Calcul Scientifique L2 Maths Notes de Cours

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1 Calcul Scientifique L2 Maths Notes de Cours Le but de ce cours est d aborder le Calcul Scientifique, discipline arrivant en bout d une d une chaîne regroupant divers concepts tels que la modélisation et l analyse numérique. Modélisation Etude Mathématique Discrétisation Résolution Analyse Num. Calc. Scien. Notre objectif sera donc essentiellement orienté vers les méthodes de résolution de certains problèmes et leur mise en place dans un environnement de programmation. Nous allons donc en particulier écrire des algorithmes sous forme de pseudo-code, par exemple pour le célèbre exemple de la fonction factorielle : Factorielle(n) : if n = 0 then return 1; else return n Factorielle(n 1); end La mise en place concrète des algorithmes dépend évidemment du langage de programmation choisi, mais elle est relativement aisée une fois que le pseudo-code est bien écrit. Nous avons choisi dans ce cours le logiciel Scilab pour programmer nos algorithmes 1. Evidemment, de nombreux autres logiciel permettent de faire les mêmes choses, avec leurs différences et ressemblances, leurs avantages et leurs inconvénients. Nous allons être confrontés à deux types de méthodes : {les méthodes directes} qui donnent un résultat exact en un nombre fini d étapes 2. Ces méthodes nous fournissent donc naturellement des algorithmes programmables. {les méthodes itératives} qui ne font que fournir un moyen de s approcher aussi près qu on le souhaite de la solution du problème, sans nécessairement l atteindre en un nombre fini d itérations. Il faudra donc ici trouver un critère, un test d arrêt pour décider à quel moment on estime être suffisament proche de la «vraie» solution pour s arrêter. Dans un tel cas, l algorithme doit nécessairement inclure ce test sans quoi un éventuel programme risquerait de ne jamais s arrêter. 1. Un algorithme est une suite finie d instructions permettant de résoudre un problème. 2. Le nombre d étapes pouvant être grand, ces méthodes ne sont pas toujours si «directes» que cela, d où l intérêt de chercher à trouver une méthode la plus «directe» possible. 1

2 Last but not least!, ce cours sera aussi l occasion de revoir et consolider un certain nombre de techniques et méthodes de bases du calcul mathématique (intégrales, matrices, développements limités, etc...). Table des matières 1 Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires en petite dimension Substitution et combinaison Méthode de Cramer Méthode du pivot de Gauss : première approche Notation matricielle Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires en grande dimension Pivot de Gauss : approche matricielle Factorisation LU Factorisation de Choleski Evaluation du nombre d opérations Méthodes de résolution de l équation f(x) = Méthode de dichotomie Méthode de la sécante Méthode de Newton Méthodes d intégration numérique Intégration élémentaire par interpolation Intégration composée Majoration de l erreur Recherche des valeurs propres de matrices Méthodes de la puissance Factorisation QR Problèmes de conditionnement

3 Introduction : le calcul scientifique Il y a une soixantaine d années, l apparition des premiers ordinateurs performants révolutionnait les Mathématiques : il s agissait d abord de profiter de cette formidable puissance de calcul, totalement inatteignable par l homme mais aussi de contrôler avec lucidité les erreurs de la machine. Car quelle que soit la puissance d un ordinateur, il ne manipule jamais des nombres réels mais des décimaux avec un nombre fini de chiffres significatifs et les résultats des calculs sont par définition FAUX (mais, on l espère, assez proche des vrais résultats). Pour donner un exemple simple, pour un ordinateur, la valeur de 2, c est souvent 1, 414 et, sur une calculette, il suffit de prendre la racine une dixaine de fois pour obtenir 1, ce qui est clairement faux. Paradoxalement, si les ordinateurs deviennent effectivement de plus en plus puissants, le problème est loin de se résoudre car parallèlement on s attaque à des problèmes de plus en plus complexes. Un exemple simple (et quotidien) est celui de la météo. Pour déterminer le temps qu il fera partout en France le lendemain ou les jours prochains, il faut prévoir quelles seront les conditions de température, de pression et de direction du vent (pour faire simple) en chaque point de l Hexagone. Schématiquement si on représente la France par un carré de 1000km de coté et si l on considère que l on doit avoir ces renseignements tous les 10km, cela nous conduit à 100 x 100 = points de mesure (aujourd hui) et de calcul (pour demain). De plus, il faut encore considérer la troisième dimension (jusqu à une altitude d une dizaine de kilomètres), soit typiquement un facteur 10 de plus, et en chaque point il faut donner 5 valeurs (1 pour la température, 1 pour la pression et 3 pour la vitesse du vent). Ceci conduit donc a gérer des données et des inconnues dans R , donc dans R N pour N grand. Un autre exemple allant dans le même sens est celui des images (numériques) que l on souhaite parfois traiter pour améliorer leurs qualités ou les utiliser à des fins diverses : une image se découpe (comme un damier) en petits carrés (les «pixels») et, pour une image en noir et blanc, on doit connaitre le «niveau de gris» en chacun de ces pixels (pour la couleur, avec un format RGB= redgreen-blue, on a besoin de 3 valeurs, une couleur quelconque étant un mélange de rouge, de vert et de bleu). La taille normale d une image (celle du damier) est maintenant de N =1024x768 pixels. Traiter cette image reviendra à travailler (et sans doute à résoudre une équation) dans R N. Faire des calculs dans des espaces d aussi grandes dimensions nécessite des méthodes spécifiques et on comprend pourquoi les méthodes mathématiques n ont jamais joué un rôle aussi important dans les activités humaines qu à l heure actuelle. Et dans tous les domaines, que ce soit ceux (plus classiques) de l ingénierie mais aussi de l économie et la finance, en passant par la médecine et sans oublier internet et google. Des techniques variées d analyse et d algèbre apparaissent dans chacune de ces activités, sans que l on s en apercoive en général, ce qui déjà une réussite en soit. Hélas (ou tant mieux), même si beaucoup de progrès ont été faits, des problèmes échappent encore à un traitement systématique et des recherches actives sont en cours. Par exemple : y-a-t-il un algorithme pour remplir optimalement un wagon SNCF avec des cartons de tailles diff<8e>rentes? Comment le voyageur de commerce doit-il faire sa tournée en parcourant le moins de kilomètres? Ces problèmes d optimisation sont d une difficulté algorithmique qui croit trop vite avec le nombre de cartons ou de villes à visiter et ils ne sont donc pas résoluble en temps raisonnable (quand on calcule quelque chose, il vaut mieux avoir le résultat dans les 10 ans à venir...). 3

4 Pour revenir aux problèmes en grandes dimensions, la première démarche consiste à essayer de la réduire. Mais cette réduction ne divisera le problème que par 10 ou 100 et il faut se préparer à résoudre des équations avec «beaucoup d inconnues», ce qui crée des difficultés spécifiques et évidemment rien n est possible sans un ordinateur ou un cluster d ordinateurs dont la puissance est adaptée (ou plutôt certaines choses sont devenues faisables grâce à la montée en puissance des ordinateurs et à leur mise en réseau). Les difficultés spécifiques auxquelles on est confronté pour la résolution de problèmes en grandes dimensions viennent tout d abord des capacités de stockage (dont nous parlerons peu dans ce cours car nous nous limiterons à la «petite» grande dimension) mais aussi du nombre important d opérations nécessaires à la résolution des problèmes couplé aux capacités réduites des ordinateurs que nous avons déjà évoquées : même en utilisant un nombre important de chiffres significatifs, l ordinateur ne manipule qu un nombre fini de chiffres après la virgule, il fait donc des erreurs d arrondies qui peuvent se propager et induire à la longue des erreurs importantes. On doit donc tenter de réduire ces erreurs d arrondies en essayant d en tenir compte dans la méthode. Dans la première partie de ce cours, nous nous intéresserons à des systèmes linéaires à N inconnues : certes les exemples mentionnés ci-dessus ne sont pas toujours linéaires (hélas la météo ne l est pas vraiment à cause de l effet «aile de papillon») mais dans certains cas favorables on pourra se ramener à des cas linéaires par un procédé de linéarisation. Pour en donner une idée en dimension 1, supposons que l on souhaite résoudre l équation f(x) = 0 où f : R R est une fonction compliquée mais dérivable. On sait que la solution x est proche d un réel x connu ; on écrit alors : f(x) f( x) + f ( x)(x x), et en résolvant l équation «linéarisée» f( x) + f ( x)(x x) = 0, on obtient une approximation de la solution x. Une telle procédure peut être menée en dimension quelconque. Un mot important apparait à la fin du dernier paragraphe : approximation. Quand on résout une équation complexe, en grande dimension ou en petite dimension mais non linéaire, on ne calcule JAMAIS la vraie solution mais une solution approchée à 10 2, 10 3, 10 8, 10 10, près. D où plusieurs concepts importants : on peut choisir d utiliser des méthodes directes dont l objectif (perdu d avance) est de calculer la solution exactement (aussi exactement que possible) ; en général, ces méthodes reproduisent à grande échelle les calculs que l on ferait à la main en dimension 2, 3 ou 4. Nous verrons de telles méthodes pour la résolution de systèmes linéaires dans la première partie du cours. Le deuxième type de méthodes sont les méthodes itératives où l on choisit tout de suite de ne calculer qu une approximation de la solution. Dans certains cas, on n a pas vraiment le choix et nous rencontrerons ces méthodes pour la résolution d équations du type f(x) = 0 dans la deuxième partie du cours. Si, pour les méthodes directes, l erreur algorithmique est nulle car la méthode est exacte mis à part les erreurs d arrondies de l ordinateur, on jugera une méthode itérative à sa vitesse de convergence : combien d itérations doit-on faire pour arriver à une erreur de 10 2, 10 3, 10 8, 10 10,? Mais, bien entendu, la simplicité d un algorithme (simplicité de programmation ou complexité réduite des itérations) est un point important : mieux vaut faire 100 itérations qui durent chacune 1s que 3 itérations de 50s... Dans tous les cas, la programmation joue un rôle car il faut limiter le nombre d opérations à 4

5 faire faire à l ordinateur. Un exemple simple : comment calculer P (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a N x N? Naivement chaque terme a k x k coûte k multiplications et il faut ajouter ces termes donc : ( N) + N = N(N + 1) 2 + N opérations. Donc de l ordre de N 2 /2. Maintenant procédons comme suit : on calcule a N x + a N 1, on multiplie par x puis on ajoute a N 2 puis on multiplie par x...etc. Soit : ( ( ) ) P (x) = (a N x + a N 1 )x + a N 2 x + a N 3 On compte de l ordre de N additions et N multiplications donc de l ordre de 2N opérations! On voit que le gain est important si N est grand! 5

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