Physico-chimie numérique : calcul ab-initio ou phénoménologie

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1 Physico-chimie numérique : calcul ab-initio ou phénoménologie Florent Calvayrac-Castaing Laboratoire de Physique de l État Condensé - Institut de Recherche en Ingénierie Moléculaire et Matériaux Fonctionnels Casablanca 7 décembre ème école franco-marocaine des matériaux

2 Plan de l exposé Plan Introduction : pourquoi le numérique Différence ab-initio/phénoménologique Nature des liaisons du système Taille et constitution du système Propriétés d intérêt Calcul ab-initio Approximation de Born-Oppenheimer Champ autocohérent : Hartree Échange : Hartree-Fock Corrélation Méthodes basées sur la densité Thomas-Fermi Fonctionnelle de la densité Kohn-Sham et potentiel d échange-corrélation : LDA, GGA Fonctionnelle de la densité dépendant du temps

3 Plan de l exposé Plan En pratique Bases de gaussiennes Ondes planes, espace direct, pseudopotentiels LAPW Applications : calcul multiéchelle classification de structures virtuelles Calcul de potentiels et de constantes d échange Spineurs : magnétisme itinérant

4 Introduction : pourquoi le numérique Introduction : pourquoi le numérique équations n ayant pas de solution analytique (équations chaotiques, autocohérentes, à plus de deux corps) solution numérique : pas de passage aux limites ou de linéarisations en échange : erreurs de discrétisation (réels, espace) et erreurs de méthode Exemple : f (x) f(x+ x) f(x) x expériences virtuelles, petites modifications au système très faciles

5 Introduction : pourquoi le numérique Différence ab-initio/phénoménologique Différence ab-initio/phénoménologique Phénoménologie : interactions mal connues (φ nucléaire ou des particules) systèmes trop complexes résolution exacte ou approchée de modèles phénoménologiques (ex : Heisenberg, Ising, Skyrme) avec des termes effectifs Ajustement des paramètres sur des résultats expérimentaux Ab-initio : hamiltonien supposé exact pour un ensemble de noyaux et d électrons (interactions électrostatiques plus éventuellement relativité) Toute la physique cachée dans ces équations... (magnétisme, etc) et dans la structure

6 Introduction : pourquoi le numérique Différence ab-initio/phénoménologique Ab initio en pratique au delà de trois électrons : approximations contrôlées (dans le hamiltonien) et/ou dans l aspect quantique (Hartree-Fock, CI, MP2, QMC...) mais coût élevé approximations efficaces mais peu contrôlées : gel des électrons de coeur, pseudopotentiels, DFT (en principe exacte mais employée sous la forme LDA/GGA)

7 Introduction : pourquoi le numérique Nature des liaisons du système Nature des liaisons du système fortement ioniques : potentiels effectifs (Born-Mayer Z 1 Z 2 r + Ce r/σ..) attention aux sommes d Ewald sur un cristal!!! ab-initio marche et permet d avoir le degré d ionicité Van der Waals : potentiels effectifs (mais pas de ab initio et surtout pas de LDA! ) ex : agrégats d argon liaisons hydrogène : même problème, passer à la mécanique moléculaire

8 Introduction : pourquoi le numérique Nature des liaisons du système Protéine représentée en mécanique moléculaire

9 Introduction : pourquoi le numérique Nature des liaisons du système Nature des liaisons du système liaisons covalentes : mécanique moléculaire (à coordinence et structure fixées : atomes avec solvent) ou ab-initio (gaussiennes) pour décrire l énergie d échange corrélation (liaison) et la fermeture de couche : 1 à 1000 atomes liaison métallique : traitement quantique (ondes planes, pseudopotentiels) : attention aux semi-conducteurs (pas de LDA)

10 Introduction : pourquoi le numérique Taille et constitution du système Taille et constitution du système quand on avance dans la classification périodique, les ennuis arrivent.. (électrons d et f, spin-orbite, magnétisme, effets relativistes) Taille du système décroissante : infini : cristallographie (sommes d Ewald ou autres méthodes) pas vraiment périodique : extrapolation thermodynamique mécanique moléculaire, modèles nanophysique : méthodes de la chimie quantique atome : grande précision, peu d approximations

11 Introduction : pourquoi le numérique Propriétés d intérêt Propriétés d intérêt : quelle méthode choisir? énergie libre (ou énergie totale), structure : ab-initio simple (EF) ou potentiels effectifs dynamique de la structure (Raman, infrarouge, conductivité thermique) : ab-initio simple ou potentiels effectifs propriétés optiques : (modèles de ressorts) mais surtout ab-initio : états excités, TD-DFT (pseudopotentiels) RMN, Mössbauer : électrons de coeur (LAPW) Magnétisme : pb de la taille, modèles classiques ou quantiques, pb de précision pour le ab initio Transport électronique : ab-initio + traitement spécifique ou modèles adaptés

12 Introduction : pourquoi le numérique Propriétés d intérêt Calcul multiéchelles couplage multiéchelles, dans un sens (calcul de paramètres par le ab initio) dans l autre (résolution d endroits d intérêt, spectroscopie d atomes lourds au sein d une protéine) voire de façon dynamique

13 Calcul ab-initio Hamiltonien du système : Born-Oppenheimer Hamiltonien du système : Born-Oppenheimer Degré de liberté de spin sous entendu i ] [Ĥe(r t Ψ = 1,...,r N,t)+Ĥ n({r Aα },t)+ĥ en(r 1,...,r N,{R Aα }t) Ψ Fonction d onde complète Ψ = Ψ(r 1,...,r N,{R Aα },t) le Hamiltonien électronique ( ) N Ĥ e = 2 2 r j=1 2m e j + v add (r j,t) + 1 N e 2 2 r j,k=1,j k j r k le Hamiltonien nucléaire ( ) K Nα Ĥ n = 2 2 A=1 α=1 2M R + v A Aα addn (R Aα,t) + 1 N K Nα K β e 2 2 Z A Z B A=1 α=1 B=1 R β=1 Aα R Bβ le Hamiltonien de couplage N A N K e Ĥ en = 2 Z A j=1 A=1 α=1 r j R Aα

14 Calcul ab-initio Hamiltonien du système : Born-Oppenheimer Hamiltonien du système : Born-Oppenheimer Noyaux au moins 1836 fois plus lourds que les électrons...trois versions au moins : Traiter les noyaux en mécanique classique (théorème d Ehrenfest) Considérer les noyaux immobiles et résoudre Schrödinger pour les électrons (PES) Factoriser la fonction d onde Ψ = Ψ e (r 1,...,r N,{R Aα },t)ψ n ({R Aα },t) Approximation adiabatique (Ĥ en + Ĥ e ) = E e (({R Aα },t))ψ e

15 Calcul ab-initio Unités atomiques Unités atomiques e 2 = q2 e 4πε 0 = m e = = 1 ( bohr a 0 = 1, Hartree E I = 1/2, α = 1/137)

16 Calcul ab-initio Ordre 0 : pas de couplage électron/électron Ordre 0 : pas de couplage électron/électron Ĥ = N j=1 ( 1 ) 2 2 r j + v add (r j,t) Super atomes d hydrogène N A N K j=1 A=1 α=1 Z A r j R Aα Ψ e = φ 1 (r 1 )(r 2 )...(r N ) Utile pour la spectroscopie X et comme condition initiale, semi-empirique...

17 Calcul ab-initio Champ autocohérent : Hartree Champ autocohérent : Hartree Argument : chaque électron ressent le potentiel moyen créé par les autres électrons On remplace Z ρ e (r) = ρ e (r) =< < Ψ e 1 2 N i=1 N i=1 N j,k=1,j k δ(r i r) > δ(r i r) Ψ e > dr 1...dr N 1 r j r k par V H (r) avec V H = ρ e ε 0 = 4πρ e V H (r) = V H [ρ e ] = R ρ e (r ) r r dr (dépendance fonctionnelle)

18 Calcul ab-initio Champ autocohérent : Hartree Champ autocohérent : Hartree Ĥ = N j=1 ( 1 ) 2 2 r j + v add (r j,t) N A N K j=1 A=1 α=1 Z A r j R Aα + V H Ψ e = φ 1 (r 1 )(r 2 )...(r N ) ρ e (r) = N i=1 φ i 2 (r) Ψ e dépend de Ĥ qui dépend de ρ e qui dépend de Ψ e... Résolution autocohérente à partir d une estimation initiale

19 Calcul ab-initio Champ autocohérent : Hartree Champ autocohérent : Hartree Description honorable de l énergie totale des atomes isolés Pas de liaison chimique Manque le principe de Pauli

20 Calcul ab-initio Échange : Hartree-Fock Échange : Hartree-Fock Ψ e = 1 N! φ 1 (r 1 ) φ 1 (r 2 )... φ 2 (r 1 ) φ 2 (r 2 )... φ 3 (r 1 ) φ 3 (r 2 )... Ψ e = A(φ 1 φ 2 φ 3...φ N ) = 1 N! N! σ u P u u=1 avec P u permutation de signature σ u = ±1 et les φ i mutuellement orthogonaux exemple si N = 2 Ψ e = φ 1 (r 1 )φ 2 (r 2 ) φ 1 (r 2 )φ 2 (r 1 ) zéro si deux orbitales φ i identiques

21 Calcul ab-initio Échange : Hartree-Fock Échange : Hartree-Fock 2 A 2 = 1 N! Z < P ij Φ Ψ>= N! u=1 N! σ u P u σ u P u = 1 u=1 N! σ w P w = N! w=1 N! u=1 Φ (r 1,...,r j,...,r i,...)ψ(r 1,...,r i,...,r j,...)dr 1...dr i...dr j... or dr i dr j = dr j dr i donc < P ij Φ Ψ >=< Φ P 1 ij Ψ > < N! u=1 σ u P u Φ Ψ >=< Φ N! u=1 < AΦ Ψ >=< Φ AΨ > σ u P 1 u Ψ > A < AΦ H AΦ >=< Φ AHAΦ > < AΦ H AΦ >=< Φ HA 2 Φ >=< Φ HAΦ >

22 Calcul ab-initio Échange : Hartree-Fock Échange : Hartree-Fock Ĥ = C+ i 1 ĥ(i)+ i>j r ij < AΦ H AΦ >=< Φ HAΦ > < Φ CAΦ >= C < φ 1 (r 1 )φ 2 (r 2 )...φ N (r N ) N! σ u P u φ 1 (r 1 )φ 2 (r 2 )...φ N (r N ) > u=1 si P u = E on obtient C si P u = P 12 on obtient C < φ 1 (r 1 )φ 2 (r 2 )...φ N (r N ) φ 1 (r 2 )φ 2 (r 1 )...φ N (r N ) >= R φ 1 (r 1 )φ 2 (r 2)φ 1 (r 2 )φ 2 (r 1 )dr 1 dr 2 = C < φ 1 φ 2 >< φ 2 φ 1 >= 0 et ainsi de suite pour P ij

23 Calcul ab-initio Échange : Hartree-Fock Échange : Hartree-Fock < Φ ĥ(i)aφ >= Ĥ = C+ i 1 ĥ(i)+ i>j r ij < φ 1 (r 1 )φ 2 (r 2 )...φ N (r N ) h(i) N! σ u P u φ 1 (r 1 )φ 2 (r 2 )...φ N (r N ) > u=1 si P u = E on obtient h ii = R φ i ĥ(i)φ idr i si P u = P ij on obtient < φ i (r i )φ j (r j )...φ N (r N ) ĥ(i)φ i(r j )φ j (r i )...φ N (r N ) >= R φ i (r i)φ j (r j)ĥ(i)φ i(r j )φ j (r i )dr i dr j =< φ j φ i >< φ i ĥ(i)φ j >= 0 et ainsi de suite

24 Calcul ab-initio Échange : Hartree-Fock Échange : Hartree-Fock < Φ 1 r ij AΦ >= Ĥ = C+ i 1 ĥ(i)+ i>j r ij < φ 1 (r 1 )φ 2 (r 2 )...φ N (r N ) r 1 N! ij σ u P u φ 1 (r 1 )φ 2 (r 2 )...φ N (r N ) > u=1 si P u = E on obtient (ii jj) = R φ i (r i)φ j (r j ) 1 r ij φ i (r i )φ j (r j )dr i dr j si P u = P ij on obtient (ij ij) = < φ i (r i )φ j (r j )...φ N (r N ) 1 r ij φ i (r j )φ j (r i )...φ N (r N ) >= R φ i (r i)φ j (r j) 1 r ij φ i (r j )φ j (r i )dr i dr j si P u = P kj avec k i on obtient zéro car un < φ k φ i > apparaît

25 Calcul ab-initio Échange : Hartree-Fock Échange : Hartree-Fock Ĥ = C+ i 1 ĥ(i)+ i>j r ij < AΦ Ĥ AΦ >= C+ h ii (ij ij)) i,j((ii jj) i or 1 2 (ii jj) = 1 RR φ i 2 (r i)φ j (r j)φ i (r i )φ j (r j ) r i,j i,j i r j dr i dr j = 1 RR ρ(r)ρ(r ) 2 r r drdr (Terme de Hartree) Rayleigh-Ritz donne des équations de Schrödinger monoélectroniques (mais non-linéaires et autocohérentes) avec ĥ i φ i = ε i φ i ĥ i = 1 2 +V ext + V H N i=1 Z φ j (r )φ i (r) r r drdr

26 Calcul ab-initio Échange : Hartree-Fock Échange : Hartree-Fock Terme d échange : donne la liaison chimique dans certains cas Très bonnes énergies totales, en particulier atomiques UHF : Degré de liberté de spin Énergie manquante : énergie de corrélation (petite, mais beaucoup d effets intéressants...) Problème de séparabilité : H 2 = H+H...

27 Calcul ab-initio Corrélation : approches constructivistes Corrélation : approches constructivistes Monte-Carlo quantique Méthodes de la physique théorique (renormalisation...) : sur des hamiltoniens effectifs Interaction de configuration : méthode variationnelle (Rayleigh-Ritz), génération de 10 5 (ou plus) déterminants incluant des états excités puis combinaison linéaire m fonctions de base, m N orbitales vides méthodes perturbatives incluant 1, 2, 4 états excités : Moller - Plesset (remplacement dans Ψ )

28 Méthodes basées sur la densité Méthodes basées sur la densité Thomas-Fermi Application en physique nucléaire : Von Weiszäcker, Skyrme.. Théorèmes de Hohenberg-Kohn (1965) et Kohn-Sham Rapide et précis bien que non contrôlé : explosion à partir de 1990 Extensions temporelles, spin, relativistes...

29 Méthodes basées sur la densité Thomas-Fermi Thomas-Fermi Idée venant de la physique statistique : répartition par cellules de taille h 3 dans l espace des phases jusqu au moment de Fermi de N électrons dans un volume V h 3 N = πp3 FV On obtient alors l énergie cinétique comme fonction de la densité ρ(r) = 8π 3h 3 p3 F or T moy = 3/5T F on suppose que T[ρ] = R drt[ρ] d où t[ρ] = c k ρ 5 3 avec c k = 3h2 10m e ( 3 8π ) 2 3

30 Méthodes basées sur la densité Thomas-Fermi Thomas-Fermi Z E TF = T[ρ]+E ext + e2 2 on minimise avec la contrainte R drρ(r) = N et E f fonctionnelle de ρ! Z 5 3 c kρ Vext + e 2 drdr ρ(r)ρ(r ) r r dr ρ(r ) r r + λ = 0 Bonne description des tendances des énergies atomiques Manque la description des effets de couche Rigueur discutable

31 Méthodes basées sur la densité Fonctionnelle de la densité Fonctionnelle de la densité Ĥ = T + V ee + V ext ĤΨ = E f Ψ De V ext et N on tire Ψ et donc ρ. Cette relation est inversible à une constante près (par l absurde) Donc Ψ est une fonctionnelle de ρ Toute observable l est donc aussi Z E[ρ] = F[ρ]+ dr ρ(r )V ext (r ) F est universelle (système précis est décrit par V ext

32 Méthodes basées sur la densité Kohn-Sham Kohn-Sham Z [ E[ρ] = T 0 [ρ]+ dr ρ(r) V ext (r)+ 1 ] 2 V H(r) + E xc [ρ] où T 0 est l énergie cinétique d un système identique sans interactions δt 0 δρ + V ext + V H + V xc = µ V xc = δe xc δρ soit un système fictif de fermions sans interactions est résolu par δt 0 δρ + V = µ [ 12 ] +V ψ i = ε i ψ i ρ = N i=1 ψ i 2

33 Méthodes basées sur la densité Kohn-Sham Kohn-Sham T 0 est meilleur que T TF Problème proche de Hartree Toute la complexité est cachée dans V xc qui est inconnu Approximations et ajustements sur résultats exacts

34 Méthodes basées sur la densité LDA,LSD(A), SIC, GGA LDA, LSD(A), SIC, GGA Approximation locale en espace (fonction) + spin Z E xc [ρ] = drρ(r)ε xc (ρ (r),ρ (r)) Ajustement sur MC Quantique pour un gaz d électrons homogène ; termes en Dirac (en ρ 1/3 ) Bons résultats dans les premières lignes (jusque Al exclu) ; corrélation! Notoirement faux pour les semi-conducteurs Correction d auto-interaction (SIC) GGA : resommation heuristique du développement de la matrice densité Lee, Yang, Parr, BLYP Z E xc [ρ] = drf(ρ, ρ ))

35 Méthodes basées sur la densité Fonctionnelle de la densité dépendant du temps Fonctionnelle de la densité dépendant du temps Historiquement : minimisation de l action (Runge et Gross) Kohn-Sham dépendant du temps (TDKS) : i t ψ i(t) = ĥ[ρ(t)] ψ i (t) Approximations locales en temps : Dans TDKS : fonctionnelle statique (ou TDOPM/TDKLI) éventuellement, linéarisation et réponse fréquentielle Meilleurs résultats que le théorème de Koopman (états excités / EF)

36 En pratique En pratique de 1 à 1000 atomes dépend surtout du nombre d électrons et de la précision (relativiste, spin, spin-orbite...) problème des électrons d et f : LDA + U Pb de vitesse : ordinateurs parallèles Choix de la base de représentation : LCAO ou espace direct

37 En pratique Bases de gaussiennes Bases de gaussiennes En principe η I,nlm = R nl (r)e Z nr Y lm (θ,φ) En pratique combinaison de x p y q z s e ar2 Produit de deux gaussiennes est une gaussienne e αr2 Ae βr2 B = e (α+β)r2 Pe αβ α+β AB 2 avec P barycentre de A et B affecté de α et β. π < η A η B >= ( α+β ) 2 3 e Formule similaire pour les αβ α+β AB 2 Z Z e αrae 2 βr2 B e γr 2 C e δr 2 D (η A η B η C η D ) = r r drdr (η A η B η C η D ) = erf(( (α+β)(γ+δ) α+β+γ+δ ) 1 2 PQ ) avec Q barycentre de C et D affecté de γ et δ.

38 En pratique Bases de gaussiennes Bases de gaussiennes Tradition : précalcul de toutes les intégrales mono- et biélectroniques Discussion en fonction de la base (3STG, 6STG, double-zeta...) Pratique et rapide pour les systèmes localisés (conformation de molécules...) Répandu en chimie (GAUSSIAN, GAMESS, SIESTA...) Approximation des électrons de cœur gelés

39 En pratique Ondes planes et pseudopotentiels Ondes planes et pseudopotentiels Discrétisation régulière en espace et emploi de FFT Traditionnel en physique du solide et physique nucléaire (théorème de Bloch)

40 En pratique Ondes planes et pseudopotentiels Ondes planes et pseudopotentiels Bonne résolution des électrons de valence Problème : traitement des fonctions d onde près du cœur Divergence en 1/r Pseudopotentiel : les f.o. des électrons de valence ne changent pas dans la zone où elles sont non nulles... Pas de RMN ou de Mössbauer { ( ) ( )} V ps (r) = e2 r r c 1 erf + c 2 erf r σ 1 σ 2 H(r,r ) = Y l,m (r)p l i(r)h l ip l i(r )Y l,m(r ) VASP, Car-Parinello, ABINIT, OCTOPUS...

41 En pratique LAPW LAPW (Linearized) Augmented Plane Wave WIEN2K, VASP

42 Physico-chimie numérique : calcul ab-initio ou phénoménologie Quelques applications Multiéchelle Quelques applications au multiéchelle Le Bail et Calvayrac : classification de structures virtuelles AlF3 prédites topologiquement Calcul de paramètres RMN par LAPW Calcul de paramètres de potentiels ou de hamiltoniens

43 Quelques applications Multiéchelle Un cas test : Na 12 ajustement du pulse laser : Na 12 + hν Na e N el E laser E tot N el t (fs) E tot près de la fréquence plasmon ω = 3.06eV E 0 = 0.007Ry/a 0 I = W/cm 2 laser hors résonance : ω = 6.52eV E 0 = Ry/a 0 I = W/cm 2

44 Quelques applications Multiéchelle laser at plasmon frequency laser at twice plasmon frequency ions electrons

45 Quelques applications Multiéchelle # of electrons Ion. E kin Elec. E th ω laser = 6.58 ev ω laser = 3.06 ev Cas résonant : excitation homogène du nuage électronique les ions émis emportent quelques électrons Cas hors résonance : seuls les électrons de surface sont émis des ions "nus" sont émis t (fs) dans les premières 200 fs, les ions ont à peine bougé

46 Quelques applications Magnétisme Applications en magnétisme ( ψi ψ i = ψ i diagonalisation locale (von Barth and Hedin) selon d. )

47 Conclusion Conclusion en principe, méthode parfaite et universelle.. en pratique, beaucoup de limitations peu parlé de l optimisation de structures (dynamique moléculaire, MC...) plus facile d expérimenter en phénoménologie.. ; mais quand on ne connaît pas bien la physique... il suffit d avoir de gros ordinateurs!!!

48 Conclusion Questions?

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