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1 ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 s) Montrer que D est un nombre entier. Ê D = D = 5 2 Exercice n 1 : Toutes les étapes de calcul devront figurer sur la copie. 1. On donne A = Calculer et donner le résultat sous forme d une fraction irréductible. 1 A = A = A = 15 7 A = On donne B = 1, (a) Donner l écriture décimale de B. B = 0, = 0, = 0, (b) Exprimer B en écriture scientifique. B = (a) On donne C = Écrire C sous la forme a b, où a et b sont des nombres entiers et b le plus petit possible. C = C = C = C = 2 5 (b) Soit D = D = D = 5 donc D est un nombre entier. Exercice n 2 : Dans cet exercice, toutes les longueurs sont données en cm. La mesure du côté du carré est +. Les dimensions du rectangle sont et Calculer l aire A du carré ; réduire l expression obtenue. 1,5 A = ( + ) 2 A = A = A = Calculer l aire A du rectangle. 1,5 A = 2( ) A = A = ). Vérifier que A = A. A = 12 + A = A = Donc A = A Exercice n :

2 1. On considère l expression A = (x + 1) 2. (a) Développer et réduire A. A = (x) x A = 9x 2 + 6x (b) Calculer A pour x = 1 6. Pour x = 1 6, A = 6 + 1Š 2 A = A = 2 2 A = 9 16 A = 7 Exercice n 1 : ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (12 s) Démontrer, pour chacune des trois figures suivantes, que le triangle ABC est un triangle rectangle en utilisant les informations fournies. 2. On considère l expression : B = (x ) 2 (x 1)(x 2). (a) Développer et réduire B. B = x 2 2 x + 2 [x 2 2x x + 2] B = x 2 6x + 9 [x 2 x + 2] B = x 2 6x + 9 x 2 + x 2 B = x + 7 (b) Comment en déduire, sans calculatrice, le résultat de ? Le résultat de ce calcul correspond à la valeur de B pour x = B = = = Figure 1 Figure 2 Figure 1 : D une part BC 2 = 50 2 = 2 500, D autre part BA 2 + AC 2 = = = On a donc BC 2 = BA 2 +AC 2, par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. Figure 2 : 1,5 Je sais que : (DE)//(BC) (DE) (CE) Or, Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre Donc (BC) (CE) : le triangle ABC est rectangle en C. Figure : 1,5 La somme des angles d un triangle est égale à 180, et dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même mesure, donc dans le triangle ACD : ACD Ö = = 10. On en déduit que BCA Ö = = 0. Donc dans le triangle ABC, ÖBAC = 180 (0 + 50) = 90 : le triangle ABC est rectangle en A.

3 Exercice n 2 : Le dessin ci-après représente la Terre qui est assimilée à une sphère de 6 70 km de rayon. Le cercle de centre O passant par M représente l équateur. Le L représente la ville de Londres. L est situé sur la sphère et sur le cercle de centre S (voir figure). On admettra que l angle LSO Õ est un angle droit. On donne OS = 880 km. Exercice n : On considère la figure ci-contre qui n est pas en vraie grandeur : Les segments [KL] et [JM] se coupent au I ; IK = cm, JK = 2, cm et LM =,2 cm ; le triangle IJK est rectangle en K ; le triangle LIM est rectangle en M. 1. Calculer SL au km près. 2 s Dans le triangle SLO rectangle en S, d après le théorème de Pythagore : OL 2 = OS 2 + SL = SL 2 SL 2 = = SL 09 km. 2. Calculer la mesure de l angle Õ SOL et arrondir au degré près. 1,5 Dans le triangle SOL rectangle en S : cos Õ SOL = SO OL cos SOL Õ 880 = 6 70 ÕSOL = cos En déduire au degré près la latitude Nord de Londres par rapport à l équateur, c est-à-dire l angle LOM. Ö ÖLOM = 90 0 = 50 : la latitude Nord de Londres est Calculer la valeur exacte de la tangente de l angle KIJ. Õ Dans le triangle KIJ rectangle en K : KJ tanõ KIJ = KI = 2, = 0, 6 2. Pourquoi les angles Õ KIJ et Ö LIM sont-ils égaux? Les angles Õ KIJ et Ö LIM sont opposés par le sommet I, donc ils sont de même mesure.. Donner l expression de la tangente de l angle LIM Ö en fonction de IM. 1 Dans le triangle LIM rectangle en M : LM tanö LIM = IM =, 2 IM. En s aidant des réponses aux questions précédentes, prouver que la longueur IM en centimètres est un nombre entier. 1 Les angles Õ KIJ et Ö LIM sont égaux, donc leur tangente aussi. On en déduit :,2 IM = 0, 6, donc IM =,2 0,6 = 7 cm. 5. Déterminer l arrondi au degré de l angle KIJ. Õ tanõ KIJ = 0, 6, donc KIJ Õ 1.

4 PROBLÈME (12 s) On donne : un cercle (C) de centre O et de rayon 6 cm ; un diamètre [AB] de ce cercle (C) ; le N du segment [OB] tel que BN = cm ; le M situé à,2 cm de B tel que le triangle BMN soit rectangle en M. La figure n est pas en vraie grandeur. 1. (a) Calculer la longueur du segment [MN]. Dans le triangle BMN rectangle en M, d après le théorème de Pythagore : BN 2 = NM 2 + MB 2 2 = NM 2 +, 2 2 NM 2 = 2, 2 2 = 16 10, 2 = 5, 76 NM = 2, cm. (b) Calculer la mesure de l angle MBN (arrondir à un degré près). Dans le triangle BMN rectangle en M : MB cos MBN = BN =, 2 = 0, 8 MBN Calculer l aire du triangle BMN. MB MN A = 2, 2 2, A = =, 8 cm 2 2 La droite (BM) recoupe le cercle (C) en P.. (a) Démontrer que le triangle BPA est rectangle en P. Je sais que [BA] est un diamètre du cercle, et que P est un du cercle. Or si, dans un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d un diamètre et un du cercle, alors ce triangle est rectangle en ce. Donc le triangle BPA est rectangle en P. (b) En déduire que les droites (PA) et (MN) sont parallèles. Je sais que (MN) (BP ) et (BP ) (P A) Or si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles Donc (MN)//(PA). (c) Calculer les longueurs AP et BP. Je sais que les s B, M, P et B, N, A sont alignés, et que (MN)//(PA). D après le théorème de Thalès : BM BP = BN BA = MN P A, 2 BP = 12 = 2, P A On en déduit : BP =, 2 12 = 9, 6 cm 2, 12 et P A = = 7, 2 cm.. Soit E le milieu de [BN]. Démontrer que les droites (PO) et (ME) sont parallèles. Calculons : BM BP =, 2 9, 6 = 1

5 et : BE BO = 2 6 = 1 Dans le triangle OBP : Je sais que les B, M, P et B, E, O sont alignés dans le même ordre, et que BM BP = BE BO d après la réciproque du théorème de Thalès : les droites (PO) et (ME) sont parallèles 5. La droite (PO) recoupe le cercle (C) en K et la droite (PN) coupe la droite (BK) en I. (a) Écrire le rapport BN sous forme d une fraction irréductible. BO BN BO = 6 = 2 (b) Que représente le N pour le triangle PBK? Justifier. [PK] étant un diamètre du cercle, O est son milieu. (BO) est donc une médiane du triangle PBK, et d après la question précédente, N est situé aux deux tiers de cette médiane en partant du sommet B ; N est donc le centre de gravité du triangle PBK. (c) Démontrer que I est le milieu du segment [BK]. Comme N est le centre de gravité de PBK, la droite (PN) est donc une médiane du triangle PBK. (PN) joint donc le sommet P au milieu du côté opposé : I est le milieu de [BK]. Rappels utiles pour la question 5 : On rappelle qu une médiane dans un triangle est une droite passant par un sommet et le milieu de côté opposé à ce sommet. Les trois médianes d un triangle sont concourantes en un appelé centre de gravité du triangle. On sait que lorsqu un appartient à une médiane d un triangle et est situé aux deux tiers de cette médiane en partant du sommet, alors ce est le centre de gravité du triangle.

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