Transferts thermiques par conduction

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1 Transferts thermiques par conduction Exercice 1 : Température de contact entre deux corps* On met en contact deux conducteurs thermiques cylindriques, calorifugés sur leurs surfaces latérales. On se place en régime permanent, la température de chacune des extrémités étant maintenue constante (voir figure). Nous considérerons que la température des conducteurs est uniforme dans leur section et ne dépend donc que de. 1. Rappeler la loi de Fourier. Expliquer la signification physique de cette loi. Quelle est l unité de? 2. Déterminer l équation de la chaleur dans le conducteur 1. En déduire son expression dans le second conducteur. 3. En déduire l expression de la température dans les conducteurs en fonction de,,,, et. 4. En déduire l expression du vecteur densité de courant thermique dans lmes deux conducteurs. 5. En déduire l expression de en fonction de,,, et. 6. On suppose à présent que l un des barreaux modélise un doigt =0,5, =32. Le second barreau modélise le manche d une casserole remplie d eau bouillante, = 100. Pour simplifier, nous prendrons =. Calculer dans les deux cas suivants : 6.1. Le manche est en bois : =0, Le manche est en cuivre : = Conclusion. 7. Questions subsidiaires : 7.1. Expliquer le rôle d une combinaison de plongée en néoprène Expliquer pourquoi la sensation de froid est plus marquée en présence de vent que sans. Page 1 sur 6

2 Exercice 2 : Température dans un conducteur électrique cylindrique*** Un conducteur électrique cylindrique de rayon, de conductivité électrique et de conductivité thermique est entouré par une gaine isolante de rayon > et de conductivité thermique. Ce conducteur est parcouru par un courant électrique uniformément réparti d intensité constante. Nous nous placerons en régime permanent et non négligerons tout effet de bord. Le contact thermique entre le conducteur et la gaine isolante est par ailleurs supposé parfait. Par ailleurs, nous admettrons que, entre la gaine isolante et l air ambiant (de température ), les échanges thermiques sont régis par la loi de Newton de coefficient d échange thermique surfacique noté h. 1. Montrer que la puissance thermique par unité de longueur de conducteur fournie par effet joule a pour expression =. 2. Montrer, en réalisant un bilan énergétique sur un volume de conducteur bien choisi, que, dans le conducteur, =. 3. En déduire l expression de la température dans le conducteur,. On notera =. 4. Montrer, en réalisant un bilan énergétique sur un volume de gaine bien choisi, que, dans la gaine, =0. 5. Déterminer la température à la distance de l axe dans la gaine. On notera =. 6. En exprimant la conservation du flux thermique aux différentes interfaces, exprimer puis calculer 0, et. Données numériques : =5,0.10., =390.., =0,40.., =3,0, =5,0, =1, =300, h=20... Exercice 3 : Fusible** Un coupe-circuit électrique à fusible est un organe de sécurité dont le rôle est de couper un circuit électrique (en fondant) lorsque l intensité électrique le traversant dépasse une certaine valeur choisie. Il peut être modélisé par un conducteur cylindrique, de section et de longueur enfermé dans un tube assurant, sur sa surface latérale, une isolation électrique et thermique parfaite. Nous noterons sa conductivité électrique et sa conductivité thermique. Aux extrémités du fusible la température sera supposée constante égale à. Page 2 sur 6

3 On se place en régime permanent. 1. Soit est la température du fusible à l abscisse. Montrer que + =0. 2. En déduire l'expression littérale de et la représenter graphiquement. En déduire le point du fusible où la fusion se produit en premier. 3. Le matériau constituant le fil fond à une température. On veut fabriquer un fusible qui admet une intensité maximale =10. Déterminer la section du fusible et la calculer. Données : =66,6.., =9,17.10., =291, =20,0, =505. Exercice 4 : Combustible nucléaire (inspiré de CCP MP 2012)** Un combustible nucléaire est constitué de petites sphères multicouches appelées particules TIRSO (voir figure 1). Le cœur de matériau fissile est entouré de plusieurs couches successives ayant pour rôles d assurer la protection du noyau et le confinement des produits de fission. Nous prendrons comme matériau pour le cœur et la couche de céramique non pas un oxyde d uranium et un carbure de silicium comme déjà utilisés dans des centrales nucléaires mais un carbure d uranium et un carbure de zirconium pour leurs propriétés physiques plus intéressantes. FIGURE 1 : vue et coupe d une particule TIRSO Nous considérerons que les propriétés physiques sont isotropes dans l espace. Page 3 sur 6

4 TABLEAU 1 : caractéristique de couches composant la particule TIRSO La puissance par unité de volume produite sous forme d énergie thermique dans le matériau fissile sera notée. La conductivité thermique de la couche numérotée sera notée. 1. Donner la loi de Fourier en indiquant les unités des différentes grandeurs. 2. L équation de la chaleur pour le cœur en tenant compte du terme de production s écrit : = 1 + Avec le vecteur densité de courant thermique et l énergie interne volumique du système. Démontrer cette équation. 3. En régime stationnaire, à quoi se réduit cette équation? 4. Sachant que le gradient en coordonnées sphériques d une fonction scalaire,, vaut : = sin Déterminer pour. On notera la température en =0. 5. Calculer numériquement la variation de température entre les abscisses =0 et =. La puissance volumique vaut 5, Afin de calculer la température dans les différentes couches de la particule TIRSO, nous allons utiliser le concept de résistance thermique. 6. Donner la définition de la résistance thermique d un matériau soumis à un écart de température > impliquant un flux thermique ( >0 selon l axe décroissant des températures). 7. Calculer le flux thermique en coordonnées sphériques et le mettre sous la forme = 1 Où la constante est à exprimer en fonction des données du problème. 8. Calculer la résistance thermique, d une coque comprise entre un rayon et <. 9. Calculer numériquement les résistances thermiques des 4 coques,,,,, et,. 10. En déduire les températures aux interfaces,, et si la température extérieure vaut Exercice 5 : Bilan thermique d un studio (Inspiré de ECRIN MP 1998)** Un studio est situé dans un immeuble. L un des murs, qui comporte une fenêtre, sépare le studio de l extérieur. Les autres parois, ainsi que le plancher et le plafond séparent le studio des appartements voisins. Page 4 sur 6

5 Données : Conductivités thermiques : Verre : =1,2.. ; Béton : =0,9.. ; Air : =2, ; Isolant (laine de verre) : =4, Coefficient de transfert thermique conducto-convectif h : Coté intérieur de la paroi du studio : h =10.. ; Coté extérieur de la paroi du studio : h =20.. ; Tous les transferts thermiques sont supposés unidirectionnels et on se place en régime permanent. 1. Soit une interface fluide (température ) solide (température ) caractérisée par un coefficient de transfert thermique conducto-convectif h Rappeler la relation liant le flux thermique conductif aux températures, à h et à, surface de contact solide fluide En déduire par analogie la résistance thermique de cette interface. 2. Soit un barreau conducteur thermique (de conductivité thermique ) de longueur, surface de base, dont les parois sont supposées calorifugées dont les extrémités sont supposées respectivement à des températures et Rappeler la relation liant le flux thermique conductif aux températures, à, à et à En déduire par analogie la résistance thermique de ce barreau conducteur. 3. Calculer la résistance thermique correspondant au transfert thermique à travers une vitre simple d épaisseur =2,4 et de surface =1,0, depuis l air intérieur à température jusqu à l extérieur à température. 4. On considère maintenant un double vitrage constitué par deux vitres d épaisseur séparées par une couche d air d épaisseur =5,0. Calculer la résistance thermique correspondant au transfert thermique à travers le double vitrage de la même surface. 5. Le mur extérieur du studio comporte également une surface =12,5 de béton doublé d une couche d isolant. L épaisseur du béton est =9,0 et celle de l isolant =4,0. Calculer la résistance thermique à travers ce mur. 6. En déduire la résistance thermique de la paroi extérieure constituée par le mur (béton + isolant) de surface et un double vitrage de surface =3,5. 7. En supposant que les pertes à travers les cloisons intérieures soient négligeables, déterminer la puissance à fournir pour compenser les fuites thermiques en supposant la température intérieure égale à 19 et la température extérieure égale à 4. Que pensez-vous de ce modèle? Page 5 sur 6

6 Réponses : Ex =0 3. = + puis = + 5. = 6. =51 et 100 Ex. 4. =4 Ex. 5. = ; = ; =0,15. ; =0,10. ; =0,05. ; =300 Page 6 sur 6

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