Première ES DS1 second degré S1

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1 1 Première ES DS1 second degré S1 Exercice 1 : (3 points) Soit la parabole d équation y = 25x² - 10x + 1. On considère cette parabole représentée dans un repère (O ;I,J). 1) Déterminer les coordonnées des points d intersection de avec les axes du repère. 2) Déterminer la position de par rapport à l axe des abscisses. 3) Déterminer les coordonnées du sommet S de la parabole. 4) Vérifier vos résultats en traçant la parabole dans un repère. Exercice 2 : Bénéfice d une entreprise (5 points) Une entreprise propose des objets que d autres sociétés peuvent faire personnaliser à leur nom pour les utiliser comme support publicitaire. Les contraintes de fabrication imposent une production comprise entre 400 et unités. Le coût de production (exprimé en euro) est donné en fonction du nombre n d objets fabriqués par : C(n) = -0,002n² + 5n Le prix de vente de n objets (en euros) est donné par la relation : P(n) = 4n ) Soit R le résultat pour la vente de n objets. Montrer que R(n) = 0,002n² - n ) Déterminer le nombre d objets à partir duquel l entreprise réalise un bénéfice. Exercice 3 : (2 points) En augmentant de 5 cm la longueur l du côté d un carré, on augmente son aire de 44%. 1) Montrer que le problème revient à résoudre l équation : 0,44l² - 10l - 25 = 0. 2) En déduire la longueur du côté initial.

2 2 Première ES DS1 second degré S2 Exercice 1 : (3 points) Soit la parabole d équation y = -4x² + 11x + 3. On considère cette parabole représentée dans un repère (O ;I,J). 1) Déterminer les coordonnées des points d intersection de avec les axes du repère. 2) Déterminer la position de par rapport à l axe des abscisses. 3) Déterminer les coordonnées du sommet S de la parabole. 4) Vérifier vos résultats en traçant la parabole dans un repère. Exercice 2 : rentabilité d une production (5 points) Une entreprise produit des téléviseurs 3D. Le coût de production C(n), exprimé en milliers d euros pour n articles, est donné par la fonction C avec : C(n) = 0,02n² - 2n + 98 pour n appartenant à l intervalle [50 ;150]. 1) Chaque article étant vendu 1 500, calculer le montant V(n), exprimé en milliers d euros, pour la vente de n articles. 2) On note B(n) le bénéfice pour n articles vendus. Montrer que B(n) = -0,02n² + 3,5n 98. 3) Déterminer l intervalle des valeurs de n pour lesquelles la production est rentable. Exercice 3 : (2 points) La somme d un réel x et de son inverse est Quels sont ces deux réels? 1) Montrer que le problème se traduit par l équation : 21x² - 58x + 21 = 0. 2) Résoudre cette équation et donner les deux nombres cherchés.

3 3 Première ES DS1 second degré S1 Exercice 1 : (3 points) Soit la parabole d équation y = -4x² + 11x + 3. On considère cette parabole représentée dans un repère (O ;I,J). 1) Déterminer les coordonnées des points d intersection de avec les axes du repère. 2) Déterminer la position de par rapport à l axe des abscisses. 3) Déterminer les coordonnées du sommet S de la parabole. 4) Vérifier vos résultats en traçant la parabole dans un repère. 1) Point d intersection de avec l axe des ordonnées : Ce point a pour abscisse 0. Or 250² = 11. Le point d intersection de avec l axe des ordonnées est A(0 ;1). Point(s) d intersection de avec l axe des abscisses L abscisse des éventuels points d intersection de avec l axe des abscisses vérifient l équation : 25x² - 10x + 1 = 0 On calcule le discriminant : = (-10)² = 0. Comme = 0, cette équation admet une solution : x0 = - b 2a = = 1 5 Le point d intersection de la parabole P avec l axe des abscisse est B 0; ) On étudie le signe de 25x² - 10x + 1. Méthode 1 : (résultat du cours). Comme = 0 et a = 25 > 0, alors 25x² - 10x + 1 > 0 pour x 1 et 25x² - 10x + 1 = 0 pour 5.x = 1 5. Donc la parabole est au dessus de l axe des abscisses pour x 1 et est tangente à 5 l axe des abscisses pour x = 1 (au point B). 5

4 Première ES DS1 second degré S1 Méthode 2 : on factorise le polynôme du second degré et on fait un tableau de signes. 25x² - 10x + 1 = (5x)² - 25x1 + 1² = (5x 2)² Tableau de signes : x (5x 2)² ) L abscisse du sommet de la parabole est b 2a = 1 5. Son ordonnée est : ² = = = 0 Le sommet S de la parabole est donc aussi le point B 0; ) Vérification graphique : On retrouve bien les points A et B avec les bonnes coordonnées. 4

5 Première ES DS1 second degré S1 Exercice 2 : Bénéfice d une entreprise (5 points) Une entreprise propose des objets que d autres sociétés peuvent faire personnaliser à leur nom pour les utiliser comme support publicitaire. Les contraintes de fabrication imposent une production comprise entre 400 et unités. Le coût de production (exprimé en euro) est donné en fonction du nombre n d objets fabriqués par : C(n) = -0,002n² + 5n Le prix de vente de n objets (en euros) est donné par la relation : P(n) = 4n ) Soit R le résultat pour la vente de n objets. Montrer que R(n) = 0,002n² - n ) Déterminer le nombre d objets à partir duquel l entreprise réalise un bénéfice. 1) On a R(n) = P(n) C(n) = 4n (-0,002n² + 5n ) Soit R(n) = 0,002n² + 4n 5n = 0,002n² - n ) On résout l inéquation R(n) > 0. Soit 0,002n² - n 120 > 0 Le discriminant de l équation du second degré associée est : = (-1)² - 40,002(-120) = 1 + 0,96 = 1,96 = 1,4². Les deux solutions de l équation du second degré associée sont : n1 = 1 1,4 20,002 = -0, ,4 = et n2 = 0,004 20,002 = 2,4 0,004 = 600 Comme 0,002 > 0, alors R(n) > 0 si n < -100 ou si n > 600. Comme n [400 ;1200], on en conclut que l entreprise réalise un bénéfice à partir de 600 objets fabriqués. 5

6 Première ES DS1 second degré S1 Vérification graphique n 1 : On trace dans un même repère le segment de droite associée à la fonction affine P et l arc de parabole associée à la fonction polynôme du second degré C pour des valeurs de n comprises entre 400 et On détermine les abscisses des points de la droite qui se situent au dessus de la parabole. On retrouve bien l intervalle ]600 ;1200[. Vérification graphique n 2 : On trace dans un repère l arc de parabole associé à la fonction polynôme du second degré R sur l intervalle [400 ;1200]. Et on lit graphiquement les abscisses des points de la courbe situés au dessus de l axe des abscisses. On retrouve bien l intervalle ]600 ;1200[. 6

7 Première ES DS1 second degré S1 Exercice 3 : (2 points) En augmentant de 5 cm la longueur l du côté d un carré, on augmente son aire de 44%. 1) Montrer que le problème revient à résoudre l équation : 0,44l² - 10l - 25 = 0. 2) En déduire la longueur du côté initial. 1) Soit l la longueur du côté du carré initial et S son aire correspondante. On a S = l² Une augmentation de 44% correspond à un coefficient multiplicatif de = 1,44. On a donc : 1,44S = (l + 5)² Soit 1,44l² = (l + 5)² Soit : 1,44l² = l² + 10l + 25 Soit 0,44l² - 10l - 25 = 0 2) On calcule le discriminant : = (-10)² - 40,4425) = 144 = 12² Comme > 0, cette équation admet deux solutions distinctes : Seule la solution positive convient. Le côté mesurait donc initialement 25 cm. Vérification : Aire initiale = 25² = 625 cm² Aire finale = 30² = 900 cm² l1 = 0.88 = < 0 et l2 = = 25 Et 900 = 1,44 soit bien une augmentation de 44%

8 Première ES DS1 second degré S2 Exercice 1 : (3 points) Soit la parabole d équation y = -4x² + 11x + 3. On considère cette parabole représentée dans un repère (O ;I,J). Déterminer : 1) les coordonnées des points d intersection de avec les axes du repère. 2) la position de par rapport à l axe des abscisses. 3) Les coordonnées du sommet S de la parabole. 4) Vérifier vos résultats en traçant la parabole dans un repère. 1) Point d intersection de avec l axe des ordonnées : Ce point a pour abscisse 0. Or -40² = 3. Le point d intersection de avec l axe des ordonnées est A(0 ;3). Point(s) d intersection de avec l axe des abscisses L abscisse des éventuels points d intersection de avec l axe des abscisses vérifient l équation : -4x² + 11x + 3 = 0 On calcule le discriminant : = (11)² - 4(-4)3 = = 169 = 13². Comme > 0, cette équation admet deux solutions distinctes : x1 = = 3 et x2 = = = Les points d intersection de la parabole P avec l axe des abscisses sont B ; 0 et C(3 ;0). 2) On étudie le signe de -4x² + 11x + 3. Méthode 1 : (résultat du cours). -4x² + 11x + 3est du signe de -4 sur - ; [3; + [ et de signe contraire à -4 sur ; 3. signes. Méthode 2 : on factorise le polynôme du second degré et on fait un tableau de 8

9 Première ES DS1 second degré S2-4x² + 11x + 3 = -4 x (x 3) Tableau de signes : x x² + 11x Donc la parabole est en dessous de l axe des abscisses si x - ; et au dessus de l axe des abscisses si x ; 3. 3) L abscisse du sommet de la parabole est b 2a = [3 ; + [ Son ordonnée est : ² = = = Les coordonnées de S sont donc ; ) On retrouve bien les points A ; B, C et S avec les bonnes coordonnées = -10,5625 9

10 Première ES DS1 second degré S2 Exercice 2 : rentabilité d une production (5 points) Une entreprise produit des téléviseurs 3D. Le coût de production C(n), exprimé en milliers d euros pour n articles, est donné par la fonction C avec : C(n) = 0,02n² - 2n + 98 pour n appartenant à l intervalle [50 ;150]. 1) Chaque article étant vendu 1 500, calculer le montant V(n), exprimé en milliers d euros, pour la vente de n articles. 2) On note B(n) le bénéfice pour n articles vendus. Montrer que B(n) = -0,02n² + 3,5n 98. 3) Déterminer l intervalle des valeurs de n pour lesquelles la production est rentable. 1) Comme 1500 = 1,5 milliers, on a V(n) = 1,5n 2) B(n) = V(n) C(n) = 1,5n (0,02n² - 2n + 98) = -0,02n² + 2n + 1,5n 98 Soit B(n) = -0,02n² + 3,5n 98 3) On résout l inéquation B(n) > 0. B(n) > 0-0,02n² + 3,5n 98 > 0 Le discriminant de l équation du second degré associée est : = 3,5² - 4(-0,02)(-98) = 4,41 = 2,1². Les deux solutions de l équation du second degré associée sont : n1 = -3,5 2,1 2(-0,02) = -5,6-3,5 + 2,1 = 140 et n2 = -0,04 2(-0,02) = -1,4-0,04 = 35 Comme -0,02 < 0, alors B(n) > 0 si 35 < n < 140 Comme n [50 ;150], on en conclut que l entreprise réalise un bénéfice pour un nombre d articles produits entre 50 et

11 Première ES DS1 second degré S2 Vérification graphique n 1 : On trace dans un même repère le segment de droite associée à la fonction linéaire V et l arc de parabole associée à la fonction polynôme du second degré B pour des valeurs de n comprises entre 50 et 150. On détermine les abscisses des points de la droite qui se situent au dessus de la parabole. On retrouve l intervalle [50 ;140]. Vérification graphique n 2 : On trace dans un repère l arc de parabole associé à la fonction polynôme du second degré B sur l intervalle [50 ;150]. Et on lit graphiquement les abscisses des points de la courbe situés au dessus de l axe des abscisses. On retrouve l intervalle [50 ;140]. 11

12 Première ES DS1 second degré S2 La somme d un réel x et de son inverse est Quels sont ces deux réels? 1) Montrer que le problème se traduit par l équation : 21x² - 58x + 21 = 0. 2) Résoudre cette équation et donner les deux nombres cherchés. Soit x le réel cherché. On a x + 1 x = Soit x² + 1 x = Soit 21(x² + 1) = 58x On résout cette équation de degré 2. (avec un produit en croix). 21(x² + 1) = 58x 21x² - 58x + 21 = 0 On calcule le discriminant : = (-58)² = 1600 = 40² Comme > 0, cette équation admet deux solutions distinctes : x1 = = = 3 7 et x2 = = = 7 3 Les deux nombres cherchés sont donc 3 7 et 7 3. Vérification : = = =

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