Découverte du monde Livret 2

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1 Découverte du monde Livret 2 Document réalisé par le groupe de réflexion maternelle- mathématiques

2 Dossier réalisé par le Groupe de Réflexion Maternelle 2004/2005 Sous la responsabilité de Anny DUBOIS-BOISSON Inspectrice chargée des écoles maternelles Ont participé à l élaboration de ce document : Myriam HAMZA Conseillère Pédagogique Territoriale Michel DELLION EMF Kani-kéli Pascal MESNIL EMF Petite Terre Fazhati IBRAHIM Institutrice Poroani Fatima CHANFI Institutrice Sada1

3 SOMMAIRE Qu en disent les Nouveaux Programmes? Quelques définitions et apports théoriques Des jeux pour apprendre à compter Les nombres dans tous leurs états - comptines et albums à compter - nombres et rituels - chiffres et créativité Des situations- problèmes dès la maternelle Quelques évaluations à transmettre au maître de CP Quelques repérages dans les compétences numériques Conclusion

4 APPROCHE DES QUANTITES ET DES NOMBRES Le bébé déjà distingue des quantités. Toutefois, lorsque l enfant commence à parler, même s il utilise très tôt des noms de nombres, ces derniers ne sont pas nécessairement reliés à l idée de quantité et l activité de dénombrement peut rester longtemps difficile. A l école maternelle, l enfant peut être confronté à des problèmes portant sur des quantités. Pour des tâches de comparaison, d égalisation, de distribution, de partage, il fait appel à une estimation perceptive et globale (plus, moins, pareil, beaucoup, pas beaucoup), plus tard à la correspondance terme à terme ou à la quantification. Il faut cependant rester prudent, en particulier avec les plus jeunes, dans la mesure où l apparence des collections domine encore sur la prise en compte des quantités. Progressivement, dans les diverses occasions offertes par la vie de la classe, dans les jeux ou pour résoudre les problèmes posés par le maître, l enfant élargit l éventail des procédures de résolution en même temps qu il s approprie de nouveaux outils pour dénombrer les collections d objets : - reconnaissance du nombre d objets dans de petites collections, par une perception instantanée (reconnaissance directe de «trois» sans nécessairement compter «un, deux, trois»), - comparaison de collections à des collections naturelles (par exemple, reconnaissance de «cinq» comme quantité qui correspond à celle des doigts de la main) ou à des collections repères (nombre de places autour de la table, constellation du dé ), - dénombrement en utilisant la comptine parlée qui est progressivement fixée et complétée. A l école maternelle, il s agit de donner du sens aux nombres par leur utilisation dans la résolution de problèmes articulés avec des jeux, des situations vécues, mimées ou racontées oralement. Ces problèmes sont choisis pour que les nombres y apparaissent comme des outils efficaces pour : - comparer des quantités, les mémoriser, - mémoriser et communiquer des informations sur les quantités, sous forme orale ou écrite, les écrits étant d abord ceux produits par les élèves, puis les écritures chiffrées habituelles, - réaliser une collection ayant autant, plus ou moins d objets qu une autre collection, - comparer certaines dimensions des objets en utilisant un objet intermédiaire, - repérer des positions dans une liste ordonnée d objets - hiérarchiser des séries en utilisant la comptine numérique.

5 A la fin de l école maternelle, l enfant est également confronté à des problèmes où les nombres peuvent être utilisés pour anticiper le résultat d une action sur les quantités (augmentation, diminution, réunion, distribution, partage) ou sur des positions (déplacement en avant ou en arrière). La résolution de problèmes rencontrés ne nécessite pas le recours au formalisme mathématique (+, -, =). Celui-ci sera introduit à l école élémentaire. Le plus souvent, à l école maternelle, les nombres sont «dits». Leur écriture est progressivement introduite à partir des propositions des enfants dans des activités de communication. Une première correspondance est établie entre désignations orales et écritures chiffrées, par exemple en utilisant une file numérique ou un calendrier. Le nécessaire apprentissage de la suite des noms des nombres relève d une mémorisation qui peut être aidée par le recours à des comptines chantées, mais il ne doit pas intervenir prématurément. Il faut garder à l esprit qu apprendre la suite orale des nombres n est pas «apprendre à compter» et ne suffit pas pour dénombrer une quantité qui dépasse les possibilités de reconnaissance globale. La pratique du comptage nécessite, en effet, une mise en correspondance des mots («un», «deux», «trois» ) avec les objets d une collection, sans oubli d aucun objet et sans compter plusieurs fois le même objet. Celle-ci ne devient possible et rigoureuse que très progressivement et suppose, en particulier, la prise du conscience du fait que le dernier mot prononcé permet d évoquer la quantité toute entière (et pas seulement de désigner le dernier objet pointé). L ordre de grandeur des quantités qui interviennent dans les activités dépend à la fois des compétences travaillées et des problèmes posés. Si, dans des problèmes où, par exemple, il s agit de déterminer le résultat d un ajout d objets à une collection, les quantités doivent rester modestes, dans d autres cas (comparaison de collections, par exemple), elles peuvent être nettement plus importantes. Il appartient à l enseignant de faire les choix appropriés aux objectifs visés.

6 COMPETENCES RELATIVES AUX QUANTITES ET AUX NOMBRES - comparer des quantités en utilisant des procédures non numériques ou numériques, - réaliser une collection qui comporte la même quantité d objets qu une autre collection (visible ou non, proche ou éloignée) en utilisant des procédures non numériques ou numériques, oralement ou avec l aide de l écrit, - résoudre des problèmes portant sur les quantités (augmentation, diminution, réunion, distribution, partage) en utilisant les nombres connus, sans recourir aux opérations usuelles, - reconnaître globalement et exprimer de très petites quantités (de un à trois ou quatre), - reconnaître globalement et exprimer des petites quantités organisées en configurations connues (doigts de la main, constellations du dé), - connaître la comptine numérique orale au moins jusqu à trente, - dénombrer une quantité en utilisant la suite orale des nombres connus, - associer la suite des nombres connus avec leur écriture chiffrée en se référant à une bande numérique.

7 QUELQUES DEFINITIONS ET APPORTS THEORIQUES Dénombrer : (définition in qu apprend-on à l école maternelle) «Il faut garder à l esprit qu apprendre la suite numérique des nombres n est pas apprendre à compter et ne suffit pas pour dénombrer une quantité qui dépasse les possibilités de reconnaissance globale. La pratique du comptage nécessite, en effet, une mise en correspondance des mots («un», «deux», «trois», ) avec les objets d une collection, sans oubli d aucun objet et sans compter plusieurs fois le même objet. Celle-ci ne devient possible et rigoureuse que très progressivement et suppose, en particulier, la prise de conscience du fait que le dernier mot prononcé permet d évoquer la quantité toute entière (et pas seulement de désigner le dernier objet).» Normalement, tout individu procède par comptage, en pointant, gestuellement ou mentalement, les objets à compter, un par un ou par groupes. Pour être efficace, le comptage doit appliquer cinq principes dits de Gelman. Les principes de Gelman et la comptine numérique La comptine sert à dénombrer, pourvu que certaines conditions soient respectées. Principe d adéquation unique (association terme à terme entre les mots de la comptine et les objets de la collection à dénombrer, sans omission ni répétition), Principe d ordre stable (la comptine est récitée conformément à son énoncé conventionnel), Principe cardinal (c est le dernier mot prononcé qui désigne le cardinal), Principe d abstraction (absence d influence de la nature homogène ou non des objets de la collection), Principe d indépendance de l ordre (si les objets sont pointés dans un autre ordre, le cardinal ne change pas). Ce qui conduit l enseignant(e) afin d aider les élèves à prendre conscience progressivement de ces cinq principes - à pointer devant eux chaque élément d une collection au fur et à mesure qu on dit les noms des nombres - à terminer par «il y a».

8 La mise à jour quotidienne du calendrier, les comptages répétés d enfants (pour l appel, les déplacements hors de la classe ) et toutes autres situations de dénombrement oral effectué par un adulte en présence des élèves puis avec des élèves sont autant d occasions de fréquenter la comptine numérique et de lui donner du sens pour répondre à la question ; «Combien y a-t-il de?». En petite section, les activités sont à conduire principalement avec des objets manipulables, c'est-à-dire des éléments qu on peut toucher, palper, déplacer. En moyenne section, avec des objets manipulables puis avec des objets fixes. En grande section, avec des objets manipulables, puis avec des objets fixes, et en toute fin, avec des objets représentés. La subitisation : c est la connaissance perceptive globale, indépendante de la disposition spatiale, (être capable de dire le nombre juste sans recours au dénombrement) ; cette reconnaissance ne concerne que très peu de nombres (jusqu à 3, voire 5). Nombre : les nombres sont les moyens de transcrire une quantité. Chiffre : les chiffres sont des signes qui servent à écrire des nombres (de même que les lettres sont des signes utilisés pour écrire des mots). Dans le système décimal français (numération décimale), il existe dix chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 qui permettent d écrire tous les nombres possibles. Selon le contexte, 3 peut être un chiffre (par exemple dans 13, 3 est le chiffre des unités) ou un nombre s il désigne une quantité (par exemple, «aujourd hui, il y a 3 absents.» A l école maternelle, le terme chiffre est peu utilisé. On peut utiliser le mot «nombre» pour désigner la quantité et «écriture du nombre» pour préciser qu on s intéresse à la graphie.

9 Numéro : s emploie pour les numéros de téléphone, ou pour les adresses et pour les dossards de joueurs ou coureurs. Quantième : désigne le nombre d un ou deux chiffres qui indique le rang du jour dans le mois quand on écrit la date. Millésime : est le nombre à quatre chiffres qui désigne l année. Cardinal : nombre cardinal ou cardinal indique la quantité d éléments d une collection (réponse à la question»combien?); par exemple, 3 est un nombre cardinal dans «aujourd hui, il y a trois absents.» Ordinal : nombre ordinal ou ordinal indique le rang, l ordre d une chose ou d une personne dans un ensemble, par exemple, deuxième, vingtième (réponse à la question «où?» Ephéméride : calendrier dont on détache chaque jour une feuille. Distribuer : donner à chaque personne une partie de quelque chose selon un certain ordre. Partager : diviser en parts égales.

10 repérage sur la compétence numérique repérage dans la maîtrise du dénombrement repérage dans la constitution d une collection d un cardinal donné repérage dans le recours spontané au dénombrement repérage dans le successeur d un nombre repérage dans la lecture des nombres repérage dans la résolution de problèmes

11 1. repérage sur la comptine numérique Pour chaque enfant, il faut observer et noter les caractéristiques de la suite des noms de nombres qu il est capable de réciter : - jusqu où la suite est-elle conventionnelle (c'est-à-dire correspond à l ordre naturel des nombres sans ajout, ni omission)? - jusqu où la suite est-elle stable (c'est-à-dire sans changement d une récitation à l autre)? Après une première récitation, l enseignant(e) demande : «Peux-tu recommencer depuis le début pour que je puisse écrire tout ce que tu dis?» - quelles sont les erreurs qui apparaissent, telles que les omissions systématiques, ou les erreurs récurrentes («vingt-neuf, vingt-dix, vingt-onze-»)? - quel est, le cas échéant, l effet de relance concernant le nom des dizaines? (suffit-il de dire «30» à l enfant qui s arrête à «29» pour qu il continue?) Progressivement, chaque enfant doit savoir et pouvoir dire où il en est dans sa connaissance de la comptine numérique - la suite peut-elle être récitée jusqu à un nombre fixé à l avance (avec arrêt sur ce nombre)? - la suite peut-elle être récitée à partir d un autre nombre que «un»? - la suite peut-elle être récitée à l envers? 2. repérage dans la maîtrise du dénombrement En demandant «Combien y a-t-il d objets?» dans une collection dont le cardinal est adapté au niveau de connaissance de la comptine, on peut observer si l enfant a recours à un dénombrement, à une estimation globale, ou réagit autrement Dans le cas du dénombrement, on peut observer la maîtrise ou non : - de la synchronisation entre les gestes (prendre les objets, les déplacer, les pointer ) et la récitation de la comptine, - de l organisation du dénombrement (les objets déjà comptés sont-ils bien séparés de ceux restant à compter?), - du principe cardinal (à la question «Combien y a-t-il?», l enfant répond-il par le dernier nom de nombre énoncé?). Ce repérage des capacités à dénombrer peut être effectué en entretien individuel, ou à l occasion d activités dans la classe (compter les présents, les crayons ).

12 3. repérage dans la constitution d une collection d un cardinal donné En demandant à un enfant de «donner n objets» pris dans une collection plus grande (le nombre n étant choisi à l intérieur du domaine numérique où le dénombrement est maîtrisé, domaine qui a été repéré auparavant), on peut observer si l enfant : - s arrête au terme du dénombrement des n objets en déclarant qu il a terminé, - dénombre tous les objets de la collection jusqu à épuisement des objets (ou de ses compétences!), - s aperçoit qu il a oublié ce qui lui avait été demandé, - donne un tas sans dénombrer Ces observations peuvent être faites, par exemple, à l occasion de distribution de matériel. 4. repérage dans le recours spontané au dénombrement Il s agit d observer comment l enfant procède pour construire une collection équipotente à une collection donnée sans que celle-ci soit toujours disponible. Cette observation est réalisée en adaptant la taille des collections à la comptine de chacun. Il est préférable que cette observation soit faite en dehors d autres observations sur les nombres afin d éviter un possible conditionnement et de pouvoir s assurer d un recours spontané au dénombrement. Il est indispensable que la consigne n induise pas le moyen à utiliser. La question «combien y a-t-il?» ou toute allusion au nombre ou au dénombrement sont à éviter, en employant des formules du type «juste assez, ni plus, ni moins». 5. repérage dans le successeur d un nombre En ajoutant un élément à une collection que l enfant a déjà dénombrée et en lui demandant combien il y a d objets, on peut repérer si l enfant énonce directement le successeur du nombre précédemment trouvé ou s il a besoin de recompter tout. 6. repérage dans la lecture des nombres On présente des cartes avec les nombres de 0 à 20 (non rangés dans l ordre) et on demande à l élève de dire quels sont les nombres qu il connaît et de prendre la carte correspondante. On peut observer : - les nombres qu il sait lire dans ce domaine numérique, - les essais de recherche des cartes dans l ordre (en s appuyant éventuellement sur la récitation de la comptine), - les graphies qu il confond,

13 - la façon dont il énonce les nombres à deux chiffres (pour 13 : «untrois», «trois-un», ou même «vingt-trois» ). Des occasions se présentent aussi dans la journée qui permettent d interroger un élève : calendriers, affichages numériques, nombres écrits sur un emballage, sur un livre 7. repérage dans la résolution de problèmes Après avoir fait ajouter ou soustraire par l élève une petite quantité d objets (de 1 à 4) à une collection qu il vient de dénombrer et sans qu il puisse voir la collection obtenue, on lui demande de dire combien il y en a alors. On peut observer si l élève : - énonce simplement l un des deux nombres, - donne une réponse de la forme «cinq et deux», - est obligé de recompter le tout (par exemple en s aidant de ses doigts), - surcompte ou décompte à partir du nombre initial d objets, mentalement, en s aidant de ses doigts, - énonce directement le résultat. L enseignant(e) d école maternelle doit avoir conscience de l importance et de la portée des acquis qui se structurent peu à peu. Celui (celle) de cycle 2 doit, lui (elle), avoir le souci de repérer et de prendre en compte tout ce qui a été construit par l élève dans ces premières années d école, en identifiant les points forts et ceux qui restent à consolider ou à compléter. Lorsqu il arrive au CP, l élève a donc une première connaissance des nombres et dispose déjà de nombreuses compétences. Il n est pas opportun de commencer l année de CP par une étude des nombres un par un. Un travail plus global est préférable, dans la mesure où il permet de mettre en évidence et de valoriser les connaissances déjà disponibles et qui doivent faire l objet d un repérage pour chaque élève. Ces aides aux repérages des compétences numériques à l école maternelle sont extraites du document d accompagnement Vers les mathématiques : Quel travail en maternelle?, direction de l enseignement scolaire, Bureau du contenu des enseignements,

14 BIBLIOGRAPHIE

15 À transmettre dans le dossier de l élève au maître de CP

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21 Quelques repères quant à la résolution de problèmes Pourquoi des problèmes «pour chercher» à l école primaire? Des propositions de situations- problèmes pour

22 Quelques repères quant à la résolution de problèmes Une place centrale pour la résolution de problèmes La résolution de problèmes constitue le critère principal de la maîtrise des connaissances dans tous les domaines mathématiques, mais elle est également le moyen d en assurer une appropriation qui en garantit le sens. Dès les premiers apprentissages, les mathématiques doivent être perçues et donc vécues comme fournissant des moyens, des outils pour anticiper, prévoir et décider. Faire des mathématiques, c est élaborer de tels outils qui permettent de résoudre de véritables problèmes, puis chercher à mieux connaître les outils élaborés et s entraîner à leur utilisation pour les rendre opératoires dans de nouveaux problèmes. Ces outils évolueront au collège et d autres seront nécessaires pour traiter des problèmes de plus en plus complexes. La plupart des notions enseignées à l école élémentaire (dans les domaines numérique, géométrique ou dans celui de la mesure) peuvent, à l aide d activités bien choisies et organisées, par l enseignant, être construites par les élèves comme outils pertinents pour résoudre des problèmes, avant d être étudiées pour elles- mêmes et réinvesties dans d autres situations. Les problèmes proposés doivent, alors, permettre aux élèves de prendre conscience des limites ou de l insuffisance des connaissances dont ils disposent déjà et d en élaborer de nouvelles dont le sens sera ensuite progressivement enrichi. Ainsi, un problème de partage peut-il être résolu dès la grande section d école maternelle en s appuyant uniquement sur les compétences relatives au dénombrement. Au cycle 2, les élèves peuvent résoudre le même type de problèmes (posés avec des nombres plus grands) à l aide de l addition ou de la soustraction itérée ou de leurs premières connaissances sur la multiplication. Le sens de la notion se construit ainsi progressivement dans la durée.

23 De l école maternelle à l école élémentaire L école maternelle donne l occasion aux enfants de vivre leurs premières expériences dans le monde des nombres, d organiser l espace dans lequel ils vivent et de se familiariser avec certaines formes de cet espace. Mais l action seule ne suffit pas : pour être source d apprentissage, les activités proposées doivent donner lieu à des questionnements qui invitent l enfant à choisir, décider, prévoir, essayer. Petit à petit, il prend conscience du pouvoir que lui donnent ses connaissances pour anticiper une action ou le résultat de celle-ci, la réalisation effective de l action venant ensuite confirmer ou infirmer la pertinence de sa prévision. Dès l école maternelle, la résolution de problèmes est donc au cœur de la première activité mathématique de chaque enfant, que ce soit au cours des activités quotidiennes, dans les jeux ou encore à l occasion d activités construites par l enseignant(e). Le travail sur fiche ne peut pas, particulièrement pour de jeunes enfants, se substituer aux questions posées sur des objets que l enfant peut effectivement manipuler. Cette première familiarisation avec «des objets mathématiques» ne doit pas anticiper sur les apprentissages qui relèvent du cycle 2. Résoudre des problèmes portant sur les quantités n implique pas l utilisation du formalisme mathématique (signes +, -, =, par exemple). Le tâtonnement progressivement organisé, le recours au dessin plus ou moins schématisé, l utilisation de la comptine orale des nombres sont autant de moyens pour l élève de traiter les questions qui lui sont posées. Le langage ordinaire, éventuellement accompagné d un dessin, suffit souvent pour exprimer la procédure utilisée et donner l occasion d un échange avec les autres enfants, avec l aide de l adulte. Les élèves arrivent à l école élémentaire avec des connaissances qu ils ont acquises à l école maternelle et dans leur environnement social. Celles-ci doivent être prises en compte, même si elles sont imparfaites et différentes d un élève à l autre. Le début du cycle 2 doit être consacré à repérer, organiser, stabiliser et enrichir ces connaissances. Rien ne justifie, par exemple, une étude des nombres un par un. Les premières situations proposées doivent d emblée se situer dans un domaine numérique relativement étendu. (Extrait des documents d application des programmes Mathématiques Cycle 2, CNDP, 2002)

24 Pourquoi des problèmes à l école primaire Cinq objectifs différents peuvent être dégagés : 1) La pratique du «problème pour chercher» développe la capacité de l élève à faire face à des situations inédites. 2) Dans la résolution de ces problèmes, l élève prend conscience de la puissance de ses connaissances, même si celles-ci sont modestes. Il existe en effet toujours plusieurs moyens d élaborer une réponse, faisant appel à des registres de connaissances différents (dessin, dénombrement, techniques opératoires ). 3) L activité de l élève dans la résolution d un «problème pour chercher» valorise des comportements et des méthodes essentiels pour la construction de leurs savoirs : prendre des initiatives (tenter, faire des essais ), être critique vis-à-vis de son travail (contrôler, analyser ses erreurs ), s organiser, être méthodique (réduire le hasard, le nombre de cas à envisager), communiquer (par oral dans le groupe et face à la classe, par écrit pour rendre compte de sa recherche). 4) Les phases d échanges et de débats développent les capacités argumentatives de l élève. Les débats qui s instaurent soit dans les groupes, soit dans la classe, conduisent les élèves soit à valider ou réfuter une proposition. Un élève qui est persuadé du bien- fondé de son idée, de l intérêt de la piste qu il veut explorer, ou de la solution qu il a trouvée, devra convaincre ses camarades. Le maître doit gérer les débats de telle façon que ce soit la valeur de l argument qui l emporte ; en mathématiques, l accord du plus grand nombre sur une proposition ne constitue pas un critère de validité. 5) Ce type d activité contribue à l éducation civique (vivre ensemble) des élèves. Les moments de recherche sont plus efficaces si on s entraide : les idées proposées par les uns, même erronées, alimentent celle des autres. Les moments de débats offrent également l occasion de travailler l écoute, la prise en compte et le respect des autres. La pratique du «problème pour chercher» n est pas réservée aux élèves du cycle 3. Bien au contraire, dès l école maternelle, et ensuite au cycle 2, cette pratique doit être encouragée. La plupart des questions posées aux élèves de l école maternelle sont des «problèmes pour chercher». En effet, les élèves ont, à ce moment de leur scolarité, construit peu de connaissances mathématiques. Pour traiter les problèmes qui leur sont proposés, ils doivent donc se débrouiller, faire preuve d inventivité. Ainsi, un élève de moyenne section doit compléter ces trois cartons (où des gommettes sont déjà collées en utilisant tout le tas de gommettes mis à disposition pour que chacun comporte à la fin exactement autant de gommettes que chacun des deux autres. Il aura pu auparavant résoudre un problème identique lié à la vie de la classe, avec des objets déplaçables (par exemple, égaliser le contenu de trois assiettes avec des fruits en plastique).

25 Cet élève ne dispose que de la capacité à comparer des collections par correspondance terme à terme ou, peut- être, de la capacité à les dénombrer par comptage un à un. Il est donc peu probable qu il puisse anticiper le résultat ; la seule possibilité pour lui consiste à poser les gommettes sur les cartons, à contrôler si la contrainte d équité est respectée et à procéder à des ajustements ou à enlever les cinq gommettes qu il vient de placer pour se lancer dans une nouvelle tentative. Un élève de grande section peut être confronté à une situation identique, mais dans laquelle les cinq gommettes ne sont pas directement à sa disposition. Elles sont, par exemple, affichées au tableau et il doit indiquer sur chaque carton combien il doit coller de gommettes supplémentaires (ou bien les dessiner). Alors que la situation dans sa version «moyenne section» n est peut- être plus pour lui un problème de recherche, car il peut produire la bonne solution rapidement, la nouvelle contrainte imposée l oblige à un travail d anticipation et à un maniement simultané des nombres et des quantités qui transforment la situation en un nouveau «problème pour chercher». A l école maternelle, les élèves ne sont pas tous capables d expliciter les démarches utilisées. Ils peuvent par exemple être invités à «refaire l action devant leur camarade», l enseignant(e) accompagnant, à ce moment, l action de l élève par le langage et offrant ainsi une verbalisation «miroir». En revanche, les élèves deviennent progressivement capables de repérer une réponse erronée et de dire pourquoi elle ne convient pas. ( extrait de Mathématiques- Document d accompagnement Les problèmes pour chercher)

26 TABLEAU SYNTHETIQUE DES PROPOSITIONS DE SITUATIONS- PROBLEMES Des situations problèmes pour Intitulé de la situation 1) comparer des quantités en utilisant des procédures non numériques ou numériques Escargots et salades Problème météorologique Les boîtes à cocos 1 L aquarium Cartes à points 2) réaliser une collection qui comporte la même quantité d objets qu une autre collection (visible ou non, proche ou éloignée) en utilisant des procédures non numériques ou numériques, oralement ou avec l aide de l écrit Les boîtes du matin Les soucoupes volantes Les tours jumelles Les quadrillages 3) résoudre des problèmes portant sur les quantités (augmentation, diminution, réunion, distribution, partage) en utilisant les nombres connus, sans recourir aux opérations usuelles Augmentation : la boîte, la piste graduée Diminution : la boîte, le lapin gourmand Réunion : pour faire 7 Distribution et partage : se partager, lapins et carottes 4) associer le nom des nombres connus avec leur écriture chiffrée en se référant à une bande numérique La bande numérique jusqu à 10 Les boîtes à coco 2 Le bonbon- poison La montagne

27 1) Des situations problèmes pour comparer des quantités Escargots et salades Compétence : Comparer des quantités en utilisant des procédures non numériques ou numériques Objectif : Apparier terme à terme. Consigne : «Y a-t-il assez de salades pour que chaque escargot ait une salade?» Matériel : Des cartes- escargot et des cartes- salade Mode d organisation : En atelier par deux, certains ont assez de salades, d autres non Déroulement : Disposer devant les élèves les cartes, leur demander de regarder et ce qu ils peuvent faire avec. Deux propositions apparaissent, le plus souvent une situation de classement (les escargots avec les escargots.) et aussi les escargots mangent des salades. Le maître donne alors la consigne et laisse les élèves agir. Une fois que les groupes de deux élèves ont fini, le maître invite les élèves à voir ce qu a fait chaque groupe et demande ce qu on constate en rappelant la consigne. Ensuite, les élèves dessinent leur production.

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29 Problème Météorologique Compétence : Résoudre des problèmes portant sur la comparaison de quantités complémentaires en utilisant des procédures non numériques ou numériques. Objectif : Savoir dire, à la fin d un mois, s il y a eu plus de jours avec nuages ou sans, avec de la pluie ou sans, avec... (peut s étendre à n importe quel type de temps puisqu il s agît uniquement d une comparaison : «avec ou sans»!). Consigne : Trouve une solution pour dire si au mois de mai il y a eu plus de jours avec ou sans X. Matériel : Un tableau présentant des cases à remplir pour chaque jour du mois. Des étiquettes symbolisant les différents types de temps possibles (par exemple : Soleil, Nuages, Pluie, Vent, éventuellement soleil et nuages, orage). Déroulement : Le jeu s étend sur plus d un mois : avant le début du mois les enfants sont informés du but de l opération : il va falloir observer chaque jour le temps qu il fait dehors et s en rappeler en plaçant le symbole correspondant dans la case du jour (plusieurs symboles différents peuvent, bien sûr, être placés chaque jour!). A la fin du mois tous les symboles seront repris pour voir s il y a eu un plus grand nombre de jours avec de la pluie ou sans pluie, avec du vent ou sans vent, avec des nuages ou sans aucun nuage? Etc La comparaison ne s établissant qu entre les jours possédant une étiquette, et ceux ne la possédant pas (complémentaire). Organisation suivant le niveau de la classe : Si l utilisation de vignettes symboles s impose avec les plus jeunes élèves, en grande section et au CP on pourra avoir recours uniquement au dessin, au graphisme ou à la notation.

30 Jeu des boites à cocos 1 Compétence : Comparer des quantités en utilisant des procédures non numériques ou numériques Objectif : Comparer des quantités (auditivement) en utilisant des procédures non numériques Consigne : «Secoue les boîtes, écoute bien et range les dans l ordre (de 1 à 5 graines)». Matériel : Petites boîtes de pellicules photos ; Etiquettes ; Paquet de haricots «cocos» ; Préparation matérielle (GS) : Les étiquettes avec des lettres (connues des élèves) de différentes couleurs sont collées sur les boites ; Dans les boites d une même série/couleur, le maître, et par la suite les élèves placent 1, 2, 5 graines. Déroulement : Les élèves ( seuls, par deux, ou en équipes ) secouent les boites d une même série/couleur à l oreille, puis, au son plus ou moins fourni, doivent ordonner les boites du son le moins fort au son le plus fort ( 1, 2, 5 graines par exemple ) ; Ensuite, il suffit de noter sur une feuille dans le même ordre les lettres connues figurant sur les boites. Afin d éviter tout problème de mélanges de contenants, ce qui fausserait tout, le contrôle est effectué après manipulation, en équipes ou en collectif! Organisation suivant le niveau de la classe : Les quantités 1 et 2 graines se distinguent très facilement, pour les autres la différence n est audible qu à 3 ou 4 graines de plus ou de moins, il faut donc prendre : Au CP : soit 1, 2, 5, 9 graines, soit 1, 3, 6, 9 graines par exemple, et éviter les quantités trop proches. On pourra utiliser toutes les lettres de l alphabet pour le repérage des boites. En grande section, on se contentera de 3 boites avec des lettres qui appartiennent au vécu collectif de la classe (début commun des prénoms par exemple).

31 L aquarium Compétence : Comparer des quantités en utilisant des procédures non numériques ou numériques. Objectif : Trouver un moyen de ranger cet aquarium, en tenant compte des poissons qui s y trouvent. Consigne : Nous allons bien regarder les cartes- aquarium et essayer de les placer dans le grand aquarium, mais en ordre, pour que le vendeur s y retrouve. Matériel : Cartes de jeux de la page suivante. Déroulement : Par petites équipes de 6 à 8 élèves : les cartes sont présentées une à une, et décrites ( il faut donner un nom à chaque type de poisson, quel qu il soit, et dire combien se trouvent dans le même récipient ), puis le maître présente un quadrillage vide correspondant à la taille des images, et explique la situation : le vendeur de poissons veut placer tous les poissons des récipients dans les parties du grand aquarium, mais il voudrait que les poissons semblables soient dans la même partie, et que les familles avec le même nombre de poissons soient également dans la même partie ( le même couloir ). Organisation suivant le niveau de la classe : Le nombre d entrées pourra varier en fonction du niveau des élèves : 3 entrées poissons et 3 entrées nombres semblent bien adaptées à la GS. Au CP il est possible de pousser jusqu à 5 entrées.

32 3) Des situations problèmes pour

33 Cartes à points Compétence : Comparer des quantités en utilisant des procédures non numériques ou numériques. Objectif : Comparer des quantités visuellement en se servant des configurations connues. Consigne : «Je vais vous montrer très rapidement deux cartes : vous allez bien les regarder et faire une photo dans votre tête ; Ensuite vous devrez me dire sur quelle carte il y a le plus de points». Matériel : Cartes noires à points jaunes organisés en configurations partiellement connues. La position des points joue là un rôle essentiel, car il sera demandé aux élèves un rappel mental de leurs positions. Déroulement : Ce jeu peut se pratiquer à n importe quel moment, en groupe ou en collectif. Le maître montre deux cartes simultanément (une à gauche, l autre à droite) pendant un très court instant (environ une seconde). Les élèves, situés bien en face des deux cartes, observent bien celles-ci, les photographient mentalement, puis ils doivent s en rappeler ( toujours mentalement en tentant de visualiser la position des points ) en essayant de comparer compte tenu des configurations connues qui s y trouvaient, et enfin annoncer de quel côté se trouvait la carte avec le plus ( ou le moins ) de points.

34 2) Des situations- problèmes pour réaliser une collection qui comporte la même quantité d objets qu une autre collection (visible ou non, proche ou éloignée) en utilisant des procédures non numériques ou numériques, oralement ou avec l aide de l écrit Les boîtes du matin Compétence : Réaliser une collection qui comporte la même quantité d objets qu une autre collection (visible ou non, proche ou éloignée) en utilisant des procédures non numériques ou numériques, oralement ou avec l aide de l écrit. Objectif : Réaliser une collection ayant autant ; plus ou moins d objets qu une autre collection. Matériel : Boîtes et jetons Niveau : MS et GS Déroulement : On dispose de quatre boîtes dans la classe qui représentent les quatre groupes (par exemple, des boites de couleur ou des boîtes d animaux) Lors des rituels, on compte les étiquettes des enfants qui ne sont pas venus à l école. On reconnaît les prénoms et les groupes dans lesquels ils appartiennent. Puis, un enfant est chargé de remplir les boîtes en mettant, par exemple dans la boite bleue, autant de jetons que d enfants absents du groupe bleu. Boîte 1 Boîte 2 Boîte 3 Boîte 4 Puis on observe les résultats : Dans quel groupe a-t-on le plus d absents, dans quel groupe a-t-on le moins d absents?

35 Les soucoupes volantes Compétence : Réaliser une collection qui comporte la même quantité d objets qu une autre collection (visible ou non, proche ou éloignée) en utilisant des procédures non numériques ou numériques, oralement ou avec l aide de l écrit Objectif : Réaliser une collection qui comporte la même quantité d objets qu une autre collection proche. Consigne : Chacun de vous va construire ce qu il veut avec ses formes ; Ensuite il faudra aller chercher dans la boîte, en une seule fois, les formes pour construire exactement la même chose que votre camarade. Matériel : Formes papier de même taille, par exemple : triangles isocèles (en quantité suffisante). Déroulement : Elèves par groupes de deux à une table ; Chacun possède un certain nombre de formes (variable entre 8 et 14 par exemple) ; Chaque enfant du binôme ne possède pas la même quantité que son camarade ; Chaque élève doit réaliser, avec ses formes, une figure (par ex. soucoupe volante). L autre enfant du binôme doit prendre une à une, mais en une seule fois, dans une boite, les formes nécessaires à la réalisation de la même figure que son camarade (il le fait en regardant le modèle). Il convient de bien insister sur ce fait : «en une seule fois» Le contrôle et les comparaisons se font ensuite avec le maître, par binôme.

36 Les tours jumelles Compétence : Réaliser une collection qui comporte la même quantité d objets qu une autre collection (visible ou non, proche ou éloignée) en utilisant des procédures non numériques ou numériques, oralement ou avec l aide de l écrit. Objectif : Réaliser une collection qui comporte la même quantité d objets qu une autre collection éloignée. Consigne : Chacun de vous va construire ce qu il veut avec ses formes ; Ensuite il faudra aller chercher dans la classe, en une seule fois, les formes pour construire exactement la même chose que votre camarade. Matériel : Cet objectif peut se réaliser avec tout matériel ou jeu de la classe permettant une certaine association : nous allons en développer un exemple tout simple avec un jeu de construction : Jeu de construction Lego, par exemple. Préparation matérielle:on ne prendra que les briques carrées et rectangulaires du jeu. Un paquet sera mis à disposition sur le plan de travail, l autre paquet sera placé dans un endroit accessible de la classe, à l écart. Le nombre de pièces doit être suffisamment important. Déroulement : A réaliser par petite équipe de 8 à 12 élèves au maximum. Les élèves sont répartis par groupes de deux. Chaque élève réalise une petite tour avec les briques qui lui sont données (soit carrées, soit rectangulaires, et nombre restreint par élève). L autre enfant du binôme doit : bien observer la réalisation de son camarade, puis en un seul déplacement, aller chercher exactement le nombre de briques nécessaire à la réalisation de la même tour que son camarade.

37 Les quadrillages Compétence : Réaliser une collection qui comporte la même quantité d objets qu une autre collection (visible ou non, proche ou éloignée) en utilisant des procédures non numériques ou numériques, oralement ou avec l aide de l écrit. Objectif : Prendre en une seule fois la quantité de jetons nécessaire pour remplir un quadrillage donné Consigne : «Il faut aller chercher juste ce qu il faut de jetons, il faut qu il y en ait juste assez, ni plus, ni moins pour en mettre un sur chaque case vide du quadrillage» Matériel : Des jetons en nombre suffisant sur une table éloignée, et des quadrillages différents (adaptés aux possibilités de chaque élève) Mode d organisation : En atelier dirigé, un quadrillage par élève Déroulement : Faire nommer au préalable les supports (quadrillage, case en pointer quelques-unes avec le doigt - jetons). Puis, donner la consigne et demander qui veut aller chercher les jetons. Il semble difficile d envoyer tous les élèves en même temps (tout dépend de la taille du groupe). Lorsque chaque élève a agi, observer si la consigne a été respectée (lors du premier essai, la plupart des élèves ont pris un jeton, il est alors facile de faire constater l écart entre la consigne et la proposition). Continuer les essais jusqu à ce que la tâche soit réalisée et s appuyer sur les réponses pertinentes et demander aux élèves comment ils ont fait (ils ont «compté», c'est-à-dire dénombrer les cases puis pris la quantité de jetons nécessaires pour mettre un jeton par case. S il reste du temps, échanger les quadrillages.

38 3) Des situations- problèmes pour résoudre des problèmes portant sur les quantités (augmentation, diminution, réunion, distribution, partage) en utilisant les nombres connus, sans recourir aux opérations usuelles AUGMENTATION La boîte Compétence : Résoudre des problèmes portant sur les quantités : augmentation Objectif : Trouver la somme correspondant à l ajout d objets à partir d une collection donnée. Consigne : «Ecoutez bien, je vais mettre des objets dans cette boîte ; vous me direz combien il y en a.» «Maintenant, je vais en mettre d autres et vous allez me dire combien il y en a.» Matériel : Une boîte en carton et des objets. Mode d organisation : En atelier dirigé, essentiellement une situation orale puis dessin de la situation Déroulement : l enseignant(e) met un à un des objets dans une boîte, les élèves écoutent chaque objet qui tombe dans la boîte et donnent la quantité d objets déposés. Puis, l enseignant(e) ajoute des objets de un à trois dans la boîte et demande combien il y a d objets après ajout dans la boîte. Il est nécessaire de faire vérifier dans la boîte par un élève l exactitude ou non des réponses proposées.

39 A partir de cette situation, il est possible de demander le nombre d objets qu il faut ajouter pour obtenir une quantité désirée. Par exemple, l enseignant(e) met cinq objets (un à un afin que les élèves puissent dénombrer) et demande combien d objets il faut ajouter pour en avoir sept. Il est possible de demander combien il y avait d objets dans la boîte avant d en ajouter. Par exemple, l enseignant(e) a mis des objets dans la boîte et ne dit pas combien. Il en ajoute un (ou deux, pas plus) et dit qu il y a cinq objets dans la boîte. Il demande alors combien il y avait d objets dans la boîte au début. La piste graduée Compétence : Résoudre des problèmes portant sur les quantités : augmentation. Objectif : Trouver la position occupée par un pion à la suite d un ajout. Consigne : «Sur quelle case est le pion?» «Tu lances le dé et tu me dis sur quelle case tu vas poser le dé». Matériel : Une piste graduée, un pion et un dé jusqu à la constellation trois. Mode d organisation : En atelier dirigé, essentiellement une situation orale puis dessin de la situation.

40 Déroulement : L enseignant(e) montre la piste graduée et laisse les élèves s exprimer puis il (elle) pose le pion sur une des cases et demande à un élève sur quelle case est le pion. Puis, l enseignant(e) demande à un élève de lancer le dé et de dire sur quelle case il va mettre le pion. Il est nécessaire de faire vérifier sur la piste graduée par un élève l exactitude ou non des réponses proposées A partir de cette situation, il est possible de demander combien il faut faire avec le dé pour aller à la case choisie. Par exemple, le pion est sur la case 5 et je veux qu il aille à la case 8. Il est possible de demander la position occupée par le pion avant que ne soit réalisé le déplacement. Par exemple, le pion est sur la case 6 et j ai fait 2 avec le dé. Où était le pion avant le lancer de dé? DIMINUTION La boîte Compétence : Résoudre des problèmes portant sur les quantités : diminution. Objectif : Trouver la somme correspondant à l ajout d objets à partir d une collection donnée. Consigne : «Ecoutez bien, je vais mettre des objets dans cette boîte ; vous me direz combien il y en a.» «Maintenant, je vais en enlever et vous allez me dire combien il y en a.» Matériel : Une boîte en carton et des objets. Mode d organisation : En atelier dirigé, essentiellement une situation orale puis dessin de la situation

41 Déroulement : L enseignant(e) met un à un des objets dans une boîte, les élèves écoutent chaque objet qui tombe dans la boîte et donnent la quantité d objets déposés. Puis, l enseignant(e) enlève des objets de un à trois dans la boîte et demande combien il y a d objets après diminution dans la boîte. Il est nécessaire de faire vérifier dans la boîte par un élève l exactitude ou non des réponses proposées. A partir de cette situation, il est possible de demander le nombre d objets qu il faut enlever pour obtenir une quantité désirée. Par exemple, l enseignant(e) met cinq objets (un à un afin que les élèves puissent dénombrer) et demande combien d objets il faut enlever pour en avoir trois. Il est possible de demander combien il y avait d objets dans la boîte avant d en enlever. Par exemple, l enseignant(e) a mis des objets dans la boîte et ne dit pas combien. Il en enlève un (ou deux, pas plus) et dit qu il y a cinq objets dans la boîte. Il demande alors combien il y avait d objets dans la boîte au début.

42 Le lapin gourmand! Compétence : Résoudre des problèmes portant sur les quantités : diminution. Objectif : résoudre des problèmes portant sur les quantités (diminution) grâce à la remise en ordre d une suite d images séquentielles. Consigne : «Vous allez bien regarder chacune des cartes que je vais vous montrer. Ensuite nous allons en parler.» Matériel : Cartes de la page suivante. Tableau aimanté ou tout autre plan de travail vertical ou horizontal. Déroulement : Les cartes sont montrées aux élèves l une après l autre, dans le désordre, puis décrites (on se rend compte à quel point le langage oral joue un rôle important en Découverte du Monde Relative aux quantités et aux nombres!) Le maître prend bien soin de faire observer combien de carottes entières sont à terre, combien de restes de carottes mangées (fanes) sont à côté du lapin, et le fait que le lapin mange une carotte ou regarde celles qui restent! Quand toutes les images ont bien été décrites et visualisée, on entame le débat (qui porte donc sur les différences entre quantité mangée et restante ) pour remettre les images en ordre chronologique! Organisation suivant le niveau de la classe : Cette série de cartes ne présente qu un exemple possible parmi tant d autres d une situation langagière qui fait intervenir la notion de diminution de quantité, tout en portant sur de très petites quantités. En petite section les cartes peuvent être limitées à 3 et 4 en fin d année. En grande section on utilisera les 6 voire plus (à créer selon le même modèle!) Au CP les diminutions ne se feront plus forcément une par une!

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44 REUNION Pour faire 7 Compétence : Résoudre des problèmes portant sur les quantités : réunion. Objectif : Trouver toutes les solutions avec deux dés pour faire le chiffre donné au départ (exemple: 7). Consigne : Chaque élève va jouer ses deux dés plusieurs fois de suite, et à chaque fois qu il va compter 7 points en tout, il doit dessiner les deux dés sur une feuille et noter les points des deux dés qui donnent 7. Matériel : Selon le niveau et/ou la quantité choisie au départ : un dé jusqu à 6 et un autre jusqu à 3 ou deux dés jusqu à 6. Déroulement : Il est demandé aux élèves de trouver toutes les solutions possibles, avec deux dés. Pour faire (au total) la quantité demandée (en principe choisie entre 6 et 9), ils doivent noter leurs découvertes sous la forme indiquée sur l illustration (travail de deux élèves de GS). Bien entendu, le travail par deux (élèves) est ici tout à fait approprié, et la vérification des trouvailles gagne à se faire par équipes. Les résultats sont confrontés afin d établir toutes les solutions possibles (sans en oublier), qui sont remises en ordre ensuite. Organisation suivant le niveau de la classe : En grande section le travail pourra commencer avec un dé jusqu à 6 et un jusqu à 3. Au CP, on pourra utiliser deux dés jusqu à six, ou concevoir un autre système de cartes à configurations (supérieures), avec une résolution du problème sur le même principe.

45 DISTRIBUTION ET PARTAGE Se partager des objets Compétence : Résoudre des problèmes portant sur les quantités : partage. Objectif : Se partager à quatre ou à trois un ensemble d objets. Consigne : Vous devez vous partager les objets et en avoir «pareil» (autant). Matériel : Des jetons, des bâtonnets ou des coquillages entre 28 et 40, soit de 7 à 10 chacun (ou tout autre matériel de la classe : coin cuisine, ) Mode d organisation : En atelier dirigé. Déroulement : Les objets qui sont au centre de la table sont nommés et les élèves sont sollicités pour faire des propositions sur ce qu ils pourraient faire avec les objets. La consigne est donnée, les élèves agissent et ensemble, l enseignant(e) et les élèves observent les propositions et disent si elles répondent à la tâche demandée. Si les propositions n y répondent pas, l enseignant(e) remet les objets au centre et ainsi de suite jusqu à ce que les élèves proposent une réponse satisfaisante ou proche. Ensuite, une grande feuille est posée sur les tables ; l enseignant(e) trace trois ou quatre parties selon le nombre d élèves puis demande à chacun de dessiner ses objets.

46 Deuxième situation La situation de départ est la même ; les élèves sont amenés à réinvestir les procédures précédentes (soit chaque élève prend un objet à tour de rôle jusqu à épuisement de l ensemble, soit un élève donne à chacun un objet jusqu à épuisement de l ensemble). A la différence de la situation différente, chaque élève a une feuille et doit dessiner l ensemble de la situation. Suit une discussion liée aux différentes représentations proposées.

47 Lapins et carottes Compétence : Résoudre des problèmes portant sur les quantités : partage. Objectif : Donner à chaque lapin du plan de jeu le même nombre de carottes. Consigne : On ne va jouer qu avec les lapins et les carottes qui seront placés sur le plan de jeu. Il faudra ensuite donner des carottes à chaque lapin, mais pour qu ils soient tous aussi contents, il faudra donner la même chose (le même nombre, pareil) à chacun! Chaque élève essayera de chercher une solution, (jusqu à ce qu on trouve la bonne), Et il devra «dire» lorsqu il a terminé de distribuer les carottes. (Important!) Matériel : Cartes Lapins et cartes Carottes en nombre suffisant (planches pages suivantes). Plan de jeu sur lequel seront posées les cartes en jeu. Déroulement : Pour commencer on place sur le plan de jeu 3 Lapins et 9 Carottes par exemple. Le problème est alors posé : comment faire pour que chaque lapin puisse manger le même nombre de carottes (à partager). L essentiel dans cette pratique est de laisser les élèves trouver des «procédures personnelles» permettant de réaliser cette mission, puis de les faire expérimenter par d autres élèves, et de constater l exactitude du résultat final. C est ainsi que l on découvrira la technique du un à un, La technique du plusieurs d un coup, puis, peut-être spontanément, peut-être de façon quelque peu amenée par le maître, la technique de la distribution en une seule fois sans retour au paquet de carottes initial! Attention à la valeur formatrice de l erreur : c est elle qui va mener progressivement aux différentes solutions efficaces! Organisation suivant le niveau de la classe : En moyenne section il convient d éviter les quantités avec reste. En grande section il vaut mieux commencer par ce même type de situation, puis progressivement intégrer des restes. Au CP on pourra faire noter les résultats de la distribution par écrit, et jouer sur de plus grandes quantités (de lapins et / ou de carottes!).