Que faire lorsqu on considère plusieurs variables en même temps?

Save this PDF as:
Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Que faire lorsqu on considère plusieurs variables en même temps?"

Transcription

1 Chapitre 3 Que faire lorsqu on considère plusieurs variables en même temps? On va la plupart du temps se limiter à l étude de couple de variables aléatoires, on peut bien sûr étendre les notions introduites à l étude de n variables aléatoires, n 2. On considère deux variables aléatoires X et Y. On aimerait savoir s il existe un lien entre les deux variables et le quantifier. Exemple 0.1 On peut se demander s il y a influence de la pollution par CO2 sur l évolution des cancers. La variable X modélisera alors le taux de CO2 et la variable Y le nombre de cancer. 1 Cas de variables indépendantes On dit de deux variables qu elles sont indépendantes si la connaissance de l une ne donne aucune information sur la connaissance de l autre. C est le cas le plus simple à étudier. Lorsque cela est possible, on essaye au maximum de travailler avec des variables indépendantes. Définition 1.1 Deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes si pour tous intervalles A et B de R on a IP(X A, Y B) = IP(X A)IP(Y B). Proposition 1.2 Deux v.a. X et Y sont indépendantes dans le cas discret pour tous x, y, IP(X = x, Y = y) = IP(X = x)ip(y = y), dans le cas continu, notons f X la densité de X et f Y la densité de Y, on a pour tout intervalles A, B de R IP(X A, Y B) = f X (x)dx f Y (y)dy. A B la transformée de Laplace du couple vérifie pour tout (u, v), L (X,Y ) (u, v) = L X (u)l Y (v) où L (X,Y ) (u, v) = E[e ux+vy ]. 33

2 34 CHAPITRE 3. COUPLE DE VARIABLES pour toutes fonctions h, g : R R E[h(X)g(Y )] = E[h(X)]E[g(Y )]. Définition 1.3 Les variables aléatoires X 1,..., X n sont indépendantes si pour tout intervalles A 1,..., A n de R on a IP(X 1 A 1,..., X n A n ) = n IP(X i A i ). Une suite de variables (X n ) n indépendantes est une suite telle que pour toute sous partie finie I N, les variables (X i ) i I sont indépendantes. Remarque 1.4 Si les v.a. X 1,..., X n sont indépendantes, alors elles sont indépendantes deux à deux. Attention La réciproque est fausse! Par exemple, soient X et Y deux variables indépendantes de même loi : IP(X = 1) = IP(X = 1) = 1/2. On considère Z = XY. Les variables sont deux à deux indépendantes, mais pas mutuellement indépendantes. Dans la nature les objets, les événements, les comportements sont rarement indépendants les uns des autres. Modéliser la chaîne de nucléotides dans un brin d ADN par des variables indépendantes à valeurs dans {a, c, g, t} est trop simpliste et loin de la réalité car on sait qu il y a des zones codantes et d autres non. Exemple 1.5 Considérons les enfants de parents hétérozygotes de génétopye Aa. La distribution des enfants est i=1 IP(AA) = 1/4 IP(Aa) = 1/2 IP(aa) = 1/4. On choisit de façon aléatoire 240 de ces enfants. On définit N 1, N 2, N 3 le nombre d enfants de génotype AA,Aa et aa respectivement. 1. Les variables N 1, N 2 et N 3 suivent respectivement des lois Binomiales B(240, 1/4), B(240, 1/2) et B(240, 1/4). 2. Ces variables ne sont pas indépendantes, car N 1 + N 2 + N 3 = 240 (si on connait les valeurs de N 1 et N 2, on en déduit facilement la valeur de N 3 ). 3. Soit k 1, k 2, k 3 N. Si k 1 + k 2 + k 3 240, on a Si k 1 + k 2 + k 3 = 240, on a On remarque que IP(N 1 = k 1, N 2 = k 2, N 3 = k 3 ) = 0. IP(N 1 = k 1, N 2 = k 2, N 3 = k 3 ) = 240! 1 k1 ( 1 k2 ( 1 ) k3. k 1!k 2!k 3!( 4) 2) 4 IP(N 1 = k 1, N 2 = k 2, N 3 = k 3 ) IP(N 1 = k 1 )IP(N 2 = k 2 )IP(N 3 = k 3 ). Les variables ne sont effectivement pas indépendantes. On dit que le triplet (N 1, N 2, N 3 ) suit la loi multinomiale M(240, (1/4, 1/2, 1/4)).

3 2. QUE FAIRE S IL EXISTE UN LIEN ENTRE LES VARIABLES? 35 Définition 1.6 On effectue un sondage avec remise (ou sur une population suffisament grande) avec d réponses possibles sur une sous-population de taille n. On note p 1 la proportion dans la population totale d individu correspondant à la première réponse, p 2 la proportion dans la population totale d individu correspondant à la deuxième réponse,..., p d la proportion dans la population totale d individu correspondant à la dernière réponse. On définit N 1 le nombre d individus ayant choisi la première réponse, N 2 ceux qui ont choisi la seconde,..., N d ceux qui ont choisi la dernière réponse. Alors la loi de (N 1, N 2,..., N d ) est appelée loi multinomiale M d (n, p), avec n N, n 1, p i ]0, 1[ tels que p 1 + p p d = 1. n! d P (N 1 = k 1, N 2 = k 2,..., N d = k d ) = k 1!k 2!...k d! pk 1 1 pk pk d d avec k i = n C est une généralisation de la loi Binomiale. Pour d = 2, on retrouve la loi Binomiale. i=i 2 Que faire s il existe un lien entre les variables? Comme on a définit la loi d une variable aléatoire, on va définir la loi d un couple de variables. 2.1 Cas des variables discrètes Propriétés 2.1 Soient X et Y deux variables discrètes. La loi du couple (X, Y ) est définie par l ensemble des probabilités : IP(X = x, Y = y) pour toutes valeurs possibles x et y. Remarque 2.2 Notons D X et D Y l ensemble des valeurs possibles de X et de Y respectivement. On peut retrouver les lois de chacune des variables à partir la loi de couple. Soit x D X, on a IP(X = x) = IP(X = x et Y D Y ) = y D Y IP(X = x, Y = y) De même, pour y D Y, on a IP(Y = y) = x D X IP(X = x, Y = y). À partir de la loi du couple, on retrouve facilement la loi de chacune des variables. Par contre, des lois de chacune des variables on ne peut pas déduire la loi du couple, car elles ne rendent pas compte des connections, des liens qui existent entre les variables. Dans le cas où les variables sont discrètes et prennent un petit nombre de valeurs, on écrit en général la loi du couple sous la forme d un tableau : Y \X... Somme des colonnes. IP(X = x, Y = y) IP(Y = y) Somme des lignes IP(X = x)

4 36 CHAPITRE 3. COUPLE DE VARIABLES Exemple On lance une pièce truquée 3 fois. La probabilité de tomber sur "Pile" est 2/3. Soit X le nombre de "Face" obtenu dans les deux premiers jets et Y le nombre de "Face" obtenu dans les deux derniers jets. La loi de (X, Y ) est donnée par y\x IP(Y = y) ( 0 2 ) 3 ( 3 = ) = /9 ( ) 2 ( 3 3 = ) 2 ( ) = 6 ( 1 ) = /9 ( ) = 2 ( 1 ) = /9 IP(X = x) 4/9 4/9 1/9 2. L université de Rennes 1 veut évaluer l effet de l offre MIPE sur le campus et voir quel système d exploitation est apprécié des étudiants. Les proportions collectées sont résumées dans un tableau : Système d exploitation Filière Windows Mac OS Linux Biologie Droit/Économie Informatique Mathématiques On déduit de ce tableau les proportions d élèves qui ont profité de l offre MIPE en fonction des filières, ainsi que la répartition des systèmes d exploitation sur le campus. Exercice 2.4 On effectue une suite infinie de lancers indépendants d un dé équilibré. On note les lancers à partir de 1. On définit les deux variables aléatoires : X est égale au numéro du lancer qui donne le premier 6, Y est égale au nombre de 5 obtenus avant le premier 6. Déterminer la loi du couple (X, Y ). Corrigé : Le couple est à valeurs dans N N avec Y < X. Par conséquent si k n, IP(X = n, Y = k) = 0 et si k < n, IP(X = n, Y = k) = IP( k fois 5 et pas de 6 sur les n 1 premiers lancers et un 6 au n ème lancer. )! «k «n 1 k n = k Cas des variables à densité Définition 2.5 La loi du couple de v.a. (X, Y ) est dite à densité s il existe une fonction f (X,Y ) de deux variables telle que le fonction de répartition du couple vérifie pour tout (u, v) R 2 u v IP(X u, Y v) = f (X,Y ) (x, y)dxdy satisfaisant les conditions suivantes : 1. f (X,Y ) (x, y) 0 pour tout (x, y) R 2,

5 2. QUE FAIRE S IL EXISTE UN LIEN ENTRE LES VARIABLES? f (X,Y ) (x, y)dxdy = 1. On peut facilement retrouver la densité à partir de la fonction de répartition. En dérivant une fois par rapport à chacune des variables la fonction de répartition, on obtient f (X,Y ) (u, v) = 2 u v F (X,Y )(u, v). Proposition 2.6 Si le couple (X, Y ) admet une densité. Alors, pour tout A R R IP((X, Y ) A) = f (X,Y ) (x, y)dxdy. Par conséquent, X et Y sont indépendantes si et seulement si pour tous x, y A f (X,Y ) (x, y) = f X (x)f Y (y). Remarque 2.7 De même que pour les variables discrètes, on peut retrouver facilement les lois de chacune des variables. Soit u R, on a La densité de X est f X (x) = F X (u) = IP(X u) = IP((X, Y ) ], u] ], + [) u ( + ) = f (X,Y ) (x, y)dy dx. + f (X,Y ) (x, y)dy. De même, la densité de Y est f Y (y) = + f (X,Y ) (x, y)dx. Exemple Considérons le couple (X, Y ) de densité f (X,Y ) (x, y) = 3/8(x 2 +xy/2)i [0,1] [0,2] (x, y). Cette fonction est bien une densité de probabilité. On en déduit la densité de X : f X (x) = + f (X,Y ) (x, y)dy = 2 = 3 x(x + 2) si x [0, 1] 4 On peut calculer par exemple IP(X > Y ) : IP(X > Y ) = = ( x 2x 3 dx = Considérons le couple (X, Y ) de densité ) f (X,Y ) (x, y)dy dx = (x2 + xy 2 )dy 1 0 ( x f (X,Y ) (x, y) = c(y 2 x 2 )e y si y < x < y, y > (x2 + xy ) 2 )dy dx Cette fonction est bien une densité de probabilité lorsque c = 1/8. Les densités de X et Y sont : f X (x) = 1 4 ( x + 1)e x pour x R et f Y (y) = 1 6 y3 e y pour y > 0

6 38 CHAPITRE 3. COUPLE DE VARIABLES 3 Évaluer la dépendance entre deux variables On va introduire une nouvelle quantité, la corrélation, qui permet d estimer la dépendance entre deux variables aléatoires. Définition 3.1 La covariance de deux v.a. X et Y est La corrélation est alors définie par Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ). ρ(x, Y ) = Cov(X, Y ) V ar(x)v ar(y ). L espérance E[XY ] est calculée à partir de la loi jointe de (X, Y ) : 1. dans le cas discret, lorsque la somme a un sens, E[XY ] = x,y xyip(x = x, Y = y) 2. dans le cas continu, lorsque l intégrale a un sens, E[XY ] = + + xyf (X,Y ) (x, y)dxdy. Remarque 3.2 Soient X et Y deux v.a. Alors V ar(x + Y ) = V ar(x) + V ar(y ) + 2Cov(X, Y ). Preuve. En développant le carré, on obtient le résultat : V ar(x + Y ) = E[(X + Y E[X + Y ]) 2 ] = E[(X E[X] + Y E[Y ]) 2 ] = E[(X E[X]) 2 ] + E[(Y E[Y ]) 2 ] + 2E[(X E[X])(Y E[Y ])] = V ar(x) + V ar(y ) + 2E[XY ] 2E[X]E[Y ] = V ar(x) + V ar(y ) + 2Cov(X, Y ). Propriétés 3.3 Si X et Y sont indépendantes, alors E[XY ] = E[X]E[Y ]. Par conséquent, si X et Y sont indépendantes on a Cov(X, Y ) = 0 et V ar(x + Y ) = V ar(x) + V ar(y ). Attention La réciproque est fausse! Cov(X, Y ) = 0 ne veut rien dire sur les variables. Par contre, Cov(X, Y ) 0 implique que les variables sont dépendants. Proposition Contrairement à la covariance, la corrélation ne dépend pas de l unité de mesure des variables. Par exemple que des vitesses soient mesurées en m/s ou en km/h ne changera pas la valeur de la corrélation. 2. Le coefficient de corrélation est compris entre 1 et 1. Plus ρ(x, Y ) est proche de 1, plus les variables sont dites dépendantes.

7 4. LOI CONDITIONNELLE POUR DES VARIABLES DISCRÈTES Lorsque ρ(x, Y ) = 1, alors il existe a, b R tels que ax + by = 0, les variables sont entièrement liées (il suffit de connaitre la valeur d une des variables pour connaitre la valeur de l autre). Exemple 3.5 Une étude médicale sur l effet du tabac est menée dans un hopital. Les 2278 patients sont divisés en deux groupes : ceux atteints d un cancer pulmonaire (X = 1) et les autres (X = 0). Les membres de chaque groupe sont ensuite répartis selon le nombre Y de paquets de cigarettes fumés par jour. Cancer Nombre de paquets de cigarettes Total pulmonaire Total On souhaite étudier l association entre cancer pulmonaire et la consommation de cigarette en calculant la covariance. La proportion de personnes atteintes d un cancer pulmonaire est 6.72%, le nombre moyen de paquets de cigarettes consommés est 0.65, on obtient Cov(X, Y ) = = 0.02 La covariance est positive, le résultat indique qu il y a un lien positif entre la déclaration du cancer et la consommation de cigarettes (plus on consomme des cigarettes, plus le risque de cancer est grand!). 4 Loi conditionnelle pour des variables discrètes Lorsque les variables sont dépendantes, avoir une information sur une des variables a une influence sur la loi de l autre. On définit alors la notion de loi conditionnelle. On se limite ici aux variables discrètes, mais une telle notion peut être étendue aux variables à densité. Définition 4.1 On considère deux variables aléatoires X et Y discrètes. Soit y une valeur de Y possible. La loi conditionnelle de X sachant que Y = y est donnée par l ensemble des valeurs IP Y =y (X = x) = IP(X = x, Y = y) IP(Y = y) pour tout x. Exercice 4.2 Loi de Poisson et loi Binomiale 1. Soient X et Y deux variables indépendantes, de loi de Poisson de paramètre respectif λ et µ. Déterminer la loi conditionnelle de X sachant {X + Y = n}. 2. Si X 1,..., X r sont indépendantes de lois de Poisson de paramètres respectifs λ 1,..., λ r, quelle est la loi conditionnelle de (X 1,..., X r ) sachant {X X r = n}? Corrigé :

8 40 CHAPITRE 3. COUPLE DE VARIABLES 1. On montre en utilisant les fonctions génératrices que X + Y P[λ + µ). Soit k N, si k > n IP X+Y =n(x = k) = 0 et si k n IP X+Y =n(x = k) = = IP(X = k, Y = n k) IP(X + Y = n)! «k n λ µ k λ + µ λ + µ Indép. = «n k. IP(X = k)ip(y = n k) IP(X + Y = n) On retrouve la loi B(n, λ λ+µ ). λ 2. On obtient une loi multinomiale M(n, p) avec p = ( λ 1 + +λ r,..., r λ 1 + +λ r ). λ 1

9 5. EXERCICES SUR LE CHAPITRE Exercices sur le chapitre 3 Exercice On jette simultanément deux dés. On note X le nombre de chiffres pairs apparus et Y le maximum des deux chiffres obtenus. Chercher la loi du couple (X, Y ). X et Y sont-elles indépendantes? Exercice La loi d un couple de variables aléatoires est donnée par le tableau suivant : X\Y Déterminer la loi de X, puis celle de Y /6 1/12 1/ /12 1/24 1/ /4 1/8 1/ Calculer E[X], E[Y ], E[XY ] et Cov(X, Y ). Les variables X et Y sont-elles indépendantes? 3. On pose U = X et Z = X + Y. Donner le tableau de la loi du couple (U, Z). Les variables U et Z sont-elles indépendantes? Exercice À la recherche de l ancêtre commun On considère une population cellulaire de taille constante N. La population est isolée (pas de migration), il n y a pas de sélection, les générations ne se chevauchent pas et la reproduction se fait de façon indépendante entre les cellules. Chaque cellule n a qu un seul parent. On étudie l évolution de la population. On choisit quatres cellules au hasard et on note X le nombre de générations écoulées depuis le premier ancêtre commun entre les deux premières et Y le nombre de générations écoulées depuis le permier ancêtre commun entre les deux dernières cellules. On cherche le nombre de générations écoulées U depuis le plus jeune ancêtre de chacun des couples et le nombre de générations écoulées V depuis le plus vieux des deux ancêtres de chacun des couples. 1. Expliquer pourquoi on peut modéliser les lois de X et de Y par des lois géométriques G(p) et exprimer p en fonction de la taille de la population. 2. Exprimer U et V en fonction de X et Y. 3. Déterminer la loi du couple (U, V ). 4. En déduire les lois de U et V. Vérifiez que V suit une loi géométrique de paramètre q = 2p p On rappelle que l espérance d une loi géométrique G(p) est 1/p. Exprimer l espérance de V en fonction de N. Puis sans calcul, en déduire l espérance de U. Exercice Les amoureux du banc public Deux personnes se donnent rendez-vous. L heure d arrivée de chacune de ces deux personnes sur les lieux est une variable uniforme entre midi et une heure. Les personnes n ayant pas de téléphone portable, on suppose ces deux variables indépendantes. Quelle est la probabilité qu ils arrivent au même instant? Quelle est la probabilité que le premier arrivé doive attendre plus de 10 minutes? Si les deux personnes se donnent un rendez-vous plus précis, à midi exactement par exemple. La loi uniforme est-elle adaptée au problème? Quelle autre type de loi peut-on utiliser?

10 42 CHAPITRE 3. COUPLE DE VARIABLES Exercice Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes et de même loi : P (X = k) = 2 k pour k N. Calculer les quantités suivantes : P (X = Y ), P (X < Y ), P (min{x, Y } n), P (X divise Y ). Exercice À la pêche aux Homards Il n existe aucune méthode pour déterminer l âge exact d un homard. Le homard ne montre aucun signe mesurable de vieillissement : aucune perte d appétit, aucun changement dans le métabolisme, aucune perte de besoin reproducteur ou de capacité, aucun déclin dans la force ou la santé. Les homards, quand ils meurent, semblent mourir des causes externes. Ils sont pêchés par les humains, mangés par les sceaux, gaspillés par les parasites, mais ils ne semblent pas mourir de l intérieur. Un pêcheur de Cancale se spécialise dans la pêche au homard. Le pêcheur veut estimer le temps qu il dispose pour vendre ses homards. 1. Quelle loi usuelle peut-on utiliser pour modéliser la durée de vie T d un homard? Notons λ le paramètre de la loi de T. Exprimer en fonction de λ la durée de vie moyenne d un homard ainsi que l écart type associé. 2. On considère n homards choisis de façon indépendantes. On note T 1,..., T n leurs durées de vie respectives. On note U = min(t 1,..., T n ) le premier instant où au moins un des homards décède et V = max(t 1,..., T n ) le premier instant où tous les homards cessent de vivre. Exprimer les lois de U et de V. Reconnaitre la loi de U. Exercice On considère une variable aléatoire équidistribuée X telle que IP(X = 1) = IP(X = 0) = IP(X = 1) = 1/3. On pose Y = X 2. Montrer que Cov(X, Y ) = 0, mais que X et Y ne sont pas indépendantes. Exercice Recherche de cellules malignes On fait deux biopsies à un patient. Dans la première n cellules sont étudiées et on désigne par X le nombre de cellules malignes. Dans la seconde m cellules sont étudiées et on note Y le nombre de cellules malignes. La probabilité qu une cellule soit maligne est notée p. 1. Par quelle loi peut-on modéliser les variables X et Y? 2. Que représente X + Y? Déterminer la loi de X + Y. 3. Le laborantin a mélangé par inadvertance les deux éprouvettes. Quelle est alors la loi conditionnelle de X sachant {X + Y = k}? Exercice L oeuf ou la poule? On considère deux espèces de poules : les poules bressanes et les poules de Janzé. On supppose qu une poule pond des oeufs selon une loi de Poisson de paramètre λ pour les bressanes et µ pour celles de Janzé. On note X le nombre d oeufs pondu par jour par une poule bressane choisie au hasard et Y le nombre d oeufs par jour d une poule de Janzé choisie aussi au hasard.

11 5. EXERCICES SUR LE CHAPITRE En utilisant la fonction génératrice, trouver la loi du nombre d oeufs total pondu par jour par les deux poules? 2. Sachant qu au total elles ont pondu n oeufs, quelle est la loi du nombre d oeufs pondu par la poule bressane? Exercice Mutation dans un brin d ADN L ADN est soumis à des mutations endogènes et exogènes. Pour survivre, les cellules disposent d un mécanisme de réparation, mais parfois la mutation se fixe et se transmet aux cellules filles. On suppose que le nombre de mutation M subi par l ADN suit une loi de Poisson de paramètre λ et on note p la probabilité qu une mutation soit fixée. 1. Quelle est la loi du nombre de mutation fixée F sachant que M = k? 2. Déterminer la loi du couple (M, F ). 3. Déterminer la loi de F, son espérance et sa variance. 4. Quelle est la loi de M sachant que F = n?

12 44 CHAPITRE 3. COUPLE DE VARIABLES

Couple de variables aléatoires - Notion d indépendance.

Couple de variables aléatoires - Notion d indépendance. Couple de variables aléatoires - Notion d indépendance. Préparation au Capes - Université Rennes 1 On considère deux variables aléatoires X et Y. On aimerait connaitre s il y a influence entre ces deux

Plus en détail

Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples

Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples 36 Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples (Ω, B, P est un espace probabilisé. 36.1 Définition et propriétés des probabilités conditionnelles Définition 36.1

Plus en détail

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes UNIVERSITÉ DE CERG Année 0-03 UFR Économie & Gestion Licence d Économie et Gestion MATH0 : Probabilités Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes Généralités Définition Soit (Ω, P(Ω), P)

Plus en détail

Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités

Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités Laboratoire de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan Module: Stat inférentielles Définition Quelques exemples loi d une v.a

Plus en détail

Couples de variables aléatoires discrètes

Couples de variables aléatoires discrètes Couples de variables aléatoires discrètes ECE Lycée Carnot mai Dans ce dernier chapitre de probabilités de l'année, nous allons introduire l'étude de couples de variables aléatoires, c'est-à-dire l'étude

Plus en détail

Mth2302B - Intra Été 2011

Mth2302B - Intra Été 2011 École Polytechnique de Montréal page 1 Contrôle périodique Été 2011--------------------------------Corrigé--------------------------------------T.Hammouche Question 1 (12 points) Mth2302B - Intra Été 2011

Plus en détail

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Pierre Andreoletti IUT d Orléans Laboratoire MAPMO (Bât. de Mathématiques UFR Sciences) - Bureau 126 email: pierre.andreoletti@univ-orleans.fr

Plus en détail

COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES

COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES CHAPITRE 13 COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES Dans tout le chapitre, (Ω, P) désignera un espace probabilisé fini. 1 Couple de variables aléatoires Définition 13.1 On appelle couple de variables aléatoires

Plus en détail

Actuariat I ACT2121. huitième séance. Arthur Charpentier. Automne 2012. charpentier.arthur@uqam.ca. http ://freakonometrics.blog.free.

Actuariat I ACT2121. huitième séance. Arthur Charpentier. Automne 2012. charpentier.arthur@uqam.ca. http ://freakonometrics.blog.free. Actuariat I ACT2121 huitième séance Arthur Charpentier charpentier.arthur@uqam.ca http ://freakonometrics.blog.free.fr/ Automne 2012 1 Exercice 1 Soit X une variable aléatoire continue de fonction de densité

Plus en détail

Espérance, variance, quantiles

Espérance, variance, quantiles Espérance, variance, quantiles Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 22 mai 2008 0. Motivation Mesures de centralité (ex. espérance) et de dispersion (ex. variance) 1 f(x) 0.0 0.1

Plus en détail

Probabilités Loi exponentielle Exercices corrigés

Probabilités Loi exponentielle Exercices corrigés Probabilités Loi exponentielle Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : densité de probabilité Exercice 2 : loi exponentielle de paramètre

Plus en détail

Chapitre 1 : Évolution COURS

Chapitre 1 : Évolution COURS Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir

Plus en détail

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65 Sommaire Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires............... 5 A. Généralités sur les variables aléatoires réelles.................... 6 B. Séries doubles..................................... 9

Plus en détail

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de

Plus en détail

1ES Février 2013 Corrigé

1ES Février 2013 Corrigé 1ES Février 213 Corrigé Exercice 1 Le tableau ci-dessous renseigne sur les besoins en eau dans le monde : Population mondiale (Milliards d habitants) Volume moyen par habitant ( ) 195 2,5 4 1 197 3,6 5

Plus en détail

Examen d accès - 1 Octobre 2009

Examen d accès - 1 Octobre 2009 Examen d accès - 1 Octobre 2009 Aucun document autorisé - Calculatrice fournie par le centre d examen Ce examen est un questionnaire à choix multiples constitué de 50 questions. Plusieurs réponses sont

Plus en détail

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Université Paris1, Licence 00-003, Mme Pradel : Principales lois de Probabilité 1 DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Notations Si la variable aléatoire X suit la loi L, onnoterax

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 213 MATHÉMATIQUES Série ES/L Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) ES : ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE L : ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE Les calculatrices électroniques

Plus en détail

Chapitre 3. Les distributions à deux variables

Chapitre 3. Les distributions à deux variables Chapitre 3. Les distributions à deux variables Jean-François Coeurjolly http://www-ljk.imag.fr/membres/jean-francois.coeurjolly/ Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Grenoble University 1 Distributions conditionnelles

Plus en détail

Chapitre VI Échantillonages et simulations

Chapitre VI Échantillonages et simulations Chapitre VI Commentaires : Récursivement, les commentaires ne sont pas à l attention des élèves.. Fluctuation d échantillonnage Définition : En statistiques, un échantillon de taille n est la liste des

Plus en détail

Simulation d un système d assurance automobile

Simulation d un système d assurance automobile Simulation d un système d assurance automobile DESSOUT / PLESEL / DACHI Plan 1 Introduction... 2 Méthodes et outils utilisés... 2.1 Chaines de Markov... 2.2 Méthode de Monte Carlo... 2.3 Méthode de rejet...

Plus en détail

Variables aléatoires continues

Variables aléatoires continues IUT Aix-en-Provence Année 204-205 DUT Informatique TD Probabilités feuille n 6 Variables aléatoires continues Exercice (La station-service) Dans une station-service, la demande hebdomadaire en essence,

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat STMG Métropole 18 juin 2015

Corrigé du baccalauréat STMG Métropole 18 juin 2015 orrigé du baccalauréat STMG Métropole 18 juin 215 Durée : 3 heures EXERIE 1 4 points Tous les ans, en août, Maïlys reçoit l échéancier (document indiquant le montant de sa cotisation annuelle) de sa mutuelle

Plus en détail

Calcul élémentaire des probabilités

Calcul élémentaire des probabilités Myriam Maumy-Bertrand 1 et Thomas Delzant 1 1 IRMA, Université Louis Pasteur Strasbourg, France Licence 1ère Année 16-02-2006 Sommaire Variables aléatoires. Exemple 1. (Jeu d argent) Exemple 2. Loi de

Plus en détail

Loi normale ou loi de Laplace-Gauss

Loi normale ou loi de Laplace-Gauss LivreSansTitre1.book Page 44 Mardi, 22. juin 2010 10:40 10 Loi normale ou loi de Laplace-Gauss I. Définition de la loi normale II. Tables de la loi normale centrée réduite S il y avait une seule loi de

Plus en détail

Loi binomiale Lois normales

Loi binomiale Lois normales Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli

Plus en détail

TD 4 : HEC 2001 épreuve II

TD 4 : HEC 2001 épreuve II TD 4 : HEC 200 épreuve II Dans tout le problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 2 On dispose de n jetons numérotés de à n On tire, au hasard et sans remise, les jetons un à un La suite (a, a 2,,

Plus en détail

Exercices sur les lois de probabilités continues

Exercices sur les lois de probabilités continues Terminale S Exercices sur les lois de probabilités continues Exercice n 1 : X est la variable aléatoire de la loi continue et uniforme sur [0 ; 1]. Donner la probabilité des événements suivants : a. b.

Plus en détail

5 Méthodes algorithmiques

5 Méthodes algorithmiques Cours 5 5 Méthodes algorithmiques Le calcul effectif des lois a posteriori peut s avérer extrêmement difficile. En particulier, la prédictive nécessite des calculs d intégrales parfois multiples qui peuvent

Plus en détail

Baccalauréat STL biotechnologies Métropole La Réunion 18 juin 2015

Baccalauréat STL biotechnologies Métropole La Réunion 18 juin 2015 Baccalauréat STL biotechnologies Métropole La Réunion 18 juin 2015 Calculatrice autorisée conformément à la circulaire n o 99-186 du 16 novembre 1999. Le candidat doit traiter les quatre exercices. Il

Plus en détail

Sujet de Bac 2013 Maths ES Obligatoire & Spécialité - Pondichéry

Sujet de Bac 2013 Maths ES Obligatoire & Spécialité - Pondichéry Sujet de Bac 2013 Maths ES Obligatoire & Spécialité - Pondichéry Exercice 1 : 4 points Commun à tous les candidats Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Une réponse exacte rapporte 1 point.

Plus en détail

Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités, cas d un univers fini.

Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités, cas d un univers fini. Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités, cas d un univers fini. 1 Introduction Des actions comme lancer un dé, tirer une carte d un jeu, observer la durée de vie d une ampoule électrique, etc...sont

Plus en détail

Licence MASS 2000-2001. (Re-)Mise à niveau en Probabilités. Feuilles de 1 à 7

Licence MASS 2000-2001. (Re-)Mise à niveau en Probabilités. Feuilles de 1 à 7 Feuilles de 1 à 7 Ces feuilles avec 25 exercices et quelques rappels historiques furent distribuées à des étudiants de troisième année, dans le cadre d un cours intensif sur deux semaines, en début d année,

Plus en détail

Probabilités conditionnelles

Probabilités conditionnelles 22 Probabilités conditionnelles Ω, B, P est un espace probabilisé. 22. Définition et propriétés des probabilités conditionnelles Considérons l expérience aléatoire qui consiste à lancer deux fois un dé

Plus en détail

: 3 si x 2 [0; ] 0 sinon

: 3 si x 2 [0; ] 0 sinon Oral HEC 2007 Question de cours : Dé nition d un estimateur ; dé nitions du biais et du risque quadratique d un estimateur. On considère n (n > 2) variables aléatoires réelles indépendantes X 1,..., X

Plus en détail

Niveau. Situations étudiées. Type d activité. Durée. Objectifs

Niveau. Situations étudiées. Type d activité. Durée. Objectifs Fourchettes, non réponses, fausses réponses et redressements... : la cuisine mathématique des sondages Niveau Exercice 1 : 3 ème 2 nde. Exercice 2 : 3 ème 2 nde. Exercice 3 : Seconde ou première. Exercice

Plus en détail

Exercice 1 Métropole juin 2014 5 points

Exercice 1 Métropole juin 2014 5 points Le sujet comporte 6 pages. Seule l annexe est à rendre avec la copie. BAC BLANC MATHÉMATIQUES TERMINALE STMG Durée de l épreuve : 3 heures Les calculs doivent être détaillés. Les calculatrices sont autorisées,

Plus en détail

Principe des tests statistiques

Principe des tests statistiques Principe des tests statistiques Jean Vaillant Un test de signification est une procédure permettant de choisir parmi deux hypothèses celles la plus probable au vu des observations effectuées à partir d

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Simulation de variables aléatoires S. Robin INA PG, Biométrie Décembre 1997 Table des matières 1 Introduction Variables aléatoires discrètes 3.1 Pile ou face................................... 3. Loi de

Plus en détail

BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR COMPTABILITÉ ET GESTION DES ORGANISATIONS Session 2013 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES. Durée : 2 heures Coefficient : 2

BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR COMPTABILITÉ ET GESTION DES ORGANISATIONS Session 2013 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES. Durée : 2 heures Coefficient : 2 BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR COMPTABILITÉ ET GESTION DES ORGANISATIONS Session 2013 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée : 2 heures Coefficient : 2 SUJET Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu il

Plus en détail

Mathématiques Ch. 6 : Exercices

Mathématiques Ch. 6 : Exercices 1 BTS CGO - LYCÉE LOUIS PAYEN - Mathématiques Ch. 6 : Exercices Cours J-L NEULAT 1 Loi normale 1.1 Lecture directe EXERCICE 1 Soit X une variable aléatoire qui suitn(0,1). On donne : P(X 1) 0,84. Sans

Plus en détail

Mathématiques appliquées à la finance J. Printems Année 2008 09

Mathématiques appliquées à la finance J. Printems Année 2008 09 IAE Gustave Eiffel Master 2 Gestion de Portefeuille Université Paris xii Val de Marne Mathématiques appliquées à la finance J. Printems Année 2008 09 Épreuve du 15 juillet 2009 Durée : 1 heure 30 Calculatrices

Plus en détail

Échantillonnage et estimation

Échantillonnage et estimation Échantillonnage et estimation Dans ce chapitre, on s intéresse à un caractère dans une population donnée dont la proportion est notée. Cette proportion sera dans quelques cas connue (échantillonnage),

Plus en détail

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions :

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions : Probabilités I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : 1- Définitions : Ω : Ensemble dont les points w sont les résultats possibles de l expérience Des évènements A parties de Ω appartiennent à A une

Plus en détail

Probabilités, cours pour la classe de Terminale STG

Probabilités, cours pour la classe de Terminale STG Probabilités, cours pour la classe de Terminale STG F.Gaudon 16 février 2008 Table des matières 1 Probabilités (rappels) 2 2 Événements 3 3 Calculs de probabilités 4 4 Probabilités conditionnelles 5 4.1

Plus en détail

CONCOURS D ADMISSION. Option économique MATHEMATIQUES III. Année 2006

CONCOURS D ADMISSION. Option économique MATHEMATIQUES III. Année 2006 ESSEC M B A CONCOURS D ADMISSION Option économique MATHEMATIQUES III Année 2006 La présentation, la lisibilité, l orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront

Plus en détail

Exercices chapitre 8. Probabilités.

Exercices chapitre 8. Probabilités. Lycée Descartes PC 2014-15 M. Besbes Exercices chapitre 8. Probabilités. Exercice 1. Soit (Ω, B, P ) un espace probabilisé. Montrer que l ensemble : A = {A B; P (A) = 0 ou P (A) = 1} est une tribu. Exercice

Plus en détail

Variables Aléatoires. Chapitre 2

Variables Aléatoires. Chapitre 2 Chapitre 2 Variables Aléatoires Après avoir réalisé une expérience, on ne s intéresse bien souvent à une certaine fonction du résultat et non au résultat en lui-même. Lorsqu on regarde une portion d ADN,

Plus en détail

A propos du calcul des rentabilités des actions et des rentabilités moyennes

A propos du calcul des rentabilités des actions et des rentabilités moyennes A propos du calcul des rentabilités des actions et des rentabilités moyennes On peut calculer les rentabilités de différentes façons, sous différentes hypothèses. Cette note n a d autre prétention que

Plus en détail

BTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL

BTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL BTS Groupement A Mathématiques Session 11 Exercice 1 : 1 points Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL On considère un circuit composé d une résistance et d un condensateur représenté par

Plus en détail

Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4. Lois limites ; estimation.

Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4. Lois limites ; estimation. Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4 Lois limites ; estimation. Exercice 1. Trois machines, A, B, C fournissent respectivement 50%, 30%, 20% de la production d une usine. Les pourcentages

Plus en détail

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.

Plus en détail

Baccalauréat ES Polynésie 7 juin 2013

Baccalauréat ES Polynésie 7 juin 2013 Baccalauréat ES Polnésie 7 juin 2013 EXERCICE 1 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Une réponse juste rapporte

Plus en détail

SOMMES ET PRODUITS. 1 Techniques de calcul. 1.1 Le symbole. 1.2 Règles de calcul. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

SOMMES ET PRODUITS. 1 Techniques de calcul. 1.1 Le symbole. 1.2 Règles de calcul. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot SOMMES ET PRODUITS 1 Techniques de calcul 1.1 Le symbole Notation 1.1 Soient m et n deux entiers naturels. Alors { a m + a m+1 + + a + a n si m n, a = 0 sinon. On peut aussi noter m n =m a ou encore m,n

Plus en détail

Extrait de cours maths 3e. Multiples et diviseurs

Extrait de cours maths 3e. Multiples et diviseurs Extrait de cours maths 3e I) Multiples et diviseurs Multiples et diviseurs Un multiple d'un nombre est un produit dont un des facteurs est ce nombre. Un diviseur du produit est un facteur de ce produit.

Plus en détail

CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 2009 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES. (Classe terminale S)

CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 2009 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES. (Classe terminale S) MA 09 CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 009 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Classe terminale S) DURÉE : 5 heures La calculatrice de poche est autorisée, conformément à la réglementation. La clarté et

Plus en détail

Fiche de révision sur les lois continues

Fiche de révision sur les lois continues Exercice 1 Voir la correction Le laboratoire de physique d un lycée dispose d un parc d oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit

Plus en détail

Épreuve de Mathématiques 8

Épreuve de Mathématiques 8 Lycée La Prat s Vendredi 10 avril 2015 Classe de PT Épreuve de Mathématiques 8 Durée 4 h L usage des calculatrices est interdit. La présentation, la lisibilité, l orthographe, la qualité de la rédaction

Plus en détail

Partiel - 12 mars 2014

Partiel - 12 mars 2014 Licence STS, semestre 4 013 14 Mathématiques pour l Informatique (Info 9) 1 mars 014 http://www.lri.fr/~paulin/mathinfo Partiel - 1 mars 014 L examen dure heures. L énoncé est composé de 5 pages. Toutes

Plus en détail

Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires

Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires Master Modélisation et Simulation / ENSTA TD 1 2012-2013 Les méthodes dites de Monte-Carlo consistent en des simulations expérimentales de problèmes

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient

Plus en détail

BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL SUJET

BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL SUJET SESSION 203 Métropole - Réunion - Mayotte BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE E4 CULTURE SCIENTIFIQUE ET TECHNOLOGIQUE : MATHÉMATIQUES Toutes options Durée : 2 heures Matériel(s) et document(s) autorisé(s)

Plus en détail

nous pouvons calculer l intérêt obtenu par ce capital au bout d un an (n =1). 1an

nous pouvons calculer l intérêt obtenu par ce capital au bout d un an (n =1). 1an Chapitre IV : Les intérêts composés I. Généralités et définition Avec les intérêts composés, nous abordons les mathématiques financières de moyen et long terme. Pour gérer les comptes de moyen et long

Plus en détail

MT18 A 2012 Variables aléatoires à valeurs réelles Aleth Chevalley Loi binomiale, loi de Poisson, loi normale

MT18 A 2012 Variables aléatoires à valeurs réelles Aleth Chevalley Loi binomiale, loi de Poisson, loi normale MT8 A 0 Variables aléatoires à valeurs réelles Aleth Chevalley Loi binomiale, loi de Poisson, loi normale. Fonction de répartition.. Variable aléatoire à valeurs réelles Définition : Soit un ensemble fondamental

Plus en détail

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre : Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant

Plus en détail

LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples.

LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. Pré-requis : Probabilités : définition, calculs et probabilités conditionnelles ; Notion de variables aléatoires, et propriétés associées : espérance,

Plus en détail

Fonctions de deux variables. Mai 2011

Fonctions de deux variables. Mai 2011 Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs

Plus en détail

Résume du cours de Mécanique Analytique

Résume du cours de Mécanique Analytique Résume du cours de Mécanique Analytique jean-eloi.lombard@epfl.ch 22 janvier 2009 Table des matières 1 Équations de Lagrange 1 1.1 Calcul des variations....................... 3 1.2 Principe de moindre

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat ES Antilles Guyane 24 juin 2015

Corrigé du baccalauréat ES Antilles Guyane 24 juin 2015 Corrigé du baccalauréat ES Antilles Guyane 2 juin 2015 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats Aucune justification n était demandée dans cet exercice. 1. La fonction f définie sur R par f (x)= x 3 + 6x

Plus en détail

UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES

UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010 N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES 1 Les énoncés La plupart des phrases que l on rencontre dans un livre

Plus en détail

Primitives Cours maths Terminale S

Primitives Cours maths Terminale S Primitives Cours maths Terminale S Dans ce module est introduite la notion de primitive d une fonction sur un intervalle. On définit cette notion puis on montre qu une fonction admet une infinité de primitives

Plus en détail

Theme 4 - Lois usuelles discrètes

Theme 4 - Lois usuelles discrètes L2 AES TD de statistique 2008/2009 Cours de Mme Mériot M.-A. Jambu & S.Turolla Theme 4 - Lois usuelles discrètes Exercice 1 (Loi binomiale) A et B sont deux avions ayant respectivement 4 et 2 moteurs.

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé

Baccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H

Plus en détail

Exercices supplémentaires

Exercices supplémentaires Exercices supplémentaires Christophe Lalanne Emmanuel Chemla Exercices Exercice 1 Un grand magasin a n portes d entrée ; r personnes arrivent à des instants divers et choisissent au hasard une entrée indépendamment

Plus en détail

Théorie des graphes. Introduction. Programme de Terminale ES Spécialité. Résolution de problèmes à l aide de graphes. Préparation CAPES UCBL

Théorie des graphes. Introduction. Programme de Terminale ES Spécialité. Résolution de problèmes à l aide de graphes. Préparation CAPES UCBL Introduction Ces quelques pages ont pour objectif de vous initier aux notions de théorie des graphes enseignées en Terminale ES. Le programme de Terminale (voir ci-après) est construit sur la résolution

Plus en détail

Dénombrement, opérations sur les ensembles.

Dénombrement, opérations sur les ensembles. Université Pierre et Marie Curie 2013-2014 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 1 (du 16 au 20 septembre 2013) Dénombrement, opérations sur les ensembles 1 Combien de façons y a-t-il de classer

Plus en détail

9. Distributions d échantillonnage

9. Distributions d échantillonnage 9. Distributions d échantillonnage MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2015 (v3) MTH2302D: distributions d échantillonnage 1/46 Plan 1. Échantillons aléatoires 2. Statistiques et distributions

Plus en détail

Contrôle de statistiques Sujet 2 Corrigé

Contrôle de statistiques Sujet 2 Corrigé Contrôle de statistiques Sujet 2 Corrigé L2 d économie - Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne Nom : Prénom : Les exercices sont indépendants. Le barème est indicatif. L utilisation de documents, calculatrices,

Plus en détail

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Année 2008/2009 1 Décomposition QR On rappelle que la multiplication avec une matrice unitaire Q C n n (c est-à-dire Q 1 = Q = Q T ) ne change

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Emilien Suquet, suquet@automaths.com

Emilien Suquet, suquet@automaths.com STATISTIQUES Emilien Suquet, suquet@automaths.com I Comment réagir face à un document statistique? Les deux graphiques ci-dessous représentent l évolution du taux de chômage en France sur les 1 mois de

Plus en détail

Corrigé de l examen partiel du 19 novembre 2011

Corrigé de l examen partiel du 19 novembre 2011 Université Paris Diderot Langage Mathématique (LM1) Département Sciences Exactes 2011-2012 Corrigé de l examen partiel du 19 novembre 2011 Durée : 3 heures Exercice 1 Dans les expressions suivantes, les

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. MATHEMATIQUES Série S

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. MATHEMATIQUES Série S BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 2015 MATHEMATIQUES Série S ÉPREUVE DU LUNDI 22 JUIN 2015 Enseignement Obligatoire Coefficient : 7 Durée de l épreuve : 4 heures Ce sujet comporte 7 pages numérotées de 1 à

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. MATHÉMATIQUES Série ES

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. MATHÉMATIQUES Série ES BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2015 MATHÉMATIQUES Série ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 7 (ES) ES : ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément

Plus en détail

Examen de l UE LM125 Janvier 2007 Corrigé

Examen de l UE LM125 Janvier 2007 Corrigé Université Pierre et Marie Curie Licence Sciences et Technologies MIME L énoncé est repris sur fond mauve. En prune : des commentaires. Examen de l UE LM15 Janvier 007 Corrigé Commentaires généraux barème

Plus en détail

Baccalauréat STMG Nouvelle-Calédonie 14 novembre 2014 Correction

Baccalauréat STMG Nouvelle-Calédonie 14 novembre 2014 Correction Baccalauréat STMG Nouvelle-alédonie 14 novembre 014 orrection EXERIE 1 7 points Dans cet exercice, les parties A, B et sont indépendantes. Le tableau suivant donne le prix moyen d un paquet de cigarettes

Plus en détail

Examen de Statistique Appliquée I

Examen de Statistique Appliquée I Université de Strasbourg Master Éthologie-Écophysiologie 1ère année Examen de Statistique Appliquée I ************************************************************** Le cours, les exercices de travaux dirigés,

Plus en détail

Statistique : Résumé de cours et méthodes

Statistique : Résumé de cours et méthodes Statistique : Résumé de cours et méthodes 1 Vocabulaire : Population : c est l ensemble étudié. Individu : c est un élément de la population. Effectif total : c est le nombre total d individus. Caractère

Plus en détail

Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points 1. Réponse d. : 1 e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e

Plus en détail

L3-2014/2015 Mercredi 14 janvier Mathématiques Discrètes. Examen. Exercice 1.

L3-2014/2015 Mercredi 14 janvier Mathématiques Discrètes. Examen. Exercice 1. Examen Exercice 1. Soit N un entier naturel 2. On dispose de trois jeux de N cartes (numérotées de 1 à N), chaque jeu étant d une couleur différente : rouge, bleue et verte. On se propose de distribuer

Plus en détail

STATISTIQUES A UNE VARIABLE EXERCICES CORRIGES

STATISTIQUES A UNE VARIABLE EXERCICES CORRIGES STATISTIQUES A UNE VARIALE EXERCICES CORRIGES Exercice n Les élèves d une classe ont obtenu les notes suivantes lors d un devoir : Note 4 5 8 0 4 5 8 0 Effectif 4 7 6 4 ) Déterminer l étendue et le mode

Plus en détail

Chapitre 6 : Estimation d erreurs numériques

Chapitre 6 : Estimation d erreurs numériques Chapitre 6 : Estimation d erreurs numériques Puisque les réels ne sont représentés en machine que sous la forme de flottants, ils ne sont connus que de manière approchée. De plus, la somme ou le produit

Plus en détail

Théorie et codage de l information

Théorie et codage de l information Théorie et codage de l information Mesure quantitative de l information - Chapitre 2 - Information propre et mutuelle Quantité d information propre d un événement Soit A un événement de probabilité P (A)

Plus en détail

Terminale S - ACP Ex1 : Partie A - Restitution organisée des connaissances Partie B : 1. a. 1. b. 1. c. 2. a. 2. b. Ex2 :

Terminale S - ACP Ex1 : Partie A - Restitution organisée des connaissances Partie B : 1. a. 1. b. 1. c. 2. a. 2. b. Ex2 : Terminale S - ACP Ex1 : Antilles Septembre 2006 Partie A - Restitution organisée des connaissances On suppose connu le résultat suivant : Si est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de

Plus en détail

I Exercices I-1 1... I-1 2... I-1 3... I-2 4... I-2 5... I-2 6... I-2 7... I-3 8... I-3 9... I-4

I Exercices I-1 1... I-1 2... I-1 3... I-2 4... I-2 5... I-2 6... I-2 7... I-3 8... I-3 9... I-4 Chapitre Convexité TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre Convexité Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1................................................

Plus en détail

Sommaire. Les pourcentages. Les suites. Statistiques. Les probabilités. Descriptif de l épreuve... Conseils pour l épreuve...

Sommaire. Les pourcentages. Les suites. Statistiques. Les probabilités. Descriptif de l épreuve... Conseils pour l épreuve... Sommaire Descriptif de l épreuve............................................. Conseils pour l épreuve............................................ Les pourcentages FICHES Pages 1 Pourcentage Proportions....................................7

Plus en détail

ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #12

ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #12 ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #12 ARTHUR CHARPENTIER 1 Une compagnie d assurance modélise le montant de la perte lors d un accident par la variable aléatoire continue X uniforme sur l intervalle

Plus en détail

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 3 Modèles financiers discrets

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 3 Modèles financiers discrets Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 3 Modèles financiers discrets Clément Dombry, Laboratoire de Mathématiques de Besançon, Université de Franche-Comté. C.Dombry (Université de Franche-Comté)

Plus en détail