Analyse de données spatialisées

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1 D. Chessel & J. Thoulouse - Bomére e Bologe Evoluve - Uversé Lyo Fche de Bosasque Aalyse de doées saalsées D. Chessel & J. Thoulouse Résumé La fche regroue quelques élémes de base das l'aalyse des doées mulvarées saalsées. O aborde les ess élémeares (Gery, Mora, Mael) e des raques couraes (arbres de logueur mmale, courbes de veaux). Les les ere marces de coordoées, marces de dsaces e grahes de vosage so evsagés. L'aalyse e coordoées rcales es défe. Pla. INTRODUCTION.... TESTS ELEMENTAIRES Varace locale e es de Geary L dce de Mora Tes de Mael COURBES DE NIVEAUX OPERATEURS DE VOISINAGES Décomoso marcelle Comosaes carograhables Veceurs rores de vosages TABLEAUX, GRAPHES ET DISTANCES Les marces de dsaces L'arbre de logueur mmale Reréseaos eucldees UN EXEMPLE REFERENCES... 9 Bosasque / BSA.doc / Page / h://bl.uv-lyo.fr/r/doees/bsa.df

2 D. Chessel & J. Thoulouse - Bomére e Bologe Evoluve - Uversé Lyo. Iroduco Ue grade are des doées acquses, e gééque, e écologe ou e bologe des oulaos es saalsée. Ue mesure se réfère à u edro de mesure. Reler l'esace e l'observao es u roblème elleme gééral qu'ue are des sasques y es cosacrée. O arle de sasques saales. Le chare réu quelques élémes de base das ce domae. Les eregsremes de l'esace lu-même so mulles. Eregsremes surfacques : la mesure ore sur ue surface borée ar ue froère. C'es le suor des doées soco-écoomques. U des arcles fodaeurs de ce domae rae des comés d'irlade : Carograhe ar veau de grs sur des ués surfacques. 5 dsrcs d'irlade. Le dsrc de Dubl es exra du jeu de doées. Care des dsrcs avec uméroao aurelle. Tableau de varables mesurées sur les 4 dsrcs. Doées célèbres rerses das. 53. Code des varables : --3 réaro (e our 000) des roréés agrcoles e 3 groues d'moso (<0, 0-50, >50 ) Nombres moyes d'amaux our 000 acres de rares e culures resecveme 4- vaches laères, 5- aures besaux, 6- cochos, 7- mouos. 8- Pourceage de oulao urbasée (vlles e vllages) e our Nombre de voures our 000 habas 0- Nombre de lceces de rado our 000 habas - Vees de déal moyee ar haba e - Pourceage de célbaares arm les hommes de as e our 000. Doées ormalsées. Eregsremes ocuels : la mesure se réfère à deux coordoées (x, y). O asse des doées surfacques aux doées ocuelles e chosssa u o arculer ar ués : Bosasque / BSA.doc / Page / h://bl.uv-lyo.fr/r/doees/bsa.df

3 D. Chessel & J. Thoulouse - Bomére e Bologe Evoluve - Uversé Lyo Eregsreme du vosage : l'esace es déf ar ue relao de vosage, doc ue marce qu a aua de lges e de coloes qu'l y a de os de mesures. Cee marce coe à la lge e à la coloe j la valeur s les os so voss 0 so. Par exemle, deux ués surfacques so voses s elles o ue froère commue : Les os so les sommes du grahes, les ares de os so les arêes du grahe. O eu ulser u grahe de vosages our exrmer la forme d'esaces arculers comme les réseaux hydrograhques, les froères frachssables, Eregsreme des dsaces : le cas le lus smle es celu de la dsace eucldee caoque : d( A, B) = ( x ) ( ) A xb + ya yb. O obe as ue marce de dsaces. E mahémaques, o aelle dsace défe sur u esemble E ue foco d de ExE das R qu vérfe our ou x, y e z élémes de E : () d ( x, y) 0 () d ( x, y) = 0 x = y (3) d ( x, y) = d( y, x) Bosasque / BSA.doc / Page 3 / h://bl.uv-lyo.fr/r/doees/bsa.df

4 D. Chessel & J. Thoulouse - Bomére e Bologe Evoluve - Uversé Lyo (4) d ( x, y) d( x, z) + d( z, y) E sasques, o aelle dssmlaré défe sur u esemble f I à élémes (uméroés,,...,,..., ) ue foco de IxI das R qu vérfe our ou e j : () j 0 () = 0 (3) j = j E bologe, o ulse le erme de dsace our désger la dfférece mesurée ere deux dvdus, deux oulaos, deux ses,..., sas se réoccuer de défo. Pour suvre la couume o aellera marce de dsaces ue marce coea ue dssmlaré observée. Les marces de dsaces so doc des marces carrées ( lges e coloes), coea des ombres osfs (), symérques (3), aya des élémes uls sur la dagoale (). Sur les comés d'irlade, o obe : max value =.8763e+0 Coe as 000*x/max [ ] 0 [ ] 43 0 [ 3] [ 4] [ 5] [ 6] [ 7] [ 8] [ 9] [ 0] [ ] [ 4] [ 5] U ableau de doées saalsées eu doc se rouver e face d'u ableau de coordoées saales, u grahe de vosage ou ue marce de dsaces. Il exse ue mulude de raques oeelles so our ameer l'esace das le mode de erceo des doées (ableau core ableau) so ameer les doées das le mode de erceo de l'esace (marce de dsaces core marce de dsaces).. Tess élémeares.. Varace locale e es de Geary L ouvrage classque de Clff & Ord o. c. résee deux ess de sgfcao de la srucure saale d ue varable. Le remer es celu de l dce de Geary. Il ulse la oo de grahe de vosage. Pour comredre la sgfcao de ce dce ue réécrure de la oo de varace es dsesable. Elle a éé fae ar Lebar 3 e le rocédé a éé ulsé déedamme Bosasque / BSA.doc / Page 4 / h://bl.uv-lyo.fr/r/doees/bsa.df

5 D. Chessel & J. Thoulouse - Bomére e Bologe Evoluve - Uversé Lyo ar Lgh & Margol 4 das u aure roblème. So u exemle umérque rès smle comora 5 observaos a, b, c, d e e. Suosos la relao de vosage suvae : Das les cercles o rouve la valeur de la varable e chacu des os. E suosa ue odérao uforme des 5 mesures la moyee vau m = 0 e la varace vau Var = ( ) + ( ) + (0) + () + () = 5 E gééral our observaos x,,x x de ods,, la moyee e la varace es so défes ar : x = x e Var = ( x x ) = = Cee même varace eu se cocevor comme ue foco de oues le dfféreces deux à deux ere les mesures. a b c d e a b 0 3 c 0 d 3 0 e La moyee (sur les 5 coules) des carrés de oues les dfféreces deux à deux vau 00/5=4 so deux fos la varace. E gééral : Var = ( ) = O reedra la relao fodameale : j = j ( x x j ) = j= j ( x x j ) = x x = ( ) La varace es la moé de la moyee des carrés des dfféreces élémeares. L érê de cee observao es de séarer les coules de os e deux caégores, les coules de voss d ue ar, les coules de o voss de l aure. Bosasque / BSA.doc / Page 5 / h://bl.uv-lyo.fr/r/doees/bsa.df

6 D. Chessel & J. Thoulouse - Bomére e Bologe Evoluve - Uversé Lyo a b c d e a b c d e La somme des carrés des dfféreces (00) se décomose e somme sur les coules de voss () e somme sur les coules de o voss (78). La varace (00/50) se décomose e deux ares (/50 e 78/50) aelées resecveme varace locale (ere voss) e varace globale (ere o voss). E gééral : Var = ( ), j j( x x j ) = ( ) j x x j vos j Var = Var loc + Var glo ( ) +( ) j( x x j ) o vos j Ce o de vue a l avaage de la smlcé e u covée ssu du fa que das la luar des cas ue écrasae majoré de coules so des coules de o voss. La varace locale rerésee alors ue oue ee are de la varace oale. Il y a luseurs maères de se servr de cee observao. La remère e dae ser à eser la sgfcao de cee varace locale our ue varable doée. C es l dce de Geary. O oe sur l exemle, que, usque la varace oale es la moyee our les 5 coules des carrés des dfféreces, mas que seuleme 0 coules so ules (les 5 aures valeurs so forcéme ulles). Il vau doc meux cosdérer que la varace es la moyee sur les coules ules. Ic la odérao es uforme ( = ) : V ˆ = = ( x x ) = ( ) = x x j j = ( ) Das l exemle, o obe 00/40, so.5. O rerouve l esmaeur habuel d ue varace. O eu se demader s la moyee des carrés des dfféreces sur l esemble des coules voss seuleme 'es as u aure esmaeur de cee varace : V ˆ loc = m vos j La quaé c es le coeffce de coguïé de Geary e I G es la valeur ormalsée de Bosasque / BSA.doc / Page 6 / h://bl.uv-lyo.fr/r/doees/bsa.df ( x x j ) où m désge le ombre de coules de voss (chaque are es comée deux fos, u o éa jamas vos de lu même). Das l exemle m vau 0 e la quaé /0. S'l y a as de srucure saale les valeurs des carrés des dfféreces ere voss so e moyee les mêmes que sur l esemble des coules. O s aed à ce que le Vˆ raor c = loc de la varace esmée localeme sur la varace esmée oaleme Vˆ c so égal à ou ecore que IG = e so as sgfcaveme dffére de 0. var c ( )

7 D. Chessel & J. Thoulouse - Bomére e Bologe Evoluve - Uversé Lyo c. Le déomaeur es l écar-ye du raor des varaces esmées. Il es cou das deux modèles, resecveme N (les observaos so u échallo d ue lo ormale déedae de la srucure saale) e R (les observaos so u cas arbrare arm les! ossblés de lacer les valeurs observées sur les os de la srucure saale). Das l exemle le raor des varaces esmées ecore oé c vau./.5 so Exécuer le es de Geary sur les doées d Irlade (NGSa: Geary Tes) : Geary Auocorrelao es Neghboorhood grah: Irsh$G Daa marx: Q Po umber: 5 l---l l l l l l l N l c observ. l Tes N l Proba l Tes R l Proba l l---l l l l l l 3.477e e e e e e-0.75e e e e e e e e+00.84e e e e e e e e e e e e-0.93e e-0.080e e e e-0.95e e-0.300e e-0.547e e e e e-0 3.5e e e e e-0.9e e-0.35e e e e e e e e-0.338e e-03.55e e-03 l---l l l l l l Le lsg doe das l ordre le uméro de la varable, la quaé c observée (raor de la varace locale ou varace mesurée sur les coules de voss seuleme à la varace oale ou varace mesurée sur l esemble des coules), l aroxmao ormale assocée sous l hyohèse de ormalé e de o corrélao saale (es aramérque), la robablé de déasser l observao das le es récéde, l aroxmao ormale assocée sous l hyohèse de lo quelcoque uque e de o corrélao saale (es o aramérque dsrbuo free), la robablé de déasser l observao das le es récéde. Le lssage des cares ar courbes de veaux es légme our la luar des varables. O a ecadré les résulas de la varable 4, qu so coformes à ceux de Clff & Ord (973 o. c. age 57). La cofroao de ces sasques aux cares des varables s mose. La queso sera alors clareme osée : deva ue sére de cares lus ou mos smles : comme fare leur lecure smulaée, leur syhèse, vor leur ordao ou leur classfcao e luseurs yes? O ulse our réodre à cee queso les oéraeurs de vosages 5 que ous aelos auss oéraeurs de Mora. Bosasque / BSA.doc / Page 7 / h://bl.uv-lyo.fr/r/doees/bsa.df

8 .. L dce de Mora D. Chessel & J. Thoulouse - Bomére e Bologe Evoluve - Uversé Lyo La oo d auocorrélao saale mesure esseelleme la ressemblace ere voss. L dée es aleme celle de Mora (948) 6. L dce d auocorrélao saale de Mora es décr das l ouvrage de base de Clff & Ord, e arallèle avec l dce de Geary qu a ue foco vose. Ulser les ess de Mora ou ceux de Geary doe des résulas voss. S u es d auocorrélao es écessare o ulsera doc celu de Geary. Mas la dfférece des rces de base es sesble. L dce de Geary d s la varablé ere os voss es lus ee, sgfcaveme, qu aedue d u modèle aléaore. L dce de Mora d s la ressemblace ere os voss es lus grade, sgfcaveme, qu aedue d u modèle aléaore. O comred be que la uace es as fodameale. Par core, les aalyses locales, basées sur l dce de Geary, cherche la srucure de la varace ere os voss. Les aalyses basées sur l dce de Mora cherche, à l verse, la srucure de la ressemblace ere voss. La uace s aaree à ue aome comlèe d objecfs. La dffculé ve de ce que la varace de vosage es ue forme quadraque e a éé égrée aurelleme e aalyse des doées. La oo d auocorrélao saale e l es as. So égrao e aalyse mulvarée es as aurelle. Teée ar Wareberg (985c) 7, cee sero es as omum du o de vue mahémaque, ou e éa rès légme du o de vue exérmeal. O rarochera cee eave des ravaux du même aueur our ulser l auocorrélao saale das l erréao d ue aalyse ordare (Wareberg 985b) 8 e our arofodr l usage des coordoées cocrèes das l esace comme doées umérques (Wareberg 985a) 9. L dce de Mora es déf, das les oaos de aragrahe ar : I M ( )( j ) x x x x vos j = m x x = ( ) O recoaî la moyee our les coules de voss des quaés ( x x )x j x Bosasque / BSA.doc / Page 8 / h://bl.uv-lyo.fr/r/doees/bsa.df ( ) raorée à la moyee des quaés ( x x ). La varace oale qu erve das le c de Geary es doc la varace esmée (calculée avec -) e celle qu erve das le I de Mora es la varace descrve (calculée avec ). Il e s ag as d ue mrécso, be au corare. Les deux dces o la même logque das deux cadres comlémeares. O oera oujours M la marce à lges e coloes de marce de vosage où m j = s e j so voss, m j = 0 das le cas corare M =

9 D. Chessel & J. Thoulouse - Bomére e Bologe Evoluve - Uversé Lyo Cee srucure de vosage e aelle deux qu serve de référeces, resecveme : 0 0 U I = I = O oera oujours U la marce à lges e coloes do ous les élémes so égaux à. Das la remère u o es vos de ous les aures sauf de lu-même, das la secode u o es vos que de lu-même. Alors : ( x xj) ( x x)( xj x) m [ M] vos j m [ M] vos j c = I = ( x x j) ( ) ( x x)( xj x) [ U I ] vos j [ I ] vos j Das le remer cas, la varace es la varablé moyee ere deux os (référece our la varablé de vosage), das le secod cas, c es la covarace de la varable avec elle-même (référece our la covarace de vosage). O eu redre ces deux oos cohérees ( 4)..3. Tes de Mael Il es ulsé 0 s l'esace es rodu ar ue marce de dsaces saales. O rouve ue réseao déallée das (.70-75). L'esace es cou ar ue marce S de dsaces saales. Les doées forme u ableau duquel o dédu ue dsace ere les dvdus cosgée das ue marce de dsaces D. La corrélao ere les deux es mesurée dreceme ar sd = = j j. Les coules e joue aucu rôle usque les dsaces so ulles. Peu more égaleme que l'o come ue fos ou deux fos les coule j e j. Seul more le ye de ermuaos ulsées. Ue des marces es lassée e lace e das l'aure lges e coloes so ermuées à l'deque, ar exemle : e Pour chacue de m ermuaos de ce ye, o calcule la sasque sd = = j j o comare la valeur observée à l'esemble des ermuaos. L'habude veu que l'o corrge ar les moyees e les écars-yes our fare aaraîre exaceme la corrélao ere les deux sasques : Bosasque / BSA.doc / Page 9 / h://bl.uv-lyo.fr/r/doees/bsa.df

10 D. Chessel & J. Thoulouse - Bomére e Bologe Evoluve - Uversé Lyo d d d d d d... d d... d s s s s s s... s s... s ( ) ( ) Par exemle, our les doées d'irlade o eu comarer les dsaces : ( ) ( ) ( x x ) j j = j + j j = = Varj s x x y y d r dex : 5.4e-0 umber of radom machg: 000 Observed: Hsogramm: mmum = , maxmum = umber of smulao X<Obs: 000 (frequecy: ) umber of smulao X>=Obs: 0 (frequecy: ) Le es de Mael ulse ue dsace saale. Le es de Geary ulse u grahe de vosage. O eu auss eser le rôle de l'esace ar ue smle régresso mulle sur les olyômes des coordoées carésees. > lo(x,y,ye="") > ex(x,y,as.characer(:5)) > qor <- scale(read.able("q.x")) > z <- qor[,] > aova(lm(z~x+y+i(x*y)+i(x^)+i(y^))) Aalyss of Varace Table Resose: z Df Sum Sq Mea Sq F value Pr(>F) x e-06 *** y e-08 *** I(x * y) I(x^) ** Bosasque / BSA.doc / Page 0 / h://bl.uv-lyo.fr/r/doees/bsa.df

11 D. Chessel & J. Thoulouse - Bomére e Bologe Evoluve - Uversé Lyo I(y^) *** Resduals Sgf. codes: 0 `***' 0.00 `**' 0.0 `*' 0.05 `.' 0. ` ' Le le avec l'esace eu doc asser ar u ableau (olyôme des coordoées), ue marce de dsaces (Mael), u grahe de vosage (Geary-Mora). Dvers rocédés ermee de asser d'ue forme à l'aure e la sasque saale es souve fae de raques emrques. 3. Courbes de veaux Les courbes de veaux so u jeu algorhmque sur u esemble de valeurs lacées sur u réseau. C-dessus : ombre de caes de Framboser ar lacees de m de côés cosdéré comme mesure ocuelle d'abodace. Les os so lacés ere ue mesure suéreure au seul e ue mesure féreure au seul ar erolao léare. Quelles que soe les valeurs, o a ue soluo uque. Les mesures e so as e gééral sur u réseau. O esme alors à arr des doées e (x,y) des valeurs sur u réseau qu recouvre la zoe d'éude. Il exse des méhodes Bosasque / BSA.doc / Page / h://bl.uv-lyo.fr/r/doees/bsa.df

12 D. Chessel & J. Thoulouse - Bomére e Bologe Evoluve - Uversé Lyo smles (régresso olyomale) ou sohsquées (rgeage). Ue des lus effcaces es la régresso locale éedue de ue à deux dmesos. Teméraure ( mos, moyees lurauelles) e 30 vlles. Doées ormalsées. Illusraos de déveloemes mahémaques das 3 e 4 qu aborde la carograhe d'ue évoluo emorelle (évoluo d'ue courbe de os e 30 ses) alors qu'c o a bordé l'évoluo emorelle d'ue care. 4. Oéraeurs de vosages L dce de Geary, corareme à l dce de Mora, semble surmer oue oo de moyee. E oure l es, comme raor de somme de carrés, oujours osf. C es ourquo, l codura Lebar à l roduco des mérques de vosage. La moyee de la varable, e revache, erve foreme das I. Or la moyee erve das la défo ordare de la varace. E effe, s o cherche le ombre α qu mmse : x α = ( ) Bosasque / BSA.doc / Page / h://bl.uv-lyo.fr/r/doees/bsa.df

13 D. Chessel & J. Thoulouse - Bomére e Bologe Evoluve - Uversé Lyo o rouve α = x e le mmum ae es la varace. Le uméraeur e le déomaeur de l dce de Mora o doc as u sau auss vos que le uméraeur e le déomaeur de celu de l dce de Geary. S o cherche le ombre α qu mmse : m [ M]vos j ( x α )( xj α ) o e rouve as α = x. U calcul smle sur u olyôme du secod degré codu à : xm M α = = mx= m m =. v où m v désge la moyee de vosage de la varable x calculée avec u ods d ue observao rooroel à so ombre de voss. C es récséme l écar ere la moyee ordare e la moyee de vosage qu séare les deux aroches. E effe, s o réécr l dce de Mora e ulsa la moyee de vosage : ( x mv( x) )( xj mv( x) ) m * [ M] vos j I = ( x mv( x) )( xj mv( x) ) [ I ] vos j e s o réécr l dce de Geary sous la forme : m * [ M] vos j c = alors o a smleme I * + c * =. [ U ] vos j ( x xj) ( x x j) ( x) 4.. Décomoso marcelle O eu doc redéfr ces dces de maère lus effcace. La remarque fodameale de déar es das 5. So u grahe de vosage ere os comora m arêes. Bosasque / BSA.doc / Page 3 / h://bl.uv-lyo.fr/r/doees/bsa.df

14 D. Chessel & J. Thoulouse - Bomére e Bologe Evoluve - Uversé Lyo So L la marce à m lges e coloes crosa les arêes e les sommes. Pour l'arêe qu rele les sommes e l avec < l o a L =, L l = e L j = 0 alleurs. L'écrure es uque dès que la uméroao des sommes es doée. So M la marce de vosage ( lges e coloes) e N la marce dagoale des degrés des sommes (ombre de voss). Das l'exemle : a b c L = d M = 0 N = e f g O a : LL= N M LL es ue marce symérque e o égave ( xllx 0 ). Les ods de vosage so sur la dagoale de D= N (les arêes so comées deux fos). P= M es m m la able de cogece assocée à la marce du grahe. Das les dces de Mora e de Geary, seuls les uméraeurs mesure le le de la varable avec l'esace. Les déomaeurs e serve que de faceur d'échelle e so des cosaes das l'esace des! ermuaos des doées. Cosdéros alors ue sasque brue ( ),..., x,..., x la varable cerée avec la moyee de vosage. Le uméraeur de l'dce de Geary es la varace locale : y y sur les sommes e ( ) ˆ V = x x = y y = y y = 4m 4m m m ( ) ( ) ( ) y LLy loc j j j vos j vos j vos j < j A oer que m es c le ombre de ares de vos e m es le ombre de coules. Le uméraeur de l'dce de Mora es la covarace locale : ( x x)( x x) = y y = y My = y Py m m m Ef la varace oale es : j j vos j vos j [ M] [ M] ( ) x x = y = y Dy = y Ny = = La relao LL= N M assure la décomoso M = N+ LL m m m m m m d'où Varace oale = Varace locale + Covarace locale. Cee décomoso es cureuse e ce que deux ermes seuleme sur les ros so oujours osfs. Pour u rocessus "lsse" doc foreme carograhable la varace m Bosasque / BSA.doc / Page 4 / h://bl.uv-lyo.fr/r/doees/bsa.df

15 D. Chessel & J. Thoulouse - Bomére e Bologe Evoluve - Uversé Lyo locale es fable (mas osve) e la covarace locale es osve e fore. Pour u rocessus à fore varao ere voss, auocorrélé égaveme la varace locale es lus fore que la varace e l'auocovarace es égave. Les deux sasques dse la même chose ads que leur somme es cosae. O eu résumer le oal smleme. U grahe de vosage M déf des ods de vosage (ombre d'arêes arrva e u o sur ombre d'arêes oal). Les doées so cerées (e s écessare ormées) e ulsa cee odérao. Les ods so écrs das la marce dagoale D e y Dy es la varace globale de la varable. ( ) ( ) ydy= y D P y+ ypy = + m m La varace se décomose e varace locale e auocovarace. y, voss y j j y, j voss yj La verso ureme formaque (es de Moe-Carlo 6 ) e de lus mulvarée du es de Geary ulse ces remarques. Soe os de mesure relés ere eux ar u grahe de vosage e X u ableau à lges e varables quaaves cerées our la odérao de vosage. La covarace saale de la coloe j de X es la quaé xpx j j. P es la able de cogece assocée au grahe e D es la odérao de vosage. Le es come our chaque varable la fréquece des ermuaos aléaores des valeurs our lesquelles o déasse la covarace saale observée. Elle fa de même our la quaé : xpx j j j= O obe u es mulvaré o aramérque du le ere le ableau e le grahe de vosage, exeso du es de Geary ou de Mora. Noer que les varables de X so ormalsées ar la odérao de vosage à chaque ermuao. O eu comarer e oer la cohérece des -values (e /0000) : Le es global doe : X = Toal saal covarace umber of radom ermuaos: 000 Observed: 3.579e+00 Hsogram: mmum = -.3e+00, maxmum = 3.579e+00 umber of smulaos X<Obs: 000 (frequecy:.000e+00) umber of smulaos X>=Obs: 0 (frequecy: 0.000e+00) Bosasque / BSA.doc / Page 5 / h://bl.uv-lyo.fr/r/doees/bsa.df

16 D. Chessel & J. Thoulouse - Bomére e Bologe Evoluve - Uversé Lyo Le es varable ar varable es la verso es de ermuaos de l dce de Mora das sa verso échalloage das l esemble des ermuaos. Les ess de Geary équvales so des aroxmaos (héorèmes de covergece). Il vau meux, vu le coû des calculs acuel, accorder lus de coface au remer qu aux secods. Le es global ore exaceme sur la race de l aalyse globale. Il sera rs e défau vrasemblableme ar u mélage de varables (das le même ableau) resecveme à varace locale fore e à auocorrélao saale fore. 4.. Comosaes carograhables O a alors smleme de ouvelles aalyses mulvarées sous coraes saales. La remère es l'aalyse e comosaes rcales locales de Lebar, qu ulse le schéma : I X X D P Elle doe dreceme l'axe rcal a qu maxmse ( ) ax D P Xa doc la varace locale de la coordoée Xa. La secode fa l'verse e o eu l'aeler aalyse e comosaes rcales carograhables. Il suff d'éedre les roréés du schéma de dualé e alquer l'exeso à : X I P X Elle doe dreceme l'axe rcal a qu maxmse axpxa doc l'auocovarace de la coordoée Xa. Noer qu'c P 'es as u rodu scalare, qu'l 'y a as de uages de os doc as d'aalyse d'ere mas smleme l'ulsao de la décomoso secrale de l'oéraeur XPX. Bosasque / BSA.doc / Page 6 / h://bl.uv-lyo.fr/r/doees/bsa.df

17 D. Chessel & J. Thoulouse - Bomére e Bologe Evoluve - Uversé Lyo O fa ue yologe de cares e assoca les varables qu o même srucure saale our créer ue care de syhèse. La rooso de fare l'aalyse ordare us de coserver les coordoées qu o ue boe srucure saale fae das 8 es ue roduco à cee raque. O eu remarquer la soluo d'ue dffculé assocée à l'écrure : y Dy = y D P y+ y Py axdxa= ax D P Xa+ axpxa ( ) ( ) O ourra eser que la décomoso mlque que les derères comosaes de l'aalyse locale so les remères de l'aalyse locale. Il 'e es re car la somme 'es as cosae. Pour mmser la varace locale, l'aalyse locale mmse la varace smle sas augmeer de ce fa la covarace locale. L'aalyse smle doe des comosaes de varace maxmale, l'aalyse locale rouve les combasos les lus varables d'u vos à l'aure e la rosème doe les comosaes les lus lsses. Ce so ros objecfs rès dssemblables. Quad la srucure saale es fore, l'aalyse smle doe le résula resque omum our les comosaes carograhables mas l y a des exemles lus comlexes. Das ADE-4, o aelle l'aalyse locale aalyse de Geary e l'aalyse e comosaes carograhables aalyse de Mora Veceurs rores de vosages Les oéraeurs de vosage 5 doe ef ue soluo à ue queso comlexe. Ceras sysèmes résee ue srucure de vosage rès arculère qu e suore as l'ulsao de coordoées (x, y). La roxmé saale de deux oulaos de ossos e se mesure as à vol d'oseaux, mas le log du réseau avec éveuelleme Bosasque / BSA.doc / Page 7 / h://bl.uv-lyo.fr/r/doees/bsa.df

18 D. Chessel & J. Thoulouse - Bomére e Bologe Evoluve - Uversé Lyo u assage das l'océa. S o veu ulser la sraége de reréseao de l'esace ar u ableau, o a beso de codes umérques qu e so as des olyômes e x e y mas qu rede come des délacemes oeels das l'esace éudé. Ue soluo géérale es doée ar les veceurs rores de P. a b c a - grahe de vosage al, b - lse des arêes, c - marce de vosage. La marce M (0-0) déf la marce D (ods de vosages) e la marce P. La dagoalsao de D P four ue base de veceurs rores D-orhogoaux, c'es à dre (c 0) codes umérques de moyees ulles, de varaces (odérao de vosage) égales à, de covaraces ulles e ragées ar auocovaraces (Mora) décrossaes. Les valeurs rores so osves (scores lsses) us ulles us égaves. O ulse les remères our umérser l'esace : a b c d Bosasque / BSA.doc / Page 8 / h://bl.uv-lyo.fr/r/doees/bsa.df

19 D. Chessel & J. Thoulouse - Bomére e Bologe Evoluve - Uversé Lyo a - les valeurs rores, b - les 6 remers veceurs rores de vosage, c - osos des os à l'ade des deux remers veceurs rores de vosage, d - les derers veceurs rores de vosage so d'dce de Geary maxmum. 5. Tableaux, grahes e dsaces Nous veos de vor ue echque our asser d'u grahe de vosage à u ableau. Quad les doées forme luseurs ableaux aarés, l'esace y redra lace avec u ableau de coordoées ou de veceurs rores de vosage. Les oéraos verses de ableaux à dsaces ou de dsaces à grahes de vosage so égaleme ossbles e ules. 5.. Les marces de dsaces Les doées e résece-absece euve êre rasformées e marces de dsace. Deux objes (e écologe, lges ou coloes d u ableau floro-fausques) so comarés sur ue lse de valeurs. Ces valeurs so rédues e 0- ( s la valeur es srceme osve, 0 so). Deux relevés so as comarés ar la lse des esèces résees, deux esèces so comarées ar la lse des relevés das lesquels elles so résees. Ces lses o la forme : es le ombre d eregsremes, a es le ombre de cocordaces, b le ombre de cocordaces 0, c le ombre de cocordaces 0 e d le ombre de cocordaces 00. As deux esèces so résees esemble das u même relevé a fos, deux relevés ossède a esèces e commu. Les deux objes défsse doc la able de cogece - : Les quare ombres de la able défsse ue smlaré ere les deux objes. O eu ulser : a S = a + b + c Idce de commuaué de Jaccard a + d S = Idce de Soal & Mcheer a S3 = a + ( b + c) Idce de Soal & Seah a + d S4 = a + ( b + c) + d Idce de Rogers e Tamoo a S5 = a + b + c Idce de Sorese Bosasque / BSA.doc / Page 9 / h://bl.uv-lyo.fr/r/doees/bsa.df

20 D. Chessel & J. Thoulouse - Bomére e Bologe Evoluve - Uversé Lyo a ( b + c) + d S6 = Idce de Gower & Legedre a S7 = Idce de Ocha ( a + b) ( a + c) ad S8 = Idce de Socal & Seah a + b ( a + c) d + b ( d + c S 8 ( ) ( ) ) ad bc = Ph de Pearso ( a + b) ( a + c) ( d + b) ( d + c) a S 0 = avec l ué s les deux objes so deques O rouvera les référeces d orge das 7. Ces dces so ous féreurs ou égaux à e la dsace assocée es défe ar : D = S Les doées quaaves euve égaleme êre rasformées e marce de dsaces : Dsace de Mahaa, ou cy bloc, ou de Gower 97a (référece. 0 das 8 ), ou D3 de Gower & Legedre 7 : d x x j (, j) = = avec = ( x ) ( x ) r r max = m= Dsace de Mahaa, ou de Ca & Harrso (référece. 0 das 8 ), ou D3 de Gower & Legedre 7 : x x j d(, j) = = avec r = ( ) r = x m e m = = x Dsace de Caberra, ou de Lace & Wllams (référece. 0 das 8 ), ou D7 de Gower & Legedre 7 : x x j d3(, j) = = x + x Dsace de Bray-Curs ou de Odum (référeces. 0 das 8 ), ou D8 de Gower & Legedre 7 : d, j 4 ( ) = = = x x x + x Dsace D5 de Gower & Legedre 7 our doées osves seuleme : j j j Bosasque / BSA.doc / Page 0 / h://bl.uv-lyo.fr/r/doees/bsa.df

21 D. Chessel & J. Thoulouse - Bomére e Bologe Evoluve - Uversé Lyo d 5 (, j) = ( x x j ) ( x x ) = + j Dsace D9 de Gower & Legedre 7 our doées osves seuleme : d 6 (, j) = = = x ( x, x ) Bosasque / BSA.doc / Page / h://bl.uv-lyo.fr/r/doees/bsa.df x max Dsace D0 de Gower & Legedre 7 our doées osves seuleme : m( x ) ( ) = ( ) =, x j d7, j max x, x j Les doées e rooro o égaleme leurs dsaces sécfques, arm lesquelles o rouve les dsaces gééques sur u locus : Dsace d (vor formule (5.7). 68). d = q Dsace d (dce de chevaucheme de che, vor formule (5.8). 68). Dsace de Rogers : Dsace de Ne : Dsace de Edwards : d = d 3 = d4 = l d = 5 q ( q ) Les dsaces gééques s'éede aux doées mullocus. So A u ableau de fréqueces allélques avec lges (oulaos) e m coloes (allèles). So v le ombre de loc. Le locus j a m(j) allèles. m v = j = m q q Pour la ème lge e la ème modalé de la varable j, o oe la valeur j v, e m(j)), la valeur du ableau des doées brues. So : + m( j ) a j = = a j ( j) j q q j aj e j = + a j a j (,

22 D. Chessel & J. Thoulouse - Bomére e Bologe Evoluve - Uversé Lyo So le ableau = [ ] P e les aramères : j + m( j) v v j = j = , + = j = v, ++ = + = v Les lus coues so : Dsace de Rogers 9 (Vor 0 ) : = j= j= D Dsace de Ne (Vor 0 ) : v m( ) ( a, b) = ( aj ) v = j= bj D ( a b), = L v = j= v m = j= ( ) ( ) v m( ) ( ) ( ) aj m aj bj = j= bj Dsace de Edwards (Vor 3 ) : D ( a, b) v m( ) ( bj ) aj v 3 = = j= Ef, oue méhode d'aalyse de doées basée sur u schéma du ye : X Q D X déf ue marce de dsaces ar la relao fodameale (, ) 'es e re exhausve. 5.. L'arbre de logueur mmale d x y = x y Q. La lse O ulse e gééral les marces de dsaces das les classfcaos. Ue raque éressae cosse à les rasformer e grahe de vosage ar l'observao suvae. Bosasque / BSA.doc / Page / h://bl.uv-lyo.fr/r/doees/bsa.df

23 D. Chessel & J. Thoulouse - Bomére e Bologe Evoluve - Uversé Lyo S os doe ue marce de dsaces (-) D = dj, o eu assocer à chaque grahe sur ce esemble sa logueur, c'es à dre la somme des logueurs de ses arêes e arbua à la logueur de l'arêe qu rele à j la dsace d j. Parm les grahes coexes (ceux formés d'ue seule comosae coexe qu ermee de asser d'u o quelcoque à u aure ar ue sue d'arêes), l e exse u ou luseurs qu résee ue logueur mmale. Ce ou ces grahes omaux so sas cycles (sue d'arêes qu boucle) car o ourra elever ue arêe e dmuer la logueur. U grahe coexe e sas cycle es aelé u arbre e o obe le ou les arbres de logueur mmale (s oues les dsaces so dfférees, la soluo es uque). Vor das 4 ( ) la réseao de ros algorhmes e leurs jusfcaos. O eu rechercher u ouvel arbre de logueur mmale qu 'ulse aucue des arêes du récéde e as de sue. O obe des grahes de vosage qu rede come de la marce de dsaces. O se ser des arbres de logueur mmale our rodure la sasque o aramérque sur des doées mulvarées 5. O rerésee auss les arbres de logueur mmale sur les cares facorelles our comeser les déformaos de la rojeco Reréseaos eucldees Les ableaux de doées euve êre rasformés e marces de dsaces. L'verse es l ossble? Pas oujours, mas l'oérao, quad elle es ossble es for ule. La queso se ose as : quad o a u ableau de doées à coloes o eu reréseer u uage de o e défr ue marce de dsaces : Quad o a la marce de dsace, comme savor s l exse u uage de os do o a récséme les dsaces deux à deux? E s'l exse comme le cosrure e rerouver u ableau : Bosasque / BSA.doc / Page 3 / h://bl.uv-lyo.fr/r/doees/bsa.df

24 D. Chessel & J. Thoulouse - Bomére e Bologe Evoluve - Uversé Lyo Le roblème e la soluo so de Gower 6. E gééral, la queso es : éa doée ue marce de dsaces eés exse 'l os D ere = dj M das u esace euclde de dmeso els que : d = M M? j j S c'es le cas, l'esace ossède ue base orhoormée das laquelle le o coordoées qu'o eu mere sur la lge d'u ableau X. La marce alors les rodus scalares M M j. Or : j = j = + j j d M M M M M M M a des XX coe Sas ere de gééralés o eu suoser que le cere de gravé du uage es à l'orge (so o le raslae) e doc que M 0 = =. O cosdère alors la marce des valeurs H = d j. O calcule la moyee ar lges m, la moyee ar coloe m e la moyee géérale m : j m M M m M M m M = j j = j j= = = = La marce H cerée ar lge e ar coloe vau alors : H = dj m mj + m = XX Toues ses valeurs rores so osves ou ulles. Récroqueme s la marce des carrés des dsaces doubleme cerées a oues ses valeurs osves ou ulles : H = = UΛ U = UΛ Λ U = XX d j Les carrés des dsaces ere les lges de X so les carrés des dsaces d'orge. Doc our ue marce de dsace D quelcoque de deux choses l'ue : Bosasque / BSA.doc / Page 4 / h://bl.uv-lyo.fr/r/doees/bsa.df

25 D. Chessel & J. Thoulouse - Bomére e Bologe Evoluve - Uversé Lyo - ou be d j qu es symérque a oues ses valeurs rores osves ou ulles. O d qu'elle es eucldee. La marce X= U Λ doe les coordoées d'u uage de os do les dsaces so celles de déar. X es de reréseao eucldee de D. Ces coordoées so ragées ar ordre décrossa de varace e s o ulse les remères our vor ue rojeco du uage sur ses axes rcaux o d qu'o fa ue Aalyse e coordoées rcales (PCOA). - ou be d j qu es symérque a des valeurs rores égaves. O d qu'elle 'es as eucldee. La reréseao eucldee 'exse as e la PCOA 'a as leu d'êre. E raque o fa souve "comme s" e gora le roblème des valeurs rores égaves. Gower e Legedre 7 o éudé le caracère euclde ou o de ombreuses dsaces e o sa souve s o chos ue méhode de calcul qu doera ou o ue marce de dsaces eucldees. Par exemle oues les dsaces basées sur des dces de smlaré so eucldees alors que les dsaces les lus ulsées e gééque e le so as. Deux résulas fodameaux cofore l'érê des dsaces eucldees. - Quad ue marce de dsaces 'es as eucldee, o sa calculer 8 la lus ee cosae c qu assure que la dsace dj + c jes eucldee. - Quad ue marce de dsaces 'es as eucldee, o sa calculer 9 la lus ee cosae c qu assure que la dsace dj + c jes eucldee. a b Bosasque / BSA.doc / Page 5 / h://bl.uv-lyo.fr/r/doees/bsa.df

26 D. Chessel & J. Thoulouse - Bomére e Bologe Evoluve - Uversé Lyo Mlford d = 0. Te_Aau Queesow Fraz_Josef Greymouh Nelso vercargll Alexadra Balcluha Dued Tmaru Chrschurch Blehem c Fraz_Josef d = 0. Queesow Mlford Te_Aau Alexadra Greymouh Ivercargll Dued Chrschurch Tmaru Blehem Nelso Balcluha d Fraz_Josef d = 0. Mlford Queesow Te_Aau Alexadra Greymouh Ivercargll Dued Tmaru Chrschurch Blehem Nelso Balcluha e a - Care de dsoso de 3 vlles de Nouvelle-Zélade. b - Reréseao des coordoées carésees arès dgalsao. c - Reréseao eucldee de la dsace caoque calculée sur les coordoées carésees. La dsace rouère 'es as eucldee. d - Reréseao eucldee (la -) de la marce obeue ar la rasformao de Lgoes. e - Reréseao eucldee (la -) de la marce obeue ar la cosae addve de Callez. La remère rasformao es cosellée das 30. O eu doc, e aalyse mulvarée de doées saalsées rodure les doées so comme ableaux so comme dsaces e l'esace so comme ableau, so comme dsace, so comme grahe de vosage. Il s'e su ue rès grade dversé des raques e l'absece de méhodes sadardsées. Bosasque / BSA.doc / Page 6 / h://bl.uv-lyo.fr/r/doees/bsa.df

27 6. U exemle D. Chessel & J. Thoulouse - Bomére e Bologe Evoluve - Uversé Lyo U exemle rès caracérsque de la dversé des méhodes coula esace e mulvaré es roosé das 3. Le jusfcaf es exemlare : Poulao geec heory redcs ha la oulaos wll exhb eral saal auocorrelao whe roagule flow s resrced, bu as a emrcal realy, saal srucure s rarely cosse across loc or ses, ad s geeraly wea. A lac of sesvy he sascal rocedures may exla he dscreacy. Mos wor o dae, based o allozymes, has volved aer aalyss for dvdual alleles, bu ew PCR-based geec marers are comg vogue, wh vasly creased umber of alleles. The feld s badly eed of a exlcly mulvarae aroach ha s alcable o mulallelc codoma, mullocus array. The rocedure reas he geec daa se as a whole, sregheg he saal sgal ad reducg he sochasc(allele-oallele, ad locus-o-locus) ose. Il s'ag doc de couler u ableau massveme mulvaré (à deux veaux) avec l'esace. We () develo a very geeral mulvarae mehod, based o geec dsace mehods, () llusrae for mulallelc codoma loc, ad () rovde o aramerc ermuaoal esg rocedures for he full correlogram. Les dvdus sasques so des orgasmes aya sub u yage mullocus. La remère are ore doc sur l'aroche des doées. Les dsaces gééques so déermées e gééral ere groues ou oulaos au ses large à arr des fréqueces allélques das les groues alors qu'c o a beso d'ue dsace ere dvdus. Le codage es du ye our u homozygoe e du ye 0000 our u héérozygoe. Pour u locus la dsace roosée ere deux dvdus x e y es la moé de la mérque eucldee caoque : d x y ( ) K xy = = O eu rodure ue odérao our er lus come des allèles rares avec : d = w x y K ( ) avec xy = w = e la recommadao K = N + N +. O recoaî, à ue cosae rès, la mérque de l'aalyse des corresodaces modfée ar u argume d'esmaeur mos basé. L'esseel es que les doées so morées das l'aalyse ar ue marce de dsace eucldee, caoque ou o. O a ue dsace ar locus e ue dsace oale so L + marces de dsaces. Les marces de dsaces so dreceme écres avec les carrés : D = d j, D = d j,..., DL = d jl, D = dj+ dj d jl Bosasque / BSA.doc / Page 7 / h://bl.uv-lyo.fr/r/doees/bsa.df

28 D. Chessel & J. Thoulouse - Bomére e Bologe Evoluve - Uversé Lyo Le roblème des K-ableaux se ose c comme roblèmes des K-dsaces e déba e sasque mahémaque deus 3. L'aalyse se oursuva our chacue des dsaces e la dsace globale, ous e coservos ue, ar exemle D. E se référa à 6, les aueurs défsse alors la geec covarace marx C ar : N N N ( = j= ) ( j ) c = d + d + d N d N j j j j j / so exaceme la marce C= d j = XX. Doc les doées so raées ar la marce des rodus scalares de la reréseao eucldee assocée à la dsace gééque. Es alors abordée l'sero de l'esace ar le bas d'u grahe de vosage avec ue oo d'échelle. La fgure exlcave du chox es exlce : X () = ( ) X = O recoaî les marces du ye N + M des relaos de vosage au as (os relés ar ue arêes) us au as (os relés ar u chem de logueur ) ec. Cec erme d'ober ue auocorrélao saale au as h ar (formule ) : N ( ) ( j ) = ( ) N ( ) h h h j j r x c x c = Cee quaé s'écr, arce que oues les marces so symérques : Bosasque / BSA.doc / Page 8 / h://bl.uv-lyo.fr/r/doees/bsa.df

29 D. Chessel & J. Thoulouse - Bomére e Bologe Evoluve - Uversé Lyo r Trace ( ) ( MXX h ) Trace( NXX ) Trace = = Trace ( X PX) ( X DX) O es doc exaceme sur l'dce de Mora mulvaré avec u es de ermuao du ye es de Mael exécué sur la reréseao eucldee. Das la verso d'ade-4 les varables so ormalsées our la odérao de vosage e le déomaeur es égal au ombre de varables. Ic o fa le raor de la covarace de vosage à la varace oale, ce qu es u chox auss légme. Ue queso es ouvere : o eu se demader s le assage marce de doées vers marce de dsace us marce de dsaces vers marce de rodus scalares e doe as le même résula que le assage drec marce de doées vers marce de rodus scalares. 7. Référeces Geary, R.C. (954) The coguy rao ad sascal mag. The cororaed Sasca : 5, 3, Clff, A.D. & Ord, J.K. (973) Saal auocorrelao. Po, Lodo Lebar, L. (969) Aalyse sasque de la coguïé. Publcao de l'isu de Sasques de l'uversé de Pars : 8, Lgh, R.J. & Margol, B.H. (97) A aalyss of varace for caegorcal daa. Joural of he Amerca Sascal Assocao : 66, Thoulouse, J., Chessel, D. & Chamely, S. (995) Mulvarae aalyss of saal aers: a ufed aroach o local ad global srucures. Evromeal ad Ecologcal Sascs :, Mora, P.A.P. (948) The erreao of sascal mas. Joural of he Royal Sascal Socey, B : 0, Wareberg, D. (985c) Mulvarae saal correlaos: a mehod for exloraory geograhcal aalyss. Geograhcal Aalyss : 7, 4, Wareberg, D.E. (985b) Saal auocorrelao as a crero for reag facors ordaos of geograhc daa. Mahemacal Geology : 7, Wareberg, D.E. (985a) Caocal red surface aalyss: a mehod for descrbg geograhc aer. Sysemac Zoology : 34(3), Mael, N. (967) The deeco of dsease cluserg ad a geeralzed regresso aroach. Cacer Research : 7, Maly, B.F. (994) Mulvarae Sascal Mehods. A rmer. Secod edo. Chama & Hall, Lodo. -5. Gros, G. (978) Srucure e échalloage des eulemes soaés de frambosers (Rubus Idaeus L.) das les Vosges. Thèse de 3 cycle, INRA, Colmar Besse, Ph. (979) Eude descrve d'u rocessus ; aroxmao, erolao. Thèse de 3 cycle, Uversé Paul Sabaer. Toulouse. 4 Chamely, S. (994) Aalyse de doées focoelles - Aroxmao ar les sles de régresso. Thèse de Docora, Uversé Lyo Bae, T.A. & Lebar, L.. (984) Local ad Paral Prcal Comoe Aalyss (PCA) ad Corresodece Aalyss (CA). I : COMPSTAT 84. Ieraoal Assocao for Sascal Comug. (Ed.) Physca-Verlag, Vea Bosasque / BSA.doc / Page 9 / h://bl.uv-lyo.fr/r/doees/bsa.df

30 D. Chessel & J. Thoulouse - Bomére e Bologe Evoluve - Uversé Lyo 6 Maly, B.F.J. (99) Radomzao ad Moe Carlo mehods bology. Chama ad Hall, Lodo Legedre, L. & Legedre, P. (984b) Ecologe umérque. Tome - La srucure des doées écologques. Masso, Pars. ème édo revue e augmeée : Vor. 6 e suvaes. 8 Dgby, P. G. N. & Kemo, R. A.. (987) Mulvarae Aalyss of Ecologcal Commues. Chama ad Hall, Poulao ad Commuy Bology Seres, Lodo (.96). 9 Rogers, J.S. (97) Measures of geec smlary ad geec dsaces. Sudes Geecs, Uv. Texas Publ. 73: Avse, J.C. (994) Molecular marers, aural hsory ad evoluo. Chama & Hall, Lodo. - 5 (. 95). Ne, M. (97) Geec dsaces bewee oulaos. Amerca Naurals : Edwards, A.W.F. (97) Dsace bewee oulaos o he bass of gee frequeces. Bomercs : 7, Harl, D.L. & Clar, A.G. (989) Prcles of oulao geecs. Sauer Assocaes, Suderlad, Massachusses. -68 (. 303). 4 Lebar, L., Moreau, A. & Pro, M. (995) Sasque exloraore muldmesoelle. Duod, Pars Fredma, J.H. & Rafsy, L.C. (979) Mulvarae geeralzaos of he Wald-Wolfowz ad Smrov wo-samle ess. The Aals of Sascs : 7, Gower, J.C. (966) Some dsace roeres of lae roo ad vecor mehods used mulvarae aalyss. Bomera : 53, Gower, J.C. & Legedre, P. (986) Merc ad Eucldea roeres of dssmlary coeffces. Joural of Classfcao : 3, Callez, F. (983) The aalycal soluo of he addve cosa roblem. Psychomera : 48, Lgoes, J.C. (97) Somme boudary codos for a moooe aalyss of symmerc marces. Psychomera : 36, Legedre, P. & Aderso, M.J. (999) Dsace-based redudacy aalyss: esg mulseces resoses mulfacoral ecologcal exermes. Ecologcal Moograhs : 69, Smouse, P.E. & Peaall, R. (999) Saal auocorrelao aalyss of dvdual mulallele ad mullocus geec srucure. Heredy : 8, Gower, J.C. (975) Geeralzed rocuses aalyss. Psychomera : 40, Bosasque / BSA.doc / Page 30 / h://bl.uv-lyo.fr/r/doees/bsa.df

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