Optimisation hiérarchique : théorie, algorithmes et applications

Transcription

1 Avant propos De nombreux problèmes de prise de décision exigent des compromis parmi les objectifs de plusieurs individus ou entités qui interagissent. Souvent, les acteurs sont regroupés dans une structure administrative ou hiérarchique avec des objectifs indépendants et parfois incompatibles. Par exemple, les politiques d'énergie ou fiscales dans une économie présentée par un gouvernement central affectent l'objectif et les options, ou encore des stratégies de certaines entreprises, de fonctionnaires de l'état ou des administrations décentralisées. Ce processus existe dans une hiérarchie de décideurs, y compris des gouvernements locaux, des agences de planification, des unités microéconomiques telles que les entreprises et les ménages. Chaque unité de la hiérarchie souhaite maximiser son utilité individuelle, compte tenu du contrôle exogène partiel exercé aux autres niveaux de prise de décision. Les techniques de l'optimisation hiérarchique partitionnent le contrôle sur les variables de la décision d'un problème de l'optimisation parmi les décideurs. Un planificateur à un niveau de la hiérarchie de décision peut avoir sa fonction économique déterminée en partie, par les variables contrôlées à d autres niveaux. Cependant, son choix de valeurs pour les variables de décision sous son contrôle peut lui permettre d'influencer les politiques à d autres niveaux de décision, et par conséquent, améliorer sa propre fonction économique. De telles politiques pourraient inclure le contrôle de l'allocation et l usage des ressources aux niveaux de décision inférieurs, et le contrôle des avantages à conférer aux niveaux subalternes. En d autres termes, la programmation hiérarchique concerne tous problèmes de prise de décision qui impliquent plusieurs décideurs ordonnés dans une structure hiérarchique. Par exemple, les problèmes de politique agricole (ou économique) sont caractérisés par le fait le gouvernement ou alors d autres décideurs ne possèdent qu une gamme limitée de variables sous leur contrôle direct. Les valeurs d autres variables (superficie de culture ou de

2 II Optimisation hiérarchique : théorie, algorithmes et applications récolte, tonnes d engrais appliqués, choix des cultures, l investissement sur les machines agricoles), sont fixées par une myriade de décideurs décentralisés suivant une variété de règles de comportement. Le paradigme de l'optimisation à plusieurs niveaux a été utile dans beaucoup de champs y compris en économie, en recherche opérationnelle, sans oublier les statistiques et la théorie du contrôle optimal, avec quelques applications pertinentes dans des systèmes du transport, dans la conception de système en ingénierie, les sciences de l'environnement, la psychologie, les facteurs humains, le comportement dans une organisation, la sociologie et les sciences politiques. La famille des programmes mathématiques qui modélisent les systèmes de décision hiérarchique est constituée des problèmes bi-niveaux (PBN), des problèmes de programmation mathématique avec contraintes d équilibre (MPEC) ou des problèmes connexes à savoir, les problèmes de complémentarité ou les problèmes définis par une inégalité variationnelle (VI). Nous nous proposons de traiter dans cet ouvrage, le concept de programmation hiérarchique des points de vue théoriques, algorithmes et des applications. Le plan de l ouvrage donc est le suivant: Le chapitre 1 traite des fondements théoriques de la programmation biniveaux (PBN). Il faudrait souligner que l'utilisation de la programmation mathématique dans différents processus décisionnels est restée pendant de nombreuses années consacrée aux problèmes pour lesquels un décideur unique (gouvernement, politicien, institution, organisation...) avait un contrôle unilatéral sur le niveau d'activités à assigner à tous les objectifs ou variables de décision. Depuis les années 70, l'introduction de la programmation mathématique à plusieurs niveaux a consacré la décentralisation du niveau de prise de décision en tenant compte de la réaction des autres décideurs. Souvent, les décideurs interviennent dans un système hiérarchisé où ils peuvent agir soit de façon coopérative, soit de façon non coopérative. La programmation mathématique à plusieurs niveaux résout le problème de la coordination du processus de prise de décision dans un système décentralisé, notamment lorsque les décideurs agissent de façon non coopérative et que les décisions sont prises de manière séquentielle. Motivés par la théorie des jeux de Stackelberg (1952) 1, plusieurs auteurs se sont intéressés à cette spécialité de l optimisation. Stackelberg a introduit un modèle en concurrence parfaite 1 STACKELBERG, H. V. (1952). The Theory of Market Economy. Oxford University Press.

3 Avant propos III dans le contexte d'un duopole. Ce modèle est caractérisé par l'existence d'une précédence dans l'annonce des décisions de deux firmes: un producteur se voit assigner le rôle de meneur (premier niveau de décision) et annonce son niveau de production au suiveur (second niveau de décision) dans la détermination de sa propre production. Le paradigme de Stackelberg fait l'hypothèse que le meneur agit en connaissant la réaction optimale du suiveur à son annonce. Anandalingam et Friez (1992) 2, Ben-Ayed (1993) 3 puis, Vicente et Calamai (1994) 4 ou Dempe (2003) 5 présentent dans des revues bibliographiques, les applications de la programmation bi-niveaux, les propriétés théoriques liées à la programmation bi-niveaux et les différentes classes d'algorithmes de résolution. Migdalas et Pardalos (1996) 6 procèdent à une revue de littérature en compilant sept articles qui couvrent les différents aspects de la programmation bi-niveaux. La revue de bibliographie la plus significative est contenue dans une monographie de Bard (1998) 7 ; cet ouvrage présente une excellente introduction à la théorie de la PBN. Il en est de même de la monographie de Dempe (2002) 8. Les toutes premières formulations liées au problème de PBN sont l œuvre d auteurs tels que Kornaj et Liptack (1965) 9, Ross (1973) 10, Simaan et Cruz (1973) 11 ou Braken et McGill (1973) 12 ; toutefois, Candler et Norton (1977a) 13, (1977b) 14 furent les premiers à utiliser la terminologie 2 ANANDALINGAM, G. et T. L. FRIEZ. (1992). Hierarchical optimization. An introduction. Annals of Operations Research, 3: BEN-AYED, O et BLAIR, C. (1990). Computational difficulties of bilevel linear programming, Operations Research, 38: VICENTE, L.N. et CALAMAI, P.H. (1994). Generating quadratic bilevel programming test problems. ACM Transactions on Mathematical Software, 20:1, DEMPE, S. (2003). Annoted bibliography on bilevel programming and mathematical programs with equilibrium constraints. Optimization, 52: MIGDALAS, A. et P.M. PARDALOS. (1996). Editorial: hierarchical and bilevel programming. Journal of Global Optimization (Historical Archive), 8:3, BARD, J. F. (1988). Convex two-level optimization. Mathematical Programming, DEMPE, S. (1992). A necessary and sufficient optimality for bilevel programming problem. Optimization, 25: KORNAJ, J. et LIPTAK, T. (1965). Two-level planning. Econometrica, 33: ROSS, S.A. (1973). The economic theory of agency: The principal s problem. AER, 63: SIMAAN, M. et CRUZ, JB. (1973). On the stackelberg strategy in nonzero-sum games. Journal of Optimization Theory and Applications, 11: BRACKEN, J. et McGILL, J. (1973). Mathematical programs with optimization problems in the constraints. Operations Research, 21: CANDLER, W. et NORTON, R. (1977a). Multi-level programming. World Bank Development Research Center Discussion Paper, 20, Washington, DC.

4 IV Optimisation hiérarchique : théorie, algorithmes et applications programmation à deux niveaux ou à plusieurs niveaux dans un rapport de la Banque Mondiale. Le chapitre 2, quant à lui est consacré à une présentation des fondements théoriques des programmes mathématiques avec contraintes d'équilibre (MPEC), et des problèmes connexes constitués du problème de complémentarité ou du problème défini par une inégalité variationnelle. Comme le souligne Moré (1996) 15, les problèmes de MPEC proviennent de la recherche d'une solution d'équilibre en économie. Les travaux de Ahn (1979) 16 sur le système d'évaluation de l'indépendance des projets sont à l'origine de l'intérêt porté à la formulation et la recherche des solutions des problèmes d'équilibre économique comme des problèmes de complémentarité. Les revues bibliographiques de Harker et Pang (1990) 17, Ferris et Pang (1997) 18 ou de Ferris et Kanzow (1998) 19 font le point sur les derniers développements des travaux consacrés aux problèmes de complémentarité avec leurs principales applications. Sous une hypothèse de régularité, tout problème de programmation bi-niveaux est équivalent à un problème de MPEC; Ye (1999) 20 a d'ailleurs reconnu que ces deux problèmes partagent des caractéristiques communes. Marcotte et Zhu (1996) 21, Ye et Ye (1997) 22 puis Marcotte et al. (2001) 23 ont défini le 14 CANDLER, W. et NORTON, R. (1977b mai). Multi-level programming and development policy. World Bank Development Research Center Discussion Paper, 258, Washington, DC. 15 MORÉ, J.J. (1996). Global methods for nonlinear complementarity problems. Mathematics of Operations Research, 21: AHN, B.H. (1979). Computation of market equilibra for policy analysis. The project independenceevaluation study PIES approach. Garland Publishing, New York and London. 17 HARKER, P.T. et PANG, J.S. (1990). Finite-dimensional variational duality and nonlinear complementarity problems: A survey of theory, algorithms and applications. Mathematical Programming, 48, FERRIS, M.C. et PANG, J.S. (1997). Engineering and economic application of complementarity problems. SIAM Review, 19: FERRIS, M.C et KANZOW, C. (1998). Complementarity and related problems. A survey. Dipartimento di Informatica e Sistemistica, Università di Roma La Sapienza, Via Buonarroti 12, Roma, working paper. 20 YE, J.J. (1999). Optimality conditions for optimization problems with complementarity constraints. Journal on Optimization, 9:2, MARCOTTE, P. et ZHU, D.L. (1996). Exact and inexact penalty methods for the generalized bilevel programming problem. Mathematical Programming, A 74, YE, J.J. et YE, X.Y. (1997). Necessary optimality conditions for optimization problems with variational inequality constraints. Mathematics of Operations Research, 22:4, MARCOTTE, P., G. SAVARD et ZHU, D.L. (2001). A trust region algorithm for nonlinear bilevel programming. Operations Research Letters, 29:

5 Avant propos V problème de MPEC comme un problème de programmation bi-niveaux généralisé: les contraintes du problème de MPEC en question incluent une inégalité variationnelle. Considérant les problèmes de MPEC qui comportent parmi leurs contraintes des contraintes d équilibre ou des problèmes de complémentarité, Kocvara et Outrata (2003) 24 procèdent à une revue de littérature sur la question, puis proposent un nouveau cadre d analyse pour ce type de problème de MPEC. Dans le chapitre 3, sans avoir la prétention d être exhaustif, nous faisons un inventaire des principaux algorithmes de résolution des problèmes d optimisation hiérarchique. Contrairement à la programmation bi-niveaux, les publications consacrées à la conception des algorithmes de résolution des problèmes de MPEC n'ont pas connu la même évolution, en nombre, que celles consacrées à ses propriétés théoriques. La difficulté de construire un algorithme de résolution d'un problème de MPEC est liée à sa structure particulière. Andreani et Martinez (2001) 25 font remarquer qu une méthode de résolution des programmes mathématiques ordinaires peut être utilisée pour résoudre un problème de MPEC, à condition de procéder à une bonne reformulation de ses contraintes. La plupart des algorithmes qui ont été développés pour trouver une solution réalisable aux problèmes de complémentarité font appel à une transformation analytique: les contraintes d'équilibre qui rendent difficile la résolution du problème initial sont transformées en contraintes régulières par le biais de fonctions de mérite (Harker et Pang, ; Andreani et Martinez, ; Burke et Xu, ; Hotta et Yoshise, ). D'après Fisher et Jiang (2000) 30, les fonctions de mérite sont devenues d'importants outils utilisés pour résoudre des 24 KOCVARA, M.K. et OUTRATA, J.V. (2003). Optimization problems with equilibrium constraints and their numerical solution. Mathematical Programming, 101:1, ANDREANI, R. et MARTINEZ, J.M. (2001). On the solution of mathematical programming problems with equilibrium constraints. Math. Methods of Operations Research, 54: HARKER, P.T. et PANG, J.S. (1988). On the existence of optimal solutions to mathematical programs with equilibrium constraints. Operations Research Letters, 7:2, ANDREANI, R. et MARTINEZ, J.M. (1998). On the solution of the extended linear complementarity problems. Linear Algebra and its Applications, 281: BURKE, J. et XU, S. (2000). A non-interior predictor-corrector path following algorithm for the monotone linear complementarity problem. Mathematical Programming, Ser. A 87, HOTTA, K. et YOSHIE, A. (1999). Global convergence of a class of non-interior-point algorithms using Chen-Harker-Kanzow function for nonlinear complementarity problems. Mathematical Programming, 86: FISHER, A. et JIANG, H. (2000). Merit functions for complementarity and related problems. A survey. Computational and Applications, 17:

6 VI Optimisation hiérarchique : théorie, algorithmes et applications problèmes variés (en optimisation, en ingénierie, dans les systèmes économiques). Les fonctions de mérite jouent un rôle important dans l'analyse des propriétés théoriques de ces problèmes et dans la conception de leurs algorithmes de résolution. Quelques algorithmes performants ont été proposés pour trouver un point stationnaire pour un problème de MPEC (Luo et al., ; Luo et al., ; Jiang et Ralph, ; Facchinei et al., ; Fukushima et al., ; Zhang et Liu, ). Sous des hypothèses de qualification des contraintes moins restrictives que celles habituellement utilisées, Liu et Sun (2004) 37 proposent un algorithme globalement convergent de résolution des problèmes de MPEC. Cet algorithme s appuie sur une méthode primale-duale de point intérieur, combinée à l utilisation d une fonction de mérite. Dans le chapitre 4, nous passons en revue quelques unes des applications pertinentes sur lesquelles la théorie ou les algorithmes portant sur les modèles d optimisation hiérarchique ont eu un impact. Inversement, ces algorithmes ont générés de nouvelles questions portant sur cette spécialité de la recherche opérationnelle, certaines de ces questions n ayant pas à ce jour trouvé de réponse. En ce qui concerne particulièrement la détermination d une solution d équilibre pour les problèmes de complémentarité ou des inégalités variationnelles, la perspicacité des algorithmiques représente la compréhension qui pourrait résulter d une solution numérique d un modèle. Alors qu il n est pas toujours nécessaire de déterminer une solution 31 LUO, Z.Q., J.S. PANG et D. RALPH. (1996). Mathematical programs with nonlinear complementary constraints. Cambridge UK, University Press. 32 LUO, Z.Q., PANG, J.S., RALPH, D. et WU, S.Q. (1998). Piecewise sequential quadratic programming for mathematical programs with nonlinear complementary constraints. Migdalas, A. et al., ed., Multilevel Optimization: Algorithms, Complexity and Applications. Kluwer Academic Publishers. 33 JIANG, H. RALPH, D. (2000). Smooth SQP methods for mathematical programs with equilibrium constraints. SIAM Journal on Optimization, 10: FACCHINEI, F., JIANG, H. et QI, L. (1999). A smoothing method for mathematical programs with equilibrium constraints. Mathematical Programming, 85: FUKUSHIMA, M., LUO, Z.Q. et PANG, J.S. (1998). A global convergent sequential quadratic programming algorithm for mathematical programs with linear complementary constraints. Computational Optimization and Applications, 10: ZANG, J.Z. et LIU, G.S. (2001). A new extreme point algorithm and its applications in PSQP algorithms for solving mathematical programs with linear complementarity constraints. Journal of Global Optimization, LIU, X. et SUN, J. (2004). Generalized stationary points and an interior-point method for mathematical programs with equilibrium constraints. Mathematical Programming, 101:1,

7 Avant propos VII numérique pour un modèle en vue d arriver aux propriétés relatives à l équilibre, une telle solution numérique représente la seule voie pour obtenir toutes pertinences portant sur les propriétés qualitatives des modèles de grande taille. Ce rapide survol des différents chapitres montre bien que cet ouvrage s organise en dernier ressort au tour du concept de l optimisation hiérarchique et des sujets connexes. Le choix du contenu des différents chapitres a cherché à tenir compte d un triple impératif: d une part, donner au lecteur un certain nombre d outils théoriques afin de procéder à la modélisation et à l analyse desdits modèles; d autres part, présenter les algorithmes directement utilisables qui ont été développés pour résoudre les problèmes d optimisation hiérarchique, et enfin passer en revue quelques applications de la programmation hiérarchique, qui pourrait inspirer le lecteur dans la conception d autres modèles dans de nouveaux champs d applications de cette branche de la recherche opérationnelle. C est pourquoi la présentation des résultats théoriques a été faite, dans toute la mesure du possible, avec le souci de mettre en évidence les liens avec la mise en œuvre algorithmique et les applications. Par ailleurs, l usage dans le chapitre 2 de modèles paramétriques des problèmes de complémentarité ou d inégalité variationnelle a été fait dans la perspective d aider tout chercheur intéressé à procéder facilement aux développements de nouveaux algorithmes de résolution des problèmes de MPEC ou des problèmes de programmation bi-niveaux. Enfin, chaque fois que nous n avons pu éviter d omettre des développements théoriques, parfois ardus et trop spécialisés, ou des démonstrations laborieuses ou trop techniques, qui auraient pu altérés la clarté et la concision de l exposé d ensemble, nous avons pris soin de les mentionner en renvoyant le lecteur à la bibliographie. Compte tenu de l importance du domaine couvert, et de l effort de synthèse qu il représente, cet ouvrage devrait constituer un outil de travail intéressant, aussi bien pour les étudiants et les chercheurs de la famille francophone qui pourront l utiliser comme ouvrage de référence et comme outil d accès à la bibliographie, que pour les ingénieurs ou les praticiens, qui pourront l utiliser comme un guide à même de les aider à identifier, parmi la panoplie de modèles mathématiques, celui qui serait le mieux adapté à leurs problèmes d optimisation hiérarchique, de manière à choisir ou à développer des algorithmes adéquats pour les résoudre. Cet ouvrage est une contribution scientifique à une problématique de gouvernance qui se pose régulièrement au sein des organisations, notamment, dans tout processus de

8 VIII Optimisation hiérarchique : théorie, algorithmes et applications prise de décision rationnelle. Il faudrait tout de même signaler que pour tirer profit de cet ouvrage, le lecteur devrait posséder de bonne connaissance en programmation mathématique classique, en programmation en nombre entiers et en théorie des graphes. Dans l état actuel des connaissances, on peut naturellement se demander s il n est pas prématuré de présenter la programmation hiérarchique sous forme de manuel. Nous avons décidé de courir ce risque. Notre intention n est pas de présenter tous les rudiments théoriques et toutes les méthodes connues, qu ils soient bien développés ou simplement esquissés. Au contraire, nous nous sommes attachés à formuler d abord des concepts de base théoriques, pour les illustrer ensuite en présentant d abord divers procédés de résolution que nous avons jugés pertinents, puis quelques applications pratiques. La matière de ce livre provient essentiellement des travaux de recherche effectués dans les domaines couverts, des notes de lecture ou des travaux de recherche de l auteur, d abord à l université de Yaoundé II (Cameroun) comment enseignant, et au département de mathématique et de génie industriel de l école polytechnique de Montréal dans un programme de PhD. Je tiens à remercier tous ceux qui ont pu contribuer directement ou indirectement, à la conception ou à la réalisation du présent ouvrage. Je remercie particulièrement le professeur Gilles Savard 38 qui m a encouragé à réaliser ce défi. 38 MAGI and GERAD, École Polytechnique de Montréal, C.P. 6079, succ. Centre-ville Montréal (Québec), H3C 3A7 Canada

9 Liste des notations, sigles et abréviations a) Liste des sigles et abréviations AQC : Hypothèse de Qualification des Contraintes d Abadie; CES: Coefficient d Élasticité de Substitution Constant; CHKS : Fonction de mérite de Chen-Harker-Kanzow et Smale; COFS: Conditions d Optimalité Fortes de Second ordre; COPS: Conditions de Premier et Second ordre; CQGR: Hypothèse de Qualification des Contraintes des Gradients ayant même Rang; CSO: Condition de Second Ordre; DI: Domaine Induit; DPV: Désagréments Perçus du Voyage; ESLP: Programmation Linéaire Séquentielle par Énumération implicite; GCP: Problème de Complémentarité Généralisé; ILCQ: Hypothèse de Qualification des Contraintes d Indépendance Linéaire; KKT: Karush, Kuhn et Tucker; LCP: Problème de Complémentarité Linéaire; LKT: Lagrange, Kuhn et Tucker;

10 XIV Optimisation hiérarchique : théorie, algorithmes et applications MFCQ: Hypothèse de Qualification des Contraintes de Mangasarian- Fromovitz; MFQCS: Hypothèse de Qualification des Contraintes de Mangasarian- Fromovitz Stricte; MPEC: Programme Mathématique avec Contraintes d Équilibre; NCP : Problème de Complémentarité Non linéaire; NLP: Programme Non Linéaire; PBL: Programmation Bi-Niveaux Linéaires; PBN: Programmation Bi-Niveaux; PBNP: Programmation Bi-Niveaux sous forme Particulière; PCM: Problème de Complémentarité Mixte; PCP: Pivot Paramétrique Complémentaire; PLM: Programmation Linéaire Mixte; PLSP: Programmation Linéaire Séquentielle par Pièces; PM: Programme Mathématique; PSQP: Programmation Quadratique Séquentielle par Pièces; PVI: Problème défini par une Inégalité Variationnelle; RCS: Relations de Complémentarité Strictes; SBCQ: Hypothèse de Qualification des Contraintes Séquentiellement Bornées; SLP: Programmation Linéaire Séquentielle; SQP: Programmation Quadratique Séquentielle; UE: Union Européenne; VI: Inégalité Variationnelle.