VII. Systèmes linéaires - Matrices

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1 VII Systèmes linéaires - Matrices Systèmes d équations linéaires Définition d un système d équations linéaires Définition On appelle système linéaire de n équations à p inconnues le système d équations : a, u + a, u + + a,p u p = v a, u + a, u + + a,p u p = v a n, u + a n, u + + a n,p u p = v n Les nombres réels ou complexes {u j } j p sont les inconnues du système et les nombres réels ou complexes {a i,j,v i } i n, j p les coefficients du système a, a, a,p a, a, a,p En posant A =, U = a n, a n, a n,p A est alors appelée matrice associée au système u u u p et V = v v v n, ce système se note AU = V, Un système tel que V = 0 est dit homogène, le système linéaire AU = 0 est appelé système linéaire homogène associé au système AU = V Exercice Écrire matriciellement les systèmes linéaires suivants : x+z = x+y = 0 S : x+y +z = S : x y = y 3z = 5x y = S 3 : { x y = 3x+z = Définition On appelle solution d un système linéaire S : AU = V d inconnue U et de matrice associée A une valeur de U vérifiant l équation AU = V Résoudre un système linéaire c est déterminer l ensemble de ses solutions Exercice On considère le système linéaire suivant : x + y z = 3 S : x y + z = 9 3x y z = Exprimer z en fonction de x et y en utilisant la ligne puis substituer z dans les lignes et 3 Exprimer y en fonction de x en utilisant la ligne puis substituer y dans la ligne 3 En déduire les solutions du système S Exercice 3 Résoudre les systèmes de l exercice en procédant par substitution wwwemmanuelmorandnet /6 suptsi78maths07

2 Opérations élémentaires sur les lignes d un système linéaire VII Systèmes linéaires - Matrices Définition 3 On définit trois types d opérations élémentaires sur les lignes d une système linéaire : échange des lignes i et j : L i L j multiplication de la ligne i par λ 0 : L i λl i ajout à la ligne i de la ligne j i multipliée par λ : L i L i +λl j Exercice 4 Effectuer successivement les opérations élémentaires L L L, L 3 L 3 L puis x + y + z = L 3 L 3 L sur le système linéaire x z = x + y z = 3 En déduire les solutions du système Exercice 5 Décomposer l opération L i 3L i L j en suite de deux opérations élémentaires de deux manières différentes Propriété Une opération élémentaire sur les lignes d un système admet une opération réciproque Exercice 6 Donner des opérations sur les lignes d un système n admettant pas d opération réciproque Corollaire Deux systèmes linéaires pour lesquels on passe de l un à l autre par une suite finie d opérations élémentaires sur les lignes ont le même ensemble de solutions x + y z = Exercice 7 Déterminer les solutions du système linéaire x + y z = 3 en utilisant des x + y z = opérations élémentaires sur les lignes Définition 4 On appelle systèmes équivalents, deux systèmes linéaires pour lesquels on passe de l un à l autre par une suite finie d opérations élémentaires sur les lignes On appelle matrices équivalentes en ligne, deux matrices A et A pour lesquelles on passe de l une à l autre par une suite finie d opérations élémentaires sur les lignes, on note A L A Exercice 8 Montrer que les matrices A = lignes 0 et A = sont équivalentes en Définition 5 On appelle matrice augmentée d un système linéaire AU = V la matrice (A V obtenue en ajoutant à droite la colonne V à la matrice A associée au système x + y + z = Exercice 9 Déterminer la matrice augmentée M du système x + y + z = puis résoudre x + y = celui-ci en effectuant des opérations élémentaires sur M Propriété Si on passe d un système linéaire S à un système linéaire S par une suite finie d opérations élémentaires sur les lignes alors la matrice augmentée de S s obtient à partir de celle de S par la même suite d opérations wwwemmanuelmorandnet /6 suptsi78maths07

3 3 Échelonnement d un système linéaire VII Systèmes linéaires - Matrices Définition 6 On appelle matrice échelonnée en lignes, une matrice telle que : si une ligne est entièrement nulle, toutes les lignes suivantes le sont aussi, à partir de la deuxième ligne, dans toute ligne non entièrement nulle, le premier coefficient non nul est situé à droite du premier coefficient non nul de la ligne précédente Exemple Les matrices M = et M = ( sont échelonnées en lignes Définition 7 On appelle pivot d une ligne non entièrement nulle son premier coefficient non nul On appelle matrice échelonnée réduite en lignes une matrice échelonnée dont tous les pivots sont égaux à et sont les seuls éléments non nuls de leur colonne Exercice 0 Montrer que les matrices M et M de l exemple sont équivalentes en lignes à des matrices échelonnées réduites en lignes que l on déterminera Théorème Toute matrice non nulle est équivalente en lignes à une unique matrice échelonnée réduite en lignes Exercice Déterminer la matrice échelonnée réduite en lignes équivalente en lignes à la matrice 0 4 M = Résolution d un système linéaire Définition 8 On appelle rang d un système linéaire le nombre de pivots de la matrice échelonnée réduite équivalente en lignes à la matrice associée au système Exercice Déterminer le rang des systèmes suivants : x+ y z= x+y+3z= S : x 3y+ z= S : x+3y+ z= 4x+y 7z= 3x+ y+z= x y+ z= S 3 : x+y z= x 4y+3z= Propriété 3 On considère un système linéaire dont la matrice associée est échelonnée réduite en lignes, on note r son rang et p son nombre d inconnues Si le système comporte une ligne dont le membre de gauche est nul et pas celui de droite il n admet aucune solution et est dit incompatible, dans le cas contraire le système est dit compatible, il admet : une solution unique si r = p, une infinité de solutions si r < p, l ensemble des solutions étant alors paramétré par p r inconnues secondaires situées sur les colonnes sans pivot, les inconnues situées sur les colonnes avec pivot étant appelées inconnues principales Exercice 3 Résoudre les systèmes de l exercice Propriété 4 Les solutions d un système linéaire S compatible sont de la forme U = Ũ +U H où Ũ est une solution particulière de S et U H une solution quelconque du système linéaire homogène S H associé à S Exercice 4 Vérifier la propriété sur les sytèmes S et S 3 de l exercice wwwemmanuelmorandnet 3/6 suptsi78maths07

4 5 Famille de vecteurs de R n VII Systèmes linéaires - Matrices Définition 9 On appelle combinaison linéaire d une famille de vecteurs de R n, F = ( u, u,, u p, un vecteur λ u +λ u + +λ p u p avec λ,λ,,λ p R Exemple u v et u +3 v w sont des combinaisons linéaires de la famille ( u, v, w ( ( Exercice 5 On considère une famille de vecteurs F = u, ( v de R, montrer que le vecteur ( e est une combinaison linéaire des vecteurs de la famille F 5 Remarque Résoudre un système linéaire AU = V, c est chercher si le membre de droite V peut s exprimer comme combinaison linéaire des colonnes de la matrice A Définition 0 Une famille de vecteurs F de R n est dite génératrice de R n si tout vecteur de R n peut s exprimer comme combinaison linéaire des vecteurs de F Exercice 6 On considère une famille de vecteurs F = u, v, w de R 3 ainsi qu un vecteur a e b c Montrer que le système e = λ u + µ v +ν w d inconnues λ,µ,ν admet une solution En déduire que F est génératrice de R 3 Définition Une famille de vecteurs de R n est dite libre si aucun de ses vecteurs ne peut s écrire comme une combinaison linéaire des autres Une famille de vecteurs qui n est pas libre est dite liée Remarque Deux vecteurs non colinéaires forment une famille libre, trois vecteurs non coplanaires forment une famille libre Propriété 5 Caractérisation d une famille libre Une famille de vecteurs F = ( u, u,, u p est libre si et seulement si le système linéaire λ u +λ u + +λ pup = 0 admet pour unique solution λ = λ = = λ p = 0 Exercice 7 On considère une famille de vecteurs F = u, v, w 5 5 de R 3 Résoudre le système 0 = λ u +µ v +ν w d inconnues λ,µ,ν, en déduire que la famille F est liée puis exprimer w comme combinaison linéaire de u et v wwwemmanuelmorandnet 4/6 suptsi78maths07

5 Matrices VII Systèmes linéaires - Matrices Opérations sur les matrices On note K = R ou C Définition On appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients réels ou complexes un tableau rectangulaire à n lignes et p colonnes de nombres réels ou complexes : a a a p a a a p A = (a ij i n = j p a n a n a np On note a ij le coefficient de la matrice A situé sur la i-ième ligne et sur la j-ième colonne Une matrice comportant une seule ligne est appelée matrice ligne, une matrice comportant une seule colonne est appelée matrice colonne, une matrice comportant le même nombre de lignes que de colonnes est appelée matrice carrée On note M n,p (K l ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K et on note M n (K l ensemble des matrices carrées à n lignes et n colonnes à coefficients dans K ( 3 Exercice 8 On considère la matrice A =, donner les coefficients a a et a 3 Définition 3 Étant données deux matrices A,B M n,p(k et un scalaire λ K, on définit : λa = (λa ij i n j p A+B = (a ij +b ij i n j p ( 3 Exercice 9 Calculer A 3B avec A = et B = Propriété 6 L addition dans M n,p (K est commutative et associative : Pour toutes matrices A,B,C M n,p (K on a : A+B = B +A (A+B+C = A+(B +C ( wwwemmanuelmorandnet 5/6 suptsi78maths07

6 AU = u VII Systèmes linéaires - Matrices Définition 4 Le produit matriciel de deux matrices A M n,p (K et U M p, (K noté AU est la matrice colonne obtenue par combinaison linéaire des colonnes de A avec les coefficients de U : a a a p a a a p a n +u a n + +u p Remarque 3 Le produit AU n a de sens que si le nombre de colonnes de la matrice A est égal au nombre de lignes de la matrice U ( 3 Exercice 0 On considère les matrices A = et U = Calculer le produit matriciel AU Remarque 4 Le calcul du produit matriciel de deux matrices A M n,p (K et U M p, (K peut se poser de la façon suivante : u u u p a i a i a ip v i a np avec v i = a i u +a i u + +a ip u p Exercice On considère les matrices A = Calculer le produit matriciel AU ( 3 Exercice On considère les matrices A = et U =, U = Écrire le système linéaire correspondant à l écriture matricielle AU = V x y z et V = ( wwwemmanuelmorandnet 6/6 suptsi78maths07

7 VII Systèmes linéaires - Matrices Définition 5 On définit le produit matriciel de deux matrices A M n,p (K et B M p,q (K par : b j b j a i a i a ip b pj c ij avec c ij = a i b j +a i b j + +a ip b pj Remarque 5 Le produit A B est une matrice dont les colonnes sont obtenues par produit de A par les colonnes de B, il n a de sens que si le nombre de colonnes de la matrice A est égal au nombre de lignes de la matrice B ( 6 3 Exercice 3 Calculer A C et C A avec A = et C = Propriété 7 Le produit matriciel est associatif et distributif par rapport à l addition Noyau et Image d une matrice Définition 6 On appelle noyau d une matrice A M np (K et on note KerA l ensemble des vecteurs U solutions du système linéaire homogène AU = 0 associé à la matrice A Remarque 6 On a KerA K p ( 3 Exercice 4 On considère la matrice A = Résoudre le système linéaire AU = 0 en procédant 3 par échelonnement-réduction et en déduire le noyau de la matrice A Définition 7 On appelle image d une matrice A M np (K et on note ImA l ensemble des vecteurs V tels que le système linéaire AU = V associé à la matrice A soit compatible Remarque 7 On a ImA K n Remarque 8 Im A est l ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs associés aux colonnes de la matrice A 3 Exercice 5 On considère la matrice A = Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur V = b pour que le système linéaire AU = V admette une solution (on procédera par 3 a c échelonnement-réduction et en déduire l image de la matrice A Définition 8 On appelle rang d une matrice A M np (K et on note rg A le nombre de pivots de la matrice échelonnée réduite équivalentes en lignes à la matrice A Exercice 6 Déterminer le rang de la matrice A = wwwemmanuelmorandnet 7/6 suptsi78maths07

8 3 Matrices carrées Définition 9 Une matrice carrée A est apelée : matrice diagonale si a ij = 0 pour tout i j matrice triangulaire supérieure si a ij = 0 pour tout i > j matrice triangulaire inférieure si a ij = 0 pour tout i < j VII Systèmes linéaires - Matrices Exercice 7 Montrer que le produit de deux matrices diagonales de M (R ou M 3 (R est une matrice diagonale Que peut-on dire du produit de deux matrices triangulaires de M (R ou M 3 (R? 3 Puissances d une matrice carrée Définition 0 On appelle matrice identité de taille n la matrice carrée I n = (0 (0 taille n dont les coefficients diagonaux sont égaux à et dont les autres coefficients sont nuls de Exercice 8 Calculer les produits AI et I A pour A M (K puis calculer les produits AI 3 et I 3 A pour A M 3 (K Que valent les produits AI n et I n A pour A M n (K? Définition On définit les puissances d une matrice carrée A M n (K par la récurrence : { A 0 = I n A m+ = A(A m, pour tout m N Exercice 9 Calculer les puissances de la matrice N = Propriété 8 On considère une matrice A M n (K alors pour tout m,m N on a A m A m = A m+m Exercice 30 On considère A,B M n (K, développer (A+B 3 Propriété 9 Triangle de Pascal On considère deux matrices A,B M n (K telles que AB = BA et m N, alors le développement de (A+B m est le même que celui de (A+B m avec A et B des nombres réels ou complexes Remarque 9 Il ne faut pas oublier de vérifier que les matrices A et B commutent entre elles! Exercice 3 On considère A M n (K, développer (A+I n 5 wwwemmanuelmorandnet 8/6 suptsi78maths07

9 3 Inverse d une matrice carrée VII Systèmes linéaires - Matrices Définition Une matrice carrée A M n (K est dite inversible s il existe une matrice carrée A M n (K appelée inverse de la matrice A telle que AA = A A = I n Remarque 0 La matrice identité est inversible et est son propre inverse Propriété 0 Si une matrice carrée A M n (K admet un inverse, celui-ci est unique ( 3 Exercice 3 Montrer que la matrice A = est inversible et déterminer son inverse 0 Propriété On considère un système linéaire AU = V de n équations à n inconnues, si A est inversible alors ce système admet une unique solution U = A V Propriété Méthode de calcul de l inverse d une matrice Une matrice carrée A M n (K est inversible si rg A = n et l algorithme d échelonnement-réduction en lignes appliqué à la matrice augmentée (A I n aboutit à la matrice augmentée (I n A Exercice 33 Montrer que la matrice A = est inversible et déterminer son inverse Propriété 3 On considère deux matrices A,B M n (K inversibles et m N, alors : A m est inversible et (A m = (A m, AB est inversible et (AB = B A Définition 3 On appelle groupe linéaire et on note GL n (K l ensemble des matrices inversibles de taille n wwwemmanuelmorandnet 9/6 suptsi78maths07

10 Exercices supplémentaires Exercice 34 x z = Écrire le système x y t = z 3t = 0 sous forme matricielle AU = V avec U = VII Systèmes linéaires - Matrices x y z t Exercice 35 x y +z = Résoudre le système x+y z = x+y +z = 3 en procédant par substitution Exercice 36 x + y + 3z = Résoudre le système x + 3y + z = 3x + y + z = Exercice 37 ( x + y + 3z = 0 Résoudre le système 4x + 5y + 6z = 0 7x + 8y + 9z = 0 en procédant par substitution en procédant par substitution Exercice 38 Montrer que les matrices Exercice et sont équivalentes en lignes Pour chacune des matrices suivantes, déterminer une matrice échelonnée réduite en lignes qui lui soit équivalente en lignes : 3 ( ; ; Exercice 40 ( Déterminer en fonctionde m R une matrice échelonnée réduite en lignes qui soit équivalente en lignes m à la matrice m m Exercice 4 x + y + 3z = 0 4x + 5y + 6z = 0 Déterminer le rang du système 7x + 8y + 9z = 0 0x + y + z = 0 wwwemmanuelmorandnet 0/6 suptsi78maths07

11 Exercice 4 ( Déterminer les valeurs de m R pour lesquelles le système x, y et z est compatible VII Systèmes linéaires - Matrices mx + y + z = x + y + z = x + y + mz = 3 d inconnues Exercice 43 y + 3z = Résoudre le système x + 3z = x + y = 3 Exercice 44 x 3y + z = Résoudre le système 3x + y + z = 7x 8y + z = 0 Exercice 45 x + y + z = x y + z = Résoudre le système x + y + z = x + y z = Exercice 46 x + y + 3z + 4t = Résoudre le système 5x + 6y + 7z + 8t = 9x + 0y + z + t = Exercice 47 ( Résoudre en fontion de m R le système mx + y + z = x + y + z = x + y + mz = 3 d inconnues x, y et z Exercice 48 ( x y z 5 = Résoudre le système x 3 y z 6 = x y 3 z 6 = 3 avec x,y,z R Exercice 49 ( On définit la fonction f : x ax 3 +bx +cx+d avec a,b,c,d R Montrer qu il existe a, b, c et d tels que f(0 = 0, f ( π 6 =, f ( π 4 =, f ( π 3 = 3 et f ( π = wwwemmanuelmorandnet /6 suptsi78maths07

12 Exercice 50 Montrer que la famille de vecteurs F = u est géné- ratrice de R 3 La famille F est-elle libre? Exercice 5 On considère les matrices A = Calculer AB et BA Exercice 5 On pose M = Exercice On considère la matrice A = Déterminer KerA et ImA Exercice 54 ( On note M λ = Exercice 55 λ λ ( et V = Déterminer le rang de la matrice M = Exercice 56 ( On note M λ = Exercice 57 On note M = λ λ λ ( 0 0 ; u et B = 4 8 ; u VII Systèmes linéaires - Matrices ; u Déterminer les matrices U telles que MU = V pour λ R Déterminer KerM λ et ImM λ en fonction de λ 0 3 pour λ R Déterminer le rang de M λ en fonction de λ Calculer M 4 wwwemmanuelmorandnet /6 suptsi78maths07

13 Exercice 58 ( ( cosθ sinθ On pose M θ = sinθ cosθ θ R et n N VII Systèmes linéaires - Matrices pour θ R Calculer M α M β pour α,β R, en déduire (M θ n pour Exercice 59 ( ( On pose A = 3 4 Exercice 60 ( On considère la matrice M = Déterminer les matrices B telles que AB = BA (On pourra décomposer M sous la forme M = I 3 +N Exercice 6 Montrer que la matrice M = 0 0 0, calculer M n pour n N en utilisant le triangle de Pascal est inversible et déterminer son inverse Exercice 6 ( Montrer que la matrice M = +i i i 0 i est inversible et déterminer son inverse (i = Exercice 63 ( On pose M = M est inversible et calculer M Exprimer M comme combinaison linéaire de M et de I 3, en déduire que Exercice 64 ( Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur a,b,c pour que la matrice inversible a b c b c a c a b soit Exercice 65 ( On considère les matrices A = cosx 0 isinx 0 0 isinx 0 cosx Calculer B = P AP, en déduire A n pour n N et P = avec x R wwwemmanuelmorandnet 3/6 suptsi78maths07

14 Réponses A = ( 0 0 3, U = ( ( 0 xy 3 0, U3 = z (x = ;y = ;z = 3 3 ; (x = 3 ;y = ( xy z, et V =, et V 3 = ( ( x+ ;(x;y = ;z = 3x L i 3L i L i L i L j ou bien L i L i 3 L j L i 3L i 6 L i 0L i ; L i L j 7 (x = ;y = ;z = 3 ; A = ( 5 VII Systèmes linéaires - Matrices, U = ( x y, et V = ( 0 ; A 3 = 8 L L, L L L, L 3 L 3 L, L L, L 3 L 3 3L, L 3 L 3, L L +L et L L L 3 9 (x = 0;y = ;z = 0 ( 0 ( 0 M 0 0 et M 0 0 L L ( M 0 0 L rg(s =, rg(s = 3 et rg(s 3 = 3, (x = ;y = 0;z = et (x = 3 z;y = 3z;z = z ( ( 0 ( 0 4, et + 5 e = u +3 v 0 3 z 3 z z 6 On montre que le système est de rang 3 7 w = u 3 v 8 a =, a = 5 et a 3 = 6 9 A 3B = ( AU = ( 6 ( 66 AU = 6 { x y+3z= 4x+5y 6z= 3 AC = ( ( et CA = {( z } 4 KerA = z / z R z {( ab } 5 ImA = / a b+c = 0 6 rga = c 7 Le produit de deux matrices triangulaires supérieures (resp inférieures est une matrice triangulaire supérieure (resp inférieure 8 AI n = I n A = A wwwemmanuelmorandnet 4/6 suptsi78maths07

15 VII Systèmes linéaires - Matrices ( ( N 0 = I 4, N = N, N = , N 3 = et N m = 0 pour m (A+B 3 = A 3 +A B +ABA+AB +BA +BAB +B A+B 3 3 (A+I n 5 = A 5 +5A 4 +0A 3 +0A +5A+I n ( 3 A = 3 33 A = 34 A = 0 ( ( ( x = 3 ;y = 5 ;z = 36 ( x = 6 ;y = 6 ;z = 6 et V = 37 (x = z;y = z;z = z ( 0 38 L 3 3 L 3, L L L 3, L L, L L L 3 et L L L ( 0 39 ; 34 7 ; 40 ( ( m pour m =, ( Le rang du système est ( pour m =, 4 Le système est compatible pour m 43 ( x = ; y = ; z = 0 44 ( x = 8 5 +z ; y = 7 5 +z ; z = z 45 (x = ; y = 0 ; z = 0 ( pour m = 3, ( pour m, m et (x = +z +t ; y = z 3t ; z = z;t = t ( 47 (x = +z ; y = z ; z = z si m = 0, x = m ; y = ; z = m si m 0 et m, pas de solution pour m = 48 (x = 7 ; y = positifs a = 8, b = 7, c = π 3 π 4π et d = 0 50 On montre que u 4 = 4 u 6 u +4 u 3 ; z = 44 en passant au logarithme (on remarque que x, y et z sont strictements et BA = ( AB = ( 3 6 ( 0 5 U = 0 {( z } {( ab 53 KerA = z, z K et ImA = z c {( z } {( ab 54 KerM 0 = z z, z K etimm 0 = {( c ab } {( 00 etimm =, a,b,c K / a c = 0 ; KerM c λ = 0 si λ 0, 55 rgm = 56 Le rang de M λ vaut si λ =, si λ = et 3 sinon 57 M 4 = M }, a,b,c K / a b+c = 0 } {( z0, a,b,c K / a b+c = 0 ; KerM = } {( z ab, z K etimm λ = c }, z K }, a,b,c K wwwemmanuelmorandnet 5/6 suptsi78maths07

16 58 M α M β = M α+β et (M θ n = M nθ ( c+d 59 B = 3 c c d 60 M n = 6 M = 6 M = ( n (n+ 0 n 0 0 ( ( 0 i +i i i i 63 M = 5M 4I 3 d où M = 4 (5I 3 M = 4 64 a 3 +b 3 +c 3 3abc 65 B = et A n = ( e ix e ix ( cos(nx 0 isin(nx 0 0 i sin(nx 0 cos(nx ( VII Systèmes linéaires - Matrices wwwemmanuelmorandnet 6/6 suptsi78maths07

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