Que faire lorsqu on considère plusieurs variables en même temps?

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Que faire lorsqu on considère plusieurs variables en même temps?"

Transcription

1 Chapitre 3 Que faire lorsqu on considère plusieurs variables en même temps? On va la plupart du temps se limiter à l étude de couple de variables aléatoires, on peut bien sûr étendre les notions introduites à l étude de n variables aléatoires, n 2. On considère deux variables aléatoires X et Y. On aimerait savoir s il existe un lien entre les deux variables et le quantifier. Exemple 0.1 On peut se demander s il y a influence de la pollution par CO2 sur l évolution des cancers. La variable X modélisera alors le taux de CO2 et la variable Y le nombre de cancer. 1 Cas de variables indépendantes On dit de deux variables qu elles sont indépendantes si la connaissance de l une ne donne aucune information sur la connaissance de l autre. C est le cas le plus simple à étudier. Lorsque cela est possible, on essaye au maximum de travailler avec des variables indépendantes. Définition 1.1 Deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes si pour tous intervalles A et B de R on a IP(X A, Y B) = IP(X A)IP(Y B). Proposition 1.2 Deux v.a. X et Y sont indépendantes dans le cas discret pour tous x, y, IP(X = x, Y = y) = IP(X = x)ip(y = y), dans le cas continu, notons f X la densité de X et f Y la densité de Y, on a pour tout intervalles A, B de R IP(X A, Y B) = f X (x)dx f Y (y)dy. A B la transformée de Laplace du couple vérifie pour tout (u, v), L (X,Y ) (u, v) = L X (u)l Y (v) où L (X,Y ) (u, v) = E[e ux+vy ]. 33

2 34 CHAPITRE 3. COUPLE DE VARIABLES pour toutes fonctions h, g : R R E[h(X)g(Y )] = E[h(X)]E[g(Y )]. Définition 1.3 Les variables aléatoires X 1,..., X n sont indépendantes si pour tout intervalles A 1,..., A n de R on a IP(X 1 A 1,..., X n A n ) = n IP(X i A i ). Une suite de variables (X n ) n indépendantes est une suite telle que pour toute sous partie finie I N, les variables (X i ) i I sont indépendantes. Remarque 1.4 Si les v.a. X 1,..., X n sont indépendantes, alors elles sont indépendantes deux à deux. Attention La réciproque est fausse! Par exemple, soient X et Y deux variables indépendantes de même loi : IP(X = 1) = IP(X = 1) = 1/2. On considère Z = XY. Les variables sont deux à deux indépendantes, mais pas mutuellement indépendantes. Dans la nature les objets, les événements, les comportements sont rarement indépendants les uns des autres. Modéliser la chaîne de nucléotides dans un brin d ADN par des variables indépendantes à valeurs dans {a, c, g, t} est trop simpliste et loin de la réalité car on sait qu il y a des zones codantes et d autres non. Exemple 1.5 Considérons les enfants de parents hétérozygotes de génétopye Aa. La distribution des enfants est i=1 IP(AA) = 1/4 IP(Aa) = 1/2 IP(aa) = 1/4. On choisit de façon aléatoire 240 de ces enfants. On définit N 1, N 2, N 3 le nombre d enfants de génotype AA,Aa et aa respectivement. 1. Les variables N 1, N 2 et N 3 suivent respectivement des lois Binomiales B(240, 1/4), B(240, 1/2) et B(240, 1/4). 2. Ces variables ne sont pas indépendantes, car N 1 + N 2 + N 3 = 240 (si on connait les valeurs de N 1 et N 2, on en déduit facilement la valeur de N 3 ). 3. Soit k 1, k 2, k 3 N. Si k 1 + k 2 + k 3 240, on a Si k 1 + k 2 + k 3 = 240, on a On remarque que IP(N 1 = k 1, N 2 = k 2, N 3 = k 3 ) = 0. IP(N 1 = k 1, N 2 = k 2, N 3 = k 3 ) = 240! 1 k1 ( 1 k2 ( 1 ) k3. k 1!k 2!k 3!( 4) 2) 4 IP(N 1 = k 1, N 2 = k 2, N 3 = k 3 ) IP(N 1 = k 1 )IP(N 2 = k 2 )IP(N 3 = k 3 ). Les variables ne sont effectivement pas indépendantes. On dit que le triplet (N 1, N 2, N 3 ) suit la loi multinomiale M(240, (1/4, 1/2, 1/4)).

3 2. QUE FAIRE S IL EXISTE UN LIEN ENTRE LES VARIABLES? 35 Définition 1.6 On effectue un sondage avec remise (ou sur une population suffisament grande) avec d réponses possibles sur une sous-population de taille n. On note p 1 la proportion dans la population totale d individu correspondant à la première réponse, p 2 la proportion dans la population totale d individu correspondant à la deuxième réponse,..., p d la proportion dans la population totale d individu correspondant à la dernière réponse. On définit N 1 le nombre d individus ayant choisi la première réponse, N 2 ceux qui ont choisi la seconde,..., N d ceux qui ont choisi la dernière réponse. Alors la loi de (N 1, N 2,..., N d ) est appelée loi multinomiale M d (n, p), avec n N, n 1, p i ]0, 1[ tels que p 1 + p p d = 1. n! d P (N 1 = k 1, N 2 = k 2,..., N d = k d ) = k 1!k 2!...k d! pk 1 1 pk pk d d avec k i = n C est une généralisation de la loi Binomiale. Pour d = 2, on retrouve la loi Binomiale. i=i 2 Que faire s il existe un lien entre les variables? Comme on a définit la loi d une variable aléatoire, on va définir la loi d un couple de variables. 2.1 Cas des variables discrètes Propriétés 2.1 Soient X et Y deux variables discrètes. La loi du couple (X, Y ) est définie par l ensemble des probabilités : IP(X = x, Y = y) pour toutes valeurs possibles x et y. Remarque 2.2 Notons D X et D Y l ensemble des valeurs possibles de X et de Y respectivement. On peut retrouver les lois de chacune des variables à partir la loi de couple. Soit x D X, on a IP(X = x) = IP(X = x et Y D Y ) = y D Y IP(X = x, Y = y) De même, pour y D Y, on a IP(Y = y) = x D X IP(X = x, Y = y). À partir de la loi du couple, on retrouve facilement la loi de chacune des variables. Par contre, des lois de chacune des variables on ne peut pas déduire la loi du couple, car elles ne rendent pas compte des connections, des liens qui existent entre les variables. Dans le cas où les variables sont discrètes et prennent un petit nombre de valeurs, on écrit en général la loi du couple sous la forme d un tableau : Y \X... Somme des colonnes. IP(X = x, Y = y) IP(Y = y) Somme des lignes IP(X = x)

4 36 CHAPITRE 3. COUPLE DE VARIABLES Exemple On lance une pièce truquée 3 fois. La probabilité de tomber sur "Pile" est 2/3. Soit X le nombre de "Face" obtenu dans les deux premiers jets et Y le nombre de "Face" obtenu dans les deux derniers jets. La loi de (X, Y ) est donnée par y\x IP(Y = y) ( 0 2 ) 3 ( 3 = ) = /9 ( ) 2 ( 3 3 = ) 2 ( ) = 6 ( 1 ) = /9 ( ) = 2 ( 1 ) = /9 IP(X = x) 4/9 4/9 1/9 2. L université de Rennes 1 veut évaluer l effet de l offre MIPE sur le campus et voir quel système d exploitation est apprécié des étudiants. Les proportions collectées sont résumées dans un tableau : Système d exploitation Filière Windows Mac OS Linux Biologie Droit/Économie Informatique Mathématiques On déduit de ce tableau les proportions d élèves qui ont profité de l offre MIPE en fonction des filières, ainsi que la répartition des systèmes d exploitation sur le campus. Exercice 2.4 On effectue une suite infinie de lancers indépendants d un dé équilibré. On note les lancers à partir de 1. On définit les deux variables aléatoires : X est égale au numéro du lancer qui donne le premier 6, Y est égale au nombre de 5 obtenus avant le premier 6. Déterminer la loi du couple (X, Y ). Corrigé : Le couple est à valeurs dans N N avec Y < X. Par conséquent si k n, IP(X = n, Y = k) = 0 et si k < n, IP(X = n, Y = k) = IP( k fois 5 et pas de 6 sur les n 1 premiers lancers et un 6 au n ème lancer. )! «k «n 1 k n = k Cas des variables à densité Définition 2.5 La loi du couple de v.a. (X, Y ) est dite à densité s il existe une fonction f (X,Y ) de deux variables telle que le fonction de répartition du couple vérifie pour tout (u, v) R 2 u v IP(X u, Y v) = f (X,Y ) (x, y)dxdy satisfaisant les conditions suivantes : 1. f (X,Y ) (x, y) 0 pour tout (x, y) R 2,

5 2. QUE FAIRE S IL EXISTE UN LIEN ENTRE LES VARIABLES? f (X,Y ) (x, y)dxdy = 1. On peut facilement retrouver la densité à partir de la fonction de répartition. En dérivant une fois par rapport à chacune des variables la fonction de répartition, on obtient f (X,Y ) (u, v) = 2 u v F (X,Y )(u, v). Proposition 2.6 Si le couple (X, Y ) admet une densité. Alors, pour tout A R R IP((X, Y ) A) = f (X,Y ) (x, y)dxdy. Par conséquent, X et Y sont indépendantes si et seulement si pour tous x, y A f (X,Y ) (x, y) = f X (x)f Y (y). Remarque 2.7 De même que pour les variables discrètes, on peut retrouver facilement les lois de chacune des variables. Soit u R, on a La densité de X est f X (x) = F X (u) = IP(X u) = IP((X, Y ) ], u] ], + [) u ( + ) = f (X,Y ) (x, y)dy dx. + f (X,Y ) (x, y)dy. De même, la densité de Y est f Y (y) = + f (X,Y ) (x, y)dx. Exemple Considérons le couple (X, Y ) de densité f (X,Y ) (x, y) = 3/8(x 2 +xy/2)i [0,1] [0,2] (x, y). Cette fonction est bien une densité de probabilité. On en déduit la densité de X : f X (x) = + f (X,Y ) (x, y)dy = 2 = 3 x(x + 2) si x [0, 1] 4 On peut calculer par exemple IP(X > Y ) : IP(X > Y ) = = ( x 2x 3 dx = Considérons le couple (X, Y ) de densité ) f (X,Y ) (x, y)dy dx = (x2 + xy 2 )dy 1 0 ( x f (X,Y ) (x, y) = c(y 2 x 2 )e y si y < x < y, y > (x2 + xy ) 2 )dy dx Cette fonction est bien une densité de probabilité lorsque c = 1/8. Les densités de X et Y sont : f X (x) = 1 4 ( x + 1)e x pour x R et f Y (y) = 1 6 y3 e y pour y > 0

6 38 CHAPITRE 3. COUPLE DE VARIABLES 3 Évaluer la dépendance entre deux variables On va introduire une nouvelle quantité, la corrélation, qui permet d estimer la dépendance entre deux variables aléatoires. Définition 3.1 La covariance de deux v.a. X et Y est La corrélation est alors définie par Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ). ρ(x, Y ) = Cov(X, Y ) V ar(x)v ar(y ). L espérance E[XY ] est calculée à partir de la loi jointe de (X, Y ) : 1. dans le cas discret, lorsque la somme a un sens, E[XY ] = x,y xyip(x = x, Y = y) 2. dans le cas continu, lorsque l intégrale a un sens, E[XY ] = + + xyf (X,Y ) (x, y)dxdy. Remarque 3.2 Soient X et Y deux v.a. Alors V ar(x + Y ) = V ar(x) + V ar(y ) + 2Cov(X, Y ). Preuve. En développant le carré, on obtient le résultat : V ar(x + Y ) = E[(X + Y E[X + Y ]) 2 ] = E[(X E[X] + Y E[Y ]) 2 ] = E[(X E[X]) 2 ] + E[(Y E[Y ]) 2 ] + 2E[(X E[X])(Y E[Y ])] = V ar(x) + V ar(y ) + 2E[XY ] 2E[X]E[Y ] = V ar(x) + V ar(y ) + 2Cov(X, Y ). Propriétés 3.3 Si X et Y sont indépendantes, alors E[XY ] = E[X]E[Y ]. Par conséquent, si X et Y sont indépendantes on a Cov(X, Y ) = 0 et V ar(x + Y ) = V ar(x) + V ar(y ). Attention La réciproque est fausse! Cov(X, Y ) = 0 ne veut rien dire sur les variables. Par contre, Cov(X, Y ) 0 implique que les variables sont dépendants. Proposition Contrairement à la covariance, la corrélation ne dépend pas de l unité de mesure des variables. Par exemple que des vitesses soient mesurées en m/s ou en km/h ne changera pas la valeur de la corrélation. 2. Le coefficient de corrélation est compris entre 1 et 1. Plus ρ(x, Y ) est proche de 1, plus les variables sont dites dépendantes.

7 4. LOI CONDITIONNELLE POUR DES VARIABLES DISCRÈTES Lorsque ρ(x, Y ) = 1, alors il existe a, b R tels que ax + by = 0, les variables sont entièrement liées (il suffit de connaitre la valeur d une des variables pour connaitre la valeur de l autre). Exemple 3.5 Une étude médicale sur l effet du tabac est menée dans un hopital. Les 2278 patients sont divisés en deux groupes : ceux atteints d un cancer pulmonaire (X = 1) et les autres (X = 0). Les membres de chaque groupe sont ensuite répartis selon le nombre Y de paquets de cigarettes fumés par jour. Cancer Nombre de paquets de cigarettes Total pulmonaire Total On souhaite étudier l association entre cancer pulmonaire et la consommation de cigarette en calculant la covariance. La proportion de personnes atteintes d un cancer pulmonaire est 6.72%, le nombre moyen de paquets de cigarettes consommés est 0.65, on obtient Cov(X, Y ) = = 0.02 La covariance est positive, le résultat indique qu il y a un lien positif entre la déclaration du cancer et la consommation de cigarettes (plus on consomme des cigarettes, plus le risque de cancer est grand!). 4 Loi conditionnelle pour des variables discrètes Lorsque les variables sont dépendantes, avoir une information sur une des variables a une influence sur la loi de l autre. On définit alors la notion de loi conditionnelle. On se limite ici aux variables discrètes, mais une telle notion peut être étendue aux variables à densité. Définition 4.1 On considère deux variables aléatoires X et Y discrètes. Soit y une valeur de Y possible. La loi conditionnelle de X sachant que Y = y est donnée par l ensemble des valeurs IP Y =y (X = x) = IP(X = x, Y = y) IP(Y = y) pour tout x. Exercice 4.2 Loi de Poisson et loi Binomiale 1. Soient X et Y deux variables indépendantes, de loi de Poisson de paramètre respectif λ et µ. Déterminer la loi conditionnelle de X sachant {X + Y = n}. 2. Si X 1,..., X r sont indépendantes de lois de Poisson de paramètres respectifs λ 1,..., λ r, quelle est la loi conditionnelle de (X 1,..., X r ) sachant {X X r = n}? Corrigé :

8 40 CHAPITRE 3. COUPLE DE VARIABLES 1. On montre en utilisant les fonctions génératrices que X + Y P[λ + µ). Soit k N, si k > n IP X+Y =n(x = k) = 0 et si k n IP X+Y =n(x = k) = = IP(X = k, Y = n k) IP(X + Y = n)! «k n λ µ k λ + µ λ + µ Indép. = «n k. IP(X = k)ip(y = n k) IP(X + Y = n) On retrouve la loi B(n, λ λ+µ ). λ 2. On obtient une loi multinomiale M(n, p) avec p = ( λ 1 + +λ r,..., r λ 1 + +λ r ). λ 1

9 5. EXERCICES SUR LE CHAPITRE Exercices sur le chapitre 3 Exercice On jette simultanément deux dés. On note X le nombre de chiffres pairs apparus et Y le maximum des deux chiffres obtenus. Chercher la loi du couple (X, Y ). X et Y sont-elles indépendantes? Exercice La loi d un couple de variables aléatoires est donnée par le tableau suivant : X\Y Déterminer la loi de X, puis celle de Y /6 1/12 1/ /12 1/24 1/ /4 1/8 1/ Calculer E[X], E[Y ], E[XY ] et Cov(X, Y ). Les variables X et Y sont-elles indépendantes? 3. On pose U = X et Z = X + Y. Donner le tableau de la loi du couple (U, Z). Les variables U et Z sont-elles indépendantes? Exercice À la recherche de l ancêtre commun On considère une population cellulaire de taille constante N. La population est isolée (pas de migration), il n y a pas de sélection, les générations ne se chevauchent pas et la reproduction se fait de façon indépendante entre les cellules. Chaque cellule n a qu un seul parent. On étudie l évolution de la population. On choisit quatres cellules au hasard et on note X le nombre de générations écoulées depuis le premier ancêtre commun entre les deux premières et Y le nombre de générations écoulées depuis le permier ancêtre commun entre les deux dernières cellules. On cherche le nombre de générations écoulées U depuis le plus jeune ancêtre de chacun des couples et le nombre de générations écoulées V depuis le plus vieux des deux ancêtres de chacun des couples. 1. Expliquer pourquoi on peut modéliser les lois de X et de Y par des lois géométriques G(p) et exprimer p en fonction de la taille de la population. 2. Exprimer U et V en fonction de X et Y. 3. Déterminer la loi du couple (U, V ). 4. En déduire les lois de U et V. Vérifiez que V suit une loi géométrique de paramètre q = 2p p On rappelle que l espérance d une loi géométrique G(p) est 1/p. Exprimer l espérance de V en fonction de N. Puis sans calcul, en déduire l espérance de U. Exercice Les amoureux du banc public Deux personnes se donnent rendez-vous. L heure d arrivée de chacune de ces deux personnes sur les lieux est une variable uniforme entre midi et une heure. Les personnes n ayant pas de téléphone portable, on suppose ces deux variables indépendantes. Quelle est la probabilité qu ils arrivent au même instant? Quelle est la probabilité que le premier arrivé doive attendre plus de 10 minutes? Si les deux personnes se donnent un rendez-vous plus précis, à midi exactement par exemple. La loi uniforme est-elle adaptée au problème? Quelle autre type de loi peut-on utiliser?

10 42 CHAPITRE 3. COUPLE DE VARIABLES Exercice Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes et de même loi : P (X = k) = 2 k pour k N. Calculer les quantités suivantes : P (X = Y ), P (X < Y ), P (min{x, Y } n), P (X divise Y ). Exercice À la pêche aux Homards Il n existe aucune méthode pour déterminer l âge exact d un homard. Le homard ne montre aucun signe mesurable de vieillissement : aucune perte d appétit, aucun changement dans le métabolisme, aucune perte de besoin reproducteur ou de capacité, aucun déclin dans la force ou la santé. Les homards, quand ils meurent, semblent mourir des causes externes. Ils sont pêchés par les humains, mangés par les sceaux, gaspillés par les parasites, mais ils ne semblent pas mourir de l intérieur. Un pêcheur de Cancale se spécialise dans la pêche au homard. Le pêcheur veut estimer le temps qu il dispose pour vendre ses homards. 1. Quelle loi usuelle peut-on utiliser pour modéliser la durée de vie T d un homard? Notons λ le paramètre de la loi de T. Exprimer en fonction de λ la durée de vie moyenne d un homard ainsi que l écart type associé. 2. On considère n homards choisis de façon indépendantes. On note T 1,..., T n leurs durées de vie respectives. On note U = min(t 1,..., T n ) le premier instant où au moins un des homards décède et V = max(t 1,..., T n ) le premier instant où tous les homards cessent de vivre. Exprimer les lois de U et de V. Reconnaitre la loi de U. Exercice On considère une variable aléatoire équidistribuée X telle que IP(X = 1) = IP(X = 0) = IP(X = 1) = 1/3. On pose Y = X 2. Montrer que Cov(X, Y ) = 0, mais que X et Y ne sont pas indépendantes. Exercice Recherche de cellules malignes On fait deux biopsies à un patient. Dans la première n cellules sont étudiées et on désigne par X le nombre de cellules malignes. Dans la seconde m cellules sont étudiées et on note Y le nombre de cellules malignes. La probabilité qu une cellule soit maligne est notée p. 1. Par quelle loi peut-on modéliser les variables X et Y? 2. Que représente X + Y? Déterminer la loi de X + Y. 3. Le laborantin a mélangé par inadvertance les deux éprouvettes. Quelle est alors la loi conditionnelle de X sachant {X + Y = k}? Exercice L oeuf ou la poule? On considère deux espèces de poules : les poules bressanes et les poules de Janzé. On supppose qu une poule pond des oeufs selon une loi de Poisson de paramètre λ pour les bressanes et µ pour celles de Janzé. On note X le nombre d oeufs pondu par jour par une poule bressane choisie au hasard et Y le nombre d oeufs par jour d une poule de Janzé choisie aussi au hasard.

11 5. EXERCICES SUR LE CHAPITRE En utilisant la fonction génératrice, trouver la loi du nombre d oeufs total pondu par jour par les deux poules? 2. Sachant qu au total elles ont pondu n oeufs, quelle est la loi du nombre d oeufs pondu par la poule bressane? Exercice Mutation dans un brin d ADN L ADN est soumis à des mutations endogènes et exogènes. Pour survivre, les cellules disposent d un mécanisme de réparation, mais parfois la mutation se fixe et se transmet aux cellules filles. On suppose que le nombre de mutation M subi par l ADN suit une loi de Poisson de paramètre λ et on note p la probabilité qu une mutation soit fixée. 1. Quelle est la loi du nombre de mutation fixée F sachant que M = k? 2. Déterminer la loi du couple (M, F ). 3. Déterminer la loi de F, son espérance et sa variance. 4. Quelle est la loi de M sachant que F = n?

12 44 CHAPITRE 3. COUPLE DE VARIABLES

Variables Aléatoires. Chapitre 2

Variables Aléatoires. Chapitre 2 Chapitre 2 Variables Aléatoires Après avoir réalisé une expérience, on ne s intéresse bien souvent à une certaine fonction du résultat et non au résultat en lui-même. Lorsqu on regarde une portion d ADN,

Plus en détail

Espérance, variance, quantiles

Espérance, variance, quantiles Espérance, variance, quantiles Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 22 mai 2008 0. Motivation Mesures de centralité (ex. espérance) et de dispersion (ex. variance) 1 f(x) 0.0 0.1

Plus en détail

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions :

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions : Probabilités I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : 1- Définitions : Ω : Ensemble dont les points w sont les résultats possibles de l expérience Des évènements A parties de Ω appartiennent à A une

Plus en détail

Couples de variables aléatoires discrètes

Couples de variables aléatoires discrètes Couples de variables aléatoires discrètes ECE Lycée Carnot mai Dans ce dernier chapitre de probabilités de l'année, nous allons introduire l'étude de couples de variables aléatoires, c'est-à-dire l'étude

Plus en détail

Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques

Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques Fiche TD avec le logiciel : a2-1-c Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques Sylvain Mousset Rappels de probabilités / statistiques Table des matières 1 Probabilités

Plus en détail

Qu est-ce qu une probabilité?

Qu est-ce qu une probabilité? Chapitre 1 Qu est-ce qu une probabilité? 1 Modéliser une expérience dont on ne peut prédire le résultat 1.1 Ensemble fondamental d une expérience aléatoire Une expérience aléatoire est une expérience dont

Plus en détail

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. 14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,

Plus en détail

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo

Plus en détail

Licence MASS 2000-2001. (Re-)Mise à niveau en Probabilités. Feuilles de 1 à 7

Licence MASS 2000-2001. (Re-)Mise à niveau en Probabilités. Feuilles de 1 à 7 Feuilles de 1 à 7 Ces feuilles avec 25 exercices et quelques rappels historiques furent distribuées à des étudiants de troisième année, dans le cadre d un cours intensif sur deux semaines, en début d année,

Plus en détail

Actuariat I ACT2121. septième séance. Arthur Charpentier. Automne 2012. charpentier.arthur@uqam.ca. http ://freakonometrics.blog.free.

Actuariat I ACT2121. septième séance. Arthur Charpentier. Automne 2012. charpentier.arthur@uqam.ca. http ://freakonometrics.blog.free. Actuariat I ACT2121 septième séance Arthur Charpentier charpentier.arthur@uqam.ca http ://freakonometrics.blog.free.fr/ Automne 2012 1 Exercice 1 En analysant le temps d attente X avant un certain événement

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

Travaux dirigés d introduction aux Probabilités

Travaux dirigés d introduction aux Probabilités Travaux dirigés d introduction aux Probabilités - Dénombrement - - Probabilités Élémentaires - - Variables Aléatoires Discrètes - - Variables Aléatoires Continues - 1 - Dénombrement - Exercice 1 Combien

Plus en détail

Notes de cours de Probabilités Appliquées. Olivier François

Notes de cours de Probabilités Appliquées. Olivier François Notes de cours de Probabilités Appliquées Olivier François 2 Table des matières 1 Axiomes des probabilités 7 1.1 Introduction................................. 7 1.2 Définitions et notions élémentaires.....................

Plus en détail

Fiche de révision sur les lois continues

Fiche de révision sur les lois continues Exercice 1 Voir la correction Le laboratoire de physique d un lycée dispose d un parc d oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Exercices : VAR discrètes

Exercices : VAR discrètes Exercices : VAR discrètes Exercice 1: Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules noires. On tire les boules une à une sans les remettre jusqu à ce qu il ne reste que des boules d une seule couleur

Plus en détail

Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle

Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle Chapter 2 Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle Sommaire 2.1 Tribu et événements........................................... 15 2.2 Probabilité................................................

Plus en détail

1 TD1 : rappels sur les ensembles et notion de probabilité

1 TD1 : rappels sur les ensembles et notion de probabilité 1 TD1 : rappels sur les ensembles et notion de probabilité 1.1 Ensembles et dénombrement Exercice 1 Soit Ω = {1, 2, 3, 4}. Décrire toutes les parties de Ω, puis vérier que card(p(ω)) = 2 4. Soit k n (

Plus en détail

Statistique descriptive et prévision

Statistique descriptive et prévision Statistique descriptive et prévision Année 2010/2011 L. Chaumont Contents 1. Étude d une variable 5 1.1. Définitions................................ 5 1.2. Représentations graphiques usuelles................

Plus en détail

Examen d accès - 1 Octobre 2009

Examen d accès - 1 Octobre 2009 Examen d accès - 1 Octobre 2009 Aucun document autorisé - Calculatrice fournie par le centre d examen Ce examen est un questionnaire à choix multiples constitué de 50 questions. Plusieurs réponses sont

Plus en détail

UFR de Sciences Economiques Année 2008-2009 TESTS PARAMÉTRIQUES

UFR de Sciences Economiques Année 2008-2009 TESTS PARAMÉTRIQUES Université Paris 13 Cours de Statistiques et Econométrie I UFR de Sciences Economiques Année 2008-2009 Licence de Sciences Economiques L3 Premier semestre TESTS PARAMÉTRIQUES Remarque: les exercices 2,

Plus en détail

Chapitre 3. Les distributions à deux variables

Chapitre 3. Les distributions à deux variables Chapitre 3. Les distributions à deux variables Jean-François Coeurjolly http://www-ljk.imag.fr/membres/jean-francois.coeurjolly/ Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Grenoble University 1 Distributions conditionnelles

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient

Plus en détail

Espérance conditionnelle

Espérance conditionnelle Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle

Plus en détail

Loi d une variable discrète

Loi d une variable discrète MATHEMATIQUES TD N : VARIABLES DISCRETES - Corrigé. P[X = k] 0 k point de discontinuité de F et P[X = k] = F(k + ) F(k ) Ainsi, P[X = ] =, P[X = 0] =, P[X = ] = R&T Saint-Malo - nde année - 0/0 Loi d une

Plus en détail

I3, Probabilités 2014 Travaux Dirigés F BM F BM F BM F BM F B M F B M F B M F B M 20 20 80 80 100 100 300 300

I3, Probabilités 2014 Travaux Dirigés F BM F BM F BM F BM F B M F B M F B M F B M 20 20 80 80 100 100 300 300 I3, Probabilités 2014 Travaux Dirigés TD 1 : rappels. Exercice 1 Poker simplié On tire 3 cartes d'un jeu de 52 cartes. Quelles sont les probabilités d'obtenir un brelan, une couleur, une paire, une suite,

Plus en détail

Probabilités conditionnelles Loi binomiale

Probabilités conditionnelles Loi binomiale Exercices 23 juillet 2014 Probabilités conditionnelles Loi binomiale Équiprobabilité et variable aléatoire Exercice 1 Une urne contient 5 boules indiscernables, 3 rouges et 2 vertes. On tire au hasard

Plus en détail

Lois de probabilité à densité Loi normale

Lois de probabilité à densité Loi normale DERNIÈRE IMPRESSIN LE 31 mars 2015 à 14:11 Lois de probabilité à densité Loi normale Table des matières 1 Lois à densité 2 1.1 Introduction................................ 2 1.2 Densité de probabilité

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1 TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun

Plus en détail

Probabilités conditionnelles Exercices corrigés

Probabilités conditionnelles Exercices corrigés Terminale S Probabilités conditionnelles Exercices corrigés Exercice : (solution Une compagnie d assurance automobile fait un bilan des frais d intervention, parmi ses dossiers d accidents de la circulation.

Plus en détail

Événements et probabilités, probabilité conditionnelle et indépendance

Événements et probabilités, probabilité conditionnelle et indépendance Chapitre 1 Événements et probabilités, probabilité conditionnelle et indépendance On cherche ici à proposer un cadre mathématique dans lequel on puisse parler sans ambiguité de la probabilité qu un événement

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur

Plus en détail

Classe de Terminale S

Classe de Terminale S Classe de Terminale S Programme BO HS n 4 du 30 août 001 II.3 Probabilités et statistique Après avoir introduit en classe de seconde la nature du questionnement statistique à partir de travaux sur la fluctuation

Plus en détail

ALEATOIRE - Les enjeux du cours de Probabilités en première année de l Ecole Polytechnique

ALEATOIRE - Les enjeux du cours de Probabilités en première année de l Ecole Polytechnique ALEATOIRE - Les enjeux du cours de Probabilités en première année de l Ecole Polytechnique Télécom ParisTech, 09 mai 2012 http://www.mathematiquesappliquees.polytechnique.edu/ accueil/programmes/cycle-polytechnicien/annee-1/

Plus en détail

Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses. Guillaume Martinez 17 décembre 2007

Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses. Guillaume Martinez 17 décembre 2007 Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses Guillaume Martinez 17 décembre 2007 1 Table des matières 1 Le projet 3 1.1 Objectif................................ 3 1.2 Les choix techniques.........................

Plus en détail

Lois de probabilité. Anita Burgun

Lois de probabilité. Anita Burgun Lois de probabilité Anita Burgun Problème posé Le problème posé en statistique: On s intéresse à une population On extrait un échantillon On se demande quelle sera la composition de l échantillon (pourcentage

Plus en détail

ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #12

ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #12 ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #12 ARTHUR CHARPENTIER 1 Une compagnie d assurance modélise le montant de la perte lors d un accident par la variable aléatoire continue X uniforme sur l intervalle

Plus en détail

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.

Plus en détail

Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés

Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés Cours de Licence 2 Année 07/08 1 Espaces de probabilité Exercice 1.1 (Une inégalité). Montrer que P (A B) min(p (A), P (B)) Exercice 1.2 (Alphabet). On a un

Plus en détail

Loi binomiale Lois normales

Loi binomiale Lois normales Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli

Plus en détail

Simulation d un système d assurance automobile

Simulation d un système d assurance automobile Simulation d un système d assurance automobile DESSOUT / PLESEL / DACHI Plan 1 Introduction... 2 Méthodes et outils utilisés... 2.1 Chaines de Markov... 2.2 Méthode de Monte Carlo... 2.3 Méthode de rejet...

Plus en détail

Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé.

Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. TES Spé Maths Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013 Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. Vous apporterez un grand soin à la présentation et à la

Plus en détail

PROBABILITES et STATISTIQUES. Cours et exercices

PROBABILITES et STATISTIQUES. Cours et exercices PROBABILITES et STATISTIQUES Cours et exercices C. Reder IUP2-MIAGE Bordeaux I 2002-2003 1 I- Le modèle probabiliste 1- Evènements SOMMAIRE 2- Loi de probabilité, espace de probabilité 3- Le cas où les

Plus en détail

Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4. Lois limites ; estimation.

Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4. Lois limites ; estimation. Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4 Lois limites ; estimation. Exercice 1. Trois machines, A, B, C fournissent respectivement 50%, 30%, 20% de la production d une usine. Les pourcentages

Plus en détail

Correction du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014

Correction du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014 Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)

Plus en détail

ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #4-5

ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #4-5 ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #4-5 ARTHUR CHARPENTIER 1 Un certain test médical révèle correctement, avec probabilité 0.85, qu une personne a le sida lorsqu elle l a vraiment et révèle incorrectement,

Plus en détail

Coefficients binomiaux

Coefficients binomiaux Probabilités L2 Exercices Chapitre 2 Coefficients binomiaux 1 ( ) On appelle chemin une suite de segments de longueur 1, dirigés soit vers le haut, soit vers la droite 1 Dénombrer tous les chemins allant

Plus en détail

Première STMG1 2014-2015 progression. - 1. Séquence : Proportion d une sous population dans une population.

Première STMG1 2014-2015 progression. - 1. Séquence : Proportion d une sous population dans une population. Première STMG1 2014-2015 progression. - 1 Table des matières Fil rouge. 3 Axes du programme. 3 Séquence : Proportion d une sous population dans une population. 3 Information chiffrée : connaître et exploiter

Plus en détail

PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II

PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II TABLE DES MATIERES CHAPITRE I - COMBINATOIRE ELEMENTAIRE I.1. Rappel des notations de la théorie des ensemble I.1.a. Ensembles et sous-ensembles I.1.b. Diagrammes (dits

Plus en détail

Petits jeux de probabilités (Solutions)

Petits jeux de probabilités (Solutions) Petits jeux de probabilités (Solutions) Christophe Lalanne En famille 1. Mon voisin a deux enfants dont l un est une fille, quelle est la probabilité pour que l autre soit un garçon? Une famille de deux

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

GEA II Introduction aux probabilités Poly. de révision. Lionel Darondeau

GEA II Introduction aux probabilités Poly. de révision. Lionel Darondeau GEA II Introduction aux probabilités Poly. de révision Lionel Darondeau Table des matières Énoncés 4 Corrigés 10 TD 1. Analyse combinatoire 11 TD 2. Probabilités élémentaires 16 TD 3. Probabilités conditionnelles

Plus en détail

Concours de recrutement interne PLP 2009

Concours de recrutement interne PLP 2009 Concours de recrutement interne PLP 2009 Le sujet est constitué de quatre exercices indépendants. Le premier exercice, de nature pédagogique au niveau du baccalauréat professionnel, porte sur le flocon

Plus en détail

LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples.

LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. Pré-requis : Probabilités : définition, calculs et probabilités conditionnelles ; Notion de variables aléatoires, et propriétés associées : espérance,

Plus en détail

UE Ma401. 1.1 probabilité conditionnelle, indépendance, dénombrement

UE Ma401. 1.1 probabilité conditionnelle, indépendance, dénombrement UE Ma401 1 EXERCICES 1.1 probabilité conditionnelle, indépendance, dénombrement Exercice 1 La probabilité pour une population d être atteinte d une maladie A est p donné; dans cette même population, un

Plus en détail

Programme des épreuves des concours externes de recrutement des personnels techniques et administratifs de recherche et de formation

Programme des épreuves des concours externes de recrutement des personnels techniques et administratifs de recherche et de formation Programme des épreuves des concours externes de recrutement des personnels E1 RECRUTEMENT DES ASSISTANTS INGENIEURS DE RECHERCHE ET DE FORMATION...2 E1.1 Gestionnaire de base de données...2 E1.2 Développeur

Plus en détail

Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés

Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : épreuve de Bernoulli Exercice 2 : loi de Bernoulli de paramètre

Plus en détail

Introduction à la théorie des files d'attente. Claude Chaudet Claude.Chaudet@enst.fr

Introduction à la théorie des files d'attente. Claude Chaudet Claude.Chaudet@enst.fr Introduction à la théorie des files d'attente Claude Chaudet Claude.Chaudet@enst.fr La théorie des files d'attente... Principe: modélisation mathématique de l accès à une ressource partagée Exemples réseaux

Plus en détail

Statistiques Descriptives à une dimension

Statistiques Descriptives à une dimension I. Introduction et Définitions 1. Introduction La statistique est une science qui a pour objectif de recueillir et de traiter les informations, souvent en très grand nombre. Elle regroupe l ensemble des

Plus en détail

3. Caractéristiques et fonctions d une v.a.

3. Caractéristiques et fonctions d une v.a. 3. Caractéristiques et fonctions d une v.a. MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2015 (v2) MTH2302D: fonctions d une v.a. 1/32 Plan 1. Caractéristiques d une distribution 2. Fonctions

Plus en détail

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre : Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant

Plus en détail

Econométrie Appliquée Séries Temporelles

Econométrie Appliquée Séries Temporelles Chapitre 1. UFR Economie Appliquée. Cours de C. Hurlin 1 U.F.R. Economie Appliquée Maîtrise d Economie Appliquée Cours de Tronc Commun Econométrie Appliquée Séries Temporelles Christophe HURLIN Chapitre

Plus en détail

LA NOTATION STATISTIQUE DES EMPRUNTEURS OU «SCORING»

LA NOTATION STATISTIQUE DES EMPRUNTEURS OU «SCORING» LA NOTATION STATISTIQUE DES EMPRUNTEURS OU «SCORING» Gilbert Saporta Professeur de Statistique Appliquée Conservatoire National des Arts et Métiers Dans leur quasi totalité, les banques et organismes financiers

Plus en détail

Exercices supplémentaires sur l introduction générale à la notion de probabilité 2009-2010

Exercices supplémentaires sur l introduction générale à la notion de probabilité 2009-2010 Exercices supplémentaires sur l introduction générale à la notion de probabilité 2009-2010 Exercices fortement conseillés : 6, 10 et 14 1) Un groupe d étudiants est formé de 20 étudiants de première année

Plus en détail

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B EXERCICE 1 (12 points) Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Résolution d une équation différentielle On considère

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires CHAPITRE I. SIMULATION DE VARIABLES ALÉATOIRES 25 Chapitre I Simulation de variables aléatoires La simulation informatique de variables aléatoires, aussi complexes soient elles, repose sur la simulation

Plus en détail

Précision d un résultat et calculs d incertitudes

Précision d un résultat et calculs d incertitudes Précision d un résultat et calculs d incertitudes PSI* 2012-2013 Lycée Chaptal 3 Table des matières Table des matières 1. Présentation d un résultat numérique................................ 4 1.1 Notations.........................................................

Plus en détail

BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL SUJET

BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL SUJET SESSION 203 Métropole - Réunion - Mayotte BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE E4 CULTURE SCIENTIFIQUE ET TECHNOLOGIQUE : MATHÉMATIQUES Toutes options Durée : 2 heures Matériel(s) et document(s) autorisé(s)

Plus en détail

Exercices sur le chapitre «Probabilités»

Exercices sur le chapitre «Probabilités» Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Probabilités» Exercice 1 (Modélisation d un dé non cubique) On considère un parallélépipède rectangle de

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

La survie nette actuelle à long terme Qualités de sept méthodes d estimation

La survie nette actuelle à long terme Qualités de sept méthodes d estimation La survie nette actuelle à long terme Qualités de sept méthodes d estimation PAR Alireza MOGHADDAM TUTEUR : Guy HÉDELIN Laboratoire d Épidémiologie et de Santé publique, EA 80 Faculté de Médecine de Strasbourg

Plus en détail

Université Paris 8 Introduction aux probabilités 2014 2015 Licence Informatique Exercices Ph. Guillot. 1 Ensemble fondamental loi de probabilité

Université Paris 8 Introduction aux probabilités 2014 2015 Licence Informatique Exercices Ph. Guillot. 1 Ensemble fondamental loi de probabilité Université Paris 8 Introduction aux probabilités 2014 2015 Licence Informatique Exercices Ph. Guillot 1 Ensemble fondamental loi de probabilité Exercice 1. On dispose de deux boîtes. La première contient

Plus en détail

Calculs de probabilités conditionelles

Calculs de probabilités conditionelles Calculs de probabilités conditionelles Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 20 mars 2008 1. Indépendance 1 Exemple : On lance deux pièces. Soit A l évènement la première est Pile

Plus en détail

Exo7. Probabilité conditionnelle. Exercices : Martine Quinio

Exo7. Probabilité conditionnelle. Exercices : Martine Quinio Exercices : Martine Quinio Exo7 Probabilité conditionnelle Exercice 1 Dans la salle des profs 60% sont des femmes ; une femme sur trois porte des lunettes et un homme sur deux porte des lunettes : quelle

Plus en détail

Mathématiques appliquées à la finance J. Printems Année 2008 09

Mathématiques appliquées à la finance J. Printems Année 2008 09 IAE Gustave Eiffel Master 2 Gestion de Portefeuille Université Paris xii Val de Marne Mathématiques appliquées à la finance J. Printems Année 2008 09 Épreuve du 15 juillet 2009 Durée : 1 heure 30 Calculatrices

Plus en détail

Probabilités. Une urne contient 3 billes vertes et 5 billes rouges toutes indiscernables au toucher.

Probabilités. Une urne contient 3 billes vertes et 5 billes rouges toutes indiscernables au toucher. Lycée Jean Bart PCSI Année 2013-2014 17 février 2014 Probabilités Probabilités basiques Exercice 1. Vous savez bien qu un octet est une suite de huit chiffres pris dans l ensemble {0; 1}. Par exemple 01001110

Plus en détail

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section : i-prépa Audioprothésiste (annuel) - MATHEMATIQUES 8 : EQUATIONS DIFFERENTIELLES - COURS + ENONCE EXERCICE - Olivier

Plus en détail

BTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL

BTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL BTS Groupement A Mathématiques Session 11 Exercice 1 : 1 points Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL On considère un circuit composé d une résistance et d un condensateur représenté par

Plus en détail

Guidance de Statistique : Epreuve de préparation à l examen

Guidance de Statistique : Epreuve de préparation à l examen Guidance de Statistique : Epreuve de préparation à l examen Durée totale : 90 min (1h30) 5 questions de pratique (12 pts) 20 décembre 2011 Matériel Feuilles de papier De quoi écrire Calculatrice Latte

Plus en détail

Estimation et tests statistiques, TD 5. Solutions

Estimation et tests statistiques, TD 5. Solutions ISTIL, Tronc commun de première année Introduction aux méthodes probabilistes et statistiques, 2008 2009 Estimation et tests statistiques, TD 5. Solutions Exercice 1 Dans un centre avicole, des études

Plus en détail

Cogmaster, Probabilités discrètes. Feuille de TD n o 1 - Événements et probabilités

Cogmaster, Probabilités discrètes. Feuille de TD n o 1 - Événements et probabilités Cogmaster, Probabilités discrètes Feuille de TD n o 1 - Événements et probabilités Exercice 1 Parmi les ensembles suivants, lesquels sont égaux entre eux? A = {n + 4, n N}, B = {n, n = k + 4, k N}, C =

Plus en détail

Probabilités. C. Charignon. I Cours 3

Probabilités. C. Charignon. I Cours 3 Probabilités C. Charignon Table des matières I Cours 3 1 Dénombrements 3 1.1 Cardinal.................................................. 3 1.1.1 Définition............................................. 3

Plus en détail

Terminale STMG Lycée Jean Vilar 2013/2014. Terminale STMG. O. Lader

Terminale STMG Lycée Jean Vilar 2013/2014. Terminale STMG. O. Lader Terminale STMG O. Lader Table des matières 1 Information chiffrée (4s) 4 1.1 Taux d évolution....................................... 6 1.2 indices............................................. 6 1.3 Racine

Plus en détail

Terminale STMG Lycée Jean Vilar 2014/2015. Terminale STMG. O. Lader

Terminale STMG Lycée Jean Vilar 2014/2015. Terminale STMG. O. Lader Terminale STMG O. Lader Table des matières Interrogation 1 : Indice et taux d évolution........................... 2 Devoir maison 1 : Taux d évolution................................ 4 Devoir maison 1

Plus en détail

MA6.06 : Mesure et Probabilités

MA6.06 : Mesure et Probabilités Année universitaire 2002-2003 UNIVERSITÉ D ORLÉANS Olivier GARET MA6.06 : Mesure et Probabilités 2 Table des matières Table des matières i 1 Un peu de théorie de la mesure 1 1.1 Tribus...............................

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Modélisation aléatoire en fiabilité des logiciels

Modélisation aléatoire en fiabilité des logiciels collection Méthodes stochastiques appliquées dirigée par Nikolaos Limnios et Jacques Janssen La sûreté de fonctionnement des systèmes informatiques est aujourd hui un enjeu économique et sociétal majeur.

Plus en détail

Fluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités

Fluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités Fluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités C H A P I T R E 3 JE DOIS SAVOIR Calculer une fréquence JE VAIS ÊTRE C APABLE DE Expérimenter la prise d échantillons aléatoires de taille

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

Niveau. Situation étudiée. Type d activité. Durée. Objectifs. Seconde.

Niveau. Situation étudiée. Type d activité. Durée. Objectifs. Seconde. Simuler des expériences aléatoires avec une calculatrice Niveau Seconde. Situation étudiée Différentes selon les séances : Séance 1 : Jeu de pile ou face, tirages de boule dans une urne avec des proportions

Plus en détail

Probabilités (méthodes et objectifs)

Probabilités (méthodes et objectifs) Probabilités (méthodes et objectifs) G. Petitjean Lycée de Toucy 10 juin 2007 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Probabilités (méthodes et objectifs) 10 juin 2007 1 / 19 1 Déterminer la loi de probabilité d

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Feuille 6 : Tests. Peut-on dire que l usine a respecté ses engagements? Faire un test d hypothèses pour y répondre.

Feuille 6 : Tests. Peut-on dire que l usine a respecté ses engagements? Faire un test d hypothèses pour y répondre. Université de Nantes Année 2013-2014 L3 Maths-Eco Feuille 6 : Tests Exercice 1 On cherche à connaître la température d ébullition µ, en degrés Celsius, d un certain liquide. On effectue 16 expériences

Plus en détail

Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1. Réponse c : ln(10)+2 ln ( 10e 2) = ln(10)+ln ( e 2) = ln(10)+2 2. Réponse b : n 13 0,7 n 0,01

Plus en détail

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée. ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé

Baccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail