Synthèse de l Animation pédagogique «CALCUL MENTAL au cycle 2» Montargis

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1 Synthèse de l Animation pédagogique «CALCUL MENTAL au cycle 2» Montargis 1. Les I. O. : le calcul mental au cycle 2 ce que disent les textes L entraînement au calcul mental doit être quotidien dès le CP et se prolonger tout au long de l école élémentaire. Le calcul mental doit faire l objet d une pratique quotidienne d au moins 15 minutes. C est au cycle 2 que les élèves élaborent les bases de calcul mental, en particulier dans le domaine additif. Il s appuie sur la connaissance progressive de la table d addition puis de la table de multiplication Les compétences correspondantes doivent donc être développées en priorité, notamment à travers le calcul réfléchi. L'appropriation progressive de résultats mémorisés et l'élaboration de procédures s'appuient souvent en ce domaine sur les caractéristiques des désignations orales des nombres, ce qui implique qu'on ne s'en tienne pas aux seuls exercices écrits. Les procédures utilisées doivent être explicitées et faire l'objet d'échanges entre les élèves. C'est l'occasion d'insister sur la diversité des procédures utilisables pour traiter un même calcul. La mémorisation ou la reconstruction très rapide des résultats des tables d'addition (de 1 à 9) et leur utilisation pour fournir des compléments et des différences nécessitent un long apprentissage qui n'est d'ailleurs pas toujours terminé à la fin du cycle Les points didactiques importants et leurs conséquences pédagogiques a) Pour cet apprentissage, l'entraînement et la répétition, pour indispensables qu'ils soient, ne suffisent pas La mise en place de "points d'appui" (résultats connus) constitue un objectif important : utilisation des doubles, de la commutativité de l'addition ("3 + 8 c'est comme 8 + 3"), des compléments à > il convient de distinguer ce qu il faut mémoriser ou automatiser (les tables, quelques doubles et moitiés, le calcul sur les dizaines et les centaines entières, les compléments à la dizaine supérieure ) et ce qu il faut être capable de reconstruire (et qui relève du calcul réfléchi : idée de rendre plus simple un calcul, souvent en procédant par étapes plus nombreuses, mais en s appuyant sur ce qui est connu). --> Clarification terminologique Le calcul mental se fait-il uniquement à l oral? Parler de calcul mental ne signifie pas que tout se passe sans écriture. Les opérations posées requièrent l utilisation des tables d addition (gestion des retenues ), de multiplication. Il y a probablement un établissement insuffisant du calcul mental préalablement à l apprentissage des techniques écrites souvent abordées trop tôt

2 Le calcul mental met-il en jeu des stratégies différentes de celles de l écrit? Oui même si l expérience montre que de nombreux élèves calculent mentalement en utilisant des algorithmes écrits. Calculer en référence à la technique écrite est plus coûteux en terme de charge mentale de travail que d ajouter successivement 10 et 6. Au niveau du calcul mental, qu entend-on par : Calcul réfléchi? Calcul automatisé? Calcul raisonné? Calcul rapide? Les expressions «calcul réfléchi» et «calcul raisonné» sont équivalentes et préférables à l usage du terme «calcul rapide» Elles insistent sur l importance donnée à la méthode. Le «calcul automatisé» délaisse l intuition des nombres, l ordre de grandeur. (tables, doubles ) C est le cœur de son efficacité. Les algorithmes sont immédiatement disponibles car mémorisés. L expression de «calcul mental» signifie qu entre l énoncé du problème et l énoncé du résultat, on n utilise aucune opération posée (technique opératoire usuelle) Cela n implique pas qu aucun support écrit ne puisse intervenir dans la consigne, dans la formulation du résultat (pour l expliciter) Par le calcul réfléchi, on montre l intérêt du calcul automatisé et on donne un sens à la mémorisation. Caractéristiques Calcul mental automatisé Calcul mental réfléchi Temps de réponse Immédiat. car les résultats : - sont mémorisés - obtenus par des procédures mémorisées Efficacité Différence individuelle Stable chez le même individu. Le rappel des résultats ou des procédures est automatique. Dépend de la mémorisation Faible car les règles et procédures sont communes pour tous Plus lent car les résultats sont le fruit d un raisonnement Variable chez le même individu en fonction du contexte. Dépend de l entraînement Importante, un même calcul peut générer plusieurs stratégies et dépend des connaissances des élèves Coût intellectuel Faible car automatisation, réflexe Variable mais peut être important car mise en œuvre d une stratégie, de procédures Nature/registre de fonctionnement Automatisme, routine, exercice systématique, mémoire Diversité des procédures, proche de la situation problème, du défi b) La MEMORISATION Malgré un entraînement répété, certains élèves ne mémorisent pas ou mal les tables l entraînement, s il est indispensable, n est pas suffisant. --> Une bonne représentation des nombres est indispensable tant sous forme : - Imagée : constellations (dés, mains, cartes, dominos) - Symbolique : écriture chiffrée et mots/nombres

3 --> Deux rythmes «gouvernent» les nombres : voir tableau ANNEXE 2 - Celui de l oral et des MOTS-NOMBRES : cause de nombreux problèmes - Celui de la numération chiffrée en base dix. --> Pour l addition, l enseignant doit aider à mettre en place différents points d appui : L utilisation de la suite numérique par surcomptage (pour on part de 5 puis on ajoute ) En GS, le principe de cardinalité doit être construit. (Le dernier nombre dit dans une énumération donne le cardinal, sans nécessité de tout recompter ) L appui sur les doubles (pour 5 + 4, c est ) L utilisation de la commutativité (7 + 2 c est comme 2 + 7) L utilisation du passage par la dizaine (8 + 5, c est puis ) ce qui suppose de connaître les compléments à 10 et les décompositions additives des nombres inférieurs à 10 penser aux affichages : doubles, à partir des doubles (4+5 ; 5+4 ), compléments à 10 (3+7 ; 7+3) avec la commutativité mise en évidence. L objectif est qu au début du cycle 3, l élève puisse fournir instantanément tous les résultats des tables d addition. Infos + : La mémorisation fonctionne principalement de manière verbale (acoustique), parmi les résultats symétriques (5+7 et 7+5),l un est toujours plus disponible que l autre. Les doubles sont toujours rappelés plus vite et plus sûrement que les autres résultats. stratégies plus efficaces --> Pour les résultats multiplicatifs, l enseignant doit aussi aider à mettre en place différents points d appui : exemples pour le cycle 2 Les résultats rapidement connus des tables de 2 et de 5 Le surcomptage de n en n L utilisation de la commutativité (7 x 2 c est comme 2 x 7) --> 5 conditions pour permettre la mémorisation (en calcul mental) : La compréhension des opérations mises en jeu (pour 4+3, pouvoir évoquer 4 objets plus 3 objets ou savoir que le résultat sera situé «3 après4» sur la bande numérique) ne pas interdire ni encourager l utilisation des doigts..; éviter de fournir des jetons La prise de conscience de l intérêt d avoir un répertoire de résultats à disposition (construire des affiches référentes progressivement structurées en tables) La prise de conscience que certains résultats sont mémorisés et qu un répertoire se constitue (le faire remarquer aux élèves lors des moments de calcul mental) La capacité à utiliser ce qu on sait pour produire d autres résultats ( d où l importance des points d appui : exemple, la commutativité fait économiser la quantité de résultats à mémoriser) L entraînement et la diversité des représentations mises en jeu. «Connaître ses tables, ce n est pas seulement être capable de dire instantanément n importe quel résultat ; c est aussi être capable d exploiter rapidement cette connaissance pour donner un résultat connexe.»

4 Par exemple, que permet d inférer la connaissance de 7 + 6? c est être capable de répondre 13 immédiatement, mais c est également pouvoir répondre immédiatement à «Combien de 7 pour aller à 13?», «combien de 6 pour aller à 13?», «13 6?», «13 7?» à produire très vite, entre autres, et lorsque sont demandées des décompositions additives de 13. Que permet d inférer la connaissance de 7 x 6? c est être capable de répondre 42 immédiatement, mais aussi à : à «Quel nombre multiplié par 7 donne 42?», «Quel nombre multiplié par 6 donne 42?», «42 divisé par 7?», «42 divisé par 6?» produire très vite 7 6 et 6 7 lorsque sont demandées des décompositions multiplicatives de 42. c) Quelques difficultés Attention lors du «croisement» entre les deux systèmes de numération (oral et écrit), notamment pour les élèves «fragiles» à 95 écrit en chiffres ne contient ni 4 ; 20 ; 15 La mémoire de travail sature : Dans le cas d un énoncé donné oralement, la mémoire est mobilisée pour : se souvenir de l énoncé trouver des procédures éventuellement se souvenir des résultats intermédiaires On peut autoriser : - la notation de calculs intermédiaires (plutôt au cycle 3) - le fait de noter au début l énoncé au tableau L énoncé oral des calculs à effectuer est à privilégier au début. d) Une démarche, des modalités La séance courte (5 à 10 ) pour : - Entretenir et contrôler la mémorisation de résultats (tables ) - Automatiser des procédures (compléments à la dizaine supérieure ) --> La consigne est orale Les situations sont plutôt nombreuses et se succèdent rapidement On vise la rapidité de la réponse On peut utiliser : - le procédé Lamartinière avec l ardoise (correction immédiate) - la réponse sur feuille (exploitation différée) La séance longue (jusqu à 15 à 30 ) pour travailler le calcul réfléchi : - Apprendre à chercher - Produire des procédures - Apprendre des résultats ou des procédures à mémoriser Le support est oral ou écrit On vise la production et l échange de procédures On peut utiliser : - le procédé Lamartinière avec l ardoise (pour échanger) - la réponse sur feuille (pour mettre en confrontation) - les jeux - les problèmes

5 Démarche possible à partir des travaux de F. Boule et D. Butlen Première remarque importante : - Certaines procédures peuvent être pointées comme souvent efficaces (exemple de pour ) mais on doit veiller à laisser à l élève la liberté de choisir la procédure qu il est le mieux à même de mener à son terme. Analyse de situations : : plutôt ou connaissance de : plutôt ou : possible perturbation due à l ordre des nombres à importance de la commutativité : peu de pertinence à utiliser Autre remarque : Les questions peuvent : 1. porter directement sur les nombres : être contextualisées dans un petit problème : 72 élèves + 4 adultes Ce n est pas la même chose 1 cas : on reste sur les nombres «purs» 2 cas : on évoque le contexte, la «réalité». à cela aide les élèves à progresser dans la maîtrise du «sens des opérations» Autres pistes de travail pour les séances longues : On peut utiliser des : - dés, dominos, jeux de cartes - jeux du commerce - jeux de calcul divers (manuels ERMEL, chez NATHAN, HATIER ) - logiciels On peut les mettre en œuvre : - en ateliers - en groupes de besoin - en coins de fond de classe

6 Le procédé Lamartinière Principe : L enseignant dicte un calcul deux fois, les élèves l écrivent sur l ardoise (ou sur feuille à correction différée) et montre à l enseignant qui peut voir très rapidement l ensemble des réponses. Intérêts limites : On est plutôt dans le contrôle des connaissances et l entraînement. C est propice aux séances courtes. Cependant, on peut mettre en confrontation les réponses (explicitation des procédures ) et introduire une procédure, une «notion» nouvelle. On doit veiller à ne pas se «contenter» de l utilisation majoritaire de ce procédé. Les fiches de travail Principe intérêt : Les fiches peuvent servir soit : - à de l entraînement - à permettre d aborder un problème particulier Les jeux et les logiciels Objectifs : - entraînement de la mémoire - concentration et mobilisation des connaissances (réinvestissement) - aborder un problème particulier de manière ludique Intérêts : rapidité, stratégie, concentration, anticipation - On peut les envisager pour un réinvestissement général des connaissances ou procédures - On peut les donner en fonction de la problématique qu ils permettent de travailler Info + : Il y a un grand intérêt à jouer environ 10 minutes par jour pendant 15 jours au «jeu de l oie»

7 3. Bibliographie et sitographie : Des Livres : Document d accompagnement des programmes «Mathématiques à l école primaire» tout un chapitre sur le calcul mental «Jeux de calcul» du CP au CM2 F. Boule, Armand Colin «Comment faire du calcul un jeu d enfant» APMEP, Vuibert «Fort en calcul mental!» Scéren CRDP Lorraine «Calcul mental au cycle 2» collection Mosaïque, Hatier «Petit Larousse des jeux» dictionnaire des jeux en tout genre Des sites : de très nombreux liens sur le calcul mental et sur des sites de logiciels des exercices en ligne et à télécharger des logiciels voir compte-rendu de l animation «logiciels de remédiation» Gomaths Entraînement au calcul mental/ élèves Jean Louis Sigrist Site très complet pour les élèves et les enseignants des générateurs de jeux de lotos, recto-verso, dominos. des fiches de travail pour travailler les compétences cycles 2 et 3 : TuxMath :logiciels avec de nombreux exercices pour divers niveaux Un dossier intéressant : Calcul mental à l école primaire (Mars 2008) IA 49 Maine et Loire Des sites ou adresses d achat potentiel pour les jeux : et autres sites - pour le jeu CALCULUS «Editions Stratèges» Tél :

8 Annexe 1 : Schéma extrait du DVD «calcul mental» Groupe départemental IA-IUFM Loiret Plan général d'une séquence Découverte Analyse des procédures des élèves Phase d'apprentissage institutionnalisation entraînement Réinvestissement décontextualisation contrôle Phase d'évaluation 1 (classe entière) Analyse des procédures des élèves Reprise de la compétence à un niveau de difficulté adapté au groupe Phase de remédiation groupe de besoin Présentation de la «bonne procédure» (choisie par le maître) Entraînement avec la «bonne procédure» contrôle Phase d'évaluation 2 (classe entière) Analyse des procédures des élèves Ajout d'un cycle remédiation-évaluation si nécessaire (pour un groupe résiduel ou un élève seul) En vert : les phases relevant plus particulièrement de la séance quotidienne d'un quart d'heure

9 Annexe 2 : Tableau sur les relations numération écrite numération orale D. Barataud P. Lestievent

10 Annexe 3 : Programmations possibles