Cours de Résistance des Matériaux (RDM) PARTIE 2 : FLEXION Sollicitations / Contraintes / Dimensionnement

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1 PARTE 2 : LEXON, Contraintes, Dimensionnement, Déformée Solides déformables Cours de Résistance des Matériau (RDM) PARTE 2 : LEXON Sollicitations / Contraintes / Dimensionnement Contenu 1 SOLLCTATON DE LEXON LEXON PLANE ET LEXON PLANE SMPLE LEXON PURE... 3 EXEMPLE DE LEXON SMPLE ET PURE DEORMATON DUE A LA LEXON EXPERMENTATON : DEORMEE ET LECHE DEPLACEMENT D UNE SECTON DROTE (S) CALCUL DES CONTRANTES AU SEN D UNE POUTRE EN LEXON OBJECT ENERAL DU CALCUL DES CONTRANTES REPARTTON DES CONTRANTES EN LEXON CALCUL DU MOMENT QUADRATQUE (UNTE M 4 OU MM 4 ) CONTRANTE NORMALE MAXMALE DMENSONNEMENT D UNE POUTRE EN LEXON CONDTON DE RESSTANCE CONCENTRATON DE CONTRANTES DEMARCHE DE CALCUL APPLCATON DU PS POUR LES ACTONS AUX APPUS DENTCATON DU NOMBRE DE TRONÇONS A ETUDER RECHERCHE DU TORSEUR DE COHESON DE CHAQUE TRONÇON DARAMMES DES SOLLCTATONS LE LON DE LA POUTRE ORMULARE DES POUTRES EQUATON DE LA DEORME ET LECHE MAXMALE DEORMATON D UNE POUTRE EQUATON DE LA COURBE DE LA DEORMEE OBTENUE PAR NTERATON EXEMPLES A DEVELOPPER... 8 CCP 2011 ardeleuse / Tapis roulant : Dimensionnement d un ae et des roulements de la liaison pivot entre le clindre tendeur et le bâti, JC ROLN 1 Lcée.Eiffel Dijon

2 PARTE 2 : LEXON, Contraintes, Dimensionnement, Déformée 1 SOLLCTATON DE LEXON Les sollicitations en fleion sont très fréquentes dans les poutres, on prendra comme eemple : Mécanique : arbre de transmission Châssis d un véhicule ici de camion Aéronautique : aile d avion Pale d hélicoptère Architecture des bâtiments : Charpente, porte à fau, balcon lèche d un mât Dans le programme de TSi, les études de fleion se limitent à la fleion plane 1.1 leion plane et fleion plane Une poutre est soumise à de la fleion plane si - Les actions mécaniques etérieures à la poutre sont composées de forces coplanaires et de couples perpendiculaires au plan que forment les forces etérieures - Le plan que forment les forces etérieures est un plan de smétrie de la poutre. 1 C Plan de smétrie 2 3 La longueur de la poutre est selon l ae 0. Le torseur de cohésion est réduit en tout point du tronçon à : T coh N 0 T 0 Mfz 0 leion plane : il eiste une résultante normale N BaseLocale JC ROLN 2 Lcée.Eiffel Dijon

3 PARTE 2 : LEXON, Contraintes, Dimensionnement, Déformée LEXON PLANE SMPLE : On distingue la fleion plane de la fleion plane par l absence du terme d effort normal N, la situation de la poutre est alors isostatique. Le torseur de cohésion est alors selon l orientation du moment de fleion (autour de ou z ). T coh 0 Mf ou T 0 Tz 0 0 BaseLocale coh 0 T Mfz BaseLocale 1.2 leion pure Un tronçon de poutre est sollicité en fleion pure si, en tout point du tronçon, - La section présente un plan de smétrie - le torseur de cohésion se réduit à un couple perpendiculaire au plan de smétrie T coh 0 Mf ou T coh Mfz 0 BaseLocale BaseLocale z 0 0 A leion plane B leion pure leion plane C D 0 z 0 0 Smétrie Section quelconque de la poutre Eemple de fleion et pure La zone entre B et C est soumise à 2 moments de signe opposés dus au efforts en A, B, C et D, elle est en fleion pure. l n pas d effort normal N car l appui en C est un appui laissant le degré de liberté selon 0. 2 DEORMATON DUE A LA LEXON 2.1 Epérimentation : DEORMEE ET LECHE La poutre (AB) est soumise à une sollicitation de fleion. Observons la déformation des fibres de la poutre (ligne parallèle à la ligne moenne AB) et le déplacement des sections droites. A A A A A A 0 P 1 P 2 Section (S) Avant déformation da P 1 P 2 Section (S ) Déformée B B B B B B 0 DEORMATONS CONSTATEES : Les fibres «du dessus» raccourcissent (e : fibre supérieure A B ) Les fibres «du dessous» s allongent (e : fibre inférieure A B ) Les fibres du plan médian ne subissent pas de variations de longueur. DEORMEE : La ligne moenne «après déformation» est appelée déformée LECHE : La valeur du déplacement vertical d un point M appartenant à la ligne moenne ( M [AB] ) est appelé flèche au point M Après déformation JC ROLN 3 Lcée.Eiffel Dijon

4 PARTE 2 : LEXON, Contraintes, Dimensionnement, Déformée 2.2 Déplacement d une section droite (S) D'après l'hpothèse de Navier et Bernoulli, les sections droites restent planes et normales à la ligne moenne après déformation, tout se passe donc comme si la section droite (S) avait pivoté d'un angle faible dα autour de l'ae (,z) pour venir en (S'). On peut donc dire que les déformations relatives L en un point M Lo sont proportionnelles à l'ordonnée de ce point. D autre part, la loi de Hooke lie la contrainte σ, la déformation ε et le module d élasticité ou de Young E, par : σ = E. ε JC ROLN 4 Lcée.Eiffel Dijon da (S)(S ) La contrainte normale σ en un point M d'une section droite (S) est proportionnelle à l'ordonnée de ce point. 3 CALCUL DES CONTRANTES AU SEN D UNE POUTRE EN LEXON 3.1 Objectif général du calcul des contraintes Calculer les contraintes au sein du matériau de la poutre à différents objectifs : Vérifier sa résistance pour dimensionner sa section et le choisir lors d une conception (contrainte normale) ; o non dépassement de sa limite à la rupture R r ; o eploitation dans le domaine élastique R e ; Vérifier sa déformation afin qu elle reste dans les limites acceptables de son contete d emploi (déformée) ; Satisfaire des critères économiques en utilisant le minimum de matière, mais au bon endroit (moment quadratique). 3.2 Répartition des contraintes en fleion Considérons une section droite (S) d abscisse, et un point M de coordonnées (,,z) appartenant à cette surface (S). La répartition des contraintes normales dépend de et de : s (,) M s <0 (compression) s >0 (traction) Répartition de s X dans une section (S) d abscisse Pour l eemple précédent : o Pour = 0, s 0 o Pour > 0, s 0 s z () M(,,z) Section S la contrainte normale est nulle tout le long de la fibre neutre sollicitation de compression o Pour < 0, 0 sollicitation de traction Mfz() s(,) z <0 >0 Avec z moment quadratique par rapport à l ae (,z) En fleion plane, il apparait 2 termes non nuls dans le torseur de cohésion : T et Mfz (ou Tz / Mf). En fleion pure, on néglige la contrainte tangentielle induite par l effort tranchant. 3.3 Calcul du moment quadratique (unité m 4 ou mm 4 ) Le moment quadratique ( z ou ) caractérise la répartition de surface (S) autour d un ae. Par définition, z (S) (S) ².ds z².ds Unité : m 4 Un moment quadratique élevé traduit une grande rigidité de la poutre. z (S) D Section pleine circulaire 4 D D z ma ma z bh 12 z (S) h Section pleine rectangulaire 3 hb h z ma z b ma b

5 PARTE 2 : LEXON, Contraintes, Dimensionnement, Déformée 3.4 Contrainte normale maimale On repère la section S la plus sollicitée sur le diagramme du moment fléchissant (Mfz()). Cela correspond à l abscisse où Mfz est maimal. La contrainte ) s (, est maimale quand est maimal Bien souvent, les fabricants de profilés donnent les caractéristiques des sections de leurs poutres et notamment La contrainte maimale se calcule alors z appelé le module de fleion Avec v ma v s ma Mfz v z ma Répartition de la contrainte normale dans une section de poutre circulaire 4 DMENSONNEMENT D UNE POUTRE EN LEXON 4.1 Condition de résistance Nous venons de voir que la sollicitation dominante est une contrainte normale. La limite utilisée pour le dimensionnement sera donc la résistance pratique à l etension (Rpe). Comme pour les sollicitations de traction/compression, on dimensionnera la poutre de telle manière que R e s R ma Pe avec RPe s 4.2 Concentration de contraintes Du fait des accidents de forme, on majorera la contrainte maimale nominale (cf ) calculée dans une section droite par un coefficient K (donné par des abaques). s ma Ainsi K 1 s 5 DEMARCHE DE CALCUL nom 5.1 Application du PS pour les actions au appuis En général le problème est plan, on applique : le TRS en projection sur 0 et 0, mais en fleion pure il n a pas de résultante sur 0. le TMS en projection sur z 0. l faut bien identifier la nature de liaisons pour connaître le nomme d inconnues de chacune d entre elle. z 0 0 A leion plane B Articulation en A : R A et R A PS avec 3 inconnues à déterminer leion pure leion plane C D Appui en C : R C 0 JC ROLN 5 Lcée.Eiffel Dijon

6 PARTE 2 : LEXON, Contraintes, Dimensionnement, Déformée 5.2 dentification du nombre de tronçons à étudier On balae la poutre de gauche à droite : chaque appui et chaque force ponctuelle présente le long de la poutre détermine un nouveau tronçon. pas de changement de tronçon le long d une charge répartie. Eemples : 0 leion plane leion pure leion plane z 0 A B C D 0 Appui en A, articulation en B, charge ponctuelle P. l a 2 Tronçons, AP (0 < < 2/3l) et PB (2/3l < < l) 2 charges ponctuelles et 2 appuis, 3 intervalles distincts. 3 tronçons : AB ; BC et CD 2 appuis et une charge répartie, l a 3 tronçons (0 < < a) ; (a < < b + a ); (b + a < < l). 5.3 Recherche du torseur de cohésion de chaque tronçon Une poutre en bois est sollicitée en porte à fau par une force concentrée. On donne L = 4m, a = 0, 5m et = 20kN. On identifie 2 tronçons AB et BC, il faut donc rechercher le torseur de cohésion dans chacun de ces 2 tronçons. Chaque tronçon est coupé en 2 parties (P-) à gauche et (P+) à droite. On choisit d isoler le tronçon le plus facile pour les calculs et on applique le PS en introduisant le torseur de cohésion. 1) Calcul des actions d appuis : Ce calcul préliminaire est nécessaire dans quasi tous les cas. Pour un problème isostatique on écrit le PS : 2) Torseur de cohésion dans le tronçon AB en isolant la partie gauche de AB soit (P-) : PS en avec 0 < < L : TRS projeté sur : T + a/l = 0 soit T = -a/l TMS en : -.(a/l) +M fz = 0 soit M fz = (a/l) 0 0 T coh a / L 0 0 ( a / L) (,, z) 3) Torseur de cohésion dans le tronçon BC en isolant la partie droite de BC soit (P+) : PS en avec L < < L+a : La partie droite étant retenue on étudie {Tcoh} 4) Recherche de la contrainte maimale M fz est maimale pour = L soit M fzma = a. T coh TRS projeté sur : -T + = 0 soit T = TMS en :.(L+a-)-M fz = 0 soit M fz = (L+a-) ( L a ) (,, z) JC ROLN 6 Lcée.Eiffel Dijon

7 PARTE 2 : LEXON, Contraintes, Dimensionnement, Déformée 5.4 Diagrammes des sollicitations le long de la poutre ls représentent la variation de l effort tranchant T et du moment de fleion M fz tout au long de la poutre. On peut remarquer deu points utiles à la vérification des résultats : L aire totale pour T est nulle en sommant sur la longueur de la poutre (TRS vérifié). dm ( ) T ( fz Et ) d 5.5 ormulaire des poutres Quelques eemples courants JC ROLN 7 Lcée.Eiffel Dijon

8 PARTE 2 : LEXON, Contraintes, Dimensionnement, Déformée 6 EQUATON DE LA DEORME ET LECHE MAXMALE 6.1 Déformation d une poutre On montre ci-contre pour une poutre en charge l évolution de la ligne moenne. En l absence de chargement cette ligne est confondue avec l ae, les points (AJBD) sont alignés. Sous chargement la ligne moenne se déplace les points (AJBD) ne sont plus alignés mais appartiennent à la DEORMEE. La déformée est la fonction = f() de la ligne moenne d une poutre sous charge, dans le repère global (A,, ). En un point quelconque de la déformée, la pente de sa tangente est pour les petits angles avec en radians : Tan = = = f () Cet angle correspond au pivotement de la section droite de la poutre. CONDTONS AUX LMTES ET LECHE On remarque qu au niveau des appuis en A et B, la position de la ligne moenne n a pas changé : A et B = 0. Au point, la déformation passe par un etrémum (mai ici), la dérivée de la déformée est nulle : = 0 LECHES On nomme «flèches» les valeurs maimales de la déformation pour un tronçon, ici en et D. Eemples usuels de conditions au limites lèche en = i et flèche en D = D 6.2 Equation de la courbe de la déformée obtenue par intégration L étude en géométrie analtique de la relation entre le pivotement de la section droite de centre () et la contrainte normale dans la poutre (paragraphe 2.2) permet d établir une relation entre : le moment fléchissant Mfz, le moment quadratique (,z) de la section de la poutre le module d élasticité longitudinal E(de Young), la dérivée seconde de la fonction de la déformée. E. (, z). '' Mf z ( ) Relation valable pour les petites déformations Remarque 1 : On peut donc établir l équation de la déformée à partir du moment fléchissant par 2 intégrations successives, en recherchant les constantes d intégration par les conditions au limites. Remarque 2 : Comme la relation M fz dépend du tronçon de la poutre, la méthode par intégration doit être réalisée pour chacun de ses tronçons. 6.3 Eemples à développer aire l étude complète des 3 eemples suivants en tenant compte des smétries éventuelles pour simplifier : Action au appuis et recherche du torseur de cohésion, tracé des diagrammes N X, T Y et M fz Recherche de l équation de la déformée et de la flèche (maimale). JC ROLN 8 Lcée.Eiffel Dijon

9 PARTE 2 : LEXON, Contraintes, Dimensionnement, Déformée Eemple 1 : POUTRE REPOSANT SUR DEUX APPUS AVEC CHARE CONCENTREE AU MLEU (poulie entre 2 guidages par roulements) Les efforts sont tels que A = B = /2 L'équation de la dérivée seconde de la déformée s'écrit : E. (, z). '' Mf z ( ) l faut deu intégrations successives pour déterminer l'équation () de la déformée. Le calcul des constantes K se fait en choisissant des conditions au limites de zones : En C : = L / 2 et C = 0 ( équation de la tangente au point C) En A : = 0 et A = 0 C est la valeur de la flèche mai en C Eemple 2 : POUTRE REPOSANT SUR DEUX APPUS AVEC CHARE UNORMEMENT REPARTE (Bâtiment : plancher, toit de super marché avec neige ) Diagrammes du torseur de cohésion : Les actions au appuis en A et B sont : Recherche de la déformée et de la flèche L epression du torseur de cohésion est : N X = T Y = M fz = Les conditions au limites sont : Montrer que la valeur de la flèche mai en C est : JC ROLN 9 Lcée.Eiffel Dijon

10 PARTE 2 : LEXON, Contraintes, Dimensionnement, Déformée Eemple 3 : POUTRE ENCASTREE AVEC CHARE CONCENTREE A UNE EXTREMTE (Bras de robot avec moteur bloqué, grue ) A est la flèche maimale en A, montrer que JC ROLN 10 Lcée.Eiffel Dijon

11 PARTE 2 : LEXON, Contraintes, Dimensionnement, Déformée CCP 2011 ardeleuse / Tapis roulant : Dimensionnement d un ae et des roulements de la liaison pivot entre le clindre tendeur et le bâti, JC ROLN 11 Lcée.Eiffel Dijon