née le 3 juin 1967 mariée, quatre enfants (nés en 1994, 1996, 1998, 2004). clotilde.fermanian@u-pec.fr CURRICULUM VITAE

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1 Clotilde FERMANIAN KAMMERER Professeur Université Paris-Est Créteil, Laboratoire d Analyse et de Mathématiques Appliquées, UMR 8050 du CNRS 61 av. du Général de Gaulle, CRETEIL cedex. née le 3 juin 1967 mariée, quatre enfants (nés en 1994, 1996, 1998, 2004). clotilde.fermanian@u-pec.fr CURRICULUM VITAE : Ecole Normale Supérieure (Ulm). Agrégation de mathématiques : Thèse à l Université Paris-Sud sous la direction de P.Gérard: Equation de la chaleur et Mesures semi-classiques : Maître de conférences à l Université de Cergy-Pontoise, directeur d études IUFM de 1995 à : Délégation CNRS pour l année universitaire : Habilitation à diriger des recherches: Contribution à l analyse de phénomènes d oscillation et de concentration dans des équations aux dérivées partielles issues de la physique. soutenue le 11 décembre 2003 à l université de Cergy-Pontoise devant le jury composé de Y. Colin de Verdière, V. Georgescu, P. Gérard, E. Logak, F Nier, D. Robert : Délégation CNRS pour six mois : Professeur à l Université Paris : Délégation CNRS pour six mois. 1

2 Publications [1] H. Bahouri, I. Gallagher, C. Fermanian Kammerer : Phase space analysis on the Heisenberg group. ( (à paraître dans Astérisque). [2] R. Carles, C. Fermanian Kammerer : Nonlinear coherent states and Ehrenfest time for Schrodinger equation. Comm. Math. Phys., 301, 2 (2011), p [3] C. Fermanian Kammerer, V. Rousse : Semi-classical analysis of a conjoint crossing of three symmetric modes. ( (à paraître dans Meth. and Applications in Analysis). [4] T. Duyckaerts, T. Jecko, C. Fermanian Kammerer : Degenerated codimension 1 crossings and resolvent estimates, Asympt. Analysis, 3-4, p (2009). [5] R. Carles, C. Fermanian Kammerer, N. Mauser, H.-P. Stimming : On the time evolution of Wigner measures for Schrödinger equations. CPAA, 8, 2, p (2009). [6] C. Fermanian Kammerer, C. Lasser : Single switch surface hopping for molecular dynamics with transitions. Journal of Chemical Physics, 128, (2008). [7] C. Fermanian Kammerer, C. Lasser : Propagation through generic level crossings: a surface hopping semigroup. SIAM J. of Math. Anal., 140, 1, p (2008). [8] C. Fermanian Kammerer, V. Rousse : Resolvant estimates for a Schrödinger operator with matrix-valued potential presenting eigenvalue crossings. Application to Strichartz estimates, Comm. in Part. Diff. Eq. 33, 1, p (2008). [9] C. Fermanian Kammerer : Normal forms for conical intersections in quantum chemistry, Math. Phys. Elect. Jour., 13, N o 4 (2007). [10] C. Fermanian Kammerer : Semiclassical analysis of generic codimension 3 crossings. Int. Math. Res. Not. 45, p (2004). [11] A. Atallah-Baraket, C. Fermanian Kammerer : High frequency analysis of solutions to the equation of viscoelasticity of Kelvin-Voigt. J. Hyperbolic. Differ. Equ. 1, 4, p (2004). [12] C. Fermanian Kammerer : A non commutative Landau-Zener formula, Math. Nach. 271, p (2004). [13] C. Fermanian Kammerer : Semi-classical analysis of a Dirac equation without adiabatic decoupling, Monat. fur Math. 142, 4, p (2004). [14] C. Fermanian Kammerer, P. Gérard : A Landau-Zener formula for non-degenerated involutive codimension three crossings, Ann. Henri Poincaré, 4, p (2003). [15] C. Fermanian Kammerer : Wigner measures and molecular propagation through generic energy level crossings, Reviews in Mathematical Physics, 15, p (2003). [16] R. Carles, C. Fermanian Kammerer, I. Gallagher : On the role of quadratic oscillations in non linear Schrödinger equation. J.F.A., 203, 2, p (2003). [17] C. Fermanian Kammerer, C. Lasser : Wigner measures and codimension two crossings. Jour. Math. Phys. 44, 2, p (2003). [18] C. Fermanian Kammerer, P. Gérard : Mesures semi-classiques et croisements de modes. 2

3 Bull. Soc. math. France, 130, 1, p (2002). [19] C. Fermanian Kammerer : Propagation of concentration effects near shock hypersurfaces for the heat equation. Asymptotic Analysis, 24, p (2000). [20] C. Fermanian Kammerer, F. Merle, H. Zaag : Stability of the blow-up profile of nonlinear heat equations from the dynamical system point of view. Math. Ann. 317, p (2000). [21] C. Fermanian Kammerer, H. Zaag : Boundedness till blow-up of the difference of two given solutions of non linear heat equation. Nonlinearity, 13, p (2000). Notes aux Comptes-Rendus [22] H. Bahouri, I. Gallagher, C. Fermanian Kammerer : Analyse de l espace des phases et calcul pseudodifférentiel sur le groupe de Heisenberg. C. R. Acad. Sci. Paris. 347, Série 1, p (2009). [23] C. Fermanian Kammerer : Analyse à deux échelles d une suite bornée de L 2 sur une sous-variété du cotangent. C. R. Acad. Sci. Paris. 340, Série 1, p (2005). [24] C. Fermanian Kammerer, P. Gérard : Une formule de Landau-Zener pour un croisement non dégénéré et involutif de codimension 3. C. R. Acad. Sci. Paris. 335, Série 1, p (2002). [25] C. Fermanian Kammerer : Mesures semi classiques deux microlocales, C. R. Acad. Sci. Paris, 331, Série 1, p (2000). Actes de Colloques ou de Séminaires [26] C. Fermanian Kammerer : Propagation des mesures de Wigner à travers un croisement de codimension 1 dégénéré. Séminaire Equations aux Dérivées Partielles , Mai 2009, Ecole Polytechnique. [27] C. Fermanian Kammerer, C. Lasser : An algorithme for quantum propagation through electron level crossings. Exposé au colloque EDP de Forges-les-Eaux, juin [28] C. Fermanian Kammerer, P. Gérard : Two scale Wigner measures and the Landau- Zener formulas. Multiscale Methods in Quantum Mechanics, 59 68, Trends Math., Birkhïser Boston, Boston, MA, [29] C. Fermanian Kammerer, P. Gérard : Une formule de Landau-Zener pour un croisement générique de codimension 2. Séminaire Equations aux Dérivées Partielles , Exposé N o 21, Ecole Polytechnique. [30] C. Fermanian Kammerer, P. Gérard : Mesures semi-classiques et croisements de modes. Séminaire Equations aux Dérivées Partielles , Exposé N o 21, Ecole Polytechnique. [31] C. Fermanian Kammerer, P. Gérard : Landau-Zener formula for semi-classical measures. Dispersive Transport Equations and Multiscale Models, The IMA Volumes in Mathematics and its Applications, vol.136, N. BenAbdallah, A. Arnold, P. Degond, I. Gamba, R.T. Glassey, C.D. Levermore, Springer, p ,

4 Preprint [32] R. Carles, C. Fermanian Kammerer : A Nonlinear Adiabatic Theorem for Coherent States (preprint: [33] C. Fermanian Kammerer, C. Lasser : Single switch surface hopping for molecular dynamics. Soumis aux proceedings du colloque International meeting on Mathematical Methods for Ab Initio Quantum Chemistry Nice, Articles en préparation [34] C. Fermanian Kammerer, V. Rousse : Mathematical analysis of pseudo Jahn-Teller Hamiltonian. [35] C. Fermanian Kammerer, C. Lasser : Algorithmic resolution of avoided crossings. 4

5 1. Activités de recherche 1.1 Thèmes de recherche Ces dernières années, mes travaux se sont développés plus précisément dans deux domaines, l analyse et la physique mathématique. Dans les deux cas, la problématique relève de l analyse des Equations aux Dérivés Partielles. Avec Hajer Bahouri et Isabelle Gallagher, nous nous sommes intéressées à l analyse sur les groupes de Lie et plus particulièrement sur le groupe de Heisenberg. Ce groupe est le groupe de Lie non commutatif le plus simple et permet de tester beaucoup d idées; nous y avons développé un calcul pseudodifférentiel. Rappelons que les opérateurs pseudodifférentiels permettent de rassembler dans une même classe d opérateur les opérateurs différentiels et les multiplicateurs de Fourier. Le calcul pseudodifférentiel sur l espace euclidien est à la source de nombreux progrès concernant l analyse des solutions d équations aux dérivées partielles. Nous avons donc trouvé intéressant d étendre ce calcul au cas du groupe de Heisenberg; ce travail de recherche a donné lieu à un article d une centaine de pages accepté pour publication dans la revue Astérisque. La deuxième direction de recherche que j ai eue ces dernières années concerne la physique mathématique et l étude de modèles issus de la chimie quantique. La dynamique moléculaire est décrite dans le cadre de l approximation de Born-Oppenheimer par une équation de Schrödinger avec petit paramètre. Je me suis intéressée à des systèmes d équations de Schrödinger couplées par un potentiel linéaire matriciel ou par une non-linéarité. La première difficulté concerne le problème connu en chimie quantique sous le nom d intersection conique: l équation de Schrödinger étudiée présente un potentiel linéaire matriciel avec des croisements de valeurs propres. Dans ce cas, on assiste à des phénomènes d échanges d énergie assez complexes qui intéressent au plus haut point les chimistes. Je travaille dans cette thématique depuis plusieurs années; avec Patrick Gérard, nous avons apporté des réponses théoriques explicitant le fonctionnement de ces échanges et avec Caroline Lasser, nous avons développé des algorithmes de calcul pour la chimie quantique, travaux qui ont d ailleurs donné lieu à une publication dans une revue de chimie. Plus récemment, j ai étudié un croisement simultané de trois valeurs propres avec Vidian Rousse et des situations dégénérées avec Thomas Duyckaerts et Thierry Jecko, apportant ainsi des éléments de compréhension pour certains problèmes de la thématique. En parallèlle, nous avons cherché avec Caroline Lasser à développer notre algorithme de calcul pour la chimie quantique: nous avons un travail de synthèse en cours de rédaction concernant les croisements évités et un travail en préparation qui vise à traiter les interférences (ces notions sont expliquées dans le rapport détaillé de l Annexe 1). Jusqu ici, nous n avions considéré que le couplage par le potentiel linéaire. La présence d un couplage par la non-linéarité induit des difficultés typiques des équations aux dérivées partielles non-linéaires. De tels modèles apparaissent en physique dans le cadre de la 5

6 modélisation des condensats de Bose-Einstein moléculaires (cf. Annexe 1 pour plus de détails). Avec Rémi Carles, nous nous sommes intéressés au cas où la donné initiale est un paquet d onde. Dans un premier article publié dans Communication in Mathematical Physics, avons montré que la solution de l équation non-linéaire a alors des caractéristiques similaires: la solution reste un paquet d onde dont on connait les paramètres sur des temps très longs (du l ordre du logarithme du petit paramètre, un tel temps est appelé temps d Ehrenfest). L équation considérée dans ce travail est scalaire, nous avons ensuite étudié le cas de systèmes dans un travail actuellement soumis où nous démontrons un théorème adiabatique non-linéaire en dimension 1 et pour ce type de donnés. Le travail de thèse de Lysianne Hari s inscrit dans la continuité de ces travaux: l objectif à terme est de comprendre comment se fait l articulation entre un couplage par le potentiel et le couplage non-linéaire. Je détaille plus précisément mes travaux et mes projets dans le rapport détaillé qui suit en Annexe 1 et on trouvera en Annexe 2 une liste de publications. 1.2 Séminaires et invitations : cf. liste de l Annexe Activités d encadrement et d animation de la recherche Organisation de séminaires et de colloques : Depuis Septembre 2007, je suis co-organisatrice avec S. Nonnenmacher du Séminaire Problèmes spectraux en physique mathématique qui a lieu à l IHP: Depuis janvier 2008, je suis organisatrice du groupe de travail d EDP à Paris 12 En juin 2008, j ai organisé avec M. Lewin un colloque de deux jours à l Université de Cergy-Pontoise en l honneur de Vladimir Georgescu. En , je me suis occupée avec M. Lewin du groupe de travail de Physique Mathématique de l Université Cergy-Pontoise ainsi que de la coordination des Journées Thématiques de Cergy. Je suis par ailleurs co-organisateur de quatre de ces journées (trois en 2007 et une en 2008). En , j ai organisé avec Z. Djadli le Séminaire Jeunes de Cergy-Pontoise qui visait à présenter des domaines de recherche aux étudiants de maîtrise, DEA et aux doctorants de l équipe. 6

7 Activités de vulgarisation : : En 2007 et 2008, j ai assuré des préconférences pour le cycle Un texte, un mathématicien qui a lieu à la bibliothèque nationale. Il s agissait d intervenir auprès de lycéens afin de les préparer à suivre la conférence de J.-Y. Chemin sur Leray ainsi que celle de C. Soulé consacrée au triangle de Pascal. Encadrement de mémoire et direction de thèse : Depuis septembre 2010, je dirige la thèse de Lysianne Hari en cotutelle avec Thomas Duyckaerts Encadrement du mémoire de M2 de Lysianne Hari: Autour de l existence de solutions pour une équation de Schrödinger non linéaire non autonome (en codirection avec Thomas Duyckaerts) Encadrement du mémoire de M2 de Cong Tai Dinh: Microlocal analysis on the Heisenberg group (en co-direction avec Sandrine Grellier) Encadrement du mémoire de M1 de Elhadj Moussa Ba: De la dérivation faible à la théorie des distributions Encadrement du mémoire de M1 de Oumar Ba et Mohammedou Youssouf Tandia: Equation de Schrödinger et analyse BKW Encadrement du mémoire de M2 de Dimbiniaina Rakotovao : Estimations de résolvante pour des opérateurs de Schrödinger semi-classiques Encadrement du mémoire de DEA de Anne-Cécile Dirheimer: Opérateurs pseudodifférentiels et mesures semi-classiques. 7

8 2. Activités d Enseignement Mon activité d enseignement s est déroulée dans le cadre des postes que j ai occupés à l université Paris-Sud tout d abord comme moniteur puis à l université de Cergy-Pontoise comme Maître de Conférence et enfin à Paris-Est Créteil comme Professeur. Dès mon recrutement à Cergy-Pontoise, j ai été responsable de formation et j ai eu à gérer les équipes pédagogiques des amphis dont j étais responsable. Je suis maintenant co-responsable du département de mathématiques de l UFR des Sciences de Paris-Est Créteil depuis l automne Je partage cette responsabilité avec Etienne Sandier membre de l Institut Universitaire de France. Je m occupe tout particulièrement de la répartition des enseignements et de l accueil des moniteurs et ATER. Nous avons à coeur de veiller sur nos meilleurs étudiants en leur proposant des cursus intéressants. Pour cette raison, depuis octobre 2008, nous avons ouvert un cursus sélectif permettant aux étudiants de suivre les deux licences Mathématiques et Informatique de l UPEC. Par ailleurs, nous avons mis en route un projet de partenariat avec la Faculté des Sciences de Tunis El-Manar au niveau du Master de Mathématiques, afin de l ouvrir sur d autres étudiants. Enfin, nous travaillons à la recherche de financement de bourses d excellence pour nos étudiants de Master. Je résume ci-dessous les responsabilités de filière ainsi que les nouvelles formations dont j ai contribué à la mise en place: Responsabilité du L1 Math-Info à l UPEC de janvier 2009 à juin Capes de mathématiques: Mise en place de la préparation au Capes de mathématiques à Cergy-Pontoise en 1995 et responsabilité de cette préparation de 1995 à Formation continue: Ouverture à Cergy-Pontoise d une préparation à l agrégation interne de mathématiques en partenariat avec une enseignante de classes préparatoires du lycée d Enghien en septembre Tutorat en DEUG: Responsable du tutorat en mathématiques pour les étudiants de Deug SV, MIAS et SM de 2003 à 2006 à l Université de Cergy-Pontoise. Pour conclure, on trouvera ci-dessous un descriptif rapide des enseignements que j ai assurés. Mon activité d enseignement de ces dernières années est détaillée sur ma page web où l on trouve aussi mes notes de cours: Deug ou Licence 1 et 2: J ai enseigné en deug durant mon monitorat à l Université d Orsay. A Cergy, j ai assuré des travaux dirigés en Deug première et deuxième année 8

9 et ai eu en charge le cours d amphi de première année de deug (deuxième semestre) pendant trois ans ( ). A Créteil, j ai enseigné en L1 Math-Info (cours-td intégré d Arithmétique et Groupes et Cours d Algèbre linéaire) et en L2 de Math (cours et TD d Algèbre) ainsi qu en L2 de Sciences de l Ingénieur (Cours d Algèbre linéaire). Licence 3: J assure le cours desuites et Séries de Fonctions en L3 Math à Créteil depuis l automne A Cergy-Pontoise, je me suis occupée de travaux dirigés en Licence (L3) pour le cours d Intégration pendant quatre ans et pour celui de Probabilités pendant un an. Master 1: De 2008 à 2010, j ai assuré le cours d Equations aux Dérivées Partielles du M1 Math. Master 2: En , F. Germinet et moi-même avons assuré le cours Théorie spectrale des opérateurs de Schrödinger et application aux modèles aléatoires en M2 Math Recherche. Préparation au capes: Durant les quatre années pendant lesquelles j étais Directeur d Etudes IUFM ( ), c est au sein de la préparation au CAPES que j ai assuré la totalité de mon service (préparation à l écrit - analyse et algèbre, préparation aux deux types d oraux). Je suis intervenue à nouveau en Prépa Capes en 2003, 2005 et 2006 pour la préparation aux écrits. Agrégation interne et externe: J ai participé à la préparation à l écrit de Math. Géné. de l agrégation externe en et ai enseigné en 2006 dans la préparation à l agrégation interne. Enseignement dans des cursus non centrés sur les mathématiques: J enseigne depuis l automne 2009 une partie du cours de Statistiques de L3 de Biologie et L2 de Chimie. J ai assuré en 2010 un cours -TD intégré d Analyse en L1 d Economie. Cours à l étranger: J ai été invitée en octobre 2010 à donner un mini-cours d Ecole Doctorale à l Université Ritsumeikan à Kyoto. Je devais aussi donner un cours d Ecole Doctorale à la faculté des Sciences de Tunis-El Manar en janvier 2011, ce projet a été annulée en raison du contexte politique. Néanmoins, les notes de cours qui étaient déjà rédigées sont sur ma page web. 9

10 3. Responsabilités collectives Participation à des conseils et activités de direction: Je suis co-directrice du département de mathématiques depuis l automne Membre du Conseil d UFR de la Faculté des Sciences de l Université Paris-Est Créteil depuis le printemps Membre du Conseil d Equipe élargi de l UMR de Mathématiques de Cergy-Pontoise de 1998 à 2003 et de 2005 à Membre du Conseil de Département de Mathématiques de l Université de Cergy- Pontoise d octobre 1999 à octobre CNU: J ai été nommée au CNU en 25 ième section de 2001 à Membre de comités de sélection: Membre d un comité de sélection de l Université Paris-Est Créteil en mai Membre d un comité de sélection de l Université de Bordeaux en mai Membre de plusieurs comités de Sélection en mai 2009 (Montpellier, Paris 13, Paris 12). Membre de la Commission de Spécialiste de l IUFM de Versailles de 1997 à Membre de la Commission de Spécialiste de l Université de Cergy-Pontoise de 2003 à

11 Annexe 1: Rapport de recherche détaillé Dans ces quelques pages, je présente les thèmes de recherche dans lesquels j ai été active ces cinq dernières années. Je présenterai la problématique des croisements de mode dans laquelle s inscrivent mes travaux en chimie quantique ainsi que les questions qui m intéressent autour des condensats de Bose-Einstein. Je consacrerai aussi un paragraphe aux mesures de Wigner qui sont pour moi un outil fondamental et parlerai de mes travaux et projets autour du groupe de Heisenberg dans une dernière partie. 1 Les conversions de mode Vers 1998, j ai commencé à étudier en collaboration avec Patrick Gérard les phénomènes de transfert d énergie engendrés par les croisements de modes. On rencontre ce type de comportement dans plusieurs systèmes d équations aux dérivées partielles de la physique, dans l équation de Schrödinger avec potentiel matriciel et dans l équation de Dirac en grands champs électromagnétique mais aussi dans l étude de la propagation des ondes dans des plasmas (cf. [TKB02]). Une autre motivation vient de l homogénéisation : un problème classique consiste à étudier les défauts de compacité d une famille de solutions d une équation de Schrödinger avec potentiel périodique (ce qui correspond à l étude du mouvement d un électron dans un crystal (cf. [Ge91], [GMMP97], [MMP94] et [PR96]) ou bien d une famille de solutions de l équation des ondes dans un milieu périodique. Pour ces deux types d équation, l analyse en modes de Bloch telle qu elle est développée par exemple dans [GMMP97] se heurte à l existence de croisements de modes. Le problème en lui-même peut se décrire de la manière suivante : considérons un système d équations d évolution de la forme ih t u h = op h (A)u h ; où A = A(t, x, ξ) est une matrice hermitienne fonction régulière des paramètres (t, x, ξ) R R d R d, h est le paramètre semi-classique qui tend vers 0 et op h (A) désigne l opérateur pseudodifférentiel semi-classique de symbole A défini par op h (A)f(x) = R 2d A ( ) x + y, ξ e i h ξ (x y) dy dξ f(y) 2 (2πh) d. On s intéresse aux systèmes pour lesquels la multiplicité des valeurs propres de la matrice A n est pas constante. On dit qu il y a croisement en un point (t 0, x 0, ξ 0 ) si la multiplicité d une valeur propre λ = λ(t, x, ξ) de A est discontinue en (t 0, x 0, ξ 0 ). La fonction λ peut alors développer une singularité conique comme le montre l exemple élémentaire suivant ( x1 x V 0 (x) = 2 x 2 x 1 ), λ = ± x x

12 Notre objectif a été de décrire dans une situation de croisement l évolution de la densité d énergie u h (t, x) 2 lorsque h tend vers 0, pour des données à t = 0 uniformément bornées dans L 2 et ceci au moyen des mesures de Wigner. Les articles [3-4], [6-7], [9-10] et [12-15] entrent dans cette problématique. Les premiers travaux consacrés à l analyse de ces phénomènes remontent aux années 30 avec les contributions indépendantes de Landau et Zener [La65] et [Ze32]. Plus récemment, il faut citer les travaux de George Hagedorn consacrés à la propagation de paquets d ondes gaussiens à travers des croisements (cf. [Hag94]). Depuis, les situations génériques sont maintenant bien comprises suite aux travaux de Yves Colin de Verdière (cf. [CdV02] et [CdV03) ainsi que ceux que j ai menés sur le sujet en collaboration avec Patrick Gérard ou seule (cf. références [9] et [14] de la liste de publications). Dans une situation où les valeurs propres de la matrice A sont de multiplicité constante, on peut étudier la densité d énergie en projetant la solution u h sur chacun des sous-espaces propres ; l évolution de chacun des modes se découple de celles des autres (au premier ordre en h seulement) et on se ramène à l étude d équations scalaires. Ce phénomène bien connu porte le nom de découplage adiabatique (cf. [Te02] ou [GMMP97]). Expliquons ce que cela implique pour les mesures de Wigner. Considérons tout d abord la transformée de Wigner de la famille (u h ) W (u h )(x, ξ) = e iv ξ u h R d ( x h v ) ( u h x + h v ) dv 2 2 (2π) d (1) que l on peut interpréter comme une densité d énergie généralisée dans l espace des positionsimpulsions (x, ξ), l espace des phases de l analyse microlocale (avec la différence que la transformée de Wigner n est pas positive même si ses limites faibles le sont). Notons en particulier que sa projection en x donne la densité d énergie usuelle u h (t, x) 2. Toute limite faible de la transformée de Wigner est appelée mesure de Wigner de la suite (u h ). Le découplage adiabatique se comprend alors de la façon suivante: supposons que A est une matrice 2 2 et notons λ + et λ ses deux valeurs propres, Π + et Π les projecteurs spectraux associés, toute mesure de Wigner µ en espace-temps se décompose sur les deux modes concernés selon µ = µ + + µ où µ ± = Π ± µ Π ±. (2) De plus, la mesure µ ± se propage le long des trajectoires classiques associées à la valeur propre λ ± ; l évolution est découplée (cf. [GMMP97]). Cette approche est mise en défaut dès qu il y a croisement, ne serait-ce qu à cause du manque de régularité des projecteurs spectraux qui développent comme nous l avons déjà remarqué plus haut une singularité conique (d où l appelation de conical intersections que l on rencontre dans la littérature physique pour ce problème). Depuis les travaux de Landau et Zener cités ci-dessus, il est bien connu que les croisements de valeurs propres 12

13 introduisent des transferts d énergie entre les modes : le découplage dans l évolution des modes devient faux, même au premier ordre. Pour des croisements génériques au sens où par un point de croisement passe une unique trajectoire classique pour chaque mode il se trouve que l étude de la famille (u h ) dans l espace des phases n est pas suffisante pour décrire le phénomène car une deuxième échelle d observation est mise en jeu dans le mécanisme du transfert. En effet, celui-ci dépend de la manière dont la famille (u h ) se concentre à l échelle h sur les trajectoires classiques arrivant au croisement. On est alors amené à utiliser les mesures semi-classique à deux échelles qui vivent sur un espace des phases plus gros que l espace usuel : il est de la forme R d x R d ξ RJ η, J N. On a rajouté une variable qui mesure l étalement du paquet à l échelle h de part et d autre d une sous-variété donnée (l entier J est la codimension de la sous-variété). Nous renvoyons au paragraphe suivant sur le sujet. Dans bon nombre de situations, il est possible de décrire les mesures après passage au croisement en fonction des mesures incidentes. On obtient alors des formules dites de Landau-Zener reliant la trace de ces mesures sur le croisement. Pour les démontrer, nous avons établi des formes normales que l on peut rapprocher de celles obtenues par Yves Colin de Verdière dans [CdV02] et [CdV03]; l article [9] utilise directement la forme normale de [CdV03]. La compréhension de ces mécanismes s applique en physique mathématique dans le cadre de l équation de Dirac dans des régimes particuliers (cf [12] et [13]) et surtout à la dynamique moléculaire dans le cadre de l approximation de Born-Oppenheimer (cf. [15] et [17]), ouvrant la voie à une réalisation algorithmique de la dynamique moléculaire (ce thème est développé dans le paragraphe 3). 2 Mesures de Wigner et mesures de défaut microlocales Les mesures de Wigner et les mesures de défaut microlocales se sont avérées des outils puissants pour étudier les défauts de compacité de familles bornées de L 2. Les mesures de défaut microlocales ont été introduites simultanément par Tartar ([T90]) et Gérard ([Ge91]) dans le contexte de l homogénéisation en ce qui concerne le premier auteur. L utilisation de mesures de Wigner (ou mesures semi-classiques) est plus ancienne : Martinez, Helffer et Robert en font déjà usage dans leur article [HMR87]. Une utilisation plus systématique de cet outil a ensuite eu lieu avec les contributions de Lions, Paul ([LP93]), Gérard ([GeX91]) et Gérard, Leichtnam ([GL93]). L article [GMMP97] donne une présentation exhaustive des mesures de Wigner, citons aussi le survey [5] dans le cadre des équations de Schrödinger. Comme nous l avons vu au paragraphe précédent, une mesure de Wigner de la suite (u h ) est une limite faible de sa transformée de Wigner (cf. (1)). Plus précisément, si (u h ) h>0 est une famille bornée de L 2 (R d ) à valeurs scalaire, il existe une sous-suite h k tendant vers 0 lorsque k tend vers +, une mesure de Radon positive µ telle que ( ) a C0 (R 2d ), op hk (a)u h k, u h k < µ, a >. k + 13

14 On remarquera en effet que pour tout a C0 (R2d ), ( < a(x, ξ), W h (u h )(x, ξ) >= op h (a)u h, u h). On définit de façon similaire les mesures de défaut microlocales en utilisant des opérateurs pseudo-différentiels usuels. L utilisation des mesures de Wigner est tout particulièrement appropriée aux situations où l on connait l ordre de grandeur des oscillations de la suite que l on étudie : si les oscillations de (u h ) ne sont pas plus grandes que 1/h l inverse du paramètre semi-classique h alors la limite faible de u h k(x) 2 dx est la projection de µ sur l espace des x. On peut avoir besoin d étudier plus précisément la manière dont une famille (u h ) h>0 se concentre le long d une hypersurface (voir par exemple l article [19]). On fait alors une deuxième microlocalisation le long des courbes intégrales du champ de vecteur : on introduit un espace des phases plus gros et on définit des mesures de Wigner deux-microlocales (cf. les notes [23] et [24]) en utilisant une nouvelle famille d opérateurs tests. La même idée a été introduite par Francis Nier dans [N96] dans un cadre différent. Expliquons maintenant la constructions de ces mesures 2-microlocales. Supposons pour simplifier que l on veuille analyser la concentration d une suite u h sur un point x = x 0, on utilise des symboles a(x, ξ, η) qui sont des fonctions régulières de toutes ses variables, uniformément à support compact en (x, ξ) et égales à une fonction a homogène de degré 0 pour η assez gros. Puis on étudie x x 0 a I(h) = (op h ( a ( x, ξ, x x 0 h )) u h u h ), lorsque h tend vers 0. Il existe alors une suite h k tendant vers 0 lorsque k tend vers +, une mesure de Radon positive ν sur R d S d 1 telles que ( I(h k ) x 0, ξ, x x ) 0 dµ(x, ξ)+ a (x 0, ξ, ω)ν(dξ, dω)+(a(x 0, D y, y)v V ), k + x x 0 où V (y) est une limite faible de h d/2 v h k(x 0 + hy). On a éclaté µ au-dessus de x 0 et µ(x, ξ) 1 x=x0 = ν(ξ, dη) + V (ξ) 2 dξ. ω S d 1 Il faut noter les bonnes propriétés géométriques de la mesure ν qui est une mesure sur le fibré normal en sphère au dessus de {x 0 } R d ξ. De plus, il faut signaler que l un des principaux atouts de ces mesures réside dans leurs propriétés géométriques d invariance par transformation canonique, de localisation et de propagation pour les familles de solutions d équations d évolution. On peut analyser de manière similaire des concentrations sur des sous-variétés de l espace cotangent plus compliquées. L idée de base est la même pour les mesures de Wigner à deux échelles introduite originellement par Luc Miller (cf. [MI] et [MI05]): on remplace juste le h de x x 0 h par la nouvelle échelle ε(h) (par exemple ε(h) = h comme dans la Section 1.1). La taille du zoom fait autour de x 0 n est plus h mais ε(h). En guise de conclusion de cette section, notons que les mesures deux-microlocales se sont récemment montrées efficaces pour démontrer des résultats sur le tore (cf [AM10]). 14

15 3 Modélisation en chimie quantique Les phénomènes d intersection conique intéressent beaucoup les chimistes. Ceux-ci étudient et modélisent numériquement le comportement de solutions de systèmes présentant des croisements de modes semblables à ceux décrits au paragraphe 1.1 (cf. [Tu93]). Ces systèmes sont bien connus dans la littérature chimiste sous le nom d hamiltoniens de Jahn-Teller. En effet, dans le cadre de l approximation de Born-Oppenheimer, l analyse de la dynamique de grosses mollécules se ramène à l étude d équations de Schrödinger avec potentiel matriciel { ih t ψ h h2 2 ψh + M(x)ψ h = 0, (t, x) R R d, ψ h t=0 = ψh 0, La variable x décrit la configuration de la molécule, h est la racine carrée de la masse moyenne de l électron sur la masse moyenne du noyau de la particule, c est donc un petit paramètre. On s intéresse à la densité de probabilité n h (t, x) = ψ h (t, x) 2 dx qui reflète la probabilité de trouver la molécule dans la configuration x au temps t (la fonction ψ h désigne la norme euclidienne du vecteur ψ h ). Des formes normales pour le potentiel M ont été obtenues par Hagedorn dans [Ha94] : M(x) = V(p(x)) où V = V(η) est une matrice 2 2 ou 4 4 selon les cas, fonction linéaire du paramètre η R j, j {2, 3, 5} et p est une fonction régulière de R d dans R j. En particulier, on retrouve la matrice V = V 0 du paragraphe 1.1. Pour tous ces modèles, les valeurs propres du symbole du système sont ξ 2 2 ± p(x) et se croisent au-dessus de l ensemble {p(x) = 0}. Dans ce cadre, l article [15] analyse l évolution des mesures de Wigner de (ψ h ) sous des hypothèses de généricité du croisement, à savoir que dp(x) est de rang maximal et dp(x)ξ 0 au-dessus des points (x, ξ) de {p(x) = 0} que l on considère. Ce résultat sur les mesures ouvrait la porte à l élaboration d algorithmes donnant l évolution de la transformée de Wigner elle-même et donc de la densité n h (t, x). Les chimistes disposent depuis longtemps d algorithmes permettant de calculer une valeur numérique de n h (t, x) en fonction des données initiales : l un des plus connus est celui de Tully (cf. [Tu93]). Du point de vue mathématique, la convergence de ces algorithmes n est pas démontrée et il est difficile d en comprendre le mécanisme. En ce sens, l algorithme proposé par Lasser et Teufel en 2004 est novateur: la convergence est démontrée rigoureusement. Ce travail s applique à un croisement linéaire de codimension 2 (j = 2 dans la terminologie du paragraphe précédent) pour lesquel V = V 0 et p(x) = (x 1, x 2 ) ([LaTe04]). Il repose sur l utilisation des formules de Landau-Zener pour les mesures à deux échelles que j avais démontrées avec Patrick Gérard dans l article [18]. Depuis, Caroline Lasser et moi-même nous sommes attachées à étudier les situations que voudraient voir traitées les chimistes : celles où la fonction p ci-dessus n est pas linéaire. Nous avons donc généralisé cet algorithme et traité le cas des croisements de codimension 2, 3 et 5 décrits ci-dessus, sous les hypothèses de généricité de [15]. Ce travail repose sur 15

16 l analyse de [15] et l utilisation des formes normales de [CdV03] généralisées dans [9]. Nous obtenons par ailleurs une estimation de la vitesse de convergence de l algorithme (en ε 1/8 ). Cet article [7] a été illustré par des simulations numériques sur des problèmes issus de la littérature chimiste [6]. Par ailleurs, ce travail débouche naturellement sur l analyse des croisements évités où les valeurs propres se croisent dans un régime asymptotique qui dépend d un deuxième paramètre. Cette situation est très importante en chimie quantique et un travail en cours de rédaction [35] avec Caroline Lasser est consacré à l obtention d algorithmes dans ce cadre. Par ailleurs, je me suis intéressée avec Vidian Rousse à une classe de hamiltoniens qui, eux aussi, intéressent les chimistes et sont connus dans ce milieu sous le nom de pseudo hamiltoniens de Jahn-Teller. Il s agit ici de croisements entre trois modes; l analyse d un cas modèle est maintenant faite dans [3]. Je cite aussi le survey [33] qui fait le point sur ces algorithmes concernant la dynamique moléculaire en présence d intersections coniques. Pour lever certaines restrictions du champ d application de notre algorithme, il faudrait pouvoir décrire des situations qui échappent au cadre théorique dont nous disposons dans [15]. En effet, la description du transfert uniquement en termes de mesures à deux échelles n est pas toujours possible ; on doit alors étudier plus précisément la structure des solutions pour pouvoir calculer la mesure de Wigner. Cette restriction correspond à une hypothèse d étrangeté faite sur les mesures à deux échelles incidentes. Un travail théorique reste à accomplir pour déterminer quelle information minimale sur la donnée permettra d avoir une description complète des mesures de Wigner des solutions. On pourrait alors espérer une avancée substantielle dans la modélisation numérique de la dynamique moléculaire ainsi qu elle a été décrite ci-dessus. Actuellement, nous travaillons activement dans cette direction. La deuxième restriction concernant le champ d application de notre approche relève du caractère générique que nous demandons au croisement: les trajectoires classiques doivent arriver transversalement au croisement. Cette hypothèse peut ne pas être vérifiée et le premier résultat dans un cadre non générique a été apportée dans l article [4] en collaboration avec Thomas Duyckaerts et Thierry Jecko. Cette question ne nous semble cependant pas prioritaire pour le moment. 4 Condensats de Bose-Einstein moléculaires La modélisation de phénomènes physiques intervenant lors de la formation de condensats de Bose-Einstein moléculaires fait apparaître des systèmes d équations de Gross-Pitaïevsky couplées. Dans les articles [WWCCH00], [DKHW02] et [KGJB03] ou encore dans les travaux de Bao (voir par exemple [CaiBao09]), il s agit de deux ou trois équations couplées entre elles par la non-linéarité et par un potentiel matriciel: avec un point de vue semi-classique, on obtient un système de la forme iε t ψ ε ε2 2 ψε + M(x)ψ ε = λ ψ ε 2 ψ ε, (t, x) R R d (3) 16

17 où d = 2 ou 3, λ > 0, ψ ε est un vecteur de C 2 ou de C 3 et M est une matrice hermitienne fonction régulière de x. Un projet à plus ou moins long terme vise à comprendre les interactions entre le couplage matriciel et le couplage par la non-linéarité en particulier lorsque la matrice M présente des croisements de mode. Des résultats ont déjà été obtenus dans le cadre de ces projets en collaboration avec Vidian Rousse ([8]) d une part et Rémi Carles d autre part ([2] et [32]. J expliquerai plus loin ces résultats et les développements en cours. De nombreux travaux ont été consacrés au cas des équations scalaires pour lesquelles la matrice M est diagonale, en particulier lorsque le potentiel est harmonique (cf. par exemple [Ca05]). Rappelons que l analyse de l équation non-linéaire est facilitée lorsque l on dispose d estimations dites de Strichartz [ sur la norme L p )] en temps à valeurs L q en espace de l opérateur d évolution U ε (t) = exp i t ε ( ε2 2 + M(x) pour certaines valeurs des paires (p, q). De telles estimations ont été démontrées dans le cas scalaire sous l hypothèse que M est à croissance sous-quadratique par Fujiwara ([Fu79] et [Fu80]). Lorsque le potentiel est matriciel avec des termes non-diagonaux non nuls, beaucoup de questions restent ouvertes. Dans [8], nous établissons des inégalités de Strichartz pour l opérateur d évolution U ε (t) défini ci-dessus sous des hypothèses sur M plus contraignantes que le seul fait de le supposer sous-quadratique. La stratégie consiste à démontrer dans l esprit des travaux de Burq [Bu02] et Jecko [Je05] des estimations sur la résolvante de l opérateur ε2 2 + M(x) sous des hypothèses de type non-capture. En s inspirant de l article [BGT04], on obtient alors des inégalités de Strichartz avec pertes. Mais revenons aux condensats de Bose-Einstein. Une deuxième étape a été franchie pour notre projet avec l article [2] et la prépublication [31] en collaboration avec Rémi Carles. Dans [2], nous avons étudié comment évolue la solution de l équation (3) scalaire lorsque la donnée initiale est un êtat cohérent de la forme ( ) x a ψ0(x) ε = ε d/4 a e ix ξ0/ε, ε pour une fonction a à décroissance rapide. Ces donnés sont localisées à l échelle ε et sont ε-oscillantes; on s attend à ce que le même type de localisation persiste. Ce type de données sont donc particulièrement pertinentes pour compendre la propagation de l énergie des solutions. Les données considérées par Joye et Hagedorn dans leurs travaux sur les croisements de mode (cf.[hj98] et [HJ99] par exemple) appartiennent à cette classe (avec des fonctions a gaussiennes). Nous supposons λ = λ 0 ε α, α 1 + d 2. En effet, en supposant que nos solutions ont les mêmes caractéristiques que les données, on remarque que les différents termes de l équation ont des poids équivalents lorsque α est égal à la valeur critique α c = 1 + d 2. C est pour cette valeur critique que les effets 17

18 non linéaires interviendront réellement. On démontre que la solution est asymptotique à un paquet d onde dont le profil dépend du temps. Ce profil est solution d une équation linéaire si α > α c, tout se passe alors comme si λ 0 = 0; lorsque α = α c, l équation du profil devient non-linéaire. Ce résultat repose de façon cruciale sur un travail de Rémi Carles sur l équation d enveloppe de notre ansatz [Car09]. Nous nous sommes ensuite intéressés au cas matriciel sans croisement et avons démontré un théorème de découplage adiabatique en dimension 1: un paquet d onde colinéaire à un vecteur propre du potentiel engendre une solution asymptotique à un paquet d onde qui reste dans le même espace propre. Dans la suite de ce travail, Lysianne Hari s intéresse dans sa thèse aux situations de croisements. 5 Autour du groupe de Heisenberg Je voudrais dire quelques mots de l article [1] en collaboration avec Isabelle Gallagher et Hajer Bahouri. Nous y définissons une algèbre d opérateurs pseudodifférentiels sur le groupe de Heisenberg en exploitant l existence d une transformée de Fourier. Ce travail ouvre de nombreuses perspectives. Dans un premier temps, il serait intéressant de pousser un peu plus loin l analyse dans le groupe de Heisenberg en étudiant plus précisément ce que l on peut dire sur la notion de front d onde et sur celle de mesures de défaut (ces deux objets dépendent cruciallement du calcul pseudo-différentiel). En particulier, il faut noter que les mesures de défaut permettent de démontrer des lemmes de div-curl: ceci est fait dans R d (cf. [Ge91]). Or, de tels lemmes existent déjà sur le groupe de Heisenberg (cf. [FTT06]), il serait intéressant de voir si une approche par les mesures de défaut permet de retrouver ces résultats sur le groupe de Heisenberg. Enfin, comme le groupe de Heisenberg est le plus simple des groupes de Lie non commutatifs, une question naturelle consiste à se demander si l approche que nous développons peut-être menée à bien sur des groupes plus généraux, en particulier les groupes de Lie stratifiés. Références [AM10] N. Anantharaman, F. Macia: Semiclassical measures for the Schrödinger equation on the torus, arxiv: (2010). [Bu02] N. Burq: Semiclassical estimates for the resolvent in non trapping geometry. Int. Math. Res. Notices, 5 (2002), p [BGT04] N. Burq, P. Gérard, N. Tzvetkov: On nonlinear Schrödinger equations in exterior domains. Ann. I. H. Poincaré, 21 (2004), p [CaiBao09] W. Bao, Y. Cai: Analysis and computation for the ground states of twocomponent Bose-Einstein condensates with an external driving field (preprint). [Ca00] R. Carles: Geometric optics with caustic crossing for some nonlinear Schrödinger equations, Indiana Univ. Math. J. 49, no. 2, p (2000). [Ca05] R. Carles: Linear vs. Nonlinear Effects for Nonlinear Schrödinger Equations with Potential, Communications in Contemporary Mathematics, 7, 4 (2005), p

19 [Ca09] R. Carles: Nonlinear Schrdinger equation with time dependent potential (preprint). [CaKe04] R. Carles, S. Keraani: On the role of quadratic oscillations in nonlinear Schrïinger equations II. The L 2 -critical case. Avec Sahbi Keraani. Trans. Amer. Math. Soc. (à paraître). [CdV02] Y. Colin de Verdière: The level crossing problem in semi-classical analysis. I. The symmetric case, Annales de l Institut Fourier, 53, p (2003). [CdV03] Y. Colin de Verdière: The level crossing problem in semi-classical analysis. II. The hermitian case, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 54,5 (2004) p [DKHW02] P. D. Drummond, K. V. Kheruntsyan, D. J. Heinzen, R. H. Wynar: Stimulated Raman adiabatic passage from an atomic to a molecular Bose-Einstein condensate. Physical Review A, 65, [FTT06] B. Franchi, N. Tchou, M.C. Tesi: div-curl Type Theorem, H-Convergence, and Stokes Formula in the Heisenberg Group. Communications in Contemporary Mathematics, 2006, 8, p [Fu79] D. Fujiwara: A construction of the fundamental solution for the Schrödinger equation, J. Anal. Math. 35 (1979), p [FU80] D. Fujiwara: Remarks on the convergence of the Feynman path integrals, Duke Math. J. 47 (3) (1980), p [Ge91] P. Gérard : Microlocal defect measures, Comm. Part. Diff. Eq., 16, (1991), p [GeX91] P. Gérard: Mesures semi-classiques et ondes de Bloch, Exposé de l Ecole Polytechnique, E.D.P., Exposé N o XVI (1991). [Ge96] P. Gérard: Oscillations and concentration effects in semilinear dispersive wave equations, J. Funct. Anal. 141, no 2, p (1996). [GL93] P. Gérard, E. Leichtnam : Ergodic Properties of Eigenfunctions for the Dirichlet Problem. Duke Math. J., 71, (1993), p [GMMP97] P. Gérard, P. A. Markowich, N. J. Mauser, F. Poupaud: Homogenization Limits and Wigner Transforms. Comm. Pure Appl. Math., 50, 4, p (1997). [Ha94] G. A. Hagedorn: Molecular Propagation through Electron Energy Level Crossings. Memoirs of the A. M. S., 111, N o 536 (1994). [HJ98] G. A. Hagedorn, A. Joye: Landau-Zener transitions through small electronic eigenvalue gaps in the Born-Oppenheimer approximation. Ann. Inst. Henri Poincaré, 68, N o 1, (1998), p [HJ99] G. A. Hagedorn, A. Joye: Molecular propagation through small avoided crossings of electron energy levels. Rev. Math. Phys., 1, N o 1, (1999), p [HMR87] B. Helffer, A. Martinez, D. Robert : Ergodicité et Limite Semi-classique. Commun. in Math Physics. 109, (1987), p [Je05] T. Jecko: Non-trapping condition for semiclassical Schrödinger operators with matrixvalued potentials. Math. Phys. Electronic Journal, 2, 11 (2005). [KGJB03] : T. Köhler, T. Gasenzer, P. S. Julienne, K. Burnett: Long-Range Nature of Feshbach Molecules in Bose-Einstein Condensates. Phys. Rew. Let., 91, (2003). [La65] L. Landau: Collected papers of L. Landau, Pergamon Press,

20 [LaTe04] C. Lasser, S. Teufel: Propagation through Conical Crossings: an Asymptotic Semigroup. Comm. Pure Appl. Math. 58(9), pp (2005). [LP93] L. Lions, T. Paul : Sur les mesures de Wigner. Revista Matemática Iberoamericana, 9, (1993), p [MMP94] P.A. Markowich, N.J. Mauser, F. Poupaud: A Wigner function approach to semiclassical limits: electrons in a periodic potential, J. Math. Phys., 35, p (1994). [Mi] L. Miller: Propagation d onde semi-classiques à travers une interface et mesures 2- microlocales. Thèse de l Ecole Polytechnique (1996). [MI05] L. Miller: Non structural controllability of linear elastic systems with structural damping, prépublication (2005). [N96] F. Nier: A Semi-Classical Picture of Quantum Scattering, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., 4 e série, 29, (1996), p [PR96] F. Poupaud, C. Ringhofer: Semi-classical limits in a crystal with exterior potentials and effective mass theorems, Comm. Part. Diff. Eq., 21, N o 11-12, p (1996). [T90] L. Tartar: H-measures, a new approach for studying homogenisation, oscillations and concentration effects in partial differential equations, Proc. Roy. Soc. Edinburgh, Sect. A, 115 (1990), p [Te02] S. Teufel: Adiabatic perturbation theory in quantum dynamics, Lecture Notes in Mathematics 1821, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York (2003). [TKB02] E.R. Tracy, A.N. Kaufman, A.J. Brizard: Ray-based methods in multidimensional linear wave conversion, Physics of Plasmas 10, (2003). [Tu93] J. Tully: Molecular dynamics with electronic transitions. J. Chem. Phys. 93(2), 1990, [WWCCH00] J. Williams, R. Walser, J. Cooper, E. A. Cornell, M. Holland: Excitation of a dipole topological state in a strongly coupled two-component Bose-Einstein condensate. Physical Review A, 61, [Ze32] C. Zener: Non-adiabatic crossing of energy levels, Proc. Roy. Soc. Lond. 137, p (1932). 20

21 Annexe 2 : Exposés dans des colloques et séminaires - Invitations Exposé au colloque RAS, CIRM, du 20 au 24 septembre Exposé au séminaire d EDP de Paris 13, 27 septembre Exposé au séminaire d Analyse Paris 6- Paris 7, 5 octobre Invitation pour 15 jours au Japon, Mini cours au LSCA, Université Ritsumeikan à Kyoto et Exposé au colloque à l Université de Tokyo, (18-31 octobre 2010). Exposé aux journées PEPS, Université de Bordeaux 1, novembre Invitation d une semaine à l Université El Manah, Tunis, pour donner un cours de M2, séjour prévu en janvier 2011 et annulé à cause des évènements politiques. Invitation pour quinze jours à la Technische Universität de Munich, séjour prévu en mars Exposé au colloque du GDR Dynamique Quantique, Institut de Physique Nucléaire de Lyon, les 7-9 septembre Exposé au sémianire d EDP de Paris 11, 7 janvier Exposé au séminaire d EDP de Paris 13, 22 janvier Exposé au séminaire d EDP de Grenoble, 25 janvier Exposé au colloque Math.Methods for Ab Initio Quantum Chemistry, octobre 2008, Nice. Invitation à la faculté des sciences de Tunis, mars 2009 (1 semaine) Exposé au séminaire d EDP de l Ecole Polytechnique, 20 mai Exposé aux Journées Semi-Classiques (Cergy-Pontoise, 31 janvier 2008). Exposé au colloque Partial Differential Equations and Applications (Hammamet, mars 2008) Invitation à Berlin (Freie Universität), aout 2007 (1 semaine). Exposé au congrès en l honneur du Professeur Buslaev, Saint-Petersbourg, 29 juin -2 juillet Exposé au Séminaire d analyse de Nice, 21 mars 2007 Exposé au Séminaire d Edp de Rennes, 9 nov Exposé au Séminaire de physique mathématique et de géométrie, Paris 7, 14 nov Invitation au Classical and Quantum Mechanical Models of Many-Particle Systems, Obervolfach, 3-9 déc Invitation à Tunis, avril 2006 (10 jours) Invitation à la Freie Universität Berlin, sept Exposé au Séminaire d Edp de Rennes, 20 oct Exposé au Séminaire d Edp de Grenoble, 15 nov

22 Exposé au Séminaire d Edp de Lille, 19 janv Exposé au Séminaire EPM d Orléans, 26 janv Exposé au Séminaire de Bordeaux, 2 mars Exposé au Séminaire Edp et Analyse Numérique d Orsay, 23 mars Exposé au colloque d Equations aux Dérivées partielles de Forges-les Eaux, 6-10 juin Exposé à Grenoble en juin Exposés au GdT Mécanique Quantique de Cergy, mars Exposé au Séminaire Tournant d analyse semi-classique, Cergy, 9 fev Exposé à la Journée mécanique quantique et analyse semi-classique, Lille, 5 déc Exposé au colloque Phase Space Analysis of Partial Differential Equations, Bertinoro, nov Exposé au congrès Classical and Quantum Mechanical Models of Many-Particle Systems, Oberwolfach, nov Exposé aux journées d Orléans en Homogénéisation (oct. 2003) Séjour au M.S.R.I. à Berkeley. Séminaire d équations aux dérivées partielles de l Université de Nantes et Grenoble. GdT semi-classique de l Institut Galilée (Paris 13) Séjour au Tech. Institut à l Université de Munich, Allemagne. Séjour à l Université de Tunis, Tunisie. Colloque WKB versus Wigner, Erwin Schrödinger Institut, Vienne, Autriche (novembre 2001). Séminaire X-EDP (Ecole Polytechnique). GdT semi-classique de l Université Paris 11. Séminaires d équations aux dérivées partielles de Rennes et Reims. Groupe de travail Plasmas et Tokamak à la Trappe organisé par G. Lebeau Workshop Mesures de Wigner, Erwin Schrödinger Institut, Vienne, Autriche (février 2001). Congrès High-frequency analysis in non-linear PDE s, au CIRM, Luminy, France (avril 2001). Séminaire du GdT du LAGA (Paris XIII) : Séminaire X-EDP (Ecole Polytechnique) : Colloque Mesures de Wigner, au Cirm, Luminy, France (février 1999). Séminaire Jeunes de l Université de Cergy-Pontoise : Séminaire d EDP de Rennes et de Paris-Sud. 22