Chapitre III- 2- RÉGIME SINUSOÏDAL GÉNÉRALITÉS. 2π T II- GRANDEURS RELATIVES AU RÉGIME SINUSOÏDAL OBJECTIFS I- POURQUOI ÉTUDIER LE RÉGIME SINUSOÏDAL?

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1 OBJECTFS Chapre - - RÉGME SNSOÏDAL GÉNÉRALTÉS - Monrer l'mporance d régme snsoïdal en élecronqe e dans d'ares domanes. - Défnr les granders relaves à n sgnal snsoïdal. - Savor représener ne grander snsoïdale par n vecer de Fresnel o n nombre complee. - GRANDERS RELATVES A RÉGME SNSOÏDAL 1- Epresson emporelle ne grander snsoïdale s() es représené par l'epresson : s () S sn ( ω S es l'amplde ( le sgnal vare de +S à S ) es la varable représenan le emps en seconde ω es la plson en rad.s -1 θ es la phase à l'orgne en radan ( compable avec ω en radan ). - PORQO ÉTDER LE RÉGME SNSOÏDAL? S s() Dans beacop de domanes physqes, la représenaon dans le emps d'ne grander donne ne corbe snsoïdale. Des granders snsoïdales son renconrées, par eemple, dans les domanes svans : θ (rad) (s) Elecroechnqe : La enson d secer " EDF " es ne snsoïde de fréqence 5 Hz e de valer effcace 3V. Radodffson : Acosqe : Mécanqe : Elecronqe : Le sgnal porer de la saon FM " RTL " es ne snsoïde de fréqence 94,6 MHz. La noe " La " forne par n dapason es ne snsoïde de fréqence 44 Hz. La corse d'n pson dans son cylndre présene ne varaon qassnsoïdale. La enson a bornes d'n "qarz" q cadence le mcroprocesser d'n ordnaer es snsoïdale de fréqence spérere a GHz. La mse a pon d'n flre passe par ne éde harmonqe ( régme snsoïdal ). Remarqe : Lorsqe le sgnal n'es pas snsoïdal, on monrera q'l pe se décomposer en ne somme de plsers snsoïdes appelées harmonqes. L'éde d régme snsoïdal es donc nconornable dans beacop de domanes e en parcler en élecronqe. -S π ( rad ) Amplde : L'amplde S es la valer male d sgnal q va donc varer de +S à S. Plsaon : La plsaon représene l'angle ω parcor par la snsoïde dran ne seconde. La fréqence f représene le nombre de pérodes effecées dran ne seconde. Sachan q'ne pérode T représene n angle de π rad, les relaons enre ω, f e T son : rad.s -1 ω πf Hz rad.s -1 ω π T s 1 ST Elecronqe ( Physqe Applqée ) Chrsan BSSERES hp://cbssprof.free.fr Page 1 sr 5 Chapre -- "Régme snsoïdal-généralés"

2 Phase à l'orgne : La phase à l'orgne ( d emps ) représene le décalage anglare q'l fa effecer por qe la snsoïde so d ype " sn ω ". ne snsoïde q "passe par zéro" dans le sens crossan, possède ne phase à l'orgne nlle ( θ ). θ> s() Sgnal en "avance de phase" ( θ > ) π (s) s() θ< Sgnal en "reard de phase" ( θ < ) Remarqe : L'orgne des emps es chos arbraremen. Ce q es mporan c'es la phase enre de sgna; on prendra donc θ por le sgnal de référence e on parlera de dfférence de phase enre les de sgna. - Valer moyenne Dans la majoré des cas, les granders snsoïdales seron alernaves, c'es-à-dre à valer moyenne nlle. L'epresson s() S sn( ω lsée por n sgnal snsoïdal mplqe qe la valer moyenne noée < > so nlle. Dans o les chapres sr le régme snsoïdal, on prendra < sgnal >. 3- Valer effcace La valer effcace es la " racne carrée de la valer moyenne d carré". s() S sn ω + θ : Essayons d'eprmer la valer effcace de ( ) Eprmons s () : s () S sn ( ω [ ] s () S 1 cos ( ω S [ ( )] s () cos ω + θ. S S s () > cos ( ω [ ] Eprmons < s () > : < s () >< > < > cos ( ω < < car [ ] π > (s) Eprmons S eff noé S : S S eff S S. eff S S. Remarqe : La valer effcace d'n sgnal snsoïdal alernaf ne dépend pas de sa fréqence n de sa phase. Dans la se d cors, l'epresson emporelle d sgnal sera : Tensons (vols) ( ω s () S sn car S S Applcaon : La valer effcace de la enson d "secer" es de 3V ce q donne ne snsoïde d'amplde 3 35 V. - REPRÉSENTATON D'NE GRANDER SNSOÏDALE 1- Somme de de granders snsoïdales Dans le crc représené c-conre on a : () 1 () + () car la lo des malles e la lo des nœds ves en régme conn s'applqe a valers nsananées. Effecons la somme 1 () + () des ensons en ajoan pon par pon les de snsoïdes relaves à 1 () e (). () 3 sn 1π () sn 1π π / 3 On a ( ) e ( ) 1 On mesre se le graphe : 3,74V,65V. θ -4,9. ω 1π rad. θ 1 π Dpôle 1 Dpôle 1 (ms) 1 ST Elecronqe ( Physqe Applqée ) Chrsan BSSERES hp://cbssprof.free.fr Page sr 5 Chapre -- "Régme snsoïdal-généralés"

3 Remarqe : V ce q es dfféren de,65v donc 1 +. θ 1 + θ ce q es dfféren de θ -4,9 donc θ θ 1 + θ. La plsaon de () es égale à la plsaon de 1 () e de (). Blan : On ne do pas ajoer les valers effcaces! On ne do pas ajoer les phases à l'orgne! La somme de de snsoïdes de fréqence denqe donne ne are snsoïde à la même fréqence. L'évalaon de la somme de granders snsoïdales par addon des corbes pon par pon es ne méhode longe e mprécse. Nos allons lser d'ares ols por smplfer l'éde d régme snsoïdal. - Vecer de Fresnel Por n crc lnéare, les de granders varables en régme snsoïdal son la valer effcace e la phase à l'orgne. Nos allons vor q'l es possble de représener ces de granders à l'ade d'n vecer e d'n ae O comme repère de référence. Somme de de granders snsoïdales Reprenons l'eemple raé avec la méhode d'addon pon par pon avec : 1 () 3 sn( 1π) ; () sn( 1π π / 3) e () 1 () + (). On rappelle q'l fa prévor la valer effcace e la phase à l'orgne θ de (). Traçons les vecers 1 e relafs à 1 () e () ps effecons graphqemen la somme 1 + ( shéma c-dessos avec 1cm 1V por échelle) : Ense on mesre : Longer,65 cm so,65 V. Angle θ -41 so θ -,714 rad. Remarqe : La méhode des vecers de Fresnel es pls rapde qe la méhode d'addon pon par pon de 1 () e (). S on désre ne méhode non graphqe, l fadra lser la représenaon par des nombres complees. 3- Nombres complees θ θ 1 Défnon : Le vecer assocé a sgnal snsoïdal () es appelé vecer de Fresnel e a les propréés svanes : Son orgne es le pon. L'angle orené ( O, ) q'l fa avec l'ae de référence O es égal à la phase à l'orgne θ de () Sa longer (norme) représene la valer effcace de (). Eemple : So la enson () 1 sn( 1π + π / 3) 17V, le vecer de Fresnel assocé es représené c-dessos : () Longer 3cm n nombre complee pe avor ne représenaon vecorelle dans laqelle la longer e l'angle représenen respecvemen le modle e l'argmen d nombre complee représené. Rappel de Mahémaqes Le nombre complee z a + jb es composé d'ne pare réelle a e d'ne pare magnare b. La représenaon vecorelle OM d nombre complee perme de d'llsrer ses propréés : Représenaon carésenne : z a + jb Représenaon géomérqe : z ( Z, θ ) Avec modle Z a + b (ms) b Z snθ θ e argmen an 1 b θ s a >. θ Ae des réels a θ π /3 a a Z cosθ 1 ST Elecronqe ( Physqe Applqée ) Chrsan BSSERES hp://cbssprof.free.fr Echelle : 1cm 4V Page 3 sr 5 Chapre -- "Régme snsoïdal-généralés" b Ae des magnares Z M

4 Défnon : Le nombre complee (, θ ) assocé a sgnal snsoïdal () a les propréés svanes : Son modle représene la valer effcace de (). Son argmen θ représene la phase à l'orgne de (). Eemple : Prenons par eemple le coran snsoïdal () 5 sn( ω 3π / 4) (A). Le nombre complee assocé à () es : [ 5, 3π/4 ] (A) ( représenaon polare ). 5cos(-3π/4) + j5sn(-3π/4) -3,54 j3,54 (A) ( représenaon carésenne ). Somme de de granders snsoïdales Reprenons l'eemple raé avec la méhode d'addon pon par pon e les vecers de Fresnel avec : 3 sn( 1π) ; () sn( 1π π / 3) 1 () e () 1 () + (). On rappelle q'l fa prévor la valer effcace e la phase à l'orgne θ de (). La fgre c-dessos représene le chronogramme e la représenaon de Fresnel assocée : θ ϕ θ-θ () () S on s'néresse a reard de par rappor à, on pe défnr la grander ϕ θ -. Dans nore eemple, on a ϕ θ - π/ π/6 π/3. On dra qe le coran es en reard de π/3 par rappor à la enson. - Défnon On appelle déphasage ϕ de la enson par rappor a coran, la dfférence enre la phase à l'orgne θ de e la phase à l'orgne de. ϕ θ θ ϕ θ - θ Por addonner o sosrare des nombres complees, l es préférable d'lser la forme carésenne : 1 [ 3, ] 3cos() + j3sn() 1 3 (V). [, -π/3 ] cos(-π/3) + jsn(-π/3) -1 j1,73 (V). 1 + j1,73 (V) [, θ ] avec + 1,73,65 V. e θ an 1 1, V- DÉPHASAGE D CORANT PAR RAPPORT À LA TENSON 1- Ede d'n eemple Consdérons le dpôle lnéare représené c-dessos dans leqel on a : () sn( ω + θ ) avec θ e () sn( ω + θ ) avec θ π π 6 () Dpôle () Remarqe : ϕ > es en "reard" par rappor à. 3- Cas parclers ϕ rad 1 ST Elecronqe ( Physqe Applqée ) Chrsan BSSERES hp://cbssprof.free.fr Page 4 sr 5 ϕ θ-θ π rad Chapre -- "Régme snsoïdal-généralés" θ ϕ π rad θ e son en phase () () () ϕ θ-θ () e en phase e son en opposon de phase e en opposon de phase ϕ θ - θ θ ϕ θ - π rad

5 ϕ π rad es en qadrare reard par rappor à () () θ ϕ θ-θ π/ rad ϕ π rad es en qadrare avance par rappor à () () θ ϕ θ-θ π/ rad θ ϕ θ - π / rad θ ϕ θ - -π / rad Affchage d'ne dem-pérode sr nef dvsons en décalbran la base de emps : - Agr sr le boon de décalbrage de la base emps por fare coïncder ne dempérde sr 9 dvsons ( ne dvson représene alors 18/9 ) - comper le nombre de dvsons q représene le décalage : ϕ dv. Le résla en degrés es ϕ ϕ dv (degrés). Eemple : ϕ dv,8dv T / ϕ,8 56 Eremen mm por la mesre d décalage ( la pérode d sgnal do êre conne à l'avance ) 4- Méhodes de mesre de déphasage à l'osclloscope (de la mons précse à la pls précse ) Affchage d'ne pérode sans décalbrer la base de emps: l sff d'affcher ne pérode d sgnal e d'effecer les opéraons svanes - Comper le nombre de dvsons qe conen la pérode : T dv ; - comper le nombre de dvsons q représene le décalage : ϕ dv. ϕ Le résla en degrés es ϕ d v 36 (degrés). ϕ dv 1,3dv T dv ϕ Le résla en radans es ϕ dv π (radans). Eemple T dv Tdv 7,5dv ϕ 1,3 36 6,4 7,5 o ϕ 1,3 π 1,9 rad. 7,5 - Régler la base de emps por qe la poron des sgna représenan le décalage so male sr l'écran ( la base de emps ne do pas êre décalbrée ). - Mesrer le emps τ de décalage des de sgna. Le résla en degrés es ϕ τ 36 T (degrés). Le résla en radans es ϕ τ π (radans). T Eemple : Mesre d déphasage por des sgna de fréqence 5 khz ( T 1/5 µs ) τ -7,5 µ s/dv -15 µ s Calbre base de emps : µs/dv τ -7, µs 6 ϕ τ T 6.1 ϕ ϕ τ π 15.1 π T 6.1 ϕ -,471 rad. 1 ST Elecronqe ( Physqe Applqée ) Chrsan BSSERES hp://cbssprof.free.fr Page 5 sr 5 Chapre -- "Régme snsoïdal-généralés"