Université Victor Segalen Bordeaux 2 Institut de Santé Publique, d Épidémiologie et de Développement (ISPED) Campus Numérique SEME

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1 Uiversité Victor Segale Bordeaux Istitut de Saté Publique, d Épidémiologie et de Développemet (ISPED) Campus Numérique SEME MODULE Pricipaux outils e statistique Versio du 8 août 008 Écrit par : Relu par : Geeviève Chêe, Mariae Savès Ahmadou Alioum, Marthe-Alie Jutad, Valériae Leroy, Louis-Rachid Salmi ISPED Campus Numérique SEME - A usage persoel For persoal use 1

2 SOMMAIRE Itroductio... 3 Différets types de variables... 3 I Itroductio... 3 II Variable catégorielle ou qualitative... 4 III Variable quatitative... 4 Représetatio des doées...5 I Itroductio... 5 II Tableau... 6 III Graphique Variable quatitative cotiue... 8 Variable catégorielle Paramètres décrivat ue distributio I Itroductio II Paramètres de tedace cetrale Variable quatitative Variable catégorielle ou quatitative discrétisée III Paramètres de dispersio Lois e statistique I Itroductio II Rappels sur les probabilités III Loi Normale et so usage Pricipes de l aalyse des doées e statistique... 0 I Itroductio... 0 II Étape de descriptio : estimatio Itroductio... 0 Fluctuatios d échatilloage : exemple d ue moyee, variable quatitative Itervalle de cofiace d ue moyee, grads échatillos... 4 Itervalle de cofiace d ue moyee, petits échatillos Itervalle de cofiace d ue proportio, grads échatillos... 4 III Étape de comparaiso : test d hypothèse Itroductio... 5 Test d hypothèse : raisoemet gééral et exemple Comparaiso de moyees selo deux modalités d ue variable catégorielle... 9 A Comparaiso de deux moyees observées lorsque les groupes sot idépedats... 9 B Comparaiso de deux moyees observées lorsque les groupes sot appariés Comparaiso de proportios etre deux groupes d ue variable catégorielle... 3 A Chi- d idépedace pour u tableau x... 3 B Chi- d ajustemet pour u tableau x C Chi- pour séries appariées Choix du test statistique Référeces bibliographiques ISPED Campus Numérique SEME - A usage persoel For persoal use

3 L épidémiologie s appuie très largemet sur les outils statistiques, qu il s agisse de la moyee, de l'écart-type, de la proportio, de l'itervalle de cofiace, mais aussi des tests statistiques. Les otios de base e statistique utiles à la pratique de l épidémiologie sot doc abordées dès ce module, car elles serot essetielles tout au log de cette formatio e épidémiologie. Itroductio La statistique est ue «méthode de raisoemet permettat d iterpréter le gere de doées très particulières, qu o recotre otammet das les scieces de la vie, dot le caractère essetiel est la variabilité» (D. Schwartz). E cela, c est u outil idispesable à l iterprétatio des résultats des equêtes épidémiologiques. La variabilité est u caractère essetiel des êtres vivats et doc de l être humai, e particulier. Par exemple, certaies caractéristiques de l être humai, comme le poids ou la quatité de sucre das le sag, variet d u sujet à l autre ou de l eface à l âge adulte, parfois même d u momet à l autre de la jourée. La présece d ue maladie peut égalemet expliquer la variabilité d ue caractéristique. Par exemple, au cours de certaies maladies, le ombre de globules rouges circulat par uité de volume de sag peut être plus bas, témoigat d ue aémie. L épidémiologiste est cofroté e permaece à ce phéomèe de variabilité car les questios qu il essaie de résoudre sot à l échelo d u groupe, d ue populatio et o pas d u seul idividu. Ue des solutios est de décrire les propriétés moyees des groupes d idividus. Pour cela, le traitemet des doées et la commuicatio des résultats écessitet l utilisatio de la statistique. Par ailleurs, le plus souvet, l étude de la populatio etière est raremet possible car elle est trop vaste : des milliers, voire des cetaies de milliers de sujets. Même si c était possible, il faudrait des moyes trop importats. Il faut doc se résoudre à sélectioer u échatillo, le décrire et e tirer des coclusios sur la populatio (iférece). Là ecore, la méthode statistique est idispesable. Au total, la méthode statistique iterviet à tous les échelos d ue equête dot l objectif est de recueillir des iformatios sur u groupe d idividus : choix du meilleur schéma d étude, recueil des doées, aalyse des doées. Il coviet doc de bie e coaître les grads pricipes et les outils de base. Mais, avat tout, il vous faut bie compredre la ature des iformatios qui sot recueillies afi de choisir esuite les méthodes les plus appropriées pour les iterpréter. Remarque : tout au log de ce chapitre, les formules mathématiques ot été simplifiées aussi souvet que possible. Différets types de variables I Itroductio Ue variable est ue caractéristique dot o peut observer des valeurs différetes au sei d u groupe de sujets. Ue variable peut être de ature catégorielle ou de ature quatitative. ISPED Campus Numérique SEME - A usage persoel For persoal use 3

4 Das la suite de ce chapitre, vous verrez que les modes de représetatio et les méthodes d aalyse diffèret selo que l o a affaire à ue variable catégorielle ou à ue variable quatitative. Il est doc importat de bie compredre leurs différeces pour les distiguer avec assurace. II Variable catégorielle ou qualitative Ue variable dite catégorielle ou qualitative est ue caractéristique ayat u certai ombre de catégories ou modalités, exhaustives et mutuellemet exclusives : exhaustives car toutes les modalités possibles sot citées, mutuellemet exclusives car chaque idividu peut être classé das ue catégorie et ue seule. Quad il s agit de classer les sujets selo deux catégories, la variable catégorielle est dite dichotomique (ou biaire). Par exemple, si l o déombre les hommes et les femmes das u groupe, la variable «sexe» est ue variable catégorielle à deux catégories : «hommes» et «femmes». O peut égalemet classer les sujets selo qu ils sot fumeurs ou o fumeurs, selo qu ils sot atteits ou o d allergie, selo qu ils ressetet ou o ue douleur. Certaies caractéristiques se décrivet aturellemet e plus de deux catégories. Certaies de ces variables catégorielles sot dites omiales : chaque classe désige ue catégorie de sujets (elle les omme). Il existe pas d ordre aturel etre les catégories. C est, par exemple, le cas du groupe sagui : A / B / AB / O ou ecore de la situatio familiale : marié / vivat e couple / célibataire / divorcé / séparé / veuf. Pour d autres variables, il existe u ordre aturel etre les différetes catégories. Ces variables sot dites ordiales. Par exemple, lorsque l o iterroge des sujets sur la sévérité d ue douleur : au lieu de deux catégories (douleur / pas de douleur), o peut classer les idividus selo les catégories suivates : aucue / miime / modérée / sévère / isupportable. La trasformatio d ue variable catégorielle ordiale e variable catégorielle dichotomique est toujours possible. L aalyse des doées est simplifiée, mais la trasformatio aboutit à ue perte d iformatio. Par exemple, si la sévérité de la douleur a été recueillie selo les catégories : «aucue / miime / modérée / sévère / isupportable», o peut être mois précis e classat les sujets selo les catégories : «douleur / pas de douleur» d ue variable catégorielle dichotomique. III Variable quatitative Les valeurs d ue variable quatitative sot obteues par u istrumet de mesure ou le résultat d u déombremet. Elles sot souvet accompagées d ue uité de mesure. Avec ue telle variable, o peut toujours répodre à ue questio commeçat par : «combie?». Ue variable est cotiue si elle peut predre, e théorie, u ombre ifii de valeurs das u itervalle doé, et si la précisio avec laquelle o la mesure e déped que de l exactitude de l istrumet de mesure. L âge, la pressio artérielle systolique et la quatité de sucre das le sag e sot des exemples. ISPED Campus Numérique SEME - A usage persoel For persoal use 4

5 Lorsque l o arrodit la valeur obteue, o dit que l o discrétise cette variable cotiue, car o lui impose de predre certaies valeurs. Par exemple, au lieu d exprimer l âge calculé de la date de aissace au jour de visite d u sujet e jours, o exprime courammet l âge e aées (, 3, 4 as, etc.) ou ecore de dix as e dix as (0 à 9, 30 à 39 as, etc.). Das le premier exemple, l itervalle etre chaque valeur a ue amplitude d ue aée, das le deuxième exemple, l amplitude d itervalle est de 10 as. Si les itervalles e sot pas de même amplitude, o parle plutôt de regroupemet. Par exemple, pour décrire l âge d efats vus das ue cosultatio pédiatrique, o peut utiliser les regroupemets : «0-3 mois», «4 11 mois», «1-3 as», «4-10 as». O parle égalemet de variable discrète lorsque la variable est, à l origie, ue variable qui e peut predre que certaies valeurs umériques. Par exemple, le ombre d efats d ue famille est ue variable quatitative discrète qui peut predre les valeurs : 0, 1,, 3, 4, 5, Ue famille e peut avoir 1,4 efats, i,5 efats. Au premier abord, la distictio est doc pas simple etre certaies variables catégorielles ordiales, comme le stade d u cacer, qui pourrait être codé par exemple 1,, 3 ou 4 et les variables quatitatives discrètes, comme le ombre d efats. U petit test est éamois facile à réaliser pour distiguer les deux types de variables. Pour ue variable catégorielle ordiale, chaque différece etre les catégories e sigifie pas la même chose. E revache, pour ue variable quatitative discrète, chaque différece etre les catégories a toujours la même sigificatio sur toute l étedue des valeurs. Par exemple, pour la variable «stade de cacer», o e peut pas dire que le stade est deux fois plus grave que le stade 1 ; c est doc ue variable catégorielle ordiale. Pour la variable «ombre d efats», o peut dire que deux efats, c est deux fois plus que u, et que trois efats c est trois fois plus que u ; c est doc ue variable quatitative discrète. Représetatio des doées I Itroductio Décrire les doées que l o a rassemblées pour répodre à ue questio est ue première étape très importate e épidémiologie. Pour chaque type de variable, catégorielle ou quatitative, il existe des formes de représetatios différetes qui permettet d avoir ue première impressio visuelle. O peut utiliser u tableau ou u graphique. Si u tableau est plus utile pour préseter de faço complète et précise les doées, u graphique est, e revache, plus utile pour doer ue impressio visuelle immédiate. Le pricipal critère de choix réside doc das la faço dot o souhaite commuiquer les résultats : si l o souhaite disposer de l esemble des résultats chiffrés, o choisira plutôt u tableau ; si l o souhaite visualiser ue tedace évolutive, o choisira plutôt u graphique. O veillera à e pas représeter les mêmes doées par u tableau plus u graphique, mais à choisir l u ou l autre. Par ailleurs, il doit exister ue cohérece (format du titre, coteu) etre des doées similaires das u même tableau ou u même graphique, ou etre des tableaux (ou des graphiques) similaires. ISPED Campus Numérique SEME - A usage persoel For persoal use 5

6 Quelle que soit la forme de représetatio des doées, quelques pricipes simples doivet être appliqués afi que l iterprétatio soit évidete pour les lecteurs : - chacue de ces représetatios doit être lisible idépedammet de so évetuel texte d accompagemet, - elles doivet doc toujours être dotées d u titre iformatif, c est-à-dire doat suffisammet d iformatios sur la populatio, le lieu et la période d étude - les acroymes doivet être défiis (par exemple, e ote sous le tableau ou le graphique, ou das le titre), - si seuls des pourcetages sot présetés (sas les effectifs correspodats), il faut préciser l effectif total à partir duquel ils ot été calculés das le titre - les uités de mesure doivet systématiquemet être idiquées pour les variables quatitatives (exemple : aées pour la variable âge). Elles doivet figurer ue seule fois à côté du om de la variable. C est égalemet le cas pour le caractère % e ce qui cocere les variables catégorielles. Efi, das le documet rapportat les résultats d ue étude, il faudra savoir préseter les pricipaux résultats das le corps du documet, et les résultats secodaires e aexe. II Tableau U tableau est ue représetatio des doées, utilisable quelle que soit la ature de la variable à représeter, quatitative ou catégorielle. La costructio d u tableau permet de disposer de l esemble des doées. La présetatio des doées sous forme de tableau est particulièremet idiquée pour des doées répétées et précises. Comme il s agit souvet de ombreux chiffres, il est importat de simplifier le plus possible la présetatio. Le tableau le plus simple a deux coloes. Das la première coloe, figure la liste des catégories d ue variable catégorielle ou des regroupemets d ue variable quatitative. Das la secode coloe, figuret les effectifs correspodat à chacue de ces catégories. Par exemple, das ue equête étudiat la relatio etre tabac et cacer du poumo, o décrit les différetes catégories de cosommateurs de tabac : jamais fumeur / ex-fumeur / tabac blod / tabac bru / tabac mixte. Le tableau OUTILS-STAT-1 permet de doer le ombre de sujets pour chaque catégorie de la variable «cosommatio de tabac» (variable catégorielle). Tableau OUTILS-STAT-1. Répartitio des idividus selo le type de cosommatio de tabac. Étude de Fictif et al., Cosommatio de tabac Nombre de sujets Jamais 500 Ex-fumeur 100 Tabac blod 00 Tabac bru 100 Tabac mixte 100 Total 1000 La costructio d u tableau obéit à quelques règles géérales : 1) il existe toujours u badeau de titre pour idiquer la ature des iformatios figurat das les coloes, ce badeau a u trait horizotal au-dessus et au-dessous, la tête de coloe permet d idiquer la ature de la variable figurat das cette coloe, ISPED Campus Numérique SEME - A usage persoel For persoal use 6

7 ) u trait horizotal figure au-dessous de la derière lige, 3) e dehors de ces traits permettat de souliger les badeaux, aucu autre trait est utile, e particulier aucu trait vertical, 4) les chiffres sot aligés par coloe : sur le derier chiffre de droite (s il s agit d etiers) ou sur la virgule (s ils sot exprimés avec ue décimale), 5) pour ue même variable, le même ombre de chiffres après la décimale est employé ; e fraçais, le séparateur décimal est la virgule, das le système aglo-saxo, c est le poit qui est employé, Par exemple, o e préseterait pas ue proportio de 5,% pour ue catégorie et 34% pour ue autre. O choisirait 5% et 34% ou 5,% et 34,0%, 6) les totaux, s il y a lieu, doivet être doés, 7) le séparateur des milliers est u espace (et o u poit comme das le système aglosaxo) ; o peut égalemet e pas marquer la séparatio. Efi, par covetio, le titre d u tableau figure au-dessus du tableau. Le tableau OUTILS-STAT- permet de représeter les doées d âge (variable quatitative) de 10 femmes veues e cosultatio das u cetre de dépistage du cacer du sei. Ce tableau illustre égalemet l applicatio des règles simples de costructio d u tableau. La proportio correspod au rapport de l effectif sur le total. Tableau OUTILS-STAT-. Distributio selo l âge de 10 femmes ayat cosulté das le cetre de Maville etre octobre et décembre 000. Représetatio par u tableau. Age (e aées) Effectif Proportio e % , , ,3 47 1, ,3 53 3, , , , , , , , , , , , , , , ,3 7 3,5 73 3,5 76 1,7 78 1,7 Total ,0 ISPED Campus Numérique SEME - A usage persoel For persoal use 7

8 O pourra égalemet effectuer des regroupemets permettat de préseter les résultats de maière plus sythétique (Tableau OUTILS-STAT-3). Tableau OUTILS-STAT-3. Répartitio par catégories d âge de 10 femmes ayat cosulté das le cetre de Maville, octobre-décembre 000. Age (e aées) Effectif Proportio e % Fréquece cumulée e % ,7 1, ,0 6, ,0 16, ,3 35, ,7 71, ,7 88, ,3 96, ,3 100,0 Total ,0 Ces doées permettet de calculer très facilemet la fréquece cumulée à la bore supérieure d ue catégorie, résultat qui vous sera souvet utile. La fréquece cumulée est la proportio d observatios das toutes les catégories précédetes ajoutée à celle de la catégorie présete. Ces catégories représetet toutes les doées (l exhaustivité des doées) et sot mutuellemet exclusives. Par exemple, pour trouver la fréquece cumulée à 49 as, o va additioer la proportio das la catégorie «40-44» et celle das la catégorie «45-49». L écriture «40-44» sous-eted que toutes les valeurs etre 40 et 44 as sot icluses, ou ecore de 40 as exactemet à 44,99 as (la valeur 45 as exactemet état exclue). D après le tableau OUTILS-STAT-3, la fréquece cumulée à 49 as est de 6,7% (1,7% + 5,0%) : 6,7% des femmes avaiet mois de 50 as. L exame du tableau OUTILS-STAT-3 permet d apporter ue répose descriptive à la questio iitiale : les femmes de 60 as et plus sot plus ombreuses que celles de mois de 60 as. La catégorie d âge la plus représetée est celle des femmes ayat etre 60 et 64 as. III Graphique Le graphique permet essetiellemet de visualiser u phéomèe remarquable : cotrastes ou tedaces. L œil doit pouvoir observer les chagemets des valeurs e ordoée (échelle verticale) pour u chagemet d uité, de classe ou de modalité e abscisse (échelle horizotale). Le choix etre les graphiques possibles repose essetiellemet sur le type et le ombre de variables à représeter. Par covetio, le titre d u graphique figure au-dessous du graphique. Das ce paragraphe, vous verrez les pricipes de costructio de graphiques simples. 1 Variable quatitative cotiue Pour ue variable quatitative cotiue, si les bores (valeur miimale et maximale) sot coues, le choix se porte sur l histogramme ou le polygoe de fréquece. L histogramme est u graphique où l axe des abscisses représete les valeurs de la variable, regroupées e classes, et l ordoée représete l effectif ou la fréquece de chacue des classes. ISPED Campus Numérique SEME - A usage persoel For persoal use 8

9 Par exemple, u histogramme permet de représeter la distributio de l âge des femmes veues e cosultatio au cetre de dépistage (Figure OUTILS-STAT-1). Effectif pour ue amplitude de 5 as [40-45[ [45-50[ [50-55[ [55-60[ [60-65[ [65-70[ [70-75[ [75-80[ Age (as) Figure OUTILS-STAT-1. Distributio selo l âge des 10 femmes ayat cosulté das le cetre de Maville etre octobre et décembre 000. Représetatio par u histogramme. L exame de cet histogramme permet d apporter ue répose descriptive plus visuelle qu u tableau à la questio iitiale : les femmes de 60 as et plus sot plus ombreuses que celles ayat mois de 60 as. Par ailleurs, u graphique doe ue boe idée de la dispersio des valeurs autour de la catégorie d âge la plus représetée. E revache, il est plus difficile de coaître le ombre exact d idividus das chaque itervalle. L itégrité statistique des représetatios graphiques des variables quatitatives repose sur u certai ombre de règles : 1) le choix de l échelle doit être correct pour e pas exagérer ou sous-estimer u chagemet et, par coséquet, doer ue impressio fausse des doées. La distace etre les marques de graduatio doit doc être proportioelle à l amplitude réelle des catégories. Das l exemple, u itervalle d amplitude 5 as a été choisi et la distace sur l axe des abscisses est exactemet la même etre 40 et 44 as, etre 45 et 49 as et aisi de suite. ) l axe des abscisses doit couvrir toute l étedue des doées possibles. Das l exemple, la plus petite valeur est 43 as et la plus grade est 76 as. Les extrémités du graphique vot doc de 40 à 80 as. 3) la variable état cotiue, il e peut y avoir d espace etre la base des différets rectagles e abscisse. Das l exemple, chaque rectagle est cotigu au rectagle précédet et au suivat. Il y a ue exceptio à cette règle si ue catégorie a u effectif ul, car, das ce cas, aucu rectagle occupe l itervalle. Ue astuce si vous travaillez sur MS-Excel TM : par défaut, ce logiciel laisse u espace etre les différets rectagles. Il faut alors double-cliquer sur l u des rectagles. La feêtre «Format de série de doées» apparaît. Il faut cliquer sur l oglet «Optios» et choisir ue largeur d itervalle égale à 0. ISPED Campus Numérique SEME - A usage persoel For persoal use 9

10 Les graphiques tridimesioels e respectet pas les règles d itégrité statistique à cause de la distorsio liée à la perspective : ils sot doc décoseillés. Par exemple, das la figure OUTILS-STAT-, la perspective choisie distord la tedace et doe l impressio que les femmes âgées de mois de 60 as sot plus ombreuses que les autres. 45 Effectif pour ue amplitude de 5 as [40-45[ [45-50[ [50-55[ [55-60[ [60-65[ [65-70[ [70-75[ [75-80[ Age (as) Figure OUTILS-STAT-. Distributio selo l âge des 10 femmes ayat cosulté das le cetre de Maville etre octobre et décembre 000. Représetatio par u histogramme e 3 dimesios d ue variable à ue dimesio. Exemple de distorsio liée à la perspective. Le polygoe de fréquece est la courbe qui joit les milieux des sommets des rectagles de l histogramme. Le terme est gééral, car o peut faire la représetatio de chaque catégorie d âge soit e foctio de so effectif, soit e foctio de sa fréquece. 50 Effectif pour ue amplitude de 5 as [35-40[ [40-45[ [45-50[ [50-55[ [55-60[ [60-65[ [65-70[ [70-75[ [75-80[ [80-85[ Age (as) Figure OUTILS-STAT-3. Distributio de l âge des 10 femmes ayat cosulté das le cetre de Maville etre octobre et décembre 000. Représetatio par u polygoe de fréquece. ISPED Campus Numérique SEME - A usage persoel For persoal use 10

11 Le polygoe de fréquece cumulée est la courbe qui joit les valeurs des fréqueces cumulées de chaque classe. U exemple de calcul des fréqueces cumulées figure das le tableau OUTILS-STAT-3 Le tracé correspodat à ces doées est celui de la figure OUTILS-STAT Effectif pour ue amplitude de 5 as [40-45[ [45-50[ [50-55[ [55-60[ [60-65[ [65-70[ [70-75[ [75-80[ Age (as) Figure OUTILS-STAT-4. Distributio de l âge des 10 femmes ayat cosulté das le cetre de Maville, octobre-décembre 000. Représetatio par u polygoe de fréquece cumulée. E pratique, si l o e dispose pas de logiciel adapté, ces graphiques peuvet être tracés à la mai sur du papier à carreaux ou du papier millimétré. Si l o dispose d u tableur, MS- Excel par exemple, il est facile de trouver ce type de représetatio ; il faut veiller éamois au respect des règles d itégrité statistique, e particulier la règle 3. Efi, tous les logiciels statistiques courammet utilisés ot u module graphique permettat de réaliser ce type de graphique. Variable catégorielle O présete le ombre ou la proportio de sujets das chaque catégorie. Le graphique permettat cette représetatio est le diagramme à barres. Chaque barre a la même largeur, et cotrairemet à l histogramme, u espace est laissé etre chaque barre. Si l o repred l exemple du tabac (Tableau OUTILS-STAT-1), o obtiet la figure OUTILS-STAT-5. ISPED Campus Numérique SEME - A usage persoel For persoal use 11

12 Nombre de sujets Jamais Ex-fumeur Tabac bod Tabac bru Tabac mixte Type de cosommatio tabagique Figure OUTILS-STAT-5. Descriptio de la cosommatio de tabac à l iclusio das ue étude du risque de cacer du poumo chez 1000 sujets. Représetatio à l aide d u diagramme à barres. Le graphique e secteurs ou «camembert» illustre égalemet la répartitio d ue variable catégorielle. Il ous semble éamois iutile pour deux raisos : 1) il e respecte pas les règles d itégrité statistique car ue surface est pas adaptée pour représeter ue seule dimesio et le risque de distorsio optique est d autat plus importat que l o emploie plusieurs couleurs ou hachures ; ) il est le plus souvet peu iformatif e comparaiso à u tableau. Jamais Ex-fumeur Tabac bod Tabac bru Tabac mixte Figure OUTILS-STAT-6. Descriptio de la cosommatio de tabac à l iclusio das ue étude du risque de cacer du poumo chez 1000 sujets. Représetatio à l aide d u diagramme e secteurs e dimesios d ue iformatio à ue dimesio. ISPED Campus Numérique SEME - A usage persoel For persoal use 1

13 Paramètres décrivat ue distributio I Itroductio Vous avez vu que la plupart des caractéristiques permettat de décrire les êtres vivats ot pas ue valeur uique. L esemble des valeurs observées sur u échatillo pour ue caractéristique est sa distributio observée. Pour doer u ses aux doées dot il dispose, l épidémiologiste va devoir les résumer. Il va utiliser pour cela des paramètres, qui sot des foctios des observatios : les «paramètres de tedace cetrale», comme la moyee ou la médiae ; ou les «paramètres de dispersio», comme la variace, l étedue et les percetiles. Nous allos aborder la défiitio de ces termes et l usage de ces paramètres das ce ouveau chapitre. II Paramètres de tedace cetrale 1 Variable quatitative Pour ue variable quatitative, ue faço simple de résumer les valeurs obteues sur u échatillo est d utiliser la moyee arithmétique, appelée plus courammet moyee. La moyee est obteue e faisat la somme des valeurs, puis e divisat cette somme par le ombre de valeurs, oté ici. Par exemple, si vous recueillez l âge e aées d ue populatio de ciq femmes qui vieet d accoucher de leur premier efat : 4, 17, 35, 37, 3. La somme est : 145 as, et comme il y a 5 valeurs, la moyee est : 145/5=9 as. L âge moye des femmes à l accouchemet de leur premier efat est doc, pour la série de valeurs mesurées au sei de cet échatillo, de 9 as. Chaque valeur est otée x i. Das l exemple, o a doc : = 4, = 17, = 35, = 37, x = 3. La somme est otée x i i= 1 x i i= derière) et la moyee, μ, est doc : μ = 1. x1 x x3 x4 5 (c est-à-dire : somme de toutes les valeurs de la première à la Ue autre faço de résumer les valeurs est d utiliser la médiae. La médiae est la valeur cetrale de la distributio, qui divise l échatillo e deux moitiés de taille égale. Pour trouver la médiae, il faut d abord classer toutes les observatios par ordre croissat. Si le ombre d observatios est impair, la médiae est la valeur correspodat à ( +1) l observatio située au milieu, celle située au ème rag. Pour otre série de 5 observatios d âge, après avoir ordoé les observatios de faço croissate, la série s écrit : 17, 4, 3, 35, 37 et l o voit facilemet que la médiae est égale à 3 as. La médiae correspod bie à la valeur de la 3 ème observatio, car : (5+1)/ = 3. Si est u ombre pair, o cosidère que la médiae est à mi-chemi etre les deux valeurs du milieu de la distributio (puisque l o cherche la médiae, syoyme de milieu). ISPED Campus Numérique SEME - A usage persoel For persoal use 13

14 Par exemple, pour ue série de 8 observatios d âge : 17, 4, 7, 7, 9, 3, 35, 37, la médiae se situe etre la valeur de la 4 ème observatio (7 as) et celle de la 5 ème observatio (9 as), car (8+1)/ = 4,5. La médiae vaut doc : (7 + 9)/ = 8 as. Efi, le mode est, par défiitio, la valeur la plus représetée de la série. Ue série peut e pas avoir de mode ou au cotraire avoir plusieurs modes. Par exemple, pour la série des 8 observatios d âge, le mode est 7 as, car cette valeur apparaît deux fois, alors que les autres valeurs apparaisset qu ue seule fois. La 1 ère série des 5 valeurs d âge (17, 4, 3, 35, 37) a pas de mode. Das la série suivate : 17, 4, 7, 7, 9, 9, 3, 35, 37, il existe deux modes : 7 as et 9 as, valeurs qui apparaisset deux fois, alors que toutes les autres apparaisset qu ue seule fois. Das ce cas, o parle de distributio bimodale. Variable catégorielle ou quatitative discrétisée Pour ue variable catégorielle, qu elle soit dichotomique, omiale ou ordiale, o présete la proportio des sujets das les différetes catégories. Par exemple, parmi 100 malades atteits d arthrite rhumatoïde, o observe 76 femmes et 4 hommes. La proportio de femmes est le ombre de femmes rapporté au ombre total de sujets, soit 76%. La proportio d hommes est de 4%. Cette descriptio selo les proportios peut égalemet être utilisée pour ue variable quatitative dot les valeurs ot été discrétisées ou bie regroupées. Par exemple, si l o repred la série de femmes ayat cosulté das u cetre de dépistage du cacer du sei, la proportio de femmes ayat plus de 60 as est 70/10, soit 58,3%. La fréquece cumulée à la bore supérieure de classe, que vous avez déjà vue lors du chapitre sur la représetatio des doées, est la proportio des observatios das toutes les classes précédetes ajoutée à celle de la classe présete. Elle est utile pour ue variable quatitative ayat fait l objet d ue discrétisatio (Tableau OUTILS-STAT-3) ; elle est égalemet utile pour ue variable catégorielle ordiale. III Paramètres de dispersio Les paramètres qui vieet d être cités sot tous des paramètres qui résumet la tedace cetrale des observatios, mais e doet pas ue idée de leur dispersio. Or, la dispersio des valeurs est importate à predre e compte das l iterprétatio des résultats et les décisios qui e découlet. Par exemple, si l o s itéresse à la durée d icubatio d ue ifectio (délai etre la date d expositio à l aget ifectieux et la date du diagostic), calculer que la moyee vaut 13 jours apporte pas ue iformatio suffisate pour evisager les mesures pertietes d observatio ou d isolemet à predre pour les sujets qui sot exposés à l aget ifectieux. E effet, o e recommaderait pas de garder les patiets seulemet 13 jours e observatio ou e isolemet parce que la moyee des observatios est de 13 jours. E fait, o a égalemet besoi de savoir combie de persoes développet la maladie au 14 ème jour, au 15 ème jour, etc. ISPED Campus Numérique SEME - A usage persoel For persoal use 14

15 Afi d apprécier la distributio observée d ue variable quatitative autour de la moyee ou de la médiae, o peut simplemet repérer la plus petite (miimum) et la plus grade valeur (maximum) de la distributio : il s agit de l étedue des observatios. O peut égalemet etedre par étedue la différece etre valeurs miimum et maximum. Si l o présete la différece, il est recommadé de doer égalemet la valeur miimum ou maximum. Par exemple, das la série suivate de valeurs d âge (e aées) : 17, 4, 7, 7, 9, 9, 3, 35, 37, le miimum est 17 as et le maximum est 37 as. L étedue est as. O peut aussi cosidérer que l étedue est de 0 as. Néamois, l étedue est souvet isuffisate pour résumer la dispersio d ue distributio, car les valeurs extrêmes sot assez particulières. Les quatiles sot les valeurs d ue distributio défiies par la proportio de sujets qui se trouvet au-dessous et au-dessus de cette valeur. O parle de quartiles, déciles, percetiles. Les quartiles sot les trois valeurs qui partaget la distributio e quatre parties égales. Le premier quartile correspod à la valeur de l observatio qui a 5% de la distributio audessous et 75% au-dessus, le secod quartile est doc la médiae, et le troisième quartile correspod à la valeur de l observatio qui a 75% de la distributio au-dessous et 5% audessus. Par exemple, la durée de survie de 4 patiets atteits de cacer digestif a été recueillie lors d ue cosultatio de suivi de gastro-etérologie. La série de valeurs est ordoée de maière croissate (Tableau OUTILS-STAT-4). Tableau OUTILS-STAT-4. Durée de la survie (e mois) de 4 patiets atteits de cacer digestif. Service de gastro-etérologie de l hôpital de Maville, 000. Survie (mois) Survie (mois) Survie (mois) Survie (mois) Survie (mois) Survie (mois) Il y a au total 4 observatios et la médiae correspod à la valeur située etre le rag 1 et le rag, car : (4+1)/ = 1,5. Comme la durée de survie est respectivemet de 38 et 40 mois à ces deux rags, la médiae vaut ( )/ = 39 mois. Pour trouver la valeur de l observatio correspodat aux 1 er et 3 ème quartiles, o peut procéder avec la même méthode. Le rag du 1 er quartile est : (+1)/4. Das l exemple, o trouve (4+1)/4 = 10,75 et il s agit doc d ue valeur située etre la valeur classée au 10 ème rag (17 mois) et celle classée au 11 ème rag (3 mois). Si l o utilise le même pricipe de calcul que pour la médiae, le 1 er quartile vaut (17+3)/ = 0 mois (ou de faço plus précise : ,75x(3-17) = 1,5 mois). Le rag du 3 ème quartile est (+1) x (3/4). Das l exemple, 43 x (3/4) vaut 3,5. Or, la valeur au 3 ème rag et la valeur au 33 ème rag valet toutes deux 58 mois. Le 3 ème quartile de cette distributio est doc 58 mois. ISPED Campus Numérique SEME - A usage persoel For persoal use 15

16 Plutôt que les quartiles, o présete souvet l étedue iter-quartiles (5% à 75%) qui est doc la partie cetrale qui couvre 50% de la distributio observée. Das l exemple, l étedue iter-quartiles est 0-58 mois. O peut raisoer de la même maière avec les quitiles, les déciles ou les cetiles (percetiles), partageat la distributio e 10 ou 100 parties égales, respectivemet. O peut aisi calculer la valeur correspodat au 5 ème percetile et au 95 ème percetile et obteir l étedue cetrale couvrat 90% de la distributio observée. Ue autre faço de mesurer la variabilité cosiste à calculer la variace, σ², qui est ue mesure des distaces de chaque idividu à la moyee : ( xi μ) i= 1 σ = La variace a l uité de la variable au carré. Par exemple, pour la variace de l âge, il peut s agir d aées au carré (aées²) ou de jours au carré (jours²). Pour exprimer la variabilité das la même uité que les valeurs observées, o e pred la racie carrée, qui s appelle l écart-type (ou écart-type iter-idividuel) : ( xi μ) i= 1 σ = O utilise plus souvet l écriture suivate, plus commode à utiliser pour les calculs mauels : σ = i= 1 ( x ) i xi i= 1 Par exemple, pour les ciq valeurs d âge de l exemple iitial de ce chapitre, o trouve : Tableau OUTILS-STAT-5. Exemple de décompositio du calcul pour la variace et l écart-type. Série de 5 valeurs d âge. Age (e aées), Age au carré (e aées au carré), x i x i x i i= 1 Total : =145 x i i= 1 ( ) = 4483 ISPED Campus Numérique SEME - A usage persoel For persoal use 16

17 σ = = 7,5as Variace et écart-type sot très itéressats à titre descriptif car ils permettet d apprécier à quel poit la distributio est dispersée. Plus la variace et l écart-type sot grads, plus la dispersio est grade (pour ue même variable). Lois e statistique I Itroductio Comme il est habituellemet impossible d étudier la populatio etière, o dispose le plus souvet de doées sur u échatillo d idividus. O utilise alors les iformatios obteues sur cet échatillo pour e tirer des coclusios sur l esemble de la populatio que cet échatillo est supposé représeter. L échatillo est cosidéré représetatif de cette populatio s il a pas fait l objet d ue sélectio particulière. La méthode idéale pour costituer u échatillo représetatif d ue populatio est le tirage au sort. Das ce chapitre, vous verrez commet les probabilités et les lois de probabilité cotribuet à utiliser les iformatios obteues à partir d u échatillo pour appréheder la populatio. L exemple de la loi Normale permettra d illustrer ces otios. II Rappels sur les probabilités La probabilité d u évéemet est la proportio de fois où cet évéemet se produit si o répète à l ifii les coditios où il peut se produire. Par défiitio, la valeur d ue probabilité est comprise etre 0 et 1 (ou 0% et 100%). U évéemet impossible, qui e peut se produire, a ue probabilité de 0. U évéemet certai, qui se produit toujours, a ue probabilité de 1. III Loi Normale et so usage Das l échatillo dot ous disposos, ous savos décrire la distributio observée d ue variable quatitative cotiue. Si l o souhaite utiliser ces iformatios pour e déduire ce qui se passe das la populatio dot cet échatillo est issu et représetatif, il faut faire l hypothèse que la variable suit, das la populatio, ue distributio théorique ou loi de probabilité. Cette loi de probabilité est spécifiée mathématiquemet. Das cette écriture mathématique, la loi déped de paramètres. La moyee, otée μ, et l écart-type, oté σ, sot, par exemple, les paramètres de la distributio théorique la plus utilisée, la loi Normale (ou loi de Gauss ; les majuscules N et G sot itetioelles). O ote N(μ,σ). O utilise des lettres grecques pour désiger la moyee et l écart-type de la populatio ou «théoriques». O appelle ces paramètres théoriques car ils e sot pas cous le plus souvet (o e coaît que les valeurs observées das l échatillo). L importace de la loi Normale est cosidérable das le domaie du vivat car de ombreuses variables aléatoires suivet cette loi, e théorie. La loi Normale a la forme d ue courbe e cloche comme o peut le voir sur la figure OUTILS-STAT-7. Elle ted à avoir u pic : o la dit uimodale (le pic correspod au mode). Le pic est obteu autour de la valeur moyee de la variable qui est aussi la valeur médiae. De plus, la distributio est symétrique autour de ce pic. ISPED Campus Numérique SEME - A usage persoel For persoal use 17

18 Toute distributio Normale peut être trasformée e ue seule distributio ayat pour moyee 0, et pour écart-type 1 : la distributio Normale, cetrée et réduite, otée : N(0,1). Commet faire? O soustrait à chaque valeur d ue distributio Normale quelcoque, la moyee, μ, et l o divise par l écart-type, σ. Cela reviet à écrire : μ x i σ O appelle cette quatité : l écart-réduit. La distributio de l écart-réduit suit ue loi N(0,1)..4.3 desité de probabilité écart-type Figure OUTILS-STAT-7. La distributio Normale de moyee 0 et d écart-type 1. L itérêt de cette trasformatio réside das les propriétés très itéressates de cette distributio. Avat de pouvoir explorer ces propriétés, ous avos besoi d u tableau appelé «Table de la loi ormale cetrée réduite» ou «Table de l écart-réduit». Vous pouvez le cosulter sur le site ou l imprimer. Das ce tableau, l écart-réduit est appelé U α. Commet l iterpréter? - à l itérieur du tableau, figuret les valeurs d ue distributio Normale cetrée réduite (les valeurs dites de U α, e valeur absolue) - et das les badeaux à gauche et au-dessus, figuret les valeurs des probabilités correspodates α. O trouve la probabilité α d observer des valeurs comprises etre ]- à U α [ et ]+U α à + [ e additioat la valeur correspodate de la lige sur le badeau à gauche et la valeur correspodate de la coloe sur le badeau de titre. Voici ue illustratio à partir de doées cocrètes. Das la populatio des hommes de as, la cocetratio moyee de cholestérol total das le sag est 1,84 g/l et l écart-type 0,40 g/l. O fait l hypothèse que la cocetratio de cholestérol total das le sag a ue distributio Normale. Questio : quelle est la probabilité d observer ue valeur de la cocetratio de cholestérol total >,50 g/l das le sag si μ = 1,84 g/l et σ = 0,4 g/l? Répose : selo l hypothèse d ue distributio Normale, o peut calculer de combie d écarts-types, la valeur,50 g/l est éloigée de la moyee : ISPED Campus Numérique SEME - A usage persoel For persoal use 18

19 = U α,50 1,84 = 1,65 0,4 ISPED Campus Numérique SEME - A usage persoel For persoal use 19

20 La valeur,50 g/l est éloigée de la moyee de 1,65 écarts-types. Das la table de la loi ormale cetrée réduite, o trouve que la probabilité d être e dehors de 1,65 écartstypes (au-dessous ou au-dessus) est α = 0,10. O e déduit que la probabilité de se situer au-dessus de 1,65 écarts-types est doc α/ = 0,10/ = 0,05. Autremet dit, 5% de la populatio a, e théorie, ue cocetratio de cholestérol total das le sag au-dessus de cette valeur de,50 g/l (Figure OUTILS-STAT-8). Figure OUTILS-STAT-8. Recherche de la probabilité d observer ue cocetratio de cholestérol total das le sag >,50 g/l, si μ = 1,84 g/l et σ = 0,4 g/l, das le cas d ue distributio ormale. Pricipes de l aalyse des doées e statistique I Itroductio Le plus souvet, o dispose de doées sur u échatillo et o utilise ces iformatios pour décrire la populatio dot cet échatillo est issu. L aalyse se déroule e deux étapes : 1) la 1 ère étape cosiste à doer ue descriptio résumée de la distributio de la variable. Par exemple, à la suite d ue grade equête sur u échatillo représetatif, o doe ue estimatio de la proportio de diabétiques ou ue estimatio de la cosommatio moyee d alcool e grammes par semaie das la populatio ; ) la de étape cosiste à comparer formellemet la distributio observée d ue variable das u échatillo par rapport à sa distributio attedue das la populatio ou à comparer la distributio observée das plusieurs groupes. Par exemple, das u essai cliique, o compare la fréquece des récidives de mélaome après la mise e route de deux traitemets différets ou, das ue equête visat à étudier l associatio etre tabac et cacer du poumo, o compare la proportio de sujets exposés au tabac selo que les sujets sot atteits de cacer du poumo (cas) ou o (témois). Das ce chapitre, vous verrez les grads pricipes de ces deux étapes. II Étape de descriptio : estimatio 1 Itroductio O souhaite utiliser les résultats obteus das u échatillo pour estimer la vraie valeur das la populatio. Par exemple, das u échatillo, o trouve que la pressio artérielle systolique moyee est 140 mmhg. Quelle iformatio sur la vraie valeur das la populatio ce résultat apporte-t-il? Faisos l hypothèse que l échatillo est représetatif de la populatio, c est-à-dire costitué sas biais, au mieux par tirage au sort. Si l o tirait au sort des échatillos successifs à ISPED Campus Numérique SEME - A usage persoel For persoal use 0

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