PROPAGATION DES ONDES SONORES DANS LES FLUIDES. I. L approximation acoustique. L équation de propagation. 1 ) Le cadre de l étude.

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1 ONDE ACOUTIQUE DAN LE FLUIDE () PROPAGATION DE ONDE ONORE DAN LE FLUIDE I L aoimaion aousique L équaion de oagaion ) Le ade de l éude Les effes de la esaneu ou les auses d amoissemen (isosié, ) ne son as is en ome Losque le fluide es au eos (ham des iesses nul), on noe eseiemen P, e T sa ession, sa masse olumique e sa eméaue, gandeus suosées unifomes dans l esae e onsanes dans le ems L onde sonoe es déie omme une eubaion de e éa de eos, ae des hams de iesse, de ession e de masse olumique de la fome : ( M, ) ( M, ), P( M, ) P ( M, ), où = suession, ou ession aousique, ( M, ) ( M, ), où désigne l éa de masse olumique, les hams, e éan onsidéés a ioi omme des infinimen eis de même ode L aoimaion aousique L aoimaion aousique onsise à limie les aluls à l ode ae les infinimen eis, e qui eme d obeni des équaions linéaies Tou eme d ode suéieu ou égal à sea négligé En aiulie, si on noe (, ) le délaemen à l insan de la anhe de fluide siuée au eos à l absisse, l aoimaion aousique onsise à onsidée les défomaions des difféens élémens du fluide de faible amliude e à éie : ) Mise en équaion a aohe euléienne Équaion loale de la dynamique ou un fluide afai (équaion d Eule) L équaion d Eule ondui dans l aoimaion aousique à : gad ( ) (éq ) Équaion de onseaion de la masse En se limian au infinimen eis d ode, l équaion de onseaion de la masse s éi : di( ) (éq ) Éoluion hemodynamique Les méso-aiules fluides subissen des éoluions hemodynamique isenoiques On donne le oeffiien de omessibilié isenoique : V V P P La linéaisaion du oblème donne : P P P D où On en dédui dans l aoimaion aousique : Page su 7 (éq 3)

2 3 ) L équaion de oagaion Céléié du son ONDE ACOUTIQUE DAN LE FLUIDE () On aelle l eession de l oéaeu lalaien salaie : f di( gad( f )) On éabli à ai des équaions de oulage (), () e (3) l équaion d éoluion de la suession sous la fome :, ae On eien : Dans l aoimaion aousique e ou un éoulemen afai, la ession aousique (ou suession) es soluion de l équaion de D Alembe à ois dimensions : s s La éléié de l onde sonoe (ou «iesse du son») s éi : Odes de gandeus de Dans un gaz afai suosé afai à la eméaue T au eos, on a : P RT M liq gaz Pou un liquide, La iesse du son es don lus imoane dans les liquides que dans les gaz Le as des solides n ene as dans le ade de l éude menée ii On eien ouefois que la iesse du son dans un solide es enoe lus éleée que dans un liquide gaz (à C) liquide Tiges solides ols milieu ai hélium eau à 5 C fone aie ee Tee ou sable Rohes (m/s) à 6 3 à à 6 3 Éoluion du ham des iesses D un oin de ue inémaique le ham des iesses assoié à la oagaion d une onde sonoe, oesond à un éoulemen omessible ( di( ) ) e ioaionnel ( o( ) ) On éabli, en uilisan l idenié eoielle o( o( )) gad( di( )) ( ), que le ham des iesses es, omme ou ou, soluion de l équaion de l équaion des ondes à ois dimensions : Il s agi ii de l équaion de d Alembe eoielle, fomellemen équialene à l équaion salaie (il suffi de se aele que les omosanes du lalaien eoiel, son, en oodonnées aésiennes, le lalaien des omosanes) uue des ondes sonoes Le aaèe ioaionnel de la oagaion d une onde sonoe mone que le ham des iesses es aallèle à la dieion de oagaion de l onde : on di que les ondes sonoes son longiudinales On eien : Une onde aousique ogessie es longiudinale (le délaemen des ouhes de fluide se fai aallèlemen à la dieion de oagaion de l onde) e néessie la ésene d un milieu maéiel ou se oage Page su 7

3 II Les soluions de l équaion des ondes à ois dimensions ) Cas d un oblème à syméie shéique La fonion f ) hehée ne déend que du ems e de la disane = OM Le lalaien s'éi alos en oodonnées shéiques f f On effeue le hangemen de aiable : = f Alos f D où f ONDE ACOUTIQUE DAN LE FLUIDE () Ainsi l équaion des ondes s éi, soi On eonnaî l équaion des ondes à une dimension éudiée éédemmen = La soluion généale de l équaion de d Alembe ou un oblème à syméie shéique s éi f(, ) f ( ) f ( ) Comme il a éé déjà u, les fonions f + e f - son abiaies, déeminées a les ondiions au limies, eésenan eseiemen deu ondes shéiques diegene e onegene a ao à l oigine O ufaes d'onde On aelle sufae d'onde assoiée à une onde f(m,) le lieu des oins M els que f(m,) = Cse à donné Ainsi, a eemle, ou l'onde shéique éédene, les sufaes d'onde son des shèes de ene O ) Cas d une oagaion suian une dieion fie On désigne a Ou une dieion saiale fie définie a le eeu uniaie e u, de osinus dieeus (,, ) : e u e e y e z, ae Un oin M quelonque es eéé a son ayon eeu e yey ze z On noe u eu y z (u eésene l absisse de la ojeion H du oin M su l ae Ou) On di que f(, y, z, ), soluion de l équaion de d Alembe à ois dimensions, déi une onde lane ogessie (OPP) se oagean suian la dieion Ou si, à donné, f(,y,z,) ne déend que de u, ae u eu Les sufaes d onde de l onde lane son les lans eendiulaies à Ou Inesemen, si f(,y,z,) eésene une onde se oagean dans la dieion Ou e si, à donné, f(,y,z,) n a as la même aleu en ou oin d un lan eendiulaie à Ou, es que l onde ainsi déie n es as lane L équaion de d Alembe éan inaiane a hangemen de base, on eu ou à fai hoisi l ae O ou la dieion Ou Ainsi : u e e La soluion ainsi hehée sous fome d onde lane ogessie es du ye f Noons mainenan simlemen u le eeu uniaie dans la dieion Ou, sans hehe à aiulaise l ae des Page 3 su 7

4 Page 4 su 7 ONDE ACOUTIQUE DAN LE FLUIDE () Une onde lane ogessie (OPP) se oagean suian la dieion Ou, soluion de l équaion de d Alembe à ois dimensions f f, s éi u sous la fome généale f (u uniaie dans la dieion Ou) Les sufaes d ondes de l OPP son des lans eendiulaies à la dieion définie a le eeu u i la fonion f es de ye sinusoïdal, l onde assoiée es die onde lane ogessie hamonique (OPPH) Généalisaion Nous admeons que oue soluion de l équaion de d Alembe es une sueosiion d ondes lanes ogessies, don les dieions de oagaion Ou ouen ou l esae Une sueosiion donnée d ondes lanes ogessies ne ondui as foémen à une onde ésulane, ni lane, ni ogessie (one eemle : les ondes saionnaies ou les ondes guidées) 3 ) L onde lane ogessie hamonique (OPPH) Définiion Une soluion aiulièe de l'équaion de oagaion es l'onde lane déendan sinusoïdalemen du ems, aelée Onde Plane Pogessie Hamonique (ou sinusoïdale, ou monohomaique), en abégé OPPH (ou OPPM) Une OPPH se oagean à la éléié dans le sens du eeu uniaie u es aaéisée a: - sa féquene (emoelle) ou sa ulsaion (emoelle) - sa longueu d'onde T ou son nombe d'onde = son eeu d'onde k u u Une OPPH ésene une double éiodiié, emoelle de éiode T e saiale de éiode Noaion omlee d'une OPPH i on assoie à oue omosane éelle f du ham de iesse ou de la suession aousique la quanié omlee f fm e j ( - k ), les oéaeus difféeniels se amènen, en oodonnées aésiennes, au ansfomaions algébiques suianes X j X, dix jk X, ox jk X, Relaion de disesion Le modèle de l OPPH ondui à la elaion de disesion obenue en éinjean la soluion en OPPH dans l équaion de oagaion Pou un oblème égi a l équaion des ondes, la elaion de disesion s éi k Elle mone que k es éel e ooionnel à, onduisan à une oagaion sans disesion ni absoion X k X

5 ONDE ACOUTIQUE DAN LE FLUIDE () III Aohe énegéique ) Imédane aousique d une onde lane ogessie hamonique oi une OPPH de ulsaion se oagean suian la dieion e oi la ojeion du eeu iesse su la dieion de oagaion On noe k k e le eeu d onde assoié à ee OPPH On éi le oeniel des iesses (l onde sonoe oesond à un éoulemen ioaionnel) sous la fome : (, ) e j k En aisonnan ae les images omlees assoiées au ham de iesses e au ham de suession, on eu éie : jk e j Pa eou au aies éelles, il ien si oagaion dans le sens des si oagaion dans le sens des Pa sueosiion d OPPH de même dieion e e de ulsaions quelonques, e ésula ééden s éend à oue OPP a la onsane es indéendane de On eien : Le ao Z ou une OPP ne déend que des aaéisiques du milieu On l aelle imédane aousique du milieu, ae : Z si oagaion dans le sens des Z si oagaion dans le sens des ) Veeu de «Poyning» aousique Inensié sonoe Puissane éhangée à aes une sufae Considéons la sufae élémenaie d oienée, enée su un oin M e séaan le fluide en une aie à gauhe de d, dans laquelle eise la ession P + (fluide en mouemen aesé a l onde sonoe) e l aue à doie de d soumise uniquemen à la ession P (fluide au eos) ous l effe de l onde aousique, la sufae d se délae à la iesse La foe essane eeée a la aie gauhe su la aie doie s éi : df d La uissane de la foe df s éi alos d P df d, e la uissane ansmise à aes une sufae () es donnée a P d On eien : P + Cee uissane aaaî omme le flu du eeu à aes () On aelle e eeu le eeu de Poyning aousique (ou eeu densié de flu de uissane sonoe) es homogène à une uissane sufaique e s eime en usi en W/m P d Bilan énegéique loal Densié olumique d énegie sonoe On aelle que di( fa) fdi( a) a gad( f ) Ainsi di di gad Page 5 su 7

6 Ae les équaions de oulage ene e, on obien : gad e di e On en dédui l équaion loale di( ), où e On eien : ONDE ACOUTIQUE DAN LE FLUIDE () La gandeu e, homogène à une énegie olumique (ou densié olumique d énegie sonoe), es la somme d une énegie olumique inéique e assoiée au mouemen maosoique du fluide e d une énegie olumique oenielle e Inensié aousique (ou sonoe) due au aail de la suession aousique e énegie olume On aelle inensié aousique, noée I, la uissane moyenne ansféée a l onde sonoe à aes une sufae unié eendiulaie à sa dieion de oagaion Pou une OPP I Le domaine de féquenes aessibles à l oeille humaine s éend su enion oaes de Hz à khz (le lus souen 5 Hz 5 khz) Les suessions déeables a l oeille humaine aien yiquemen de -5 Pa à Pa (son douloueu), ouan ainsi lusieus déades Le seuil d audiion oesond à seuil de douleu se siue à I W m ( = -5 Pa) e le I W m ( = Pa) douleu Déibels aousiques On défini le nieau sonoe (ou nieau de uissane aousique) en déibels a : L log I I, ae I W m ise omme éféene L éhelle logaihmique uilisée ou les inensiés sonoes ien de e que l oeille humaine, omme les aues éeeus d ailleus onsiue un déeeu logaihmique Odes de gandeus yiques de nieau sonoes : buis ambiane buis oubles de l oeille silene onesaion douleu ouans buyane énibles (ubo éaeu) < db < 5 db 6 db < 7 db < db db 3 db Page 6 su 7

7 ONDE ACOUTIQUE DAN LE FLUIDE () 3 ) Disussion des odg : alidaion des aoimaions effeuées On onsidèe une OPPH dans le domaine audible se oagean dans l ai à eméaue ambiane La éléié au 34 m / s L imédane aaéisique de l ai es Zai 44usi Gandeu hysique mini aleu moyenne mai Féquenes Hz khz khz Longueu d onde / f 7mm 7m 7m Inensié aousique I uession aousique ZaiI 6 Wm Wm Wm 5 Pa Pa Pa Viesse aiulaie / Z nm / s m / s 5 m / s ai Délaemen aiulaie /,nm 3nm,4 m / / 9 8 de 6 à ( gad) Modélisaion de l éoulemen afai : influene de la isosié On a suosé l éoulemen afai e don négligé les foes olumiques de isosié En suosan le fluide newonien e en enan ome ii de sa omessibilié, on mone que la foe olumique isqueuse s éi fis () Comaons f 4 is e en enan ou la isosié 3 5 inémaique de l ai m s () / / / T f Il es bien légiime de néglige les foes de isosié e qui alide l aoimaion de l éoulemen afai dans l équaion méanique Modélisaion de l éoulemen isenoique : influene des ansfes hemiques L éoluion hemodynamique du fluide es adiabaique si on eu néglige la uissane hemique olumique ansféée a diffusion hemique (eme en h ( ) où h es la onduiié hemique de l ai e la eméaue) dean le ansfe d énegie inene a unié de olume e unié de ems (eme en V ) On donne la diffusiié hemique de l ai D h h V 5 m s h V ( ) D / / T h / D f h Le ansfe hemique a diffusion es bien négligeable e qui alide l hyohèse d adiabaiié dans l éoulemen Page 7 su 7

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