I) Activités numériques

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1 revet 99 : ordeau I) ctivités numériques ercice : alculer les valeurs eactes des nombres suivants (on donnera les résultats sous forme fractionnaire irréductible) 8 Écrire les nombres suivants sous la forme p où p est un entier relatif. ( ) ( ) 00 ercice : Soit ( ) ( ) ) évelopper et réduire. ) Factoriser. ) Résoudre l'équation ( )( ) 0. ercice : y 8 a) Résoudre le système : y 9 b) ans un concours hippique un cavalier est pénalisé : - quand le cheval refuse de sauter un obstacle - quand le cheval fait tomber la barre. Le cheval de Pierre a fait refus et a fait tomber barres pour un total de 8 points de pénalité. Le cheval de Jean a fait refus et a fait tomber barres pour un total de 9 points. ombien de points coûte un refus? ombien de points coûte la chute d'une barre?

2 II) ctivités Géométriques : ercice : Soit (O, I, J) un repère orthonormal. ) Placer les points,,, qui ont pour coordonnées : ( ; ) ; (8 ; ) ; (0 ; ). ) alculer les distances, et. n déduire la nature du triangle. ) Montrer que le point de coordonnées ( ; 0) est le milieu du segment []. ) Écrire une équation de la droite (). ercice : Un jouet (nommé culbuto) est formé d'une demi-boule surmontée d'un cône comme l'indique la figure cidessous. On donne 0 cm et cm. ) alculer la distance O. ) Quel est le volume du jouet, arrondi au cm près? Rappels : - Volume de la sphère de rayon R : V π R - Volume d'un cône de révolution d'aire de base et de hauteur h : V h ) alculer la mesure de l'angle au degré près.

3 Problème : est un cercle de centre O et de rayon, cm. [] est un diamètre de. est le point du segment [O] tel que O cm. est le cercle de centre passant par ; il recoupe [O] en N. ) a) Faire la figure. b) onstruire un point M de situé à cm de. La droite (M) coupe en P. Quelle est la nature du triangle NM? elle du triangle P? Justifier les réponses. ) alculer la distance MN. ) émontrer que les droites (P) et (NM) sont parallèles. n déduire la distance P. ) émontrer que les droites (PO) et (M) sont parallèles. ) La droite (PO) coupe en K. (PN) coupe (K) en I. Évaluer le rapport N. n déduire que N est le centre de gravité du triangle PK. O émontrer que I est le milieu de [K].

4 I) ctivités numériques orrigé : ( ) ( ) ( ) ( ) orrigé : ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 9 0 ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

5 ) ( )( ) 0 Or, si un produit de facteurs est nul, alors au moins l un des facteurs est nul On a donc soit 0 soit 0 Les solutions de l équation sont donc orrigé : et. a) y 8 y 9 La deuième équation nous donne obtient : ( 9 y ) y 8 8 8y y 8 8y y 8 8 y 0 y y 0 9 y. n remplaçant la valeur de dans la première équation, on On remplace y par dans 9 y pour obtenir 9 Vérification : y 8 y 9 b) Soit le nombre de points que coûte un refus et soit y le nombre de points que coûte la chute d une barre. y 8 On est donc amené à résoudre le système. y 9 après a), on en déduit qu un refus coûte points et la chute d une barre coûte points.

6 II) ctivités géométriques orrigé : ) On a : ( ) ( y y ) ( ) ( y y ) ( ) ( y y ) ( 0) ( ) ( 8 0) ( ) On constate que ( ) ( 8) 80 ( 8 ( ) ) ( ( ) ) 8 80 ( ). Le triangle est donc isocèle en. ( 8 ) ( ) ans le triangle, [] est le côté le plus long. On a 0 e plus, On constate que après la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit que le triangle est rectangle en. insi, est un triangle rectangle isocèle en. y y ) Les coordonnées du milieu de [] sont ;. 0 Or 8 y et y 0 On en déduit que le point de coordonnées ( ; 0) est le milieu du segment [] ) () a une équation de la forme y a b. Le coefficient directeur de la droite () est y y 8 Or 0 onc y b a y. y omme (), on a y d où 0 b donc b. Une équation de la droite () est donc : y

7 orrigé : ) O est le centre du cercle de diamètre [] donc O cm Le triangle O est rectangle en O. après le théorème de Pythagore on a : O O O O O 0 O O 8cm O O 00

8 ) Soient V le volume du jouet, V le volume du cône, V le volume de la demi-boule. On a donc V V V Or V 8 π V 88 V π V 9π O π O et V O V π V π V π π (nous considérons la moitié du volume de la sphère) On en déduit que V 9 π π V 0π V,98cm Le volume du jouet est donc de 0π cm soit environ, 98 cm. ) est un triangle isocèle en et (O) est la hauteur issue de. On en déduit donc que (O) est aussi la bissectrice de l angle. On a donc O Le triangle O est rectangle en O. O 8 cos(o ) 0 On en déduit que O donc O

9 Problème : ) a) Voir à la fin b) M appartient au cercle de diamètre [N] après la réciproque de la propriété de l angle droit J en conclus que NM 90 donc le triangle NM est rectangle en M. P appartient au cercle de diamètre [] après la réciproque de la propriété de l angle droit J en conclus que P 90 donc le triangle P est rectangle en P. ) [] est un diamètre de donc O, cm [ O] donc O O d où O O,, cm [N] est un diamètre de donc N, cm NM est un triangle rectangle en M. après le théorème de Pythagore, on a : N MN MN MN MN MN MN N 9 9 MN cm M M ) P est un triangle rectangle en P donc (P) (P) NM est un triangle rectangle en M donc (NM) (M) e plus, P (M ) donc (NM) (P) On a donc (P) (P) et (NM) (P) Or si deu droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles J en conclus que (P)//(NM)

10 Les droites (PM) et (N) sont sécantes en et (P)//(NM) après le théorème de Thalès, on a : M P N NM P alcul de P : P donc P P P cm ) On a M P et O,,,. Sur les droites (PM) et (O) sécantes en, les points, M, P d une part et,, O d autre part sont alignés M dans le même ordre et P O après la réciproque du théorème de Thalès, Les droites (M) et (OP) sont parallèles. ) On a N O, On en déduit que,, N O. La droite (PO) coupe en K donc O est le milieu de [PK]. (O) est donc la médiane issue de dans le triangle PK. N et N O On a [ O] On en déduit que N est le centre de gravité du triangle PK. (NP) est la médiane issue de P dans le triangle PK. lle coupe donc [K] en son milieu. Or (PN) coupe (K) en I J en conclus que I est le milieu de [K]

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