Intégration et probabilités (cours + exercices corrigés) L3 MASS, Université de Nice-Sophia Antipolis Sylvain Rubenthaler

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1 Intégration et probabilités (cours + exercices corrigés) L3 MASS, Université de Nice-Sophia Antipolis 9- Sylvain ubenthaler

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3 Table des matières Introduction iii Dénombrement (rappels). Ensembles dénombrables Exercices Énoncés Corrigés Théorie de la mesure 5. Tribus et mesures Tribus Mesures Intégrales des fonctions étagées mesurables positives Fonctions mesurables et intégrales Intégrales des fonctions mesurables positives Intégrales des fonctions mesurables de signe quelconque Fonction de répartition Exercices Énoncés Corrigés Ensembles négligeables 7 4 Théorèmes limites 4. Stabilité de la mesurabilité par passage à la limite Théorèmes de convergence pour les intégrales Intégrales dépendant d un paramètre Exercices Énoncés Corrigés Mesure produit et théorèmes de Fubini Théorèmes de Fubini et Fubini-Tonelli Changement de variable Exercices Énoncés Corrigés Fondements de la théorie des probabilités 4 6. Définitions générales Espérance d une v.a Inégalités Lois classiques Lois discrètes Lois continues Fonctions caractéristiques Fonctions génératrices i

4 6.7 Exercices Énoncés Corrigés Variables indépendantes Définitions générales Événements et variables indépendantes Densités de variables indépendantes Lemme de Borel-Cantelli Somme de deux variables indépendantes Exercices Énoncés Corrigés Convergence de variables aléatoires 7 8. Les différentes notions de convergence Loi des grands nombres Théorème central-limite Exercices Énoncés Corrigés Conditionnement Conditionnement discret Espérance conditionnelle Exercices Énoncés Corrigés Variables gaussiennes 89. Définitions et propriétés Gaussiennes et espérance conditionnelle A Table de la loi normale 93

5 Introduction Le but de ce cours est d introduire les notions de théorie de la mesure qui seront utiles en calcul des probabilités et en analyse. Il est destiné aux étudiants qui veulent poursuivre leurs études dans un master à composante mathématique. Pour un cours plus complet, se reporter à la bibliographie. Informations utiles (partiels, barêmes, annales, corrigés,...) : http ://math.unice.fr/ rubentha/cours.html. PÉEQUIS : Pour pouvoir suivre ce cours, l étudiant doit connaître, entre autres, les développements limités, les équivalents, les études de fonction, le dénombrement, les nombre complexes, la théorie des ensembles., les intégrales et primitives usuelles, la trigonométrie...etc... iii

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7 Chapitre Dénombrement (rappels). Ensembles dénombrables Définition... Injection. Soit E, F des ensembles, f : E F est une injection si x, y E, f(x) f(y) x y. Définition... Surjection. Soit E, F des ensembles, f : E F est une surjection si z F, x E tel que f(x) z. Définition..3. Bijection. Soit E, F des ensembles, f : E F est une bijection si f est une injection et une surjection. Proposition..4. Soient E, F, G des ensembles. Soient f : E F, g : F G. Alors [f et g injectives] [g f injective]. Démonstration. Soient x, y tels que g f(x) g f(y). L application g est injective donc f(x) f(y). L application f est injective donc x y. Définition..5. On dit qu un ensemble E est dénombrable s il existe une injection de E dans N. Dans le cas où F est infini, on peut alors démontrer qu il existe alors une bijection de E dans N. (Cela revient à dire que l on peut compter un à un les éléments de E.) Exemple..6. Tout ensemble fini est dénombrable. Exemple..7. Z est dénombrable car l application est bijective (donc injective). f : Z N { n si n k n si n < Fig.. Énumération des éléments de Z.

8 CHAPITE. DÉNOMBEMENT (APPELS) Exemple..8. N N est dénombrable car l application est bijective (donc injective). f : N N N (p + q)(p + q + ) (p, q) + q Fig.. Énumération des éléments de N N. Exemple..9. L ensemble Q est dénombrable. L ensemble n est pas dénombrable. Proposition... Si on a E, E,..., E n,...des ensembles dénombrables alors E E E E n E n est un ensemble dénombrable. (En d autres termes, une réunion dénombrable d ensembles dénombrables est dénombrable.) Démonstration. S Pour tout i, E i est dénombrable donc f i : E i N injective. Soit F : n E n N N x (i, f i (x)) si x E i Cette application F est injective. L ensemble N N est dénombrable donc il existe g : N N N injective. Par la proposition..4, g F est injective. Donc n E n est dénombrable.. Exercices Tous les exercices de ce chapitre n ont pas un lien direct avec le cours. Par contre, ils constituent des révisions nécessaires à la suite du cours... Énoncés ) appel : Si f : E F et A F, f (A) {x E : f(x) A}. Si C E, f(c) {f(x), x C}. On considère l application f :, x x. (a) Déterminer f([ 3, ]), f([ 3, ]), f(] 3, ]). (b) Déterminer f (], ]), f (], + [), f (], ] [, [). ) Calculer les limites suivantes : (a) lim x sin(x) log(+x) ( (b) lim x + + x cos(x) (c) lim x x sin(x) ) x

9 .. EXECICES 3 (d) lim x (+x) α (+x) β pour α, β >. 3) Calculer les intégrales suivantes : (a) + x e x dx (b) + e (log(z)) z dz (c) (d) π/4 ( x)(+x) dx cos (x)+sin (x) cos (x) dx. 4) Intégrales de Wallis Pour tout n N, on pose : (a) Calculer I et I. I n π/ sin n (x)dx. (b) Donner une relation de récurrence entre I n et I n+. (c) En déduire que : p N, I p (p )(p 3)... π p(p )... et I p(p )... p+ (p + )(p ).... (d) Montrer que p N, I p+ I p I p. En déduire que lim p + (e) En déduire la formule de Wallis : (f) Montrer que n N, I n.. Corrigés [ ] p(p )... lim π. p + p (p )(p 3)... π n. () (a) f([ 3, ]) [, 9], f([ 3, ]) [, 9], f(] 3, ]) [, 9[. () (a) I p I p+. (b) f (], ]) [, ], f (], + [) ], [ ], + [, f (], ] [, [) {} ], ] [, [. sin(x) log(+x) x x + x x + (b) ( + x) x e xlog(+ x) et xlog ( + x fonction exp : ( + x) x x + e (c) cos(x) x sin(x) (x /)+o(x ) x x +o(x ) x x / (d) (+x)α αx+o(x) αx (+x) β βx+o(x) x βx α β (a) on intègre par parties : + ) x x + x x e x dx [ x e x ] + + donc par continuité de la x [ xe x ] + + [ e x ] + (b) changement de variable : t log(z), z e t, dz e t dt + e (log(z)) z dz + xe x dx + t dt [ /t] + e x dx

10 4 CHAPITE. DÉNOMBEMENT (APPELS) (toujours possible pour une fraction ratio- (c) on décompose ( x)(+x) /3 x + /3 +x nelle à pôles simples) et donc : [ ( x)( + x) dx 3 log( x) + ] 3 log( + x) 3 log(4) (d) changement de variable : t tan(x), x arctan(t), dx +t dt π/4 cos (x) + sin (x) cos dx (x) π/4 + tan (x)dx [tan(x)] π/4 (3) (a) I π/ dx π, I π/ sin(x)dx [ cos(x)] π/. (b) On intègre par parties pour tout n : I n+ π/ sin n+ (x)sin(x)dx [ sin n+ (x)cos(x)] π/ + (n + ) (n + )(I n I n+ ) π/ sin n (x)cos (x)dx d où I n+ n+ n+ I n. (c) Démonstration par récurrence de la formule pour I p (démonstration similaire pour I p+ ) : c est vrai en p si c est vrai jusqu au rang p alors I p+ p+ p+ I p (p+)(p )... (p+)(p)... (d) p N, x [, π/], sin p+ (x) sin p (x) sin p (x) donc par intégration p N, I p+ I p I p, donc Ip I p+ Ip I p+ p+ p, donc lim p + I p I p+ π [ ] π (e) on déduit de la question précédente : lim (p )(p 3)... p + p(p )... (p + ), d où la formule de Wallis (f) On fait la démonstration pour n impair. Soit n p + : I p+ p + p(p )... (p + )... ( p p(p + )... p + p (p )... π. (p + ) )

11 Chapitre Théorie de la mesure La théorie de la mesure est l outil utilisé pour modéliser le hasard.. Tribus et mesures.. Tribus Dans la suite, on utilisera un ensemble que l on appellera «univers». Il contient tous les aléas possibles. Définition... Une famille A de parties de est une tribu (sur ) si elle vérifie. A. A A A c A (stabilité par passage au complémentaire) 3. A, A, A, A n A n A (une réunion dénombrable d éléments de A est dans A) emarque... On rappelle que : A c : {x : x / A} Une tribu est un ensemble de parties. Ces parties sont appelées «événements». Proposition..3. Stabilité par intersection dénombrable. Soient A une tribu et A, A, A, A, alors A n A. n Démonstration. On note pour tout n, B n A c n. Donc, par définition d une tribu, B n A, n et n B n A. A n Bn c n n ( B n n ( par définition ) A. ) c Exemple..4. Pour n importe quel ensemble, A {, } est une tribu. Exemple..5. Pour n importe quel ensemble,, A P() (les parties de ) est une tribu. Proposition..6. Soit A P(), il existe une tribu notée σ(a) telle que si B est une tribu telle que A B alors σ(a) B. On dira que σ(a) est la plus petite tribu contenant A, ou encore que σ(a) est la tribu engendrée par A. 5

12 6 CHAPITE. THÉOIE DE LA MESUE Définition..7. Soit l ensemble de parties de {+, } suivant : A {]a, b[: a, b {+, }} (c est l ensemble des intervalles ouverts). La tribu σ(a) s appelle la tribu des boréliens et se note B(). Exemple..8. Soit [a, b] intervalle fermé de. Les intervalles ], a[, ]b, + [ sont dans B(). La famille B() est une tribu donc ], a[ ]b, + [ B() (stabilité par réunion dénombrable), et donc aussi (], a[ ]b, + [) c [a, b] B() (stabilité par passage au complémentaire). De même, on peut montrer que tous les intervalles de sont dans B(), ainsi que tous les singletons (les ensembles de la forme {x}, x ).. Mesures Notation... Dans le calcul des mesures, on adopte les conventions de calcul suivantes (qui ne sont pas valables ailleurs) : x, x + +,. Définition... Soit un ensemble muni d une tribu A. On dit que µ est une mesure (positive) sur (, A) si :. µ : A [, + ] (elle peut prendre la valeur ). µ( ) 3. si A, A, A, A et sont deux à deux disjoints alors µ( n A n ) n µ(a n). Quand µ est une mesure sur (, A) est telle que µ(), on dit que µ est une mesure de probabilité (cette définition sera rappelée plus tard dans le cours). La tribu A contient tous les événements possibles et, pour A A, µ(a) est la probabilité que A se produise. Définition..3. Quand µ est telle que µ() <, on dit que µ est une mesure finie. Définition..4. Quand on a un ensemble avec une tribu A sur, on dit que (, A) est un espace mesurable. Si on a de plus, une mesure µ sur (, A), on dit que (, A, µ) est un espace mesuré. Exemple..5. Le triplet (N, P(N), card) est un espace mesuré. Nous avons vu (exemple..5) que P(N) est une tribu sur N. De plus :. Pour A P(N), card(a)( le nombre d éléments de A) est bien dans [, + ].. La partie est de cardinal. 3. Si A, A, P(N) sont deux à deux disjoints, card( n A n ) n card(a n). Proposition..6. Croissance et mesure d une différence Soit (, A, µ) un espace mesuré. Soit A, B A tels que B A. Alors µ(b) µ(a). Si, de plus µ(a) < +, alors µ(a\b) µ(a) µ(b). (appel : A\B {x : x A, x / B}.) Démonstration. On a µ(a) µ(a\b) + µ(b) (car A\B et B sont disjoints). Donc µ(b) µ(a). Si µ(a) < +, nous avons alors µ(a\b) µ(a) µ(b). Proposition..7. Sous-additivité. Soit (, A, µ) un espace mesuré. Si A, A, A, A (pas forcément deux à deux disjoints). Alors µ( n A n ) n µ(a n).

13 .. MESUES 7 Démonstration. On pose pour tout entier k, B k A k \ i k A i (et nous avons alors, par convention, B A ). Les ensembles B, B, B,... sont deux à deux disjoints. Nous avons µ( n A n ) µ( n B n ) (car B, B, B,... deux à deux disjoints) n µ(b n ) (car n, B n A n ) n µ(a n ) Proposition..8. Mesure d une réunion croissante. Soit (, A, µ) un espace mesuré. Soient A, A, A tels que A A A n A n+.... Alors µ( k A k ) lim n µ(a n ) Démonstration. Posons pour tout k, B k A k \A k ( {x : x A k, x / A + k }) et B A. A A B B A Les ensembles B, B, B,... sont deux à deux disjoints. Donc µ( k A k ) µ( k B k ) k µ(b k ) lim k n µ(b k ) On a n, n k µ(b k) µ(a n ). Donc µ( k A k ) lim µ(a n ). Proposition..9. Mesure d une intersection décroissante. Soit (, A, µ) un espace mesuré. Soient A, A, A tels que A A A n A n+... et tels que µ(a ) < +. Alors µ( k A k ) lim µ(a n ). Démonstration. Posons pour tout k, B k A k \A k+. Les ensembles B, B, B,... sont deux à deux disjoints.

14 8 CHAPITE. THÉOIE DE LA MESUE B B A A A Nous avons k A k A \ k B k, donc (par la proposition..6) µ( k A k ) µ(a ) µ( k B k ) (mesure d une réunion disjointe) µ(a ) k µ(b k ) µ(a ) lim k n µ(b k ) lim ) µ(b ) µ(b n )) (mesure d une réunion disjointe) lim ) µ( k)) k n (cf. prop...6) lim µ(a n+). Théorème... Mesure de Lebesgue. Il existe une mesure λ sur (, B()) vérifiant. pour tout intervalle ]a, b[, λ(]a, b[) b a. A B(), x, λ({y : y x A}) λ(a). Cette mesure λ s appelle la mesure de Lebesgue. Exemple... Mesure de Lebesgue d un intervalle quelconque. Soient a b des éléments de. Nous avons λ([a, b]) λ(]a, b + [\(]a, a[ ]b, b + [)) (par Prop...6) λ(]a, b + [) λ(]a, a[ ]b, b + [) (réunion disjointe) λ(]a, b + [) λ(]a, a[) λ(]b, b + [) (b + (a )) (a (a )) (b + b) b a. De même, λ([a, b[) λ(]a, b]) b a. Exemple... Mesure de Lebesgue d un singleton. Soit x, n, {x} [x /n, x + /n]. Donc, en utilisant la prop...6, n, λ({x}) λ([x /n, x + /n]) /n. Donc λ({x}). Exemple..3. Mesure de Lebesgue de Q. On sait que Q est dénombrable. Donc on peut [ numéroter ses éléments ] : Q {u, u, u,...}. Pour tout entier n, on définit A n ui i n, u i i + n. On a pour tout n, Q i An (donc, par la prop...6, λ(q) λ(a n )) et, par la prop...7, λ(a n ) i λ([ u i n. Et donc λ(q). ]) n, u i i + n i

15 .3. INTÉGALES DES FONCTIONS ÉTAGÉES MESUABLES POSITIVES. 9.3 Intégrales des fonctions étagées mesurables positives. On se donne un espace mesuré (, A, µ). Définition.3.. Soit f : +. On dit que f est étagée (positive) s il existe une famille finie A,...,A n de A telle que les A i forment une partition de (ce qui veut dire que A,..., A n sont deux à deux disjoints et que A i) i n i {,...n}, a i tel que f(x) a i, x A i. emarque.3.. Si f est une fonction étagée définie avec une partition A,..., A n, il peut exister une autre partition B,...,B m (différente de A,...,A n ) telle que f est constante sur chacun des B i. Définition.3.3. Soit A. La fonction indicatrice de A est la fonction A : {, { } si x A x si x / A. Il existe d autres notations. Par exemple si A [, ], on peut écrire A (x) x [,] x. Lemme.3.4. Si A, B alors x, A (x) B (x) A B (x). Exemple.3.5. La fonction f : si x < x x si x [, ] sinon est une fonction positive étagée ( x signifie «partie entière»). En effet, elle est constante sur ], [, [, [, [, [, {}, ], + [. Fig.. Dessin de f. Avec des fonctions indicatrice, nous pouvons écrire f de manière plus compacte : f(x) x [,] (x) [,[ (x) x + {} (x).... Définition.3.6. Soit f une fonction positive étagée associée à une partition A,..., A n (avec f(x) a i si x A i ). On appelle intégrale de f par rapport à µ le nombre suivant n f(x)µ(dx) : a i µ(a i ). Ce nombre peut être +. Une fonction positive étagée f est dite intégrable si f(x)µ(dx) < +. i

16 CHAPITE. THÉOIE DE LA MESUE emarque.3.7. La valeur de f(x)µ(dx) est indépendante de la partition associée à f..4 Fonctions mesurables et intégrales.4. Intégrales des fonctions mesurables positives Définition.4.. Application mesurable. Soient (, A), (, A ) deux espaces mesurables. On dit qu une application f : est mesurable (par rapport aux tribus A, A ) si B A, f (B) : {x : f(x) B} A. Proposition.4.. Toute fonction continue f : (, B()) (, B()) est mesurable. Si f et g sont des fonction mesurables (, A) (, B()) alors f + g, f g, f g sont mesurables. Si f : (, A) (, A ) est mesurable et g : (, A ) (, A ) est mesurable alors g f : (, A) (, A ) est mesurable. De manière générale, toute fonction (, B()) (, B()) définie par une formule est mesurable. Proposition.4.3. Mesure image. Soit (, A, µ) un espace mesuré. Soit (, B) un espace mesurable. Soit f : mesurable. L application ν : B [, + ] définie par ν(b) µ(f (B)) est une mesure appelée mesure image de µ par f. (appel : f (B) : {x : f(x) B}.) Démonstration. Vérifions d abord que ν est bien définie : B B, f (B) A car f est mesurable, donc ν(b) est bien défini. On a donc ν : B [, + ]. Puis ν( ) µ(f ( )) µ( ) car µ est une mesure. Enfin, si B, B, B, B sont deux à deux disjoints, ν( B n ) µ(f ( B n )) n n µ( f (B n )). En effet f ( B n ) {x : f(x) B n } {x : f(x) B n }. n n n n Soient m n, si x f (B n ), f(x) B n, donc f(x) / B m (car B, B, B,... sont deux à deux disjoints), donc x / f (B m ), donc f (B n ) f (B m ). Donc, puisque µ est une mesure, ν( n B n ) µ( n f (B n )) n µ(f (B n )) n ν(b n ). Donc ν est une mesure. Définition.4.4. Soit (, A, µ) un espace mesuré. Si f : [, + ] est mesurable (par rapport aux tribus A et B()) positive, l intégrale de f sur par rapport à la mesure µ est définie par f(x)µ(dx) : sup φ(x)µ(dx) φ E(f) où E(f) : {φ étagée positive : φ(x) f(x), x }. Cette intégrale peut prendre sa valeur dans [, + ]. Pour B A, on note f(x)µ(dx) f(x) B (x)µ(dx). B Définition.4.5. Une fonction mesurable positive f est dite intégrable si f(x)µ(dx) <.

17 .4. FONCTIONS MESUABLES ET INTÉGALES Proposition.4.6. Croissance de l intégrale. Soient f, g deux fonctions positives mesurables sur (, A, µ). Si f g (ce qui veut dire f(x) g(x), x) alors f(x)µ(dx) g(x)µ(dx). Démonstration. Nous avons E(f) E(g) car f g. Donc φ(x)µ(dx) φ(x)µ(dx). sup φ E(f) sup φ E(g) Cette proposition admet comme corollaire le théorème suivant. Théorème.4.7. Théorème de comparaison. Soient f, g deux fonctions positives mesurables sur (, A, µ). Si f g et g est intégrable alors f est intégrable. Définition.4.8. Soit µ mesure sur (, B()). La mesure µ est dite avoir pour densité la fonction f sur (par rapport à λ) si φ mesurable positive, φ(x)µ(dx) φ(x)f(x)λ(dx). Ceci implique, en particulier, que B B(), µ(b) f(x)λ(dx). Théorème.4.9. Linéarité de l intégrale. Soit f fonction positive mesurable sur (, A, µ) et a, alors : f(x) + g(x)µ(dx) f(x)µ(dx) + g(x)µ(dx) et af(x)µ(dx) a f(x)µ(dx). En particulier, si f et g sont intégables alors f + g aussi. Théorème.4.. Inégalité de Markov. Soient f, g deux fonctions positives mesurables sur (, A, µ). Soit a >. Alors : µ({x : f(x) a}) f(x)µ(dx). a B Démonstration. On a a {y:f(y) a} f donc par théorème de comparaison (théorème.4.7) : a {y:f(y) a} (x)µ(dx) f(x)µ(dx). La fonction a {y:f(y) a} est une fonction étagée et on calcule son intégrale : a {y:f(y) a} (x)µ(dx) a µ({y : f(y) a}) + µ({y : f(y) < a}). D où le résultat..4. Intégrales des fonctions mesurables de signe quelconque. Soit une espace mesuré (, A, µ). Soit f : mesurable. Elle peut toujours s écrire f f + f avec f + et f mesurables positives : { f + f(x) si f(x) (x) sinon { f si f(x) (x) f(x) sinon.

18 CHAPITE. THÉOIE DE LA MESUE Définition.4.. Une fonction f mesurable sur un espace mesuré (, A, µ) est dite inté -grable si f + et f le sont (voir définition.4.5 de l intégrabilité des fonctions mesurables positives) et dans ce cas, on définit l intégrale de f (sur par rapport à µ) par f(x)µ(dx) : f + (x)µ(dx) f (x)µ(dx) et, A A, l intégrale de f sur A par f(x)µ(dx) : A f(x) A (x)µ(dx). Lemme.4.. Soit f une fonction mesurable sur un espace mesuré (, A, µ) et intégrable. Alors f(x)µ(dx) f(x) µ(dx) Démonstration. f(x)µ(dx) f + (x)µ(dx) f (x)µ(dx) f + (x)µ(dx) + f (x)µ(dx) f + (x)µ(dx) + f (x)µ(dx) f(x) µ(dx). Ce lemme peut aussi être vu comme une conséquence de l inégalité de Jensen (cf. exercice 4 du chapitre 4 et théorème 6.3.). Théorème.4.3. Linéarité et croissance. Pour l intégrale d une fonction de signe quelconque, on a encore la linéarité et la croissance comme dans la proposition.4.6 et le théorème.4.9. emarque.4.4. Lien intégrale de Lebesgue/intégrale de iemann. Quand (, A, µ) (, B(), λ), l intégrale f(x)µ(dx) f(x)λ(dx) que nous venons de définir s appelle l intégrale de Lebesgue sur. Vu la définition.4., l intégrale de Lebesgue sur un intervalle [a, b] est donnée par f(x)λ(dx) : f(x) [a,b] (x)λ(dx). [a,b] L intégrale de iemann est celle qui se calcule avec la primitive. Si f admet une primitive F alors son intégrale de iemann est b a f(x)dx [F(x)] b a F(b) F(a) avec la convention que si F n est pas définie en a (et pareil en b), par exemple parce que a, alors F(a) lim x a,x [a,b] F(x). On parle alors d intégrale généralisée (ou d intégrale de iemann généralisée). L intégrale de iemann n est définie que si F(a) et F(b) sont finis. On a les règles de signe suivantes : [a,b] b a f(x)dx f(x)λ(dx) a b [b,a] f(x)dx f(x)λ(dx).

19 .5. FONCTION DE ÉPATITION 3 Dans le cas où f a une intégrale de iemann, nous avons l égalité suivante entre les deux types d intégrales si a b b f(x)λ(dx) f(x)dx. [a,b] C est en général avec cette formule que l on calculera les intégrales. On écrira parfois : f(x)λ(dx) f(x)dx. [a,b].5 Fonction de répartition L étude de la fonction de répartition d une mesure va nos permettre de mettre en œuvre les théorèmes de ce chapitre. Définition.5.. Soit µ mesure sur (, B()) telle que µ() < +. On définit la fonction de répartition de µ par : F µ : [, + [ a [a,b] x F µ (x) µ(], x]). Proposition.5.. Soit µ mesure sur (, B()) telle que µ() < +. La fonction F µ est croissante, càdlàg (continue à droite avec une limite à gauche), lim x + F µ (x) µ(), lim x F µ (x). Démonstration. Soient x y. Nous avons ], x] ], y] donc, par la proposition..6, F µ (x) µ(], x]) µ(], y]) F µ (y). Soit x et (u n ) n suite de telle que u n x et u n u n+, n et lim u n x. Pour tout n, ], u n+ ] ], u n ], ], u n ] ], x] et µ(], u ]) µ() <, n donc, par la propostion sur l intersection décroissante (prop...9) lim µ(], u n ]) µ( ], u n ]) µ(], x]). En d autres termes : lim F µ (u n ) F(x). Ceci prouve n que F est continue à droite. Soit x et (u n ) n suite de telle que u n < x et u n u n+, n et lim u n x. Pour tout n, ], u n+ ] ], u n ], ], u n ] ], x[, donc par la propriété de n réunion croissante (prop...8), lim F(u n ) µ(], x[). Ceci prouve que F µ a une limite à gauche (égale à µ(], x[)). On trouve également la limite de F µ en + en utilisant la proprété de réunion croissante et la limite de F µ en en utilisant la propriété d intersection décroissante. emarque.5.3. Dans la proposition précédente, la limite à gauche en x de F µ est µ(], x[) et F µ (x) µ(], x]). Par la proposition..6, µ(], x]) µ(], x[) µ({x}). Donc F µ (x) µ(], x[) si et seulement si µ({x})..6 Exercices.6. Énoncés ) appel : Pour une famille d ensemble (A n ) n N, on note n A n {x : n, x A n } et n A n {x : n tel que x A n } (a) Déterminer n ], + /(n + )]. (b) Déterminer n ], + /(n + )]. (c) Déterminer n ] /(n + ), ]. (d) Soit f :, x x. Déterminer f ( n [/(n + ), + [). ) Soit un ensemble et soient A, A,... des parties de. (a) On suppose dans cette question que A A A n A n+.... Posons pour tout n, B n A n A n (rappel : A C {x A : x / C}). Montrer que les ensembles B n sont deux à deux disjoints.

20 4 CHAPITE. THÉOIE DE LA MESUE (b) On note : A, A c {x : x / A}. Montrer que n Ac n ( A n) c. n (c) Montrer que ( A c n )c A n. n n 3) Soit A,..., A n une partition de. Montrer que A { i I A i : I {,..., n}} est une tribu. (A est constitué de toutes les réunions possibles d ensembles A i.) 4) Soit Card : P(N) [, + ] Montrer que Card est une mesure sur (N, P(N)). 5) On se donne un espace mesurable (E, A). (a) Soit x E, on note A Card(A) le nombre d éléments de A. δ x : A [, + ] { B δ x (B) si x B sinon. Montrer que δ x est une mesure sur (E, A). (Cette mesure s appelle la mesure de Dirac en x.) (b) Soient x,..., x k des éléments distincts de E et p,..., p k +. On note µ : A [, + ] B µ(b) Montrer que µ est une mesure sur (E, A). i k p i δ xi (B) 6) Soit A n [n, n + n [. Calculer λ(a). (On se servira du fait que A est réunion d ensembles disjoints et on utilisera la propriété d additivité.) 7) (a) Soit x, calculer λ({x}) (utiliser la propriété de croissance). (b) Soit x, x, x,, calculer λ( n {x n }) (utiliser la propriété de sous-additivité). (c) En déduire que λ(q). Calculer λ([, ]\Q). 8) Un ensemble de Cantor. Pour n, on note : A n {x [, [, x n a que des ou des 5 dans son développement décimal jusqu à l ordre n} A n est donc l ensemble des x [, [ qui s écrivent x, u u... u n u n+... avec u,..., u n {, 5}. (a) Calculer λ(a n ) pour tout n. (b) Soit B n A n, calculer λ(b) (utiliser la propriété d intersection décroissante). 9) Mesures à densité. (a) Soit µ mesure sur (, B()) de densité [,] (x) par rapport à la mesure de Lebesgue. Calculer µ([, ]), µ([, ]), µ([, /]), µ({/}). (b) Soit µ mesure sur (, B()) de densité x> e x par rapport à la mesure de Lebesgue. Calculer µ(), µ({}), µ([, ]), µ([, + [). (c) Soit µ mesure sur (, B()) de densité x> xe x / par rapport à la mesure de Lebesgue. Calculer µ([, ]). ) (a) Montrer que e e (cos(x)) dx. (b) Montrer que e x / π dx π. (c) Montrer que π/ π/3 sin(log( + u))du.

21 .6. EXECICES 5.6. Corrigés () (a) n ], + /(n + )] car / n ], + /(n + )] et x, n tel que x / ], + /(n + )] et donc x / n ], + /(n + )] (b) n ], + /(n + )] ], ] (c) n ] /(n + ), ] [, ] (d) n [/(n + ), + [], + [ donc f ( n [/(n + ), + [) f (], + [) {} () (a) Soient k n, k < n. A k A n donc x A k, x / B n. Comme B k A k, alors B k B n (b) Si x ( A n) c alors x / A n donc n tel que x / A n. Donc n tel que n n x A c n. Donc x A c n n. Si x n Ac n alors n tel que x / A n. Donc x / A n. Donc x ( A n) c. n n Conclusion : A c n ( A n) c. n n (c) Par passage au complémentaire dans le résultat précécent : ( A c n n) c A n. n (3) On rappelle que A,..., A n partition de signifie que les ensembles A i sont à disjoints et que A A n. (i) A A n A (ii) Soit A i A, ( A i ) c A i A. i I i I i/ I (iii) Si on fait une réunion dénombrable d éléments de A : ( A i ) A i A. n i I n» i I n n (4) Fait en cours (5) (a) emarque : δ x s appelle la mesure de Dirac en x. (i) δ x est bien une fonction de A dans [, + ] (ii) δ x ( ) car x / (iii) Si on a des éléments à disjoints de A : A, A,.... δ x ( n A n ) { si x A n n { sinon si n tel que x A n sinon n δ x (A n ) car les A n sont à disjoints (et donc au plus un seul d entre eux contient x, c est à dire au plus un seul d entre eux est tel que δ x (A n ) ). (b) On remarque que i, δ xi est une mesure par la question précédente. (i) µ est bien une fonction de A dans [, + ] (ii) µ( ) i k p iδ xi ( ) (iii) Si on a des éléments à disjoints de A : A, A,... : µ( A n ) p i δ xi ( A n ) n n i k p i δ xi (A n ) i k n i k n n µ(a n ). p i δ xi (A n )

22 6 CHAPITE. THÉOIE DE LA MESUE (6) Les ensembles [n, n + [ sont à disjoints donc λ(a) n n λ([n, n + [) n n (somme de série géométrique). n (7) (a) ε >, {x} [x, x + ε] donc λ({x}) λ([x, x + ε]) ε. Donc λ({x}). (b) λ( n {x n }) n λ({x n}) par la question précédente. (c) Q est dénombrable donc on peut écrire Q {x, x,..., x n,...} donc λ(q) par la question précédente. Nous avons λ([; ]) < donc, par la prop...6, λ([; ]\Q) λ([; ]) λ(q). (8) (a) On remarque que A n {[x, x + n [: x, u...u n avec u,...,u n {, 5}} x B n [x, x + (n+) [ où B n {x, u... u n avec u,..., u n {, 5}}. On remarque que B n est fini et que les intervalles ([x, x + n [) x Bn sont à disjoints. Donc : λ(a n ) λ([x, x + n [) x B n Card(B n ) n n n. (b) n, A n A n+ donc par intersection décroissante : λ(b) lim λ(a n ). (9) (a) µ([, ]) [,](x) [,] (x)dx dx µ([, ]) [,](x) [,] (x)dx dx µ([, /]) [,/](x) [,] (x)dx / dx / µ({/}) {/}(x) [,] (x)dx {/}(x)dx car λ({/}) (b) µ() x>e x dx µ({}) {}(x) x> e x dx {}(x)e dx car λ({}) µ([, ]) [,](x) x> e x dx e x dx e µ([, + [) [,+ ](x) x> e x dx + e x dx e (c) µ([, ]) [,](x) x> (x)xe x / dx [ ] / dx e xe x x / ( e / ) () On utilise à chaque fois la propriété de croissance de l intégrale (prop..4.6). (a) Pour tout x, cos(x) donc e e (cos(x)) dx e e dx. (b) Pour tout x [, ], e x / π e π π donc e x / π dx π. (c) Pour tout u, log( + u) u. Si u [π/3; π/] alors log( + u) u π/ et sin est croissante positive sur [; π/]. Donc π/ sin(log( + u))du π/3 π/ sin(u)du [ cos(u)]π/ π/3 π/3.

23 Chapitre 3 Ensembles négligeables Définition 3... Soit (, A, µ) un espace mesuré. Un élément A de A est dit négligeable (pour la mesure µ) si µ(a). Soit f : une fonction mesurable. Elle est dite µ-presque partout nulle si A A négligeable tel que x A c f(x). On dira aussi que f est : presque partout nulle, µ-presque sûrement nulle, presque sûrement nulle, p.p. nulle, p.s. nulle. Soit A A tel que µ(a c ). On dire que l on est dans A pour p.t. (presque tout) x de, µ-p.s. (presque sûrement) en x,... emarque 3... Une fonction positive d intégrale finie est finie p.p. Si f est une fonction mesurable positive + telle que A A, µ(a) > et f(x) + si x A, alors f(x)µ(dx) +. En effet, la fonction φ(x) + A(x) est une fonction étagée vérifiant φ f, φ(x)µ(dx) +. D où f(x)µ(dx) + par la définition ci-dessus. Nous avons donc que si f(x)µ(dx) < + alors il n existe pas d ensemble A ayant les propriétés ci-dessus, ce qui veut donc dire que f est finie presque partout. Théorème Espace complet. Soit (, A, µ) un espace mesuré. Il existe une tribu B sur et une mesure ν sur B telles que A B si A A alors µ(a) ν(a) N tel que N A avec A A, µ(a), on a N B et ν(n). La tribu B est alors appelée tribu complétée de A et ν est appelée mesure complétée de µ. Un espace mesuré (, A, µ) pour lequel est appelé un espace mesuré complet. [N A avec A A, µ(a) ] [N A] Théorème Soit (, A, µ) un espace mesuré et f fonction mesurable sur cet espace. Alors f est p.p. nulle f(x)µ(dx). Et la réciproque est vraie pour f. Démonstration. Si f est p.p. nulle alors A A tel que µ(a) et f est nulle sur A c. Soit φ E(f) et B,..., B p partition associée à φ. On note B i B i A et B i B i A c, i {,...,p}. Les ensembles B,..., B p, B,...,B p sont deux à deux disjoints et φ est constante sur chacun d entre eux. Pour x B i, on note φ(x) c i. Pour tout x dans B,...,B p, f(x). Pour tout i {,...p}, µ(b i ) µ(a) (par proposition..6) donc µ(b i ). Donc φ(x)µ(dx) µ(b ) + + µ(b p ) + c µ(b ) + + c p µ(b p ). Cela est vrai pout toute φ E(f) donc f(x)µ(dx). Soit maintenant f. Si f(x)µ(dx). Soit ε >, soit A ε {x : f(x) ε} f ([ε, + [). L ensemble [ε, + [ appartien à B() car c est un intervalle. La 7

24 8 CHAPITE 3. ENSEMBLES NÉGLIGEABLES fonction f est mesurable donc A ε A. Soit φ étagée telle que φ(x) { si x A c ε ε si x A ε. L ensemble A c ε appartient à A. Pour tout x, φ(x) f(x) donc donc φ(x)µ(dx). Par ailleurs, φ(x)µ(dx) f(x)µ(dx) φ(x)µ(dx) µ(a c ε ) + ε µ(a ε) donc µ(a ε ). Les ensembles A /n pour n N vérifient A /n A /n+. Donc par la proposition sur la réunion croissante (proposition..8), µ({x : f(x) > }) µ( n A /n ) lim n + µ(a /n ). Donc f est nulle p.p. Proposition Intégrale sur un ensemble négligeable. Soit (, A, µ) un espace mesuré. Soit A A négligeable. Soit f, g : mesurables. On suppose que f(x)µ(dx) est définie (ce qui a lieu, par définition, quand f+ et f sont d intégrales finies) ainsi que g(x)µ(dx). On suppose que f(x) g(x) si x / A (donc f et g sont preque partout égale). Alors A f(x)µ(dx), f(x)µ(dx) g(x)µ(dx). Démonstration. Par définition, f(x)µ(dx) f(x) A (x)µ(dx). A Donc par le théorème précédent, f(x)µ(dx). A Par linéarité, f(x)µ(dx) g(x)µ(dx) (f(x) g(x))µ(dx). La fonction f g est nulle presque partout donc, par le théorème précédent (f(x) g(x))µ(dx). On retient de la proposition précédente que deux fonctions égales presque partout ont la même intégrale. Exemple Soient les fonction suivantes définies sur [; π], g(x) f(x) sin(x), { sin(x) si x π/ si x π/.

25 9 / Fig. 3. Dessin de f. Les fonctions f et g sont égales p.p. Nous avons donc π g(x)dx π f(x)dx [ cos(x)] π ( ).

26 CHAPITE 3. ENSEMBLES NÉGLIGEABLES

27 Chapitre 4 Théorèmes limites On se donne (, A, µ) un espace mesuré complet. On supposera à partir de maintenant, pour des raisons techniques, que est réunion dénombrable d éléments de A de mesure finie. On dit alors que est σ-fini. 4. Stabilité de la mesurabilité par passage à la limite. Théorème 4... Soit (f n ) n une suite de fonctions une suite de fonctions mesurables positives. Alors sup n f n et inf n f n sont des fonctions mesurables. Démonstration partielle. On pose f(x) sup n f n (x). Nous allons montrer que a, f (], a]) A. Cela est en fait suffisant pour montrer que f est mesurable mais nous ne démontrerons pas ce point. Fixons donc a et prenons A f (], a]). On remarque que A {x : f(x) a} {x : f n (x) a, n} n {x : f n (x) a}. Pour tout n, {x : f n (x) a} f n (] ; a]) A car f n est mesurable. La famille A est une tribu, elle est donc stable par intersection dénombrable donc f (A) A. Définition 4... Soit (f n ) n une suite de fonctions. On dit que (f n ) convergence p.s. presque sûrement vers f (et on note f n f) s il existe A négligeable tel que [x / A] [f n (x) f(x)]. Définition Soit (f n ) n une suite de fonctions. On dit que (f n ) convergence simplement vers f si x, f n (x) f(x). Exemple Prenons [; ] et f n (x) x /n (n ). Pour x, nous avons f n (x) exp(log(x)/n). La suite log(x)/n et la fonction exp est continue donc f n (x). Si x, f n(x). Donc la suite de fonctions (f n) n converge simplement vers la fonction g définie sur [; ] par { si x g(x) si x. emarque La convergence simple implique la convergence presque sûre. Corollaire Si on a une suite (f n ) de fonctions [, + [ mesurables (positives) p.s. telle que f n f alors f est mesurable. Démonstration. On ne va faire la démonstration que dans le cas où (f n ) converge simplement vers f. Pour tout x et pour tout n, on pose v n (x) sup{f n (x), f n+ (x), f n+ (x),...}. Par le théorème précédent, les fonctions v n sont mesurables. Pour tout x, f(x) inf{v (x), v (x), v (x),...}. Donc par le théorème précédent, f est mesurable.

28 CHAPITE 4. THÉOÈMES LIMITES 4. Théorèmes de convergence pour les intégrales. Théorème 4... Théorème de convergence monotone Soit (f n ) une suite croissante (c est à dire que x, n, f n (x) f n+ (x)) de fonctions mesurables positives [, + [ convergeant presque sûrement vers une fonction f. Alors lim f n (x)µ(dx) f(x)µ(dx). Démonstration. Soit α ], [. La suite ( f n(x)µ(dx)) est croissante (par croissance de l intégrale) donc elle a une limite l [, + ]. Soit pour tout n, A n {x : f n (x) αf(x)}. Pour tout n et pour tout x, f n (x) f n (x) An (x) donc f n (x)µ(dx) f n (x) An (x)µ(dx) f n (x)µ(dx) α A n f(x)µ(dx) A n (4..) Montrons que A n f(x)µ(dx) f(x)µ(dx). (4..) Soit ε >. Soit φ une fonction étagée telle que φ f, φ(x)µ(dx) f(x)µ(dx) ε (il en existe par définition de l intégrale). Nous avons An (x)φ(x)µ(dx) f(x) An (x)µ(dx) On suppose que φ se décompose sur une certaine partition B,..., B p : φ(x) i p b i Bi (x). Alors n, φ An est une fonction étagée qui se décompose en φ(x) An (x) A c n (x) + i p b i Bi A n (x). f(x)µ(dx). (4..3) Et donc φ(x) An (x)µ(dx) µ(a c n) + b i µ(b i A n ) (4..4) i p Pour tout n, nous avons A n A n+ et donc i, B i A n B i A n+. Par la propriété de convergence croissante de la mesure, µ(b i A n ) µ( n (B i A n )) µ(b i n A n ). (4..5) On remarque que n A n {x : n, f n (x) αf(x)} {x : f n (x) f(x)}. Donc {x : f n (x) f(x)}c ( n A n ) c. Donc µ({x : f n (x) f(x)} c ) µ(( n A n ) c ). Donc µ(( n A n ) c ), µ(b i ( n A n ) c ) µ(( n A n ) c ). Puis µ(b i ) µ(b i ( n A n ) c ) + µ(b i ( n A n )) donc µ(b i ) µ(b i n A n ). On déduit donc de (4..4) et (4..5) φ(x) An (x)µ(dx) b i µ(b i ) φ(x)µ(dx). i p

29 4.. THÉOÈMES DE CONVEGENCE POU LES INTÉGALES. 3 Donc par (4..3) et en utilisant la définition de φ f(x)µ(dx) ε φ(x)µ(dx) lim φ(x) An (x)dx lim inf f(x)µ(dx) A n lim sup f(x)µ(dx) A n f(x)µ(dx) Cela est vrai pour tout ε > donc nous avons donc montré (4..). Alors, par (4..), l α f(x)µ(dx). (4..6) Pour presque tout x, f n (x) ր f(x) donc f n (x) f(x). Soit n, f n définie par { f n (x) si f n (x) f(x) f n (x) sinon Les fonctions f n et f n sont égales presque partout donc leurs intégrales sont égales. La fonction f n vérifie f n (x) f(x) ( x) donc en particulier f n (x)µ(dx) f n (x)µ(dx) f(x)µ(dx). Donc f(x)µ(dx) l. Et comme l équation (4..6) est vraie pour tout α ], [, ceci finit la démonstration. Théorème 4... Lemme de Fatou Soit (f n ) n une suite de fonctions mesurables positives. On note f liminf f n. Alors f est mesurable positive et fdµ liminf f n dµ Démonstration. Par définition de la liminf, nous avons pour tout x, ( ) f(x) lim inf f k(x) k n (cette limite existe dans ], + ] car c est la limite d une suite décroissante). Par le théorème 4.., les fonctions x inf k n f k (x) sont mesurables pour tout n. Par le corollaire 4..6, la fonction f est mesurable. Soit m. Soit pour tout n, A n {x : p n, f p (x) (f(x) m ) +}. Pour tout x, N N tel que n N f n (x) f(x) m. Nous avons donc A n. On remarque n que pour tout n, A n A n+. Et donc pour tout x, ( f(x) m ) An (x) ր + Donc, par théorème de convergence monotone, ( f(x) ) An (x)µ(dx) m + ( f(x) ) m + ( f(x) ) µ(dx). m +.

30 4 CHAPITE 4. THÉOÈMES LIMITES Pour tout n, nous avons f n (x)µ(dx) f n (x) An (x)µ(dx) ( f(x) ) An (x)µ(dx) m + et donc ( lim inf f n (x)µ(dx) f(x) ) µ(dx). m + Nous avons pour tout x, ( ) f(x) m + ր f(x). Donc, par théorème de convergence monotone, ( ) m f(x) m µ(dx) + m f(x)µ(dx). Et donc lim inf f n (x)µ(dx) f(x)µ(dx). Théorème Théorème de convergence dominée (appelé aussi théorème de Lebesgue) Soit (f n ) n une suite de fonctions mesurables sur. Si : il existe g positive mesurable et intégrable telle que n N, x, f n (x) g(x) p.s. et f n f alors f(x) µ(dx) < lim f n(x) f(x) µ(dx). Ce qui implique en particulier lim f n (x)µ(dx) f(x)µ(dx). Démonstration. Pour simplifier la démonstration, nous allons suppose que (f n ) converge simplement vers f. Nous avons alors pour tout x, f(x) g(x), donc f(x) µ(dx) <. Pour tout x, g(x) f(x) f n (x) et liminf (g(x) f(x) f n (x) ) g(x) donc par le lemme de Fatou lim inf (g(x) f(x) f n (x) )µ(dx) Mais par linéarité de l intégrale, lim inf (g(x) f(x) f n (x) )µ(dx) g(x)µ(dx). g(x)µ(dx) lim sup f(x) f n (x) µ(dx). Donc lim sup lim f(x) f n (x) µ(dx) f(x) f n (x) µ(dx). Puis f n (x)µ(dx) f(x)µ(dx) (par lemme.4.) f(x) f n (x)µ(dx) f(x) f n (x) µ(dx).

31 4.3. INTÉGALES DÉPENDANT D UN PAAMÈTE 5 Exemple Soit l espace mesuré (N, P(N),card). Soit f(k) (k+) et pour tout n, f n (k) (k+) k n. Pour tout k, f n (k) f(k). Fixons n, la fonction f n est étagée ր et son intégrale vaut f n (x)card(dx) card({}) + card({}) +... N + n k card({n}) + card({n +, n +,...}) (n + ) (k + ). Par théorème de convergence monotone, f n (x)card(dx) et donc N N f(x)card(dx) + k N f(x)card(dx) (k + ). On peut ainsi montrer que pour n importe quelle fonction g : N +, N g(x)card(dx) et donc, pour l espace mesuré (N, P(N),card), calculer une intégrale d une fonction positive revient à faire la somme d une série. Exemple Soit l espace mesuré ([, ], B([, ]), λ). Soient les fonctions (pour n ) + k f n : [, ] + g(k) x x /n p.s. Pour tout x ], ], lim f n (x) et f n () pour tout n. Donc f n f (sur [, ]) avec f la fonction nulle. Pour tout n, f n (x) qui est une fonction intégrable sur [, ]. En effet dx <. [,] Donc, par théorème de convergence dominée, f n (x)µ(dx). [,] 4.3 Intégrales dépendant d un paramètre Soit f :, on définit une fonction F(u) f(u, x)λ(dx). Cette fonction F s appelle, suivant les auteurs, une «intégrale à paramètre», «intégrale dépendant d un paramètre»,... Dans cette partie, nous allons démontrer diverses propriétés des intégrales à paramètre à l aide du théorème de convergence dominée. Théorème Continuité sous l intégrale Soit f : telle que (i) u, x f(u, x) est mesurable (ii) u tel que pour presque tout x, u f(u, x) est continue en u (iii) g positive intégrable telle que u, f(u, x) g(x). Alors la fonction F définie par F(u) f(u, x)λ(dx) est définie en tout point u et est continue en u.

32 6 CHAPITE 4. THÉOÈMES LIMITES Démonstration. Il suffit de montrer que F(u n ) F(u ) pour toute suite (u n ) n convergeant vers u. Prenons donc une telle suite (u n ) n. Posons n, f n (x) f(u n, x). p.s. Nous avons f n h avec h(x) : f(u, x) par (ii). Les fonctions f n sont mesurables par (i). Par (iii), nous avons n, x, f n (x) g(x) avec g intégrable. Donc par théorème de convergence dominée, F(u n ) f n (x)λ(dx) h(x)λ(dx) F(u ). Corollaire Théorème de continuité «globale»sous l intégrale Soit f : telle que (i) u, x f(u, x) est mesurable (ii) pour presque tout x, u f(u, x) est continue (iii) g positive intégrable telle que u, f(u, x) g(x). Alors la fonction F définie par F(u) f(u, x)λ(dx) est définie et continue en tout point u. emarque Ces théorèmes restent vrais si on remplace u par u I avec I intervalle ouvert de. Exemple Convolution Soit f : intégrable et φ : bornée et continue. La convolée de f et φ est définie par u (f φ)(u) : φ(u x)f(x)λ(dx) Notons h(u, x) φ(u x)f(x). Pour tout x, u φ(u x)f(x) est continue. Pour tout u, φ(u x)f(x) φ f(x) et φ f(x) λ(dx) < par hypothèse. On rappelle que φ : sup v φ(v). Pour tout u, x φ(u x)f(x) est mesurable comme produit de fonctions mesurables. Donc par le théorème de continuité globale, f φ est continue sur. Théorème Dérivation sous l intégrale Soit I un intervalle ouvert non vide de, u I. Soit f : I telle que (i) u I, x f(u, x) est intégrable (ii) pour presque tout x, f u (u, x) existe (iii) g positive intégrable telle que u I, x, f(u, x) f(u, x) g(x) u u. Alors F(u) : f(u, x)λ(dx) existe pour tout u I et est dérivable en u. De plus F (u ) f u (u, x)λ(dx). Démonstration. L existence de F est assurée par (i). En ce qui concerne la dérivation, il suffit de montrer que pour toute suite (u n ) n convergeant vers u avec n, u n u, F(un) F(u ) f u n u u (u, x)λ(dx). Prenons donc une telle suite (u n ) n. Posons n Par (ii), φ n p.s. théorème de convergence dominée, F(u n ) F(u ) u n u φ n (x) f(u n, x) f(u, x) u n u. f u (u,.). Par (iii), nous avons pour p.t. x, φ n (x) g(x). Donc par f(u n, x) f(u, x) λ(dx) u n u f u (u, x)λ(dx).

33 4.3. INTÉGALES DÉPENDANT D UN PAAMÈTE 7 Corollaire Dérivation «globale»sous l intégrale Soit I un intervalle ouvert non vide de. Soit f : I telle que (i) u I, x f(u, x) est intégrable (ii) pour p.t. x, u f(u, x) est dérivable sur I (iii) x, u, f u (u, x) g(x) avec g intégrable. Alors F(u) : f(u, x)λ(dx) existe et est dérivable sur I. De plus Démonstration. Pour tout u I, F (u) f (u, x)λ(dx). u f(u, x) f(u, x) + f(u, x) f(u, x) f(u, x) + u u sup f (v, x) u v [u,u ] f(u, x) + u u g(x). Donc, par (i) et (iii), F est bien définie. Pour tous u, u I, pour tout x, f(u, x) f(u, x) u u sup v [u,u ] g(x) u u par (iii). Et le théorème précécent finit la démonstration. f (v, x) u Exemple Soit, pour u >, F(u) + e ut sin(t) t dt. La fonction t e t sin(t) t est intégrable sur ], + [ car e t sin(t) t e t (car sin(t) t ). Pour tout t >, ( ) u e ut sin(t) t est dérivable sur ], + [ et u e ut sin(t) t e ut sin(t). Soit ε >. Pour tout u > ε, e ut sin(t) e εt (car sin(t) ) qui est intégrable sur ], + [. Donc par théorème de dérivation globale, nous avons pour u > ε F (u) + e ut sin(t)dt. Cela est vrai ε > donc u >, F (u) + e ut sin(t)dt. Calculons F (u) [ e ut cos(t) ] [ ue ut sin(t) ] + + u F (u). ue ut cos(t)dt + u e ut sin(t)dt Donc F (u) +u. Donc il existe une constante C telle que F(u) C arctan(u). Posons pour n N, f n (t) exp( nt) sin(t) t. Les fonctions f n sont mesurables. Pour tout t >, f n (t) et f n(t) e t qui est intégrable sur [, + [. Donc, par théorème de convergence dominée, F(n) f n (t)µ(dt). Nous avons lim arctan(n) π donc C π. Donc F(u) π arctan(u).

34 8 CHAPITE 4. THÉOÈMES LIMITES 4.4 Exercices 4.4. Énoncés ) Calculer les limites suivantes : + n (a) lim + x n + dx (b) lim x sin ( ( (c) lim x n n) dx ) (d) lim + sin ( x n nx) dx n x(+x ) dx + (e) lim (x) e+cosn e x dx. + (f) lim arctan(x/n)e x dx n ( ) On pose : I(α) lim x n n) e αx dx pour n N et α. (a) On pose pour n N, f n : + telle que f n (x) ( n) x n e αx x n. Montrer que (f n ) n est une ( suite croissante ) de fonctions. (On pourra notamment étudier : g n (x) (n + )ln x n+ n ln ( n) x.) (b) En déduire la valeur de I(α) en fonction de α. 3) Soit µ la mesure de comptage ( Card ) sur (N, P(N)). Pour toute suite positive (u n ) n, on a : n u n N u nµ(dn). (a) Calculer lim k + [ n 3 n ( k(n+) [ sin(n/k) (b) Calculer lim k + n ]. n 4) Inégalité de Jensen. Soit (E, A, µ) un espace mesuré avec µ(e). Soit φ : + convexe et dérivable deux fois (et donc φ ). Soit (E, A, µ) un espace mesuré avec µ(e). Soit f : (E, A) (, B()) mesurable et telle que E f(x)dµ(x) < +. (a) Montrer que z, y I, φ(y) φ(z) + φ (z)(y z) (b) En prenant z f(t)dµ(t) et y f(x) dans l inegalité précédente, montrer que : E ( ) φ f(x)dµ(x) φ f(x)dµ(x). E (c) En déduire que pour toute fonction f : [, ] telle que f(x) dx < + : ( f(x) dx) f(x) dx. 5) (a) Montrer que z, e z z. (b) En déduire que y >, x e x y x (c) Pour tout y >, on pose F(y) )]. E est intégrable sur [, + [. + e x y x dx. Montrer que F est dérivable sur ], + [. Calculer F (y). On rappelle que + e x dx π/. (d) En déduire F(y) à une constante près. (e) Calculer cette constante en regardant lim F(/n). 6) On considère pour n la série ( k u n,k avec u n,k k! n +6n+ n +5n+π (a) Montrer que cette série est convergente ( n ). On notera I n sa limite. (b) Calculer lim I n. ) k.

35 4.4. EXECICES Corrigés n () (a) Pour tout x, + [; + [. n Pour tout x, + x n + x n + n + x n n + n x n x. Donc, par théorème de convergence dominée, + [ /x] +. (b) x ], ], x sin(/nx) x ], ], x et x intégrable sur [, ] x sin(/nx) donc par convergence dominée lim x qui est intégrable sur n + + x n +dx x sin ( nx) dx x dx (c) x [, ], ( n) x n et la fonction constante égale à est intégrable sur [, ]. On a x [, ], ( n) x n exp(n log( x n )) exp(n( x/n + o(/n))) exp( x + o()) e x par continuité de la fonction exponentielle. Donc par convergence dominée, ( x n) n dx (d) x, sin ( ) x n n x(+x ) x, sin ( ) x n n x(+x ) donc par convergence dominée, lim (e) x, + ( x sin n) (+x ) (+x ) n + x( + x ) dx e x dx e. qui est une fonction intégrable sur ], + [, car sin(u) u u e +cosn (x) e x e x qui est une fonction intégrable sur. Pour p.t. x, e +cosn (x) e x e x donc par convergence dominée, + lim e +cosn (x) e x dx ( + x dx [arctan(x)]+ ) π. + e x dx e. (f) x, arctan(x/n)e x (π/)e x qui est une fonction intégrable sur [, + [. Pour tout x, arctan(x/n)e x donc par convergence dominée, + lim arctan(x/n)e x dx. () (a) On a pour x n, f n+ (x)/f n (x) exp(g n (x)). g n(x) ( n ) x n + ( x/n)( x/(n + ) pour x n donc g n croissante sur [, n]. g n () donc g n (x) x [, n]. Donc f n+ (x) f n (x) x [, n]. C est également vrai sur [n, + ] donc f n suite de fonctions croissante.

36 3 CHAPITE 4. THÉOÈMES LIMITES (b) On a n ( ) x n n e αx dx + f n (x)dx. x, f n (x) e x+αx dx donc par + convergence monotone, lim f n (x)dx + e x+αx dx, donc : { + si α I(α) α sinon. ( ) (3) (a) Pour tout n, k, 3 n k(n+) convergente. Pour tout n, 3 qui est le terme général d une série ) n 3 donc par convergence do- n minée : 3 n ( k(n+) k + lim ( ) k + 3 n k(n + ) 3 n 3. n n (b) Pour tout n, k, sin(n/k) n qui est le terme général d une série convergente. n Pour tout n, sin(n/k) donc par convergence dominée : n k + lim sin(n/k) k + n. n (4) Inégalité de Jensen. (a) z, y I avec z y, φ(y) φ(z) y z φ (t)dt y z φ (z)dt (car φ convexe), donc φ(y) φ(z) φ (z)(y z) (b) On prend z E f(t)dµ(t) et y f(x) dans l inegalité précédente et on a : ( ) ( ) φ(f(x)) φ f(t)dµ(t) + φ f(t)dµ(t) (y z). E E On intègre ensuite par rapport à dµ(x) : ( ) φ(f(x))dµ(x) φ f(t)dµ(t) dµ(x) E ( ) + φ f(t)dµ(t) (y z)dµ(x) ( E ) φ f(t)dµ(t) E ( ) ( +φ f(t)dµ(t) f(x)dµ(x) ( E ) φ f(t)dµ(t). E ) f(x)dµ(x) (c) La fonction φ : x [, ] x est convexe. Donc par le résultat précédent, pour toute fonction f : [, ] intégrable, ( f(x) dx) f(x) dx. (5) (a) e z z e t dt z dt z (b) Par la question précédente, y >, e x y x inf(y, /x ) donc x e x y x est intégrable (c) Soit ε >, y > ε, x e x y x est intégrable y et y x donc e x x

37 4.4. EXECICES 3 x > (et donc pour presque tout x ), y e x y x >, y > ε, y ( e x y x est dérivable ) x e xy et e xy e εx qui est intégrable sur [, + [ Donc (théorème de dérivation globale) F est dérivable sur ]ε, + [ et F vaut : F (y) + e xy dx Cela est vrai ε > donc cette dérivée est valable pour tout y ], + [. Par changement de variable (u yx), F (y) + y e u du π y. (d) On en déduit F(y) πy + C pour une certaine constante C. (e) F(/n) + /n f n (x)dx avec f n (x) e x x. Pour tout x >, f n (x). Pour tout x >, f n (x) inf(, /x ) (voir question ). Donc, par théorème de convergence dominée : donc C. F(/n) (6) (a) Pour n, n +6n+ n +5n+π 6n + 6n + 6n + n + 6. Donc u n,k 6 k /k! et cette dernière quantité est le terme général d une série convergente (quand on somme sur k)(série exponentielle). Donc k u n,k est convergente. (b) On sait par l exercice 3 que I n peut être vue comme une intégrale par rapport à la mesure de comptage sur N. Pour tout k, u n,k k /k!. Pour tout k, u n,k 6 k /k! qui est sommable. Donc par théorème de convergence dominée, I n k k /k! e.

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