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1 Mais comment on fait pour... Toutes les méthodes fondamentales en Maths Term.S Édition Salutπaths

2 Table des matières 1) GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS Comment déterminer l'ensemble de définition d'une fonction?...13.comment montrer qu'une fonction f est paire? Comment montrer qu'une fonction f est impaire? Comment étudier la parité d'une fonction f? Comment montrer qu'une fonction f est périodique de période p? Comment interpréter graphiquement la parité d'une fonction f? Comment interpréter graphiquement la périodicité d'une fonction f? Comment montrer qu'un point A(a;b) est centre de symétrie de la courbe représentative d'une fonction f? Comment montrer qu'une droite d'équation x=a est axe de symétrie de la courbe représentative d'une fonction f? Comment interpréter l'égalité f(x)+f(-x)=c? Comment déterminer les coordonnées du ou des points d'intersection de C f et Cg? Comment déterminer les coordonnées du ou des points d'intersection de C f et de l'axe des abscisses? Comment déterminer les coordonnées du point d'intersection de C f et de l'axe des ordonnées?...1 ) LIMITES ET ASYMPTOTES Comment retenir les limites des fonctions de référence?...3.comment lire graphiquement lim f x?...3 x a 3.Comment calculer une limite lim x a f x? Comment interpréter graphiquement une limite? Comment montrer que la courbe représentative d'une fonction f admet une asymptote verticale? Comment montrer que la courbe représentative d'une fonction f admet une asymptote horizontale? Comment montrer que la courbe représentative d'une fonction f admet une asymptote oblique? Comment étudier la position relative de C f et d'une droite (D) qui lui est asymptote?..37 3) CONTINUITÉ Comment montrer qu'une fonction f est continue ou non en a R?...39.Comment montrer qu'une fonction est continue sur un intervalle? Comment montrer que l'équation f(x)=k admet au moins une solution sur un intervalle [a;b]? Comment montrer que l'équation f(x)=k admet une unique solution sur un intervalle [a;b]? Comment déterminer une valeur approchée ou un encadrement de la solution? Comment déduire le signe d'une fonction g sur un intervalle I après avoir montré que l'équation g(x)=0 y admettait une unique solution? Comment montrer que g x 0 ou g x 0 sur I=[ ;+ [, où est l'unique solution de l'équation g(x)=0 sur un intervalle J contenant I? ) DÉRIVATION Comment montrer qu'une fonction f est dérivable en a R?...47.Comment étudier la dérivabilité d'une fonction f en a R? Comment étudier la dérivabilité d'une fonction f sur un intervalle I donné?...49

3 f a h f a 4.Comment interpréter graphiquement le résultat suivant : lim = x a h ou quelle conséquence graphique ce résultat a-t-il pour C f? Comment interpréter graphiquement les résultats suivants : lim x a f a h f a réel et lim x a f a h f a h = réel, avec ou quelle conséquence graphique h ces résultats ont-ils pour C f? Comment calculer f '(a)? Comment interpréter graphiquement f '(a)? Comment déterminer graphiquement f '(a)? Comment justifier que f est dérivable sur un intervalle I avant de calculer f '(x)? Comment calculer f '(x)? Comment calculer une dérivée seconde? Comment étudier le signe d'une dérivée ou, plus généralement, comment étudier le signe d'une fonction? Comment déterminer le sens de variation d'une fonction f sur un intervalle I? Comment montrer qu'une fonction f est encadrée par deux autres sur un intervalle I donné (c'est-à-dire g x f x h x sur I)? Comment montrer qu'une fonction f est constante sur un intervalle I? Comment déterminer une équation de la tangente à C f au point d'abscisse a? Comment montrer qu'il existe une ou des tangentes à C f passant par un point A x A ; y A du plan? Comment montrer qu'il existe une ou des droites tangentes à C f parallèles à une droite (D) donnée d'équation y=mx+p? Comment étudier la position de C f par rapport à une tangente T d'équation y=mx+p?71 0.Comment calculer la dérivée d'une fonction définie à l'aide de la valeur absolue?...7 5) FONCTIONS EXPONENTIELLES Comment faire des calculs avec les exponentielles?...73.comment résoudre une équation exponentielle? Comment résoudre une inéquation exponentielle? Comment montrer une égalité de quotients contenant des exponentielles? Comment calculer des dérivées de fonctions contenant des exponentielles? Comment étudier le signe de fonctions dérivées contenant des exponentielles? Comment calculer les limites de fonction contenant des exponentielles? Comment étudier la fonction exponentielle de base a: a x? ) ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Comment montrer qu'une fonction donnée f est solution d'une équation différentielle?...83.comment déterminer un ou des réels pour qu'une fonction soit solution d'une équation différentielle? Comment résoudre une équation différentielle? Comment déterminer LA solution d'une équation différentielle qui vérifie une condition donnée? Comment traiter les questions du type "Démontrer que... est solution de (E) si, et seulement si, est solution de (G)"? Et comment déduire ensuite les solutions de l'équation (E)? ) FONCTIONS LOGARITHMES Comment faire des calculs avec les logarithmes?...89.comment résoudre des équations logarithmiques? Comment résoudre des inéquations logarithmiques? Comment calculer des limites de fonctions contenant ln?...94 = 3

4 4 5.Comment calculer les dérivées de fonctions contenant ln? Comment étudier le signe de ln(x)? Comment calculer avec log a x? ) PRIMITIVES Comment montrer qu'une fonction f est une primitive d'une autre fonction g sur un intervalle I? Comment montrer qu'une fonction f admet une primitive sur I? Comment déterminer une primitive d'une fonction f? Comment déterminer LES primitives d'une fonction f? Comment déterminer LA primitive d'une fonction f, vérifiant une condition donnée? Comment calculer la dérivée de la fonction F : x x a f t d t, définie sur un intervalle I tel que a I? ) INTÉGRATION b 1.Comment calculer l'intégrale f x d x? b.comment calculer a 3.Comment étudier le signe de l'intégrale a a f x d x à l'aide d'une intégration par partie? b f x d x? Comment déterminer un encadrement de l'intégrale f x d x?...14 a 5.Comment traiter les exercices où interviennent intégrales et suites? Comment calculer la valeur moyenne d'une fonction f sur un intervalle [a;b]? Comment calculer l'aire a du domaine du plan délimité par C f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x= et x=? Comment interpréter graphiquement l' intégrale f x d x? Comment interpréter graphiquement l'intégrale a b a b b f x g x d x? Comment donner la valeur d'une aire en cm, m? Comment calculer l'aire a de la surface entre deux courbes, délimitée par les droites d'équations x=a et x=b? Comment calculer le volume engendré par la rotation de la portion de C f sur l'intervalle [a;b] autour de l'axe des abscisses? Comment, dans un repère orthonormé de l'espace, calculer le volume V du solide S engendré par S(z) où z [a;b] et S(z) l'intersection de S et du plan d'équation z=t? ) SUITES ARITHMÉTIQUES ET GÉOMÉTRIQUES Comment montrer qu'une suite u n est arithmétique? comment montrer qu'une suite u n est géométrique? Comment exprimer u n en fonction de n ou, plus généralement, comment exprimer un terme d'une suite en fonction d'un autre? Comment compter le nombre de termes dans une somme de termes consécutifs d'une suite? Comment calculer une somme de termes d'une suite arithmétique? Comment calculer une somme de termes d'une suite géométrique? Comment traiter les exercices sur les pourcentages successifs (capital, intérêt composé, évolution de population...)?...145

5 11) GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES Comment démontrer par récurrence qu'une proposition est vraie? comment déterminer le sens de variation d'une suite? Comment calculer la limite d'une suite? Comment montrer qu'une suite est majorée, minorée ou bornée? Comment montrer qu'une suite u n converge ou comment étudier la convergence d'une suite? Comment représenter les termes d'une suite de la forme u n 1 = f u n sur l'axe des abscisses? Comment montrer que deux suites u n et v n sont adjacentes? Comment montrer qu'une suite u n est constante? Comment déterminer lim u n lorsque u n est définie par u n 1 = f u n? n 10. Comment comprendre et utiliser la notation k = 0 n f k? ) LES NOMBRES COMPLEXES Comment placer dans un repère un point dont on connaît l'affixe? comment faire des calculs avec les nombres complexes? Comment résoudre une équation complexe contenant un ou deux quotients? Comment résoudre une équation complexe contenant z et z? Comment résoudre une équation complexe du second degré à coefficients réels? Comment mettre un nombre complexe donné comme quotient sous forme algébrique? Comment déterminer graphiquement le module d'un nombre complexe z M? Comment lire graphiquement un argument d'un nombre complexe z M? Comment calculer le module d'un complexe donné sous la forme z=a+ib? Comment calculer un argument d'un complexe donné sous la forme z=a+ib? Comment calculer le module d'un complexe donné sous la forme z = R e i? Comment calculer un argument d'un complexe donné sous la forme z = R e i, avec R C? Comment passer de la forme algébrique d'un complexe ( z = a ib ) à sa forme trigonométrique (ou exponentielle)? Comment passer de la forme trigonométrique z = r cos isin (ou exponentielle z = r e i ) à la forme algébrique z = a ib? Comment déterminer l'ensemble des points M(z) tels que z z' = k ou plus généralement =? Comment déterminer l'ensemble des points M(z) tels que arg z z A =? Comment calculer l'affixe de l'image M'(z') d'un point M(z) par la translation de vecteur u b? Comment calculer l'affixe de l'image M'(z') d'un point M(z) par l'homothétie de centre C(c) et de rapport k? Comment calculer l'affixe de l'image d'un point par la rotation de centre C(c) et d'angle? Comment montrer qu'une transformation donnée est une homothétie? Comment montrer qu'une transformation donnée est une rotation? comment déterminer la mesure d'un angle orienté AM ; BN? Comment calculer la distance AB? Comment calculer l'affixe z MN d'un vecteur MN? Comment calculer l'affixe z I du milieu I d'un segment [AB]? Comment calculer l'affixe z G du barycentre G de 3 points (M,m), (N,n) et (P,p)? Comment montrer qu'un point M(z) appartient à un cercle c de centre A z A et de rayon r? Comment déterminer l'ensemble des points M(z) tels qu'un complexe Z donné en fonction de z soit un réel?

6 6 9.Comment déterminer l'ensemble des points M tels qu'un complexe Z donné en fonction de z soit un imaginaire pur? Comment interpréter géométriquement z A z B z C z D? z A z B z C z D =1? z A z B z C z D =k? Comment interpréter géométriquement arg z z A B z C z D? arg z z A B z C z D =0[ ]? arg z A z B z C z D = [ ]? Comment déterminer le ou les points invariants d'une application f donnée? Comment calculer l'image d'un point A d'affixe z A par une application f? Comment montrer que 3 points A, B et C sont alignés? Comment montrer qu'un triangle EFG est isocèle en F? Comment montrer qu'un triangle MNP est équilatéral? Comment montrer qu'un triangle IJK est rectangle en J? Comment montrer que deux vecteurs u z et v z' sont colinéaires? Comment montrer que deux vecteurs u z et v z' sont orthogonaux? Comment montrer qu'un quadrilatère DEFG est un parallélogramme? Comment montrer qu'un quadrilatère DEFG est un losange? Comment montrer qu'un quadrilatère DEFG est un carré? Comment déterminer l'image d'un cercle c( ;r) par une application donnée? ) PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs? comment montrer que deux vecteurs sont orthogonaux? Comment déterminer une équation cartésienne d'un plan p? Comment montrer qu'un point A x A ; y A ; z A appartient à un plan p d'équation ax+by+cz+d=0? Comment obtenir un point d'un plan p d'équation connue? Comment déterminer un vecteur normal à un plan p d'équation ax+by+cz+d=0? Comment vérifier si trois points A, B et C définissent un plan? Comment déterminer un vecteur normal au plan (ABC) défini par les points A, B et C? Comment calculer la distance AB dans un repère orthonormal? Comment calculer la distance entre un point A et un plan p dans un repère orthonormal? Comment déterminer une équation d'une sphère s de centre ( ; ; ) et de rayon r? Comment déterminer une équation d'une sphère de diamètre [AB], les coordonnées des points A et B étant connues? Comment montrer qu'un vecteur u est normal à un plan p? Comment montrer que 4 points A, B, C, D sont coplanaires? Comment montrer qu'un point D appartient à un plan p? Comment montrer que deux plans sont parallèles? Comment montrer que deux plans sont perpendiculaires? Comment déterminer l'intersection de deux plans dont on connaît des équations? Comment déterminer l'intersection de 3 plans dont on connaît des équations? Comment déterminer l'intersection d'un plan p et d'une sphère s ou comment vérifier si un plan p et une sphère s de centre C et de rayon r sont sécants? Comment lire les coordonnées d'un point dans l'espace?...19.comment montrer qu'un point A appartient au plan médiateur d'un segment [B;C]? 0 3.Comment faire la différence entre "orthogonal" et "perpendiculaire"? Comment déterminer l'ensemble des points M du plan tels que... =... ou... =...? Comment montrer qu'un point M est barycentre des points N, P et Q?...3

7 6.Comment calculer les coordonnées d'un barycentre G de (A;a), (B;b) et (C;c)? ) DROITES ET PLANS DE L'ESPACE Comment déterminer une représentation paramétrique d'une droite dans l'espace?...5.comment déterminer un vecteur directeur d'une droite de représentation paramétrique connue? Comment trouver un point d'une droite dont on connaît une représentation paramétrique? Comment déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan à partir de leurs équations? Comment montrer qu'une droite est parallèle à un plan? Comment montrer qu'une droite d est perpendiculaire à un plan? Comment déterminer l'intersection de deux droites? Comment montrer qu'un point A appartient à une droite d dont on connaît une représentation paramétrique? Comment montrer que deux droites sont parallèles dans l'espace? Comment montrer que deux droites sont orthogonales dans l'espace? ) DÉNOMBREMENT Comment calculer des probabilités quand tous les événements élémentaires ont la même probabilité (événements élémentaires équiprobables)?...35.comment calculer le nombre d'anagrammes que l'on peut former avec un mot donné? Comment calculer le nombre de numéros de téléphones (ou de codes...) à p chiffres que l'on peut former avec n chiffres? (Répétition + ordre) Comment calculer le nombre de choix possibles en prenant p éléments distincts parmi n et en tenant compte de l'ordre? (Pas de répétition + ordre) Comment calculer le nombre de choix possibles en prenant p éléments distincts parmi n et en ne tenant pas compte de l'ordre? (Pas de répétition + pas d'ordre) Comment calculer le nombre de possibilités dans le cas où l'on a plusieurs combinaisons reliées entre elles (mélange de boules rouges, noirs, blanches... Les mains d'un jeu de cartes...)? Comment faire des calculs en présence de factorielles? Comment calculer a b n et a b n? Comment déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire X? Comment calculer l'espérance E(X) d'une variable aléatoire X? Comment calculer la variance V(X) et l'écart type d'une variable aléatoire X? ) PROBABILITÉ CONDITIONNELLE Comment déterminer p A B?...45.Comment déterminer p(a B)? Comment déterminer p(a)? Comment savoir s'il faut utiliser un arbre? Comment savoir s'il faut utiliser un tableau? Comment montrer que deux événements A et B sont indépendants? Comment utiliser l'indépendance de deux événements? ) LOIS DE PROBABILITÉ...53 A) LOI BINOMIALE Comment montrer qu'une variable aléatoire X suit une loi binomiale?...53.comment "sentir" l'utilisation d'une loi binomiale? Comment calculer p(x=k) lorsque X suit une loi binomiale de paramètres n et p? Comment calculer la probabilité d'obtenir au moins un "succès"? Comment calculer p X k?

8 8 6.Comment calculer l'espérance E(X) d'une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale de paramètres n et p? Comment calculer la variance V(X) et l'écart-type d'une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale de paramètres n et p?...57 B) LOIS CONTINUES Comment montrer qu'une fonction f, définie sur un intervalle [a;b], est une densité de probabilité? LOI EXPONENTIELLE Comment calculer la probabilité qu'une variable aléatoire X, suivant la loi exponentielle de paramètre, soit comprise entre et R (soit p X )? Comment calculer p X t? p X t? Comment calculer la probabilité qu'un appareil qui n'est pas tombé en panne au bout de x années ne tombe pas en panne durant les h années suivantes? Comment calculer l'espérance E(X) d'une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle? LOI UNIFORME Comment calculer p c X d lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [a;b]? Comment calculer p(x<c)? p(x>c)? Comment calculer E(X)?...61 COMMENT CALCULER EFFICACEMENT?...63

9 9 INFORMATIONS IMPORTANTES... Comment utiliser ce livre? 1- Comme un dictionnaire : après avoir cherché un exo pendant 5 mn minimum en faisant des va-et-vient entre le cours et l'exo (c'est une bonne façon de bien comprendre son cours), cherchez dans ce livre, la ou les méthodes qui peuvent vous dépanner. - Comme un livre d'exercices : travaillez sur les exemples du livre pour acquérir les compétences de base, puis attaquez d'autres exos (+ sujets de bac corrigés). 3- Réviser pour un contrôle, un bac blanc ou le bac : s'assurer que l'on maîtrise les compétences en répondant aux différents "comment". "Voir ch4-c5-m-e3" signifie "voir chapitre 4, comment 5, méthode, exemple 3". Mise en garde! 1- Inutile d'essayer d'apprendre les méthodes par cœur. Comprenez-les en vous appuyant sur le cours de votre professeur : les définitions, les théorèmes et leurs démonstrations y sont clairement exposés. Travaillez aussi sur des exercices variés. Cet entraînement augmentera votre rapidité en contrôle. - Ce livre s'intéresse aux "comment?". Quant aux "pourquoi?", les réponses sont à trouver auprès de votre professeur ou dans un cours. 3- Pendant un contrôle, on ne vous demandera pas comment faire mais de faire. Il faut donc s'entraîner sur suffisamment d'exos pour que l'utilisation des méthodes devienne naturelle. 4- Dans ce livre, les calculs sont souvent faits sur une ligne (les équivalences aussi). Vous, essayez de faire un calcul par ligne. Sur le site, j'ai mis les méthodes pour les spé maths (sans exemples corrigés), des méthodes et astuces complémentaires, des erreurs à corriger et beaucoup d'autres informations. Le blog contient de nombreux conseils pour devenir bon en maths. Des suggestions ou des erreurs à signaler? Vous pouvez écrire à Bon courage!

10 10 " Les chercheurs se sont rendus compte que l'intelligence humaine dépend essentiellement des connaissances. L'intelligence crée des connaissances, les utilise, en génère de nouvelles... " Patrick Brézillon

11 Chapitre 1 - GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 11 Chapitre 1 - GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS Soit x R. x Comment déterminer l'ensemble de définition d'une fonction? 1 Si l'expression de la fonction contient des quotients, on écrit qu'elle est définie si, et seulement si, le ou les dénominateurs sont différents de 0. La résolution du ou des équations ainsi obtenues conduit à D f. Déterminer l'ensemble de définition D f de la fonction 3 x f : x 7 5 x 4 x 6. et x 6. f x est définie si, et seulement si, 7 5 x 0 et x 6 0 ; soit On a donc D f = R { 7 5 ; 6 }. Remarque : l'ensemble de définition est aussi appelé domaine de définition. Si l'expression de la fonction contient des racines carrées, on écrit qu'elle est définie si, et seulement si, la ou les expressions sous les racines sont positives ou nulles. La résolution du ou des inéquations ainsi obtenues donne D f. Déterminer l'ensemble de définition D g de la fonction g : x 8 3 x 4 5 x. Soit x R. g x est définie si, et seulement si, 8 3x 0 et 4 5 x 0 ; soit x 8 3 et x 4 5. On a donc D f =[ 4 5 ; 8 3 ].

12 1 Chapitre 1 - GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 3 Si l'expression de la fonction contient des ln (logarithmes), on écrit qu'elle est définie si, et seulement si, les quantités auxquelles s'applique ln sont strictement positives. La résolution du ou des inéquations ainsi obtenues donne D f. 1 Quel est l'ensemble de définition D h de la fonction h : x ln 1 x? La fonction h est définie si, et seulement si, 1 x 0 ; soit x 1. Ainsi, D h =] ;1[. Étudier le domaine de définition D f de la fonction f définie par f x = ln x 9 x 1. f est définie si, et seulement si, x 0, 9 x 1 0 et 9x-1 0 ; c'est-àdire, x > -, x 1 9 et x 1 9. On conclut que D f =] 1 9 [ ;.. Comment montrer qu'une fonction f est paire? - On écrit que pour tout x D f, x D f. - On montre que f x = f x en calculant f x. - On conclut alors que f est paire. Soit f x =3 1 x définie sur R*. Montrer que f est paire. Pour tout x R*, on a (-x) R*.

13 Chapitre 1 - GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 13 1 D'autre part, f x = 3 x = 3 1 = f x. x La fonction f est donc paire. 3. Comment montrer qu'une fonction f est impaire? - On écrit que tout x D f, x D f (c'est vrai pour la quasi-totalité des exercices proposés). - On montre que f x = f x en calculant f x. - On conclut alors que f est impaire. Montrer que la fonction g définie par g x = x 3 xe x impaire sur R. est Pour tout x R, on a (-x) R. D'autre part, g x = x 3 - x e x = x 3 x e x = x 3 xe x = g x. La fonction g est donc impaire. 4. Comment étudier la parité d'une fonction f? - On vérifie que pour tout x Df, x D f. - On calcule f x. - Si f x = f x, on conclut que f est paire. - Si f x = f x, on conclut que f est impaire. - Si f x est différente des deux résultats précédents, alors f n'est ni paire ni impaire. Soit h x =ln x 5 5 x. Étudier la parité de h sur I=]-5;5[. Pour tout x I, (-x) I (car 5 x 5 5 x 5 ).

14 14 Chapitre 1 - GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS Calculons f x : f x = ln x 5 5 x = ln 5 x x 5 ln = 1 x 5 = ln x 5 = f x. 5 x 5 x On peut conclure que f est impaire. 5. Comment montrer qu'une fonction f est périodique de période p? - On écrit que pour tout x D f, on a x p D f. - On montre que f x p = f x en calculant f x p. - On conclut que la fonction f est périodique de période p. Soit f x = 5cos x 1 sin x définie sur R. Montrer que périodique de période. f est Pour tout x R, x R. D'autre part : f x = 5cos x 1 sin x = 5cos x 1 sinx, (car sin(x+ )=sinx et cos(x+ ) = cosx) = f x. La fonction f est donc périodique de période. 6. Comment interpréter graphiquement la parité d'une fonction f? 1 Si la fonction f est paire, alors l'axe des ordonnées est un axe de symétrie de la courbe représentative de f. On peut donc restreindre l'étude de f à la partie positive (ou négative) de son domaine de définition. Ainsi, si f est paire sur R, on étudie f sur l'intervalle [0 ; [. C f, la courbe complète de f, s'obtient par la symétrie d'axe (Oy).

15 Chapitre 1 - GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 15 Si la fonction f est impaire, alors l'origine du repère O est centre de symétrie de la courbe représentative de f. On peut donc restreindre l'étude de f à la partie positive (ou négative) de son domaine de définition. 7. Comment interpréter graphiquement la périodicité d'une fonction f? Si la fonction f est périodique de période p, les portions de C f sont les mêmes sur des intervalles successifs de longueurs p. Ou encore, la courbe de f est invariante par la translation de vecteur p i. On peut donc restreindre l'étude de la fonction f à un intervalle de longueur p. Soit f x = 5cos x 5 1, x R. a) Étudier la parité de la fonction f. b) Montrer que f est 10 -périodique. c) En déduire qu'il suffit d'étudier f sur l'intervalle [0;5 ]. a) Pour x R, on a x R et : x f x = 5 cos D'où f x = f x sur R. La fonction f est donc paire. 5 1 = 5 cos x b) Pour x R, on a x 10 R et : f x 10 = 5 cos 5 1 = 5 cos x 5 x = 5 cos x 10 = 5 cos x 5 La fonction f est donc 10 -périodique. 1= 5 cos x = f x. 1. c) La parité de la fonction f permet de restreindre son étude à l'intervalle [0 ; [ alors que sa 10 -périodicité autorise à ne l'étudier que sur un

16 16 Chapitre 1 - GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS intervalle de longueur 10 ; choisissons [ 5 ;5 ]. La prise en compte simultanée de la parité et la périodicité conduit finalement à étudier f sur l'intervalle [0;5 ]. 8. Comment montrer qu'un point A(a;b) est centre de symétrie de la courbe représentative d'une fonction f? 1 - On considère un réel h tel que a h D f et a h D f. - On montre que f a h f a h =b en calculant f a h f a h. - On conclut. Soit f x = x 3 x définie sur R. Démontrer que le point A(1;) est centre de symétrie de C f, la courbe représentative de f. Soit h R tel que 1 h et 1 h appartiennent à D f. Calculons f 1 h f 1 h : f 1 h f 1 h = 1 h 3 1 h 1 h 3 1 h. Après développement, on trouve f 1 h f 1 h = qui est l'ordonnée de A. On peut donc conclure que A 1 ; est centre de symétrie de C f. (plus rapide) - On considère un réel x tel que a x D f - On montre que f x f a x =b (on a posé a h = x dans la méthode 1). - On conclut.

17 Chapitre 1 - GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 17 Soit f x = x 3 x définie sur R. Démontrer que le point A(1;) est centre de symétrie de C f. Soit x R tel que (+x) R. f x f a x Calculons f x f a x Après développement, on trouve : = x 3 3 x x 3 3 x. f x f a x A. On conclut donc que A(1;) est centre de symétrie de C f. = qui est l'ordonnée de 9. Comment montrer qu'une droite d'équation x=a est axe de symétrie de la courbe représentative d'une fonction f? 1 - On prend h R tel que a h et a h D f. - On montre que f a h = f a h en calculant séparément f a h et f a h. - On conclut. Soit g x = 3 x 1 x 1 définie sur R -{0;4}. Montrer que la x 4 x droite d'équation x= est axe de symétrie de C g. Soit h 0 tel que h et h appartiennent à D f (ici, a= ). Montrons que g h =g h. g h = 3 h 1 h 1 h 4 h g h = 3 h 1 h 1 = 3 h 11 h 4 = 3 h 11 h 4. h 4 h On constate que g h =g h. La droite d'équation x= est donc axe de symétrie de C g. ;

18 18 Chapitre 1 - GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS On montre que f a x = f x (on a posé a h=x dans l'équation précédente). Soit g x = 3 x 1 x 1 définie sur R-{0;4}. x 4 x Montrer que la droite d'équation x= est axe de symétrie de C g.. Soit x D f tel que 4 x appartient à D f. Montrons que g a x =g x avec a=. On a g a x =g 4 x = 3 4 x 1 4 x 1 =... = 3 x 1 x 1 =g x. 4 x 4 4 x x 4 x On peut conclure que la droite d'équation x= est axe de symétrie de C g. 10. Comment interpréter l'égalité f(x)+f(-x)=c? Il suffit de voir que f x f x =c s'écrit aussi f 0 x f 0 x = c. Ce qui signifie que le point A 0; c est centre de symétrie de C f. 11. Comment déterminer les coordonnées du ou des points d'intersection de C f et C g? - On résout l'équation f x =g x pour trouver la ou les abscisses x 0 des points d'intersection. - On calcule f x 0 pour trouver la ou les ordonnées. - On conclut que les points de coordonnées x 0 ; f x 0 sont les points cherchés.

19 Chapitre 1 - GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS Comment déterminer les coordonnées du ou des points d'intersection de C f et de l'axe des abscisses? - Le ou les points d'intersection ont pour ordonnée 0. - On résout l'équation f x =0 pour trouver la ou les abscisses x 0 (solution de l'équation) des points d'intersection. - Les points de coordonnées x 0 ; 0 sont les points cherchés. Soit la fonction f définie sur R par f x = 6 x x 5. Déterminer le ou les points d'intersection de C f, la courbe représentative de f, et de l'axe des abscisses. Résolvons l'équation f x = 0 pour déterminer les abscisses des points d'intersection : On a f x = 0 6 x x 5 = 0. Après calcul du discriminant de cette équation du second degré, on obtient les deux solutions x 1 = 1 et x = 5 6. Les points cherchés ont donc pour coordonnées 1 ; 0 et 5 6 ; Comment déterminer les coordonnées du point d'intersection de C f et de l'axe des ordonnées? - Le point d'intersection a pour abscisse 0 et pour ordonnée f 0. - On calcule f(0). - Le point cherché a pour coordonnées 0 ; f 0. Soit la fonction f définie sur R par f x = 6 x x 5. Déterminer le point d'intersection de C f, la courbe représentative de f, et de l'axe des ordonnées.

20 0 Chapitre 1 - GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS Le point cherché a pour abscisse 0 et pour ordonnée f 0. Comme f 0 = 5, on en déduit que le point d'intersection de C f et de l'axe des ordonnées est le point de coordonnées 0 ; 5.

21 Chapitre - LIMITES ET ASYMPTOTES 1 Chapitre - LIMITES ET ASYMPTOTES - On a lim x 1. Comment retenir les limites des fonctions de référence? Inutile de les apprendre par cœur. Il suffit de comprendre. Pour cela, garder en tête que lim f x est le nombre vers x a lequel se rapproche f(x) lorsque x se rapproche de a. Donner les limites suivantes: lim x 1 x, lim x et lim x 3. x 1 = 0. En effet, si x prend des valeurs de plus en plus grandes x (tend vers ), par exemple 10, 100, 10000, , 1 x 0,1, 0,01, 0,0001, 0, D'où plus x grandit, plus 1 x vaut tour à tour se rapproche de 0 (sa limite). - On a lim x = +. Pour le voir, il suffit d'imaginer x qui tend vers +, prenant successivement les valeurs 4, 9, 16, 100, 10000, x elle prendra les valeurs, 3, 4, 10, 100, Donc plus x devient grand, plus x grandit. - Pour terminer, lim x 3 =. Ici, si x prend pour valeurs respectivement x -10, -100, -1000, , on constate que x 3 lui prend respectivement les valeurs -1000, , , ,... D'où comme limite x 3 lorsque x tend vers.. Comment lire graphiquement f x? lim x a On prend x de plus en plus proche de a et on regarde vers quelle valeur f x se rapproche.

22 Chapitre - LIMITES ET ASYMPTOTES 3. Comment calculer une limite f x? lim x a 1 On remplace tous les x par a. Calculer lim x e x 5. x 0 On a lim x e x 5 = 0 e 0 5= 1 5=4. x 0 Si f est une fonction polynôme et si x, alors on calcule la limite de son terme de plus haut degré (on peut aussi utiliser la méthode un peu plus longue qui consiste à mettre la plus grande puissance de x en facteur). Calculer lim 7 5 x 9 x 3. x On cherche la limite d'un polynôme en. Il suffit de calculer celle de son terme de plus haut degré. On a donc : lim 7 5 x 9 x 3 = lim 9 x 3 =. x x Autre méthode (exigible par votre professeur) : 3 On a lim 7 5 x 9 x 3 = lim x 7 x x x 5 3 x 9. Comme lim x 3 = et lim 7 x x x 5 9 = 9, on en déduit que 3 x lim 7 5 x 9 x 3 = ( x 9 ). 3 Si f est une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) et si x, alors on calcule la limite du quotient des termes de plus haut degré (on peut aussi utiliser la méthode qui consiste à mettre la plus grande puissance de x en facteur au numérateur et au dénominateur).

23 Chapitre - LIMITES ET ASYMPTOTES 3 Calculer lim lim 3 x 4 x 1 7 x. 1 x 6 x 3 x, lim x x 3 7 x 4 x et On cherche les limites de fonctions rationnelles à l'infini. Il suffit donc de calculer les limites des quotients de leurs termes de plus haut degré. Ainsi lim 1 x 6 x 3 x = lim x 3 7 x x 1 6 x = lim 6x =0. x 3 x = lim x=. x Puis lim = lim x 4 x x 3 x 4 x 3 x Et enfin lim = lim = x 7 x 7. Autre méthode (exigible par votre professeur) : On a lim 1 Comme lim x en déduit que lim De même, lim x 1 x 6 x 3 x = lim x x 3 7 x 4 x x 1 = 1, lim x 1 x 6 x 3 x =0. = lim x x 1 x 1 x x 6 3 x = lim x 3 x 1 7 x 1 3 x x 4 x 1 1 x 1 x x 6 3 x. x 6 3 x = 6 et lim x = x, on = lim x x 1 7 x 3 1 x. 4 x 1 Après calcul des limites du numérateur et du dénominateur, on obtient x 3 7 x lim =. x 4 x Pour terminer, 3 x 4 x lim 1 7 x = lim x x x 3 4 x x 1 x 7 = lim x x 3 4 x 1 x 7 = 3 7.

24 4 Chapitre - LIMITES ET ASYMPTOTES 4 En appliquant la méthode 1 à un quotient, si l'on obtient une constante au numérateur et 0 au dénominateur (situation c 0 qui tend toujours vers l'infinie), alors on calcule les limites pour x a et x a. a) Calculer lim x 3 x x 19 3 x 5 x ; b) lim x 1 x 3 x. a) En appliquant la méthode 1, on obtient lim x 3 lim 3 x =0 d'où la forme c x 3 0. Dans ce cas, on calcule lim 3 x = 0 x 3 x x 19 = 13 et et lim x 3 3 x = 0. Remarque: pour trouver 0 et 0, deux techniques peuvent être employées : - Technique 1: x 3 signifie x -3 et x 3 et donc x 3 0 (positif) ; d'où le 0. - Technique : pour x 3, comme x 3, on prend un nombre plus grand que 3, 0 par exemple, et on remplace x par ce nombre dans 3 x ; le signe du résultat, +3 pour x=0, donne 0. Pour x 3, on prend x= 4, et x 3 vaut 1 ; d'où 0. On en déduit que lim x 3 lim x 3 x x 19 3 x b) On a lim x 1 x x 19 3 x = ( 13 0 ). = (qui vient de 13 0 ) et 5 x=3 et lim x 3 x =0 d'où la forme x 1 c 0. Déterminons le signe de x 3 x a droite, puis à gauche de 1. Pour cela, il suffit d'étudier le signe du trinôme du second degré comme en première: le calcul de son discriminant conduit aux deux racines 1 et. Son tableau de signe est donc : x 1 + x 3 x Comme x 3 x 0 pour x 1, on en déduit que lim x 1 x 3x =0. De même, x 3 x 0 pour x 1 conduit à lim x 1 x 3 x =0. En conclusion, lim 5 x=3 et lim x 3x =0 x 1 x 1 donne

25 Chapitre - LIMITES ET ASYMPTOTES 5 lim x 1 5 x x 3 x =. Alors que lim x 1 lim x 1 5 x x 3 x =. 5 x=3 et lim x 1 x 3 x =0 donne 5 En présence de x et de x n, lorsque x tend vers, on factorise. Calculer les limites suivantes : a) lim 4 x 3 x 3 x 1 ; b) lim x x 5 x x 4 x. 3 a) On a lim 4 x 3 x 3 x 1= lim x 4 1 x 3 x 1 Or lim x =0, lim On en déduit que lim x x = lim x 3 x x x 3 x = lim x x 3 1 x 3 = 4. Comme lim x 3 =, on obtient finalement lim 4 x 3 x 3 x 1=. x 3 1 x 3. 1 x x =0 et lim Remarque: pour faire disparaître la racine au numérateur, on multiplie en haut et en bas par x. Ainsi, x x = x x x x = x x x... x x b) lim 5 x x 4 x = lim x Or lim x x = lim = lim x x x = lim x x 1 x x x 5 1 x 4 x x x x 1 x 5 1 x 4 x x. x 1 x =0, lim x 1 x =0, lim 1 x 3 =0. x =0 et

26 6 Chapitre - LIMITES ET ASYMPTOTES lim x x = lim x x x = lim x 1 x x =0. On en déduit que lim 1 x x =1, lim 5 1 x 4 x x x =5 et donc lim x 5 1 x 4 x x x =. Ce qui permet de conclure que lim a) On a lim x lim x indéterminée). x x 5 x x 4 x =0. 6 En présence de racines carrées, si x tend vers l'infini et que l'on débouche sur la forme indéterminée, alors on utilise la méthode du conjugué en multipliant et divisant par l'expression conjugué. Soit f x = x 1 x et g x = x x 1. Calculer les limites suivantes : a) lim f x (faux cas) ; b) lim f x (cas gentil) et x c) lim g x (cas pas sympa). f x = lim x x 1 x. Comme lim x x = on peut conclure que lim x b) Par contre pour lim obtient la forme indéterminée. Appliquons la méthode du conjugué : x 1 x= x 1 x x 1 x lim f x = lim conclure que lim c) Pour terminer, déterminons lim x 1 = et f x =+ (En fait, ici, il n'y a pas de forme f x, en procédant comme précédemment on x 1 x = x 1 x x 1 x = 1 x 1 x. D'où 1 x 1 x. Mais comme lim x 1 x =+, on peut f x =0. g x = lim x x 1. On a la forme indéterminée +. Appliquons la méthode du conjugué : x x 1 = x x 1 (c'est pour avoir la forme A B )

27 Chapitre - LIMITES ET ASYMPTOTES 7 x 1 = x x x 1 x x 1 x x 1 = x x 1 (on a utilisé a b a b =a b ) x 3 = x x 1 = = = = = x x 3 x 1 x x 1 1x (on a mis x x 3 x x 1 x x 1 1 x x 3 x x 1 x x 1 1 x x 3 x (Attention! x en facteur sous la racine) = x ) x 1 x x 1 1 x (comme x tend vers +, x 0 ; d'où x =x ) x 3 x x 1 x 1 1 (on met x en facteur au dénominateur) x 3 = x 1 x 1 1 x Comme le numérateur tend vers et le dénominateur vers quand x tend vers +, on en déduit que lim g x = 1.

28 8 Chapitre - LIMITES ET ASYMPTOTES 7 Si la fonction est un quotient qui, pour x tendant vers un réel a, donne 0, alors on utilise la définition du 0 nombre dérivé. Calculer a) lim x 0 d) lim x 1 x 8 3 e x e sin x x. ; b) lim x 0 e x 1 x ; c) lim x 5 4 x 3 x 3 et On va mettre les limites à calculer sous la forme lim x a elle existe (ce qui équivaut à f dérivable en a ), est égale à f ' a. a) On a lim x 0 f x =sin x. sin x x = lim x 0 sin x sin 0 x 0 = lim x 0 f x f 0 x 0 f x f 0 Comme f est dérivable en 0, alors lim x 0 x 0 Pour x R, f ' x = cos x ; d'où f ' 0 = cos 0 = 1. On peut donc conclure que lim x 0 b) De la même façon, on a : lim x 0 e x 1 x = lim x 0 e x e 0 x 0 = lim x 0 sin x x =1. f x f 0 x 0 f x f a x a avec qui, si existe et vaut f ' 0. avec f x = e x, dérivable sur R. f x f 0 Donc lim = f ' 0. x 0 x 0 Pour x R, f ' x = e x ; ce qui conduit à f ' 0 = 1. e x 1 On peut conclure que lim = 1. x 0 x c) En suivant le même cheminement, on a : lim x 5 4 f x f 3 = lim = f ' 3 avec f x = x 3 x 3 x 3 x 3 x 5, dérivable sur tout I intervalle où x 5 0, soit I =] ; 5[ ] 5 ; [. x Donc pour x I, f ' x = x 5 et f ' 3 = 3 4.

29 Chapitre - LIMITES ET ASYMPTOTES 9 On conclut que lim x 5 4 = 3 x 3 x 3 4. d) Pour le dernier exemple, on a la forme indéterminée 0. Par contre, on 0 remarque qu'au dénominateur il n'y a pas de x a. Il va falloir le créer en divisant le numérateur et le dénominateur par x a. Ici a vaut 1. x 8 3 On a lim x 8 3 x 1 = lim. x 1 e x e x 1 e x e x 1 En calculant, grâce au procédé précédent, lim x 1 lim x 1 e x e x 1 =e, on en déduit que lim x 8 3 = x 1 e x e x 8 3 = 1 x 1 6 et 1 6 e = 1 6e. 8 Si f est la composée de deux fonctions ( f =u v ) alors : - on calcule lim v x =b ; x a - ensuite lim u X =c ; X b - et on conclut, d'après le théorème sur la limite de composés de fonctions, que lim f x =c (méthode utilisée avec x a cos, sin, ln, exp, ). Calculer a) lim x c) lim x 1 5 x. 1 x 3 x cos x 3 5 ; b) lim 6e t t On cherche des limites de composées de fonctions. 1 x 3 x a) Pour lim, on procède comme suit : x cos x x 3 x 3 x - D'une part, lim = lim x x 3 5 x x 3 rationnelle à l'infinie). - D'autre part, lim cos X =1. X 0 et 3 = lim = 0 (limite de fonction x x

30 30 Chapitre - LIMITES ET ASYMPTOTES - D'où, d'après le théorème de composition des limites, 1 x 3 x lim x cos x 3 5 = 1. b) Appliquons la même démarche à lim 6e t : t - On a lim t = lim t =. t t - Or lim 6e T = 0. T - On conclut, par composition des limites, que lim 6 e t =0. t c) En procédant comme en a) et b), on obtient lim 5 x =. x 1 9 Si l'on peut obtenir un encadrement de f au voisinage de a, c'est-à-dire g x f x h x pour tout x proche de a et si lim x a g x = lim x a des gendarmes : lim x a h x =b, alors on applique le théorème f x =b. Calculer lim t cost t 5 x sin x et lim. x 1 x cost Pour lim, on constate que lim cos t n'existe pas. L'approche directe t t t ne fonctionne donc pas. Il va falloir s'y prendre autrement. - Tout d'abord, on a 1 cost 1 pour tout t réel. Comme t tend vers +, t 0 et donc 1 cost t t - D'autre part, lim t 1 t 1 t. 1 = 0 et lim t t = 0. - D'après le théorème des gendarmes, on a lim t 5 x sin x Pour lim x 1 x pas. cost t = 0. aussi, on remarque que lim sin x n'existe x 5 x sin x Procédons à un encadrement pas à pas de : 1 x 1 sin x 1 pour tout x R. D'où 1 sin x 1, x R et 5 x 1 5 x sin x 5 x 1, x R. Lorsque x tend vers, on a 1 x 0 et donc

31 Chapitre - LIMITES ET ASYMPTOTES 31 5 x 1 x sin x 5 x 1 5. x 1 x 1 x 1 5 x 1 Pour terminer lim x x 1 = lim 5 x = -5 et x x 5 x 1 lim x x 1 = 5 x lim = -5. x x Le théorème des gendarmes nous permet de conclure que 5 x sin x lim = -5. x 1 x 10 Si l'on a f x g x pour tout x proche de a et lim g x =, alors on conclut que lim f x =. x a (De même si f x g x pour tout x proche de a et lim x a que lim f x = ). x a x a g x =, alors on conclut Soit f x = cos x x x. Montrer que f x x 1 x x 0, puis en déduire lim f x. x pour tout Procédons par équivalence. Pour x 0, f x x 1 x cos x x x x 1 x cos x x 1 x cos x 1, x 0 (l'inégalité change de sens lorsqu'on multiplie ses deux membres par x 0 ). Comme cos x 1 est vraie pour tout x (On pourrait aussi montrer cette inégalité par encadrement de f(x)). Déterminons lim x R, on a donc bien f x. On a montré que f x x 1 x lim x 1 = ( lim x 1 = et lim x x x x x = 0). On peut donc conclure, grâce au théorème de comparaison, que lim x f x =. f x x 1 x pour x 0. Or

32 3 Chapitre - LIMITES ET ASYMPTOTES a) Pour lim x 4. Comment interpréter graphiquement une limite? On l'interprète en terme d'asymptote : - Si lim f x = ou, où a R, alors on conclut que x a C f admet une asymptote verticale d'équation x=a. - Si lim f x =b, où b R, alors on conclut que C f admet une asymptote horizontale d'équation y=b. - Si lim f x y=0 avec y=ax b, alors C f admet une asymptote oblique d'équation y=ax b. Calculer les limites suivantes et donnez-en une interprétation x 5 x 4 x 5 graphique: a) lim ; b) lim x x x 1 5 x x ; c) lim x 5 x x lim x 5 x = 1 et lim x x lim x = 0 et lim x x f x 4x 1 où f x = 4x 9x 5 x x x, on voit que c'est un cas c. En effet, 0 x = 0. Dans ce cas, on calcule x = 0. x 5 x x x 5 x x On en déduit que lim x x = et lim x x = +. Graphiquement, ces deux résultat indiquent que la droite d'équation x= est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction x 5 x f : x. x b) On cherche la limite d'une fonction rationnelle à l'infinie. 4 x 5 4 x On a donc lim = lim = 4. x 1 5 x x x x Posons g x = 4 x 5. Le résultat précédent s'interprète alors ainsi : 1 5 x x C g admet en une asymptote horizontale d'équation y=4..

33 Chapitre - LIMITES ET ASYMPTOTES 33 c) Pour le dernier exemple, calculons d'abord f x 4x 1 = 4x 9x 5 4 x 1 = 3 x x. 3 x = 0. Ce qui donne lim f x 4x 1 = lim C f admet donc en + une asymptote oblique d'équation y=4 x Comment montrer que la courbe représentative d'une fonction f admet une asymptote verticale? - On choisit une valeur interdite a R de f et on calcule f x pour trouver ou. lim x a - On conclut que la droite d'équation x=a est asymptote à C f. Soit la fonction f définie sur ] ; 4[ ] 4; [ par f x = x3 x 6. Montrer que f admet une asymptote dont on 4 x précisera une équation. Comme -4 annule le dénominateur de f(x), on n'hésite pas : on calcule f x. lim x 4 On a lim x 3 x 6 = -66 et lim x 4 x 4 4 x=0 Or lim x 4 x 4 D'où lim x 4 x 4 et lim 4 x=0. x 4 x 4 f x = et lim x 4 x 4 4 x = 0. Donc cas f x = +. c 0. Des deux derniers résultats, on déduit que la droite d'équation x= 4 est asymptote à la courbe représentative de la fonction f.

34 34 Chapitre - LIMITES ET ASYMPTOTES 6. Comment montrer que la courbe représentative d'une fonction f admet une asymptote horizontale? - On calcule lim f x ou lim x f x pour trouver un réel b. - On conclut alors que la droite d'équation y=b est asymptote à C f en + ou en. Soit f : x x x 3 x 7 définie sur. Montrer que C f, la courbe représentative de f, admet en une asymptote dont on précisera une équation. Calculons lim f x. x f étant une fonction rationnelle, on a : lim x f x = lim x On a montré que lim x x x 3x 7 = lim x x 3x = 1 3. f x = 1 3. On peut donc conclure que C f admet une asymptote verticale en d'équation y= Comment montrer que la courbe représentative d'une fonction f admet une asymptote oblique? - On montre que lim f x y=0 ou lim x f x y=0, avec y=ax b. - On conclut alors que la droite d'équation y=ax b est asymptote oblique à C f en + ou en. Soit f la fonction définie sur R-{1} par : f x = x 6 x 5 x 1.

35 Chapitre - LIMITES ET ASYMPTOTES 35 a) Déterminer les réels a, b et c tels que f x = ax b c x 1. b) En déduire que la courbe représentative C de f admet une asymptote oblique dont on précisera une équation. a) Pour tout x 1, on a ax b c x 1 = ax ax bx b c = x 1 ax a b x b c. x 1 D'où pour x R-{1} : ax b c x 1 = f x ax a b x b c = x 6 x 5. x 1 x 1 Par identification des coefficients des polynômes aux numérateurs, on obtient { a= { a= a b= 6, ce qui, après résolution, donne b= 4 et donc b c=5 c=1 f x = x 4 1 x 1. b) Pour trouver une asymptote oblique, remarquons que x 4 est de la forme ax b. Calculons donc lim f x x 4 et f x x 4. lim x De f x = x 4 1 x 1, on a f x x 4 = 1 x 1. D'où lim lim x f x x 4 = lim f x x 4 = lim x 1 x 1 = 0 et 1 x 1 = 0. On conclut alors que C admet en + et une asymptote oblique d'équation y= x Comment étudier la position relative de C f et d'une droite (D) qui lui est asymptote? - On calcule f x y, où y=ax b est une équation de la droite D. - On étudie ensuite le signe de f x y (à l'aide d'un tableau si nécessaire).

36 36 Chapitre - LIMITES ET ASYMPTOTES - On conclut que C f est au-dessus de D sur l'intervalle où f x y 0 et que C f est en dessous de (D) sur l'intervalle où f x y 0. Dans l'exemple précédent, étudier les positions relatives de C et de. On a montré que pour x 1, f x y = f x x 4 = 1 x 1. Étudions le signe de f x y avec x 1: f x y est du signe de 1 x 1 qui a le même signe que x 1. Or x 1 0 pour x 1 et x 1 0 pour x 1. On peut donc dire que sur [1; [, f x y 0 ; c'est-à-dire f x y. Ce qui signifie que sur [1; [ l'intervalle, C est au-dessus de. Et f x y 0 sur ] ;1] f x y sur ] ;1]. D'où C en dessous de sur ] ;1].

37 Chapitre 3 - CONTINUITÉ 37 Chapitre 3 - CONTINUITÉ 1 1. Comment montrer qu'une fonction f est continue ou non en a R? 1 - On calcule lim f x, puis f a. x a - S'ils sont égaux, on conclut que la fonction f est continue en a. - Sinon, elle ne l'est pas. Soit f x ={ sin x si x 0 x, f est-elle continue en 0? 1 si x=0 Remarquons que D f = R. Vérifions si lim f x = f a avec a=0. x a On a f 0 =1 d'après l'énoncé ( f x = 1 si x = 0 ). sin x D'autre part, lim f x = lim x 0 x 0 x Comme lim f x = f 0, on peut affirmer que f est continue en 0. x 0 =1 (voir méthode calcul de limites : ch-c-m7). 1 x si x 1 Soit la fonction f définie par f x ={ x 3 x 7 si x 1. a) Calculer f 0, f 3, f 5 et f. b) Étudier la continuité de f sur R. a) Comme 0 1, on utilise la première expression de f pour calculer f(0). Ainsi, f 0 =1 0=1. 3 1, c'est donc la deuxième expression de f qu'il faut utiliser : f 3 = =9 9 7= donne f 5 =1 5= 4. Et enfin, 1 donc f = 3 7= 17. Remarque: la question a) sert à mieux appréhender la fonction f qui peut aussi être définie comme suit:

38 38 Chapitre 3 - CONTINUITÉ { f x =1 x si x [ 1 ; [ f x =x 3 x 7 si x ] ; 1[. Le polynôme x 1 x est continue sur R; d'où f est continue sur ] 1 ; [. De même, la continuité de la fonction x x 3 x 7, également un polynôme, entraîne celle de f sur ] ; 1[. Il ne reste plus qu'à étudier la continuité de f en -1 ("point frontière", à droite et à gauche duquel f à une expression différente) : vérifions si lim f x = f 1. x 1 Comme 1 1, c'est l'expression f x =1 x qui sera utilisée pour calculer f 1 ; on a ainsi f 1 =1 1 =. D'autre part, la fonction f a une expression différente suivant que l'on se trouve à droite ou à gauche de -1; il faut donc calculer les limites à gauche et à droite de -1. On a : lim x 1 f x = lim On constate que lim x 1 x 1 1 x= et lim x 1 f x lim x 1 f x = lim x 3 x 7= 9. x 1 f x f x. Ce qui signifie que lim x 1 n'existe pas. La fonction f n'est donc pas continue en -1. On conclut que f est continue sur ] ; 1[ ] 1; [. Si l'on sait que la fonction f est dérivable en a, alors f est continue en a.. Comment montrer qu'une fonction est continue sur un intervalle? 1 On applique le résultat de cours suivant : "Les fonctions polynôme, rationnelle, cosinus, sinus, racine carrée et valeur absolue sont toutes continues sur leurs ensembles de définition. Les fonctions obtenues par addition, multiplication, division ou composition de ces fonctions sont également continues sur leurs ensembles de définition." Montrer que les fonctions suivantes sont continues sur I : a) f x = 5 x 4 x 4 x 1, I=R.

39 Chapitre 3 - CONTINUITÉ 39 b) g x =cos x x 7 x 6, I=R\{1;6}. c) h x =ln 4 x e x 3, I =] ;[. a) La fonction f est un polynôme, donc continue sur R. b) La fonction x x est une fonction rationnelle, donc continue x 7 x 6 sur son domaine de définition I. La fonction cos, elle, est continue sur R. On en déduit que g, composée des deux fonctions précédentes, est continue sur son domaine de définition I. c) La fonction ln est continue sur ]0; [. Le polynôme x 4 x l'est sur R. D'où la continuité, par composition, de x ln 4 x sur son domaine de définition I. D'autre part, les fonctions exponentielles et x x 3 sont toutes deux continues sur R. Ce qui assure la continuité de x e x 3 sur R en tant que composée des deux précédentes. Finalement, la fonction h est continue sur son ensemble de définition I comme somme des fonctions x e x 3 et x ln 4 x. Si la fonction f est dérivable sur l'intervalle I, alors elle y est continue. Cette méthode est utilisée lorsqu'après avoir établi le sens de variation d'une fonction g sur un intervalle I, on demande de montrer que l'équation g x = k (en général, g(x)=0) admet une unique solution sur I. La dérivabilité de g, prouvé avant le calcul de g ' x, permet de dire que g est continue sur I. L'intérêt, c'est de ne pas perdre de temps à prouver que g est continue sur I avec la méthode Comment montrer que l'équation f(x)=k admet au moins une solution sur un intervalle [a;b]? - On montre que f est continue sur l'intervalle [ a ;b ]. - On calcule f a et f b pour montrer que k est compris entre ces deux nombres. - On conclut, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, que l'équation f x =k admet au moins une solution sur l'intervalle [ a;b].

40 40 Chapitre 3 - CONTINUITÉ Montrer que l'équation x 4 x 1=0 admet au moins une solution dans l'intervalle [0 ; ]. Posons f x =x 4 x 1. L'équation x 4 x 1=0 équivaut à f x =0. Montrons donc que f x =0 admet au moins une unique solution dans l'intervalle [0 ; ]. - La fonction f qui est un polynôme est continue sur [0 ; ]. - D'autre part, f 0 = 1 et f =13 ; , d'où 0 est compris entre f 0 et f. Ces deux critères étant satisfaits, on peut conclure, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, que l'équation f x =0 admet au moins une solution dans l'intervalle [0 ; ]. 4. Comment montrer que l'équation f(x)=k admet une unique solution sur un intervalle [a;b]? - On montre que la fonction f est continue sur l'intervalle [ a ;b ]. - On montre que f est strictement monotone (c'est-à-dire strictement croissante ou décroissante) sur [ a;b]. - On montre que k est compris entre f a et f b en calculant ces deux nombres (si k = 0, donc équation f x = 0, alors il suffit de montrer que f a f b 0 : o est dans ce cas compris entre f(a) et f(b) qui sont de signes contraires). - On conclut, d'après le théorème de la valeur intermédiaire (ou théorème de la bijection), que l'équation f x =k admet une unique solution dans l'intervalle [ a;b]. 1 Montrer que l'équation x 3 3 x x 5=0 admet une unique solution sur l'intervalle [ ; 3]. Posons f x = x 3 x x 5. L'équation x 3 3 x x 5=0 est équivalente à f x =0. Montrons donc que cette dernière admet une unique solution dans l'intervalle [ ; 3]. - La fonction f, un polynôme, est continue sur l'intervalle [ ; 3]. - Montrons qu'elle strictement monotone sur cet intervalle.

41 Chapitre 3 - CONTINUITÉ 41 f est dérivable sur [ ; 3] et f ' x = 3 x 4 x 1 ; le discriminant de f ', trinôme du second degré, est égal à 4. On en déduit ses deux racines : x 1 =1 et x = 1 3. La règle de signe d'un trinôme du second degré nous permet de dire que f ' x 0 sur l'intervalle [1; [ ; donc f ' x 0 sur [ ; 3]. Ainsi, la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [ ; 3]. - Vérifions que 0 est compris entre f et f 3. On a f = 3 5=3 et f 3 = 7. Comme 7 0 3, on a bien 0 compris entre f et f 3. Le théorème des valeurs intermédiaires permet de conclure que l'équation donnée admet une unique solution dans l'intervalle [ ; 3]. Soit g la fonction définie sur ] ;5] par g x = 5 x x. Montrer que l'équation g x = admet une et une seule solution sur l'intervalle ] ;5], puis donner une valeur approchée de à 10 3 près. - La fonction g est dérivable sur tout intervalle où 5 x 0, c'est-à-dire sur 1 ] ;5 [. De plus, pour x ] ;5 [, on a g ' x = 5 x 1. Comme 5 x 0 sur ] ;5[, on en déduit que g ' x 0 sur l'intervalle ] ;5[. La fonction g est donc strictement décroissante sur ] ;5]. - g est continue sur l'intervalle ] ;5] car dérivable sur cet intervalle. - Enfin, on a g 5 = 5 et lim g x = ; - est donc compris entre x g 5 et lim g x. x On peut conclure, d'après le théorème de la bijection, que l'équation g x = admet une et seule solution sur l'intervalle ] ;5]. La calculatrice donne 3,303 (un encadrement de, souvent demandé, d'amplitude 10 3 serait 3,30 3,303 ). 3 Soit f la fonction dont le tableau de variation est donnée cidessous. Montrer que l'équation f x =0 admet une unique solution dans R.

42 4 Chapitre 3 - CONTINUITÉ x 4 + f '(x) f(x) + 5 A partir du tableau de variation, on remarque que f x 3 0 sur l'intervalle [ ; [ ; d'où f x 0 sur cet intervalle. Montrons que l'équation f x =0 admet une unique solution sur ] ; ] : Le tableau indique que : - f est continue sur ] ; ] ; - f est strictement décroissante sur ] ; ] ; - f = 5 et lim x f x =. On en déduit que 0 est compris entre f et lim x -3 f x. Ces trois critères étant vérifiés, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f x =0 admet une unique solution sur l'intervalle ] ; ]. Les deux résultats établis conduisent à l'existence d'une unique solution à l'équation f x =0 sur R ( ] ; ] [ ; [ ). 5. Comment déterminer une valeur approchée ou un encadrement de la solution? - Avec une calculatrice Casio: soit dans Table soit avec graphe+g-solv+root (très rapide mais valable uniquement pour f x =0 ; pour résoudre f x =k, il suffit de se ramener à f x k=0 ). - Avec une calculatrice TI: soit dans Table soit avec la fonction Solve du menu Maths (voir notice d'utilisation). 6. Comment déduire le signe d'une fonction g sur un intervalle I après avoir montré que l'équation g(x)=0 y admettait une unique solution? 1 On déduit le signe de g à partir de son tableau de variation.

43 Chapitre 3 - CONTINUITÉ 43 Soit g la fonction définie sur ] ;5] par g x = 5 x x. a) Démontrer que l'équation g x = admet une et une seule solution solution sur l'intervalle ] ; 4]. b) En déduire le signe de g. a) Résolu au c4-e b) Les résultats obtenues au a) permettent d'établir le tableau de variation de g : Et du tableau, on déduit que g x 0 sur l'intervalle ] ; ] et g x 0 sur [ ; [ (c'est encore plus évident sur un graphique que vous pouvez dessiner à partir du tableau de variation). On déduit le signe de g par le calcul, à partir de son sens de variation. précédent. Pour x ] ; ], on a x ; comme la fonction g est décroissante sur ] ; ], on déduit que g x g (inversion de l'ordre par la décroissance d'une fonction). Or g =0. D'où g x 0 pour x ] ; ]. De même, pour x [ ; [, on a x. La décroissance de g sur l'intervalle [ ; [ conduit à g x g. Comme g s'annule en, alors g x 0 pour x [ ; [.

44 44 Chapitre 3 - CONTINUITÉ 7. Comment montrer que g x 0 ou g x 0 sur I=[ ;+ [, où est l'unique solution de l'équation g(x)=0 sur un intervalle J contenant I? On prend x I, c'est-à-dire x. On applique la croissance ou la décroissance de g sur I à cette inégalité. On obtient le signe de g en remplaçant g par 0. (voir exemple précédent). (voir solution de l'exemple précédent).

45 Chapitre 4 - DÉRIVATION 45 Chapitre 4 - DÉRIVATION - On calcule lim h 0 1. Comment montrer qu'une fonction f est dérivable en a R? f a h f a h réel l (ou la formule équivalente lim x a f x f a x a pour trouver un nombre, obtenue en remplaçant a h par x ). - On conclut alors que f est dérivable en a et que f ' a =l. Montrer que la fonction f définie sur R par {4x f x = sin 1 x si x 0 0 si x = 0 valeur de f ' 0. est dérivable en 0 et donner la On a lim x 0 f x f 0 x 0 = lim x 0 4 x sin 1 x 0 x = lim 4 x x 0 sin 1 x = 0. En effet, pour x 0, on a 4 x 4 x sin 1 x 4 x. Mais comme lim 4 x=0 et lim 4 x=0, on en déduit, grâce au théorème des gendarmes, x 0 x 0 que lim 4 x x 0 sin 1 x = 0. x 0 De la même façon, on montre que lim 4 x x 0 sin 1 x = 0. x 0 Ce qui donne lim 4 x x 0 sin 1 f x f 0 x = 0 ; d'où lim =0. x 0 x 0 La fonction f est donc bien dérivable en 0 et f ' 0 =0.

46 46 Chapitre 4 - DÉRIVATION. Comment étudier la dérivabilité d'une fonction f en a R? f a h f a f x f a - On calcule lim (ou lim ). h 0 h x a x a - Si la limite obtenue est un réel l, alors f est dérivable en a et on note f ' a =l. - Si la limite obtenue est égale + ou ou encore si la limite n'existe pas (exemple: lim x 0 sin 1 x n'existe pas), alors on écrit que f n'est pas dérivable en a. 1 On considère la fonction g définie sur [ 1; [ par : g x = 1 x x 1. Étudier la dérivabilité de g en -1. Étudions la dérivabilité de g en -1. Pour x [ 1; [, on a : g x g 1 = 1 x x 1 = x 1 x 1 g x g 1 1 x x 1 x 1 x 1 D'où lim = x 1 x 1 lim 1 x x 1 x 1 = 0. On conclut que g est dérivable en -1 et que g ' 1 =0. = 1 x x 1. Soit f x = 1 x définie sur ] ; 1 ]. Étudier la dérivabilité de f en 1. On a f x f 1 = x 1 = 1 x 0 = 1 x x 1 = 1 x 1 x x 1 1 x 1 x 1 x = 1 x.

47 Chapitre 4 - DÉRIVATION 47 D'où lim x 1 donne lim x 1 f x f 1 x 1 1 x = lim x 1 1 x. Or lim 1 x = 0 ; ce qui = et donc lim x 1 x 1 f x f 1 x 1 On peut donc conclure que f n'est pas dérivable en 1. =. 3. Comment étudier la dérivabilité d'une fonction f sur un intervalle I donné? On détermine l'intervalle de dérivabilité de f grâce aux théorèmes généraux et aux conditions de dérivabilité du tableau des dérivées usuelles. Si nécessaire, on complète l'étude par la dérivabilité en un point. Soit f x = 1 x définie sur I= ] ; 1 ]. Étudier la dérivabilité de f sur I. On a f = u avec u x =1 x. La fonction f est donc dérivable sur tout intervalle où u est dérivable et u x 0. La fonction polynôme u est dérivable sur R et u x 0 équivaut à 1 x 0 ou encore x 1. f est donc dérivable sur l'intervalle ] ; 1 [. Il ne reste plus qu'à vérifier la dérivabilité de f en 1. Dans l'exemple précédent, nous avons montré que f n'était pas dérivable en 1 en montrant que lim x 1 f x f 1 x 1 =.

48 48 Chapitre 4 - DÉRIVATION On conclut donc que f est dérivable sur l'intervalle ] ; 1 [. 4. Comment interpréter graphiquement le f a h f a résultat suivant : lim = h 0 h ou quelle conséquence graphique ce résultat a-t-il pour C f? De ce résultat, on déduit que C f admet une tangente verticale au point d'abscisse a. 5. Comment interpréter graphiquement les f a h f a = h résultats suivants: lim h 0 h 0 = rée l et lim h 0 h 0 f a h f a h = réel, avec ou quelle conséquence graphique ces résultats ont-ils pour C f? Ce résultat dit que la dérivée à droite de a est différente de la dérivée à gauche. On en déduit que C f admet deux demi-tangentes au point d'abscisse a (ou encore le point d'abscisse a est un point anguleux de C f ). 6. Comment calculer f '(a)? - On calcule f ' x en dérivant f. - On calcule f ' a en remplaçant x par a dans f ' x. Soit f x = xe x 6 définie sur R. Calculer f '. f, produit de fonctions dérivables sur R, est dérivable sur R.

49 Chapitre 4 - DÉRIVATION 49 Pour x R, on a f ' x = = e x 6 1 x. D'où f ' = e 6 1 = 7e. 7. Comment interpréter graphiquement f '(a)? f ' a est le coefficient directeur de la droite tangente à C f au point d'abscisse a. 8. Comment déterminer graphiquement f '(a)? f ' a étant le coefficient directeur de la droite tangente à C f au point d'abscisse a, on utilise les méthodes de détermination d'un coefficient directeur (lecture graphique si possible ou calcul avec f ' a = y y B A, A et B étant deux points quelconques de la tangente). x B x A Ci-contre, on a la courbe représentative d'une fonction f et des tangente aux points d'abscisse 1, 3 et 4. Déterminer f ' 1, f ' 3 et f ' 4. Par définition, f ' a est le coefficient directeur de la tangente au point de la courbe de f qui a pour abscisse a. La tangente au point d'abscisse 3 étant horizontale, on déduit que f ' 3 =0 (prendre deux points sur cette droite et calculer son coefficient directeur pour voir). Par lecture graphique, la tangente au point d'abscisse 1 a pour coefficient directeur 4. D'où f ' 1 =4 (ici aussi, on peut calculer le coefficient directeur en prenant deux points de la tangente dont on peut lire les coordonnées exactes). De même, une lecture graphique donne f ' 4 =.

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