Exercice 1. Enoncé 1. Nombre de jours d absences. Nombre d étudiants. 1 ) Représenter graphiquement cette distribution.

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1 Républque Tunsenne Présdence du Gouvernement Ecole Natonale d Admnstraton 4, Avenue du Dr Calmette Mutuelle-vlle 08 Tuns Tél. (+6) Fa (+6) STATISTIQUE ET CALCUL DE PROBABILITE (EXAMENS & EXERCICES) Par Hassen MZALI Professeur en méthodes quanttatves Septembre 0

2 Eercce Enoncé Durant le mos d avrl, nous avons relevé, pour un échantllon d étudants de la premère années scences économques et geston, le nombre de jours d absences : Nombre de jours d absences Nombre d étudants ) Représenter graphquement cette dstrbuton. ) Détermner la foncton de répartton. ) Calculer le mode, la médane et la moyenne arthmétque de cette dstrbuton. 4 ) Détermner le nombre d étudants ayant un nombre d absence : ) nféreur à 4? ) au plus égal à? ) nféreur à 4 et supéreur ou égal à?

3 Corrgé Nombre de jours d absences Effectfs n Fréquences f Fréquences cumulées F Total 5 0, 0 8 0, 0, 6 0,4 0,5 0, 0,76 0,08 0,88 0,04 0,96 5 n Nombre d absences Dagramme en bâtons des effectfs ) Le caractère étudé c est quanttatf dscret (nombre d absences de chaque étudant), alors la représentaton graphque correspondante est le dagramme en bâtons. ) La formulaton de la foncton de répartton de cette dstrbuton statstque est : F ( ) 0 0, 0,5 0,76 0,88 0,96 s s s s s s s

4 ) Le mode de cette sére est : Mo=. Il sgnfe que pour la plupart des étudants ont une seule abscence. La médane, dans ce cas, correspond à la cnquème valeur : Mé. En effet, la sére comporte un nombre mpar de valeurs, sot 5 valeurs, la médane sera la ème valeur ème n 4 La moyenne de cette dstrbuton est :, 68. N 5 Ce résultat ndque que le nombre moyen d absence est de l ordre de,68 (sot 68 jours d absence en moyenne par 00 étudants). 4 ) Le nombre d étudants ayant un nombre d absence nféreur à est égal à : Le nombre d étudants ayant un nombre d absence au plus égal à est : Le nombre d étudants ayant un nombre d absence nféreur à 4 et supéreur ou égal à est: Eercce Enoncé La répartton de 00 ménages selon leurs dépenses de consommaton mensuelles eprmées en dnars se présente comme sut : Classes de dépenses Nombre de ménages [0-40[ 5 [40-60[ 0 [60-00[ 0 [00-00[ 45 4

5 ) Quelle est la nature de ce caractère. ) Représenter graphquement cette dstrbuton. ) Calculer la moyenne arthmétque. 4 ) Détermner la proporton de ménages ayant des dépenses mensuelles appartenant à l ntervalle suvant, où représente la moyenne arthmétque et désgne l écart type. Corrgé Le caractère étudé est la dépense de consommaton mensuelle. Les modaltés sont les classes de dépenses. ) Le caractère étudé est quanttatf contnu. dépenses de consommaton mensuelles n a f Fréquences corrgées f c c n c n c ,5 0, , 0, , 0, ,45 0, Total ) La représentaton graphque de cette dstrbuton se fat au moyen de l hstogramme. Nous allons représenter l hstogramme des fréquences. Les ampltudes des classes étant négales, nous devons alors calculer les fréquences corrgées. Pour ce cas, nous retenons la valeur de l ampltude de référence * a 0. f corrgées f a f a* 0 a 5

6 Fréquences corrgées 0, Hstogramme des fréquences O,5 O, 0, Classes de dépenses 9800 ) c n 98 dnars N 00 La dépense mensuelle de consommaton moyenne par ménage est égale à 98 dnars. 4) Détermnaton de l ntervalle l écart type. n N D où l ntervalle c ² n c N ² ²,, où désgne ,5 dnars, 98 49,5, 98 49,5 48,65, 47,5 Détermnaton de la proporton P de ménages ayant des dépenses mensuelles appartenant à l ntervalle, : Par nterpolaton lnéare, on trouve : F ( 47,5) 0,76 et F(48,65) 0,6 6

7 d où P F( 47,5)- F(48,65) 0,76 0,6 0,57 5,7% Eercce Enoncé Une étude sur la répartton de 700 eplotatons ayant chacune une surface nféreure à 450 ha fournt les nformatons suvantes : 0 eplotatons ont une superfce nféreure à 60 ha 90 eplotatons ont une superfce nféreure à 0 ha 50 eplotatons ont une superfce nféreure à 80 ha 40 eplotatons ont une superfce nféreure à 40 ha 480 eplotatons ont une superfce nféreure à 00 ha 50 eplotatons ont une superfce nféreure à 60 ha 600 eplotatons ont une superfce nféreure à 400 ha Calculer la superfce moyenne. Corrgé Pour calculer la surface moyenne d une eplotaton, nous allons d'abord reporter ces nformatons dans un tableau statstque : Effectfs Effectfs centres Superfce cumulés crossants N n c n c [0-60[ [60-0[ [0-80[ [80-40[ [40-00[ [00-60[ [60-400[ [ [ Total ,8 ha

8 Eercce 4 Enoncé 4 Une enquête statstque chez 000 commerçants porte sur le nombre d heures d ouvertures hebdomadare. On a obtenu les résultats suvants : Nombre d'heures Nombre de commerçants [0-5 [ 50 [5-7 [ 00 [7-9 [ 00 [9-40 [ 50 [40-4 [ 0 [4-4 [ n 6 [4-45 [ 0 [45-50 [ ) Détermner les effectfs n 6 et n 8 sachant que le nombre moyen d heures d ouverture hebdomadares = 40,8 h? ) Quelles sont les valeurs modale et médane de cette dstrbuton? on justfera chaque réponse? ) En prenant comme moyenne provsore 40h d ouverture hebdomadare, calculer la varance pus l écart type de cette dstrbuton? 4 ) Le 50 ème établssement qu a le mons d heures d ouverture hebdomadare reste ouvert 8h par semane. Quelle est la durée d ouverture du 50 ème établssement qu a le plus d heures d ouverture? Corrgé 4 ) L enquête porte sur 000 commerçants : N 000 Le nombre moyen d heures d ouverture hebdomadares est égal à 40,8h : 40, 8 n 8 N 000 cn N 40,8 n6 n8 50 4n6 47,5 n n 6 50 n

9 * ) L ampltude de référence est : a Nombr e d heure s n a f corrgés n F c ( c ) f ( c ) ,05 0 0,05,5 56,5, , 50 0,5 6 6, , 00 0, , ,5 50 0,50 9,5 0,5 0, , 0 0,6 40,5 0,5 0, ,5 75 0, , , 65 0,9 44 6, , 0 47,5 56,5 5,65 TOT 000,585 a) Mode et classe modale : La classe modale est la classe ayant la fréquence corrgée la plus élevée. C est la classe [ 9 40[. Ce résultat sgnfe que pour la majorté des commerçants, le nombre d heures d ouverture hebdomadare est comprs entre 9 et 40 heures. Dans ce cas, le mode peut être calculé par : M b) Médane et classe médane : La classe médane est : [ 9 40[. 9,65h. Concernant la médane, on peut lre drectement cette valeur dans le tableau ( 4 ème lgne): Mé 40h C est à dre que 50% des commerçants travallent pendant mons de 40 heures par semane. ) En prenant comme moyenne 40 h, la varance est calculée par : 9

10 V X f c f c ² 40 ²,585 et l écart-type est : X,585,685 h 4) Le 50 ème établssement qu a le mons d heures d ouverture hebdomadare reste ouvert 8 heures par semane. En d autres termes 5% des commerçants restent ouverts pendant mons de 8 heures par semane. Il s agt du premer quartle : Q 0,5 0, 5 7 0,5 0, 5 8 h La durée d ouverture du 50 ème établssement qu a le plus d heures d ouverture correspond au trosème quartle. Détermnons le trosème quartle par la méthode de l nterpolaton lnéare : S Q appartent à [ 4, 4[ alors : Q 0,75 0,6 4 ~ 4,75 h 0,77 0,6 Eercce 5 Enoncé 5 ) Sot la sére : 5, 50, 50 et 50. Détermner la moyenne arthmétque, harmonque et géométrque. ) Sot la sére :, 8,, et. Détermner la moyenne arthmétque, harmonque et géométrque. ) Peut-on détermner la médane des deu séres ordonnées suvantes : Corrgé 5 ) 5, 0, 5, 0, 5 ) 5, 0, 5, 0, 5, 40 ) Les moyennes arthmétque, géométrque et harmonque de la sére suvante : 5, 50, 50, 50 sont : 0

11 ,75 G , H ,8 On remarque que : H G X ) Les moyennes arthmétque, géométrque et harmonque de la sére suvante :, 8,, sont : 6,75, G 4,7, H,75 ) Détermnaton de la médane : ) Sot la sére : 5, 0, 5, 0, 5 Sére Rang (ordre crossant) ème 4 5 observatons Mé observatons La médane, dans ce cas, correspond à la trosème valeur : Mé= 5 ) Sot la sére : 5, 0, 5, 0, 5, 40 Sére Rang (ordre crossant) ème 4 ème 5 6 observatons Intervalle médan observatons Dans ce cas on parle plutôt d ntervalle médan ]5, 0], correspondant à la ]trosème valeur, quatrème valeur]. Eercce 6 Enoncé 6 Vous achetez, dans un premer temps, dans une banque (A) des devses étrangères (FF) pour 000 dnars au cours suvant :.900 dnars la

12 devse. Dans un second temps, vous achetez de la banque (B) pour 000 dnars les mêmes devses (FF) au cours suvant :.800 dnars la devse. ) Quel est le cours moyen de la devse que vous avez sub entre les deu opératons. ) Répondez à la même queston s vous achetez 000 FF dans la banque (A) et 000 FF dans la banque (B) sachant que les cours restent nchangés. Corrgé 6 ) Le cours moyen de la devse, dans ce cas, est donné par la moyenne harmonque : Cours moyen montant en dnars montant en FF Cours moyen : H ,9,8,84 dnars la devse ) Le cours moyen, dans ce cas, est calculé à partr de la moyenne arthmétque : Cours moyen : (000,9) (000,8),850 dnars la devse 000 Eercce 7 Enoncé 7 Soent les deu données et dstnctes ) Classer en justfant ce classement les moyennes arthmétque, géométrque G et harmonque H de ces deu données. ) Monter que la moyenne géométrque de et est également la moyenne géométrque des deu autres moyennes consdérées. ) Etablr que la moyenne harmonque H de et est également la moyenne harmonque H de ( H ) et ( H ). Este t-l une proprété équvalente pour la moyenne arthmétque?

13 Corrgé 7 ),. G, H Ces moyennes vérfent la relaton suvante : X G H. En effet : 0 ) (.. G et 0 ) (.... G H ) En développant la formule de la moyenne harmonque on aura : G H On a : G H, d où H G H G.. Ans, la moyenne géométrque des données est égale à la moyenne géométrque de deu autres moyennes consdérées. Démontrons que H H H En remplacent H par on obtent : H H

14 ( ) ( ) H ( C.Q.F.D). Cette proprété n est pas valable pour la moyenne arthmétque. En effet : Comme ( ) ( ), alors ( ) 0 Eercce 8 Enoncé 8 Dans un ateler, le coût untare de la man d œuvre est de O,500D. Une heure supplémentare revent à 0,65D (sot 0,500, 50 ) et le servce de pae ndque que le coût total des heures supplémentares représente 0% du coût total de la man d œuvre. Calculer le coût horare moyen en ndquant le type de moyenne utlsée. Corrgé 8 Dans ce cas le coût horare moyen n est pas la moyenne arthmétque des coûts horares. En effet, le coût total (CT ) est composé par les coûts des heures de servce ( CT )et des coûts des heures supplémentares ( CT ). Par alleurs, le nombre total d heures est h h h, où h et h désgnent respectvement le nombre d heures de servce et le nombre d heures supplémentares. h CT CT CM 0, 500 et coût heure moyen de servce h CT CT CM 0, 65 coût mouen heure sup On a : CT CT CT avec CT 0, 0 CT et CT 0, 70 CT Ans, le coût horare moyen est:. 4

15 CT CT CT H h h h CT CT CM CM 0,7 0, 0,7 CM CM 0,500 0, 0,65 CT 0,7CT 0,CT CM CM 0,59 Le coût horare moyen est donc la moyenne harmonque des dfférents coûts horares. Eercce 9 Enoncé 9 Un phénomène économque a un tau annuel d accrossement de 6% pendant années consécutves, pus de 8% par an pendant années, pus de 5% par an pendant 4 ans, enfn % pendant ans. Calculer le tau annuel moyen d accrossement observé pendant les ans. Corrgé 9 g 6% g 8% g 5% g 4 % Sot g le tau annuel moyen d accrossement observé pendant les ans. On détermne ce tau de la manère suvante : 4 g g g g g 4 g 4 g g g g 4 g 4,06,08,05,0,054 0, 054 Le tau de crossance annuel moyen est à l ordre de 5,4%. Remarque : ( g) est la moyenne géométrque des g ). ( 5

16 Eercce 0 Enoncé 0 Une entreprse effectue les placements de fonds suvants : 8000 dnars à % par jour pendant 5 jours. 500 dnars à % par jour pendant 80 jours dnars à,75% par jour pendant 55 jours. Calculer le tau journaler moyen résultant de cette sére de placements. Corrgé 0 Le tau moyen (g) résultant de cette sére de placements est tel que : g % 0000, g % et,75% g 8000 g 500 g 9500 g 8000 g 8000,0 g 5 80 g 500 g 9500 g g ,0 9500, Eercce Enoncé Une compagne de télécommuncaton étude la tarfcaton des appels. Le tarf actuel est donné par R 0, X où R décrt le tarf et X le temps en mnutes d une communcaton. On relève pour 00 appels effectués dans une journée, le temps de chaque communcaton. 6

17 Temps en mn Nombre d appels 0, 0 0 0, , 0 0 0, , 90 5 Total 00 ) Calculer le tarf moyen par communcaton. ) La compagne se propose d augmenter ses tarfs. Elle a le cho entre propostons : R 0, X et R 0, 5X, 5 Sachant que la compagne voudrat mamser son revenu moyen par appel, laquelle des deu formules a-t-elle ntérêt à chosr? Corrgé Temps en mn c n n c 0, , , , , Total ) Comme la tarfcaton des appels est donnée R 0, X, alors Le tarf moyen par communcaton est R 0, X. Par alleurs, on a : X nc N 50,5. D où R ( 0,,5) 4, ) La premère alternatve donne un revenu moyen par appel égal à : R 0, X (0,,5) 5,795 7

18 ) La deuème alternatve donne un revenu moyen par appel égal à : R 0, 5X,5 (0, 5,5),5 5,75. En somme, S la compagne voudrat mamser son moyen par appel, elle dot chosr la premère alternatve, c est-à-dre R. Eercce Enoncé Dans une entreprse A travallent 0 hommes et 0 femmes. Dans l entreprse B, ces effectfs sont respectvement 0 et 0. Les salares moyens sont donnés par le tableau suvant: Hommes Femmes Entreprse A 600 D 550 D Entreprse B 650 D 500 D Quelle est l entreprse qu offre le salare moyen le plus élevé? Corrgé Pour calculer le salare moyen le plus élevé, l faut calculer le salare moyen dans l'entreprse A et celu dans l entreprse B. Sot H et F le salare moyen des hommes et des femmes respectvement. ) Pour l'entreprse A : A n F n F F n n H H H , dnars ) Pour l'entreprse B B n F n F F n n H H H dnars On remarque que A élevé que l'entreprse B. B l'entreprse A offre un salare moyen plus 8

19 Eercce Enoncé Une entreprse E est composée de tros établssements, E, E et E. L effectf n de E est de 40 salarés. Le salare mensuel moyen dans E est 90. L écart type de la dstrbuton des salares dans E est 0. Pour E n 0, 75, 5. on a: n 50, 80, 5, et E on a Calculer la varance nter-établssements, ntra-établssement et la varance totale des salares. Commenter. Corrgé On a : n n n 40, 50, 0, 90, 80, 75, Il faut tout d'abord calculer la moyenne dans E. N n n n avec N n n n 0 (40 90) (50 80) (0 75) 8, 08 La varance nter-établssements des salares (la varance des moyennes): n ( ) n ( ) n ( ) ( ) 5, 79 V N La varance ntra-établssement des salares (la moyenne des varances): N n V n V n V, V On remarque que : V V. 9

20 La varance totale des salares : V V V =69, Commentare : La dsperson totale des salares =69,. Celle c s'eplque en grande parte par la dsperson des salares au sen de chaque établssement car V V. La dsperson des salares entre les établssements est fable par rapport à la dsperson des salares à l'ntéreure d'un même établssement. Eercce 4 Enoncé 4 On a relevé les températures ( ) mamales suvantes dans certanes vlles françases: le 0/0/999. Les classes de température Nombre de vlles Mons de et plus n 5 ) Calculer la valeur de n 5 sachant que 5 n 75,75. ) Détermner le mode et la classe modale de cette dstrbuton. ) Quelle est la forme de la dstrbuton des températures? Justfer votre réponse. 4) Quelle est la varance des températures. Corrgé 4 On a : 5 n 75,75, où désgne le centre de classe. Avant de calculer n 5, l faut précser la borne nféreure de la premère classe et la borne supéreure de la dernère classe. La borne nféreure de la premère classe est égale à 0 (afn d avor la même ampltude que celle de la deuème). La borne supéreure de la 0

21 dernère classe est égale à (pour avor la même ampltude que celle de l avant dernère classe). 0 9 Ans, et 0, 5 5 Comme 5 n 75,75, ,5 n alors n ,5 75,75 classes n centres a d Effectfs corrgés c n Effectfs cumulés n a * = ,5 4, , ,5 5, Total 55 56,5 ) Mode et classe modale : La classe modale est la classe ayant l effectf corrgé le plus élevé. C est la classe [ 4[. Ce résultat sgnfe que pour la majorté des vlles françases, la température mamale enregstrée le 0/0/999 est supéreure ou égale à et strctement nféreure à 4. Dans ce cas, le mode peut être calculé par : M ) Pour répondre à cette queston, nous allons comparer la moyenne et la médane.. N Mé 7, 5 0, 75 et 0 0 N 5 n 56, , 66

22 Comme Mé La dstrbuton est oblque à gauche. 4) La varance des températures : V N 55 5 ( n ) 75,75 4,66 9, 479. Eercce 5 Enoncé 5 Le tableau suvant la dstrbuton des salares journalers dans une entreprse. Classes (dnars) Effectfs cumulés crossants [4-0[ 0 [0-4[ 55 [4-6[ 70 [6-0[ 90 [0-6[ 00 ) Détermner la médane et le mode de cette dstrbuton. ) Détermner la varance et l écart-type des salares. ) Que peut-on dre de la concentraton des salares dans cette entreprse Corrgé 5

23 Classe s n F f a f / a f f Q Q f Q Q ) ( [4-0[ 0 0,0 0,0 6 0,05 7, 4,7 0,6 0 0,048 [0-4[ 55 0,55 0,5 4 0,06 6 0,9 0,6 0,75 [4-6[ 70 0,70 0,5 0,075 5,5,75 0,56 0,9 0,45 [6-0[ 90 0,90 0,0 4 0,05 8,6 64,8 0,8 0,56 0,78 [0-6[ 00 0,0 6 0,06, 5,9 0,8 0,8 Total,5 0,5 0,789 ) -La médane est : 0,5 0,0 Mé [ 0 4[ Mé 0 (4 0), 0,55 0,0 50% des salarés gagnent mons de,d par jour. - Le mode est : 0,05 Mo [ 4 6[ Mo 4 (6 4) 4,66 0,05 0,05 Le salare journaler le plus fréquent est de 4,66D ) - La varance et l écart-type des salares sont : D D f,5 V( ) f 0, 5,5 6,58 5, 5 ) -La concentraton des salares est fable. : I G f ( Q Q ) 0,789 0, %

24 Eercce 6 Enoncé 6 La dstrbuton des salares par semane de 80 employés dans une entreprse est donnée dans le tableau suvant : Classes des salares (en dnars) Fréquences cumulées crossantes [6-4[ [4-[ [-0 [0-8[ [8-46[ 0, 0,5 0,75 0,565 ) Quel est le nombre d employés qu gagnent mons de 0D? ) Calculer le salare moyen. Corrgé 6 classes F f n n n [6-4[ 0,0 0, [4 - [ 0,5 0, [ - 0[ 0,75 0, [0-8[ 0,565 0, [8-46[ 0, Total ) D après ce tableau, on peut faclement remarquer qu l y a 0 employés qu gagnent mons de 0D. k n 56 ) X,7 D n 80 Eercce 7 Enoncé 7 Les données suvantes donne la dstrbuton des mpôts nets payés par 000 contrbuables d une régon donnée: 4

25 Impôts nets Contrbuables en % [ 0, 00[ [ 00, 00[ 8 [ 00, 500[ 5 [ 500, 700[ 0 [ 700, 000[ [ 000, 00[ 6 [ 00, 500[ 4 [ 500, 000[ ) Calculer le montant total des mpôts payés par l ensemble des contrbuables. ) Sachant que l mpôt moyen de l ensemble des contrbuables est de 56,5 D et que l mpôt moyen de ceu qu payent mons de 000 D d mpôts est de 48,9 D, en dédure l mpôt moyen de ceu qu payent plus de 000 D d mpôt. Corrgé 7 Impôts nets f en % n n [ 0, 00[ [ 00, 00[ [ 00, 500[ [ 500, 700[ [ 700, 000[ [ 000, 00[ [ 00, 500[ [ 500, 000[ Total ) Le montant total des mpôts payés par les contrbuables est : 8 n dnars. 5

26 ) On note par le montant moyen de l mpôt pour la catégore des F contrbuables payant mons de 000 D d mpôts et par le montant S moyen de l mpôt pour la catégore des contrbuables payant un montant supéreur ou égal à 000 D. D après le tableau, l y a 87% des contrbuables qu payent mons de 000 D d mpôts. En applquant la formule de la moyenne d une populaton consttuée de deu sous-échantllons, on a : ( n n ) avec N n S S F F S n. F N Comme 56, 5D et 48, 9 alors : S F ns S nf F f S S f F F 56,5 ( 0,87) S 0,87 N 56,5 0, (0,87 48,9) 6,9 S F L mpôt moyen de ceu qu payent plus de 000 D d mpôt est de 6,9D. Eercce 8 Enoncé 8 Le tableau suvant donne la dstrbuton des salares dans une entreprse. Salares en dnars Effectfs cumulés crossants N [00 400[ 5 [400 X [ 4 [X - 900[ 7 [900-00[ 87 [00 - Y [ 00 ) Détermner X sachant que le salare médan est égal à 594 D. ) En retenant la valeur X obtenue et sachant que le salare moyen des 00 personnes est de 68,5 D, calculer Y. 6

27 Corrgé 8 Classes Eff. cumulés crossants N n c n c [00 400[ [ [ [ [ [900 00[ [00-500[ Total N ) Calcul de X. 50 Mé 900 X Mé Donc, la classe médane est [ X 900[, X ) Calcul de Y. Le salare moyen est égal à 68,5 D : N n c 5 5 n c n c n c n c 68,5... n... n c 5 5 n c 5 00 ( 4 X N 68, , y ) 6850 Y 400 Eercce 9 Enoncé 9 Sot la dstrbuton suvante des salares d une entreprse. On note par n les effectfs correspondant en nombre de salarés et F () la foncton de répartton de cette dstrbuton. 7

28 Classes des salares F () [ [ 0,04 [700-00[ 0,4 [00-00[ 0,44 [00-500[ 0,96 [ [ Total Sachant que V 4,9 ; f 66, et n 905 ) Calculer l effectf de chaque classe ans que l effectf total. ) Cette dstrbuton est-elle symétrque? ) Calculer l ndce de Gn et juger de la concentraton des salares de cette entreprse. Corrgé 9 Il faut fare attenton à l unté de mesure (dnars). On a : V 4,9 ; f 66, et n 905. Ces valeurs correspondent à des salres en centane de dnars alors que dans le tableau, les classes des salares sont eprmées en dnars. f F a F et F 0 F vec 5 o Classes des salares F f n n n q n Q f Q Q ) ( [ [ 0,04 0, ,089 0,089 0,0008 [700-00[ 0,4 0, ,0709 0,0898 0,009 [00-[00[ 0,44 0, ,85 0,7 0,89 [00-500[ 0,96 0, ,57 0,9465 0,686 [ [ 0, ,055,0000 0,0779 Total ,0000 0,946 A partr de la colonne des fréquences relatves, on constate que 8

29 f f n n et f f n 5 5 D une part on a : V f ( ) 4900 f 6600 n, d autre part : Il vent donc : ( ) f V Ans : 70 Par alleurs, n N 70 N n d où N L effectf total est donc égal à 50 salarés. A partr de l effectf total on peut retrouver l effectf de chaque classe : n f N n 0, n 6 n 6 car n n 5 5 n f N n, n 5. 0 n n n 45. n f N n 0, ) Cette dstrbuton n est pas symétrque car : Mé. On peut 70 calculer d autre ndcateurs en se basant sur les quartles. ) L ndce est donné par : Q 940, Mé, Q 49, I G p f ( Q Q ) l ndce de Gn est égal à : I 0,946 0,0854. G 9

30 On peut dre qu l y a une fable concentraton des salares dans cette entreprse. Eercce 0 Enoncé 0 Reconstrusez la répartton des 50 ha sur les eplotatons agrcoles, selon des classe de surface d ampltudes égales. On donne : N : effectfs cumulés crossants Q Valeurs globales relatves cumulées crossantes ,5 5,5 5 Corrgé 0 D après l énoncé on a : Le nombre total des eplotatons est égal à 0 : N n 0. La superfce totale est égale à 50 : VGT n 50. Reconstrure la dstrbuton de ces eplotatons agrcoles revent à retrouver les 4 classes de surface ans que les effectfs correspondants 0

31 N n Q q n n n q n Centre de 50q classe n n Classes des salares [0-0[ ,5 5,5 5 6, [0-0[ 5 5,5 6, [0-0[ 5 5 0, [0-40[ 0 50 Total Eercce Enoncé Dans un vllage, on a relevé les superfces (en hectares) des eplotatons agrcoles selon le nombre d eplotants (proprétares) : Superfces (hectares) n [0-5[ 0 [5-0[ 50 [0-5[ 90 [5-0[ 0 [0-40[ 60 [40-50[ 50 [50-00[ 40 [00-00[ 0 Total 650

32 ) Tracer l hstogramme des effectfs. Calculer le mode, la médane et la varance de cette dstrbuton. ) Tracer les courbes des fréquences cumulées crossantes (foncton de répartton) et décrossantes sur le même graphque. Représenter le pont l ntersecton des deu courbes. ) Calculer les tros quartles, ans que le er et le 9 ème décle. Donner une nterprétaton de chacun de ces paramètres. 4 ) Calculer la médale et donner son nterprétaton. En vous basant sur la dfférence Mle Mé, que peut-on dre sur la concentraton? 5 ) Tracer la courbe de concentraton et calculer l ndce de concentraton (Indce de Gn). Que peut-on conclure? 6 ) Calculer le pourcentage p des proprétares qu ont des eplotatons dont la surface est comprse entre et 8 hectares? 7 ) Quelle est la surface totale possédée par les 0% les plus rches? Corrgé ) D abord, l faut compléter le tableau par l nserton d une classe [0-0[ ayant un effectf égal à 0. Pour tracer l hstogramme des effectfs, l faut calculer les effectfs corrgés. Nous avons chost comme * ampltude de référence : a 5. n corrgées n a n a* 5 a

33 Superfce en ha n c a n corrgé s f F fréquences cumulées crossante s G fréquences cumulées décrossantes n c n [0 5[ 0, ,7 0, ,5 [5 0[ 50 7, , 0,40 0, ,5 [0 5[ 90, ,4 0,54 0, ,5 [5 0[ 0 7, ,0 0,74 0, ,5 [0 0[ ,00 0,74 0,6 0 0 [0 40[ ,09 0,8 0, [40 50[ ,08 0,9 0, [50 00[ ,06 0,97 0, [00 00[ ,0,00 0, Total 650, a) Mode et classe modale : La classe modale est la classe ayant l effectf corrgé le plus élevé. C est la classe [ 5 0[. Ce résultat sgnfe que la plupart des eplotatons ont une superfce comprse entre 5 et 0 hectares. Dans ce cas, le mode peut être calculé par : c M ha. b) Médane et classe médane : La classe médane est : [ 5 0[. Concernant la médane, on peut la calculer par nterpolaton lnéare : 0,5 0,4 0 5,57 ha. 0,54 0,4 Mé C est à dre que 50% des eplotatons ont une superfce nféreure à,75 hectares.

34 550 c) Moyenne : c n, hectares N 650 La superfce moyenne d une eplotaton est de, hectares. Effectfs corrgés Hstogramme des effectfs Superfce ) Les courbes des fréquences cumulées crossantes et décrossantes:, Fréquences cumulées crossantes 0,8 0,6 0,5 0,4 0, 0 Fréquences cumulées décrossantes

35 Superfce en ha n c f F nc q n c n c Q f Q Q ) ( [0 5[ 0,5 0,7 0,7 75 0,08 0,08 0,00 [5 0[ 50 7,5 0, 0,40 5 0,074 0,09 0,06 [0 5[ 90,5 0,4 0,54 5 0,074 0,67 0,06 [5 0[ 0 7,5 0,0 0, ,50 0,7 0,097 [0 0[ 0 5 0,00 0,74 0 0,000 0,7 0,000 [0 40[ ,09 0,8 00 0,9 0,455 0,07 [40 50[ ,08 0,9 50 0,49 0,604 0,08 [50 00[ ,06 0, ,98 0,80 0,087 [00 00[ ,0, ,98,000 0,055 Total 650,00 550,000 0,456 ) Calcul des tros quartles, ans que le er et le 9 ème décle : Le premer quartle Q appartent à [ 5,0[ alors : Q 0,5 0, ,4 0,7 6,74 hectares Ce qu sgnfe que 5% des eplotatons ont une superfce nféreure à 6,75 hectares. Le trosème quartle Q appartent à [ 0, 40[ alors : Q 0,75 0, ,8 0,74 5, hectares Ce qu sgnfe que 75% des eplotatons ont une superfce nféreure à, hectares. Le premer décle : 0, 0 0 D [ 0 5[ D 0 5 5,58 hectares 0, 7 0

36 Ce qu sgnfe que 0% des eplotatons ont une superfce nféreure à 5,58 hectares. Le 9 ème décle D appartent à [ 40, 50[ alors : 9 D 0,9 0, ,9 0,8 9 48,75 hectares Ce qu sgnfe que 90% des eplotatons ont une superfce nféreure à 48,75 hectares. 4 ) Le calcul de la médale par nterpolaton lnéare donne : Mle ,50 0,455 0,604 0,455 Mle 0,50 0, ,604 0,455 4,0ha On nterprète en dsant que les eplotatons qu ont ndvduellement mons de 4,0 ha totalsent 50% de la superfce totale. L écart médale-médane M est égale à : M Mle Mé 4,0,57 9,45ha M étendue 9, , 47 L écart médale-médane représente 4,7% de l étendue. Cec ndque que la concentraton est assez forte. 5) L ndce de Gn est égal à : I 0,456 0,544. G Cette valeur de l ndce ndque que la concentraton est assez forte. 6 ) Le pourcentage p des proprétares qu ont des eplotatons dont la surface est comprse entre et 8 hectares est : p (0, 4) (0,0) 0, 76 7,6% ) Le 9 ème décle D 48, 75 ha ndque que 90% des eplotatons ont 9 6

37 une superfce nféreure à 48,75 ha. En d autres termes les 0% les plus rches ont ndvduellement des eplotatons dont la superfce est supéreure à 48,75 ha. On peut détermner, par nterpolaton lnéare, la proporton de la surface totale possédée par les 90% des eplotatons dont la surface est nféreure à 48,75 ha , ,455 Q (48,75) 0,604 Q(48,75) 0,455 0,604 0,455 48, ,75-40 d où Q ( 48,75) 0,455 (0,604 0,455) 0, Ans, la proporton de la surface totale possédée par les 0% les plus rches est égale à : Q (48,75) 0,585 0, 45 Par conséquent, la surface totale possédée par les 0% des eplotants les plus rches est : 0, ,5 ha Eercce Enoncé ) La dstrbuton des salares annuels nets en 998 dans les secteurs prvé et sem-publc est telle que : 44% des salarés gagnent mons de00 D. 5% des salarés gagnent mons de4 D. ) Détermner, par nterpolaton lnéare, le salare médan de la dstrbuton On note par D, D,... D 9 les décles de cette dstrbuton. On connaît, pour chaque classe de salare défne à partr des décles, la masse des salares versée à chaque classe dvsée par le nombre total N de salarés, Sot N M. Cette nformaton est donnée dans le tableau suvant : 7

38 Classe de salares M N D [, D [, D [, D 4 [, D 4 5 [, D 5 6 [, D 6 7 [, D 7 8 [, D 8 9 D 9 D [ 5 D [ 7,5 D [,5 D [ 7 D [ 40 D [ 44 D [ 45 D [ 5 60 a) Trouver le salare moyen de la dstrbuton b)sachant qu l état égal à 00 dnars en 980, calculer le tau d accrossement annuel moyen du salare moyen. c) Nous cherchons à détermner la courbe de concentraton des salares. Calculer F et Q (fréquences cumulées crossantes et valeurs globales relatves cumulées crossantes). d) Détermner la proporton de la masse salarale versée au salarés qu gagnent mons que le salare médan. Corrgé ) sachant que : 44% des salarés gagnent mons de00 D. 5% des salarés gagnent mons de4 D. salare médan peut être détermné par nterpolaton lnéare :, alors le Mé (0,50 0,44),5 dnars 0,5 0,44 M ) a) 75 dnars N b) La pérode couvrent 8 ans. Donc, le tau 75 d accrossement annuel moyen du salare moyen est : g 8 00 c) Pour détermner les valeurs globales relatves cumulées crossantes 8

39 Q, l faut d abord, retrouver les valeurs globales relatves M n M q N. n M M N q. On a : Pour la détermnaton des fréquences cumulées crossantes F, l sufft de constater que les bornes supéreures des classes correspondent au dfférents décles ( on connaît, par eemple, pour la premère lgne, que la proporton des ndvdus qu ont un salare nféreur à D.est égale à 0,0. De même, pour la deuème lgne, la proporton des ndvdus qu ont un salare nféreur à D.est égale à 0,0, ans de sute. Classe de salares D [, D [, D [, D 4 [, D 4 5 [, D 5 6 [, D 6 7 [, D 7 8 [, D 8 9 D 9 M N M cumulées N crossantes 0,0 0,0 0,0 D [ 5 7 0,07 0,0 0,0 D [ 7,5 64,5 0,07 0,7 0,0 D [,5 97 0,09 0,6 0,40 D [ 7 4 0,0 0,6 0,50 D [ ,0 0,46 0,60 D [ , 0,58 0,70 D [ , 0,70 0,80 D [ 5 5 0,4 0,84 0, ,6,00,0 q Q F c) La proporton de la masse salarale versée au salarés qu gagnent mons que le salare médan est égale à 0,6 ou 6% (c est la valeur de Q correspondant à F 0, 5. Eercce Enoncé Les salarés de l entreprse DJAZ produsant des bjou sont réparts en tros catégores : Cadre, employés et ouvrers. Afn d étuder la dsperson et la concentraton des salares, nous avons collecter de l nformaton qu concerne les tros catégores (h) de salarés, que nous présentons dans deu tableau. 9

40 On note par D, D,... D les décles de cette dstrbuton, et par Q,Q et 9 Q les quartles de cette dstrbuton. On connaît, pour chaque classe de salare défne à partr des décles et des quartles, la masse des salares versée à chaque classe de salare, sot M. h Classes de salare (dnars) M h n h n Masse salarale (toutes catégores confondues) h h D 500 [ Q D, [ 500 [ D 7 Q, [ 5500 [ Q 7 D, [ [ D 9 Q, [ 000 D Cadres Employés Ouvrers M Effectfs h n h n n h h h S h n h n h h ) Détermner la valeur du tableau. Ensute, calculer le salare moyen pour chaque catégore de salarés. ) Détermner l effectf de la premère classe de salare et l effectf de la deuème classe de salare. ) Calculer l écart-type du salare pour chaque catégore de salarés. 4 a) Détermner le salare moyen dans cette entreprse. 4 b) Détermner la varance des salares entre les catégores de salarés. (varance nter-catégores) 4 c) Détermner la varance des salares à l ntéreur des catégores de 40

41 salarés. (varance ntra-catégores). 4 d) Dédure à partr de (4 b) et (4 c) l écart-type des salares de cette entreprse. 5 ) Nous cherchons à détermner la courbe de concentraton des salares de cette entreprse. Calculer F et Q. Corrgé ) Détermnaton de la valeur : La masse salarale globale est égale à : Elle est auss égale, en fasant la somme des lgnes de la deuème colonne du premer tableau, à D où, 000. ) Pour détermner l effectf de la premère classe de salare et l effectf de la deuème classe de salare, l sufft de constater que la premère classe ( D ) content 0% de l effectf total, et que la deuème classe ([ D, D [ ) content 0% de l effectf total. L effectf total étant égale à : Donc, l effectf de la premère classe est égal à 5. Celu de la deuème classe de salare est égal à 0. ) Pour calculer l écart-type du salare de chaque catégore de salarés, nous allons compléter le deuème tableau : Cadres Employés Ouvrers V M h S Effectfs h h S n h n h h N n n n h h h M ( N h h h ) h V 5 4 h 4 a) Le salare moyen de l entreprse est : M N h dnars 4

42 4 b) La varance des salares entre les catégores de salarés. (varance nter-catégores) est égale à la varance des moyennes: VM 50 N n ( ) n ( ) n ( 5(700) 5(400) 0(50) (40) 8900 ) ( ) 4 c) La varance des salares à l ntéreur des catégores de salarés. (varance ntra-catégores). C est la moyenne des varances MV N 50 n V n V n V (5 5) (5 9) (0 6) 4, 8 4 d) L écart-type des salares de cette entreprse est : MV VM ,8 7,5 dnars. 5 ) Pour la détermnaton des fréquences cumulées crossantes F, l sufft de constater que les bornes supéreures des classes correspondent au dfférents décles ( on connaît, par eemple, pour la premère lgne, que la proporton des ndvdus qu ont un salare nféreur à D.est égale à 0,0. De même, pour la trosème lgne, la proporton des ndvdus qu ont un salare nféreur à Q.est égale à 0,75, ans de sute. Classes de salare M h n h M h nh h q 7000 Q F D 500 0,089 0,089 0,0 D, D [ 500 0,47 0,6 0,0 Q, D [ , 0,559 0,70 D, Q [ ,059 0,68 0,75 Q, D [ 000 0,77 0,795 0, ,05 [ [ 7 [ [ 9 D 9 Total

43 Eercce 4 Enoncé 4 L ndce trmestrel du coût de la constructon de bâtment a connu l évoluton suvante base 00 au mos d août 998. Trosème trmestre 998 Quatrème trmestre 998 Premer trmestre 999 Mos Août Sept. Oct. Nov. Déc. Janv. Fév. Indces élémentares ) Calculer les tau de crossance mensuel successfs de l ndce. ) Détermner le tau de crossance mensuel moyen sur l ensemble de la pérode. ) Calculer le tau de crossance global. Corrgé 4 ) D une manère générale, le tau de crossance mensuel entre deu mos successfs est donné par : g C C f, avec C ntal et le mos fnal. C et C respectvement les coûts pendant le mos f Les tau de crossance mensuels successfs de l ndce sont : Le tau de crossance mensuel entre le mos d août et le mos de septembre 998 est : g ,48% Cec tradut une dmnuton de 0,48% de l ndce mensuel du coût de constructon de bâtment. Le tau de crossance mensuel entre le mos de septembre 998 et le mos d octobre 998 est : g , % 4

44 Cec tradut une augmentaton de,% de l ndce mensuel du coût de constructon de bâtment. Le tau de crossance mensuel entre le mos d octobre 998 et le mos de novembre 998 est : g ,057% Cec tradut une augmentaton de,057% de l ndce mensuel du coût de constructon de bâtment. Le tau de crossance mensuel entre le mos de novembre et le mos de décembre 998 est : g ,40% Le tau de crossance mensuel entre le mos de décembre 998 et le mos de janver 999 est : g ,60% Le tau de crossance mensuel entre le mos de janver 999 et le mos de févrer est : g ,99% ) Le tau de crossance mensuel moyen sur l ensemble de la pérode est : C fév g 7 0, 7% m C 7 44 août98 Sur l ensemble de la pérode le tau de crossance a été en moyenne et par mos égal à ) Le tau de crossance global sur toute la pérode est : G ,% En somme, le tau de crossance global s élève à 5, : 44

45 Eercce 5 Enoncé 5 Le tableau suvant donne les ndces élémentares pour tros bens de 998 par rapport à 997 et les coeffcents budgétares correspondants. Indces élémentares Coeffcents budgétares en % Bens I ( p 98/97 ) W 97 W 98 A B C Total ) Calculer les ndces de Laspeyres, de Paasche et de Fsher de 998 par rapport à 997 de ces tros bens. Corrgé 5 ) Calcul des ndces ) Indce de Laspeyres 5 98/ /97( p P L W I ) ( 0,5 0) (0,4 5) (0,5 05) 0,75 ) Indce de Paasche 5 W P 98 P98 /97 I 98/97( p) ( 0,0 ) (0, ) (0,5 ) P D où : P 5, 6 98/97 0,00865 ) Indce de Fsher p p p F P L 8, 47 98/94 98/97 98/97 45

46 Eercce 6 Enoncé 6 Un agrculteur moblse deu eplotatons agrcoles pour produre tros légumes dfférents. Le tableau suvant ndque, pour ces deu eplotatons, les coûts et les quanttés produtes de légumes par hectare. Quanttés Pr Légumes Eplotaton Eplotaton Eplotaton Eplotaton A 50 50,4,04 B 50 00,5 4,5 C , 4,5 ) Calculer les ndces de pr de Laspeyres et de Paasche de l eplotaton par rapport à l eplotaton sur l ensemble de ces tros légumes. ) Calculer les ndces de quantté de Laspeyres et de Paasche de l eplotaton par rapport à l eplotaton sur l ensembles de ces tros légumes. ) Calculer les ndces de pr de Laspeyres et de Paasche de l eplotaton par rapport à l eplotaton sur l ensemble de ces tros légumes. 4 ) Calculer les ndces de quantté de Laspeyres et de Paasche de l eplotaton par rapport à l eplotaton sur l ensemble des ces tros légumes. Corrgé 6 Ben 995 : (0) 998 : (t) p q p q p q p q p q p q A,4 50, B,5 50 4, C 4, 50 4, Total ) Indce de pr de Laspeyres de l eplotaton par rapport à 46

47 l eplotaton sur l ensemble de ces tros légumes: pq p 640 L / 00 00,6 p q 945 Indce de pr de Paasche de l eplotaton par rapport à l eplotaton sur l ensemble de ces tros légumes : pq p 706 P / ,64 p q 0 ) Indce de quantté de Laspeyres de l eplotaton par rapport à l eplotaton sur l ensembles de ces tros légumes.: pq q 0 L / ,8 p q 945 Indce de quantté de Paasche de l eplotaton par rapport à l eplotaton sur l ensembles de ces tros légumes.: p q q 706 P / ,4 p q 640 ) Indce de pr de Laspeyres de l eplotaton par rapport à l eplotaton sur l ensembles de ces tros légumes.: pq p 0 L / ,7 p q 706 Indce de pr de Paasche de l eplotaton par rapport à l eplotaton sur l ensembles de ces tros légumes: 47

48 pq p 945 P / ,9 p q 640 4) Indce de quantté de Laspeyres de l eplotaton par rapport à l eplotaton sur l ensembles de ces tros légumes : pq q 640 L / ,5 p q 706 Indce de quantté de Paasche de l eplotaton par rapport à l eplotaton sur l ensembles de ces tros légumes: pq q 945 P / ,9 p q 0 Il est à remarquer les formules suvantes : L q / 00 P q /, L p / 00 P p /, P q / 00 L q /, P p / 00 L p / Eercce 7 Enoncé 7 Sot I l ndce de la producton annuelle d une entreprse observée en 99, 994, 995, 996, 996, 997 et 998. L année de base étant 99. On sat que la producton a augmenté de % entre 9 et 94, de 4% entre 94 et 95, de -% entre 95 et 96, de 5% entre 96 et 97 et de 8% entre 97 et 98. ) Trouver les valeurs de l ndce pour les années 99, 994, 995, 996, 996, 997 et 998. ) Calculer le tau de crossance annuel moyen de la producton entre 99 et 998. Corrgé 7 ) Les ndces élémentares vérfent la proprété de crcularté. D une manère générale on a : 48

49 I I I I t / t t/ t t/ t /0 I 00 t / L année de base étant 99 alors I 00 9 I I I I I 94/9 95/9 96/9 97/9 98/9 0 ( I ( I ( I ( I 95/94 96/95 97/96 98/97 I I I I 94/9 95/9 96/9 97/9 ) 00 ) 00 ) 00 ) 00 (04 0) 07, 00 (98 07,) 04,97 00 (05 04,97) 0, 00 (08 0,) 9 00 ) Le tau de crossance annuel moyen de la producton entre 99 et 998, noté g, est tel que : P 5 98 P9 ( g), où P désgne le nveau de producton de l année. On peut auss écrre : g 5 P P 98 9 P98 00 P I 9 98 / P9 I 9 00 P ,054,54% Eercce 8 Enoncé 8 On donne le tableau suvant : 49

50 Produts Indces élémentares I ) ( p 94/0 Pondératon W 94 Indces élémentares I ) ( p 98/0 Pondératon W 98 A 9 0,79 64, 0,9 B 5,6 0,078 65,9 0,077 C 0 0, ,0854 D 7 0,678 55, 0,584 E 7, 0,950 67,5 0,046 Total ) Calculer les ndces synthétques des pr de Laspeyres, de Paasche et de Fsher. ) Calculer l ndce général des pr en 994 et en 998 en utlsant, pour chaque année, les pondératons correspondantes. Corrgé 8 ) Calcul des ndces synthétques ) Indce de Laspeyres 5 5 P L W I ( p) W 98/ /94 94 I 98/0 I 94/0 ( p) ( p 64, 65, , (0,79 ) (0,078 ) (0,085 ) (0,678 ) 9 5, ,5 (0,950 ) 7,8 7, ) Indce de Paasche I 94/0( p) W98 W98 W P 98 P ( ) I 98 /0( p) 98/94 I 98/94 p I 98/0( p) I ( p) 94/0 50

51 (0,9 9 64, 7, (0,046 ) 67,5 P D où : P 8 98/94 ) Indce de Fsher p p p F P L 7, 9 98/94 98/94 98/94 5,6 0 ) (0,077 ) (0,0854 ) (0,584 65,9 68 ) Calcul de l ndce général des pr en 994 en utlsant les pondératons de / /0( p P I W I ) (0,79 9) (0,078 5,6) (0,085 0) (0,678 7) (0,950 7,) 6, , ) Calcul de l ndce général des pr en 998 en utlsant les pondératons de / /0( p P I W I ) (0,9 64, ) (0,077 65,9) (0, ) (0,584 55,) (0,046 67,5) 6,5 Eercce 9 Enoncé 9 Eercce II. On donne le tableau de répartton suvant : X : nombre de fréquentatons hebdomadares d un magasn Y : montant des achats Yj [0,50[ [50,00[ [00,00[ X

52 ) Calculer les dstrbutons jonte et margnales en fréquence. Calculer les moyennes et varances de ces dstrbutons margnales. Conclure sur l ndépendance de ces deu varables. ) Calculer les dstrbutons condtonnelles de / Y 5 Calculer les moyennes et varances de ces dstrbutons. Corrgé 9 X et / X Y. ) Calculons d abord l effectf total : N L jk j n j 000 ; f j n j N ) la dstrbuton jonte en fréquence Yj [0,50[ [50,00[ [00,00[ Total X 0,040 0,060 0,50 0,5 0,060 0,090 0,40 0,9 0,080 0,070 0,060 0, 4 0,0 0,00 0,00 0,5 Total 0,4 0,4 0,6 ) Dstrbuton margnale en fréquence de X X f f.. f. 0,5 0,5 0,5 0,9 0,58,6 0, 0,6,89 4 0,5 4 Total,46 7, ) Dstrbuton margnale en fréquence de Y 5

53 Y j f. centres j c c f. j f c. j [0,50[ 0, [50,00[ 0, [00,00[ 0, Total Pour calculer les moyennes et varances de ces dstrbutons margnales, on peut compléter les deu tableau relatves à chaque dstrbuton margnale. X f f.. f. 0,5 0,5 0,5 0,9 0,58,6 0, 0,6,89 4 0,5 4 Total,46 7, Y j f. centres j c c f. j f c. j [0,50[ 0, [50,00[ 0, [00,00[ 0, Total v) Moyenne margnale de X : 4 f.,46 v) La varance margnale de X : V f ) 7, (,46), 4 ( 4. v) Moyenne margnale de Y : 5

54 y j f. j y j 8 v) La varance margnale de Y : V y f y ) y 9700 (8) 976 ( j. j j Les deu varables ne sont pas ndépendantes. En effet, on peut remarquer que : f f f 0,040 0,4 0, 5... ) Les dstrbutons condtonnelles de / Y 5 ) Dstrbuton condtonnelle de X / Y 5. X n Total 400 ) Dstrbuton condtonnelle de Y / X X et / X Y. Y j n j [0,50[ 80 [50,00[ 70 [00,00[ 60 Total 0 Pour calculer les moyennes et varances de ces dstrbutons condtonnelle, on peut compléter les deu tableau relatves à chaque dstrbuton condtonnelle de la même manère que celle de la premère queston. On peut ans vérfer que La notaton ( Y 5 ) sgnfe tout smplement la premère classe des valeurs de la varable Y où le centre de cette classe est égale à 5. 54

55 X n f. f Total La moyenne condtonnelle de X / Y 5 est égale à :, La varance condtonnelle de X / Y 5 est égale à :,06 Eercce 0 Enoncé 0 le tableau suvant donne le coût moyen d entreten d un équpement ndustrel en foncton de son âge. Age en années Coût d entreten en dnars ) Détermner l'équaton de la drote des mondres carrés des coûts d entreten Y en foncton de l âge X. Interpréter la pente et la constante de l'équaton de la drote obtenue. ) Calculer le coeffcent de corrélaton lnéare r ; conclure sur le sens et l'ntensté de la lason entre le coût d entreten et l âge de l équpement ndustrel. 55

56 ) Calculer le coeffcent de détermnaton. Conclure quant à la qualté de l'ajustement entre ces deu varables. 4) A comben peut-on estmer le coût d entreten de cet équpement au bout de 5 ans de son utlsaton. 5) Détermner l'équaton de la drote des mondres carrés des coûts d entreten Y en foncton de l âge de l équpement X s on est certan que s X 0 alors Y 0 Corrgé 0 ) Calcul de la valeur de â et de bˆ de la drote de régresson y a b : y y y On a : N N ,5 et N y y 90 9 N (5,5 9) a ˆ 85 0 (5,5) 40,9 b ˆ 9 (40,9 5,5) 4,05 Donc, la drote de régresson est: y 40,9 4, 05 56

57 Cette drote sgnfe que pour un équpement neuf (c est à dre 0), le coût d entreten moyen est de 4, 05 dnars alors que le coût pour un équpement ayant un an (c est à dre ) est estmé à 40,9 4,05 54,95 dnars. La valeur de la pente de la drote sgnfe que le coût d entretent augmente en moyenne de 40,9 dnars par an. ) Coeffcent de corrélaton : Cov(, y) V( ) V( y) 7,5 r V, D 8, ,997. La valeur de r est proche de. Cec tradut une forte corrélaton lnéare postve entre les deu varables. ) Le coeffcent de détermnaton R ( r) 0, 994. R étant très proche de : sgnfe que la qualté d'ajustement lnéare est très bonne. 4) Cette drote de régresson permet de fare des prévsons. Le coût d entreten moyen pour un équpement de 5 ans (c est à dre 5 ), s élève à : ( 40,9 5) 4,05 77, 55 dnars. 5) Dans ce cas, l'équaton de la drote des mondres carrés des coûts d entreten Y en foncton de l âge de l équpement X passe par le pont de coordonnées 0, 0) y a (. L équaton est donc du type : La méthode MCO revent à mnmser la somme des carrés des résdus ( ). La somme des carrés des résdus est donnée par : N N ( y a ) f ( a) La condton de premer ordre de la mnmsaton de cette foncton f par rapport à a donne : N N N ( y a )( ) 0 a ( y a )( ) 0 N ( y a ) N y a N 0 57

58 Ans, on obtent la valeur estmée de la pente de la drote de d ajustement : aˆ N N y 00 Dans ce cas, a ˆ 57, 9 85 Donc, la drote de régresson est: y 57, 9 Eercce Enoncé b b Sot la foncton de producton suvante : Q ak L, a 0 et b 0 où K et L désgnent respectvement le facteur captal et le facteur traval. On note par q la producton par tête et par k l ntensté captalstque. On donne Log ( k ) 5, ( ) ( ) Log q Log k Log ( q ) 7, 0 Log ( k ) 6 5 Comment peut-on estmer les coeffcents aˆ et bˆ de la foncton de producton par tête?. Donner la sgnfcaton du coeffcent bˆ. En dédure l élastcté de la producton par rapport au traval. Corrgé La foncton de producton par tête s eprme par : Q L b ak L L b q ak b Cette relaton n étant pas lnéare. Il nous faut d abord retrouver une relaton lnéare. Pour cela, nous allons passer en Logarthme : Log( q) Log( a) blog( k) 58

59 En posant Log ( q) y, Log( k) et Log( a), on obtent : y b En utlsant la méthode des MCO, on peut retrouver l epresson ˆ et de bˆ : b ˆ ˆ 0 0 y y aˆ N y N 7 6 ( 5) 0( ) 0 0 0,4 6 (5) (0,4 ( )) 0,6 0 0 On peut mantenant retrouver la valeur de â : Log( a) ˆ e ˆ 0,6 a. D où a e 0, 54 Donc, la drote de régresson est : ˆ y 0,4 0,6 D où q 0,54( k ) 0,4 Le coeffcent b représente l élastcté de la producton par rapport au facteur captal. On peut dre qu une augmentaton du facteur captal de 0% entraîne une augmentaton de la producton de 4,%. L élastcté de la producton par rapport au facteur traval est : e b 0,4 0,57. On peut dre qu une augmentaton de Q / L 0% du facteur traval entraîne une augmentaton de la producton de 5,7%. Eercce Enoncé Consdérons les données suvantes sur le pr affché et les quanttés vendues d un certan ben. Quanttés (y)

60 Pr () ) Représenter le nuage de ponts, y ). ( ) Compte tenue de cette représentaton, donner la forme de l ajustement de ce nuage de ponts et retrouver la relaton entre les deu varables. ) Donner une estmaton de la demande lorsque le pr du ben est égal à 50 pus lorsque le pr est égal à 00. Corrgé ) Représentaton du nuage de ponts y ) Il est clar que la forme de ce nuage ne suggère pas un ajustement du type : y a b. La foncton permettant de représenter ce nuage de ponts est une foncton hyperbolque du type : y Afn d estmer les coeffcents de cette foncton par la méthode des MCO, on peu passer d abord par le logarthme népéren qu nous donne une relaton lnéare. On a : y Logy Log Log En posant Log b et a on obtent la forme lnéare suvante : 60

61 Logy alog b y Log Logy ( ) Log( y) Log (Log) ,554 4,644,50 0, ,868 4,060 9,764, ,997,6 8,045 4,97 0 5,47,09 6,58 8, ,5,485,70 0, ,799,97,74,69 Total,086 0,089 0,949 6,0 On a :,086 0,089 Log 5, 8, Logy, En utlsant les epressons de MCO, on trouve : aˆ et bˆ obtenus par la méthode des 0, , 8,48 a ˆ 6, 0 6 (5, 8) b ˆ,48 ( ) 5, 8, 7 L équaton de la drote de régresson de Logy sur Log est de la forme : Log ( y) Log( ),7 Le coeffcent a représente l élastcté de la demande de ce ben par rapport à son pr, c est-à-dre la varaton relatve de la demande par rapport à la varaton relatve du pr. Dans ce cas, on peut dre que s le pr du ben augmente de %, alors la demande dmnuera de %. On peut mantenant retrouver la valeur de ˆ et de ˆ : ˆ,7 Log b Log,7 e

62 a ˆ aˆ ˆ. Enfn, l équaton de la courbe donnant les quanttés demandées en foncton du pr est : y On remarque que la quantté est une foncton décrossante du pr. ) Lorsque le pr du ben est égal à 50, la demande s élève à 60 untés. Lorsque le pr du ben est égal à 00, la demande sera de l ordre à 0 untés. 6

63 EPREUVE DE STATISTIQUE I SESSION PRINCIPALE MAI 98 Le tableau suvant donne les relevés des ventes de jus de frase et de jus d'orange du er semestre de l'année 997. Mos Janver Févrer Mars Avrl Ma Jun Temps (T) Vente de jus de frase en 0 ltres ( X ) Vente de jus d'orange en 0 ltres ( Y ) ) Détermner le mode, la médane, la moyenne et l'écart-type de la varable X. ) Eprmer, en foncton de, l'équaton de la drote des mondres carrés des ventes de jus d'orange Y en foncton du temps (T), au cours du premer semestre. ) La valeur de la pente de la drote de régresson des ventes de jus d'orange en foncton du temps étant égale à, retrouver la valeur de (). 4) Utlser les résultats précédents pour détermner la valeur du coeffcent de corrélaton lnéare entre le temps et les ventes de jus d'orange. Le tableau suvant donne les relevés des ventes de jus de frase et de jus d'orange du second semestre de l'année 997. Mos Vente de jus de frase en 0 ltres ( X ) Vente de jus d'orange en 0 ltres ( Y ) Jullet Fermeture eceptonnelle Fermeture eceptonnelle Août 0 5 Septembre 5 0 6

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