ÉTUDE CINÉMATIQUE D UN FLUIDE EN ÉCOULEMENT.

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1 Objecifs CINÉMATIQUE DES FLUIDES ÉTUDE CINÉMATIQUE D UN FLUIDE EN ÉCOULEMENT Coprendre les différences enre l approche lagrangienne e l approche eulérienne Saoir eprier une accéléraion lagrangienne en foncion du chap eulérien des iesses Connaîre l epression la plus générale de la dériée pariculaire d une grandeur physique scalaire ou ecorielle Connaîre les différenes epressions d une accéléraion conecie Connaîre le ocabulaire associé au chaps e opéraeurs : lignes de chap, ubes de chap, diergence, roaionnel, laplacien scalaire e laplacien ecoriel Connaîre les forules inégrales de Green-Osrogradski e de Sokes Saoir cier 5 propriéés caracérisiques d un chap ecoriel à flu conseraif e d un chap ecoriel à circulaion conseraie Connaîre e saoir éablir l équaion locale de conseraion de la asse Connaîre la propriéé locale érifiée par un écouleen incopressible Connaîre la propriéé locale érifiée par un écouleen saionnaire Connaîre la propriéé locale érifiée par un écouleen poeniel I Le cadre de l éude 1 ) Définiions e noaions 1 Ligne de couran (ldc) d un chap ecoriel a : courbe en ou poin angene au eceur a au poin M du ilieu considéré Pour éablir l équaion d une ldc écrire que a( M) dom 0 2 Tube de couran : enseble des lignes de couran qui s'appuien sur un conour feré 3 Surface équipoenielle d un chap scalaire : lieu des poin M els que ( M) cse Le eceur grad ( ) es en ou poin M perpendiculaire à la surface équipoenielle en M 4 Dériée pariculaire (ou dériée oale) d'une grandeur inensie (ecorielle ou scalaire), noée D c es la dériée par rappor au eps de D cee grandeur en suian la paricule de fluide dans son oueen 5 eceur ourbillon : défini par 6 Nobre de Mach : 1 () 2 ro M iesse locale du fluide c iesse locale du son 2 ) Les ouils ahéaiques inconournables Circulaion scalaire d un chap ecoriel a : c'es le scalaire C el que C a( M) dom Flu scalaire d'un chap ecoriel a : c'es le scalaire q ( a) a( M) ds Pour S surface ouere, s'appuyan sur un conour feré oriené, on a ds page 1/7 S M S M ds n, où n es le eceur uniaire noral en ou poin MS, oriené par suian la règle de Mawell Pour S surface ferée, on défini le flu soran du chap ecoriel a en orienan le eceur n ers l eérieur e on noe : sor an ( a) a( M) n ( M) ds ferée e M M

2 Les relaions inégrales : Forule de Sokes : Forule de Green Osrogradski : CINÉMATIQUE DES FLUIDES () 2 a( P) dop ro M ( a) n( M ) d SM P MS a( P) n ( P) d S di ( a) d () P 2 3 e P M M M Opéraeurs du second ordre : di ro A 0 Un chap de roaionnel es à diergence parou nulle ro grad( p ) 0 Un chap de gradien es à roaionnel parou nul p di grad( p ) Définiion inrinsèque du laplacien scalaire de p ( A) grad( di( A)) ro( ro( A)) Définiion inrinsèque du laplacien ecoriel de A L opéraeur «scalaire grad» noé grad : C es un opéraeur différeniel, pouan agir sur un chap scalaire ou ecoriel X, défini en X X X coordonnées carésiennes par grad X y z y z Cas pariculier de A grad ( A) 3 ) Modélisaion physique A : on éabli que 2 ( ) Les 3 échelles spaiales d obseraion d un ilieu fluide page 2/7 A grad A grad ro A A 2 À l échelle acroscopique, le fluide es un ilieu coninu La longueur caracérisique L associée à cee échelle dépend du problèe éudié Ce peu êre la diension d un obsacle placé dans un écouleen, le diaère d une canalisaion ou la largeur d un fleue, la profondeur d un océan, À l échelle icroscopique, un fluide, coe ou ilieu aériel es un ilieu disconinu, consiué de olécules (éenuelleen aoes) en perpéuelle agiaion herique, conduisan à des oueens indiiduels désordonnés Une longueur caracérisique de cee échelle es le libre parcours oyen des olécules On défini une échelle inerédiaire enre le acroscopique e le icroscopique, appelée échelle ésoscopique, de elle sore que l on puisse oujours définir le fluide coe un ilieu coninu, ou en éudian le oueen d un «poin» du fluide, encore appelé «paricule de fluide» L échelle ésoscopique es elle que le nobre de paricules conenues dans un olue éléenaire es suffisaen grand pour qu on puisse négliger oue flucuaion de ce nobre La longueur de l échelle ésoscopique a es elle que : a L Typiqueen, la longueur caracérisique de l échelle ésoscopique es le µ, la paricule de fluide occupan un olue de l ordre du (µ) 3

3 Descripion lagrangienne ; descripion eulérienne La descripion lagrangienne (due à Lagrange) es celle déjà renconrée en écanique du poin, dans laquelle on sui une éso paricule fluide donnée au cours de son oueen Le concep fondaenal en descripion lagrangienne es celui de la rajecoire d un poin M du fluide, donnan OM R() Les ariables son le eps e une condiion iniiale donnan R0 R( 0) La iesse de la paricule es : e son accéléraion : d () A dr(), CINÉMATIQUE DES FLUIDES La descripion eulérienne (due à Euler) es basée sur le concep de «chap» supposé défini e connu en chaque poin du fluide à un insan donné Dans cee descripion, on ne sui plus une paricule donnée, ais on éudie l éoluion spaiale e eporelle du chap Les ariables en descripion eulérienne son le eps e le rayon eceur r La noion de rajecoire perd ainsi son sens en descripion eulérienne, replacée par le concep de ligne de couran L équaion d une ligne de couran s obien en résolan le sysèe différeniel : d dy dz, où es fié y z II Descripion d un fluide en oueen 1 ) Epression du chap eulérien des accéléraions r Le chap eulérien des accéléraions es le chap ecoriel : a( r, ), où a( r, ) es ( r dr, ) - ( r, ) défini par a( r, ) li, epression obenue en suian une éso paricule donnée de fluide M au cours de son oueen, M éan repérée par OM ( ) r( ) à 0 l insan A l insan +, la éso paricule M s es déplacée en r( ) rajecoire On paraère le problèe en coordonnées carésiennes pour O eprier r( ) en foncion des coposanes de la iesse de M à l insan par le chap eulérien ( r, ) :,,,,,, ( r dr, ) - ( r, ) y y z z y z y z y z Un DL 1 condui à l epression : d Le passage à la liie pour 0 donne : Il ien 0 y dy, y d dy dz y z a M, li y z y z z dz e z D Ce qui s écri aussi en faisan apparaîre l opéraeur grad : a ( grad ) () D page 3/7

4 CINÉMATIQUE DES FLUIDES On reien : Le chap des accéléraions d un fluide en écouleen coprend 2 eres : - le preier ere ( grad) correspond à une ariaion conecie (ou de ranspor) due au oueen de la paricule de fluide - le second ere correspond à une ariaion locale, pureen eporelle (due au caracère non peranen du chap des iesses) Généralisaion : Forulaion générale d une dériée pariculaire : L epression précédene du chap des accéléraions qui représene la dériée pariculaire du chap des iesses se généralise à oue grandeur inensie, scalaire ou ecorielle : pour une grandeur inensie scalaire f : pour une grandeur inensie ecorielle g : Df D grad( f ) f Dg D grad ( g) Eeple aec la asse oluique : D d, y dy, z dz, (, y, z, ) d dy dz D y z D y z grad D y z 2 ) Bilans de aière ; conseraion de la asse Débi asse D Le débi de asse D (ou débi asse) à raers une surface (S) orienée représene la asse raersan cee surface par unié de eps Éude d un cas siple : écouleen unidirecionnel e unidiensionnel Soi un écouleen de fluide caracérisé par un chap eulérien des iesses de la fore ( r, ) (, ) e S (,) e de asse oluique (, ) La asse de fluide qui raerse pendan la durée enre les insans S e +, une surface, perpendiculaire à l écouleen siuée à l abscisse s écri : Le débi de asse s écri alors : D En considéran une surface S, d orienaion quelconque par rappor à la direcion de l écouleen, on obien : D = Scos(), aec = Scos() Ce qui peu s écrire encore sous la fore : D S, en rearquan que : S cos( ) e S g Généralisaion : on reien : raersan S Le débi asse à raers une surface S es D ds S En usi, D s'eprie en kg/s En inroduisan le chap ecoriel j, où j es appelé eceur densié de couran de asse ( j eprié en kg 2 s -1 ), le débi asse s'inerprèe coe le flu de j à raers la surface S page 4/7

5 L'équaion de coninuié (ou équaion de conseraion de la asse) CINÉMATIQUE DES FLUIDES L'équaion de coninuié radui la conseraion de la asse Ce principe ne s'applique qu'en écanique newonienne, pour un sysèe feré, dans un ilieu non absorban, e pour une aière non radioacie! La asse M() conenue dans un olue fié dans le référeniel d éude s écri : M ( r, ) d La ariaion de asse conenue dans par unié de eps es due au débi asse enran à dm enran soran raers la surface ferée liian, soi : ferée ferée j dse Par la forule de Green Osrogradski, on peu réécrire dm di j d En uilisan le héorèe de dériaion sous le signe soe, qui s écri ici, aec le olue fie dans R éude : d P ( r, ) ( r, ) d d P P P P, on a dm d On en dédui l équaion de conseraion de la asse, encore appelée équaion de coninuié, lian la asse oluique e le eceur densié de couran de asse j Fore locale di( ) 0 Fore inégrale d dse 0 En déeloppan di sous la fore : di( ) di( ) grad ( ), l équaion lo- D cale peu s écrire aussi sous la fore di( ) 0 D 3 ) Quelques écouleens pariculiers Écouleen saionnaire Un écouleen es di saionnaire si ous les chaps eulériens son indépendans du eps La relaion locale érifiée par j pour un écouleen saionnaire es di j 0 Cee relaion onre que le chap ecoriel j es à flu conseraif On en dédui qu en régie saionnaire, le débi asse se consere à raers oue secion d un ube de chap Écouleen incopressible D Pour un écouleen incopressible, on a par définiion 0 D Pour un écouleen incopressible, il y a conseraion de la asse oluique en suian une éso-paricule fluide dans son oueen Le chap des iesses érifie di 0, indiquan par là que le chap des iesses d un écouleen incopressible es à flu conseraif page 5/7

6 CINÉMATIQUE DES FLUIDES On en dédui que pour un écouleen incopressible, le débi asse e le débi olue se conseren à raers oue secion d un ube de chap (on a la relaion D D ) Écouleen poeniel ou irroaionnel (ou non ourbillonnaire) C es un écouleen el que le eceur ourbillon es nul en ou poin, soi ro 0 Le poeniel des iesses : La relaion locale saisfaie par le chap des iesses d un écouleen poeniel enraîne qu il eise un chap scalaire, appelé poeniel des iesses, érifian grad ( ) es défini à une consane addiie près La circulaion du chap des iesses sur un conour feré C quelconque es nulle pour un écouleen poeniel C, d 0 C La relaion grad( ) onre que les lignes de couran son en ou poin perpendiculaires au surfaces équipoenielles (surfaces elles que cse) Cas d un écouleen poeniel e incopressible : Pour un écouleen poeniel e incopressible, le poeniel des iesses saisfai à l'équaion de Laplace ( ) = 0 (équaion linéaire conduisan à une soluion unique pour des condiions au liies iposées) III Pour en saoir plus 1 ) Résulas suppléenaires sur les écouleens incopressibles Coen reconnaîre un écouleen incopressible? Un écouleen peu êre considéré coe incopressible an que M 0,3 Ainsi l écouleen d un fluide peu êre incopressible êe si le fluide es lui-êe copressible On rappelle que : - dans l'air c ~ 340 /s (dans les condiions habiuelles) - dans l'eau c ~ /s - dans un éal c ~ /s à /s Conséquence d un écouleen incopressible pour la lecure des cares de lignes de couran : Le résula suian es alable pour ou chap de diergence nulle, donc en pariculier pour le chap des iesses d un écouleen incopressible : Les lignes de chap d un chap à flu conseraif se resserren lorsque la nore du eceur chap augene page 6/7

7 2 ) Un écouleen pariculier : le ore CINÉMATIQUE DES FLUIDES On appelle ore, un écouleen caracérisé par un chap des iesses défini en coordonnées cylindriques par: C e 2 r, où la consane C es l inensié du ore, en 2 /s La consane C représene la circulaion du chap des iesses le long de ou conour enouran l ae Oz (ae orhogonal au plan e e Les lignes de couran son des cercles d ae Oz, r Le eceur ourbillon es défini parou dans l espace, sauf sur l ae Oz où r 0 On éabli que r 0, ro 0 Un ore correspond donc à un écouleen à ourbillon localisé (ici sur l ae Oz) 3 ) Cas d'un écouleen poeniel, peranen, incopressible e plan Les hypohèses forulées enraînen que : - il eise un poeniel des iesses, saisfaisan à ( ) = 0 - es indépendan du eps - rese parallèle à un plan fie, qu'on noe Oy e ne dépend pas de z On a : e y y - di( ) 0 un chap ecoriel noé A, el que ro( A ) A n'es pas unique e on peu choisir A // à l'ae Oz On pose A (,y) e z, où le chap scalaire (,y) es appelé foncion couran Les lignes de couran son les courbes elles que (,y) = cse La foncion couran saisfai coe le poeniel des iesses à l'équaion de Laplace ( ) 0 page 7/7