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1 Sujet et correction Stéphane PASQUET, 25 juillet Activités numériques Exercice On donne le programme de calcul suivant : Choisir un nombre. a) Multiplier ce nombre pas 3. b) Ajouter le carré du nombre choisi. c) Multiplier par 2. Ecrire le résultat. ) Montrer que, si on choisit le nombre 0, le résultat obtenu est ) Calculer la valeur exacte du résultat obtenu lorsque : le nombre choisi est 5 ; le nombre choisi est 2 3 ; le nombre choisi est 5 ; 3) Quels nombres peut-on choisir pour que le résultat obtenu soit 0? ) On choisit le nombre 0. a) Je multiplie 0 par 3 : 0 3 = 30. b) J ajoute le carré de 0 : = = 30. c) Je multiplie par 2 : 30 2 = 260. J obtiens bien ) Pour 5, j ai : a) ( 5) 3 = 5 ; b) 5 + ( 5) 2 = = 0 ; c) 0 2 = 20. Pour 2 3, j ai : a) = 2 ; ( ) 2 2 b) 2 + = = = 22 9 ; c) = 9. Pour 5, j ai : a) 5 3 = 3 5 ; b) ( 5 ) 2 = ; c) ( ) 2 = Posons x le nombre de départ. Alors, le programme de calcul permet de calculer : (x 3 + x 2 ) 2 = 6x + 2x 2. Donc, pour obtenir 0, il faut que 2x 2 + 6x = 0, soit (en divisant tout par 2) : x 2 + 3x = 0, que l on peut aussi écrire sous forme factorisée sous la forme : x(x + 3) = 0. Or, un produit est nul si l un de ses facteurs est nul. Donc x = 0 ou x + 3 = 0, soit x = 0 ou x = 3. Ainsi, en choisissant 0 ou 3, on obtient 0 pour résultat.

2 Exercice 2 2 est-il solution de l équation 2a 2 3a 5 =? Justifier. Si a = 2, alors 2a 2 3a 5 = = = = 7. Donc 2 n est pas solution de l équation 2a 2 3a 5 =. Exercice 3 Trois points A, B et C d une droite graduée ont respectivement pour abscisse : Ces trois points sont-ils régulièrement espacés sur la droite graduée? Justifier. ; 3 ; 5 2 = 3 et 2 3 = 2 Ainsi, il y a une différence de entre l abscisse de chaque point. 2 Ces derniers sont donc régulièrement espacés. Exercice Pour 6 kilogrammes de vernis et litres de cire, on paie 95 euro. Pour 3 kilogrammes de vernis et 3 litres de cire, on paie 55,50 euro. Quels sont les prix du kilogramme de vernis et du litre de cire? Justifier. Posons x le prix du kilogramme de vernis et y celui du litre de cire. L énoncé se traduit par le système suivant : { 6x + y = 95 3x + 3y = 55, 50 ou encore (en multipliant la seconde équation par 2) : { 6x + y = 95 6x + 6y = En soustrayant la première équation à la seconde, on a l égalité suivante : soit : 6y y = 95 2y = 6 Ainsi, y = 8, et d après l équation 6x + y = 95, on a : 6x = 95 y = 95 8 = 63, d où x = 7. Donc, le kilogramme de vernis vaut 7 e et le litre de cire vaut 8 e.

3 Activités géométriques Exercice : Q.C.M. Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n est demandée. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule est exacte. Chaque réponse exacte rapporte point. Une réponse fausse ou l absence de réponse n enlève aucun point. QUESTIONS. ABCD est un parallélogramme. Quelle égalité vectorielle peut-on en déduire? 2. On considère un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 6 cm. Quel est le volume de ce cylindre, exprimé en cm 3? 3. On considère dans un cercle, un angle inscrit et un angle au centre qui interceptent le même arc. L angle au centre mesure 3. Combien l angle inscrit mesure-t-il? RÉPONSES AB = CD AC = DB AD = BC 8π 5π 36π Le dessin ci-dessous représente en perspective une pyramide à base carrée de sommet S. Quelle est en réalité la nature du triangle ABC? S Ni rectangle, ni isocèle Rectangle est isocèle D C Isocèle mais non rectangle A B

4 Exercice 2 K G Sur la figure ci-contre : les points K, A, F et C sont alignés A les points G,A,E et B sont alignés E B F C (EF) et (BC) sont parallèles AB = 5 et AC = 6,5 AE = 3 et EF =,8 AK = 2,6 et AG = 2 ) Démontrer que BC = 8. 2) Tracer en vraie grandeur la figure complète en prenant comme unité le centimètre. 3) Les doites (KG) et (BC) sont-elles parallèles? Justifier. ) Les droites (AC) et (AB) sont-elles perpendiculaires? Justifier. ) Les points A, E, B d une part, et A, F, C d autres part sont alignés dans cet ordre. De plus, (EF) et (BC) sont parallèles. Donc d après le théorème de THALES : AE AB = AF AC = EF BC soit : 3 5 = AF AC =, 8 BC En prenant les rapports extrêmes, puis en utuilisant les produits en croix, on a : BC = 5, 8 3 = 8. 2) voir feuille suivante 3) Les points G, A, B d une part et K, A, F d autre part sont alignés dans cet ordre. De plus : AG AB = 2 5 = 0, ; AK AC = 2, 6 6, 5 = 0, Les deux rapports étant égaux, d après la réciproque du théorème de THALES, (KG) et (BC) sont parallèles. ) Dans le triangle ABC : BC 2 = 8 2 = 6 ; AB 2 + AC 2 = , 5 2 = , 25 = 67, 25 Donc BC 2 AC 2 + BC 2. Ainsi, d après la contraposé du théorème de Pythagore, ABC n est pas un triangle rectangle, donc (AC) n est pas perpendiculaire à (AB).

5 Question 2 (figure en vraie grandeur) K G A E F B C Problème Partie I A l aide du graphique (en annexe), répondre aux questions suivantes : ) Donner le poids minimum et le poids maximum conseillés pour une personne mesurant 80 cm. On donnera les valeurs arrondies des poids au kg près. Réponses : Le poids minimum est 60 kg et le poids maximum est 8 kg. 2) Une personne mesure 65 cm et pèse 72 kg. Elle dépasse le poids maximum conseillé. De combien? Donner la valeur arrondie au kg près. Réponse : Le poids maximum est dépassé de kg. 3) Une personne de 72 kg a un poids inférieur au poids maxilmum conseillé pour sa taille. Quelle peut être sa taille? Réponse : Sa taille est supérieure à 70 cm. Partie II Dans cette partie, t représente la taille d une personne, exprimée en cm. On calcule ce qu on appelle le poids idéal, que l on note p. p, exprimé en kg, ets donné par la formule : p = t 00 t 50. ) Calculer le poids idéal de personnes mesurant respectivement :

6 cm : p = = 60 2, 5 = 57, 5. Le poids idéal serait de 57,5 kg. 65 cm : p = = 65 3, 75 = 6, 25. Le poids idéal serait de 6,25 kg cm : p = = 80 7, 5 = 72, 5. Le poids idéal serait de 72,5 kg. Placer les points sur le graphique (voir feuille annexe). 2) Démontrer que la représentation graphique du poids idéal en fonction de la taille est une droite. Tracer cette droite sur le graphique figurant en feuille annexe. Réponse : Si on simplifie l expression de p, cela donne : p = t 00 t + 50 = 3 t 62, 5. ceci est l expression d une fonction affine, donc représentée par une droite. 3) Une personne mesure 70 cm et son poids est égal au poids idéal augmenté de 0 %. Dépasse-t-elle le poids maximum conseillé? Réponse : Le poids idéal de cette personne est p = = 65. Si son vrai poids est le poids idéal augmenté de 0 %, alors il est égal à p = = 65+6, 5 = 7, 5 00 kg. Par conséquent, il n est pas supérieur au poids maximum conseillé selon le graphique de la feuille annexe.

7 Annexe à rendre avec la copie : Réponses aux questions ) et 2) :

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