* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

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1 Exo7 Logique, esembles et applicatios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice **IT Exprimer à l aide de quatificateurs les phrases suivates puis doer leur égatio ( f état ue applicatio du pla das lui-même) (a) f est l idetité du pla (b) f a au mois u poit ivariat (o dit aussi poit fixe) ( f état ue applicatio de R das R) (a) f est l applicatio ulle (b) L équatio f (x) = 0 a ue solutio (c) L équatio f (x) = 0 a exactemet ue solutio 3 ((u ) N état ue suite réelle) (a) La suite (u ) N est borée (b) La suite (u ) N est croissate (c) La suite (u ) N est mootoe Correctio [00503] Exercice *IT Doer la égatio des phrases suivates x 3 0 < x Correctio [00504] Exercice 3 **IT Les phrases suivates sot-elles équivaletes? «x R, ( f (x) = 0 et g(x) = 0)» et «( x R, f (x) = 0) et ( x R, g(x) = 0)» «x R, ( f (x) = 0 ou g(x) = 0)» et «( x R, f (x) = 0) ou ( x R, g(x) = 0)» Doer u exemple de foctios f et g de R das R, toutes deux o ulles et dot le produit est ul Correctio [00505] Exercice 4 **IT Das chacu des cas suivats, détermier f (I) puis vérifier que f réalise ue bijectio de I sur J = f (I) puis préciser f : f (x) = x 4x + 3, I =],]

2 f (x) = x x+, I =],+ [ 3 f (x) = x + 3, I = [ 3,+ [ 4 f (x) = x + x, I = R Correctio [00506] Exercice 5 **IT Pour z i, o pose f (z) = z+i z i Motrer que f réalise ue bijectio de D = {z C/ z < } sur P = {z C/ Re(z) < 0} Préciser f Correctio [00507] Exercice 6 **T (+3) 4(+)(+) Trouver ue démostratio di- Motrer par récurrece que, pour tout N, recte Correctio k(k+)(k+) = [00508] Exercice 7 ***I Motrer par récurrece que, pour tout aturel o ul, k = (+) E calculat la différece (k + ) k, trouver ue démostratio directe de ce résultat Calculer de même les sommes k, k3 et k4 (et mémoriser les résultats) 3 O pose S p = kp Détermier ue relatio de récurrece permettat de calculer les S p de proche e proche Correctio [00509] Exercice 8 *IT Motrer que : (g f ijective f ijective) et (g f surjective g surjective) Correctio [0050] Exercice 9 **T Parmi f g h, g h f et h f g deux sot ijectives et ue est surjective Motrer que f, g et h sot bijectives Correctio [005] Exercice 0 **T A et B sot des parties d u esemble E Motrer que : (A B = A B) (A = B = ) (A B) (B C) (C A) = (A B) (B C) (C A) 3 A B = B A 4 (A B) C = A (B C) 5 A B = A = B 6 A C = B C A = B Correctio [005] Exercice ***IT Soiet (A i ) ue famille de parties d u esemble E idéxée par u esemble I et (B i ) ue famille de parties d u esemble F idéxée par u esemble I Soit f ue applicatio de E vers F Comparer du poit de vue de l iclusio les parties suivates : f ( A i ) et f (A i ) (recommecer par f (A B) si o a pas les idées claires)

3 f ( A i ) et f (A i ) 3 f (E \ A i ) et F \ f (A i ) 4 f ( B i ) et f (B i ) 5 f ( B i ) et f (B i ) 6 f (F \ B i ) et E \ f (Bi) Correctio [0053] Exercice ***IT Motrer que les assertios suivates sot équivaletes ( f est ue applicatio d u esemble E das lui-même) : f est ijective X P(E), f ( f (X)) = X 3 (X,Y ) P(E), f (X Y ) = f (X) f (Y ) 4 (X,Y ) P(E), X Y = f (X) f (Y ) = 5 (X,Y ) P(E), Y X f (X \Y ) = f (X) \ f (Y ) Correctio [0054] Exercice 3 ***** k est u etier impair Motrer par récurrece que, pour, la somme k + k ++ k est u etier divisible par (+) [0055] Exercice 4 **** Pour, o pose H = k Motrer que, pour, H est jamais u etier (idicatio : motrer par récurrece que H est le quotiet d u etier impair par u etier pair e distigat les cas où est pair et est impair) Correctio [0056] Exercice 5 ***I Théorème de CANTOR Motrer qu il existe ue ijectio de E das P(E) E cosidérat la partie A = {x E/ x / f (x)}, motrer qu il existe pas de bijectio f de E sur P(E) Correctio [0057] Exercice 6 **** Ue bijectio etre N et N Soit f : N N Motrer que f est ue bijectio Préciser, pour N doé, le couple (x,y) y + (x+y)(x+y+) (x,y) dot il est l image Correctio [0058] Retrouver cette fiche et d autres exercices de maths sur exo7emathfr 3

4 Correctio de l exercice (a) ( f = Id P M P, f (M) = M) et ( f Id P M P/ f (M) M) (b) ( f a au mois u poit fixe M P/ f (M) = M) et ( f a pas de poit fixe M P, f (M) M) Costatez que les phrases f (M) = M ou f (M) M ot aucu ses si elles e sot pas accompagées de quatificateurs (a) ( f = 0 x R, f (x) = 0) et ( f 0 x R/ f (x) 0) (b) (L équatio f (x) = 0 a (au mois) ue solutio si et seulemet si x R/ f (x) = 0) et (l équatio f (x) = 0 a pas de solutio si et seulemet si x R/ f (x) 0) (c) (L équatio f (x) = 0 a exactemet ue solutio si et seulemet si!x R/ f (x) = 0) et (l équatio f (x) = 0 a pas exactemet ue solutio si et seulemet si x R/ f (x) 0 ou (x,x ) R / (x x et f (x) = f (x ) = 0) 3 (a) ((u ) N borée M R/ N, u M) et ((u ) N o borée M R/ N, u > M) (b) ((u ) N croissate N/ u + u ) et ((u ) N o croissate N/ u + < u ) (c) ((u ) N mootoe ( N/ u + u ) ou ( N/ u + u )) et ((u ) N o mootoe (( N/ u + < u ) et ( N/ u + > u )) Correctio de l exercice Le cotraire de x 3 est x < 3 Le cotraire de 0 < x est ((x 0) ou x > ) Correctio de l exercice 3 Oui Das les deux cas, chaque fois que l o se doe u réel x 0, f (x 0 ) et g(x 0 ) sot tous deux uls No La deuxième affirmatio implique la première mais la première implique pas la deuxième La première phrase est la traductio avec des quatificateurs de l égalité f g = 0 La deuxième phrase est la traductio avec quatificateurs de ( f = 0 ou g = 0) Voici u exemple de foctios f et g toutes deux o ulles dot le produit est ul Soiet f : R { R et g : R { R 0 si x < 0 0 si x > 0 x x x si x 0 x si x 0 Pour chaque valeur de x, o a soit f (x) = 0 (quad x 0), soit g(x) = 0 (quad x 0) O a doc : x R, ( f (x) = 0 ou g(x) = 0) ou ecore x R, f (x)g(x) = 0 ou efi, f g = 0 Cepedat, f () = 0 et doc f 0, et g( ) = 0 et doc g 0 Aisi, o a pas ( f = 0 ou g = 0) ou ecore, o a pas (( x R, f (x) = 0) ou ( x R, g(x) = 0)) Correctio de l exercice 4 f est dérivable sur I =],], et pour x ],[, f (x) = x 4 < 0 f est doc cotiue et strictemet décroissate sur ],] Par suite, f réalise ue bijectio de ],] sur f (],]) = [ f (),lim f [= [,+ [= J O ote g l applicatio de I das J qui, à x associe x 4x + 3(= f (x)) g est bijective et admet doc ue réciproque Détermios g Soit y [,+ [ et x ],] y = g(x) y = x 4x + 3 x 4x + 3 y = 0 Or, = 4 (3 y) = y + 0 Doc, x = + y + ou x = y + Efi, x ],] et doc, x = y + E résumé, O viet de trouver g : x ],], y [,+ [, y = g(x) x = y + 4

5 x [,+ [, g (x) = x + O vérifie facilemet que f réalise ue bijectio de ],+ [ sur ],[, otée g Soiet alors x ],+ [ et y ],[ y = g(x) y = x x + x( y + ) = y + x = y + y + (o a aisi trouvé au plus ue valeur pour x à savoir x = y+ y+, mais il est pas écessaire de vérifier que cette expressio est bie défiie et élémet de ],+ [ car o sait à l avace que y admet au mois u atécédet das ],+ [, et c est doc écessairemet le bo) E résumé, O viet de trouver g : x ],+ [, y ],[, y = g(x) x = y + y + x ],[, g (x) = x+ x+ 3 f est cotiue et strictemet croissate sur [ 3,+ [ f est doc bijective de [ 3,+ [ sur f ([ [ 3,+ [) = f ( [ 3 ),lim f = [,+ [ Notos ecore f l applicatio de [ 3 +,+ [ das [,+ [ qui à x associe x + 3 Soiet alors x [ 3,+ [ et y [,+ [ f (x) = y x + 3 = y x = ( 3 + (y + ) ) x = y + y E résumé, x [ 3,+ [, y [,+ [, y = g(x) x = y + y O viet de trouver g : x [,+ [, g (x) = x + x 4 f est défiie sur R, impaire Pour x [0,+ [, 0 f (x) = x +x < +x +x = Doc, f ([0,+ [) [0,[ Par parité, f (],0]) ],0] et même f (],0[) ],0[ car l image par f d u réel strictemet égatif est u réel strictemet égatif Fialemet, f (R) ],[ Vérifios alors que f réalise ue bijectio de R sur ],[ Soit y [0,[ et x R L égalité f (x) = y impose à x d être das [0,+ [ Mais alors f (x) = y x + x = y x = y y Le réel x obteu est bie défii, car y, et positif, car y [0,[ O a motré que : y [0,[,!x R/ y = f (x) (à savoir x = y y ) Soit y ], 0[ et x R L égalité f (x) = y impose à x d être das ], 0[ Mais alors f (x) = y x x = y x = y + y Le réel x obteu est bie défii, car y, et strictemet égatif, car y ],0[ O a motré que : Fialemet, y ],0[,!x R/ y = f (x) (à savoir x = y + y ) y ],[,!x R/ y = f (x), ce qui motre que f réalise ue bijectio de R sur ],[ De plus, pour y ],[ doé, f (y) = si y 0 et f (y) = y +y si y < 0 Das tous les cas, o a f (y) = y y E otat ecore f l applicatio de R das ],[ qui à x associe, o a doc 5 x + x y y

6 x ],[, f (x) = x x Correctio de l exercice 5 Motros que la restrictio de f à D, otée g, est bie ue applicatio de D das P Soit z D O a z < et e particulier z i Doc, f (z) existe De plus, Re( f (z)) = ( f (z) + f (z)) = ( z + i z i + z i ) z + i Doc, f (z) est élémet de P g est doc ue applicatio de D das P Motros que g est ijective Soit (z,z ) D = z z (z i)(z i) = z z i < 0 g(z) = g(z ) z + i z i = z + i z i iz iz = iz iz i(z z) = 0 z = z 3 Motros que g est surjective Soiet z D et Z P g(z) = Z z + i i(z + ) = Z z = (car Z, z i Z (ce qui motre que Z admet au plus u atécédet das D, à savoir z = i(z+) Z (mais o le sait déjà car g est ijective) Il reste cepedat à vérifier que i(z+) est effectivemet das D) Réciproquemet, puisque Re(Z) < 0, Z i(z+) Z = Z+ Z < (Z état strictemet plus proche de que de ) et z D Fialemet g est ue bijectio de D sur P, et : z P, g (z) = i(z+) z Correctio de l exercice 6 Motros par récurrece que, (+3) k(k+)(k+) = (+3) 4(+)(+) Pour =, k(k+)(k+) = 6 = 4 (+)(+) et la formule proposée est vraie pour = Soit Supposos que et motros que + k(k+)(k+) = (+)(+4) 4(+)(+3) k(k+)(k+) = (+3) 4(+)(+) + k(k + )(k + ) = k(k + )(k + ) + ( + )( + )( + 3) = = O a motré par récurrece que : ( + 3) 4( + )( + ) + (par hypothèse de récurrece) ( + )( + )( + 3) ( + 3) + 4 4( + )( + )( + 3) = ( + )( + )( + 3) = ( + )( ) ( + )( + 4) = 4( + )( + )( + 3) 4( + )( + 3), k(k+)(k+) = (+3) 4(+)(+) 6

7 Démostratio directe Pour k, k(k + )(k + ) = (k + ) k k(k + )(k + ) = ( et doc, k(k + ) (k + )(k + ) ), k(k + )(k + ) = ( k(k + ) (k + )(k + ) ) = + ( k(k + ) k= k(k + ) ) = ( ) + 3 = ( + )( + ) 4( + )( + ) = ( + 3) 4( + )( + ) Correctio de l exercice 7 Motros par récurrece que :, k = (+) Pour =, k = = (+) Soit Supposos que k = (+) et motros que + k = (+)(+) + k = k + ( + ) = = ( + )( O a motré par récurrece que : ( + ) + ) = ( + )( + ) + ( + ) (par hypothèse de récurrece), k = (+) O peut doer plusieurs démostratios directes ère demostratio Pour k, (k +) k = k + et doc ((k +) k ) = k + ce qui s écrit ( + ) = k + ou ecore k = + ou efi k = (+) ème demostratio O écrit ( ) + = S + ( ) + ( ) = S et e additioat (verticalemet), o obtiet S = ( + ) + ( + ) + + ( + ) = ( + ) d où le résultat La même démostratio s écrit avec le symbole sigma : S = k + ( + k) = (k + + k) = ( + ) = ( + ) 3ème demostratio O compte le ombre de poits d u rectagle ayat poits de large et + poits de log Il y e a ( + ) Ce rectagle se décompose e deux triagles isocèles coteat chacu poits D où le résultat 7

8 4ème démostratio Das le triagle de PASCAL, o sait que pour et p etiers aturels doés, C p +C p+ = C p+ + Doc, pour (le résultat est clair pour = ), = + k= C k = + k= Pour k, (k + ) 3 k 3 = 3k + 3k + Doc, pour : ( C k+ C k ) = + (C + ) = ( + ) D où, 3 k + 3 k + = ((k + ) 3 k 3 ) = ( + ) 3 k = ( ) ( + ) 3 ( + ) 3 = 3 6 (( + )3 3( + ) ( + )) = 6 ( + )( + ), et doc, k = (+)(+) 6 Pour k, (k + ) 4 k 4 = 4k 3 + 6k + 4k + Doc, pour, o a D où : 4 k k + 4 k + = ((k + ) 4 k 4 ) = ( + ) 4 k 3 = 4 (( + )4 ( + )( + ) ( + ) ) = 4 (( + )4 ( + )(( + ) + + ) = 4 (( + )4 ( + ) ( + )) = ( + ) (( + ) ( + )) 4, k3 = (+) 4 = ( k) Pour k, (k + ) 5 k 5 = 5k 4 + 0k 3 + 0k + 5k + Doc, pour, = ( + ) 4 D où : 5 k k k + 5 k + = ((k + ) 5 k 5 ) = ( + ) 5 Fialemet, k 4 = 5 (( + )5 5 ( + ) 5 3 ( + )( + ) 5 ( + ) ) = 30 (6( + )5 5 ( + ) 0( + )( + ) 5( + ) 6( + )) = 30 ( + )( ) = ( + )( ) 30 N, k = (+) N, k = (+)(+) 6 N, k3 = (+) 4 = ( k) N, k4 = (+)( ) 30 8

9 3 Soit p u etier aturel Pour k, Doc, pour : (k + ) p+ k p+ = p j=0 C j p+ k j p j=0c j p+ ( k j ) = D où la formule de récurrece : ( p j=0 C j p+ k j ) = ((k + ) p+ k p+ ) = ( + ) p+ p N, N, p j=0 C j p+ S j = ( + ) p+ Correctio de l exercice 8 Soit (x,x ) E f (x ) = f (x ) g( f (x )) = g( f (x )) (car g est ue applicatio) x = x (car g f est ijective) O a motré que (x,x ) E, f (x ) = f (x ) x = x, et doc f est ijective Soit y H Puisque g f est surjective, il existe u élémet x das E tel que g( f (x)) = y E posat z = f (x) G, o a trouvé z das G tel que g(z) = y O a motré : y H, z G/ g(z) = y, et doc g est surjective Correctio de l exercice 9 O peut supposer sas perte de gééralité que f g h et g h f sot ijectives et que h f g est surjective D après l exercice 8, puisque f g h = ( f g) h est ijective, h est ijective et puisque h f g = h ( f g) est surjective, h est surjective Déjà h est bijective Mais alors, h est surjective et doc f g = h (h f g) est surjective e tat que composée de surjectios Puis h est ijective et doc f g = ( f g h) h est ijective f g est doc bijective f g est surjective doc f est surjective g h f est ijective doc f est ijective Doc f est bijective Efi g = f ( f g) est bijective e tat que composée de bijectios Correctio de l exercice 0 Si A = B = alors A B = = A B Si A B = A B, supposos par exemple A Soit x A Si x B, x A B = A B ce qui est absurde et si x / B, x A B = A B ce qui est absurde Doc A = B = Fialemet, A B = A B A = B = Par distributivité de sur, (A B) (B C) (C A) = ((A B) (A C) (B B) (B C)) (C A) = ((A C) B) (C A) (car B B = B et A B B et B C B) = ((A C) C) ((A C) A) (B C) (B A) = (A C) (A C) (B C) (B A) = (A B) (B C) (C A) 3 A B = (A \ B) (B \ A) = (B \ A) (A \ B) = B A 9

10 4 x (A B) C x est das A B ou das C mais pas das les deux ((x A et x / B et x / C) ou (x B et x / A et x / C) ou (x C et x / A B) x est das ue et ue seule des trois parties ou das les trois Par symétrie des rôles de A, B et C, A (B C) est égalemet l esemble des élémets qui sot das ue et ue seule des trois parties A, B ou C ou das les trois Doc (A B) C = A (B C) Ces deux esembles peuvet doc se oter ue boe fois pour toutes A B C 5 A = B A \ B = et B \ A = A B = A B x E/ ((x A et x / B) ou (x / A et x B)) x E/ x (A\B) (B\A) = A B A B 6 Immédiat Soit x u élémet de A Si x / C alors x A C = B C et doc x B car x / C Si x C alors x / A C = B C Puis x / B C et x C et doc x B Das tous les cas, x est das B Tout élémet de A est das B et doc A B E échageat les rôles de A et B, o a aussi B A et fialemet A = B Correctio de l exercice Soit x E ( ) x f A i y A i / x = f (y) i I, y A i / x = f (y) i I/ x f (A i ) x f (A i ) Doc ( ) f A i = f (A i ) Soit x E ( ) x f A i y A i / x = f (y) y E/ i I, y A i et x = f (y) i I/ y A i / x = f (y) i I/ x f (A i ) x f (A i ) Doc ( ) f A i f (A i ) L iclusio cotraire est pas toujours vraie Par exemple, pour x réel o pose f (x) = x puis A = { } et B = {} A B = et doc f (A B) = puis f (A) = f (B) = {} et doc f (A) f (B) = {} 3 Il y a aucue iclusio vraie etre f (E \ A) et F \ f (A) Par exemple, soit f : R R x x et A = [,] f (A) = [0,4] et doc C R ( f (A)) =],0[ ]4,+ [ mais f (C R A) = f (], [ ],+ [) = ],+ [ et aucue iclusio etre les deux parties est vraie 0

11 4 Soit x E ( ) x f B i f (x) B i i I, f (x) B i i I, x f (B i ) x f (B i ) Doc, f ( B i ) = f (B i ) 5 Soit x E Doc, x f ( B i ) f (x) B i i I, f (x) B i i I, x f (B i ) x f (B i ) f ( B i ) = f (B i ) 6 Soit x E Doc, x f (F \ B i ) f (x) F \ B i f (x) / B i x / f (B i ) x E \ f (B i ) f (F \ B i ) = E \ f (B i ) Correctio de l exercice ) ) Soit X P(E) O a toujours X f ( f (X)) (E effet, pou x E, x X f (x) f (X) x f ( f (X))) Réciproquemet, soit x E x f ( f (X)) f (x) f (X) x X/ f (x) = f (x ) x X/ x = x (puisque f est ijective) x X Fialemet, f ( f (X)) X et doc f ( f (X)) = X ) ) Soit x X Par hypothése, f { f (x)} = f ( f ({x})) = {x} ce qui sigifie que f (x) a u et u seul atécédet à savoir x Par suite, tout élémet de l esemble d arrivée a au plus u atécédet par f et f est ijective ) 3) Soit (X,Y ) (P(E)) O a toujours f (X Y) f (X) f (Y ) (X Y X f (X Y) f (X) et de même, f (X Y ) f (Y ) et fialemet, f (X Y ) f (X) f (Y )) Réciproquemet, soit y F y f (X) f (Y ) (x,x ) X Y / y = f (x) = f (x ) Mais alors, puisque f est ijective, x = x X Y puis y = f (x) f (X Y ) Fialemet, f (X Y ) = f (X) f (Y ) 3) 4) Soit (X,Y ) (P(E)) X Y = f (X) f (Y ) = f (X Y ) = f ( ) = 4) 5) Soit (X,Y ) (P(E)) tel que Y X Puisque X \ Y X, o a f (X \ Y ) f (X) Mais, puisque Y (X \ Y ) =, par hypothèse f (X \ Y ) f (Y ) = Fialemet, f (X \ Y ) f (X) \ f (Y ) Iversemet, si f (X) \ f (Y ) =, l iclusio cotraire est immédiate et si f (X) \ f (Y ), u élémét de f (X) \ f (Y ) est l image d u certai élémet de X qui e peut être das Y et doc est l image d u élémet de X \Y ce qui motre que f (X) \ f (Y ) f (X \Y ) et fialemet que f (X) \ f (Y ) = f (X \Y ) 5) ) Soit (x,x ) E tel que x x Posos X = {x,x } et Y = {x } O a doc Y X Par hypothèse f (X \Y ) = f (X) \ f (Y ) ce qui fourit f ({x }) = f ({x,x }) \ f ({x }) ou ecore, { f (x )} = { f (x ), f (x )} \ { f (x )} Maiteat, si f (x ) = f (x ) alors { f (x ), f (x )}\{ f (x )} = (et pas { f (x )}) Doc f (x ) f (x ) O a motré que f est ijective

12 Correctio de l exercice 4 Motros par récurrece que, pour, H peut s écrire sous la forme p q où q est u etier pair et p est u etier impair (la fractio précédete état pas écessairemet irréductible mais à coup sûr pas u etier) Pour =, H = 3 et H est bie du type aocé Soit Supposos que pour tout etier k tel que k, o ait H k = p k q k où p k est u etier impair et q k est u etier pair et motros que H + = p + q + où p + est u etier impair et q + est u etier pair (Recherche L idée H + = p q + + = (+)p +q (+)q e marche à coup sur que si ( + )p + q est impair ce qui est assuré si + est impair et doc pair) er cas Si est pair, o peut poser = k où k N Das ce cas, H + = (k+)p +q (k+)q et H + est bie le quotiet d u etier impair par u etier pair ème cas Si est impair, o pose = k où k (de sorte que k 3) H + = k i= k i = i= k i + i + i=0 (e séparat les fractios de déomiateurs pairs des fractios de déomiateurs impairs) = k i= k i + i + = H k + i=0 k i=0 i + Maiteat, e réduisat au même déomiateur et puisque u produit de ombres impairs est impair, o voit que k i=0 i+ est du type K K + où K et K sot des etiers Esuite, puisque k k =, par hypothèse de récurrece, H k = p k q k où p k est u etier impair et q k u etier pair Après réductio au même déomiateur, o obtiet H + = p k q k + K K + = (K + )p k + Kq k q k (K + ) Kq k est u etier pair et (K +)p k est u etier impair e tat que produit de deux ombres impairs Doc le umérateur est bie u etier impair et puisque qk(k +) est u etier pair, H + est bie das tous les cas de la forme désirée O a motré par récurrece que pour tout etier aturel, H est le quotiet d u etier impair par u etier pair et doc est pas u etier Correctio de l exercice 5 Il y a l ijectio triviale f : E P(E) x {x} Soit f ue applicatio quelcoque de E das P(E) Motros que f e peut être surjective Soit A = {x E/ x / f (x)} Motros que A a pas d atécédet par f Supposos par l absurde que A a u atécédet a Das ce cas, où est a? ce qui est absurde et a A a / f (a) = A, a / A a f (a) = A, ce qui est absurde Fialemet, A a pas d atécédet et f est pas surjective O a motré le théorème de CANTOR : pour tout esemble E (vide, fii ou ifii), il existe pas de bijectio de E sur P(E) Correctio de l exercice 6

13 f est bie ue applicatio de N das N car, pour tout couple (x,y) d etiers aturels, l u des deux etiers x+y ou x + y + est pair et doc, (x+y)(x+y+) est bie u etier aturel (o peut aussi costater que (x+y)(x+y+) = (x + y) est etier pour x + y ) Remarque La umérotatio de N a été effectuée de la faço suivate : ºyº 0 3 x Sur ue parallèle à la droite d équatio y = x, la somme x +y est costate Il e est de même de l expressio (x+y)(x+y+) et quad o desced de e y, o avace de das la umérotatio Lemme N,!p Démostratio Pour ) démotrer ce lemme, o pourrait se coteter de costa- est strictemet croissate Néamois, o va fourir N/ p(p+) < (p+)(p+) ter que la suite des ombres triagulaires ( p(p+) explicitemet p e foctio de Soiet et p deux etiers aturels p(p + ) < (p + )(p + ) p 0 p + p 0 et p + 3p + > 0 p p et p > = ( ) < p + p = E Le lemme est démotré Motros que f est surjective (et au passage, détermios l atécédet d u etier ( ) { doé) Soiet u etier aturel et p = E + 8+ x + y = p (p est u etier aturel) O pose y = { p(p+) y = p(p+) ou ecore (x+y)(x+y+) x = p y = p(p+3) Tout d abord, y + = p(p+) + p(p+) = Mais il reste ecore à vérifier que x et y aisi défiis (qui sot à l évidece des etiers relatifs) sot bie des etiers aturels Puisque p(p+) est u etier aturel et que p(p+), y est bie u etier aturel Esuite, p(p+3) = p(p+) + p est aussi u etier aturel et de plus, p(p + 3) p(p + 3) et x est bie u etier aturel Aisi, pour aturel doé, e posat p = E ( ) (p + )(p + ) = 0, ( ) + 8+ puis x = p(p+3) et y = p(p+), x et y sot des etiers aturels tels que f ((x,y)) = f est doc surjective Motros que f est ijective Pour cela, o motre que si x et y sot des etiers aturels vérifiat y + (x+y)(x+y+) =, alors écessairemet, x + y = p (et y = p(p+) ) Soiet doc x et y deux etiers aturels O a : (x + y)(x + y + ) (x + y)(x + y + ) (x + y)(x + y + ) (x + y + )(x + y + ) + y = < + (x + y + ) =, et le lemme motre que x + y = p L uicité du couple (x,y) est doc démotrée f est ue applicatio ijective et surjective et doc f est bijective Sa réciproque est f : N N où p = ( p(p+3), p(p+) ) ( ) E

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