Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions
|
|
- Théodore Faubert
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions HQ = He 1 He 2 He 3 He 4 HQ e 5 comme anneaux (avec centre Re 1 Re 2 Re 3 Re 4 Re 5 ), et HQ = He 1 He 2 He 3 He 4 HQ e 6 HQ e 7 comme HQ-modules à gauches. Mais les deux derniers modules ne sont pas simples. Posons e := 1 q[q] = 1 (([1] [ 1] + i[i] i[ i] + j[j] j[ j] + k[k] k[ k])) ; q Q e 9 := 1 (([1] [ 1] + i[i] i[ i] j[j] + j[ j] k[k] + k[ k])) ; e 10 := 1 (([1] [ 1] i[i] + i[ i] j[j] + j[ j] + k[k] k[ k])) ; e 11 := 1 (([1] [ 1] i[i] + i[ i] + j[j] j[ j] k[k] + k[ k])). On a e 6 = e + e 9 ; e 7 = e 10 + e 11 et On a pour chaque q Q que HQ = He 1 He 2 He 3 He 4 He He 9 He 10 He 11, [q]e = 1 r[qr] = 1 q 1 r[q] = q 1 e r Q et il suit facilement que e e i = e i e = 0, pour i = 1, 2, 3, 4, 9, 10, 11, e 2 = e et HQ e = He. Aussi par un calcul direct q Q e 9 = ie [i]; e 10 = je [j]; e 11 = ke [k]; e [ 1] = e. Les HQ-modules He, He 9, He 10 et He 11 sont isomorphes (par exemple: He 9 He : he 9 = hie [i] hie ). Donc on a cinq HQ-modules simples à isomorphisme près, chacun de dimension 1 sur H. Soit V 5 := H le HQ-module à gauche défini par q Q h q [q] h := q Q h q h q 1 (h q, h H). Alors e 1 = 1, e 9 i = ie [i] i = ie i(i) 1 = ie 1 = i, e 10 j = j, e 11 k = k. HQe V 5 : re r 1, R = End HQ (V 5 ) et End R (V 5 ) est de dimension 16 sur R, isomorphe à HQ e 5. 25
2 26 5. Le théorème de Wedderburn Dans cette section on montre que si G k alors l anneau de groupe kg est isomorphe comme anneau à un produit d anneaux de la forme End H (V ), où V est un espace vectoriel sur un corps gauche H. Premièrement nous allons étudier un peu ces anneaux d endomorphismes Anneaux d endomorphismes d un espace vectoriel. Fixons un corps gauche H et un espace vectoriel V sur H de dimension n. Fixons aussi une base e 1,..., e n de V. L ensemble End H (V ) des endomorphismes H-linéaires de V est un anneau, avec la composition comme multiplication. Si c C(H) (le centre de H), et η End H (V ) alors cη, définie par cη(v) = c η(v) = η(c v), est aussi dans End H (V ), et donc End H (V ) est d une façon naturelle un espace vectoriel sur le corps C(H). Pour un h H nous définissons h η par n n (h η)( h i e i ) := η( h i he i ) = n h i hη(e i ). Cette définition dépend fortement du choix de base, mais pour c C(H) on a cη = c η. On voit que h η End H (V ), h 1 h 2 η = (h 1 h 2 ) η, h (η 1 + η 2 ) = h (η 1 ) + h (η 2 ), 1 H η = η, pour h, h 1, h 2 H et η, η 1, η 2 End H (V ). Ainsi End H (V ) est un espace vectoriel sur H. Considérons pour chaque 1 i n, 1 j n l endomorphisme explicite E ij End H (V ) défini par E ij ( r h r e r ) := h j e i. Pour η End H (V ) définissons la matrice de scalaires [η] ij H par η(e j ) = n [η] ij e i. Lemme 5.1. (i) Les E ij, 1 i n, 1 j n, forment une base pour End H (V ) comme espace vectoriel sur H. En particulier η = ij [η] ij E ij. (ii) Pour h, h H on a (h E ij )(h (h h) E is si j = r, E rs ) = 0 sinon. (iii) 1 = E 11 + E E nn est l identité de End H (V ) et (h 1)(h 1) = (h h) 1, alors l application H End H (V ) : h h 1 est un anti-homomorphisme d anneau.
3 27 Preuve. (i) On comparant pour v = j h je j les deux calculs η(v) = j h j η(e j ) = i,j h j [η] ij e i et ij [η] ij E ij (v) = ij E ij ( r h r [η] ij e r ) = ij h j [η] ij e i on obtient η = ij [η] ij E ij. Si ij h ij E ij = 0, alors pour chaque r 0 = ij h ij E ij (e r ) = ij E ij (h ij e r ) = i h ir e i, donc h ir = 0 pour chaque i et r. Donc les E ij font une base sur H. (ii) et (iii) suivent des calculs directs. On utilise le lemme dans la preuve de la proposition suivante. Proposition 5.1. Soit H un corps gauche et V un H-espace vectoriel de dimension 1 n <. (i) Le centre de End H (V ) est isomorphe au centre de H C (End H (V )) = {c 1 V ; c C(H)}. (ii) End H (V ) est un anneau simple, c.-à-d., l anneau n a pas d idéal non-trivial. (iii) V est le seul End H (V )-module à gauche simple, à isomorphisme près. Preuve. (i) Soit η End H (V ) dans le centre. Alors pour chaque r on a E rr η = ηe rr et E 1r η = ηe 1r et donc par le lemme [η] rj E rj = [η] ir E ir, [η] rj E 1j = [η] i1 E ir, j i j i et donc [eta] ij = 0 si i j et [η] jj = [η] 11, donc η = h (E E nn = h 1, pour h H. On a aussi η(h 1) = (h 1)η, donc hh = h h pour chaque h H, et donc h est dans le centre de H. Par contre si η = c 1, alors pour chaque endomorphism η et v V on a (ηη )(v) = (c 1)(η )(v) = (c1)(η (v)) = η (cv) = η η(v), et donc η est dans le centre. (ii) Soit I un idéal non-zéro de A et η I un élément non-zéro. Alors il existe un coefficient [η] ij 0. I est un idéal, alors E ri ηe jr = [η] ij E rr = [η] ij 1 I, r r et aussi Alors I = End H (V ). Donc End H (V ) est simple. 1 = ([η] 1 ij ) 1)[η] ij 1 I.
4 2 (iii) Premièrement on montre que V est simple. Soit 0 U V un sous-module, et u = i h ie i U un élément non-zéro, disons h i 0. Alors (h 1 i ) E 1i (u) = e 1 U. Alors aussi j h j E j1 (e 1 ) = j h je j U, donc U = V. Soit J l annulateur J de e 1 V dans End H (V ). Alors l application η η(e 1 ) de End H (V ) dans V implique un isomorphisme de End H (V )-modules à gauche End H (V )/J V. Posons E = E 11 et E = E 22 + E E nn. Donc E 2 = E, (E ) 2 = E, EE = E E = 0, E + E = 1. Soit η(e 1 ) = 0, alors η est dans 0 = η(e 1 ) = ij [η] ij E ij (e 1 ) = ij E ij ([η] ij e 1 ) = i [η] i1 e i, donc [η] i1 = 0 pour chaque i. On a ηe = i 1,j>1 [η] ij E ij E rr = r>1 i 1,j>1 [η] ij E ij = η. Soit M maintenant un End H (V )-module à gauche simple, en particulier M 0. On a que End H (V )EM M est un sous module, donc EM = 0 ou End H (V )EM = M, par la simplicité de M. Supposons que EM = 0. Alors pour chaque i, j on a E ij M = E i1 EE 1j M = 0, alors M = 1M = ( i E ii )M = i E ii M = 0. Une contradiction, donc il existe un m M, tel que m := Em 0. Alors Em = E 2 m = Em = m et m = 1m = (E + E )m = Em + E m = m + E m, donc E m = 0. Soit η J, alors η = ηe et donc ηm = ηe m = 0 et J est contenu dans l annulateur de m M dans End H V. Par le théorème fondamental des homomorphismes, l homomorphisme de modules End H (V ) M : η η(m) induit un homomorphisme non-zero V End H (V )/J M. V et M étant simple, il suit que V et M sont isomorphes, par les mêmes arguments comme dans le lemme de Schur.
5 5.2. Wedderburn. Soit G un groupe fini et G k, où k est un corps gauche. Le centre de k est noté C. Nous savons maintenant qu il existe un nombre fini s de classes d isomorphisme de kg-modules simples. Soient V 1,..., V s ces kg-modules simples (à isomorphisme près). À chaque V i il y a une représentation associée ρ i : G GL(V i ) et par extension un homomorphisme d anneau ρ i : kg End V i. Par le lemme de Schur H i := End kg (V i ) est un corps gauche contenant C. On peut considérer V i alternativement comme kg-module, et comme espace vectoriel sur le corps gauche H i. Si r kg, h H i et v V i, alors par la définition de H i on a h(rv) = rh(v) = ρ i (r)(h(v)), donc ρ i (r) End Hi V i. Donc on obtient même un homomorphisme d anneau 29 ρ i : kg End Hi (V i ) : g a g [g] g a g ρ i (g). Le théorème de Wedderburn implique que c est un épimorphisme, donc chaque H i -endomorphisme de V i est de la forme g a gρ i (g), où les a g k. On montre même plus. Théorème 5.1 (Wedderburn). On suppose G k, k un corps gauche, et soient V 1,..., V s les kg-modules simples (à isomorphisme près). On supposera que la dimension de k comme un espace vectoriel sur son centre est de dimension finie. L application (ρ 1, ρ 2,..., ρ s ) : kg End H1 (V 1 ) End H2 (V 2 )... End Hs (V s ) est un isomorphisme d anneau. En particulier, kg est la somme directe d un certain nombre d algèbres de matrices sur des corps gauches variables, chacun simple. Preuve. Nous allons montrer que les deux côtés ont la même dimension comme espaces vectoriels sur le centre C de k. Dans lemme 5.1 on a montré que End Hi (V i ) est un espace vectoriel sur H i de dimension (dim Hi V i ) 2, et comme C-espace la dimension est (dim Hi V i ) 2 dim C H i = (dim C V i ) 2 dim C H i. Par th. 4.4 les dimensions des deux C-espaces de l homomorphisme (ρ 1, ρ 2,..., ρ s ) sont égales! Pour montrer le théorème de Wedderburn il suffit donc de montrer que l application est injective. Soit r kg dans le noyau de (ρ 1, ρ 2,..., ρ s ), donc r est dans le noyau de chaque ρ i. Alors r agit trivialement dans chaque kg-module simple, donc par le théorème de Maschke r agit trivialement dans chaque kg-module. En particulier, r agit trivialement sur kg, donc r [1 G ] = 0. Mais r [1 G ] = r, donc r = 0 et le noyau est trivial et l application est injective. Ce théorème dit qu on peut voir l anneau kg d une autre manière totalement différente. Certains propriétés de kg on voit plus facilement si on utilise l isomorphisme de Wedderburn. L anneau End Hi (V i ) est unitaire avec unité E i = 1 Vi. Le système d éléments E 1,..., E s jouent un rôle important dans l anneau à droite, disons A, dans l isomorphisme de Wedderburn. Les propriétés sont E 2 i = E i ; E i E j = 0(i j); 1 = E E s ;
6 30 les E i sont dans le centre de A; chaque idéal de A est engendré par un unique E J := j J E j, J {1, 2,..., s}, en particulier A contient 2 s idéaux; chaque sous-anneau AE i est simple; pour chaque A-module à gauche M on a une décomposition M = E 1 M E 2 M... E s M comme A-modules; les V i sont les seuls A-modules simples; E i V j = 0 si i j; E i agit comme l identité sur V i ; chaque élément du centre de A s écrit uniquement comme s c ie i, où c i C(H i ). Toutes ces propriétés sont facile à montrer en utilisant prop.5.1. Par l isomorphisme du théorème de Wedderburn il existe un système d éléments e 1,..., e s dans kg ayant exactement les mêmes propri tés! Tous ces éléments sont dans le centre de kg. On va d abord considérer le centre de l anneau kg Classes de conjugaison et centre de kg. Il y a une description directe du centre de l anneau kg, si G est fini. Soit C G une classe de conjugaison, donc C = {gxg 1 ; g G}, où x C quelconque. On définit sa fonction caractéristique δ C (ou [C]) par { 1 si x C δ C (x) = 0 sinon. ou [C] := x C[x] kg. En particulier, si c C(G) (=le centre du groupe), alors C = {c} est une classe de conjugaison. On verra que les [C] s donnent une base du centre de kg comme espace vectoriel sur le centre C(k) de k. Si on considère kg comme un ensemble de fonctions sur G avec la convolution comme produit, alors le centre de kg s identifie à la collection des fonctions centrales {f : G k; x, g G : f(xg) = f(gx), f(g) C(k)}. Par exemple, si ρ : G GL(V ) est une représentation de dimension finie sur un corps k, la fonction χ : G k : χ(g) := tr(ρ(g)) est une fonction centrale, dite le caractère de V. Proposition 5.2. Soit G un groupe fini, et k un corps gauche avec centre C(k). (i) Si C est une classe de conjugaison, alors [C] est dans le centre de kg. (ii) Si C 1,..., C c sont les classes de conjugaison de G, alors {[C 1 ], [C 2 ],..., [C c ]} est une C(k)- base du centre de kg. Preuve. Pour chaque g G on a [g][c] = x C [gx] = x C[gxg 1 ][g] = [C][g], donc [C] commute avec les éléments de base de kg, et commute même avec tous les éléments de kg; ou [C] est dans le centre de kg. Si C i C j, alors C i et C j sont disjoints. Donc [C i ] et [C j ] utilisent autres vecteurs de base [g]. Il suit que les [C i ] sont linéairement indépendants sur k.
7 31 Soit c = x G a x[x] dans le centre de kg, donc pour chaque g G on a c = [g 1 ]c[g] = x G a x [g 1 xg] = x G a gxg 1[x]. Donc les coefficients a x = a gxg 1 sont constants sur chaque classe de conjugaison. Posons a i := a x, pour un x C i. Alors c = c a i[c i ] et c commute aussi avec les scalaires, donc les coefficients a i sont dans le centree C(k), et donc les C i font une base du centre de kg comme C(k)-espace vectoriel. Si G k le théorème de Wedderburn donne une autre description du centre de kg Autre description du centre de kg. Si V i est un kg-module simple et c C(kG), alors l application linéaire µ i,c : V i V i : w cw commute avec l opération de G, donc est par définition un élément du corps gauche H i. montrons que µ i,c est même dans le centre de H i, alors Et aussi que est un isomorphisme d anneaux. µ i : C(kG) C(H i ) : c µ i,c. (µ 1,..., µ s ) : C(kG) C(H 1 ) C(H 2 )... C(H s ) Nous Corollaire 5.1. Même hypothèses comme dans le théorème de Wedderburn, en particulier G k et dim C(k) k <. L application (µ 1,..., µ s ) : C(kG) C(H 1 ) C(H 2 )... C(H s ) est un isomorphisme d anneau. Donc si c est le nombre de classes de conjugaison de G, et s le nombre de kg-modules simples on a s c = dim C(k) C(kG) = dim C(k) C(H i ) s. En particulier, le nombre des kg-modules simples (à isomorphisme près) est égal au nombre de classes de conjugaison dans G si et seulement si C(H i ) = C(k) pour chaque i. Preuve du corollaire. Par le théorème de Wedderburn on obtient un isomorphisme d anneau : (ρ 1, ρ 2,..., ρ c ) : kg End H1 (V 1 ) End H2 (V 2 )... End Hs (V s ). Par restriction on obtient un isomorphisme entre les centres. Par la prop 5.1, le centre de End Hi V i est C(H i )1 Vi.
8 42 Département de mathématiques et de statistique, Université de Montréal, C.P. 612, succursale Centre-ville, Montréal (Québec), Canada H3C 3J7 address:
www.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailRésumé du cours d algèbre 1, 2013-2014. Sandra Rozensztajn. UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr
Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014 Sandra Rozensztajn UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr CHAPITRE 0 Relations d équivalence et classes d équivalence 1. Relation d équivalence Définition
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailProposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5.
DÉVELOPPEMENT 32 A 5 EST LE SEUL GROUPE SIMPLE D ORDRE 60 Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5. Démonstration. On considère un groupe G d ordre 60 = 2 2 3 5 et
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailAnalyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe
Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe des n n groupes quantiques compacts qui ont la théorie
Plus en détailVI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE
VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE 12. Compléments sur les modules 12.1. Théorème de Zorn et conséquences. Soient A un anneau commutatif
Plus en détailChapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens
Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailMAT 721: Algèbre non commutative. Chapitre I: Algèbres. 1.1 Définitions et exemples
MAT 721: Algèbre non commutative Chapitre I: Algèbres 1.1 Définitions et exemples Dans notre terminologie, un anneau R admet toujours un élément identité 1 R R-module à droite M est toujours unifère, c
Plus en détailThéorie et codage de l information
Théorie et codage de l information Les codes linéaires - Chapitre 6 - Principe Définition d un code linéaire Soient p un nombre premier et s est un entier positif. Il existe un unique corps de taille q
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailCHAPITRE IV. L axiome du choix
CHAPITRE IV L axiome du choix Résumé. L axiome du choix AC affirme qu il est légitime de construire des objets mathématiques en répétant un nombre infini de fois l opération de choisir un élément dans
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détail1 Complément sur la projection du nuage des individus
TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailRelation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices
Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 MPSI 1 Feuille d exercices Manipulation des relations d ordre. Relation d ordre Exercice 1. Soit E un ensemble fixé contenant au moins deux éléments. On considère la relation
Plus en détailChapitre VI - Méthodes de factorisation
Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.
Plus en détailSuites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailGroupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités
Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations
Plus en détailPEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS?
PEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS? Pierre Baumann, Michel Émery Résumé : Comment une propriété évidente visuellement en dimensions deux et trois s étend-elle aux autres dimensions? Voici une
Plus en détailRAPHAËL ROUQUIER. 1. Introduction
CATÉGORIES DÉRIVÉES ET GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE Trois exposés à la semaine «Géométrie algébrique complexe» au CIRM, Luminy, décembre 2003 1. Introduction On étudie dans un premier temps les propriétés internes
Plus en détail1 Définition et premières propriétés des congruences
Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailCours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre
Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard, Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret Année 2006-2007 2 Table des matières
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailLa transformée de Fourier sur un groupe fini et quelques-unes de ses applications. Elise Raphael Semestre d automne 2009-2010
La transformée de Fourier sur un groupe fini et quelques-unes de ses applications Elise Raphael Semestre d automne 009-010 1 Contents 1 Transformée de Fourier sur un groupe fini 3 1.1 Dual d un groupe
Plus en détailEteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques :
MTH EN JEN 2013-2014 Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : Lycée Michel Montaigne : HERITEL ôme T S POLLOZE Hélène 1 S SOK Sophie 1 S Eteindre Lycée Sud Médoc : ROSIO Gauthier 2 nd PELGE
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 avril 215 Enoncés 1 Exercice 1 [ 265 ] [correction] On note V l ensemble des matrices à coefficients entiers du type a b c d d a b c c d a b b c d a et G l ensemble
Plus en détail= 1 si n = m& où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4... En fait,! n m
1 épartement de Physique, Université Laval, Québec Pierre Amiot, 1. La fonction delta et certaines de ses utilisations. Clientèle Ce texte est destiné aux physiciens, ingénieurs et autres scientifiques.
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailThéorie de la mesure. S. Nicolay
Théorie de la mesure S. Nicolay Année académique 2011 2012 ii Table des matières Introduction v 1 Mesures 1 1.1 Sigma-algèbres................................. 1 1.2 Mesures.....................................
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailSuites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites
Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailLa mesure de Lebesgue sur la droite réelle
Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailCNAM UE MVA 210 Ph. Durand Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul dierentiel 2
CNAM UE MVA 210 Ph. Duran Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul ierentiel 2 Jeui 26 octobre 2006 1 Formes iérentielles e egrés 1 Dès l'introuction es bases u calcul iérentiel, nous avons mis en
Plus en détailProduit semi-direct. Table des matières. 1 Produit de sous-groupes 2. 2 Produit semi-direct de sous-groupes 3. 3 Produit semi-direct de groupes 4
Produit semi-direct Table des matières 1 Produit de sous-groupes 2 2 Produit semi-direct de sous-groupes 3 3 Produit semi-direct de groupes 4 1 1 Produit de sous-groupes Soient G un groupe et H et K deux
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détailApproximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2
Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailConstruction de l'intégrale de Lebesgue
Université d'artois Faculté des ciences Jean Perrin Mesure et Intégration (Licence 3 Mathématiques-Informatique) Daniel Li Construction de l'intégrale de Lebesgue 10 février 2011 La construction de l'intégrale
Plus en détailChapitre VI Fonctions de plusieurs variables
Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements
Plus en détailCorrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2
33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre
Plus en détail2 Division dans l anneau des polynômes à plusieurs variables
MA 2 2011-2012 M2 Algèbre formelle 1 Introduction 1.1 Référence Ideals, varieties and algorithms, D. Cox, J. Little, D. O Shea, Undergraduate texts in Mathematics, Springer 1997. Using algebraic geometry,
Plus en détailÉquations non linéaires
Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et
Plus en détailNOTATIONS PRÉLIMINAIRES
Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailProgramme de la classe de première année MPSI
Objectifs Programme de la classe de première année MPSI I - Introduction à l analyse L objectif de cette partie est d amener les étudiants vers des problèmes effectifs d analyse élémentaire, d introduire
Plus en détailCHAPITRE 5. Stratégies Mixtes
CHAPITRE 5 Stratégies Mixtes Un des problèmes inhérents au concept d équilibre de Nash en stratégies pures est que pour certains jeux, de tels équilibres n existent pas. P.ex.le jeu de Pierre, Papier,
Plus en détail1 Première section: La construction générale
AMALGAMATIONS DE CLASSES DE SOUS-GROUPES D UN GROUPE ABÉLIEN. SOUS-GROUPES ESSENTIEL-PURS. Călugăreanu Grigore comunicare prezentată la Conferinţa de grupuri abeliene şi module de la Padova, iunie 1994
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailTIQUE DE FRANCE NILSYSTÈMES D ORDRE 2 ET PARALLÉLÉPIPÈDES
Bulletin de la SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE NILSYSTÈMES D ORDRE 2 ET PARALLÉLÉPIPÈDES Bernard Host & Alejandro Maass Tome 135 Fascicule 3 2007 SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE Publié avec le concours du
Plus en détailEspace II. Algèbres d opérateurs et Géométrie non commutative.
Chapitre 2 Espace II. Algèbres d opérateurs et Géométrie non commutative. Dans le formalisme de la mécanique quantique, les observables ne sont plus des grandeurs ou fonctions numériques, que l on peut
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailn N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t
3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes
Plus en détailTESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION
TESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION Bruno Saussereau Laboratoire de Mathématiques de Besançon Université de Franche-Comté Travail en commun
Plus en détailComment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise
Comment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise Marc Mezzarobba Sam Zoghaib Sujet proposé par François Loeser Résumé Nous exposons un ensemble de méthodes qui permettent d évaluer «en forme
Plus en détailChapitre 5 : Flot maximal dans un graphe
Graphes et RO TELECOM Nancy A Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre I. Définitions 1 Graphe Graphe valué 3 Représentation d un graphe (matrice d incidence, matrice d
Plus en détailLa Longue Marche à travers la théorie de Galois, Part Ib, 26-37
La Longue Marche à travers la théorie de Galois, Part Ib, 26-37 26. Groupes de Teichmüller profinis (Discrétification et prédiscrétification) Soit π un groupe profini à lacets de type g, ν, T le Ẑ-module
Plus en détailProgrammation linéaire
Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire
Plus en détailModèles et Méthodes de Réservation
Modèles et Méthodes de Réservation Petit Cours donné à l Université de Strasbourg en Mai 2003 par Klaus D Schmidt Lehrstuhl für Versicherungsmathematik Technische Universität Dresden D 01062 Dresden E
Plus en détailchoisir H 1 quand H 0 est vraie - fausse alarme
étection et Estimation GEL-64943 Hiver 5 Tests Neyman-Pearson Règles de Bayes: coûts connus min π R ( ) + ( π ) R ( ) { } Règles Minimax: coûts connus min max R ( ), R ( ) Règles Neyman Pearson: coûts
Plus en détailUn nouvel algorithme de calcul d une Base de Gröbner
Un nouvel algorithme de calcul d une Base de Gröbner H. Lombardi Janvier 98 Équipe de Mathématiques de Besançon. UMR CNRS 6623. UFR des Sciences et Techniques. Université de Franche-Comté. 25030 Besançon
Plus en détail