Frédéric Planchet, Pierre-Emmanuel Thérond. To cite this version: HAL Id: hal

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1 Allocatio d actifs selo le critère de maximisatio des fods propres écoomiques e assurace o-vie : présetatio et mise e oeuvre das la réglemetatio fraçaise et das u référetiel de type Solvabilité Frédéric Plachet, Pierre-Emmauel Thérod To cite this versio: Frédéric Plachet, Pierre-Emmauel Thérod Allocatio d actifs selo le critère de maximisatio des fods propres écoomiques e assurace o-vie : présetatio et mise e oeuvre das la réglemetatio fraçaise et das u référetiel de type Solvabilité Bulleti Fraçais d Actuariat, Istitut des Actuaires, 7, 7 (3), pp38 <hal-4438> HAL Id: hal Submitted o 6 Dec 9 HAL is a multi-discipliary ope access archive for the deposit ad dissemiatio of scietific research documets, whether they are published or ot The documets may come from teachig ad research istitutios i Frace or abroad, or from public or private research ceters L archive ouverte pluridiscipliaire HAL, est destiée au dépôt et à la diffusio de documets scietifiques de iveau recherche, publiés ou o, émaat des établissemets d eseigemet et de recherche fraçais ou étragers, des laboratoires publics ou privés

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3 Allocatio d actifs selo le critère de maximisatio des fods propres écoomiques e assurace o-vie : présetatio et mise e œuvre das la réglemetatio fraçaise et das u référetiel de type Solvabilité Frédéric PLANCHET Pierre-E THÉOND α ISFA Uiversité Lyo β WINTE & Associés γ ÉSUMÉ Le critère de maximisatio des fods propres écoomiques (MFPE) vise à choisir l allocatio d actifs qui optimise, sous l opérateur espérace, la valeur de la société d assurace rapportée à ses fods propres comptables Ce critère est préseté das le cadre d ue société d assurace o-vie simplifiée Il est esuite mis e œuvre das le cadre de la réglemetatio fraçaise actuelle puis d ue réglemetatio ispirée des travaux e cours sur le futur référetiel prudetiel europée Solvabilité Alors que das la réglemetatio fraçaise, le iveau des fods propres e déped pas directemet de l allocatio d actifs, il e va autremet das u référetiel du type Solvabilité puisque le capital cible doit cotrôler le risque global de la compagie auquel cotribue l allocatio d actifs La mise e œuvre du critère de MFPE passe alors par la détermiatio du couple allocatio d actifs / fods propres qui est solutio d u programme de cotrôle stochastique Au fial, ue illustratio umérique permet d aalyser les coséqueces de la mise e place du ouveau référetiel prudetiel Solvabilité sur les iveaux de provisios techiques et de fods propres de la société puis d illustrer l impact du chagemet de référetiel sur l allocatio détermiée par le critère de MFPE Efi l effet d ue mauvaise spécificatio de l actif sur l allocatio détermiée par le critère de MFPE est illustré MOTS-CLEFS : Allocatio d actifs, critère de maximisatio des fods propres écoomiques, assurace o-vie, probabilité de ruie, solvabilité Joural of Ecoomic Literature Classificatio: G, G & G3 Ce travail a fait l objet d ue présetatio lors du XXXVI e colloque ASTIN de Zürich, septembre 5 Frédéric Plachet est Professeur associé de Fiace et d Assurace à l ISFA (Uiversité Lyo Frace) et actuaire associé chez WINTE & Associés Cotact : fplachet@witer-associesfr α Pierre Thérod est étudiat e doctorat, chargé de cours e assurace à l ISFA et actuaire coseil chez WINTE & Associés Cotact : ptherod@witer-associesfr β Istitut de Sciece Fiacière et d Assuraces (ISFA) - 5, aveue Toy Garier Lyo cedex 7 γ WINTE & Associés 43/47 aveue de la Grade Armée 756 Paris et 8 aveue Félix Faure 697 Lyo - -

4 ABSTACT The ecoomic equities maximizatio criterio (MFPE) leads to the choice of fiacial portfolio, which maximizes the ratio of the expected value of the isurace compay o the capital This criterio is preseted i the framework of a o-life isurace compay ad is applied withi the framework of the Frech legislatio ad i a lawful cotext ispired of the works i progress about the Europea project Solvecy I the Frech regulatio case, the required solvecy margi does ot deped of the asset allocatio It is quite differet i the Solvecy framework because the target capital has to cotrol the global risk of the compay Ad the fiacial risk takes part of this global risk Thus the ecoomic equities maximizatio criterio leads to search a couple asset allocatio / equities which solves a stochastic program A umerical illustratio makes it possible to aalyze the cosequeces of the itroductio of a Solvecy framework o the techical reserves ad the equities of a o-life isurace compay ad o the optimal allocatio due to the ecoomic equities maximizatio criterio Fially, the impact of a misspecificatio of the risky asset model o the optimal allocatio is illustrated KEYWODS: Asset allocatio, ecoomic equities maximizatio criterio, o-life isurace, rui probability, Solvecy Joural of Ecoomic Literature Classificatio: G, G & G3 - -

5 Itroductio Jusqu alors das le dispositif prudetiel fraçais et, plus largemet, das de ombreux dispositifs europées, la solvabilité des sociétés d assurace est assurée par ue série de provisios au passif et des cotraites sur les supports admissibles pour les placemets à l actif E effet, les placemets sot soumis à diverses règles prudetielles ayat pour but d assurer leur sécurité E particulier, leur répartitio géographique et etre les différetes classes d actifs, leur dispersio et leur cogruece (cohérece de la moaie das laquelle ils sot libellés avec celle das laquelle serot payées les prestatios) répodet à des règles strictes Ce mode de foctioemet a pour coséquece directe que les problématiques de détermiatio des fods propres, d ue part, et d allocatio d actifs, d autre part, sot distictes E effet, das la cadre de la réglemetatio européee actuelle, le iveau miimal des fods propres (l exigece de marge de solvabilité) dot doit disposer u assureur déped uiquemet 3 du iveau des provisios techiques e assurace vie et du iveau des prestatios et des primes e assurace o-vie Le projet Solvabilité (cf COMMISION EUOPÉENNE [3], [4] et AAI [4]) e cours d élaboratio modifie profodémet ces règles e itroduisat comme critère explicite de détermiatio du iveau des fods propres le cotrôle du risque global supporté par la société Ce risque devra otammet être quatifié au travers de la probabilité de ruie Aisi, la détermiatio de l allocatio d actifs se trouve de fait itégrée das la démarche de fixatio du iveau des fods propres, la structure de l actif impactat directemet la solvabilité de l assureur U certai ombre de travaux s attachet à défiir des approches stadards pour la détermiatio du capital de solvabilité (cf AAI [4] et DJEHICHE et HÖFELT [5]) Das ces approches la structure de l actif est ue doée et les auteurs s attachet à détermier le iveau miimal de capital qui cotrôle le risque global de la société Nous proposos ici u poit de vue alteratif das lequel les iteractios etre le iveau du capital cible requis et l allocatio sot explicitemet prises e compte et où l o cherche à détermier directemet u couple capital / allocatio d actifs La motivatio de cette approche est qu il ous apparaît préférable das ce ouveau cotexte de détermier de maière cojoite le iveau du capital et la maière d allouer ce derier, du fait des fortes iteractios que Solvabilité iduit à ce iveau Pour cela ous allos utiliser le critère de maximisatio des fods propres écoomiques (MFPE) iitialemet élaboré das des problématiques d assurace vie das PLANCHET et THÉOND [4b] Ce critère reviet à détermier le couple capital / allocatio d actifs qui maximise la valeur iitiale de la firme (exprimée e pourcetage des fods propres réglemetaires) lorsque celle-ci est mesurée sous l opérateur espérace Ce critère permet d obteir ue allocatio dot la détermiatio e déped pas d u critère subjectif tel que le iveau de la probabilité de ruie L allocatio détermiée est esuite cofrotée ex post à de tels idicateurs de maière à la calibrer et à valider so respect des cotraites réglemetaires Cf art 33-6 du Code des assuraces Cf art 33- et suiv du Code des assuraces 3 Le calcul de l exigece de marge de solvabilité itègre égalemet la réassurace des sociétés - 3 -

6 Après avoir préseté u modèle simplifié de société d assurace sur laquelle ous allos travailler, ous repreos la défiitio d allocatio optimale au ses du critère de MFPE et l explicitos, e particulier, d abord das le cadre de la réglemetatio fraçaise puis d u référetiel de type Solvabilité Nous illustros esuite la mise e œuvre de ce critère das le cas d ue société d assurace couvrat deux types de risques dépedats et devat composer so portefeuille fiacier parmi u actif risqué (dot le redemet est modélisé par u processus de Lévy simple) et u actif sas risque Provisios techiques et iveaux de fods propres miimaux sot détermiés das les deux référetiels prudetiels ; puis le critère de MFPE coduit à ue allocatio d actifs das le cadre de la réglemetatio fraçaise et u couple capital cible / allocatio d actifs das le référetiel de type Solvabilité Efi l impact d ue mauvaise spécificatio de l actif sur les résultats obteus est examié Modélisatio de la société d assurace Ue société couvre sur ue période 4 risques qui egedrerot sur cette période les motats de siistres S,, où S correspod à la charge de siistres de l esemble des polices de la S i brache i dot la foctio de répartitio sera otée Cette modélisatio est pas restrictive das la mesure où la variable aléatoire (va) S i peut représeter les prestatios effectivemet versées sur la période ou leur valeur actualisée e fi de période Nous feros l hypothèse que le versemet des prestatios a lieu e fi de période Nous supposeros égalemet que l assureur e souscrit pas de ouveau cotrat e cours de période et que toutes les surveaces de siistres sot coues e fi de période E début de période, coformémet à la réglemetatio, l assureur a doté ses provisios techiques d u motat Parallèlemet l assureur dispose d u iveau de fods propres E L qui doit être supérieur au iveau miimum de fods propres réglemetaires F i Nous supposeros que l assureur place le motat E + L das m actifs fiaciers A = A,, A m avec les proportios =,, ) Pour simplifier les otatios, ous poseros, sas perte 5 ( m {, m} E ( ) de gééralité, pour tout j,, A = et = Nous oteros Ω l esemble des choix de portefeuille admissibles au regard de la réglemetatio j Das le cadre de la législatio fraçaise actuelle, le calcul de et déped uiquemet de S = S,, S, alors que sous u référetiel du type Solvabilité, E est égalemet foctio de, A,, m j= j 6 L E ( ) A m 4 Les documets de travail de la Commissio européee privilégiet ue approche moo-périodique pour l appréciatio de la solvabilité 5 O suppose doc implicitemet que les règles de placemet sot idetiques pour les actifs e représetatio des provisios techiques et pour les actifs associés aux fods propres 6 Sous réserve de l utilisatio d u pricipe de primes e dépedat que des lois des S i - 4 -

7 E fi de période, l assureur doit payer le motat de prestatios S ressource de m j A j j= ( L + E ) aléatoires S et A sot idépedats = S i i= Il dispose comme Das la suite, ous feros l hypothèse que les vecteurs Das la suite Φ désigera la foctio de répartitio de la loi ormale cetrée réduite N ( ;) 3 Critère de maximisatio des fods propres écoomiques Après avoir itroduit de maière géérale le critère de maximisatio des fods propres écoomiques, ous étudios sa mise e œuvre das le cadre de la réglemetatio fraçaise actuelle d ue part, puis d u référetiel de type Solvabilité d autre part 3 Présetatio géérale E S i Si ] e fi de période Par i= i= ailleurs et à la même date, ses ressources serot costituées par ses provisios techiques, ses E espérace, l assureur devra débourser [ S ] = E = E[ m j A j j= fods propres et les produits fiaciers qu ils ot egedrés, soit ( L + E ) E espérace, l actif de l assureur e fi de période atteidra doc le motat m m E ( L + E ) j Aj = ( L + E ) j E[ A j ] j= j= m Das la suite ous oteros Λ = S i j Aj i= j= la charge des prestatios actualisée au taux de redemet du portefeuille fiacier et = Σ L + E Λ Σ peut s iterpréter comme la valeur (aléatoire) du surplus au terme actualisée au taux de redemet de l actif ( ) Défiitio : Nous appelleros «fods propres écoomiques» l espérace de ce surplus actualisé E [ Σ ] = E [ E + L ] et «provisio écoomique» la quatité E [ ] Λ Propositio : Pour tout Ω, placer e début de période la quatité E[ Λ selo l allocatio permet d être, e espérace, capable de payer les prestatios e fi de période Démostratio : La foctio iverse état covexe sur ] ;+ [, l iégalité de Jese assure E X > ( E X ) et doc que pour toute variable aléatoire X à valeurs strictemet positives, [ ] [ ] E m [ Λ ]* E j Aj E Si j= i= Λ puisque A et S ot été supposés idépedats ] - 5 -

8 E Σ peuvet s iterpréter comme ue valorisatio, sous l opérateur espérace, de la compagie e L assureur peut rechercher à maximiser cette valorisatio e référece aux capitaux de la société par le biais de so allocatio d actifs, i e à choisir le portefeuille qui maximise la quatité Aussi les fods propres écoomiques [ ] φ ( ) [ Σ ] = E, () E i e le rapport etre la «valeur écoomique» de la société et ses fods propres comptables * Défiitio : Ue allocatio est optimale au ses du critère de maximisatio des fods * propres écoomiques (MFPE) si est solutio du programme d optimisatio sup φ O ote que l esemble des solutios solutios du programme ( L [ Λ ]) { ( )} { E Ω Ω * de sup { φ( ) } coïcide avec l esemble des Ω sup E } Le terme E e peut quat à lui être élimié puisque l assureur doit disposer d u iveau de fods propres E E et que E peut dépedre de (ce sera otammet le cas das le référetiel de type Solvabilité préseté ifra) Propositio : Si les variables aléatoires et * S i sot idépedates, est i= m j A j j= * optimale au ses du critère MFPE si, et seulemet si, est solutio du programme m d optimisatio sup E L E A j S i E j Ω j= i= La démostratio de ce résultat est immédiate Das la suite, o supposera que l assureur dispose du iveau miimal de fods propres réglemetaires et doc que E E = 3 Mise e œuvre das le cadre réglemetaire fraçais La réglemetatio fraçaise impose d évaluer les provisios techiques brache par brache Elle précise 7 que ces provisios correspodet à la «valeur estimative des dépeses ( ) écessaires au règlemet de tous les siistres surveus et o payés» Aussi le motat à provisioer e début de période au titre de la brache i sera l espérace de Par ailleurs S i 7 Cf art 33-6 du Code des assuraces - 6 -

9 , = ] l escompte des provisios est prohibé 8 de sorte que l o a i {, }, L i E[ S i = i L i= L et Das le cadre de la réglemetatio actuellemet e vigueur, marge de solvabilité 9» et est idépedat de, A,, où γ est le taux de chargemet des primes, que ous supposeros commu à toutes les braches Das ce modèle moo-périodique et e appliquat la réglemetatio actuelle e vigueur, l allocatio optimale au ses du critère de MFPE e déped doc que des caractéristiques des placemets fiaciers appelos que lorsqu il est mis e oeuvre das u modèle multipériodique tel que das le cas d u régime de retiers (cf PLANCHET et THÉOND [4b]), la structure du passif est itégrée par le biais du profil espéré des flux futurs Le problème α m d optimisatio à résoudre s écrit alors if E E[ Flux ( k) ] j A j( k), qui est ue Ω k = j= gééralisatio aturelle du critère préseté supra Am E est appelé «exigece de E effet, le iveau de l exigece de marge de solvabilité est uiquemet foctio des siistres passés et des primes ecaissées : l assureur calcule doc séparémet l exigece de marge selo les méthodes à partir des primes d ue part et des siistres d autre part, puis retiet la plus grade des deux valeurs Nous supposeros ici que l exigece de marge de solvabilité est calculée à partir des primes E l absece de réassurace, la méthode à partir des primes cosiste à reteir le motat 8% mi{ ΠS, 5 M } + 6% max{ ΠS 5 M, } où Π S désige le motat total des primes commerciales ecaissées Das la suite, ous supposeros aisi que = % γ, () E 8 * + ( ) E [ S ] Das ce cotexte, le passif de la société itègre i la dépedace qui peut exister etre les braches, i les risques liés aux placemets et, a fortiori, les risques actif-passif L idépedace de E par rapport à, A,, A m permet d établir trivialemet la propositio suivate Propositio 3 : Das le cadre réglemetaire fraçais, ue allocatio est optimale au * ses du critère de maximisatio des fods propres écoomiques si est solutio du m programme d optimisatio if E Ω j A j j= * 8 À l exceptio de braches à très log développemet telles que l assurace resposabilité civile e assurace costructio par exemple 9 Cf art L334- du Code des assuraces Cf Directive européee /3/CE - 7 -

10 Das la situatio traitée ici, le fait que le critère de MFPE e dépede que de l actif est doc la coséquece d ue part du fait que la marge de solvabilité e déped pas de, et d autre part que le modèle cosidéré est moo-périodique 33 Mise e œuvre das u référetiel de type Solvabilité Le projet Solvabilité vise à itroduire des outils de gestio de la solvabilité globale de la société d assurace E termes quatitatifs, il s agira essetiellemet : de détermier, pour chaque brache, u iveau de provisios techiques qui itègre la dagerosité du risque appréciée par ue mesure de risque ; de détermier u iveau de «capital cible» qui cotrôle, avec ue forte probabilité, tous les risques supportés par la société sur u horizo fixé Das la suite, ous supposeros que pour chaque brache, l assureur doit provisioer, e début de période, le motat qui lui permet de faire face à ses egagemets de payer e fi de période les prestatios egedrées par cette brache das 75% des cas Cela reviet à provisioer, pour chaque brache i, la Value-at-isk (Va) à 75% du risque S i escomptée au taux d itérêt sas risque sur la période r Nous supposeros, sas perte de gééralité, que la période est de durée Défiitio 3 : La Value-at-isk (Va) de iveau α associée au risque X est doée par Va X, α = if x Pr X x α ( ) { [ ] } Pour chaque brache i, o aura doc r ( S, ) e i = Va i 75% (3) L Par ailleurs, ous supposeros que le «capital cible» est détermié de telle maière que l etreprise soit capable, e fi de période, de faire face à ses egagemets evers ses assurés avec ue probabilité de 99,5% Formellemet cela sigifie que E est le plus petit motat qui remplit la coditio E m Pr ( L + E ) j Aj Si 99, 5% (4) j= i= Doc E + est la Va à 99,5% de Le iveau du capital cible est doc égal à L E Λ = if E Pr Λ 5 r Va ( Si, 75% ) e 99, % E i= (5) Nous e discutos pas ici des différetes mesures de risque possibles i de leur pertiece das le cadre du projet Solvabilité ; ATZNE et al [999] ou ecore DHAENE et al [4a] fourisset ue présetatio complète sur ce sujet - 8 -

11 Cette expressio ous permet d observer qu à la différece de la marge de solvabilité, le capital cible est foctio de la dépedace stochastique etre les différetes braches et des risques liés aux placemets fiaciers 4 Applicatio du critère de MFPE Das cette partie, ous allos mettre e œuvre le critère de MFPE das le cas d ue société d assurace qui couvre deux risques S et S et qui doit composer so portefeuille fiacier parmi deux actifs et A A Après avoir comparé les bilas obteus das les deux systèmes prudetiels, ous comparos les allocatios obteues par le critère de MFPE et leur sesibilité à l évolutio de différets paramètres 4 Modélisatio des risques La compagie supporte deux types de risque : les risques de passif liés à la siistralité egedrée par so portefeuille de cotrats d assurace et les risques de placemets Par ature ces deux types de risques sot différets aussi bie das la maière dot ils affectet l assureur que das le pilotage qui peut être mis e œuvre pour les cotrôler Aisi, à la différece des risques de siistres, les risques de placemets e se mutualiset pas mais l assureur peut les cotrôler par sa politique d ivestissemet 4 isques des siistres Nous supposeros que les deux risques S et S couverts par la société d assurace sot distribués selo des lois log-ormales LN ( µ, σ ) et LN ( µ, σ ) Notos C α la copule de Frack qui sera supposée modéliser la dépedace etre ces deux risques Le théorème de Sklar (cf PLANCHET et al [5] pour ue itroductio à la théorie des copules) ous idique que la loi du couple ( S, S ) peut s écrire, de maière uique, [ S s, S s ] C ( F( s ), F ( )) α s Pr =, (6) où : et, les foctios de répartitio respectivemet de et S, sot telles que F F S s µ S i i ;, σi ( )( ) = + α αu αu e e u, u l α e i [ l s] = Φ Pr pour { } C ( ) α La copule de Frack permet de disposer d ue structure de dépedace qui permet, selo la valeur de α, de modéliser des risques idépedats ( α ), avec ue dépedace égative ( α coduit à la copule de la bore iférieure de Fréchet) ou avec ue dépedace - 9 -

12 positive ( α + coduit à la copule de la bore supérieure de Fréchet) La structure de dépedace iduite par cette copule est illustrée par le graphe suivat,7,5,3,,9,,8,7,6 u,4,,,,,4,6 u,8,,5 Fig - Desité de la copule de Frack de paramètre Pour les applicatios umériques, ous utiliseros les paramètres suivats : µ = 5, 99 σ =, 377 α = µ = 3, 84 σ =, 374 γ =, 5 Notos que α = correspod à des risques dot la dépedace est positive Comme il est pas possible d expliciter par ue formule directemet utilisable la loi d ue somme de va log-ormales, ous utiliseros les techiques de Mote Carlo 3 pour obteir la foctio de répartitio empirique de cette somme Cepedat, e pratique, il apparaît souvet souhaitable de dimiuer le ombre de variables à simuler, dès lors il peut être itéressat d utiliser des approximatios de leur loi Par exemple, DHAENE et al [5] proposet d approximer S c par la comootoic upper boud S de S défiie par où U est ue va de loi uiforme sur [ ; ] { µ + σ Φ ( U )} = c S exp i i i=, (7) Cette approximatio permet otammet de disposer de formules fermées pour calculer des Value-at-isk ou ecore des Tail-Va So utilisatio requiert éamois de mesurer l erreur d approximatio commise Ce poit e sera pas développé plus avat das le préset travail Les paramètres sot e fait choisis pour que l espérace de la charge siistre pour le risque soit égale à 5 et à 5 pour le risque 3 E particulier, la dépedace etre les deux charges de siistres sera itégrée à l aide du résultat décrit e aexe - -

13 Le graphique suivat présete la distributio de la charge totale de siistres obteue pour cette modélisatio du passif avec les paramètres idiqués supra % 75% Va à 75% Somme des Va à 75% des deux braches 5% Espérace 5% % Fig - Distributio de la charge totale de siistres O remarque e particulier que la somme des Va à 75 % est supérieure à la Va à 75 % de la somme des risques bie que la dépedace etre les risques soit positive O rappelle e effet que la Value-at-isk est pas ue mesure de risque cohérete au ses de ATZNE et al [999] car elle est pas sous-additive 4 isques des placemets Nous supposeros que l assureur doive composer so portefeuille fiacier parmi deux actifs A et A Pour fixer les idées, ous supposeros que A est ue actif risqué et A u bo de capitalisatio Nous supposeros que le cours de l actif risqué suit u processus à saut défii par ( µ σ ) N t A ( t) = exp t + σb t + U k, (8) k = où : est u mouvemet browie ( B t ) ( ( N t ) ( ) ( k ) ( B = t ) N est u processus de Poisso d itesité λ = t U est ue suite de variables aléatoires idépedates idetiquemet = U k ) N (,σ u ) distribuées de loi ue loi ormale Les processus B, N et U sot mutuellemet idépedats Le choix de cette modélisatio est motivé par la voloté de permettre de quatifier l icidece de la présece de sauts sur la probabilité de ruie et, par-là, sur le iveau du capital de solvabilité Aussi après avoir étudié ce processus à sauts, ous reviedros das le paragraphe 44 au cas classique du mouvemet browie géométrique Les sauts sot ici, das u souci - -

14 de simplicité, supposés symétriques et e moyee uls ; des modèles plus élaborés à sauts dissymétriques peuvet égalemet être proposés (cf AMEZANI et ZENG [998]) Notos Ψ la tribu egedrée par les B, N pour t s s s t et U } pour j ; B est u mouvemet browie stadard par rapport à la filtratio Ψ, N est u processus adapté à cette même filtratio De plus pour tout t > s, N N est idépedat de la tribu Propositio 4 : Pour tout >, Démostratio : Soit Pr A( t) x = Pr k = + = Pr = Pr x [ A( t) x] x >, o a Nt [ ] U + ( µ σ ) k N t = k = + = k = U U k k + + t s k { k Nt Ψ s ( µ σ ) t ( λt ) + l x λt Pr = Φ e = σu + tσ! t + σb ( µ σ ) t t + σb l x t l x, N ( µ σ ) t + σb l x Pr [ N = ] t t = puisque les processus N, B et U sot mutuellemet idépedats Par ailleurs, les processus U k k= k= U k et σ état idépedats et gaussies, leur somme est égalemet gaussiee : B t ( σ u + tσ + σb t ~ N ; ) Efi comme N est u processus de Poisso d itesité λ, pour tout t >, la v a N est distribuée selo ue loi de Poisso de paramètre λt et doc λt [ ] ( λt ) = e Pr N t =! t Lorsque λ = (cas de l absece de sauts) o retrouve la loi log-ormale usuelle du browie géométrique Das le cas gééral, l expressio de la propositio 4 permet d approcher la distributio de l actif e e coservat qu u ombre fii de termes das la somme t, Par ailleurs, ous supposeros qu à la date t, le bo de capitalisatio A vaut rt A ( t) = e, (9) où r est le taux d itérêt sas risque, supposé costat sur la période étudiée, utilisé pour escompter les provisios das le paragraphe 33 Pour les applicatios umériques, ous utiliseros les paramètres suivats : µ =, 6 σ =, 5 r =, 344 λ =, 5 σ u =, - -

15 Les sauts serot doc d espérace ulle et, e moyee, il e surviedra u toutes les deux périodes Par ailleurs le taux sas risque r a été pris de maière à ce que le taux d escompte discret soit de 3,5 % Efi ous feros l hypothèse que Ω = [ ; ] [ ; ] sot iterdites à l assureur, ce qui sigifie que les vetes à découvert 4 MFPE das la réglemetatio fraçaise Das u premier temps, ous allos ous itéresser à ce qui se passe das la réglemetatio fraçaise das laquelle le iveau miimal de fods propres e déped pas du choix de portefeuille et doc das laquelle le problème d optimisatio itègre pas, lorsque l o e cosidère qu ue période, la variabilité des flux de siistres 4 Bila iitial Das le cadre de la réglemetatio fraçaise, l assureur va doter ses provisios techiques e début de période du motat L = E [ S ] + E[ S ] Le motat de ses fods propres E sera supposé être égal à la marge de solvabilité E soit : E = 8% * ( + γ) E ( S + S ) Avec les modélisatios de siistres reteues supra, le passif de l assureur est doc détermié par L E = exp µ = E σ + =, 8 σ + exp µ + σ exp µ + + exp µ ( + γ) + σ () Avec les paramètres sélectioés, le bila e de la société est résumé das le tableau ifra BILAN (réglemetatio fraçaise) E = 4 4, E + L, = 4 4 L L = 5 = 5 4 Allocatio optimale ( ) Das le cadre de la réglemetatio fraçaise, o a vu que l allocatio =, est optimale au ses du critère de MFPE si est solutio du programme d optimisatio Ω [( A + ( ) A ) ] if E - 3 -

16 La propositio suivate doe la coditio écessaire et suffisate pour que ce programme d optimisatio ait ue solutio o triviale 4 Propositio 5 : Le programme o triviale if E [( A ) ] [ ] + ( ) A ; * ] [ ) ( ) ( ) si, et seulemet si, < µ < r + σ + λ exp σ exp σ ( ; admet ue uique solutio [ ] r Démostratio : Cette démostratio va s articuler e deux étapes Das u premier temps ous allos détermier E [ A p ( t) pour tout réel p Ce résultat ous permettra d expliciter ue ] coditio sur les paramètres des modèles d actifs Etape : Soit, o a : ( µ, σ, σ, λ) r pour que ;, u N t p σ p [ A t ] p µ t p B p U E ( ) = E exp + σ t + k Les termes k = aléatoires de l expoetielle sot idépedats ce qui ramèe le calcul au produit de N t E [ exp{ pσb t }] et E exp p U k k = Pour tout t, est ue v a de loi N ; t doc > t B ( ) p σ E [ exp{ pσbt }] = exp t Par ailleurs o a vu (cf la démostratio de la propositio 4) que ( λt ) N + λt E exp p t Uk = e E exp p Uk k= =! k= Comme les sauts sot gaussies et cetrés, p σ E exp p U = u k exp k = et doc + Nt λt λt p σ E exp p U = u k e exp = exp λt exp p σu = k =! Ce qui permet d obteir p [ ] σ p σ E A ( t) = exp p µ t + t + λt[ exp( p σ ) ] u u * u ] [ ( ) { [ ( ) ] } Etape : La foctio objectif das le cas réglemetaire fraçais s écrit φ( ) = E ( e r + X ) avec X = A r () e O a doc φ [ ] ( ) = E X ( e r + X ) * [ ] 4 L expressio aalytique du miimum est e revache délicate à obteir et les calculs umériques serot meés par des techiques de simulatio - 4 -

17 et φ 3 [ ] r ( ) = E X ( e + X ) O e déduit trivialemet que la foctio objectif est covexe : ( ) > φ φ r r µ r ( ) = e E ( X ) = e ( e e ) et φ r r () = E [ A ( A e )] = E[ A e ] E[ A ] Cette derière expressio se calcule à l aide du résultat de l étape puisque Par ailleurs r σ [ ] = µ + 3σ + λ u σ E A e exp r e u et E [ A ] = exp{ µ + σ + λ( e ) } Ce qui ous permet d écrire φ σ σ () = exp r µ + 3σ + λ e u exp µ + σ + λ e u La foctio φ est strictemet covexe sur [ ; ], elle atteit doc u uique miimum sur φ φ ] ; [ si ( ) < et () >, i e si r < µ < r + σ + λ( exp{ σu } exp{ σu } ) O peut vérifier que les paramètres ( µ, σ, σ, λ) solutio o triviale : r choisis e 4 sot tels qu il existe ue, u r µ < r + σ + λ [ exp( σ ) exp( σ ) ] u u, 344 <, 6, 9 Cette propositio permet d établir que si µ < r, l assureur cosacrera l itégralité de so portefeuille fiacier au bo de capitalisatio E revache si ( exp{ σ } exp{ σ } ) µ > r + σ + λ u u, provisios techiques et fods propres serot exclusivemet ivestis das l actif risqué [ ] Le graphique suivat présete l évolutio de la quatité ( A + ( ) A ) de E e foctio - 5 -

18 97,5% 97,% 96,5% 96,% 95,5% % % 4% 6% 8% % Fig 3 - Provisio écoomique exprimée e pourcetage de la provisio réglemetaire e foctio de Cette foctio a u miimum o trivial pour =, 39 La société maximisera doc ses fods propres écoomiques si elle place so actif iitial pour 39, % e actios 43 Probabilité de ruie Afi de mesurer le iveau de prudece associé à l allocatio fourie par le critère de MFPE, il est aturel de détermier la probabilité de ruie qui lui est associée Aussi ous allos ous itéresser à la probabilité que l assureur e puisse payer les prestatios e fi de période Nous supposeros que la société est e faillite e fi de période si S m ˆ > E + L A j j j= ( ) À chaque allocatio, il est possible d associer le iveau de probabilité de ruie par π() défii m π( ) = Pr S > ( E + L ) j A j () j= L expressio aalytique de π() est complexe, mais cette gradeur peut être aisémet approchée umériquemet par des techiques de simulatio 5 Le graphique suivat repred l évolutio de la probabilité de ruie e foctio de la part d actifs ivestie e actios 5 La méthode d obtetio des réalisatios de S est décrite e aexe - 6 -

19 4% % % 8% 6% 4% % % % % 4% 6% 8% % Fig 4 - Probabilité de ruie e foctio de Avec u iveau de fods propres iitial égal à la marge de solvabilité, la probabilité de ruie de l assureur e fi de période est miimale (,4 %) lorsqu il a placé ses provisios et ses fods propres pour 4,3 % e actios L allocatio optimale au ses du critère de MFPE (39, %) correspod quat à elle à ue probabilité de ruie de l ordre de 3,9 % 43 MFPE das u référetiel du type Solvabilité Das la cadre d u référetiel de type Solvabilité, comme le iveau miimal de fods propres déped de l allocatio d actifs, la mise e œuvre du critère MFPE passe,das u premier temps, par la mise e lumière de la relatio liat l allocatio et le capital cible ; puis par la détermiatio du couple capital cible / allocatio qui maximise le rapport etre les fods propres écoomiques et le capital cible 43 Bila iitial ~ ( i i ) [ ] i S = i x Φ σ Comme S LN µ, σ, i l x µ Pr et doc Va (, 75% ) exp µ + σ Φ (, 75) i i { } S () = i i Ce qui ous permet au passage de vérifier que si les charges siistres sot distribuées selo des lois log-ormales, l utilisatio de la Va pour détermier le iveau des provisios est cohérete avec ue approche market value margi qui cosisterait à predre exp{ σi Φ ( p) σi } comme coefficiet de majoratio de l espérace E effet, la logormalité de la charge siistres permet d exprimer, par le biais d u coefficiet e dépedat que de, la Va e foctio de l espérace puisque σ i - 7 -

20 ( { σ } ) E[ S ] ( S, p) = + exp σ Φ ( p) Va i i i i (3) Comme = i= r ( S i, ) e L Va 75%, le iveau total des provisios techiques est doé par { µ r + σ Φ (, 75) } = 48, , = exp i i =, i= L (4) O peut oter que la faible variabilité du risque S coduit, das ce référetiel, à u iveau de provisios pour ce risque (48,55) iférieur à celui obteu das la réglemetatio fraçaise actuelle (5) La situatio est iverse pour le risque S Au global, le chagemet de référetiel prudetiel coduit à augmeter les provisios techiques de 3,6 % E appelos que le iveau du capital cible déped des risques de passif comme des risques de placemet puisqu il est solutio du programme d optimisatio { Pr [ Λ E + L ] 99, %} if E 5, (5) qui admet ue uique solutio car la distributio sous-jacete est absolumet cotiue Ce programme peut se réécrire S + S if E Pr A + ( ) A, 5% (6) E + L Comme ous avos supposé que l évolutio des actifs était idépedate de la siistralité, o S + S s a Pr A + ( ) A = Pr A + ( ) A fs ( s) ds, où f S E + L E + L désige la desité de la v a S = S + S O a démotré (cf propositio 4) que Pr A + ( ) A E s + L = + = l ρ Φ ( s) ( µ σ ) σ u + σ e λ λ, (7)! s r ρ s e E + L où ( ) = ( ) ( s) ( µ σ ) Comme + k l ρ λ λ Φ e fs( s) ds est pas simple à calculer, ous avos = σ + k! u σ choisi de résoudre umériquemet ce programme d optimisatio e simulat des réalisatios de S = S + Pr Λ E + à partir de la moyee empirique des S puis e estimat [ ] L - 8 -

21 + = ( s ) ( µ σ ) l ρ k λ λ Φ e où s k désige ue réalisatio de la variable aléatoire S σu + σ! La méthode d obtetio des réalisatios de S est décrite e aexe E pratique ous avos développé la somme jusqu à = 7 bie que le ciquième terme de la suite soit déjà égligeable devat la somme des précédets Cette méthode ous permet d obteir la courbe suivate qui représete le iveau du capital =, cible e foctio de l allocatio stratégique ( ) % % 4% 6% 8% % Fig 5 - Capital cible e foctio de la part ivestie e actios Cette foctio a u miimum o trivial pour = 6,% avec u capital cible de 6,7 Pour cette allocatio, le passif de l assureur s élève à 67,4 cotre 4,4 das le cadre réglemetaire fraçais Le passif peut atteidre 368,99 pour u actif itégralemet composé d actios 43 Allocatio optimale Das u référetiel de type Solvabilité, l allocatio ( ) critère de MFPE si est solutio du programme d optimisatio =, est optimale au ses du où φ ( ) = i= sup [,] { φ ( )} r ( exp { µ i r + σi Φ (, 75) } exp { µ i + σi } E ( A + ( ) e ) ) E, ( ) [ ] (8) (9) Les coditios du premier ordre de ce programme sot délicates à expliciter du fait de la présece du terme au déomiateur de la foctio objectif Aussi ous avos cherché à E - 9 -

22 résoudre umériquemet ce problème qui, avec les paramètres utilisés, possède ue uique solutio sur ] ;[ Pour ue allocatio = (, ) fixée, le motat du capital cible a été détermié e 43 ; il reste doc à faire varier l allocatio optimale, puis à calculer pour chaque allocatio la valeur de la foctio objectif Le graphique suivat repred l évolutio du rapport etre les fods propres écoomiques et le fods propres réglemetaires selo la part iitialemet ivestie e actif risqué A 5% % 5% % 5% % % 4% 6% 8% % Fig 6 - Graphe de ϕ O costate que la foctio objectif présete u maximum sur ] ; [ Si l assureur souhaite maximiser ses fods propres écoomiques, il devra composer so portefeuille fiaciers de 5,4 % d actios e début de période Pour réaliser cette allocatio, les actioaires devrot fourir u capital réglemetaire de 6,6 Pour cette allocatio et ce capital, la société sera valorisée, sous l opérateur espérace, à 75,7 La probabilité de ruie défiie e 4 est évidemmet égale à,5 % puisque le capital cible a été détermié de maière à cotrôler la ruie avec cette probabilité 44 Impact de la prise e compte des sauts de l actif risqué Das u référetiel de type Solvabilité das lequel le capital cible est foctio du risque global de la compagie, la modélisatio des risques impacte directemet les variables d itérêts L objet de ce paragraphe est de mettre e évidece l impact de la prise e compte des sauts de l actif risqué par rapport au classique mouvemet browie géométrique Pour cela ous avos détermié das la situatio où σ u =, i e lorsqu il y a pas de saut, la relatio liat la part ivestie e actios et le iveau du capital cible - -

23 % % 4% 6% 8% % Fig 7 - Capital cible e foctio de la part ivestie e actios lorsque σ u = Le iveau du capital cible est miimal lorsque l actif est iitialemet composé de 8 % d actios (cotre 6, % précédemmet) X L évolutio du capital cible e foctio de la part ivestie e actios permet de mesurer le risque global de la compagie puisqu il est détermié de maière à cotrôler la probabilité de ruie à,5 % Or pour ue même part ivestie e actios, le iveau du capital cible est systématiquemet iférieur lorsque l actio suit u mouvemet browie géométrique que das le cas où so redemet évolue selo le processus de Lévy metioé e 4 La graphique suivat repred l évolutio du rapport etre le capital cible lorsque l o pred e compte les sauts et le capital cible lorsqu ils e le sot pas 6% 5% 4% 3% % % % 9% % % 4% 6% 8% % Fig 8 - apport etre le capital cible lorsque les sauts sot pris e compte et lorsqu ils e le sot pas Ce rapport est évidemmet égal à % lorsque le portefeuille est uiquemet composé du bo de capitalisatio X et il atteit plus de 5 % lorsque l itégralité des fods propres et des provisios sot placés das l actif risqué L itroductio d u risque supplémetaire sur - -

24 l actif risqué a pour coséquece d augmeter cosidérablemet le iveau du capital cible Ceci peut avoir ue grade coséquece das le cadre du projet Solvabilité puisque comme la variabilité des actifs est difficile à mesurer, l utilisatio par deux compagies d assurace de modèles d actifs revoyat le même redemet espéré mais avec des volatilités différetes peut coduire à ue distorsio des coditios de cocurrece par le biais de la détermiatio du capital cible 5% % 5% % % % 4% 6% 8% % Fig 9 - Graphe de ϕ lorsque σ u = Le critère de MFPE coduit à ue allocatio optimale de,4 % d actif risqué cotre 5,4 % précédemmet La prise e compte du risque supplémetaire modélisé par les sauts du redemet de l actif risqué coduit à revoir ettemet à la baisse l allocatio optimale selo le critère de MFPE 5 Coclusio Das cet article ous avos préseté le critère de maximisatio des fods propres écoomiques qui cosiste à composer so portefeuille fiacier de maière à maximiser le rapport etre l espérace de la valeur actualisée au taux de redemet du portefeuille fiacier des flux futurs pour l actioaire et les fods propres réglemetaires Cette stratégie a été adaptée das le cas d ue société d assurace o-vie soumise au droit fraçais puis das celui d ue même société mais soumise à u référetiel prudetiel de type Solvabilité das lequel le iveau des fods propres réglemetaires détermié par rapport au risque global que supporte la compagie Elle a été esuite mise e œuvre pour ue société couvrat deux risques dépedats et devat effectuer so choix de portefeuille das u marché fiacier composé d u actif risqué dot le redemet suit u processus de Lévy et d u bo de capitalisatio sas risque Das u premier temps ous avos pu motrer l impact sur les élémets du passif du chagemet de référetiel prudetiel avec, das otre exemple, ue augmetatio des provisios techiques Esuite l allocatio optimale selo le critère de maximisatio des fods propres écoomiques a été détermiée - -

25 Au fial le critère proposé est séduisat car il se fode sur u critère objectif qui e requiert pas la détermiatio d u paramètre «subjectif» tel que le iveau d ue probabilité de ruie par exemple Par ailleurs, ous mettos e évidece le fait que das ue approche de type «solvabilité» le choix du modèle d actif peut impacter de maière tr-s sesible le iveau du capital écoomique ; e particulier, les résultats obteus doet à peser que, das ue approche prudete, il coviet d itégrer les évolutios discotiues de l actif, celles-ci ayat toutes choses égales par ailleurs u impact fort sur le iveau du capital Ce poit particulier fait actuellemet l objet de travaux Aexe : Simulatio des réalisatios de la charge siistres Les réalisatios de la charge siistres S ot été obteues par les techiques de Mote Carlo, à partir de la méthode des distributios coditioelles qui permet de simuler des v a dot la dépedaces est modélisée par ue copule Cette méthode des distributios coditioelles cosiste à simuler 6 idépedammet deux réalisatios de v a de loi uiforme sur ; puis d utiliser la trasformatio suivate : v, [ ] v u = v u = C u ( v ) C C u u = Pr F ( S) u F ( S) = u = C u, u u où ( ) [ ] ( ) Das le cas de la copule de Frack utilisée das ce travail, cette derière expressio se calcule aalytiquemet : ( u ) exp( αu )( exp( αu ) ) ( α) + ( exp( αu ) )( exp( αu ) ) C u = exp De plus cette foctio s iverse aalytiquemet puisque : C u ( u ) ( exp( α) ) u ( u ) exp( αu ) = l + α u + Efi la charge totale de siistres simulée est obteue par s ( u ) + F ( ) u = F 6 Pour les illustratios umériques, les simulatios de réalisatios de va ot été obteues à partir du géérateur du tore mélagé préseté das PLANCHET et THÉOND [4a] - 3 -

26 Bibliographie AAI [4] A global framework for isurer solvecy assessmet wwwactuairesorg ATZNE PH, DELBAEN F, EBE JM, HEATH D [999] «Coheret measures of risk», Mathematical Fiace 9, 3-8 COMMISSION EUOPÉENNE [3] «Coceptio d u futur système de cotrôle prudetiel applicable das l Uio européee ecommadatio des services de la Commissio», MAKT/59/3 COMMISSION EUOPÉENNE [4] «Solvecy II Orgaisatio of work, discussio o pillar I work areas ad suggestios of further work o pillar II for CEIOPS», MAKT/543/3 DHAENE J, VANDUFFEL S, TANG QH, GOOVAETS M, KAAS, VYNCKE D [4] «Solvecy capital, risk measures ad comootoicity: a review», esearch eport O 46, Departmet of Applied Ecoomics, KULeuve DHAENE J, VANDUFFEL S, GOOVAETS M, KAAS, VYNCKE D [5] «Comootoic approximatios for optimal portfolio selectio problems», Joural of isk ad Isurace 7, DJEHICHE B, HÖFELT P [5] «Stadard approaches to asset & liability risk», Scadiavia Actuarial Joural 5, 5, METON C [976] «Optio pricig whe uderlyig stock returs are discotiuous», Joural of Fiacial Ecoomics 3, 5-44 PLANCHET F, THÉOND PE, JACQUEMIN J [5] Modèles fiaciers e assurace Aalyses de risque dyamiques, Paris : Ecoomica PLANCHET F, THÉOND PE [4a] «Simulatio de trajectoires de processus cotius», Belgia Actuarial Bulleti 5, -3 PLANCHET F, THÉOND PE [4b] «Allocatio d actifs d u régime de retes e cours de service», Proceedigs of the 4 th AFI Colloquium, -34 AMEZANI CA, ZENG Y [998] «Maximum likelihood estimatio of asymmetric jumpdiffusio processes: applicatio to security prices», Workig paper - 4 -