Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions

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1 Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions HQ = He 1 He 2 He 3 He 4 HQ e 5 comme anneaux (avec centre Re 1 Re 2 Re 3 Re 4 Re 5 ), et HQ = He 1 He 2 He 3 He 4 HQ e 6 HQ e 7 comme HQ-modules à gauches. Mais les deux derniers modules ne sont pas simples. Posons e := 1 q[q] = 1 (([1] [ 1] + i[i] i[ i] + j[j] j[ j] + k[k] k[ k])) ; q Q e 9 := 1 (([1] [ 1] + i[i] i[ i] j[j] + j[ j] k[k] + k[ k])) ; e 10 := 1 (([1] [ 1] i[i] + i[ i] j[j] + j[ j] + k[k] k[ k])) ; e 11 := 1 (([1] [ 1] i[i] + i[ i] + j[j] j[ j] k[k] + k[ k])). On a e 6 = e + e 9 ; e 7 = e 10 + e 11 et On a pour chaque q Q que HQ = He 1 He 2 He 3 He 4 He He 9 He 10 He 11, [q]e = 1 r[qr] = 1 q 1 r[q] = q 1 e r Q et il suit facilement que e e i = e i e = 0, pour i = 1, 2, 3, 4, 9, 10, 11, e 2 = e et HQ e = He. Aussi par un calcul direct q Q e 9 = ie [i]; e 10 = je [j]; e 11 = ke [k]; e [ 1] = e. Les HQ-modules He, He 9, He 10 et He 11 sont isomorphes (par exemple: He 9 He : he 9 = hie [i] hie ). Donc on a cinq HQ-modules simples à isomorphisme près, chacun de dimension 1 sur H. Soit V 5 := H le HQ-module à gauche défini par q Q h q [q] h := q Q h q h q 1 (h q, h H). Alors e 1 = 1, e 9 i = ie [i] i = ie i(i) 1 = ie 1 = i, e 10 j = j, e 11 k = k. HQe V 5 : re r 1, R = End HQ (V 5 ) et End R (V 5 ) est de dimension 16 sur R, isomorphe à HQ e 5. 25

2 26 5. Le théorème de Wedderburn Dans cette section on montre que si G k alors l anneau de groupe kg est isomorphe comme anneau à un produit d anneaux de la forme End H (V ), où V est un espace vectoriel sur un corps gauche H. Premièrement nous allons étudier un peu ces anneaux d endomorphismes Anneaux d endomorphismes d un espace vectoriel. Fixons un corps gauche H et un espace vectoriel V sur H de dimension n. Fixons aussi une base e 1,..., e n de V. L ensemble End H (V ) des endomorphismes H-linéaires de V est un anneau, avec la composition comme multiplication. Si c C(H) (le centre de H), et η End H (V ) alors cη, définie par cη(v) = c η(v) = η(c v), est aussi dans End H (V ), et donc End H (V ) est d une façon naturelle un espace vectoriel sur le corps C(H). Pour un h H nous définissons h η par n n (h η)( h i e i ) := η( h i he i ) = n h i hη(e i ). Cette définition dépend fortement du choix de base, mais pour c C(H) on a cη = c η. On voit que h η End H (V ), h 1 h 2 η = (h 1 h 2 ) η, h (η 1 + η 2 ) = h (η 1 ) + h (η 2 ), 1 H η = η, pour h, h 1, h 2 H et η, η 1, η 2 End H (V ). Ainsi End H (V ) est un espace vectoriel sur H. Considérons pour chaque 1 i n, 1 j n l endomorphisme explicite E ij End H (V ) défini par E ij ( r h r e r ) := h j e i. Pour η End H (V ) définissons la matrice de scalaires [η] ij H par η(e j ) = n [η] ij e i. Lemme 5.1. (i) Les E ij, 1 i n, 1 j n, forment une base pour End H (V ) comme espace vectoriel sur H. En particulier η = ij [η] ij E ij. (ii) Pour h, h H on a (h E ij )(h (h h) E is si j = r, E rs ) = 0 sinon. (iii) 1 = E 11 + E E nn est l identité de End H (V ) et (h 1)(h 1) = (h h) 1, alors l application H End H (V ) : h h 1 est un anti-homomorphisme d anneau.

3 27 Preuve. (i) On comparant pour v = j h je j les deux calculs η(v) = j h j η(e j ) = i,j h j [η] ij e i et ij [η] ij E ij (v) = ij E ij ( r h r [η] ij e r ) = ij h j [η] ij e i on obtient η = ij [η] ij E ij. Si ij h ij E ij = 0, alors pour chaque r 0 = ij h ij E ij (e r ) = ij E ij (h ij e r ) = i h ir e i, donc h ir = 0 pour chaque i et r. Donc les E ij font une base sur H. (ii) et (iii) suivent des calculs directs. On utilise le lemme dans la preuve de la proposition suivante. Proposition 5.1. Soit H un corps gauche et V un H-espace vectoriel de dimension 1 n <. (i) Le centre de End H (V ) est isomorphe au centre de H C (End H (V )) = {c 1 V ; c C(H)}. (ii) End H (V ) est un anneau simple, c.-à-d., l anneau n a pas d idéal non-trivial. (iii) V est le seul End H (V )-module à gauche simple, à isomorphisme près. Preuve. (i) Soit η End H (V ) dans le centre. Alors pour chaque r on a E rr η = ηe rr et E 1r η = ηe 1r et donc par le lemme [η] rj E rj = [η] ir E ir, [η] rj E 1j = [η] i1 E ir, j i j i et donc [eta] ij = 0 si i j et [η] jj = [η] 11, donc η = h (E E nn = h 1, pour h H. On a aussi η(h 1) = (h 1)η, donc hh = h h pour chaque h H, et donc h est dans le centre de H. Par contre si η = c 1, alors pour chaque endomorphism η et v V on a (ηη )(v) = (c 1)(η )(v) = (c1)(η (v)) = η (cv) = η η(v), et donc η est dans le centre. (ii) Soit I un idéal non-zéro de A et η I un élément non-zéro. Alors il existe un coefficient [η] ij 0. I est un idéal, alors E ri ηe jr = [η] ij E rr = [η] ij 1 I, r r et aussi Alors I = End H (V ). Donc End H (V ) est simple. 1 = ([η] 1 ij ) 1)[η] ij 1 I.

4 2 (iii) Premièrement on montre que V est simple. Soit 0 U V un sous-module, et u = i h ie i U un élément non-zéro, disons h i 0. Alors (h 1 i ) E 1i (u) = e 1 U. Alors aussi j h j E j1 (e 1 ) = j h je j U, donc U = V. Soit J l annulateur J de e 1 V dans End H (V ). Alors l application η η(e 1 ) de End H (V ) dans V implique un isomorphisme de End H (V )-modules à gauche End H (V )/J V. Posons E = E 11 et E = E 22 + E E nn. Donc E 2 = E, (E ) 2 = E, EE = E E = 0, E + E = 1. Soit η(e 1 ) = 0, alors η est dans 0 = η(e 1 ) = ij [η] ij E ij (e 1 ) = ij E ij ([η] ij e 1 ) = i [η] i1 e i, donc [η] i1 = 0 pour chaque i. On a ηe = i 1,j>1 [η] ij E ij E rr = r>1 i 1,j>1 [η] ij E ij = η. Soit M maintenant un End H (V )-module à gauche simple, en particulier M 0. On a que End H (V )EM M est un sous module, donc EM = 0 ou End H (V )EM = M, par la simplicité de M. Supposons que EM = 0. Alors pour chaque i, j on a E ij M = E i1 EE 1j M = 0, alors M = 1M = ( i E ii )M = i E ii M = 0. Une contradiction, donc il existe un m M, tel que m := Em 0. Alors Em = E 2 m = Em = m et m = 1m = (E + E )m = Em + E m = m + E m, donc E m = 0. Soit η J, alors η = ηe et donc ηm = ηe m = 0 et J est contenu dans l annulateur de m M dans End H V. Par le théorème fondamental des homomorphismes, l homomorphisme de modules End H (V ) M : η η(m) induit un homomorphisme non-zero V End H (V )/J M. V et M étant simple, il suit que V et M sont isomorphes, par les mêmes arguments comme dans le lemme de Schur.

5 5.2. Wedderburn. Soit G un groupe fini et G k, où k est un corps gauche. Le centre de k est noté C. Nous savons maintenant qu il existe un nombre fini s de classes d isomorphisme de kg-modules simples. Soient V 1,..., V s ces kg-modules simples (à isomorphisme près). À chaque V i il y a une représentation associée ρ i : G GL(V i ) et par extension un homomorphisme d anneau ρ i : kg End V i. Par le lemme de Schur H i := End kg (V i ) est un corps gauche contenant C. On peut considérer V i alternativement comme kg-module, et comme espace vectoriel sur le corps gauche H i. Si r kg, h H i et v V i, alors par la définition de H i on a h(rv) = rh(v) = ρ i (r)(h(v)), donc ρ i (r) End Hi V i. Donc on obtient même un homomorphisme d anneau 29 ρ i : kg End Hi (V i ) : g a g [g] g a g ρ i (g). Le théorème de Wedderburn implique que c est un épimorphisme, donc chaque H i -endomorphisme de V i est de la forme g a gρ i (g), où les a g k. On montre même plus. Théorème 5.1 (Wedderburn). On suppose G k, k un corps gauche, et soient V 1,..., V s les kg-modules simples (à isomorphisme près). On supposera que la dimension de k comme un espace vectoriel sur son centre est de dimension finie. L application (ρ 1, ρ 2,..., ρ s ) : kg End H1 (V 1 ) End H2 (V 2 )... End Hs (V s ) est un isomorphisme d anneau. En particulier, kg est la somme directe d un certain nombre d algèbres de matrices sur des corps gauches variables, chacun simple. Preuve. Nous allons montrer que les deux côtés ont la même dimension comme espaces vectoriels sur le centre C de k. Dans lemme 5.1 on a montré que End Hi (V i ) est un espace vectoriel sur H i de dimension (dim Hi V i ) 2, et comme C-espace la dimension est (dim Hi V i ) 2 dim C H i = (dim C V i ) 2 dim C H i. Par th. 4.4 les dimensions des deux C-espaces de l homomorphisme (ρ 1, ρ 2,..., ρ s ) sont égales! Pour montrer le théorème de Wedderburn il suffit donc de montrer que l application est injective. Soit r kg dans le noyau de (ρ 1, ρ 2,..., ρ s ), donc r est dans le noyau de chaque ρ i. Alors r agit trivialement dans chaque kg-module simple, donc par le théorème de Maschke r agit trivialement dans chaque kg-module. En particulier, r agit trivialement sur kg, donc r [1 G ] = 0. Mais r [1 G ] = r, donc r = 0 et le noyau est trivial et l application est injective. Ce théorème dit qu on peut voir l anneau kg d une autre manière totalement différente. Certains propriétés de kg on voit plus facilement si on utilise l isomorphisme de Wedderburn. L anneau End Hi (V i ) est unitaire avec unité E i = 1 Vi. Le système d éléments E 1,..., E s jouent un rôle important dans l anneau à droite, disons A, dans l isomorphisme de Wedderburn. Les propriétés sont E 2 i = E i ; E i E j = 0(i j); 1 = E E s ;

6 30 les E i sont dans le centre de A; chaque idéal de A est engendré par un unique E J := j J E j, J {1, 2,..., s}, en particulier A contient 2 s idéaux; chaque sous-anneau AE i est simple; pour chaque A-module à gauche M on a une décomposition M = E 1 M E 2 M... E s M comme A-modules; les V i sont les seuls A-modules simples; E i V j = 0 si i j; E i agit comme l identité sur V i ; chaque élément du centre de A s écrit uniquement comme s c ie i, où c i C(H i ). Toutes ces propriétés sont facile à montrer en utilisant prop.5.1. Par l isomorphisme du théorème de Wedderburn il existe un système d éléments e 1,..., e s dans kg ayant exactement les mêmes propri tés! Tous ces éléments sont dans le centre de kg. On va d abord considérer le centre de l anneau kg Classes de conjugaison et centre de kg. Il y a une description directe du centre de l anneau kg, si G est fini. Soit C G une classe de conjugaison, donc C = {gxg 1 ; g G}, où x C quelconque. On définit sa fonction caractéristique δ C (ou [C]) par { 1 si x C δ C (x) = 0 sinon. ou [C] := x C[x] kg. En particulier, si c C(G) (=le centre du groupe), alors C = {c} est une classe de conjugaison. On verra que les [C] s donnent une base du centre de kg comme espace vectoriel sur le centre C(k) de k. Si on considère kg comme un ensemble de fonctions sur G avec la convolution comme produit, alors le centre de kg s identifie à la collection des fonctions centrales {f : G k; x, g G : f(xg) = f(gx), f(g) C(k)}. Par exemple, si ρ : G GL(V ) est une représentation de dimension finie sur un corps k, la fonction χ : G k : χ(g) := tr(ρ(g)) est une fonction centrale, dite le caractère de V. Proposition 5.2. Soit G un groupe fini, et k un corps gauche avec centre C(k). (i) Si C est une classe de conjugaison, alors [C] est dans le centre de kg. (ii) Si C 1,..., C c sont les classes de conjugaison de G, alors {[C 1 ], [C 2 ],..., [C c ]} est une C(k)- base du centre de kg. Preuve. Pour chaque g G on a [g][c] = x C [gx] = x C[gxg 1 ][g] = [C][g], donc [C] commute avec les éléments de base de kg, et commute même avec tous les éléments de kg; ou [C] est dans le centre de kg. Si C i C j, alors C i et C j sont disjoints. Donc [C i ] et [C j ] utilisent autres vecteurs de base [g]. Il suit que les [C i ] sont linéairement indépendants sur k.

7 31 Soit c = x G a x[x] dans le centre de kg, donc pour chaque g G on a c = [g 1 ]c[g] = x G a x [g 1 xg] = x G a gxg 1[x]. Donc les coefficients a x = a gxg 1 sont constants sur chaque classe de conjugaison. Posons a i := a x, pour un x C i. Alors c = c a i[c i ] et c commute aussi avec les scalaires, donc les coefficients a i sont dans le centree C(k), et donc les C i font une base du centre de kg comme C(k)-espace vectoriel. Si G k le théorème de Wedderburn donne une autre description du centre de kg Autre description du centre de kg. Si V i est un kg-module simple et c C(kG), alors l application linéaire µ i,c : V i V i : w cw commute avec l opération de G, donc est par définition un élément du corps gauche H i. montrons que µ i,c est même dans le centre de H i, alors Et aussi que est un isomorphisme d anneaux. µ i : C(kG) C(H i ) : c µ i,c. (µ 1,..., µ s ) : C(kG) C(H 1 ) C(H 2 )... C(H s ) Nous Corollaire 5.1. Même hypothèses comme dans le théorème de Wedderburn, en particulier G k et dim C(k) k <. L application (µ 1,..., µ s ) : C(kG) C(H 1 ) C(H 2 )... C(H s ) est un isomorphisme d anneau. Donc si c est le nombre de classes de conjugaison de G, et s le nombre de kg-modules simples on a s c = dim C(k) C(kG) = dim C(k) C(H i ) s. En particulier, le nombre des kg-modules simples (à isomorphisme près) est égal au nombre de classes de conjugaison dans G si et seulement si C(H i ) = C(k) pour chaque i. Preuve du corollaire. Par le théorème de Wedderburn on obtient un isomorphisme d anneau : (ρ 1, ρ 2,..., ρ c ) : kg End H1 (V 1 ) End H2 (V 2 )... End Hs (V s ). Par restriction on obtient un isomorphisme entre les centres. Par la prop 5.1, le centre de End Hi V i est C(H i )1 Vi.

8 42 Département de mathématiques et de statistique, Université de Montréal, C.P. 612, succursale Centre-ville, Montréal (Québec), Canada H3C 3J7 address:

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