Assimilation de données diverses et variées pour des écoulements de rivière

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1 Assimilation de données diverses et variées pour des écoulements de rivière JÉRÔME MONNIER Universités de Toulouse Institut de Mathématiques INSA, 135 av de Rangueil, Toulouse cedex 4 Tel : Jerome.Monnier@insa-toulouse.fr Résumé Nous présentons une synthèse de plusieurs études portant sur l assimilation variationnelle de données (4D-var) appliquée à l hydraulique fluviale. Parmi les objectifs figure la calibration de modèles numériques d inondations de plaine. Les modèles directs sont basés sur les équations de St-Venant, 1D et/ou 2D. La première étude illustre les potentialités de l approche dans le cas de données standard (hauteurs issues d une station de mesure) et pour un écoulement relativement simple. Nous identifions les hauteurs d eau sur des bords entrants du domaine (rivière des Perles, Chine). Travail en collaboration avec X. Lai, Nanjing Institute, Chine. La seconde étude traite de l apport potentiel d une unique image satellite SAR de la plaine inondée (crue de la Moselle de 1997). Nous montrons que l assimilation d une telle image, après post-traitement et analyse fine, permet de largement améliorer la calibration des coefficients de Manning. Travail en collaboration avec R. Hostache et C. Puech, Cemagref Montpellier (thèse de R. Hostache). La troisième étude traite de l apport potentiel de flotteurs dérivants (trajectoires de surface). Pour un cas test simple, nous montrons que l information apportée permet notamment d identifier la topographie survolée par les particules de surface. Par ailleurs, le même problème inverse mais pour un écoulement réel en canal, a permis d identifier une topographie «équivalente». Travail en collaboration avec M. Honnorat et FX. Le Dimet, Univ. Grenoble (thèse de M. Honnorat). Enfin la quatrième étude présente une algorithmique de superposition de modèle local de zoom, avec assimilation de données simultanée. A l issu du processus d optimisation, les deux modèles sont couplés de manière consistante grâce aux observations et simultanément à leur assimilation. Aussi cela autorise l assimilation d observations hors lit mineur par exemple, en appliquant un modèle local 2D ; et ceci pour calibrer le modèle global 1D. Mots clés Hydraulique fluviale, assimilation variationnelle de données, calibration, identification, équations de St-Venant, superposition de modèles, modèle de zoom, image satellite SAR, données lagrangiennes.

2 1 Modèles mathématiques 1.1 Modèles directs Le modèle 1D est constitué des équations de St-Venant avec termes sources. Les termes sources sont dérivés à partir des équations de Navier-Stokes 3D en tenant compte des apports débordements latéraux, (Marin & Monnier). Ces termes sources sont particulièrement utiles lors de la superposition d un modèle local 2D par dessus un modèle global 1D (cf paragraphe 5). Les équations sont: Avec: S surface mouillée, Q débit linéique, ut vitesse tangentielle aux bords latéraux, qn débits normaux, zb topographie 1D. Lorsque couplé avec le modèle 2D, les termes (qn.ut) sont donnés par ce dernier. Le modèle 1D est fermé avec la condition initiale et les conditions aux bords. Le modèle 2D est également basé sur les équations eaux-peu-profondes en non visqueux, forme conservative: Avec: h la hauteur d eau, q le débit, zb topographie 2D, n coefficient de Manning. Les conditions aux bords peuvent être: débit entrant, caractéristiques entrantes (frontières ouvertes), courbes de tarages, hauteur imposée (sortie), conditions type murs, conditions de sortie libre. Ces équations sont résolues à l aide de méthodes volume finis et un schéma en temps explicite. Le lecteur trouvera plus de détails dans (Honnorat et al., 2007), logiciel DassFlow. 1.2 Problème inverse basé sur l optimisation La modélisation directe se formule ainsi: étant donné le vecteur de contrôle k=(paramètres, condition initiale, conditions aux bords), l état du système est calculé en résolvant le modèle direct. La fonction coût peut alors être évaluée. Elle est définie ainsi: où Jobs est le terme qui mesure la différence entre l état calculé et les observations, Jreg est un terme de régularisation (type Tikhonov), Jflux est un terme de flux introduit dans le cas d observations spatialement distribuées (image satellite). La méthode d assimilation variationnelle de données (4D-var) est basée sur le contrôle optimal du modèle direct. Le problème inverse s écrit: Ce problème d optimisation est résolu numériquement à l aide d une méthode de gradient (algorithme de quais-newton BFGS). L intégralité des équations et des processus d assimilation variationelle de données décrits dans cet article sont implémentés au sein de notre logiciel de calcul DassFlow 1, voir également (Honnorat et 1

3 al., 2007). Le gradient de la fonction coût est obtenu à l aide de la méthode de l adjoint, adjoint calculé par différenciation automatique (outil logiciel Tapenade, différenciation de code source-à-source). Notons enfin que même sans effectuer le processus de minimisation, processus lourd en terme de calcul CPU et de mémoire, le calcul du gradient seul fournit une précieuse information de sensibilité (locale) de la fonction coût aux paramètres d entrée k. 2 Mesures in-situ & identification de hauteurs d eau aux bords En guise de première étude, nous présentons un cas test réel avec données «standards», (Honnorat et al., 2006). Nous considérons une section de la rivière des Perles en Chine, pour laquelle nous disposons de relevés de hauteurs d eau aux stations de mesures O1, O2 et O3, Fig. 1, (une mesure par heure). Nous nous posons alors le problème inverse suivant : quelles sont les hauteurs d eau aux frontières ouvertes BC1, BC2 et BC6? La période d assimilation considérée est de 36H ; et bien sûr la condition initiale est également incluse au vecteur identifié. A noter que les observations sont principalement influencées par les variations de hauteurs de marées en BC6. Les débits sont connus en BC4 et BC5 (relativement faibles) et aucune information n est fournie en BC3. Le modèle est 2D et le maillage est constitué d un mélange de triangles et quadrangles, possédant ~1700 éléments. Les résultats sont présentés sur la figure 1. D. ; (Honnorat et al., 2006), (Honnorat, 2007). Après le processus d identification (algorithme de descente convergé), nous retrouvons parfaitement les hauteurs d eau en BC6. En BC1, l identification est moins précise ; ceci s explique par le fait que les observations sont beaucoup moins sensibles aux conditions entrantes en BC1 que celles en BC6. Cette différence d ordre de grandeur de sensibilité peut se quantifier en comparant les différentes composantes du gradient (analyse de sensibilité locale).

4 Figure 1 Rivière des perles, Chine. G. Maillage, 3 Stations d observation, 3 hauteurs aux bords à identifier D. Hauteurs d eau en temps en BC6 et BC1: mesurées, ébauches («first guess») et identifiée. 3 Une image satellitale : calibration du Manning par zones «fonctionnelles» Nous considérons la crue de la Moselle de février Des observations de hauteur d eau dans le lit mineur sont disponibles en début et fin d évènement (station EDF), Fig.1 D.; aussi une image satellite de la plaine d inondation est disponible à t=66h. Après analyse et post-traitement de l image satellitale par R. Hostache et C. Puech (Cemagref Montpellier, thèse de R.H.), nous obtenons une information de hauteur d eau spatialement distribuée, Fig. 1 G., et avec barres d incertitudes sur ces observations, voir (Hostache et al., 2006). En appliquant l algorithme 4D-var, et en minimisant le terme coût supplémentaire Jflux défini dans (Lai & Monnier), nous montrons que l image satellitale permet de largement améliorer la calibration des coefficients de Manning, (Hostache et al.). Aussi, les résultats de cette étude suggère de ne pas définir les valeurs du Manning a-priori au vu de l occupation des sols, mais plutôt de les définir par zones fonctionnelles. Ces zones dites fonctionnelles sont mises en évidence à l aide de calcul d analyses de sensibilité préalables, Fig. 2. Nous renvoyons à (Hostache et al.) pour plus de détails. Le modèle hydraulique ainsi calibré s est montré bien plus précis que celui calibré de notre mieux à la main (comparaison des hauteurs d eau avec les données in-situ et l image satellite). Figure 1 Observations. G.: hauteurs d eau extraites de l image satellite. D.: Hauteurs mesurées à la station EDF, en fonction du temps.

5 Figure 2 G. : Analyse de sensibilité par rapport aux valeurs du Manning pour chaque maille (i.e. sans a-priori de découpage basé sur l occupation des sols). 4 Flotteurs dérivants : des données lagrangiennes de surface riches Un moyen supplémentaire d observation d écoulements fluviaux pourrait être dans certains cas,le suivi de flotteurs dérivants. Nous pouvons penser à des particules flottantes de surface (ex. des feuilles, mousses etc) observées par caméra vidéo, ou encore à des flotteurs dérivants munis de GPS (ex. d expérimentations menées par exemple par A. Bayen, univ. Berkeley, sur la rivière Sacramento). Ce type d observations se ramène alors à l assimilation de trajectoires lagrangiennes de surface. Dans le cas présent, nous cherchons à identifier la topographie survolée par les flotteurs ou «particules», ainsi que les valeurs du Manning et la condition initiale. Par souci de simplicité et pour illustrer le principe, nous présentons seulement les résultats d une expérience jumelle (données issues du modèle numérique). Notons que des résultats intéressants ont été obtenus dans (Honnorat et al., 2009) pour un écoulement réel à petite échelle : le suivi de confettis par caméra vidéo dans un canal expérimental. Les expérimentations hydrauliques ont été effectuées par N. Rivière du LMFA Insa Lyon. Notons enfin que cet apport d information lagrangienne peut également être très utile pour l identification d un débit entrant. Du point de vue de la modélisation, une première difficulté réside dans le filtrage des trajectoires observées (petites échelles, courants secondaires etc). Une fois les trajectoires filtrées et comparables à un écoulement laminaire, moyenné type shallow-water, ces données lagrangiennes apportent une information riche sur la dynamique de l écoulement. Elles peuvent être alors modélisées simplement par les N équations de transport suivantes: où v est la vitesse de transport de la particule considérée (vitesse de surface à comparer à la vitesse du modèle eaux-peu-profondes), t0 et tf sont les temps où la particule considérée entre et sort du domaine. En guise de première approche, nous relions la vitesse de transport v à la vitesse de l écoulement u par une constante multiplicative (v=c u), où c est considéré comme un paramètre du

6 modèle à identifier au mieux, (Honnorat et al., 2008). Aussi, nous ajoutons à la fonction coût à minimiser le terme coût supplémentaire suivant : Plusieurs types d expérimentations numériques ont été menées tant des expériences jumelles qu une expérimentation réelle en canal, voir (Honnorat, 2007) (Honnorat et al., 2008) (Honnorat et al., 2009). L information lagrangienne apportée a permis d identifier une topographie locale via son survol par les particules mais a également permis d améliorer l identification de débits entrants. Nous présentons ci-dessous, Fig. 4, les résultats d une expérience jumelle qui consiste à identifier en plus de la condition initiale (et éventuellement du Manning), la topographie sousjacente. Les observations sont relativement denses : deux lignes de hauteurs (Fig. 4 G.) et 16 paquets de 8 particules lancées à intervalles de temps réguliers. Dans ce cas test purement numérique, l identification est parfaite, Fig. 4 D. Dans le cas de l écoulement réel en canal, nous avons réussi à identifier une topographie «équivalente»; voir (Honnorat et al., 2009). Q u ick T im e ª e t u n džcom presse ur TIFF (non com pressž ) sont re qu is po ur vision n e r cette im ag e. Figure 4 Expérience jumelle (données purement numériques, «parfaites»). G. Particules dérivantes en surface trajectoires à assimiler. D. Topographie survolée identifiée, et hauteur d eau du régime permanent 5 Modèle local de zoom et assimilation de données associée Dans cette dernière partie, nous présentons une algorithmique permettant de superposer (ce qui est une forme de couplage) un modèle local de zoom (équations 2D) par dessus un modèle global grande échelle (équations 1D). Le couplage étant effectué aux interfaces de manière quantitative grâce aux observations et simultanément à leur assimilation, (Gejadze & Monnier, 2007) (Marin & Monnier). Vu autrement, on assimile des observations locales hors lit mineur, en appliquant un modèle local 2D, et ceci afin de calibrer le modèle global 1D. Les termes de couplage entre les deux modèles sont quantifiés de la même manière que les paramètres à calibrer i.e. à l aide du processus d assimilation de données. Une version de l algorithmique proposée est présentée sur la Fig. 6. Le couplage / superposition et l assimilation sont effectués simultanément.

7 Figure 5 Superposition d un modèle local de zoom (2D sur 1D) et assimilation de données simultanée ou encore : assimilation de données locales via un modèle de zoom. Nous présentons sur la Fig. 7 la configuration d une expérience jumelle (données purement numériques), dans laquelle nous observons deux points de hauteurs d eau hors lit mineur (modèle local 2D), et nous cherchons à en déduire l hydrogramme d entrée du modèle global 1D. Après convergence de l algorithme, nous obtenons d une part le couplage effectif des deux modèles (possédant chacun sa propre grille spatio-temporelle), et d autre part l identification de l hydrogramme d entrée, Fig. 8; et ceci uniquement à partir des mesures de hauteurs d eau en plaine. Figure 6 Algorithme JAC (Joint Coupling Assimilation): superposition assimilation simultanée

8 Figure 7 G. Bathymétrie et stations de mesure. D. Observations : hauteurs d eau. Figure 8 G. Hydrogrammes d entrées : référence, ébauche («first guess») et valeur identifiée. D. Processus de convergence de l algorithme JAC. 6 Conclusion Nous avons montré au travers de quatre études quelques potentialités des méthodes d assimilation variationnelle de données (4D-var) appliquées aux écoulements de rivière avec ou sans débordement; écoulements modélisés par des équations du type Saint-Venant. Aussi, nous avons présenté une méthode de superposition de modèle de zoom, avec identification quantitative des termes de couplage simultanément à l assimilation. Les méthodes d assimilation variationnelle de données basées sur la méthode adjointe sont lourdes en termes de temps de calcul CPU et de mémoire. Cependant elles constituent une

9 étape décisive en vue d une modélisation numérique fiable de ces écoulements. Bien des directions de recherche et développements restent à explorer. Citons des calculs temps réel basés sur de la réduction d ordre, une assimilation intégrée de données images (qu elles soient du type images vidéos de proximité avec suivi de «particules», ou images satellitaires grandes échelles) et des algorithmiques parallélisées. Ces dernières pourraient être combinées au principe de superposition de modèle local de zoom avec assimilation simultanée. Ces directions de recherche font appels à des compétences pluridisciplinaires et notamment aux mathématiques, au calcul scientifique et bien sûr à l hydraulique. Références I. Gejadze, J. Monnier (2007), On a 2D zoom for 1D shallow-water model: coupling and data assimilation. Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. Vol. 196, 45-48, pp M. Honnorat (2007), Assimilation de données lagrangiennes pour la simulation numérique en hydraulique fluviale. Thèse de doctorat, INP-Grenoble. M. Honnorat, J. Monnier, N. Rivière, E. Huot, FX. Le Dimet (2009), Lagrangian data assimilation in an open channel flow. Accepted, to appear. M. Honnorat, X. Lai, J. Monnier, FX. Le Dimet (2006), Variational data assimilation for 2D fluvial hydraulics simulation. CMWR XVI- Computational Methods for Water Ressources. Copenhagen. M. Honnorat, J. Monnier, FX. Le Dimet (2008), Lagrangian data assimilation for river hydraulics simulations. Comput. Visual. Sc. (CVS). Accepted, to appear. M. Honnorat, J. Marin, J. Monnier, X. Lai (2007), DassFlow v1.0: a variational data assimilation software for 2D river flows. Report INRIA RR R. Hostache (2006), Analyse d images satellitaires d inondations pour la caractérisation tridimensionnel le de l aléa et l aide à la modélisation hydraulique. Thèse de doctorat, Engref.

10 R. Hostache, X. Lai, J. Monnier, C. Puech Assimilation of spatial distributed water levels into a shallow-water flood model. Part II: use of a remote sensing image of Mosel river. Submitted. R. Hostache, C. Puech, G. Schumann, and P. Matgen (2006), Estimation de niveaux d eau en plaine inondée à partir d images satellites radar et de données topographiques fines. Revue Télédétection, 6(4): , X. Lai, J. Monnier Assimilation of spatial distributed water levels into a shallow-water flood model. Part I: mathematical method and test case. Revised version submitted. J. Marin, J. Monnier Superposition of local zoom model and simultaneous calibration for 1D-2D shallow water flows. Submitted. J. Monnier (2007), Modèles numériques directs et inverses d écoulements de fluides. Habilitation à Diriger des Recherches (HDR). INP-Grenoble.