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1 TI Nspire Documet de Formatio T3 Walloie TI-Nspire Le tout e u des mathématiques Suites umériques La loi de Verhulst Applicatio «Calculs» Applicatio «Graphiques» Applicatio «Tableur et listes» FR Formatios 200 EE BX II T³ Walloie Mauricette DECAMP

2 Objectifs Itroductio d ue suite das la calculatrice Visualiser ue suite Covergece d ue suite Calcul de la somme des termes d ue suite Applicatios : La tour de Pise La loi de Verhulst Référeces : Sciece et vie juior : spécial math(0/999) T³ Walloie Mauricette DECAMP 2

3 . Commet etrer ue suite das la calculatrice? Applicatio «Calculs» a) Suite arithmétique. 5 Soit ue s.a. dot u = et r = 4 8 Itroduire 5/4 suivi de «eter» das ue feêtre de calculs. Taper esuite «+ / 8» (As sigifie "aswer") suivi de «eter», «eter», Les termes de la suite s'affichet mais o e sait pas à quel rag o se situe. De plus, o e sait pas utiliser les différets termes de la suite. b) Suite géométrique. Soit ue s.g. dot u = 2 et q = 3 T³ Walloie Mauricette DECAMP 3

4 c) Suite défiie explicitemet. 3 + Soit la suite ( ) = ; u Pour itroduire la suite ) E utilisat «: =» 2) E utilisat la commade «seq( )» que l o trouve das le CATALOG à la lettre S. Cette commade permet d afficher plusieurs termes de la suite. O peut esuite stocker ces termes das ue liste e utilisat le symbole qui se trouve das SYMBOLES. Pour calculer la somme des termes ) E utilisat la commade «sum( )» que l o trouve das le CATALOG à la lettre S. 2) E utilisat le symbole sigma, que l o trouve das l icôe 4. 3) La commade «cumulativesum( )» se trouve das le CATALOG. T³ Walloie Mauricette DECAMP 4

5 d) Suite défiie par récurrece. Soit la suite ( u ) u = u Il faut utiliser le modèle mathématique : = 4 = 2. u + 5 ; > T³ Walloie Mauricette DECAMP 5

6 2. Commet représeter les termes d'ue suite? Applicatio «Graphiques» a) Das u graphe (;u()). Le uméro du terme sera mis e abscisse et la valeur du terme correspodat sera placée e ordoée. 3 + Soit la suite ( ) = ; u Choisir - 3 : Graphiques 5 : Suite : Suite Compléter la lige de saisie «u() =» L outil «Trace» permet de voir les coordoées des poits affichés. T³ Walloie Mauricette DECAMP 6

7 Soit la suite ( u ) u = u = 4 = 2. u + 5 ; > Pour visualiser le termes de la suite, il faut préalablemet chager la feêtre graphique : Par exemple : x [,0] et y [ 50,600] Remarque : le premier terme de la suite est représeté das ue autre couleur que les autres termes. E fait, o peut lui doer ue autre valeur, e le capturat das la feêtre graphique. T³ Walloie Mauricette DECAMP 7

8 Pour afficher la table des valeurs et chager les réglages: T³ Walloie Mauricette DECAMP 8

9 b) Das u graphe e toile d'araigée-e escargot-e escaliers. u = Soit la suite ( u ) = u = 2 u + Représeter la suite das ue feêtre de graphiques. Esuite faire u click droit sur u poit du uage et choisir - 3 : Attributs 3 ème icôe, choisir Web Plot u u u u = = 2 = 2 = 2 u u u La calculatrice représete les graphes des foctios y = 2 x + et y = x. T³ Walloie Mauricette DECAMP 9

10 3. Applicatio : la tour de Pise «O laisse tomber du haut de la tour de Pise (63 mètres) ue balle e caoutchouc. A chaque rebod, celle-ci rebodit d u ciquième de sa hauteur. O demade a) la hauteur atteite après rebod, 2 rebods, 3 rebods, b) la «distace» totale parcourue par la balle.» Résolutio : a) Soit u 0 = 63 la hauteur iitiale avat la chute. Notos u la hauteur atteit par la balle après le premier rebod u = u 2 = 63.. = 63. ; ; u = C'est ue suite géométrique de raiso b) Distace totale parcourue par la balle. O ote d i la distace parcourue après i rebods. O fabrique ue ouvelle suite. Distace parcourue après rebod : d = 63 + u + u = u = 2.( 63 + u ) 63 après 2 rebods : d = u + 2. u = 2.( 63 + u + u ) après rebods : d = 2.( 63 + u + u u ) 63 E fait, o voit apparaître das les parethèses les sommes cumulées des termes de la suite u() Utilisos le tableur pour calculer d i Ouvrir ue feêtre du tableur. Nous pouvos travailler comme avec Excel. O itroduit 63 das la première cellule. Das la deuxième cellule : «= a». Esuite, o tire le coi iférieur droit de la cellule. 5 Pour obteir la coloe des d i, se placer das la cellule B2 et itroduire 63. Das la cellule B2 : «= b + a2». Et tirer le coi iférieur droit. Pour obteir la distace parcourue par la balle après rebods, placer le curseur sur la cellule grisée de la troisième coloe, et taper «2* b 63». Puisque b peut être ue variable ou ue coloe, le logiciel la ote das ce cas-ci : b [ ] O peut aussi utiliser la commade CumulativeSum( ). T³ Walloie Mauricette DECAMP 0

11 T³ Walloie Mauricette DECAMP

12 4. Applicatio : la loi de Verhulst Proies et prédateurs. «Pourquoi, telle aée, les sauterelles, les méduses, les souris et autres puceros se mettet à pulluler? Et pourquoi l aée d après, tout redeviet paisible? C est au siècle derier que le mathématicie belge, Pierre-Fraçois Verhulst, a levé ue partie du secret des populatios aimales.» Nous allos ous itéresser à u cas simple : das u grad jardi peuplé de puceros, lâchos des coccielles. La loi de Verhulst est la suivate : p. u. ( u ) u 4 = où u est la desité de populatio de coccielles ue certaie aée et u la desité de populatio l aée suivate. Cette desité est le rapport du ombre de coccielles par rapport à la taille maximale de la populatio. C est doc u ombre compris etre 0 et. Le paramètre p dépedra de certaies circostaces, par exemple la vitesse de reproductio des prédateurs relativemet aux proies. Nous allos étudier cette loi pour différetes valeurs du paramètre p. er cas : p = 0,7 La suite est u = 2 8. u.( u ), et ous supposos ue populatio actuelle de 0,3 c est-à-dire 300 coccielles pour ue populatio maximale de 000. Utilisos la calculatrice pour observer l évolutio du ombre des bêtes à bo Dieu. T³ Walloie Mauricette DECAMP 2

13 Ouvrir ue feêtre graphique. Itroduire la suite comme idiqué. Pour créer le curseur : - : Actio A : Isérer u curseur Remplacer la variable par p. A l aide d u click droit sur le curseur, chager les paramètres. Il faut aussi adapter la feêtre graphique : par exemple : x [0,50] et y [ 0,3;] Pour mieux se redre compte du comportemet de la suite (elle semble coverger vers 0,645), trasformer le graphe e u graphe e escargot. Il faut aussi adapter la feêtre graphique : par exemple : x [ 0,5;,5] et y [ 0,3;] T³ Walloie Mauricette DECAMP 3

14 Itéressos-ous aux poits d itersectio de la droite et de la parabole? Ils sot solutios de l équatio : 2,8 x( x) = x 2,8 x² +,8 x = 0 0, 2 x.(4 x 9) = 0 9 x = 0 ou x = 4 x = 0 ou x 0, 643 Pour u 0 = 0 ou 4 9, l itératio toure court (puisque Y = X), plus rie e bouge : coccielles et puceros ot des effectifs costats d ue aée à l autre. Il y a plus étrage. E partat de importe quelle valeur iitiale de u 0 (comprise etre 0 et ), o est irrésistiblemet attiré par 4 9. Puceros et coccielles sot e phase stable au bout d u certai temps. C est u poit fixe ATTRACTIF. Le poit X = 0 est lui u poit fixe REPULSIF. Pour se redre compte de cette coclusio, o peut faire varier la valeur iitiale de la suite. T³ Walloie Mauricette DECAMP 4

15 2 ème cas : p = 0, Les termes devieet de plus e plus petits. La suite coverge vers zéro. Le poit X = 0 est ici u poit ATTRACTIF : les coccielles disparaisset 3 ème cas : p = 0,8 O obtiet deux valeurs qui s alteret sas presque bouger : 0,799 et 0,53. T³ Walloie Mauricette DECAMP 5

16 L effectif des petites bêtes oscillet etre deux valeurs fixes, quelle que soit la valeur iitiale, à deux exceptios près(voir plus loi). C est ce que l o appelle u 2-cycle attractif. Cela pourrait sigifier que, les aées paires, il y aurait «beaucoup» de coccielles et que, les aées impaires, il y e aurait «peu». Observos le diagramme e escargot pour compredre le pourquoi de ces 2 valeurs. O a beau regarder le graphe de la parabole, 0,53 et 0,799 occupet pas de positio particulière. E revache, comme ce graphe coupe toujours y = x e deux poits, o peut être certai que si o doe à u 0 l ue de ces 2 valeurs, rie e bougera d ue aée à l autre. Ce sot les deux exceptios vues plus haut. Seulemet, cette fois-ci, ces poits e sot pas attractifs. Si vous preez ue valeur e serait-ce qu u chouia différete, les valeurs s éloigerot, et tomberot das le 2-cycle. Il y a bie sur ue explicatio mathématique qui sort du cadre de ce cours. T³ Walloie Mauricette DECAMP 6

17 4 ème cas : p = 0,875 Ce cas est fort semblable au précédet. Toutefois, au bout d u certai temps, o observe o plus deux valeurs mais bie 4 valeurs qui revieet chacue à leur tour. C est u 4-cycle attractif. Tous les 4 as, coccielles et puceros repasseraiet doc par u même iveau de populatio. E résumé. Au fod, le desti des petites bêtes de jardi déped du paramètre p. Lequel possède des valeurs très spéciales(etre 0 et ), dites «valeurs frotières». Etre ces valeurs, la suite des itérées se comporte de faço très diverses. Ne parlos que des poits ou cycles «attractifs». Nous avos d abord recotré u poit attracteur, puis u 2-cycle avec 2 poits attracteurs, u 4-cycles avec 4 poits attracteurs, etc. Plus étrage, au delà d ue certaie valeur de p, la suite des itérées semble deveir foldigue, aarchique, chaotique. O e peut plus rie prévoir du tout. Essayos avec la valeur limite p =. C est le CHAOS!!!! T³ Walloie Mauricette DECAMP 7

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