EDSR et EDSPR avec grossissement de filtration, problèmes d asymétrie d information et de couverture sur les marchés financiers

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1 UNIVERSITE PAUL SABATIER TOULOUSE III U.F.R Mahémaique Informaique Gesion THÈSE présenée e souenue publiquemen le 7 décembre 25 pour l obenion du Docora de l Universié Paul Sabaier TOULOUSE III mahémaiques appliquées par Anne EYRAUD-LOISEL EDSR e EDSPR avec grossissemen de filraion, problèmes d asymérie d informaion e de couverure sur les marchés financiers Composiion du jury Présiden : Eienne PARDOUX Professeur Universié de Provence Rapporeurs : Shige PENG Professeur Universié de Shandong, Chine Marin SCHWEIZER Professeur Universié ETH Zürich, Suisse Examinaeurs : Ying HU Professeur Universié Rennes 1 Monique JEANBLANC Professeur Universié Evry Val d Essonne Jean-Paul LAURENT direceur de hèse Professeur Universié Lyon 1 Monique PONTIER direcrice de hèse Professeur Universié Toulouse 3

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3 Remerciemens Commen ne pas commencer ces remerciemens par un hommage à mon premier direceur de hèse, Axel Grorud, qui fu à l origine de ce suje, e de mon arai pour la recherche. Je ne connaissais pas Axel depuis rès longemps, e pouran, il m a marquée comme si je le connaissais depuis oujours. Je n ai commencé à ravailler avec lui qu en éé 21, pour mon sage de DEA. Comme ous ceux qui on eu le plaisir de le côoyer, j ai pu consaer à quel poin il éai aachan, aenionné e surou profondémen genil. Plus que de diriger mon sage de DEA, puis le débu de ma hèse, plus que de m iniier aux mahémaiques financières, au grossissemen de filraion, e aux problèmes d iniiés, il a éé e resera pour moi un modèle. Il m a ransmis sa curiosié, son enrain, e m a appris que les qualiés humaines son primordiales dans nore méier. Il m a donné le goû de la recherche, e c es lui qui m a donné envie de coninuer dans cee voie. Je voudrais exprimer ici ous mes regres pour sa dispariion si bruale, e le vide qu il a laissé. J espère coninuer ce que nous avions commencé ensemble, avec cee hèse ou d abord, puis en coninuan à creuser oues les idées don nous avons pu discuer ensemble. Je suis infinimen reconnaissane envers Monique Ponier, qui m a recueillie sous son aile, qui a accepé sponanémen de reprendre la direcion de ma hèse, e qui m a conseillée, suivie, souenue. Elle m a aidée à rerouver l envie de ravailler, me poussan parfois quand j en ai eu besoin. Il n es pas facile de reprendre des ravaux en cours de roue, ni de suivre le ou à disance, mais elle a oujours répondu présene. J aimerais lui exprimer ici oue mon admiraion e ma graiude, e la remercier de la confiance qu elle m a accordée. Je iens égalemen à remercier Jean-Paul Lauren, qui a encadré la parie financière de cee hèse. Je enais à concilier la parie mahémaique avec le côé inerpréaion financière, e j ai beaucoup apprécié nos échanges. Sa connaissance encyclopédique es impressionnane, e nos discussions on oujours éé rès producives. Je suis rès honorée que les professeurs Marin Schweizer e Shige Peng aien accepé d êre les rapporeurs de cee hèse. Je les remercie vivemen pour le ravail que cela leur a demandé. Les quesions e les échanges que nous avons pu avoir avec Marin Schweizer m on permis de préciser e d améliorer un cerain nombre de poins, e je lui en suis exrêmemen reconnaissane. J ai éé rès ouchée égalemen par l accueil chaleureux e les échanges pariculièremen enrichissans que j ai pu avoir avec Shige Peng à Shanghaï. Je suis égalemen rès reconnaissane envers Monique Jeanblanc, Eienne Pardoux e Ying Hu pour avoir accepé de pariciper au jury. Je les remercie pour ou le emps qu ils m on consacré ou au long de ma hèse, e pour leur souien. Cee hèse n aurai pas éé la même si je n avais pas fai la connaissance de Manuela Royer, qui m a permis de connaîre les joies de la collaboraion scienifique avec les aricles que nous écrivons, mais aussi les plaisirs de la cohabiaion au bureau. Je la remercie pour i

4 sa genillesse, e pour son invesissemen à l ISFA. Je remercie égalemen Caroline Hillaire, Chrisophee Blanche, Fabrice Baudoin, Laure Couin e Diana Dorobanu pour leur amiié e le goû qu ils m on donné du ravail en équipe, avec nore groupe de ravail iniié par Axel e coninué par Monique. J espère que nos collaboraions coninueron e seron frucueuses. Un énorme merci à oue l équipe de l ISFA : à Nicolas, Jean-Claude e Daniel pour leur souien e leurs encouragemens, à oue l équipe adminisraive, MariJo, Diane, Marie-Claude, Marie, Michèle e Maria pour leur genillesse e leur disponibilié, à Alexis e Didier pour les pireries du bureau d à côé, à Pierre R. pour ses conseils avisés en anglais, à Axelle pour son amiié e ses cours de droi, à Frédéric e Pierre T. pour avoir su allier vie professionnelle e vie de laboraoire, mais aussi à ous les aures, pour l ambiance chaleureuse qui y règne, pour ou le souien e la confiance qu ils m on porés ces dernières années. J ai beaucoup appris, e je mesure la chance que j ai eue d êre inégrée dans une équipe si sympahique e dynamique. Je remercie égalemen ous mes éudians qui, consciemmen ou inconsciemmen, par leurs quesions ou leurs commenaires, m on permis de progresser, e m on surou donné le goû de l enseignemen. Je n oublierai jamais les discussions, maheuses ou non, oujours frucueuses que j ai paragées avec Jean-Bapise, Guillaume, Assia, Glenn, Mahias e bien d aures. E j ai une pensée encore plus pariculière pour mes deux copines, Aurélie e Claire, oujours à l écoue e incondiionnels souiens, e pour mes copains de oujours, Alexi, Fred, Anoine e Axel. Je n aurais pas pu arriver jusque là sans l équilibre, la chaleur, le souien e le bonheur dans lequel j ai vécu, merci Maman, Papa, Audrey e Chriselle, mais aussi Régine, Jean e ous ceux qui on si bien su m enourer. E puis, l ISFA, c es un peu une radiion dans la famille! E enfin, merci n es qu un pei mo pour exprimer à Séphane ou ce que je lui dois après 9 ans de parage, d équilibre, de bonheur e d amour. Merci d avoir supporé mes coups de gueule, d avoir su gérer mon sress sans cesse sollicié, e d avoir réussi à me faire rire même dans les momens difficiles. ii

5 à Axel. iii

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7 Table des maières Srucure du documen 1 Inroducion générale 3 Inroducion 5 Principaux résulas e publicaions 11 1 EDSR e grossissemen iniial de filraion EDSPR e grossissemen iniial de filraion EDSR à horizon aléaoire e grossissemen de filraion Parie I EDSR e grossissemen iniial de filraion 19 Chapire 1 Backward Sochasic Differenial Equaions wih Enlarged Filraion 1.1 Mahemaical Model v

8 Table des maières 1.2 BSDE under hypohesis H Exisence and Uniqueness Theorem Comparison of he soluions Viabiliy and compleeness of he insider marke BSDE under hypohesis H Exisence and Uniqueness Theorem Inroducion of jump processes Exended model BSDE wih jumps Under hypohesis H Under hypohesis H Sudy of an example of L Inroducion of a Poisson measure The model Exisence and uniqueness BSDE under H 3 : Adapaion of he Exisence and Uniqueness Theorem Parie II EDSPR e grossissemen iniial de filraion 45 Chapire 2 Théorème d exisence e d unicié de soluions d EDSPR sous filraion grossie 2.1 Présenaion du problème Modèle de marché brownien Invesisseur influen informé Soluion d EDSPR grossie EDSPR à résoudre, hypohèses Espace des soluions vi

9 2.2.3 Lemmes de majoraion Exisence e Unicié de la soluion de l équaion progressive Conracions Borne sur la richesse Inerpréaion financière Chapire 3 Agen influen e informé : Couverure en marché incomple 3.1 Inroducion d un agen non informé Sraégie de couverure e décomposiion de Kunia-Waanabe Formule de Clark-Ocone Risque résiduel Expression du risque résiduel sous une probabilié neure au risque de Q N Expression du risque résiduel sous une probabilié neure au risque de Q Exisence d une mesure maringale minimale Exemple Cas sans influence Cas avec influence Parie III EDSR à horizon aléaoire e grossissemen iniial 15 Chapire 4 EDSR à horizon aléaoire e grossissemen iniial 4.1 Inroducion Model Financial Moivaion Mahemaical formulaion vii

10 Table des maières 4.3 BSDE wih random erminal ime under enlarged filraion Sopping ime a.s. bounded by T < T Sopping ime a.s. sricly bounded by T Financial Inerpreaion Examples Hedging by an informed agen Conclusion Conclusion 127 Bibliographie 129 Résumé 141 Absrac 142 viii

11 Srucure du documen Cee hèse es consiuée d un premier aricle en anglais publié dans Sochasic Processes and heir Applicaions, e de deux aures paries, qui on égalemen donné lieu à des aricles en cours de rédacion ou de soumission. La dernière parie es un ravail, en anglais, effecué en collaboraion avec Manuela Royer. Ces ravaux son précédés d une inroducion générale desinée à les replacer dans leur conexe, e non à fournir une revue exhausive du suje. Enre l inroducion e le corps de la hèse, les principaux résulas obenus son résumés e le plan de la hèse ainsi précisé. 1

12 Srucure du documen 2

13 Inroducion générale 3

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15 Inroducion L obje de cee hèse es l éude des équaions différenielles sochasiques rérogrades EDSR e progressives-rérogrades EDSPR avec grossissemen de filraion, moivée ou d abord par l éude mahémaique e probabilise des marchés financiers en présence d asymérie d informaion. C es pourquoi il me semble imporan de commencer cee inroducion par quelques noions financières afin d expliquer le conexe ainsi que les moivaions de ce ravail, avan d en présener les principaux résulas. L acualié regorge de cas d oreilles indiscrèes raînan au sorir de réunions décisionnelles. Un cas récen daan de juin 25 illusre parfaiemen ce que l on enend par déli d iniié. Les soupçons poren sur des réunions de la Commission Européenne concernan le racha du groupe indusriel français Pechiney par le canadien Alcan en 23. De gros monans auraien éé invesis au sorir de ces réunions e avan l annonce officielle des décisions. L alere a éé déclenchée à cause des volumes de ires échangés : un volume bien supérieur aux ransacions habiuellemen enregisrées sur le ire Pechiney e concenré sur quelques séances de Bourse seulemen. Même si cela ne consiue pas une preuve direce, e si une enquêe poussée es oujours nécessaire, l éude mahémaique e la surveillance des marchés financiers fourni des bases de comparaison permean dans des cas comme celui-ci de donner l alere concernan des cas supposés de déli d iniié. C es l une des moivaions de l éude mahémaique des marchés financiers avec asymérie d informaion. Si l on s inéresse au poin de vue des économises, le modèle généralemen uilisé es celui de la concurrence pure e parfaie. Ce modèle fai l hypohèse que les agens son bien informés, ou pluô parfaiemen informés. Cependan, malgré leur diversié e leur efficacié, les modèles en concurrence pure e parfaie ne reflèen pas de manière saisfaisane la réalié. La principale raison à cela es que l informaion des agens économiques es imparfaie, ou plus précisémen qu il exise de l asymérie d informaion. Le prix es le principal veceur d informaion publique. D aures indices peuven apporer des informaions en parallèle, comme les volumes échangés par exemple, mais nous ne iendrons ici pas compe de ces élémens informaifs exogènes aux prix dans l informaion publiquemen disponible. En effe, dans ou nore ravail, l informaion générale publique sera supposée êre celle engendrée par les processus de prix. Par ailleurs, il peu exiser de nombreuses formes d informaion supplémenaire exérieure, ou informaion privée, puisqu elle n es pas du domaine de l informaion publiquemen disribuée à la oalié des agens du marché. De manière légale, ce ype d informaion es appelée 5

16 Inroducion informaion privilégiée, e es définie dans le règlemen général de l Auorié des Marchés Financiers livre VI - Abus de marché : Opéraions d iniiés e manipulaions de marché, comme "une informaion précise qui n a pas éé rendue publique, qui concerne, direcemen ou indirecemen, un ou plusieurs émeeurs d insrumens financiers, ou un ou plusieurs insrumens financiers, e qui si elle éai rendue publique, serai suscepible d avoir une influence sensible sur le cours des insrumens financiers concernés ou le cours d insrumens financiers qui leur son liés". Le déli d iniié, vériable abus dans le foncionnemen des marchés financiers, consise en une uilisaion de ce ype d informaions sur le fuur, auxquelles on n aurai pas dû avoir accès, ou bien que l on n aurai pas dû uiliser. L uilisaion comme la communicaion d informaions privilégiées es un déli, soumis au sysème répressif français, e es assori de sancions pénales e adminisraives pouvan aller jusqu à une peine de prison de 2 ans, e une amende de 2 millions d euros. Ce ype de considéraion juridique nous révèle l uilié d un service de surveillance comme l Auorié des Marchés Financiers en France, afin de pouvoir déecer de els abus sur les marchés financiers. Ainsi apparaî l inérê de la modélisaion mahémaique dans ce domaine, don l un des bus pourrai êre l élaboraion de ess saisiques de déecion, basés sur la comparaison des sraégies d un iniié avec celles d un non iniié. Ces ess permeraien de mere en évidence des sraégies de gesion inhabiuelles e donc des comporemens suspecs moivés par la déenion d une informaion privilégiée. C es ce ype de es qu on développé A. Grorud e M. Ponier en 1998 [GP98], es qui a par la suie éé uilisé e mis en praique par un élève de Maria Elvira Mancino, dans son mémoire de maser en 24 pour monrer que cerains scandales ialiens de délis d iniiés célèbres comme celui de Parmala, auraien pu êre déecés plus ô grâce à l uilisaion d un el es. Depuis la hèse de Louis Bachelier en 19 sur la héorie de la spéculaion [BAC] jusqu au modèle de couverure d opions développé par F. Black, M. Scholes e R. Meron en 1972 [BS72, BS73], e par la suie dans la grande majorié des problèmes de calcul sochasique appliqué à la finance, une des hypohèses fondamenales es l homogénéié des informaions disponibles parmi les agens sur le marché. Cee homogénéié n es pouran pas l exac refle de la réalié. En effe, il exise sur le marché plusieurs ypes d agens, don les informaions disponibles diffèren. On parle alors d informaion parielle ou encore d informaion asymérique. Comme le fai remarquer Kerry Back dans [BAC4], le erme d informaion parielle peu s enendre de deux manières : informaion incomplèe, ou encore informaion supplémenaire. D une par l éude d un cadre avec informaion incomplèe peu se faire comme applicaion de la héorie du filrage voir le cours de l Ecole d Eé de Probabiliés de Sain- Flour sur le filrage non linéaire de E. Pardoux [PAR91]. De nombreux ravaux raien du problème d observaion parielle, comme ceux de D. Lefèvre, F. Biagini, B. Øksendal e A. Sulem [LØS1, ØS4, BØSW4], ou encore J.-M. Laskri e P.-L. Lions [LL99], ou pour un poin de vue plus économique e srucurel, on peu se référer à l aricle de D. Duffie e D. Lando [DL1]. Dans cee opique, on par de la filraion pour laquelle les processus son adapés, e on suppose que les invesisseurs on accès uniquemen à une parie de cee informaion. D aure par l éude avec informaion supplémenaire, le plus souven uilisée pour la modélisaion du déli d iniié, es une applicaion de la héorie 6

17 du grossissemen de filraion. Cee fois, le poin de dépar es la filraion dans laquelle cerains processus comme les prix ou les rendemens son adapés, e on suppose que l invesisseur possède une informaion supplémenaire, ce qui revien à grossir la filraion représenan son informaion disponible. Même si à première vue les conceps comme les ouils uilisés son assez différens e éloignés, nous aurons l occasion de voir dans cee hèse que souven ces deux aspecs son foremen liés. Nous avons choisi dans cee hèse de modéliser l asymérie d informaion comme informaion supplémenaire, c es-à-dire d uiliser des méhodes de grossissemen de filraion. Ce ouil de calcul sochasique a éé développé au débu des années 198, par J. Jacod, T. Jeulin, M. Yor e l école française de probabiliés dans une série de ravaux du "Séminaire de Calcul Sochasique 1982/1983" de l Universié de Paris VI [JAC85, JEU79, JY85, YOR78], puis repris vers la fin des années 199 pour des applicaions à la finance e à la modélisaion de la présence d asymérie d informaion sur les marchés financiers. De nombreuses éudes, uilisan le grossissemen de filraion, on éé menées en présence d asymérie d informaion noammen pour résoudre des problèmes de conrôle ou d opimisaion I. Karazas e I. Pikovski 1996 [KP96], A. Grorud e M. Ponier 1998 [GP98], ou J. Amendinger, P. Imkeller e M. Schweizer 1998 [AIS98], ou plus récemmen pour éudier des problèmes d équilibre en présence d agens différemmen informés dans la hèse e les publicaions de C. Hillaire [HIL4, HIL5c], ou dans l aricle de G. Lasserre [LAS4]. La plupar de ces éudes on considéré le problème d un agen différemmen informé dans une opique d opimisaion de richesse, de maximisaion d uilié. Quan à nous, nous avons choisi de nous inéresser au poin de vue d un agen différemmen informé dans une opique de couverure d opion. C es ce poin de vue qui nous a amenés à éudier les équaions différenielles sochasiques rérogrades, puis les équaions différenielles sochasiques progressives rérogrades, avec grossissemen de filraion. Le bu de cee inroducion es de présener e de remere dans leur conexe les ravaux qui son présenés e uilisés dans cee hèse. Asymérie d informaion e grossissemen de filraion Les premiers ravaux visan à modéliser des marchés avec asymérie d informaion, avec la présence d un agen iniié, on commencé avec les aricles de A.S. Kyle 1985 [KYL85] e K. Back 1992 [BAC92], puis par ceux de I. Karazas e I. Pikowski 1996 [KP96]. K.-H. Cho 1997 [CHO97] a repris e généralisé le modèle de A.S. Kyle, approche qui a éé ensuie développée par C.-T. Wu 1999 [WU99] e H. Föllmer, C.-T. Wu e M. Yor 1999 [FWY99]. L école allemande, avec les ravaux de M. Schweizer, H. Föllmer, P. Imkeller, puis J. Amendinger e D. Becherer, a égalemen conribué à l approfondissemen des modèles d asymérie d informaion. En effe, dès 1991, H. Föllmer e M. Schweizer [FS91] se son posé la quesion de l incompléude d un marché dû à un manque d informaion. Plus 7

18 Inroducion ard, J. Amendinger, dans sa hèse en 1999 [AME99, AME], fera une éude rès fine des modèles d asymérie d informaion e de grossissemen de filraion dans un modèle général de prix engendrés par des semi-maringales. Cions sur ce suje l aricle de J. Amendinger, P. Imkeller e M. Schweizer [AIS98]. Parallèlemen, Axel Grorud e Monique Ponier, dès 1996, s inéressen de près à la modélisaion du déli d iniié, avec une première noe aux C.R.A.S. en 1997 [GP97]. Leur éude pora d abord sur un modèle puremen diffusif [GP98], avec la comparaison des sraégies de deux agens, l un iniié e l aure non, abouissan ainsi à un es saisique. Leur ravail a cela d original qu ils son les seuls pour le momen à s êre inéressés au problème de la déecion d un poin de vue saisique. Ils on en pariculier éudié les probabiliés neures au risque en présence d asymérie d informaion dans [GP99], démarche don je me suis inspirée dans plusieurs paries de cee hèse. Puis leur ravail a poré sur des marchés incomples [GRO, GP1], avec des processus de prix dirigés par un mouvemen brownien ainsi que par un processus de Poisson mulivarié. Leur collaboraion abouira à l élaboraion d un modèle d invesisseur informé e influen [GP5], l un des premiers modèles à considérer que l agen iniié n es pas forcémen un pei invesisseur, mais peu influer sur les prix du marché. C es cee hypohèse de gros invesisseur ou invesisseur influen, large invesor en anglais, inroduie par D. Cuocu e J. Cvianic en 1998 [CC98] qui sera à la base de la deuxième parie de cee hèse. Tous ces ravaux concernen un cerain ype d informaion, die informaion fore iniiale, car l agen iniié possède à l insan iniial une informaion sur le fuur, e modélisée en calcul sochasique par le grossissemen iniial de filraion. C es l approche principale que nous avons choisie dans cee hèse, cependan il paraî imporan de cier quelques aures modélisaions sur le suje. En effe, une aure possibilié es que l agen iniié possède dès le dépar une informaion, mais que cee informaion es bruiée, e le brui diminue au cours du emps. C es l informaion fore progressive, qui se raie à l aide du grossissemen progressif de filraion au sens de J.M. Corcuera e al. 24 [CIKHN4]. C. Hillaire [HIL5a] a par ailleurs comparé les sraégies d agens différemmen informés, avec des informaions de naures différenes, e a mis en évidence les différences de comporemens des agens selon leur ype d informaion disponible, grâce à des simulaions des différenes sraégies d invesissemen. D aures echniques on éé proposées pour éudier la présence d asymérie d informaion, comme le calcul de Malliavin P. Imkeller [IMK96], D. Nualar e al. [LNN3], ou bien des modèles d informaion faible F. Baudoin [BAU3, BNN4] ou de parieurs J.M. Corcuera, P. Imkeller, A. Kohasu-Higa e D. Nualar [CIKHN4]. Nous avons choisi ici de modéliser l asymérie d informaion par un grossissemen iniial de la filraion brownienne. L une des différences avec les modèles précédemmen ciés es que l accen a jusqu ici surou poré sur l éude de problèmes d opimisaion de porefeuille pour un agen iniié, ou sur l exisence d un équilibre en présence d agens différemmen informés. Cependan, conrairemen à la plupar de ces ravaux, je me suis inéressée à un poin de vue de couverure pour un agen informé, e non à un poin de vue d opimisaion. Ce genre de problémaique a éé éudié sous un angle un peu 8

19 différen par L. Campi dans sa hèse [CAM3, CAM4]. Dans une opique d opimisaion de porefeuille, avec une informaion fore iniiale, A. Grorud e M. Ponier dans un modèle brownien [GP98] par exemple on monré que dès le dépar, l agen informé avai une sraégie différene de l agen non informé. C es ce qui leur a permis de consruire un es saisique de déecion. L une des quesions principales iniialemen posées a éé la suivane : es-ce que dans une opique de couverure d acif, e avec le même ype d informaion, l agen informé va avoir une sraégie de couverure différene de l agen non informé? La réponse es non, comme nous le verrons dans la première parie de cee hèse. Equaions différenielles sochasiques rérogrades L aure parie du ire de cee hèse pore sur les équaions différenielles sochasiques rérogrades en abrégé EDSR, BSDE en anglais e progressives rérogrades EDSPR, FBSDE en anglais. Ce ype d équaions es uilisé en mahémaiques appliquées à la finance, car elles apparaissen naurellemen dans plusieurs cas, noammen en conrôle sochasique voir par exemple les ravaux de S. Peng 1993 [PEN93] e N. El Karoui, S. Peng e M.-C. Quenez [EKPQ97], e dans nore cas, lorsque l on s inéresse à la couverure d acifs coningens. C es une noion qui s es beaucoup développée ces dix dernières années, e qui rouve des applicaions dans de nombreux domaines comme la biologie, la héorie des jeux, ou pour l éude d équaions aux dérivées parielles. La héorie liée à ces équaions a éé développée par E. Pardoux e S. Peng dès 199 [PP9, PP92, PP94]. Il s agi de rouver un couple de processus Y, Z adapé à la filraion considérée dans le cas usuel la filraion brownienne, c es-à-dire à l informaion disponible à l insan, qui vérifie l équaion suivane : Y = ξ + fs, Y s, Z s ds Z s dw s, T On cherche à déerminer un processus Y connaissan sa valeur erminale à l insan T, ξ. La principale quesion sur la héorie des EDSR es l exisence e l unicié des soluions, suivan les condiions saisfaies par le généraeur f. C es un suje encore éudié acuellemen, e l on cherche à affaiblir les hypohèses que l on doi mere sur f e ξ afin de conserver l exisence e l unicié des soluions. Ce ne sera pas nore bu ici, puisque nous nous sommes principalemen inéressés à regarder si une EDSR qui a une unique soluion adapée à la filraion brownienne puisque c es celle qui es usuellemen uilisée, a oujours une unique soluion lorsque l on grossi la filraion. Si ces équaions son d abord apparues en finance de manière naurelle à parir de la formule de Black e Scholes par exemple, elles l éaien avec un généraeur linéaire, e donc éaien faciles à résoudre. L éude de soluions avec généraeur non linéaire a débué avec les ravaux de E. Pardoux e S. Peng en 199 [PP9], e depuis, les effors se son accrus pour affaiblir leurs hypohèses lipschiziennes. Cions pour cela les ravaux de S. Hamadène 1996 [HAM96], ou J. San Marin e J.-P. Lepelier 1996 [LSM97]. 9

20 Inroducion L affaiblissemen des hypohèses pose des problèmes lorsque l on es en dimension plus grande, e leur complexié pour avoir l exisence e l unicié d une soluion nous on amenés à garder des hypohèses de Lipschiz sur le généraeur, d auan que les généraeurs dérivés de problèmes financiers son le plus souven lipschiziens. L inérê des EDSR réside égalemen dans le fai que la héorie s es développée pour des EDSR dirigées égalemen par un processus poncuel voir par exemple G. Barles, R. Buckdahn e E. Pardoux 1997 [BBP97] ou S. Tang e X. Li 1994 [TL94], ainsi que pour les EDSR à horizon aléaoire voir les ravaux de S. Peng 1991 [PEN91], E. Pardoux 1999 [PAR99], e M. Royer 24 [ROY4]. Les domaines d applicaion s éenden alors aux marchés financiers à saus, ainsi qu à la couverure d opions de ype américain, don l horizon de couverure es un emps d arrê. Nous nous inéresserons à ce ype d équaions dans la roisième parie de cee hèse. Lorsque l EDSR es couplée avec une équaion différenielle sochasique sandard die progressive, on parle d EDSPR. Ces équaions apparaissen dans des problèmes de couverure par des gros invesisseurs, éudiés par exemple par D. Cuoco e J. Cvianic 1998 [CC98], ou J. Cvianic e J. Ma 2 [CM96], comme nous le verrons dans la deuxième parie de cee hèse. Malgré plusieurs éudes sur le suje comme les ravaux de D. Chevance 1997 [CHE97], F. Delarue 22 [DEL2], E. Gobe, J.-P. Lemor e X. Warin 25 [GLW5] sur la discréisaion d EDSR e d EDSPR, il rese une difficulé dans l uilisaion de ce ype d équaions, à savoir celle d exprimer expliciemen les soluions, ou même à les simuler. 1

21 Principaux résulas e publicaions 1 EDSR e grossissemen iniial de filraion Chapire 1 - Backward Sochasic Differenial Equaions wih Enlarged Filraion Le premier chapire de cee hèse es consiué d un aricle, accepé dans Sochasic Processes and heir Applicaions, iniulé "Backward sochasic differenial equaions wih enlarged filraion. Opion hedging of an insider rader in a financial marke wih jumps". Ce aricle pore sur l éude des EDSR avec grossissemen iniial de la filraion brownienne, moivée par des problèmes financiers de couverure par un agen iniié. La problémaique première fu de s inéresser à des problèmes financiers de couverure par un agen iniié, c es-à-dire en présence d asymérie d informaion, dans un modèle de diffusion pure sur un espace probabilisé filré Ω, F [,T ], P dirigé par un mouvemen brownien W dans un premier emps, S i = S i + S i sb i sds + S i sσ i s, dw s, T, 1 puis dans un modèle dirigé à la fois par un mouvemen brownien W e par un processus poncuel dérivé d une mesure de Poisson µ, auorisan le processus de prix à avoir des saus : S i = S i + Ssb i i sds + Ssσ i s, i dw s + S i s φ i seµds, de, T, 2 Le problème de couverure fai apparaîre naurellemen une équaion différenielle sochasique rérograde, e rouver un porefeuille de couverure revien à la résoudre. La présence d asymérie d informaion es modélisée par le grossissemen iniial de la filraion brownienne par une foncionnelle des prix L. La problémaique financière nous amène à chercher un porefeuille adapé à cee nouvelle filraion, qui représene l informaion disponible de l agen iniié. Nous commençons par poser le modèle dans le paragraphe 1.1 dans un cadre puremen diffusif, e nous nous plaçons ou d abord dans le paragraphe 1.2 sous l hypohèse H 3. Hypohèse 1 H 3 Il exise une probabilié Q équivalene à P elle que sous Q, F e σl son indépendanes, pour ou < T. 11 E

22 Principaux résulas e publicaions Cee hypohèse a éé développée pour la modélisaion de la présence d un agen iniié sur un marché financier par A. Grorud e M. Ponier 1998 [GP98], e par J. Amendinger 2 [AME99], e elle perme d inroduire une probabilié équivalene à la probabilié hisorique sous laquelle la filraion engendrée par l informaion es indépendane de la filraion iniiale. C es sous cee nouvelle probabilié que nous ravaillerons. On résou d abord le problème d exisence e d unicié des soluions de l équaion différenielle sochasique rérograde dans l espace grossi sous cee hypohèse. On obien un premier héorème d exisence e d unicié de soluions d EDSR sous filraion grossie dans le paragraphe La preuve es basée sur l exisence d un héorème de représenaion dans ce cas, obenu à parir des ravaux de J. Jacod e A.N. Shiryaev 1989 [JS3], e de A. Grorud e M. Ponier 1998 [GP98]. Puis on s inéresse à des problémaiques plus financières, comme l éude de la viabilié e de la compléude du marché du poin de vue de l agen iniié dans le paragraphe Pour cela, nous adoperons les dénominaions suivanes dans ce chapire comme dans les suivans ce son les définiions du chapire 1 de I. Karazas e S. Shreve [KS98]. Définiion 1 Un marché a la propriéé de représenaion prévisible par rappor à l espace filré F, P e la F, P-maringale des prix acualisés S si pour oue F, P- maringale de carré inégrable M, il exise un processus F-prévisible φ el que E P φ2 sd < S > s < + e M = M + φ s d S s 3 où M es mesurable par rappor à la ribu iniiale F, non nécessairemen riviale. Définiion 2 Une sraégie de gesion θ, c es-à-dire un processus adapé θ s s [,T ], es die auofinancée si elle vérifie θ 2 d < S > < + p.s. θ S = θ S + θ sd S s p.s. [, T ] Une sraégie de gesion es admissible si elle es auofinancée e si la valeur acualisée θ S du porefeuille correspondan es posiive e elle que E P sup [,T ] θ S 2 < +. Un acif coningen es di aeignable si il exise une sraégie admissible θ elle que la valeur finale du porefeuille correspondan es égale à la valeur à l échéance de l acif coningen. Définiion 3 Un marché es di viable par rappor à la probabilié P e à la filraion F lorsqu il n y a pas d opporunié d arbirage. Une sraégie d arbirage es une sraégie admissible θ elle que le processus de gain G = θ sd S s vérifie G T P-p.s. e G T > avec une probabilié P sricemen posiive. Nous considérerons qu un marché es comple par rappor à la probabilié P e à la filraion F si ou acif coningen de carré inégrable sous P es aeignable, c es-à-dire si le marché possède la propriéé de représenaion prévisible pour F, P. Le marché es di incomple dans le cas conraire. 12

23 1. EDSR e grossissemen iniial de filraion Définiion 4 On appelle mesure maringale équivalene sur une filraion F une mesure de probabilié Q équivalene à la probabilié hisorique P elle que les prix acualisés son des F, Q-maringales. Remarque : Nous uiliserons ici les deux erminologies usuelles, qui son mesure maringale équivalene e probabilié neure au risque. Mais ces deux dénominaions désignen la même chose. Nous remarquerons au passage qu ici, un marché comple ne signifie pas l unicié de la mesure maringale équivalene. On peu avoir un marché comple e plusieurs mesures maringales équivalenes nous le verrons par exemple dans le chapire 1, paragraphe Sous l hypohèse H 3, la viabilié e la compléude du marché ne son pas alérées par le grossissemen de filraion. C es ce que nous monrons dans le paragraphe du chapire 1. Nous comparons égalemen les sraégies de couverure des deux agens, informés e non informés, dans le paragraphe Le résula principal es que les sraégies ne changen pas sous l hypohèse H 3, conrairemen à ce qui se passe quand on considère un objecif de maximisaion d uilié de richesse : A. Grorud e M. Ponier [GP97] on mis en évidence une différence de sraégie enre l agen iniié e l agen non iniié dans un objecif de maximisaion de richesse, e on consrui un es de déecion dans un cas pariculier. C. Hillaire [HIL5b] a égalemen proposé des simulaions de ce genre de comporemens. Cependan, dans nore cadre de couverure d acifs, cee différence de comporemen enre un agen informé e un agen non informé n es plus vérifiée : les sraégies son ideniques. Nous nous inéressons dans le paragraphe 1.3 à l exisence e l unicié de soluions de l EDSR dans l espace grossi sous l hypohèse plus faible H, sous laquelle la loi condiionnelle de L sachan la filraion iniiale es absolumen coninue par rappor à la loi de L, sans lui êre équivalene. Hypohèse 2 H La loi condiionnelle de L sachan F es absolumen coninue par rappor à la loi de L, pour ou < T. Sous l hypohèses H, on n obien pas de héorème de représenaion de maringales en oue généralié, e le héorème d exisence e d unicié de soluions de l EDSR dans l espace élargi n es obenu que sous réserve d exisence d une elle représenaion. Ainsi, noons que le marché du poin de vue de l iniié n es pas nécessairemen comple, bien qu il possède plus d informaion. Dans la secion 1.4 de ce chapire, le modèle es repris e les prix son cee fois dirigés à la fois par un mouvemen brownien e par un processus de Poisson mulivarié. Nous éendons les résulas d exisence e d unicié précédemmen évoqués à ce cas avec saus. Nous monrons en pariculier que le héorème d exisence e d unicié de soluions sous la 13

24 Principaux résulas e publicaions filraion grossie peu se généraliser, successivemen sous l hypohèse H 3 puis sous H. Dans un dernier paragraphe 1.4.5, nous présenons égalemen un exemple d informaion supplémenaire L vérifian l hypohèse H mais pas l hypohèse H 3 afin de moiver l inroducion de saus e l inérê de différencier ces deux hypohèses. La dernière parie de ce chapire es consacrée à l éude de l exisence e l unicié des soluions de l EDSR grossie dans un cadre avec mouvemen brownien e processus poncuel plus général, avec l inroducion d une mesure de Poisson pouvan diriger les prix. Nous obenons le même ype de résula d exisence e d unicié de soluions de l EDSR adapées à la filraion élargie, sous l hypohèse H 3. 14

25 2. EDSPR e grossissemen iniial de filraion 2 EDSPR e grossissemen iniial de filraion Le modèle développé dans la première parie es un modèle d agen iniié qui es supposé êre un pei invesisseur, qui n influence pas les prix du marché. Nous nous affranchissons de cee hypohèse dans cee deuxième parie. En effe, dans les deux chapires de cee parie 2, nous éudions un modèle d invesisseur iniié e influen, qui cherche à couvrir une opion à un horizon fini donné. Chapire 2 - Théorème d exisence e d unicié de soluions d ED- SPR sous filraion grossie Nous nous plaçons ici dans un cadre de processus coninus. Nos résulas dans le chapire 1 on monré que dans le cas d un modèle sans influence, les sraégies de couverure son les mêmes pour l agen informé e pour l agen non informé. Cependan, cee modélisaion n es pas la plus réalise : il es communémen reconnu que cerains aceurs sur le marché son influens, de par leur invesissemen de grande ampleur, ou par leur nooriéé par exemple, e inervien alors un phénomène de "suiveurs" charer. Ainsi, les prix du marché peuven êre influencés par cerains grands invesisseurs du marché. Il es aussi pluô naurel de penser que si des personnes on des informaions supplémenaires, ce ne son en général pas des peis invesisseurs. C es pourquoi nous considérons ici un modèle avec un grand invesisseur influen informé, qui veu couvrir sur le marché une opion. Nous supposerons que l invesisseur es un grand invesisseur, c es-à-dire que sa richesse X peu influencer les prix, par une influence sur la dérive b e la volailié σ du processus de prix, e qu il es influen, e donc que sa sraégie de gesion π peu égalemen influencer la dérive b e la volailié σ des prix. Or la dynamique de ces deux processus, la richesse e la sraégie, éai régie par l EDSR 1.6 du chapire 1. On obien donc dans le cas présen l équaion suivane : { P = P + bs, P s, X s, Z s ds + < σs, P s, X s, Z s, dw s > X = ξ fs, P s, X s, Z s ds 4 < Z s, dw s > Les deux processus X e π inerviennen mainenan égalemen dans l équaion régissan la dynamique des prix. Ce problème de couverure par un agen influen e informé fai ainsi naurellemen apparaîre un couplage enre l équaion progressive des prix e l équaion rérograde de la richesse. C es pourquoi nous choisissons ici de modéliser cee couverure par une équaion différenielle sochasique rérograde, couplée cee fois-ci, conrairemen au chapire 1 cf. A Eyraud-Loisel[EL5], avec l équaion progressive des prix. Du fai de la présence d une informaion supplémenaire, nous avons donc à résoudre une EDSPR Equaion Différenielle Sochasique Progressive Rérograde sous une filraion iniialemen grossie. Nous nous replaçons cee fois dans un modèle brownien. Dans le paragraphe 2.1, nous posons le problème financier en ermes d EDSPR e de grossissemen de filraion, e rappelons cerains résulas uiles dans nore cadre de processus coninus. Dans le paragraphe 2.2, nous donnons, sous ceraines hypohèses, un héorème d exisence e d unicié de soluion pour une EDSPR sous une filraion grossie iniialemen, 15

26 Principaux résulas e publicaions pour laquelle nous nous inspirons foremen de la démarche de Pardoux e Tang 1999 [PT99]. Nous monrons sous des hypohèses similaires, couplées avec l hypohèse H 3 sur l informaion supplémenaire, que l EDSPR a égalemen une unique soluion dans l espace élargi. La démonsraion de ce héorème fai l obje de ce chapire. Nous uilisons le résula d exisence e d unicié de soluions d EDSR sous filraion grossie éabli au chapire 1, e nous uilisons une méhode de conracion. Le résula voulu es obenu dans rois cas d influence de l agen informé sur la dérive e la volailié des prix. Les rois cas d influence son d abord un cas d influence faible, où les coefficiens de Lipschiz de la dérive e de la volailié des prix par rappor à la richesse e à la sraégie de l agen iniié ne son pas rop "grands" ; ensuie, lorsque l objecif de couverure ne dépend pas du prix ; e enfin, le dernier cas d influence es celui où la sraégie de gesion n influence pas la volailié des prix. Nous obenons ainsi que sous ceraines condiions, l agen influen iniié a une unique sraégie de couverure e nous donnons une inerpréaion financière de ce résula, en erme de compléude du marché du poin de vue de l agen iniié. Le marché iniié es viable e comple, cependan sa sraégie de couverure n es pas adapée à la filraion disponible pour un agen non informé. Le marché non informé n es plus comple. Ce sera la quesion abordée au chapire suivan. Chapire 3 - Agen influen e informé : Couverure en marché incomple Dans ce chapire, nous nous plaçons sous les hypohèses du héorème éabli dans le chapire 2, afin d avoir une unique soluion à l EDSPR de couverure de l agen informé e influen. De par le couplage enre l équaion progressive du processus de prix e l équaion rérograde du processus de richesse, c es-à-dire de par l influence de l agen iniié, la filraion engendrée par les prix reflèe une parie de l informaion privée, e n es par conséquen plus la filraion brownienne. Nous posons le problème de la comparaison de la sraégie de couverure de l agen iniié, e de celle d un pei invesisseur, non informé. Nous sommes dans un cadre de marché incomple du poin de vue de l invesisseur non informé, issu de son manque d informaion. La clé de la compléude du marché du poin de vue de l agen iniié réside dans l exisence d une propriéé de représenaion prévisible des maringales voir définiion 3 page 12 de la compléude. Or lorsque la filraion engendrée par les prix n es ni la filraion brownienne, ni la filraion grossie, nous n avons plus de héorème de représenaion relaivemen au processus de prix. Le marché devien incomple. La couverure d acifs coningens en marché incomple a éé développée dans la liéraure selon deux principales méhodes. En marché incomple, ou acif n es plus aeignable par une sraégie auofinançane. Il fau, pour choisir une sraégie de couverure, affaiblir l une des deux hypohèses : l approche local risk minimizaion conserve la réplicabilié, e remplace l hypohèse d auofinancemen par une propriéé d auofinancemen en moyenne, andis que l approche mean-variance hedging conserve l auofinancemen, mais requier une réplicaion seulemen approximaive, dans L 2. La première approche a éé 16

27 2. EDSPR e grossissemen iniial de filraion inroduie par H. Föllmer e D. Sonderman [FS86] dans le cas où les prix son des maringales, développée par M. Schweizer [SCH91] dans le cas où les prix son seulemen des semi-maringales e H. Föllmer e M. Schweizer [FS91] en ermes de mesure maringale minimale. Cee approche monre l exisence d une unique sraégie minimisan le risque, qui peu êre exprimée en uilisan la décomposiion de Galchouk-Kunia-Waanabe pour une revue sur le suje, se reporer par exemple aux ravaux de J.P. Ansel e C. Sricker [AS93]. La seconde approche s inéresse aux sraégies auofinançanes approchan l objecif dans L 2, e a éé développée par L. Gouriéroux, J.-P.Lauren e H. Pham [GLP98] d une par, e par T. Rheinlander e M. Schweizer [RS97] d aure par, qui obiennen une expression de la sraégie opimale en erme de mesure maringale variance-opimale. Une excellene revue sur ces deux principales echniques de couverure quadraique en marché coninu se rouve dans H. Pham 2 [PHA]. Nous avons choisi ici l approche minimisaion locale du risque développée dans H. Föllmer e M. Schweizer 1991 [FS91], car nore modèle s inscri dans la coninuié du modèle qu ils avaien considéré : celui d un marché incomple où l incompléude es due à un manque d informaion. En effe, si on ajoue l informaion de l iniié au marché, celuici devien comple d après les résulas du chapire 2. Nous considérons donc le poin de vue d un agen non informé qui invesi dans le marché influencé par l agen iniié éudié dans la parie précédene. Nous éudions sa sraégie de couverure, comparée à celle de l agen informé. Nous sommes ramenés à un problème de couverure en marché incomple, sous l hypohèse H 3, qui diffère des hypohèses classiques de couverure quadraique précédemmen éudiées dans H. Föllmer e M. Schweizer [FS91]. Nous obenons ainsi une expression de la sraégie opimale de l agen non informé en erme de projecion de celle de l agen informé sous une famille de probabiliés neures au risque, relaivemen à la filraion engendrée par les prix. De plus, nous donnons une version de la formule de Clark-Ocone dans nore cadre de filraion grossie, ainsi qu une expression de la sraégie de l agen informé en erme de dérivée de Malliavin. Nous inroduisons égalemen une expression du risque résiduel lié au manque d informaion de l agen non informé. Enfin, dans le dernier paragraphe 3.6, nous présenons un exemple d influence dans lequel oues les hypohèses de nore modèle son vérifiées, e nous exprimons les différenes sraégies de couverure des agens selon les formulaions développées auparavan. 17

28 Principaux résulas e publicaions 3 EDSR à horizon aléaoire e grossissemen de filraion La roisième e dernière parie de cee hèse es un ravail réalisé en collaboraion avec Manuela Royer, qui a souenu sa hèse en décembre 23 sur les EDSR à horizon aléaoire. Après nous êre inéressées aux EDSR e EDSPR à horizon consan, moivées par des problèmes financiers de couverure à horizon fixé du ype opions européennes, nous nous sommes demandé si les résulas d exisence e d unicié de soluion d EDSR sous filraion élargie monrés dans le chapire 1 resaien vrais pour des EDSR à horizon aléaoire. Nous avons donc éudié différens cas d EDSR avec un horizon aléaoire e un grossissemen de filraion, avec un horizon qui es un emps d arrê borné. Chapire 4 - EDSR à horizon aléaoire e grossissemen iniial Nous reprenons ici le cadre de la première parie de cee hèse chapire 1, mais pour la couverure d acifs don les horizons de couverure son des emps d arrê. Par exemple, cela concerne les cas des opions américaines ou opions Lookback. Ce ravail uilise les résulas de Manuela Royer [ROY4] sur les EDSR avec horizon aléaoire sans grossissemen de filraion c es-à-dire sous la filraion naurelle brownienne, combinés avec les résulas de la première parie de cee hèse sur les EDSR à horizon fixe avec grossissemen iniial de la filraion brownienne. On obien ainsi une généralisaion des résulas précédens dans le cas brownien sous l hypohèse H 3, ou d abord pour un horizon qui es un emps d arrê p.s. borné par un horizon T sricemen inférieur à T. On obien égalemen le même résula pour le cas d un emps d arrê plus généralemen p.s. sricemen inférieur à T. On peu appliquer ces résulas à la couverure d opions américaines ou Lookback par exemple. Nous monrons donc que pour des cas d opions plus généralemen échangées sur le marché, les résulas éablis au chapire 1 resen vrais : l agen iniié aura la même sraégie que le non iniié, car l EDSR à horizon aléaoire sous la filraion grossie a une unique soluion, comme dans le cas d un horizon fixe. 18

29 Première parie EDSR e grossissemen iniial de filraion 19

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31 La première parie de cee hèse es consiuée d un premier aricle, rédigé en anglais, e accepé pour la publicaion dans Sochasic Processes and heir Applicaions. Ce premier aricle pore sur l éude des EDSR avec grossissemen iniial de filraion. La moivaion première fu de s inéresser à des problèmes financiers de couverure par un agen iniié, c es-à-dire en présence d asymérie d informaion, dans un modèle de diffusion pure dans un premier emps, puis dans un modèle dirigé à la fois par un mouvemen brownien e par un processus poncuel dérivé d une mesure de Poisson, auorisan le processus de prix à avoir des saus. Ce son les filraions naurelles engendrées par ces processus que nous élargissons, e nous définirons en quel sens dans le chapire 1.1. Le problème financier de la couverure d acif fai apparaîre naurellemen une équaion différenielle sochasique rérograde 1.6, e rouver un porefeuille de couverure revien à la résoudre. La présence d asymérie d informaion es modélisée ici par un grossissemen iniial de la filraion naurelle considérée par une foncionnelle des prix fuurs L. C es ce que l on appelle une informaion fore iniiale. La problémaique financière nous amène à chercher un porefeuille adapé à cee nouvelle filraion, c es-à-dire à l informaion disponible de l agen iniié. Nous commençons par poser le modèle dans le paragraphe 1.1 dans un cadre puremen diffusif, e nous nous plaçons ou d abord dans le paragraphe 1.2 sous l hypohèse H 3. Cee hypohèse a éé développée pour la modélisaion de la présence d un agen iniié sur un marché financier par A. Grorud e M. Ponier 1998 [GP98], puis par J. Amendinger 2 [AME99], e elle perme d inroduire une probabilié équivalene à la probabilié hisorique sous laquelle la filraion engendrée par l informaion es indépendane de la filraion iniiale. C es sous cee nouvelle probabilié que nous ravaillerons. Dans un premier emps, le problème d exisence e d unicié des soluion de l équaion différenielle sochasique rérograde dans l espace grossi es résolu sous cee hypohèse. On obien un premier héorème d exisence e d unicié de soluion d EDSR sous filraion grossie dans le paragraphe La preuve es basée sur l exisence d un héorème de représenaion dans ce cas, obenu à parir des ravaux de J. Jacod e A.N. Shiryaev 23 [JS3], e de A. Grorud e M. Ponier 1998 [GP98]. Puis nous nous inéressons à des problémaiques plus financières, comme la viabilié e la compléude du marché iniié comme définis dans l inroducion générale, définiion 3 page 12 dans le paragraphe Nous comparons égalemen les sraégies des deux agens, informés e non informés paragraphe Le résula principal es que les sraégies ne changen pas sous l hypohèse H 3, conrairemen à ce qui se passe quand on considère un objecif de maximisaion d uilié de richesse : A. Grorud e M. Ponier [GP97] on mis en évidence une différence de sraégie enre l agen iniié e l agen non iniié dans une opique de maximisaion de richesse, e on même consrui un es de déecion à parir de ces résulas. C. Hillaire [HIL5b] a égalemen fai des simulaions de ce genre de comporemens. Cependan dans nore cadre de couverure d acifs financiers, cee différence de comporemen enre un agen informé e un agen non informé n es plus vérifiée, alors que l informaion considérée es du même ype. Nous nous inéressons dans le paragraphe 1.3 à l exisence e l unicié de soluions de l EDSR dans l espace grossi sous l hypohèse plus faible H, sous laquelle la loi 21

32 condiionnelle de L sachan la filraion iniiale es absolumen coninue par rappor à la loi de L. On n obien pas de héorème de représenaion de maringales en oue généralié, e le héorème d exisence n es obenu que sous réserve d exisence d une elle représenaion. Dans le paragraphe 1.4 de ce chapire, le modèle es repris e les prix son cee fois dirigés à la fois par un mouvemen brownien e par un processus de Poisson muliivarié. Successivemen sous H 3 puis sous H, nous éendons les résulas des paries précédenes e éablissons un héorème d exisence e d unicié de soluion de l EDSR sous la filraion grossie. Dans le paragraphe 1.4.5, nous donnons un exemple d informaion L vérifian l hypohèse H mais pas l hypohèse H 3. Le dernier paragraphe de ce chapire es consacré à l éude dans un cadre dirigé par un brownien e un processus poncuel plus général, avec l inroducion d une mesure de Poisson pouvan diriger les prix. Nous obenons le même ype de résula d exisence e d unicié de soluions de l EDSR adapée à la filraion élargie, sous l hypohèse H 3. 22