Chap.6 Distribution de courant Champ magnétostatique

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1 Chap.6 Distributin de curant Champ magnétstatique 1. Distributins de curant électrique permanent 1.1. Distributin vlumique de curant 1.2. (Cmplément) Distributin surfacique de curant 1.3. Distributin linéique de curant 1.4. Lien entre densité de curant et prteurs de charge 1.5. Invariance, symétrie et antisymétrie plane d une distributin de curant 2. Champ magnétstatique créé par une distributin de curant 2.1. Frce de Lrentz Définitin du champ magnétique 2.2. Expressin du champ magnétstatique Li de Bit et Savart (admise) 2.3. Existence et cntinuité du champ magnétstatique 2.4. Prpriétés de symétrie du champ magnétstatique 2.5. Tpgraphie du champ magnétstatique 3. Exemples de calcul de champ magnétstatique 3.1. Fil rectiligne infini 3.2. Champ sur l axe d une spire circulaire Intr : L expérience mntre qu un curant électrique génère une frce magnétique, dite frce de Lrentz, qui s applique à tute particule chargée en muvement. Cette frce s exprime en fnctin d un champ vectriel : le champ magnétique. On ntera que ce champ magnétique est de la même nature que celui généré par un aimant. Le curant électrique est dnc la surce d un champ magnétique, au même titre que la charge électrique est la surce d un champ électrique. Si les curants snt permanents (indépendants du temps), le champ est également indépendant du temps, il est alrs qualifié de magnétstatique. On présente ici les différentes mdélisatins pssibles pur décrire une distributin de curant électrique. On précisera aussi la significatin physique de l intensité électrique. On admettra la li de Bit et Savart qui dnne l expressin du champ magnétstatique créé par une distributin de curant. On discutera des prpriétés de symétrie du champ et n étudiera quelques exemples. 1. Distributins de curant électrique permanent On s intéresse dans tute la suite du curs aux curants dits de cnductin, assciés à un muvement d ensemble de prteurs de charge mbiles (électrns dans les métaux, ins dans une slutin électrlytique). On ne s intéressera qu aux descriptins cntinues de curant électrique : vlumique, surfacique, linéique. 1

2 1.1. Distributin vlumique de curant A l échelle macrscpique, la mdélisatin la plus générale de la matière et du curant électrique qui peut «s y éculer» est la distributin vlumique de curant. On précise tut d abrd la définitin de l intensité du curant. Définitin de l intensité du curant L intensité du curant à travers une surface est la quantité de charge qui traverse cette surface par unité de temps : C est un débit, un flux de charge ( ) à travers une surface. Lrsque l n mdélise en 3D de la charge électrique en muvement, il est indispensable d identifier une surface pur puvir parler «d intensité du curant électrique». Vecteur densité vlumique de curant Le vecteur densité vlumique de curant électrique est défini en tut pint de l espace ù s écule la charge. Sa directin et sn sens représentent la directin et le sens dans lequel s écule la charge. Sa nrme est reliée au curant élémentaire traversant une surface élémentaire centrée sur ce pint : L intensité traversant la surface S est égale au flux du vecteur densité de curant : Cmmentaires : En un pint d une surface : si la charge s écule rthgnalement à, alrs l intensité élémentaire est nulle si la charge s écule seln dans le même sens, l intensité élémentaire est psitive si la charge s écule seln dans le sens ppsé, l intensité élémentaire est négative. Le vecteur densité vlumique de curant est hmgène à une intensité par unité de surface ( ). On le qualifie de «vlumique» car la charge qui s écule est répartie dans le vlume. De manière similaire à la charge vlumique qui permet de décrire la répartitin de la charge en tut pint de l espace, le vecteur densité vlumique de curant permet de décrire la répartitin du curant en tut pint de l espace. Sit un fil assimilé à un cylindre rectiligne hrizntal de rayn R parcuru unifrmément par un curant I. Dnner l expressin du vecteur densité vlumique de curant en fnctin de I et de R (Cmplément) Distributin surfacique de curant Si la zne de l espace ù circule le curant pssède une dimensin très petite devant les deux autres, n peut cnsidérer que le curant circule sur une surface : n parle de distributin surfacique de curant. 2

3 Dans cette mdélisatin, l intensité est alrs un débit de charge à travers une ligne. En tut pint de cette ligne, n nte le vecteur nrmal à la prtin élémentaire de cette ligne, et la relatin entre l intensité élémentaire et le «vecteur densité surfacique de curant» s écrit : ù représente la lngueur élémentaire de ligne cnsidérée. La densité surfacique de curant est en. En intégrant tut le lng de la ligne de lngueur L, n exprime l intensité traversant cette ligne en fnctin du vecteur densité surfacique de curant : Sit une «nappe de curant» assimilable à un plan de largeur L et de lngueur infinie, parcurue par un curant unifrme I circulant dans le sens de la lngueur. Etablir l expressin du vecteur densité surfacique de curant en fnctin de I et L. Sit un cylindre hrizntal rectiligne, de rayn R, parcuru en surface par un curant unifrme I circulant le lng du cylindre. Etablir l expressin du vecteur densité surfacique de curant en fnctin de I et R Distributin linéique de curant Si la zne de l espace ù s écule le curant pssède deux dimensins très petites devant la trisième, n peut cnsidérer que le curant s écule le lng d une ligne : n parle de distributin linéique de curant. C est la mdélisatin que l n a tujurs utilisée jusqu à présent pur les circuits!! Dans cette mdélisatin, l intensité est alrs un débit de charge à travers un pint. C est pur cela que la définitin générale de l intensité cmme «débit à travers une surface» n avait pas été explicitée en début d année : dans cette mdélisatin, la surface est tut simplement assimilée à un pint. En tut pint du fil parcuru par un curant, n riente le fil par le vecteur unitaire tangentiel au fil, et rienté dans le même sens que l intensité. Le vecteur «densité linéique de curant» s écrit simplement : 1.4. Lien entre densité de curant et prteurs de charge On admettra la relatin suivante : Relatin entre (échelle macr) et les prteurs de charges (échelle micr) ù est le nb de prteurs par unité de vlume ( ù est la charge d un prteur ( ù est la vitesse d ensemble des prteurs pensez à un fluide qui s écule NB : Cette expressin est aussi valable pur des prteurs de charge négative (électrns dans un métal). NB : Il suffit d additinner les différents curants s il existe plusieurs types prteurs de charges. 3

4 1.5. Invariance, symétrie et antisymétrie plane d une distributin de curant Une distributin de curant peut être invariante par translatin seln un axe, u par rtatin autur d un axe. Cela signifie que le vecteur densité de curant est invariant seln ces transfrmatins. On cnsidère les circuits filifrmes suivants : fil rectiligne infiniment lng, spire circulaire, slénïde infiniment lng. Quelles snt les invariances de ces distributins? Une distributin de curant pssède un plan de symétrie, si tut pint P de la distributin a une image P appartenant à la distributin, et si. Une distributin de curant pssède un plan d antisymétrie, si tut pint P de la distributin a une image P appartenant à la distributin, et si. Repérer les symétries et invariances dans les cas suivants : fil rectiligne infiniment lng cylindre rectiligne infini, de densité vlumique de curant unifrme, dirigée seln l axe (nappe plane de curant cnfndue avec le plan (yoz) et de densité de curant seln ) 2. Champ magnétstatique créé par une distributin de curant 2.1. Frce de Lrentz Définitin du champ magnétique En présence d une distributin de curant, une particule chargée, de vitesse subit une frce magnétique, la frce de Lrentz, d expressin : et extérieure à la distributin, ù est le champ magnétique créé par la distributin de curant. Cntrairement au champ électrstatique que l n a défini à partir de la frce de Culmb (pstulée), n définit la frce de Lrentz à partir du champ magnétique. Dans le cas de curant permanent, n va alrs pstuler l expressin du champ magnétstatique généré par ces curants Expressin du champ magnétstatique Li de Bit et Savart (admise) Seule l expressin du champ créé par une distributin linéique de curant est au prgramme. On cnsidère dnc un circuit filifrme parcuru par un curant I. Le champ élémentaire, créé en un pint M de l espace, par un élément du circuit situé au pint P est dnné par la li de Bit et Savart : Le champ magnétique La cnstante s exprime en Teslas (T). est la perméabilité du vide. Cmmentaires : L élément de circuit, tangent au fil au pint P, est rienté dans le même sens que le curant I. Pur se suvenir facilement de cette frmule, il suffit de nter l analgie frmelle avec l expressin du champ électrstatique généré par une distributin linéique de charge, avec les crrespndances : et 4

5 La li de Bit et Savart pstule aussi que le champ ttal est btenu par superpsitin des champs élémentaires, créés par chaque prtin de la distributin filifrme D : (Cmpléments) En pursuivant l analgie frmelle avec le cas électrstatique, dnner l expressin du champ magnétstatique créé par une distributin vlumique de curant ; puis une distributin surfacique Existence et cntinuité du champ magnétstatique On admettra les prpriétés suivantes : distributin vlumique de curant : le champ magnétstatique est défini et cntinu en tut pint distributin surfacique : le champ n est pas défini en tut pint d une distributin surfacique de curant (discntinuité à la traversée de la surface) distributin linéique (circuit filifrme) : le champ n est pas défini en tut pint d une distributin linéique de curant (le champ diverge en ces pints) 2.4. Prpriétés de symétrie du champ magnétstatique De manière similaire au champ électrstatique, le champ magnétstatique pssède les mêmes invariances que la distributin de curant qui le génère. Repérer ces invariances permet de préciser la dépendance du champ avec les crdnnées du pint M ù n le calcule. Cncernant les symétries et antisymétries planes, les prpriétés du champ magnétstatique snt inversées par rapprt à celle du champ électrstatique. Prpriété du champ (plan de symétrie ) Crllaire est rthgnal au plan Prpriété du champ (plan d antisymétrie ) Crllaire appartient au plan 5

6 Déterminer la directin du champ et sa dépendance avec les crdnnée du pint M : champ créé par un fil rectiligne infiniment lng champ créé sur l axe d une spire circulaire champ créé sur l axe d un slénïde infiniment lng champ créé par une nappe de curant (xoy) de densité de curant seln (Ox) 2.5. Tpgraphie du champ magnétstatique Les définitins d une ligne et d un tube de champ snt celles qui nt été dnnées dans les chapitres précédents. Grâce à la li de Bit et Savart, repérer le sens des lignes de champ à prximité de l élément de circuit qui génère le champ (que l n assimilera à un fil élémentaire rectiligne). Le champ magnétstatique tend à s enruler autur des lignes de curant qui le génèrent. Le sens et la directin du champ se retruvent grâce à la règle du tire-buchn. NB : C est une différence majeure avec le champ électrstatique, qui tend à diverger depuis (u à cnverger vers) les znes chargées de l espace Cmme pur le champ électrstatique, les lignes de champ ne peuvent pas se cuper, sauf en un pint de champ nul, u en un pint ù le champ n est pas défini. Cntrairement au champ électrstatique, les lignes de champ peuvent se refermer sur elles-mêmes : le champ magnétstatique n est dnc pas à circulatin cnservative. Cntrairement au champ électrstatique, les lignes de champ magnétique ne peuvent pas diverger depuis (u cnverger vers) un pint (relié au fait que le champ magnétstatique est à flux cnservatif). Quelques exemples de cartes de champ 6

7 3. Exemples de calcul de champ magnétstatique 3.1. Fil rectiligne infini A l aide de la li de Bit et Savart, déterminer le champ magnétstatique en tut pint de l espace, créé par un fil rectiligne parcuru par un curant I. Pur calculer l intégrale, n intrduira l angle sus lequel un pint P est vu depuis le pint M. Applicatin numérique :, Dessiner l allure des lignes de champ 3.2. Champ sur l axe d une spire circulaire Idem. On intrduira l angle sus lequel un pint P est vu depuis le pint M. Ntins clefs Savirs : Vecteur densité de curant (différentes mdélisatins) + lien avec l intensité du curant Relatin densité vlumique de curant / prteurs de charge (densité de prteurs, charge des prteurs) Li de Bit et Savart (cas distributin linéique) : champ élémentaire + superpsitin pur champ ttal Champ magnétstatique discntinu à la traversée d une surface + diverge sur un circuit filifrme Invariances et symétrie / antisymétrie plane : cnséquences sur le champ magnétstatique Lignes de champ tendent à s enruler autur des lignes de curant (sens : règle tire-buchn) Savirs faire : Etablir la relatin entre le vecteur densité de curant et l intensité traversant une surface (vlumique) (Redémntrer la relatin entre vecteur densité vlumique de curant et prteurs de charge (vlumique)) Repérer les invariances du curant ; en déduire la dépendance du champ avec les crdnnées Repérer les symétries / antisymétries planes ; en déduire la directin du champ 7

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