DE L OPTIMISATION DE SYSTEMES VIA SIMULATION A LA CONFIGURATION DE SYSTEMES VIA SIMULATION

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1 3 e Conférence Francophone de Modélisation et Simulation «Conception, Analyse et Gestion des Systèmes Industriels» MOSIM 01 du 25 au 27 avril 2001 Troyes (France) DE L OPTIMISATION DE SYSTEMES VIA SIMULATION A LA CONFIGURATION DE SYSTEMES VIA SIMULATION Henri PIERREVAL et Jean Luc PARIS Equipe de recherche en systèmes de production de l IFMA LIMOS, FRE CNRS Campus de Clermont Ferrand Les Cézeaux, BP 265 F Aubière Cedex (henri.pierreval/jean-luc.paris)@ifma.fr RESUME : L optimisation via simulation concerne des paramètres à déterminer. Nous nous intéressons aux cas plus complexes où l on doit choisir entre des options de conception qui peuvent à leur tour donner lieu à des choix de sousoptions ou de paramètres numériques. La notion de configuration via simulation est introduite à l aide d un algorithme évolutionniste distribué et illustrée par un exemple. Nous montrons que les limites de l approche résident désormais dans les outils de modélisation et de simulation. Dans cet esprit, nous discutons une direction possible basée sur une modélisation et simulation «fonctionnelle» et présentons des perspectives de recherche dans ce domaine. MOTS-CLEFS : Simulation, optimisation, configuration de systèmes, approches évolutionnistes/ évolutives/évolutionnaires, génétique, simulation fonctionnelle 1. INTRODUCTION De nombreuses approches permettant d optimiser les paramètres d un système simulé existent (Fu, 1994 ; Dolgui et Ofitsero, 1997 ; Andradottir, 1998, Riley, 2000 ; Cheikhrouhou 2001). Typiquement, ces approches déterminent les meilleures valeurs possibles pour un vecteur d entrées d un modèle de simulation (taille d un stock tampon, nombre de ressources, etc.), de sorte à optimiser une fonction (espérance par exemple) d une variable de sortie qui représente souvent un critère d évaluation de performance. L examen de la littérature montre que la plupart des approches d optimisation via simulation se limitent effectivement à la recherche d un vecteur de paramètres en entrée, (souvent numériques), comme suit : Min (f(x)), (1) X D où f est le critère évalué par simulation ; X = (X 1,.X n ) est un vecteur appartenant à un domaine D = D i, où les D i sont les domaines de chaque X i. En conséquence, elles ne permettent pas d aborder des situations plus complexes, mais fréquemment rencontrées, où la recherche de performance ne dépend pas seulement d un vecteur de paramètres, mais plus globalement de la façon dont le système est «configuré». Par configuration, nous entendons la façon dont les constituants du système (sous systèmes) vont être choisis. Il est clair que nous nous intéressons seulement aux options ou aux paramètres pouvant avoir un effet sur les performances et donc sur les sorties de la simulation. Nous parlerons d options de conception (Gibson, 1993), étant entendu que chaque option peut elle-même comprendre des sousoptions et dépendre de paramètres numériques ou non. Par exemple si l on s intéresse à la fonction transport de pièces, on peut envisager une option «convoyeurs» et une option «chariots». Si l on s intéresse à la fonction qualité, on peut envisager une option «auto-contrôle» à chaque poste ou une option «contrôle final». Ces options peuvent dépendre à leur tour d autres options ou d autres paramètres. conwip Système de Gestion en Flux tirés kanban Cartes conwip kanbans boucle 1 kanbans Boucle 2 2 kanbans Boucle n Figure 1. Options et paramètres pour le système de flux tiré

2 La figure 1 illustre le cas d une ligne de production pouvant être gérée en Kanban ou en ConWIP (Gaury 2000). Dans la première option, un seul paramètre doit être déterminé : le nombre de cartes ConWIP ; dans l autre cas, n nombres de cartes Kanban doivent être déterminés. On peut donc noter que le nombre de paramètres à optimiser dépend des options et des sousoptions choisies. L usage direct de la simulation par une approche «essais-erreurs» peut permettre de tester plusieurs situations au regard d une fonction objectif, mais est à proscrire si le nombre de combinaisons possibles des options et des sous options, ainsi que des valeurs possibles des paramètres qui leurs sont associés, devient trop grand. Dans cet article, nous décrivons d abord une approche de recherche d une configuration optimale en utilisant la simulation (Tautou, 1997). Notons que les cas d optimisation via simulation relatifs à l ordonnancement ne sont pas abordés ici (Boukachour, 1992, Lacomme et Gougeon, 1996). Cette approche utilise des algorithmes évolutionnistes (ou évolutionnaires ou évolutifs, selon la terminologie utilisée par le lecteur), nous en présentons les principes et décrirons la représentation des solutions et les opérateurs proposés. Un exemple simplifié dans le domaine des systèmes de production en illustre l usage. Nous nous intéressons ensuite aux limites de l approche et introduisons la notion de simulation fonctionnelle ainsi que des perspectives de recherche dans ce domaine. 2. METHODE DE CONFIGURATION EVO- LUTIONNISTE BASEE SUR LA SIMULATION L approche d optimisation présentée repose sur des principes évolutionnistes, qui se caractérisent par la recherche simultanée de plusieurs solutions (population de solutions), qui évoluent au cours de générations. Plusieurs types d algorithmes (algorithmes génétiques, programmation évolutionniste par exemple), peuvent être utilisés pour mettre en œuvre la méthode que nous allons présenter. Le lecteur non familier aux approches évolutionnistes pourra consulter par exemple (Bäck, 1996 ou Bäck et al., 1997) et (Yunker et Tew, 1994 ; Pierreval et Tautou, 1996 ; Gaury 2000), pour leur usage en optimisation via simulation ou (Portmann, 1996) pour leur utilisation en ordonnancement. Ces algorithmes peuvent incorporer des méthodes plus locales (de type «hill climbing» par exemple) afin d en améliorer l efficacité. La méthode que nous utilisons dans l exemple plus bas utilise des recombinaisons. Nous proposons donc une représentation des solutions et des opérateurs de mutation et de recombinaison, ceux-ci pouvant être employés dans divers types d algorithmes. Représentation des solutions La structure de données utilisée pour représenter les solutions (individus) doit permettre de représenter les diverses options possibles, ainsi que les paramètres. Pour décrire l ensemble des configurations possibles, un arbre est utilisé, dont la racine est constituée d un vecteur, dont les composantes désignent les options et les paramètres au plus haut niveau (options et paramètres globaux). Les nœuds sont des vecteurs, décrivant les paramètres et les composants des sous systèmes. Les arcs expriment les choix possibles entre les options. Plus formellement, une solution S de la population est codée comme un arbre de tp vecteurs : S= {( S j k )j=1..nk, k = 1.. tp} où : tp est le nombre de vecteurs (sous-systèmes) du problème, nk est le nombre de (sous)paramètres et/ou (sous) options nécessaires pour caractériser un sous système donné, c est à dire la taille du vecteur numéro k de l arbre. Options et parmètres globaux S 1 1 S 1 2 S 1 3 S 1 4 S 1 5 Sous options et sous paramètres A B C D S 2 1 S 2 2 S 2 3 S 5 1 S 5 2 S 5 3 S 6 1 S 6 2 S 7 1 S 7 2 S 7 3 E F S 3 1 S 3 2 S 4 1 S 4 2 S 4 3 Figure 2. Exemple de représentation des configurations possibles

3 A titre d exemple, considérons un système présentant 6 options de conception (A vs. B, C vs. D, E vs. F). Globalement, le système est décrit par le vecteur (S 1 1, S 1 2, S 1 3, S 1 4, S 1 5), où S 1 1, S 1 2 et S 1 5 sont des paramètres, S 1 3 est associé au choix entre l option A et l option B et S 1 4 au choix entre l option C et l option D. L option A nécessite la détermination du vecteur (S 2 1, S 2 2, S 2 3) où S 2 1, S 2 3 sont des paramètres et S 2 2 représente le choix entre l option E et l option F. L option B nécessite de déterminer le vecteur de paramètres (S 5 1, S 5 2, S 5 3). L options C nécessite la détermination des paramètres (S 6 1, S 6 2), tandis que l option D nécessite la détermination des paramètres (S 7 1, S 7 2, S 7 3). L option E repose sur les paramètres (S 3 1, S 3 2) et F sur (S 4 1, S 4 2, S 4 3). Ces possibilités de configurations sont présentées par l arbre de la figure 2. Opérateurs évolutionnistes La modification des solutions au cours des générations s effectue grâce à des opérateurs : de mutation et éventuellement de recombinaison, selon le type d algorithme employé (Michlewicz., 1995). Dans la suite, nous appellerons élément un paramètre, une option ou un arc et nous dirons qu il est actif s il a été choisi pour caractériser la solution courante. En résumé la structure d arbre exprime les configurations possibles et les éléments actifs identifient la solution particulière qui est représentée. La mutation proposée, appliquée à une solution S1, est effectuée de la façon suivante (et illustrée figure 3) : Etape 0 : choisir aléatoirement un élément p parmi les éléments actifs de S1. Etape 1 : substituer p par un élément p choisi aléatoirement dans le domaine de p (au voisinage de la valeur si celle-ci est numérique, par exemple). Etape 2 : si p est une option et p différent de p, retirer de l ensemble des éléments actifs ceux qui dépendent de p et ajouter ceux qui dépendent de p sinon ne rien faire. Pour les algorithmes nécessitant une recombinaison, l opérateur suivant est proposé pour 2 solutions S1 et S2 (illustré par la figure 4). Etape 0 : sélectionner de façon équiprobable de couper un arc ou un vecteur Etape 1 : sélectionner aléatoirement un arc (respectivement un vecteur ou une position dans ce vecteur) Etape 2 : couper l arc (respectivement le vecteur) Etape 3 : échanger les sous arbres des parents (respectivement le début et la fin des vecteurs des 2 parents) éléments actifs éléments non actifs Z T H 12 Élément choisi aléatoirement 1 3 r 12 r E t f 14 e Z T H 12 La nouvelle valeur de cet élément a modifié l ensemble actifd des éléments actifs 1 3 r 12 r F t f 14 e Figure 3. Mutation d une solution

4 parent 1 parent 2 Enfant 1 Enfant 2 Figure 4. Recombinaison impliquant un arc actif et un arc inactif L impact de cet échange entre sous-arbres sur le résultat est différent, selon que les éléments concernés sont actifs ou non (Tautou, 1987). La figure 4 montre les conséquences d une recombinaison impliquant un arc actif et un arc inactif. Le parent 1 et l enfant 1 seront identiques, car ils décrivent la même configuration de l atelier. Les modifications effectuées n ont pas de conséquences immédiates ; elles pourront apparaître plus tard, si l arc modifié devient actif par mutation. Le parent 2 et l enfant 2 sont eux différents : ils n auront pas les mêmes performances. Ce point, illustré par la figure 4 pour les arcs, s applique également aux recombinaisons impliquant des vecteurs. Utilisation d un algorithme distribué L usage des opérateurs présentés dans un algorithme évolutionniste permet la convergence vers une bonne solution. L approche étant heuristique, nous ne sommes pas en mesure de prouver sa convergence globale. Néanmoins, des expérimentations numériques, à partir de fonction mathématique complexe «reproduisant» la structure d arbre étudiée avec un optimum connu, ont permis de retrouver l optimum dans un délai raisonnable (Tautou et al., 1997). Lorsque le modèle de simulation est stochastique, l optimisation pose le problème de comparaison des solutions, qui doit se faire avec une taille d échantillon suffisante (Law et Kelton, 1991). Ceci implique des répliques et/ou des exécutions longues et peut nécessiter de vérifier que les différences sont significatives, selon le principe adopté pour la sélection (solutions comparées par tournoi par exemple), entraînant des temps de calcul qui peuvent être importants. Il apparaît donc intéressant de mettre en œuvre les algorithmes sur plusieurs processeurs, de façon distribuée. Ceci présente le triple avantage d accélérer l obtention de résultats, d améliorer la qualité des solutions obtenues et d utiliser des jeux de paramètres différents pour les opérateurs, ce qui élimine ou simplifie les étapes de recherche empirique de «bons» jeux de paramètres (Pierreval et Paris 2000, Paris et Pierreval, 2001). Chaque processeur gère sa propre population de solutions et son propre modèle de simulation. Des échanges de solutions sont effectués par un principe de migration de solutions sur des processeurs voisins Ces migrations sont effectuées via PVM (Aversa et al., 1996 ; Schuster et Breitenecker, 1995). Les approches actuelles basées sur JAVA et/ou de distribution via le WEB sont également propices à ce genre de développement. Les expérimentations fournies dans la suite sont basées sur un algorithme utilisant mutation et recombinaison, fonctionnant sur un réseau de 8 stations SUN, organisées en cube. 3. EXEMPLE L exemple d école simplifié présenté est issu de (Tautou et al. 1998). Il consiste en un atelier fabricant deux types de produits, passant respectivement dans des cellules A et B. Ces produits sont ensuite assemblés, puis acheminés vers un poste de contrôle de qualité. Ils sont ensuite expédiés (Figure 5). Il s agit de déterminer la meilleure configuration possible qui minimise le temps de fabrication de programmes de production donnés sous une certaine contrainte de budget. Dans cet exemple, la première question est de déterminer le nombre de stations dans la cellule A. Dans la cellule B, on peut utiliser soit un centre de fabrication flexible ou un tour et une fraiseuse : quelle option choisir? Pour l option centre flexible combien sont nécessaires et pour l autre option, combien de fraiseuses et de tours et quelle est la taille du stock intermédiaire à prévoir?

5 cellule A Matière première cellule B Assemblage Produits finis Conditionnement Contrôle qualité Figure 5. Exemple de système à configurer Le transport des pièces peut être assuré par convoyeur ou chariots filo-guidés (CFG). Si l on choisit la première option, les paramètres «vitesse» et «longueur», doivent être déterminés. Dans le cas CFG, on peut avoir un système avec un ou deux filo-guidés. Dans le cas : un CFG, on doit choisir la taille du lot de transport. Si l on choisit deux CFG, en plus de la taille de lot, il faut déterminer le meilleur chemin. En effet, les chariots peuvent partager le même chemin, ou bien avoir deux chemins différents. Dans ce dernier cas, un CFG transporte les pièces entre A et l assemblage et l autre transporte les pièces entre B, l assemblage, le contrôle qualité et l emballage. La Figure 6 décrit la représentation de ces possibilités de conception sous forme d arbre. Pour optimiser cet atelier, des sous-populations locales de 25 individus ont été utilisées ainsi que des jeux de paramètres différents (probabilité de recombinaison et de mutation) sur chaque algorithme local. L optimisation a été arrêtée après 700 générations. Un modèle de simulation présent sur chaque station, regroupant l ensemble des possibilités indiquées a été utilisé pour calculer la moyenne de la performance sur cinq répliques pour une configuration donnée. Le principe de la roue a été choisi pour la sélection, sans méthode d analyse de significativité (Pierreval et Tautou, 1996). Des tests de comparaison peuvent ainsi être effectués pour vérifier que la meilleure solution obtenue diffère significativement de la seconde et de la troisième. La contrainte de budget est prise en compte par pénalisation de la fonction objectif (Michalewicz, 1995). La convergence de l algorithme distribué est illustrée par la figure 7 où la progression de chaque algorithme évolutionniste local (LEA) est donnée. La meilleure solution est obtenue en 20 minutes sur le réseau de Sun Spark 10 reliées par Ethernet. Elle est décrite par la figure 8. Une telle solution aurait été pour le moins difficile à obtenir avec d autres types d approches. Nombre machines Cellule A Solution technique Cellule B Nombre stations D assemblage Système de transport Fraisage + tour Centre flexible convoyeur CFGs tours et fraiseuses Taille du Stock intermédiaire centres longueur convoyeur vitesse convoyeur CFG 1 2 Taille lot transport chemin n Taille lot transport Figure 6. Représentation des configurations possibles par un arbre

6 F (1) (2) (3) générations LEA0 LEA1 LEA2 LEA3 LEA4 LEA5 LEA6 LEA7 30 Figure 7. Convergence de la fonction objectif 5 centres 4 CFG flexibles 1 2 même chemin 49 Fig. 8. Meilleure configuration trouvée. 4. VERS LA CONFIGURATION AUTOMATIQUE : SIMULATION FONCTIONNELLE? Une telle approche offre un potentiel important pour aborder des problèmes relatifs à la conception et l organisation de systèmes. En effet, d une part la recherche par essai-erreurs peut être extrêmement fastidieuse, voire impossible (si les paramètres sont dans un intervalle continu par exemple). D autre part, les limites des méthodes d optimisation via simulation traditionnelles, qui se contentent d un «réglage» de paramètres, sont dépassées : on s approche de méthodes de configuration automatique «optimale 1» d un système, ce qui ouvre de nombreuses perspectives. Les options, sous-options et paramètres étant connus, nous sommes capables d en déduire la meilleure 1 configuration avec une mise en œuvre informatique sans difficulté majeure. Néanmoins, les limites théoriques franchies au niveau de l optimisation se reportent sur les limites associées au développement des modèles de simulation puisqu il peut être, dans certains cas, fastidieux de programmer un modèle capable de basculer d une option à une autre, afin que le module de configuration puisse changer les options à volonté, selon les solutions à tester. Dans l état actuel des logiciels, le changement d option peut être par exemple programmé grâce à des branchements conditionnels. Selon la valeur prise par une variable R, on destinera les arrivées d entités (pièces, clients, etc.) vers le sous système SS1 ou SS2 (voir figure 9). R=1 R=2 Sous système SS1 Sous système SS2 Figure 9. Choix entre deux options par routage conditionnel Une telle stratégie de programmation peut se trouver facilitée par l usage de logiciels permettant une décomposition hiérarchique des modèles (ARENA par exemple). On peut ainsi introduire de nouveaux détails (sous-options) en décomposant le fonctionnement d une option. Néanmoins, on note que les outils de simulation actuels sont, en termes de concepts, orientés vers la modélisation de solutions et non pas vers la description de fonctions pouvant être mises en œuvre par des solutions différentes (exprimées ici, au regard d un problème de configuration, en termes d options possibles pour effectuer la fonction). Etre capable de définir des modèles de simulation à partir des fonctions que le système devra réaliser et pouvoir «instancier» différentes solutions pour une fonction représente une direction de recherche importante. On parlera alors de simulation fonctionnelle. 1 Meilleure ou optimale étant entendu au sens de la puissance de l heuristique utilisée

7 Entrées de la fonction Fonction Sorties de La fonction Solutions possibles pour mettre en œuvre la fonction Figure 10. Représentation d activités par des fonctions Dans ce type de simulation, la description du système s effectue par des fonctions et l on doit disposer d une bibliothèque de solutions permettant la mise en œuvre de la fonction (figure 10). Chaque solution peut elle même comprendre des sous-fonctions et dépendre de paramètres numériques ou non. Par exemple la manutention entre deux postes de travail est décrite par une fonction «transporter», qui peut être effectuée par un convoyeur, une navette, des chariots, etc., l objectif étant que l utilisateur puisse sélectionner «navette» ou «chariots», afin de les comparer par simulation, sans avoir à programmer deux modèles différents ou deux sous modèles différents. Une telle approche aurait pour avantage de considérablement diminuer les efforts de développement de modèles de simulation et d être proche des raisonnements mis en œuvre en conception de systèmes, où en principe le «quoi?» est abordé avant le «comment?». Au regard de notre approche de recherche de configuration optimale, elle autoriserait un «pilotage» des essais et des simulations en changeant facilement les options, sous-options et paramètres. Malheureusement, il est clair qu en pratique une telle approche présente d importantes difficultés. Un certain nombre de travaux ont déjà considéré l usage de méthodes d analyse fonctionnelle, telles IDEF0, GRAI, etc. avant la simulation (Pierreval, 1987 ; Taoutaou et El Mhamedi, 1997). Certains auteurs ont même proposé des règles de passage de SADT à la simulation (Evers et Al., 1981) ; le passage automatique de modèles IDEF3 à des modèles de simulation existant déjà dans certains logiciels. Dans MOSES, Pruett et Vasudev (1990) introduisent quatre fonctions sur lesquelles l utilisateur peut travailler : marketing, production, gestion de stock et comptabilité. Si ces approches font donc un pas dans la direction «fonctionnelle», elles ne permettent pas de résoudre complètement le problème en terme de mise en œuvre, compte tenu des deux difficultés majeures suivantes. Notons d abord que l identification des solutions possibles pour effectuer une fonction peut nécessiter que le logiciel de simulation soit capable de connaître les possibilités techniques pouvant être choisies, selon la nature de la fonction, son environnement etc. De telles préoccupations ont été considérées à la fin des années 1980, dans le cadre de l étude de la contribution des méthodes d intelligence artificielle (IA) à la simulation (O Keefe, 1986). Il s agissait notamment d introduire des connaissances sur le système (Heragu et Kusiak., 1987), permettant de faciliter le développement de modèles. Si l'intelligence artificielle n a eu que peu de répercussion à ce niveau sur les logiciels, les approches objets ont eut plus de succès : des bibliothèques d objets destinées, à instancier des situations fréquemment rencontrées ont été développées (Bel et Cavaille 1990 ; Becker, 1994 ; Hill, 1997 ; Kellert, 1998). Un certain nombre de logiciels récents vont donc dans le sens souhaité, mais se restreignent néanmoins pour l instant à des cas dont la complexité est limitée En effet, l autre difficulté majeure qui nuit à la mise en œuvre de solutions diverses associées à une fonction réside dans l interaction entre les fonctions modélisées. Par exemple, basculer d un transport par chariots à un transport par convoyeur entraîne des répercutions sur les choix techniques concernant les fonctions : alimentation, évacuation des pièces, ou stockage, par exemple. Ces interactions s avèrent difficiles à répertorier et mettre en œuvre, ce qui explique en partie le peu de développement existant dans ce domaine. Plusieurs voies méritent donc d être explorées pour avancer vers une simulation fonctionnelle et donc vers une configuration «automatique» des systèmes (approche par objets génériques (Becker, 1994, Kellert 1998), réseaux de Pétri hiérarchiques, approches agents, etc.), en ne perdant pas de vue que les difficultés que nous avons évoquées restent des obstacles majeurs.

8 5. CONCLUSION Dans cet article, nous avons montré qu il est possible de dépasser la simple optimisation via simulation des systèmes pour aller vers la recherche d une configuration optimale de systèmes, où les possibilités de choix ne se cantonnent pas à des paramètres, mais impliquent des options, pouvant dépendre elles-mêmes de sous options ou de paramètres numériques ou non. L exemple donné illustre le potentiel de cette approche et montre que l ampleur des temps de calcul nécessaires peut être compensée par l utilisation d une approche distribuée sur plusieurs processeurs, dont la mise en œuvre avec des algorithmes évolutionnistes est assez naturelle. Cette approche ouvre des voies dans différents domaines d applications, dans la mesure où l on dispose d un modèle de simulation ou l on peut changer les options et les paramètres. L usage de critères multiples est envisageable avec l approche proposée, si des compromis sont recherchés, par exemple entre en-cours moyens à minimiser et taux de satisfaction des clients (voir par exemple Pierreval et Plaquin, 1998). Les limites de cette approche résident malheureusement maintenant principalement au niveau du développement des modèles de simulation, qui doivent offrir la possibilité de passer d une option à l autre facilement. Les approches orientées objets et les modélisations hiérarchiques peuvent faciliter la mise en œuvre de cette possibilité. Pour tenter d aller plus loin, nous avons introduit le principe de simulation «fonctionnelle», dont nous avons identifié les écueils. Cette voie laisse la porte ouverte à des perspectives de recherches, destinées à faciliter la mise en œuvre de projets de simulation, mais aussi dorénavant, à rechercher les configurations optimales de systèmes. Il s agit pour cela de faire cohabiter des connaissances sur la conception des systèmes de production et sur leur fonctionnement dynamique (simulation) avec des concepts unifiés dans un même ensemble logiciel. REFERENCES Andradottir, S., 1998, Simulation optimization, in Handbook of simulation, (edited by Jerry Banks, John Wiley & sons inc. New York), p Aversa, R., Mazzoca, N., Villano, U., Design of a simulator of heterogeneous computing environments, Simulation practice and theory, 4 (2-3), p Bel G., Cavaille J.B., Intégration de la simulation dans la conception de systèmes de production: avantages et inconvénients de l'approche par langages objets. Actes de CIM 90 : Productique et intégration, Bordeaux, Juin. 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