Feuille n 2 : Contrôle du flux de commandes

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1 Logiciels Scientifiques (Statistiques) Licence 2 Mathématiques Générales Feuille n 2 : Contrôle du flux de commandes Exercice 1. Vente de voiture Mathieu décide de s acheter une voiture neuve qui coûte euros. Le vendeur lui propose deux options d achat : 1. soit Mathieu paye la voiture cash directement auquel cas il ne paiera que euros soit euros de remise ; 2. soit Mathieu a recours au prêt à taux 0 du concessionnaire qui consiste en 48 mensualités de 250 euros. Du fait de l option 1, le prix de la voiture est en fait euros et le prêt de l option 2 n est donc pas réellement à taux 0 mais à un taux τ 0. Notre but va être de le calculer. En utilisant la formule de l exercice 1 du cours, nous savons que 1 (1 + τ) = 250 τ τ = (1 + τ) Cette dernière équation est un problème du point fixe, i.e., résoudre une équation de la forme x = f(x), que l on peut facilement résoudre numériquement. Cette méthode est connue sous le nom de itération du point fixe et consiste à considérer la limite de la suite τ n+1 = (1 + τ n) 48, n 0, et où τ 0 est une valeur initiale quelconque (mais raisonnable). Implémentez cette suite afin de connaître le taux du faux prêt à taux 0. Solution 1. tau <- 0.01##valeur initiale n.iter < for (i in 1:n.iter) + tau <- 250 * (1 - (1 + tau)^(-48)) / tau [1] Ici on prendra bien le temps de demander aux étudiants de savoir comment ils savent que la suite à numériquement convergée. On pourra aussi essayer avec d autres valeurs initiales. Exercice 2. Itération du point fixe (encore) a) Utiliser la méthode itérative du point fixe pour résoudre x = 1, 5 cos x où x (0, 1). La méthode converge t elle? Remarque : la solution est x 0,

2 b) Refaire de même pour x = cos(x)/ x/45. La méthode converge t elle? c) Les solutions de ces deux problèmes sont elles identiques? Solution 2. a) x <- 0.5## valeur initiale n.iter < for (i in 1:n.iter) + x <- 1.5 * cos(x) x [1] Non en inspectant les valeurs successives de x (via un print) on voit que cela boucle. Le schéma numérique ne marche pas. b) x <- 0.5## valeur initiale n.iter < for (i in 1:1000) + x <- cos(x) / * x / 45 x [1] Cette fois cela marche!!!! c) Elles le sont puisque soit x la solution du 1er problème. Montrons que c est également la solution du 2ème problème. Puisque x = 1, 5 cos x, nous avons cos x x 45 = 2x /3 + 44x = x x 45 = x. La morale de cette histoire c est que les expressions mathématiques sur le papier sont toutes équivalentes mais sur l ordinateur il y en a des meilleures que d autres on dit alors qu elles sont plus stable numériquement. Exercice 3. Nombres premiers jumeaux Des nombres premiers jumeaux p 1 et p 2 (p 1 < p 2 ) sont deux nombres premiers tels que p 2 p 1 = 2. Écrire un code R permettant de lister tous les nombres premiers jumeaux inférieurs à Solution 3. ## Listons les nombres premiers < 1000 n < premiers <- NULL 2

3 ## Crible d'eratosthene crible <- 2:n for (i in 2:n){ + if (i %in% crible){ + premiers <- c(premiers, i) + crible <- c(crible[crible %% i!= 0], i) ## Trouvons parmis eux les jumeaux jumeaux <- NULL for (i in 1:(length(premiers)-1)){ + if ((premiers[i+1] - premiers[i]) == 2) + jumeaux <- rbind(jumeaux, c(premiers[i], premiers[i+1])) jumeaux [,1] [,2] [1,] 3 5 [2,] 5 7 [3,] [4,] [5,] [6,] [7,] [8,] [9,] [10,] [11,] [12,] [13,] [14,] [15,] [16,] [17,] [18,] [19,] [20,] [21,] [22,] [23,] [24,] [25,] [26,] [27,] [28,] [29,]

4 [30,] [31,] [32,] [33,] [34,] [35,] Exercice 4. Algorithme de Newton L algorithme de Newton est une méthode numérique rendue célèbre pour trouver les zéros d une fonction, i.e., x R tel que f(x ) = 0. Son principe est basé sur un développement de Taylor au voisinage de x. En effet pour x b(x, ε), nous avons suggérant ainsi un schéma itératif C est l algorithme de Newton. 0 = f(x ) f(x) + (x x)f (x) x x f(x) f (x), x n+1 = x n f(x n) f (x n ). a) Utilisez l algorithme de Newton pour trouver une racine (réelle) du polynôme f(x) = x 3 + 2x 2 7. Vérifiez que c est bien une racine. b) Combien de racines possède la fonction f(x) = (5x 3)/(x 1)? Quelles sont elles? Comment se comporte l algorithme de Newton lorsque la valeur initiale est i) x 0 = 0, 5 ii) x 0 = 0, 75 iii) x 0 = 0, 2 iv) x 0 = 1, 25. Solution 4. a) x <- 1 n.iter < for (i in 1:n.iter) + x <- x - (x^3 + 2 * x^2-7) / (3 * x^2 + 4 * x) x [1] x^3 + 2 * x^2-7##c'est donc bien une racine [1] e-16 b) Clairement une seule racine x = 3/5. Notons toutefois une une singularité en 1. 4

5 n.iter < ## i) x <- 0.5 for (i in 1:n.iter) x [1] 0.6 (5 * x - 3) / (x - 1) [1] 0 ## ii) x < for (i in 1:n.iter) x [1] 0.6 (5 * x - 3) / (x - 1) [1] 0 ## iii) x <- 0.2 for (i in 1:n.iter) x (5 * x - 3) / (x - 1) ## iv) x < for (i in 1:n.iter) x (5 * x - 3) / (x - 1) 5

6 Les deux dernières valeurs initiales renvoient un NaN, i.e., Not a Number, il y a donc eu un problème quelque part. Voyons pourquoi. x <- 0.2 for (i in 1:100){ + if ((i = 60) & (i <= 64)) + print(x) [1] e+138 [1] e+277 [1] Inf ## OK la suite diverge numeriquement puis produit un NaN car ## Inf / Inf donne un NaN ## Oui mais si on simplifiait le ratio f(x) / f'(x)... n.iter < x <- 0.2 for (i in 1:n.iter) + x <- x * (x-1) * (5 * x - 3) x ## marche mais x = 1 car le schema de mise à jour est trivial : x <- x [1] 1 x < for (i in 1:11){ + x <- x * (x-1) * (5 * x - 3) + print(x) [1] [1] [1] [1] [1] [1] e+13 [1] e+26 [1] e+53 [1] e+107 [1] e+215 [1] Inf x ## marche numériquement mais la suite diverge [1] Inf 6

7 La morale de cette histoire est double : (a) Il faut simplifier les expressions mathématiques aux maximum car cela peut éviter des problèmes numériques, e.g., l ordinateur ne connaît pas le concept de prolongation par continuité. (b) L algorithme de Newton marche bien mais il faut une bonne valeur initiale. Exercice 5. Le vendeur s appelle Newton Reprenez l exercice 1 mais utilisez l algorithme de Newton en lieu et place de l itération du point fixe pour connaître le taux de notre faux prêt à taux zéro. Solution 5. On doit trouver la racine de f(x) = {1 (1 x) 48 }/44 x. D où x < n.iter < for (i in 1:n.iter){ + fx <- (1 - (1-x)^48) / 44 - x + dfx <- 12 / (11 * (x-1)^49) x <- x - fx / dfx x [1] On retrouve bien le taux obtenu précédemment. Exercice 6. La loi des grands nombres La loi des grands nombres est l un des théorèmes les plus importants en probabilités. Il peut être utilisé en pratique pour obtenir une approximation (avec une précision arbitraire) d une intégrale. Contrairement aux méthodes dites déterministes, sa vitesse de convergence ne dépend pas de la dimension de l intégrale. C est donc un choix particulièrement pertinent pour approcher des intégrales multiples. Pour cet exercice nous allons faire simple et essayer de calculer via la loi des grands nombres I = (2π) 1/2 x 2 exp( x 2 /2)dx. R On peut montrer via des calculs standards que I = 1. Mais faignant comme nous sommes, nous ne souhaitons pas faire ces calculs et désirons seulement une (bonne) approximation de cette intégrale via la loi des grands nombres. Cette approximation est donnée par Î = 1 n Xi 2, n où les X i sont des nombres aléatoires simulés indépendemment selon une loi normale centrée réduite 1 1. Peu importe si ce jargon semble être du chinois aujourd hui. Dans peu de temps vous vous direz que c était vraiment basique comme exercice ;-) i=1 7

8 a) Le logiciel R possède une fonction pour simuler selon cette loi : la fonction rnorm. Regardez l aide de cette fonction afin de comprendre son utilisation. La loi normale centrée réduite correspond au cas où mean = 0 et sd = 1. b) A l aide d une boucle for, implémetez l estimation de cette intégrale lorsque n = 100, 500, 1000, Commentez vos résultats. c) Saurez vous faire de même sans utiliser aucune boucle for??? Solution 6. a) Bon bah on regarde l aide via help(rnorm) (ou?rnorm) et on essaye de comprendre l anglais... b) for (n in c(100, 500, 1000, 10000)){ + I <- 0 + for (i in 1:n) + I <- I + rnorm(1)^2 + I <- I / n + print(i) [1] [1] [1] [1] Nous pouvons voir que l approximation est d autant meilleure que n est grand. c) Il suffit d utiliser les capacités vectorielles de R, i.e., mean(rnorm(10000)^2) [1] ## Impressionant ce que l'on peut faire en une ligne de code non???? Exercice 7. Les canettes r Vous êtes vous déjà demandé pourquoi les canettes de 33cl ont (presque) toujours la même forme? Supposons pour simplifier que les canettes soient des cylindres de hauteur h et dont la base est un cercle de rayon r. h a) Exprimez le volume V et la surface S de la canette en fonction de h et r. b) Exprimez la surface en fonction de r uniquement. c) Pour réduire les coût de fabrication, il est clair qu à volume fixé, il faut minimiser la surface S. Trouvez ainsi analytiquement et numériquement la configuration optimale d une canette de 33cl. 8

9 Solution 7. a) Rien de bien difficile, on a V = πr 2 h, S = 2πr 2 + 2πrh. b) D après l expression pour le volume, on a h = V/(πr 2 ) et donc S = 2πr 2 + 2V r 1. c) Il faut donc résoudre (analytiquement et numériquement) l équation 4πr 2V r 2 = 0. La solution analytique est clairement r = {V/(2π)} 1/3. Ce qui pour une canette de 33cl donne et donc que r = ( ) 1/ , 75 cm 2π h = 330 7, 5 cm. πr2 Ça c était pour la solution analytique. Soyons faignant et trouvons la solution avec l ordinateur (et l algorithme de Newton)... ## Volume de la canette V <- 330 ## cm3 r <- 5#valeur initiale pour le rayon n.iter < for (i in 1:n.iter){ + fx <- 4 * pi * r - 2 * V / r^2 + dfx <- 4 * pi + 4 * V / r^3 + r <- r - fx / dfx h <- V / (pi * r^2) c(r, h) [1] Remarque : Les véritables dimensions des canettes de 33cl sont 11,6cm de hauteur et 3,3cm de rayon. En effet les canettes ne sont pas des cylindres parfaits mais ont des bords biseautés... 9

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