LES NOMBRES RELATIFS

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1 LES NOMBRES RELATIFS OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES RELATIFS : ADDITION ET SOUSTRACTION Tous droits réservés au réseau AGRIMÉDIA Dossier n 2 Juin 2005 Conçu et réalisé par : Marie-Christine LIEFOOGHE Bruno VANBAELINGHEM Annie VANDERSTRAELE

2 C.D.R. AGRIMEDIA LES NOMBRES RELATIFS Addition et soustraction Apprentissage Objectif : - Savoir effectuer des additions et des soustractions sur les nombres relatifs. Contenu : - Addition de nombres relatifs : - nombres de même signe, - nombres de signes contraires, - exercices de synthèse, - problèmes. - Soustraction de nombres relatifs : - notion de nombres opposés, - soustraction de nombres relatifs, - problèmes. - Addition de plusieurs nombres relatifs. LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 1

3 ADDITION DE NOMBRES RELATIFS Chapitre 1 I - ADDITION DE NOMBRES RELATIFS DE MÊME SIGNE Approche Durant quatre jours, le mouvement des recettes et des dépenses d'une coopérative scolaire s'établit ainsi : Jours Recettes en Dépenses en n 1 n 2 n 1 n 2 Bilan en Lundi Recette : 508 Mardi Dépense : 413 Jeudi Recette : 145 Vendredi Dépense : 32 Examinons les recettes et les dépenses du lundi puis du mardi en convenant : * qu'une recette s'exprimera par un nombre relatif positif, * qu'une dépense s'exprimera par un nombre relatif négatif 1) La situation du lundi Nous avons : que nous traduisons une recette de 380 suivie d'une recette de 128 = une recette de 508 ( ) + ( ) = ( ) Nous obtenons un nombre relatif positif de valeur absolue : = 508 LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 2

4 2) La situation du mardi Nous avons : que nous traduisons une dépense de 131 suivie d'une dépense de 282 = une dépense de 413 ( ) + ( ) = ( ) Nous obtenons un nombre relatif négatif de valeur absolue : = 413 Dans les deux cas précédents, le résultat de l'addition est un nombre relatif dont : - la valeur absolue est la somme des valeurs absolues, - le signe est le signe commun. A RETENIR : Pour additionner des nombres relatifs de même signe : - on additionne leurs valeurs absolues, - le signe obtenu est le signe commun à ces nombres. Remarque : Les nombres relatifs ont été écrits entre parenthèses ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )... afin de ne pas confondre le signe du nombre avec le signe de l'opération effectuée sur ces nombres. signe du nombre ( ) + ( ) = ( ) ( ) + ( ) = ( ) signe de l'opération LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 3

5 3) Exemples de calculs 1 er exemple ( + 5 ) + ( + 12 ) = On additionne les valeurs absolues : = 17 Le signe obtenu est le signe commun aux deux nombres soit le signe + ( + 5 ) + ( + 12 ) = ( + 17 ) 2 ème exemple ( - 18 ) + ( - 39 ) = On additionne les valeurs absolues : = 57 Le signe obtenu est le signe commun aux deux nombres soit le signe - ( - 18 ) + ( - 39 ) = ( - 57 ) LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 4

6 Maintenant à vous! Additionnez les nombres relatifs suivants : ( + 25 ) + ( + 38 ) = ( - 5 ) + ( ) = ( - 12 ) + ( - 4 ) = ( ) + ( ) = ( + 14,2 ) + ( + 140,85 ) = ( - 15,95 ) + ( - 12,14 ) = Voir réponses page suivante LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 5

7 RÉPONSES ( + 25 ) + ( + 38 ) = + 63 ( - 5 ) + ( ) = ( - 12 ) + ( - 4 ) = - 16 ( ) + ( ) = ( + 14,2 ) + ( + 140,85 ) = + 155,05 ( - 15,95 ) + ( - 12,14 ) = - 28,09 Très bien! Passons à la suite!! LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 6

8 II - ADDITION DE NOMBRES RELATIFS DE SIGNES CONTRAIRES Reprenons le tableau d'approche du premier paragraphe et examinons tour à tour la situation du jeudi et celle du vendredi. 1) La situation du jeudi Nous avons : que nous traduisons une recette de 280 suivie d'une dépense de 135 = une recette de 145 ( ) + ( ) = ( ) Nous obtenons un nombre relatif positif de valeur absolue : = 145 2) La situation du vendredi Nous avons : que nous traduisons une recette de 35 suivie d'une dépense de 67 = une dépense de 32 ( + 35 ) + ( - 67 ) = ( - 32 ) Nous obtenons un nombre relatif négatif de valeur absolue : = 32 Dans les deux cas, le résultat de l'addition est un nombre relatif dont : - la valeur absolue est la différence des valeurs absolues, - le signe est celui du nombre qui a la plus grande valeur absolue. A RETENIR : Pour additionner deux nombres relatifs de signes différents : - on soustrait leurs valeurs absolues - le signe est celui du nombre qui a la plus grande valeur absolue. LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 7

9 3) Exemples de calculs 1 er exemple ( + 8 ) + ( - 3 ) = On soustrait les valeurs absolues : 8-3 = 5 On compare les valeurs absolues : 8 > 3 ( huit est supérieur à trois ) ou ( huit est plus grand que trois ) Le signe obtenu est donc celui du nombre 8 soit le signe + ( + 8 ) + ( - 3 ) = ( + 5 ) 2ème exemple ( + 22 ) + ( - 56 ) = On soustrait les valeurs absolues : = 34 On compare les valeurs absolues : 56 > 22 Le signe obtenu est celui du nombre 56 soit le signe - ( + 22 ) + ( - 56 ) = ( - 34 ) LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 8

10 Maintenant à vous! Additionnez les nombres relatifs suivants : ( ) + ( ) = ( - 10 ) + ( + 9 ) = ( - 53 ) + ( + 62 ) = ( + 15 ) + ( - 5 ) = ( + 21 ) + ( - 15 ) = ( - 12,5 ) + ( + 7,8 ) = ( + 5,3 ) + ( - 5,3 ) = Voir réponses page suivante LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 9

11 RÉPONSES ( ) + ( ) = + 18 ( - 10 ) + ( + 9 ) = - 1 ( - 53 ) + ( + 62 ) = + 9 ( + 15 ) + ( - 5 ) = + 10 ( + 21 ) + ( - 15 ) = + 6 ( - 12,5 ) + ( + 7,8 ) = - 4,7 ( + 5,3 ) + ( - 5,3 ) = 0 Très bien! Passons à la suite!! LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 10

12 III - EXERCICE DE SYNTHÈSE Effectuez les additions suivantes : ( + 7 ) + ( - 4 ) = ( + 11 ) + ( + 13 ) = ( - 15 ) + ( - 12 ) = ( - 3,7 ) + ( + 1,7 ) = ( ) + ( ) = ( + 4,4 ) + ( + 1,6 ) = ( - 120,3 ) + ( - 205,8 ) = ( - 17,5 ) + ( + 53 ) = ( - 47 ) + ( + 25 ) = ( + 7,5 ) + ( - 12,6 ) = Voir réponses page suivante LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 11

13 RÉPONSES 1 er calcul ( + 7 ) + ( - 4 ) =? Les signes sont différents ; il faut donc soustraire les valeurs absolues 7-4 = 3 puis comparer les valeurs absolues 7 > 4 Le signe obtenu est celui du nombre 7 c'est-à-dire + Résultat : ( + 7 ) + ( - 4 ) = ème calcul ( + 11 ) + ( + 13 ) =? Les signes sont les mêmes ; il faut donc additionner les valeurs absolues = 24 Le signe obtenu est le signe commun aux deux nombres c'est-à-dire + Résultat : ( + 11 ) + ( + 13 ) = + 24 De même pour les autres exercices : ( - 15 ) + ( - 12 ) = - 27 ( - 3,7 ) + ( + 1,7 ) = - 2 ( ) + ( ) = ( + 4,4 ) + ( + 1,6 ) = + 6 ( - 120,3 ) + ( - 205,8 ) = - 326,1 ( - 17,5 ) + ( + 53 ) = + 35,5 ( - 47 ) + ( + 25 ) = - 22 ( + 7,5 ) + ( - 12,6 ) = - 5,1 LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 12

14 IV - PROBLÈMES Problème 1 Convention : une hausse ( une augmentation ) sera affectée du signe + une baisse ( une diminution ) sera affectée du signe - En tenant compte de cette convention traduisez les énoncés suivants à l'aide d'une opération sur les nombres relatifs et interprétez les résultats. Exemple : Sur la vente d'un téléviseur, on constate : a) une hausse de prix de 13,5, suivie d'une baisse de 8. Cette phrase peut se traduire par : ( + 13,5 ) + ( - 8 ) = ( + 5,5 ) hausse baisse hausse Le prix du téléviseur a donc subi en tout une hausse de 5,5. Faites de même pour : b) une baisse de 17,5 suivie d'une hausse de 2,8 c) deux baisses successives de 8,3 et 12,5 d) une baisse de 3,2 suivie d'une hausse de 9 Voir réponses page 16 LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 13

15 Problème 2 La température relevée un matin d'hiver est de - 5 C. Le lendemain, la température a augmenté de 1,5 C. Quelle est alors cette température? Problème 3 ( d'après exercice CUEEP ) Ma cave fait 20 de plus que mon congélateur qui affiche -18 C. Elle a aussi 15 de moins que mon appartement. Quelle est la température de mon appartement? Voir réponses pages 16 et 17 LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 14

16 Problème 4 Calculer le bilan des opérations bancaires suivantes. Convention : le crédit est affecté du signe + le débit est affecté du signe - a) crédit 140,25 ; débit 115,35 b) crédit 815,12 ; débit 100,18 c) débit 200,15 ; débit 318,25 d) débit 112,02 ; crédit 42,50 Voir réponses page 17 LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 15

17 RÉPONSES Problème 1 b) une baisse de 17,5 suivie d'une hausse de 2,8 ( - 17,5 ) + ( + 2,8 ) = ( - 14,7 ) baisse hausse baisse Le prix du téléviseur a subi une baisse de 14,7 c) deux baisses successives de 8,3 et 12,5 ( - 8,3 ) + ( - 12,5 ) = ( - 20,8 ) baisse baisse baisse Le prix du téléviseur a subi une baisse de 20,8 d) une baisse de 3,2 suivie d'une hausse de 9 ( - 3,2 ) + ( + 9 ) = ( + 5,8 ) baisse hausse hausse Le prix du téléviseur a subi une hausse de 5,8 Problème 2 La température relevée un matin d'hiver est de - 5 C. Le lendemain, la température a augmenté de 1,5 C. Quelle est alors cette température? ( - 5 ) + ( + 1,5 ) = ( - 3,5 ) La température relevée est - 3,5 C LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 16

18 Problème 3 (d'après exercice CUEEP) Ma cave fait 20 de plus que mon congélateur qui affiche -18 C. Elle a aussi 15 de moins que mon appartement. Quelle est la température de mon appartement? Appartement 15 graduations Cave 20 graduations Ma cave fait 20 de plus que mon congélateur c'est-à-dire : ( - 18 ) + ( + 20 ) = ( + 2 ) La température de ma cave est de 2 C. Mon appartement fait 15 de plus que ma cave soit : ( + 2 ) + ( + 15 ) = ( + 17 ) Mon appartement est à 17 C. -18 Congélateur Problème 4 Calculer le bilan des opérations bancaires suivantes : a) crédit 140,25 débit 115,35 ( + 140,25 ) + ( - 115,35 ) = ( + 24,90 ) soit un crédit de 24,90 b) crédit 815,12 débit 100,18 ( + 815,12 ) + ( - 100,18 ) = ( + 714,94 ) soit un crédit de 714,94 c) débit 200,15 débit 318,25 ( - 200,15 ) + ( - 318,25 ) = ( - 518,40 ) soit un débit de 518,40 d) débit 112,02 crédit 42,50 ( - 112,02 ) + ( + 42,50 ) = ( - 69,52 ) soit un débit de 69,52 Très bien! Passons à la suite LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 17

19 SOUSTRACTION DE NOMBRES RELATIFS Chapitre 2 Avant d'aborder les soustractions, définissons des nombres relatifs opposés. I - NOMBRES RELATIFS OPPOSÉS Des nombres relatifs opposés sont des nombres relatifs qui ont : et - même valeur absolue - des signes contraires : l un positif, l autre négatif. Exemples : Les nombres ( + 3 ) et ( - 3 ) sont des nombres relatifs opposés. Les valeurs absolues de ces 2 nombres sont égales mais leurs signes sont contraires. De même : ( + 7,6 ) et ( - 7,6 ) sont des nombres opposés ; ( - 435,003 ) et ( + 435,003 ) sont des nombres opposés ; ( ) et ( ) sont aussi des nombres opposés. Remarque : Calculons ( + 4 ) + ( - 4 ) Les signes sont contraires, on soustrait donc les valeurs absolues : 4-4 = 0 donc ( + 4 ) + ( - 4 ) = 0 La somme de deux nombres relatifs opposés est égale à zéro. LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 18

20 Exercice 1 Complétez les tableaux suivants comme dans l exemple : exemple Nombre ,82 Nombre opposé ,6 + 5,1 Nombre ,35 Nombre opposé + 5, ,1 Exercice 2 Complétez les égalités suivantes : ( - 14 ) + ( ) = 0 ( + 25,59 ) + ( ) = 0 ( ) + ( - 0,81 ) = 0 ( ) + ( ) = 0 ( ) + ( ) = 0 ( ) + ( ,01 ) = 0 Voir réponses page suivante LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 19

21 RÉPONSES Exercice 1 Complétez les tableaux suivants comme dans l exemple : Nombre ,6-15,82-5,1 Nombre opposé ,6 + 15,82 + 5,1 «0» n a pas de signe, il est donc son propre opposé!!! Nombre , ,1-7,35 Nombre opposé , ,1 + 7,35 Exercice 2 Complétez les égalités suivantes : ( - 14 ) + ( + 14 ) = 0 ( + 25,59 ) + ( - 25,59 ) = 0 ( + 0,81 ) + ( - 0,81 ) = 0 ( ) + ( ) = 0 ( ) + ( ) = 0 ( ,01 ) + ( ,01 ) = 0 Très bien! Passons à la suite!! LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 20

22 II - SOUSTRACTION DE NOMBRES RELATIFS Exemple : 1 ) A 9 heures du matin, on a relevé une température de 3 C. A midi, le thermomètre indique 7 C. Quel est l'écart de températures observé entre ces 2 relevés? A RETENIR : L écart de températures est de 4 C ce qui correspond à : 7-3 = 4 température température écart de finale - initiale = températures Pour calculer un écart de températures, on effectue l opération suivante : température finale - température initiale 2 ) Ce matin là, à 6 heures, on avait relevé une température de - 3 C. Quel est l'écart de températures observé entre 6 heures et midi? Plaçons sur un axe gradué ces deux températures. à 6 heures à midi - 3 C 0 C + 7 C l écart de températures est de 10 C ce qui correspond à 10 graduations : - 3 C 0 C + 7 C nombre de graduations Pour résoudre ce problème par le calcul, utilisons la formule définie précédemment : température température écart de finale - initiale = températures ( + 7 ) - ( - 3 ) = ( + 10 ) Soustraire le nombre ( - 3 ) au nombre ( + 7 ), revient à ajouter l opposé de ( - 3 ) à ( + 7 ). Ainsi : ( + 7 ) - ( - 3 ) = ( + 7 ) + ( + 3 ) = ( + 10 ) LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 21

23 Appliquons cette méthode aux soustractions suivantes : ( + 5 ) - ( + 4 ) =? à ( + 5 ) on ajoute l'opposé de ( + 4 ) soit ( - 4 ) ( + 5 ) - ( + 4 ) = ( + 5 ) + ( - 4 ) = ( + 1 ) ( + 5 ) - ( + 4 ) = ( + 1 ) ( - 7 ) - ( + 2 ) =? à ( - 7 ) on ajoute l'opposé de ( + 2 ) soit ( - 2 ) ( - 7 ) - ( + 2 ) = ( - 7 ) + ( - 2 ) = ( - 9 ) ( - 7 ) - ( + 2 ) = ( - 9 ) ( - 8 ) - ( - 6 ) =? à ( - 8 ) on ajoute l'opposé de ( - 6 ) soit ( + 6 ) ( - 8 ) - ( - 6 ) = ( - 8 ) + ( + 6 ) = ( - 2 ) ( - 8 ) - ( - 6 ) = ( - 2 ) A RETENIR : Pour soustraire un nombre relatif d un autre, on ajoute son opposé. LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 22

24 Récapitulatif if ADDITION DE DEUX NOMBRES RELATIFS 2 possibilités Nombres de mêmes signes Nombres de signes différents Cas n 1 ( + 7 ) + ( + 3 ) =? Cas n 2 ( + 5 ) + ( - 2 ) =? Cas n 3 ( - 4 ) + ( - 8 ) =? Cas n 4 ( - 3 ) + ( + 1 ) =? On additionne les valeurs absolues On garde le signe commun On soustrait les valeurs absolues On garde le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue Cas n = 10 Cas n = 3 ( + 7 ) + ( + 3 ) = ( + 10 ) ( + 5 ) + ( - 2 ) = ( + 3 ) Cas n = 12 Cas n = 2 ( - 4 ) + ( - 8 ) = ( - 12 ) ( - 3 ) + ( + 1 ) = ( - 2 ) SOUSTRACTION DE DEUX NOMBRES RELATIFS ( 12 ) - ( - 9 ) devient ( 12 ) + ( + 9 ) ( 5,8 ) - ( + 3,74 ) devient ( 5,8 ) + ( - 3,74 ) Exemples : ( + 7 ) - ( - 3 ) = ( + 7 ) + ( + 3 ) ( cas n 1 ) ( + 5 ) - ( + 2 ) = ( + 5 ) + ( - 2 ) ( cas n 2 ) LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 23

25 Maintenant à vous! Exercice 1 : Exemple : ( + 13 ) - ( + 31 ) = ( + 13 ) + ( - 31 ) = ( - 18 ) Calculez de la même façon : ( - 9 ) - ( - 6 ) = ( + 7 ) - ( - 8 ) = ( - 12 ) - ( + 5 ) = ( + 1,3 ) - ( - 4 ) = ( - 25 ) - ( - 30 ) = ( + 15,18 ) - ( + 18,91 ) = ( - 140,05 ) - ( - 119,92 ) = ( ) - ( ) = ( - 410,48 ) - ( + 402,28 ) = ( + 14 ) - ( - 12,14 ) = Voir réponses page 26 LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 24

26 Exercice 2 : ( d'après exercice CUEEP ) Parmi les écritures suivantes encadrez celles qui sont exactes : a) ( ) - ( ) = ( + 51 ) b) ( ) - ( ) = ( + 59 ) c) ( - 30 ) - ( - 69 ) = ( + 39 ) d) ( - 69 ) - ( - 30 ) = ( + 39 ) e) ( - 63 ) - ( - 14 ) = ( + 77 ) f) ( + 14 ) - ( - 63 ) = ( + 77 ) g) ( - 44 ) - ( ) = ( + 57 ) h) ( - 10 ) - ( + 54 ) = ( + 64 ) Voir réponses page 26 LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 25

27 RÉPONSES Exercice 1 ( - 9 ) - ( - 6 ) = ( - 9 ) + ( + 6 ) = ( - 3 ) ( + 7 ) - ( - 8 ) = ( + 7 ) + ( + 8 ) = ( + 15 ) ( - 12 ) - ( + 5 ) = ( - 12 ) + ( - 5 ) = ( - 17 ) ( + 1,3 ) - ( - 4 ) = ( + 1,3 ) + ( + 4 ) = ( + 5,3 ) ( - 25 ) - ( - 30 ) = ( - 25 ) + ( + 30 ) = ( + 5 ) ( + 15,18 ) - ( + 18,91 ) = ( + 15,18 ) + ( - 18,91 ) = ( - 3,73 ) ( - 140,05 ) - ( - 119,92 ) = ( - 140,05 ) + ( + 119,92 ) = ( - 20,13 ) ( ) - ( ) = ( ) + ( ) = ( ) ( - 410,48 ) - ( + 402,28 ) = ( - 410,48 ) + ( - 402,28 ) = ( - 812,76 ) ( + 14 ) - ( - 12,14 ) = ( + 14 ) + ( + 12,14 ) = ( + 26,14 ) Exercice 2 : ( d'après exercice CUEEP ) Parmi les écritures suivantes encadrez celles qui sont exactes a) ( ) - ( ) = ( + 51 ) Exacte b) ( ) - ( ) = ( + 59 ) Fausse c) ( - 30 ) - ( - 69 ) = ( + 39 ) Exacte d) ( - 69 ) - ( - 30 ) = ( + 39 ) Fausse e) ( - 63 ) - ( - 14 ) = ( + 77 ) Fausse f) ( + 14 ) - ( - 63 ) = ( + 77 ) Exacte g) ( - 44 ) - ( ) = ( + 57 ) Exacte h) ( - 10 ) - ( + 54 ) = ( + 64 ) Fausse Très bien! Passons à la suite!! LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 26

28 III - PROBLÈMES Problème 1 Sur la lune, les régions exposées au soleil atteignent une température de 117,3 C ; les régions non exposées : - 50 C ; quant à la face non éclairée, sa température atteint - 162,7 C. Calculer les écarts de températures suivants : a) entre la température la plus haute et la température la plus basse b) entre la température des régions non exposées au soleil et celle de la face non éclairée de la lune c) entre la température des régions exposées au soleil et celle des régions non exposées Voir réponses pages 29 et 30 LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 27

29 Problème 2 : Un peu d'histoire! Calculer la durée des trois périodes romaines suivantes : Rome Etrusque : de 753 avant J-C à 509 avant J-C Rome Républicaine : de 509 avant J-C à 30 avant J-C Rome Impériale : de 30 avant J-C à 358 après J-C ( Remarque : durée d une période = année finale - année initiale ) Problème 3 : A propos de dates de naissance! VERCINGÉTORIX avait douze ans en : - 60 EUCLIDE avait trente ans en : CÉSAR avait un an en : - 99 CHARLEMAGNE avait cinquante-huit ans en : 800 PYTHAGORE avait vingt ans en : MOZART avait quatorze ans en : Calculez leur date de naissance. Voir réponses pages 30 et 31 LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 28

30 RÉPONSES Problème 1 Sur la lune, les régions exposées au soleil atteignent une température de 117,3 C ; les régions non exposées : - 50 C ; quant à la face non éclairée, sa température atteint - 162,7 C. Calculer les écarts de températures suivants : a) entre la température la plus haute et la température la plus basse la plus basse la plus élevée - 162,7 C 0 C + 117,3 C écart ( + 117,3 ) - ( - 162,7 ) = ( + 117,3 ) + ( + 162,7 ) = L'écart entre les deux températures extrêmes est 280 C. b) entre la température des régions non exposées au soleil et celle de la face non éclairée de la lune - 162,7 C - 50 C 0 C écart ( - 50 ) - ( - 162,7 ) = ( - 50 ) + ( + 162,7 ) = + 112,7 L'écart de températures entre la température des régions non exposées au soleil et celle de la face non éclairée est 112,7 C. LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 29

31 c) entre la température des régions exposées au soleil et celle des régions non exposées - 50 C 0 C + 117,3 C écart ( + 117,3 ) - ( - 50 ) = ( + 117,3 ) + ( + 50 ) = + 167,3 L'écart de températures entre la température des régions exposées au soleil et celle des régions non exposées est 167,3 C. Problème 2 : Un peu d'histoire! Calculer la durée des trois périodes romaines suivantes : Rome Etrusque Rome Républicaine Rome Impériale Durée de la Rome Etrusque : ( ) - ( ) = ( ) + ( ) = ( ) La Rome Etrusque a duré 244 ans Durée de la Rome Républicaine : ( - 30 ) - ( ) = ( - 30 ) + ( ) = ( ) La Rome Républicaine a duré 479 ans Durée de la Rome Impériale : ( ) - ( - 30 ) = ( ) + ( + 30 ) = ( ) La Rome Impériale a duré 388 ans LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 30

32 Problème 3 : A propos de dates de naissance! VERCINGÉTORIX avait douze ans en - 60 EUCLIDE avait trente ans en CÉSAR avait un an en - 99 CHARLEMAGNE avait cinquante-huit ans en 800 PYTHAGORE avait vingt ans en MOZART avait quatorze ans en Calculez leur date de naissance. Vercingétorix : ( - 60 ) - ( + 12 ) = ( - 60 ) + ( - 12 ) = ( - 72 ) Vercingétorix est né en 72 avant J-C ( Jésus-Christ ) Euclide : ( ) - ( + 30 ) = ( ) + ( - 30 ) = ( ) Euclide est né en 323 avant J-C César : ( - 99 ) - ( + 1 ) = ( - 99 ) + ( - 1 ) = ( ) César est né en 100 avant J-C Charlemagne : ( ) - ( + 58 ) = ( ) + ( - 58 ) = ( ) Charlemagne est né en 742 après J-C Pythagore : ( ) - ( + 20 ) = ( ) + ( - 20 ) = ( ) Pythagore est né en 580 avant J-C Mozart : ( ) - ( + 14 ) = ( ) + ( - 14 ) = ( ) Mozart est né en après J-C LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 31

33 ADDITIONNER PLUSIEURS NOMBRES RELATIFS Chapitre 3 Commençons par un exercice résolu : Calculer : A = ( + 7,2 ) + ( - 9 ) + ( + 8 ) + ( - 14,5 ) + ( + 6,3 ) + ( - 8 ) 1) D'abord, on repère si l'addition comporte des nombres opposés : En effet, ( + 8 ) et ( - 8 ) sont deux nombres opposés. Or on sait que ( + 8 ) + ( - 8 ) = 0 donc A devient : A = ( + 7,2 ) + ( - 9 ) + ( - 14,5 ) + ( + 6,3 ) 2) On additionne les nombres positifs entre eux : ( + 7,2 ) + ( + 6,3 ) = ( + 13,5 ) 3) puis les nombres négatifs entre eux : ( - 9 ) + ( - 14,5 ) = ( - 23,5 ) d'où A = ( + 13,5 ) + ( - 23,5 ) 4) Cela revient enfin à additionner 2 nombres relatifs : A = ( + 13,5 ) + ( - 23,5 ) A = - 10 A = ( + 7,2 ) + ( - 9 ) + ( + 8 ) + ( - 14,5 ) + ( + 6,3 ) + ( - 8 ) = - 10 LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 32

34 Maintenant à vous! Calculez les sommes suivantes : A = ( - 2,5 ) + ( + 6 ) + ( - 7 ) + ( + 2,5 ) + ( + 11 ) + ( - 18 ) B = ( + 8,3 ) + ( - 12 ) + ( - 21 ) + ( + 9,2 ) + ( + 12 ) + ( - 6 ) C = ( + 6,7 ) + ( + 5 ) + ( - 9,3 ) + ( + 3,8 ) + ( - 10,7 ) + ( + 5 ) D = ( + 12 ) + ( - 15 ) + ( + 7 ) + ( - 27 ) + ( + 4 ) E = ( + 14,8 ) + ( + 6 ) + ( - 9,3 ) + ( + 3,7 ) + ( - 0,7 ) + ( + 6 ) F = ( - 3,5 ) + ( + 5 ) + ( - 8 ) + ( + 3,5 ) + ( + 14 ) + ( - 18 ) G = ( + 7,4 ) + ( - 14 ) + ( - 19 ) + ( + 10,3 ) + ( + 13 ) + ( - 6 ) Voir réponses page 34 LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 33

35 RÉPONSES A = ( - 2,5 ) + ( + 6 ) + ( - 7 ) + ( + 2,5 ) + ( + 11 ) + ( - 18 ) ( - 2,5 ) + ( + 2,5 ) = 0 A = ( + 6 ) + ( - 7 ) + ( + 11 ) + ( - 18 ) nombres positifs : ( + 6 ) + ( + 11 ) = ( + 17 ) nombres négatifs : ( - 7 ) + ( - 18 ) = ( - 25 ) A = ( + 17 ) + ( - 25 ) A = ( - 8 ) B = ( + 8,3 ) + ( - 12 ) + ( - 21 ) + ( + 9,2 ) + ( + 12 ) + ( - 6 ) nombres positifs : ( + 8,3 ) + ( + 9,2 ) + ( + 12 ) = ( + 29,5 ) nombres négatifs : ( - 12 ) + ( - 21 ) + ( - 6 ) = ( - 39 ) B = ( + 29,5 ) + ( - 39 ) B = ( - 9,5 ) C = ( + 6,7 ) + ( + 5 ) + ( - 9,3 ) + ( + 3,8 ) + ( - 10,7 ) + ( + 5 ) C = ( + 20,5 ) + ( - 20 ) C = ( + 0,5 ) D = ( + 12 ) + ( - 15 ) + ( + 7 ) + ( - 27 ) + ( + 4 ) D = ( + 23 ) + ( - 42 ) D = ( - 19 ) E = ( + 14,8 ) + ( + 6 ) + ( - 9,3 ) + ( + 3,7 ) + ( - 0,7 ) + ( + 6 ) E = ( + 30,5 ) + ( - 10 ) E = ( + 20,5 ) F = ( - 3,5 ) + ( + 5 ) + ( - 8 ) + ( + 3,5 ) + ( + 14 ) + ( - 18 ) ( - 3,5 ) + ( + 3,5 ) = 0 F = ( + 5 ) + ( - 8 ) + ( + 14 ) + ( - 18 ) F = ( + 19 ) + ( - 26 ) F = ( - 7 ) G = ( + 7,4 ) + ( - 14 ) + ( - 19 ) + ( + 10,3 ) + ( + 13 ) + ( - 6 ) G = ( + 30,7 ) + ( - 39 ) G = ( - 8,3 ) Fin LES NOMBRES RELATIFS - Addition et soustraction - Dossier n 2 34

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