q i q j! r i $! r j LES SYSTEMES A DEUX ETATS! "DE L'EFFET TUNNEL A L'EFFET LASER! DANS UN ESPACE DE HILBERT DE DIMENSION 2"!

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1 LES SYSTEMES A DEUX ETATS! "DE L'EFFET TUNNEL A L'EFFET LASER! DANS UN ESPACE DE HILBERT DE DIMENSION 2"! 1. Physique dans un espace de Hilbert de dimension!! L'eemple de la molécule NH3!!! Un peu d'algèbre à deu dimensions...! 2. De la molécule NH3 au principe du LASER!!! Champ statique : inversion de population!!! Champ oscillant : émission stimulée!!! MASER et LASER! 1. Physique dans un espace de Hilbert de dimension! Retour sur la molécule NH3!!!! Un peu d'algèbre à deu dimensions!! L opérateur «"disposition"»! 3. Une illustration epérimentale!!! Voir tourner la polarisation du photon! MODELE SIMPLE DE LA MOLECULE D'AMMONIAC! DOUBLE PUITS DE POTENTIEL! NH3 :! un atome d'azote (Z = 7), 3 atomes d'hydrogène (Z = 1)! 14!ˆp 2 i Ĥ =! + i=1 2m i 14! 14! i=1 j=1, j%i q i q j 4"# 0! r i $! r j E V() #! a! a! Modèle de "double puits"! pour la coordonnée relative! Rôle crucial de l'effet tunnel!! 0!!! # $ 1± 2e!" ' tg(ka) =!ka % & "a ( ) * E S,A =! 2 k S,A 2 /(2 m)! tg(ka)!! ka! S! A! * "Clivage" des états S et A! Fonctions d'ondes symétriques (S)! ou antisymétriques (A)! A! A! S! S! S! A! E! 3!± A! 3! E! ± A! E! ± A! Pour NH3 :! 2 A 1! = 10-4 ev!!! 2 A 2! = ev!!! E 2 - E 1 = 0.12 ev!

2 NIVEAUX MOLECULAIRES! NIVEAUX MOLECULAIRES! Faut-il prendre en compte tous les niveau?! Energie (10 3 cm-1)! Distance internucléaire (Å)! E : molécule d'iode I Niveau électroniques! (20000 cm -1 ou 0.5 µm,! 2.5 ev, K)! Niveau de vibration! (1000 cm -1 ou 10 µm,! 0.15 ev, 1500 K)! Niveau de rotation! (10 cm -1 ou 1 mm,! 1.5 mev, 15 K)! E = h c / " = k B T! Loi de Boltzmann : N A / N B = ep{-(e A - E B ) / kt}! A température ambiante (300K) on a kt = 25 mev :! seuls les niveau les plus bas en énergie sont peuplés! NH3 :! N 2 / N 1 = 0.008! NA 1 / NS 1 = 0.996!! E 2 - E 1 = 120 mev! E A1 - E S1 = 0.1 mev! Couplage atome-champ (Planck - Einstein - Bohr...) : h # AB = E A - E B! Ecitation quasi-résonnante de E A à E B! > Approimation de «"système à deu niveau"»! RESTRICTION A DEUX ETATS! ETATS "GAUCHE" ET "DROIT"! E = 0! -b -b k A E A k E S S! A () b! S () b "Doublet" de plus basse énergie de NH3 :!!E = E A - E S =!2 " 2 2ma # 8 e$%! 2 % a E A - E S =!$ 0, E A + E S = 0! Pour les deu états A et S :!! A,S (, t) = " A,S (, t) 2 = # A,S () 2 Densités de probabilité! * symétriques! * indépendantes du temps!! (états stationnaires)! P(droite) = P(gauche) = 1/ Si! alors! -b -b! D ()! G () %!(!t!=!0!)!=! &!D! %!(!t!)! =! b b =! (!&!S!+!&!A!)! Etats "Droit" et "Gauche"! D = 1 2 (! S +! A )! G = 1 2 (! S -! A ) ne sont pas des états stationnaires! ES =!$0 / EA = +!$0 / {!&!S! ep(- i E S t/!) +! &!A! ep(- i E A t/!)! }! =! {(!&!D! +! &!G! )! ep(i$ 0 t /2) +! (! &!D! ' &!G! )! ep(- i$ 0 t /2)!} / =! &!D!c!o!s!(! $! 0! t!)!+!i!&!g! s!i!n!(! $! 0! t!)!

3 ETATS "GAUCHE" ET "DROIT"! ESPACE DES ETATS DE DIMENSION DEUX! -b -b! D ()! G () b b Etats "Droit" et "Gauche"! D = 1 2 (! S +! A )! G = 1 2 (! S -! A ) ne sont pas des états stationnaires! %!(!t!=!0!)!=!&!d! %!(!t!)!=! &!D!c!o!s!(! $! Si! alors! 0! t!)!+!i! &!G!s!i!n!(! $! 0! t!)! Mouvement d'inversion de la molécule!!! > «"dipôle oscillant"» > rayonnement émis! Comment décrire le couplage du mouvement!!! avec un champ électrique (statique ou oscillant)?! Bra! +' %!!=!)! *! +' %!A!!+!*! *! +' %!S!! +' %!A!!=!,!0! e!t! +' %!S!!=! 0!,! d!o!n!c! +' %!!=! )! *!,!*! *! +' %!!%!(' =! )! *!,!*! *! )! *! +' &!!%!(' =! "! *!,!µ! *! )! *!!, " coefficients complees Dimension = 2!%!(' =!)!!%!A!(' +!*!!%!S!('!%!A!(' =! =! )! +! *! =! =!)!"! *! +!*!µ! *! Ket! 0! e!t!!%!s!(' =! d!o!n!c!!%!(' =! )! *! Norme! 0! Produit scalaire! ESPACE DES ETATS DE DIMENSION DEUX! ESPACE DES ETATS DE DIMENSION DEUX!! a Â= # " b-ic b+ic $ & d % Opérateur le plus général! (a, b, c, d réels)!! a Â= # " b-ic b+ic $ & d % Opérateur le plus général! (a, b, c, d réels)! +' %!A!!A!!%!A!(' =!,!0! +' %!A!!A!!%!S!(' =!,!0! +' %!S!!A!!%!A!(' =! 0!,! +' %!S!!A!!%!S!(' =! 0!,! a! b!+!i!c! b!-!i!c! d! a! b!+!i!c! b!-!i!c! d! a! b!+!i!c! b!-!i!c! d! a! b!+!i!c! b!-!i!c! d! 0! =!a! 0! =!b!+!i!c! 0! =!b!-!i!c! 0! =!d! Eemple : Hamiltonien dans la base {!%!A!(',!!%!S!(' }?!!%!A!(',!!%!S!(' sont états propres de H! avec les valeurs propres EA =!$0 /2, ES =!$0 /2! donc :! H! N!H!3!=! E! A! 0! 0! E! S! =!!! $! 0! /! 0! 0! -!$! 0! /!

4 ESPACE DES ETATS DE DIMENSION DEUX! Opérateur position dans la base {!%!A!(',!!%!S!(' }!?!,' +' %!A!! X!! %!A! (' =!! &!A! d! =!0! (!p!a!r!i!t!é, idem pour S!)! -,',' +' %!A!! X!!%!S!(' =! &! *! A!! &!S! d!=!!0! (!&!A!(!!)!e!t!&!S!(!!)!r!é!e!l!s!)! -,',' +' %!S!! X!!%!A!(' =! &! *! S!! &!A! d!=!!0! (!&!A!(!!)!e!t!&!S!(!!)!r!é!e!l!s!)! -,' Donc! X!=! 0!!0!!0! 0! Opérateur non diagonal! Opérateur «"disposition"»! ESPACE DES ETATS DE DIMENSION DEUX! Valeurs propres et vecteurs propres de l'opérateur «"disposition"»?! -b! 0!!0!!0! 0!!"!!0!!0!!"! )! *! =!"! )! *! =!0! donc! "!= ±! 0! et! )! *! =! ±! (!!%!A!('+!!%!S!(')!=!!%!D!(' (!!%!A!('-!!%!S!(')!=!!%!G!(' &!D!()! b!! X!! %!(' =! "!! %!(' -b! &!G!()! b!! ESPACE DES ETATS DE DIMENSION DEUX! Valeur moyenne et dispersion de l'opérateur «"disposition"»?! X!=! 0!!0!!0! 0! X! =! Etats!{!%!A!(',!!%!S!(}' (états propres de H)!!0! 0! 0!!0! +' %!A!! X!!%!A!(' =!+' %!S!! X!!%!S!(' =!0! -!X!S!,!A!=! X! -! X! =!!0! Etats!{!%!D!(',!!%!G!(}' (états propres de X)! * à t = 0! +' %!D!! X!!%!D!(' =!!0! -!X!G!,!D!=! X! -! X! =!0! +' %!G!! X!!%!G!(' =!-!!0! La «"disposition"» est parfaitement connue dans les états D et G! EVOLUTION AU COURS DU TEMPS! On a vu que si! %'(!t!=!0!)!( =! %'D!( alors :! %'(!t!) (! =! %'D!(! c!o!s!(! $! 0! t!)!+!i! %' G!(! s!i!n!(! $! 0! t!)! P(D) = + %'D! %'(!t!) ( 2 ' = cos 2 ($ 0 t /2)!! P(G) = + %'G! %'(!t!) ( 2 ' = sin 2 ($ 0 t /2)! +'%(t)!!x!!%(t)! (!= 0 P(D) - 0 P(G) = 0 cos ($ 0 t)! Eercice : montrer qu on retrouve le même résultat avec les matrices! La valeur moyenne de la disposition oscille au cours du temps :! on retrouve le mouvement d'inversion de la molécule!

5 2. La molécule NH3 dans!!! un champ électrique statique ou oscillant! Objectif : utiliser la molécule comme source de rayonnement! Deu étapes :! (1) communiquer de l énergie à la molécule :! * inversion de population! * obtenue ici en appliquant un champ statique!! qui sélectionne un état moléculaire!!!! (2) etraire cette énergie sous forme de rayonnement :! * émission stimulée! * obtenue en appliquant un champ oscillant!! de fréquence $ proche de $ 0! 2. La molécule NH3 dans!!! un champ électrique statique ou oscillant!! Molécules NH3 dans un champ électrique :!!! - états propres et valeurs propres!!! Champ statique :!!! - potentiel sensible à l état interne!!! - préparation dans l état &. (!!! - inversion de population!! Champ oscillant :!!! - oscillations de Rabi (absorption - émission)!!! - émission stimulée! MOLECULE D'AMMONIAC DANS UN CHAMP ELECTRIQUE! MOLECULE D'AMMONIAC DANS UN CHAMP ELECTRIQUE! H! Champ électrique statique E! Dipole électrique :! D!=!q!X! H!=!!! $! 0! /! /! -!$! 0!!!/!= - 2 d! 0!E!!!$! 0! = E! A!- E! S! H! H! N! N! H! H! H! Energie d'interaction entre! le dipole et le champ électrique :! W!=!-!D!.!E!=!!! 0! /!/! /!/! 0!!!/!/ 2 = - q! 0!E!= - d! 0!E! Valeurs propres :! $ 0! - "! /! /! -!$ 0! - "! "! -! $! 0! -! /! = 0! = 0! E! +! 0 ± (/)! E! A!!//2' /! H! N!H!3!=! H = H! NH3!+ W! E! A! 0! 0! E! S! >! =!!! +!$ 0!!/! 0! 0!!$! 0! /! H!=!!! $! 0! /! /!!$ 0!! "! ±!=!±! $! +! /! 0! E! ±! =! ±!!! $! +! /! 0! E!! E! S! -!//2'

6 MOLECULE D'AMMONIAC DANS UN CHAMP ELECTRIQUE! Vecteurs propres :! cos(!) = Evolution dans le temps :! " 0 " # 2 sin(!) = # " # 2 # cos(" / 2) & # )sin(" / 2) &! + = $ % sin(" / 2) ' (! ) = $ % cos(" / 2) ' (!(t = 0) =!A = cos(" / 2)! + # sin(" / 2)! #!(t) = cos(" / 2)e #ie+t/!! + # sin(" / 2)e #ie#t/!! # = cos( E + #E # t)!a # i sin( E + #E # t) (cos(")!a + sin(")!s ) Probabilité de passage de A à S au bout d un temps t :! P(A! S) = sin 2 (") sin 2 (E + # E # ) t = $ 2 % $ 2 t % $ 2 sin La molécule NH3 dans!!! un champ électrique statique ou oscillant!! Molécules NH3 dans un champ électrique :!!! - états propres et valeurs propres!!! Champ statique :!!! - potentiel sensible à l état interne!!! - préparation dans l état &. (!!! - inversion de population!! Champ oscillant :!!! - oscillations de Rabi (absorption - émission)!!! - émission stimulée! CHAMP STATIQUE INHOMOGENE! Propagation d un jet de molécule! dans un gradient de champ électrique?! Champ électrique «"quadrupolaire"» :! E ( = 0, y = 0) = 0! E (,y) augmente!!! hors d ae! Jet de! molécules! NH 3! +! +! y!! + +!! z! E + E(,y)! E(,y)! + y!! y!! Energie «"vue"» par une! molécule dans l'état &. ( : 0 + $ 0.' Energie «"vue"» par une! molécule dans l'état & S ( : E % E S! Apparaît comme une énergie potentielle qui guide le mouvement!!

7 CHAMP HOMOGENE OSCILLANT! 2. La molécule NH3 dans!!! un champ électrique statique ou oscillant!! Molécules NH3 dans un champ électrique :!!! - états propres et valeurs propres!!! Champ statique :!!! - potentiel sensible à l état interne!!! - préparation dans l état &. (!!! - inversion de population!! Champ oscillant :!!! - oscillations de Rabi (absorption - émission)!!! - émission stimulée! Energie d'interaction entre le dipole et le champ électrique :! 0! /!0!c!o!s!(!$!t!)! W!t!=!-!D!.!E 0!c!o!s!(!$!t!)!=!!!! /!0!c!o!s!(!$!t!)! 0! H!=!!! $! 0!/! /!0!c!o!s!(!$!t!)! /!0!c!o!s!(!$!t!)! '$! 0!/!!!/!0!=! -!d!0!.!e! 0!!!$! 0! = E! A!- E! S! Equation de Schrödinger avec Hamiltonien dépendant du temps :! La méthode usuelle (trouver les états propres de H ) ne s applique pas! Que fait-on?! Le calcul détaillé sera fait l an prochain, résultat très simple :! on retrouve le cas statique en remplaçant $ 0 par 1 = $ $ 0! LA «"FORMULE DE RABI"»! LA «"FORMULE DE RABI"»! Champ électrique statique appliqué de 0 à t (calcul précédent) :! P(A! S) = " 2 # " 2 t # " 2 sin2 2 Champ électrique oscillant à la fréquence $ de 0 à t (résultat admis) :! " 2 (# $# P(A! S) = 0 ) 2 + " 2 t (# $# 0 ) 2 + " 2 sin2 2 Formule de Rabi! Ecitation résonnante lorsque 1 = $ $ 0 = 0'

8 LA «"FORMULE DE RABI"»! Masers et Lasers Albert Einstein a découvert le principe de l émission stimulée en 1917 (à partir d une étude thermodynamique détaillée de la loi de Planck) Jet! moléculaire! LE MASER A AMMONIAC! Gordon, Zeiger et Townes, 1954 Focalisation! Cavité! micro-onde! Il en résulte qu un ensemble d atomes convenablement préparés peuvent amplifier le rayonnement (radiofréquence ou lumineu) * Comment passer d un amplificateur à un oscillateur? Rétroaction! (cf. effet Larsen...) * Méthode la plus simple : placer l amplificateur dans une cavité résonnante Inversion de! population! Emission! stimulée! -> Oscillation auto-entretenue!! 1954 : 10! 14! molécules/sec, P = 10! -9! W, f = 24 GHz! Principe du MASER (micro-ondes) et du LASER (lumière)

9 LE MASER A AMMONIAC! Le premier laser... Charles! Townes,! 1954! (+Basov,! Prokhorov :! Nobel 1964)! MASER :!M!icrowave!A!mplification by! S!timulated!E!mission of!r!adiation.! Le premier «brevet» pour fabriquer des lasers a été déposé en 1958 par Arthur Schawlow et Charles Townes et le premier laser a été fabriqué en 1960 par Thomas Maiman Rubis: ions Cr 3+ dans un cristal Al 2 O 3 Les lasers «à gaz» Les lasers à semiconducteurs Laser Helium-Neon (Ali Javan, 1960) Les «diodes lasers» sont partout : - lecteurs de CD et DVD : musique, cinéma, ordinateurs... - systèmes de télécommunications : liaisons par fibres optiques... 3s -> 3p : infra-rouge (3.39 µm)! 2s -> 2p : infra-rouge proche (1.15 µm)! 3s-> 2p :! vert (543.5 nm), jaune (594 nm),!! orange (612 nm), rouge (632.8 nm)! Laser ioniques (Argon, Krypton, Xenon...) Forte puissance (> 10 W) Très mauvais rendement (< ) De moins en moins utilisés... 1/10 mm!

10 Les lasers «solides» Les «diodes lasers» sont partout : pointeurs laser (plus compliqué : conversions de fréquence!) Les lasers géants Le plus puissant laser du monde : le Laser «MégaJoule» (en construction près de Bordeau : epérimentations sur la fusion thermonucléaire) 300 m! Diode Laser : 808 nm Nd:YVO4 : 1064 nm KTP : 532 nm Partie déjà construite : 8 des 240 faisceau (1/30 du laser final) ' ' ' 2' Les lasers Les lasers servent (presque) à tout! * Ecouter de la musique, discuter sur internet, ou au téléphone... * Remplacer les essais nucléaires... * Outils essentiels en recherche (spectroscopie atomique et moléculaire, optique, piégeage d atomes, de molécules, de cellules, biologie, astronomie...) * Très nombreuses applications industrielles (perçage, usinage, découpage de tissus, de matières plastiques, de métau ) 3. Une illustration epérimentale!!! Rappel sur la polarisation du photon!!! Et pourtant elle tourne! * Très nombreuses applications en médecine (scalpel, chirurgie oculaire, chirurgie esthétique, diagnostics biologiques ) Bonne illustration de la compleité du chemin qui mène d une découverte fondamentale (1917) au applications ( )

11 POLARISATION DE LA LUMIERE! Equations de Mawell :!! * vibration transverse, linéaire ou circulaire!! * si on met un polariseur, direction de polarisation imposée! POLARISATION DE LA LUMIERE! Equations de Mawell :!! * vibration transverse, linéaire ou circulaire!! * si on met un polariseur, direction de polarisation imposée!! * 2e polariseur (analyseur) faisant un angle 3 avec l'analyseur :! 4transmis = 4incident cos 2 ( 3 )!! (Loi de Malus)!! (transmission nulle si le polariseur et l'analyseur sont orthogonau)! Polariseur à une voie ("polaroïd") :! une polarisation est absorbée! Polariseur à 2 voies :! pas d'absorption, toute la lumière ressort! Polariseur à une voie ("polaroïd") :! une polarisation est absorbée! Polariseur à 2 voies :! pas d'absorption, toute la lumière ressort! 3' cos 2 3! sin 2 3! 3' cos 2 3! Toujours 2 sorties dont les intensités varient en cos 2 (3) et sin 2 (3)! POLARISATION D'UN PHOTON! Photon : "grain" d'énergie lumineuse, E = h # # J!! Flu lumineu émis par une lampe 200 W : photons/seconde!! Comment définir l'état de polarisation d'un seul photon?! POLARISATION D'UN PHOTON! Photon : "grain" d'énergie lumineuse, E = h # # J!! Flu lumineu émis par une lampe 200 W : photons/seconde!! Comment définir l'état de polarisation d'un seul photon?! 3' sin 2 3! Epérience de "tri" par la polarisation :! cos 2 3! Si on détecte un photon unique après le polariseur, on ne peut obtenir qu'un des deu résultats (mutuellement eclusifs) "transmis" ou "dévié"! On dira alors que la polarisation du photon est "horizontale" ou "verticale"! Si la polarisation initiale du photon est orientée suivant un angle 3, les probabilités pour que le photon soit transmis ou dévié seront cos 2 3 et sin 2 3! Pour un grand nombre de photons, on retrouve bien la loi de Malus!! * orientations 0 ou 90 :! 2 sortes de photons (mutuellement eclusifs)!! "vertical" : v et "horizontal" : h! * mais on a aussi 45 et 135 :! 2 sortes de photons (mutuellement eclusifs)!! "oblique droit" : d et "oblique gauche" : g! Comment relier les états h (, v ( et les états g (, d (?!

12 GENERALITE DE LA NOTION DE SYSTEME A DEUX ETATS! Molécule d'ammoniac :!!d!(' = (!!s!(' +!!a!(') / &2,!!s!(' = (!!d!(' +!!g!(') / &!g!(' = (!!s!(' -!!a!(') / &2,!!a!(' = (!!d!(' -!!g!(') / & Polarisation du photon :!!d!(' = (!!v!(' +!!h!(') / &2,!!v!(' = (!!d!(' +!!g!(') / &!g!(' = (!!v!(' -!!h!(') / &2,!!h!(' = (!!d!(' -!!g!(') / & & ' Pour la molécule d ammoniac, mouvement d inversion :! si! %!(0)!(' = {!)!!s!(' +!*!!a!(' } / &2,! alors! %!(t)!(' = {!)!ep(-i E!s!t /!!)!!s!('+!*!ep(-i E!a! t /!!)!!a!('} / & Pour le photon les états de polarisation sont dégénérés (E!v! = E!h!) :! -> dans le vide la direction de polarisation de change pas au cours du temps! -> mais elle change en présence de biréfringence ou de pouvoir rotatoire!! POUVOIR ROTATOIRE DE L'EAU SUCREE : LA SPIRALE DE LUMIERE QUE PEUT-ON EN CONCLURE?! Dans de l eau l'eau sucrée, la polarisation de la lumière tourne en spirale hélice. On ne voit plus la lumière quand la direction de la polarisation pointe dans la direction d'observation. Remarque : on «voit» en fait seulement une très faible fraction des photons, ceu qui sont diffusés par le liquide. Direction de propagation Direction de polarisation Lumière diffusée * La polarisation du photon se décrit dans un espace des états de dimension %!(' =!)! v! (' +!*! h ('! )! +! *!! = )!, *!! réels : polarisations linéaires! )!,!*! complees : polarisations circulaires ou elliptiques! * Si la polarisation est bien définie dans la base {! v! ('!,! h! (! '} ( base +), elle! est totalement aléatoire dans la base {! d! ('!,! g! ('}! ( base!5').! On dit souvent que ces deu bases sont «"incompatibles"»! * Nous verrons que ceci a des conséquences très importantes si on! veut utiliser la polarisation du photon pour transmettre une information.!

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