Exo7. Formes quadratiques. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur

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1 Exo Formes quadratiques Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Exercice ** Rang et signature des formes quadratiques suivantes :. Qx,y,z = x y z + xy xz + yz.. Qx,y,z = x + y + z xy xz yz. Qx,y,z,t = xy + yz + zt +tx.. Qx,y,z,t = x + + λy + + λz + λt + xy + xz + λyz + λyt + λzt.. Qx,...,x = i< j n x i x j.. Qx,...,x n = i, j n i jx i x j.. Qx,...,x n = i i, j n x ix j. 8. Qx,...,x n = i, j n Infi, jx i x j. [0080] Exercice ** Soit E = L R. Soit λ,µ R. On pose. Vérifier que Q est une forme quadratique sur E. f L R, Q f = λtr f + µdet f.. Déterminer en fonction de λ et µ le rang et la signature de Q. Analyser en particulier les cas λ,µ =,0 et λ,µ = 0,. [0080] Exercice ** Soit Q une forme quadratique sur un R-espace vectoriel E. On note ϕ sa forme polaire. On suppose que ϕ est non dégénérée mais non définie. Montrer que Q n est pas de signe constant. [00808] Exercice *** I Soient f, f,..., f n n fonctions continues sur [a,b] à valeurs dans R. Pour i, j [[,n]], on pose b i, j = b a f it f j t dt puis pour x,...x n R n, Qx,...,x n = i, j n b i, j x i x j.. Montrer que Q est une forme quadratique positive.. Montrer que Q est définie positive si et seulement si la famille f,..., f n est libre.. Ecrire la matrice de Q dans la base canonique de R n dans le cas particulier : i [[,n]], t [a,b], f i t = t i.

2 [00809] Exercice *** Soit S une matrice symétrique réelle, définie positive. Pour x,...,x n R n, on pose Qx,...,x n = det 0 x... x n x. S x n. Montrer que Q est une forme quadratique définie positive. [0080] Exercice ** Sur E = R ou R muni de sa structure euclidienne usuelle, réduire en base orthonormée les formes quadratiques suivantes :. Qx,y = x + 0xy + y.. Qx,y = x + xy + 9y.. Qx,y,z = x + 9y z + xy + 0 xz + yz. [008] Exercice *** Soit E = R n [X]. Pour P E, on pose QP = + k=0 PkP ke k.. Montrer que Q est une forme quadratique sur E.. Déterminer sa signature. [008] Exercice 8 ** I Soit A une matrice carrée réelle symétrique définie positive. Montrer qu il existe une matrice triangulaire inversible T telle que A = t T T. [008] Exercice 9 *** I Soit A une matrice carrée réelle symétrique définie positive. Montrer que le déterminant de A est inférieur ou égal au produit de ses coefficients diagonaux utiliser l exercice 8. [008] Retrouver cette fiche et d autres exercices de maths sur exo.emath.fr

3 Correction de l exercice. ère solution. La matrice de la forme quadratique Q dans la base canonique de R est A = Le polynôme caractéristique de A est. X χ A = X X = X X + X = X = X X + 8X X X + X + X. Puisque A est symétrique réelle, on sait que les valeurs propres de A sont réelles. χ A admet pour racines 0 et deux réels non nuls de signes contraires puisque leur produit vaut. Par suite, le rang et la signature de Q sont r = et s =,. ème solution. On effectue une réduction de GAUSS. Qx,y,z = x y z + xy xz + yz = x + xy z y + yz z = x + y z y z y + yz z = x + y z 8 y + 0yz 8z = x + y z y 8 8 z. Les formes linéaires x,y,z x + y z et x,y,z y 8 z étant linéairement indépendantes, on retrouve le fait que Q est de rang r = et de signature s =,. La forme quadratique Q est dégénérée et n est ni positive ni négative.. La matrice de Q dans la base canonique i, j,k est A =. Le nombre est valeur propre de A et puisque A est diagonalisable, est valeur propre d ordre dimkera I = rga I =. La dernière valeur propre λ est fournie par + + λ = TrA = 9 et? =. Ainsi, SpA =,,. Les trois valeurs propres de A sont strictement positives et donc la forme quadratique Q est de rang et de signature,0.. Effectuons une réduction de GAUSS. Q est définie positive. Qx,y,z,t = xy + yz + zt +tx = x + zy +t = x + y + z +t x y + z t. Puisque les deux formes linéaires x,y,z,t x + y + z +t et x,y,z,t x y + z t sont linéairement indépendantes, la forme quadratique Q est de rang r = et de signature s =,.. Effectuons une réduction de GAUSS. Qx,y,z,t = x + + λy + + λz + λt + xy + xz + λyz + λyt + λzt = x + y + z + λy + λz + λt λyz + λyt + λzt = x + y + z + λy z +t + zt = x + y + z + λy z +t + z +t z t.

4 Si λ < 0, la forme quadratique Q est de rang et de signature,. Si λ = 0, la forme quadratique Q est de rang et de signature,. Si λ > 0, la forme quadratique Q est de rang et de signature,.. ère solution. La matrice de la forme quadratique Q dans la base canonique est A = Les valeurs propres de A sont qui est d ordre et qui est valeur propre simple.donc, la signature de la forme quadratique Q est s =,.. ème solution.effectuons une réduction de GAUSS. Qx,...,x = x x + x x + x + x + x x + x + x + x x + x x + x x et on retrouve s =,. = x + x + x + x x + x + x + x x + x + x + x x + x x + x x = x + x + x + x + x x x x x x x x x x x x = x + x + x + x + x x x x + x + x x x x x = x + x + x + x + x x x x + x + x x x x,. Qx,...,x n = x x n et donc r = et s =,0.. Pour n, Qx,...,x n = n i= ix i n j= x j = n i= i + x i n i= i x i. Donc r = et s =, car les deux formes linéaires x,...,x n n i= i+x i et x,...,x n n i= i x i sont indépendantes pour n Puisque la matrice de Q dans la base canonique est n n... n n Qx,...,xn = i, j n x i x j + i, j n x i x j n i, j n x i x j + x n = x x n + x x n x n + x n + x n. Q est donc définie positive. Correction de l exercice

5 a c. Si la matrice de f dans la base canonique de R est A = b d, Q f = λa + bc + d + µad bc. Q est un polynôme homogène de degré en les coordonnées de f dans la base canonique de L R et donc Q est une forme quadratique sur L R.. Si λ = µ = 0, r = 0 et s = 0,0. Si λ = 0 et µ 0, et donc r = et s =,. Si λ 0, Q f = µ a + d µ a d mu b + c + µ b c, Q f = λa + µad + λ µbc + λd = λ = λ a + µ λ d + λ µ λ d + λ µ a + µ λ d + λ µbc + λ µ d λ b + c λ µ b c. Maintenant, les quatre formes linéaires a,b,c,d a + µ λ d, a,b,c,d d, a,b,c,d b + c et a, b, c, d b c sont linéairement indépendantes. Donc - si µ = λ 0, r =, - si µ = λ λ, r =, - si µ = λ 0, r =. En particulier, si λ = et µ = 0, alors r = et s =, et si λ = 0 et µ =, r = et s =,. Correction de l exercice Dans le cas où E est de dimension finie, la signature de Q permet de conclure immédiatement. Supposons donc que E n est pas de dimension fine. Par hypothèse, il existe un vecteur non nul x 0 tel que Qx 0 = 0. Supposons Q de signe constant. Ouite à remplacer Q par Q, on supposera que Q est positive. D?après l inégalité de CAUCHY-SCHWARZ valable pour les formes quadratiques positives y E, ϕx 0,y Qx 0 Qy = 0. Donc y E, ϕx 0,y = 0 et x 0 est dans le noyau de ϕ. Puisque x 0 0, on en déduit que ϕ est dégénérée. En résumé, si Q est de signe constant, ϕ est dégénérée ou encore si ϕ est non dégénérée, Q n est pas de signe constant. Correction de l exercice. Pour tout x,...,x n R n, Qx,...,x n = b i, j n a f it f j t dt x i x j = b a i, j n x i x j f i t f j t dt = b a n i= x i f i t dt 0. Donc Q est une forme quadratique positive.. De plus, pour tout x,...,x n R n, Qx,...,x n = 0 n i= x i f i = 0 fonction continue positive d intégrale nulle. Donc Q définie x,...,x n R n, [Qx,...,x n = 0 x,...,x n = 0] x,...,x n R n, [ f,..., f n libre. n i= x i f i = 0 x,...,x n = 0]

6 . Dans le cas particulier envisagé, la matrice de Q dans la base canonique de R n est la matrice de HILBERT H n = i+ j i, j n. Correction de l exercice x Posons X =. et A =. S x n x n 0 Un calcul par blocs fournit t X X S 0 t X X S 0 0 S 0 x... x n x 0 X 0 0 S I n 0 = t X X S. 0 = t XS X I n 0 = t XS X I n puis 0 X I n t XS = X t XS 0 I n On en déduit que deta dets = t XS X puis que QX = deta = t XdetSS X = t XS X où S = detss. Maintenant, la matrice S est définie positive et donc ses valeurs propres sont des réels strictement positifs. Les valeurs propres de la matrice S sont les dets λ où λ décrit le spectre de S et donc la matrice S est aussi une matrice symétrique définie positive. Q est donc une forme quadratique définie positive.. Correction de l exercice. Quand x et y ont les mêmes coefficients, penser à faire une rotation d angle π En posant x = X + Y et y = X Y, on obtient x + 0xy + y = X +Y + X +Y X Y + X Y = X Y. Ainsi, si on note i, j la base canonique de R puis e = i + j et e = i j, on a x + 0xy + y = Qxi + y j = QXe +Ye = X Y.. La matrice de Q dans la base canonique i, j de R est A =. Les deux nombres et 0 ont 9 une somme égale à = TrA et un produit égal à 0 = deta et sont donc les valeurs propres de A. On sait alors que dans une base orthonormée e,e de vecteurs propres de A associée à la famille de valeurs propres,0, on a QXe +Ye = X + 0Y. Déterminons une telle base. x 0 A I = y 0 0I = KerA I = Vecte où e =,. x+y = 0 et donc KerA I = Vecte où e =, puis KerA Donc, si e =,, e =, et u = xi + y j = Xe + Ye, alors qu = x + xy + 9y = X + 0Y. De plus, x = X +Y et y = X + Y.. La matrice de Q dans la base canonique est A = 9. X χ A = 9 X X = XX 8X X + X = X + X + X = X X + X. Ensuite,

7 x y z KerA I x + y + z = 0 x + y + z = 0 x + y z = 0 z = x y x y = 0 x + 8 y = 0 et KerA I = Vecte où e =,,. De même, x y z KerA + I 0x + y + z = 0 x + y + z = 0 x + y + z = 0 { z = x y y = 0 et KerA + I = Vecte où e =,0,. Enfin KerA I = Vecte où e = e e = Ainsi, si on pose P = 0 z = x y x + y + x y = 0 x + y x y = 0 y = x z = x { y = 0 z = x 0 x { y = z = x x z = x y 0x + y + x y = 0 x + y + x y = 0 =. alors PA t P = diag,, ou encore QXe +Ye + Ze = X Y + Z où Mat i, j,k e,e,e = 0. { x = y = Correction de l exercice. Soit P un élément de E. D après un théorème de croissances comparées, PkP ke k = o k + k et donc QP existe. Pour tout élément P de E, QP = BP,P où B est la forme bilinéaire symétrique définie sur E par P,P E, BP,P = + k=0 P kp k + P kp ke k et donc Q est une forme quadratique sur E.. Soit F le sous-espace vectoriel de E dont les éléments sont les polynômes pairs et G le sous-espace vectoriel de E dont les éléments sont les polynômes impairs. F et G sont supplémentaires dans E. Soit P est un polynôme pair et non nul. Tout d abord, QP + k=0 Pk e k 0. De plus, comme P ne peut admettre tout entier naturel pour racine, on a plus précisément QP > 0. De même, si P est impair et non nul, QP < 0. Ainsi, la restriction de Q à F resp. G est définie positive resp.négative. Enfin, si P est pair et P est impair, on a BP,P = + k=0 P kp ke k = + k=0 P kp ke k = + k=0 P kp ke k = BP,P = BP,P,

8 et donc BP,P = 0 F et G sont orthogonaux pour B. Il existe un base de F dans laquelle Q /F est combinaison linéaire à coefficients strictement positifs de carrés de formes linéaires linéairement indépendantes en nombre égal à dimf et de même il existe un base de G dans laquelle Q /G est combinaison linéaire à coefficients strictement négatifs de carrés de formes linéaires linéairement indépendantes en nombre égal à dimg. Maintenant, si P est un polynôme quelconque de parties paire et impaire P et P respectivement, QP = QP + P = QP + BP,P + QP = Q /F P + Q /G P. Donc la réunion des deux bases ci-dessus est une base de E dans laquelle Q est combinaison linéaire de carrés de formes linéaires linéairement indépendantes dans laquelle dimf = E n + coefficients sont strictement positifs et dimg = E n+ sont strictement négatifs. Finalement, Q est donc non dégénérée de signature s = E n +,E n+. Correction de l exercice 8 A est la matrice d un produit scalaire ϕ dans une certaine base B fixée de R n. Soit B l orthonormalisée de SCHMIDT de la base B pour le produit scalaire ϕ et T la matrice de passage de la base B à la base B. La matrice T est triangulaire de même que la matrice t T. Puisque la base B est orthonormée pour le produit scalaire ϕ, la matrice de ϕ dans la base B est I n. D après les formules de changement de base, A = t T Mat B ϕt = t T T. Correction de l exercice 9 Puisque la matrice A est définie positive, il existe d après le l exercice 8 une matrice triangulaire supèrieure inversible T telle que A = t T T. Posons alors T = t i, j i, j n. deta = dett = t,...t n,n Mais pour i [[,n]], a i,i = n k= t k,i t i,i et donc deta n i= a i,i. Remarque. On a montré au passage que les coefficients diagonaux a i,i de A étaient des réels strictement positifs. 8

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