SVP

6 - 6 - III3/ Comparaison de e III3/ Monrer que E es un sous-espace vecoriel du - espace vecoriel E On admera sans jusificaion que e son des normes sur l espace vecoriel E III3/ Jusifier l inégalié :, pour f E III33/ Pour n, on défini sur la foncion Vérifier que fn E pour ou n e calculer ( f n ) III34/ Les normes e son-elles équivalenes sur E? f par f () e sin ( n) n n = III4/ Soi f apparenan à E ; en uilisan la relaion limie lorsque ; quelle es cee limie?, monrer que g() adme une Fin de l'énoncé

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