Stage olympique de Cachan Géométrie

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1 Stge olympique de chn Géométrie Exercices du vendredi 20 février Quelques définitions et résultts utiles éfinition (Nottions) Soit un tringle non plt. On utiliser usuellement les nottions suivntes : α {, β { et γ { ;, b et c ; S est l ire de ; R est le ryon du cercle circonscrit à. éfinition (ngles orientés) Soit un tringle tel que,, sont disposés dns le sens des iguilles d une montre. On noter, { ou encore p ÝÑ, ÝÑ q, l ngle α lui-même ;, { ou encore p ÝÑ ÝÑ, q, l ngle α. es ngles sont dit «orientés» : ils ont un signe et peuvent être positifs ou négtifs. éfinition (ngles de vecteurs) Soit ÝÑ ÝÝÑ ÝÑ ÝÝÑ et deux vecteurs non nuls. Soit églement E le point tel que E, c est-à-dire tel que E soit un prllélogrmme. On noter p ÝÑ ÝÝÑ ÝÑ ÝÑ, q l ngle p, Eq, que l on défini ci-dessus. Exercice 1 (Reltion de hsles) Soit ÝÑ u, ÝÑ v, ÝÑ w trois vecteurs non nuls. Montrer que p ÝÑ u, ÝÑ v q ` p ÝÑ v, ÝÑ w q p ÝÑ u, ÝÑ w q. Exercice 2 (Théorème d l-kshi) Soit un tringle non plt. lors 2 b 2 ` c 2 2bc cospαq. éfinition (ngles de droites) Soit ÝÑ ÝÝÑ et deux vecteurs non nuls. lors p ÝÑ, ÝÝÑ q p ÝÑ, ÝÝÑ q p ÝÑ, ÝÝÑ q p ÝÑ, ÝÝÑ q On noter donc p, q l ngle p ÝÑ, ÝÝÑ q pmod 180 q. pmod 180 q. Exercice 3 (oints cocycliques et ngles de droite) Soit un qudriltère. Montrer que,,, sont cocycliques si et seulement si p, q p, q. Exercice 4 (Théorème des trois cercles) Soit un tringle, puis 1 pq, 1 pq et 1 pq trois points quelconques. Montrer que les cercles circonscrits à 1 1, 1 1 et 1 1 sont concournts. Exercice 5 (Inéglité de tolémée) Soit un qudriltère. Montrer que ď `, vec églité si et seulement si est convexe et inscriptible. Exercice 6 (upliction des ngles) Soit α un ngle. Montrer que sinp2αq 2 sinpαq cospαq et que cosp2αq cos 2 pαq sin 2 pαq. Exercice 7 (Loi des sinus) Montrer que sin α b sin β c sin γ 2R bc 2S. Exercice 8 (uissnce d un point pr rpport à un cercle) Soit un cercle de ryon R et de centre O. Soit, deux points de, puis un point de l droite pq. Montrer que O 2 R 2. Exercice 9 (xes rdicux) Soit 1, 2 et 3 trois cercles deux à deux sécnts. On note 1

2 1 et 1 les points d intersection de 2 et 3 ; 2 et 2 les points d intersection de 3 et 1 ; 3 et 3 les points d intersection de 1 et 2. Montrer que les droites p 1 1 q, p 2 2 q et p 3 3 q sont soit concourntes, soit prllèles. 2 Exercices d ppliction Exercice 10 Soit un tringle équiltérl et soit Γ le cercle circonscrit à. On plce un point M sur l rc de Γ relint à sns psser pr. Montrer que M M ` M. Exercice 11 Soit un qudriltère, et soit, et les projetés orthogonux respectifs de sur les droites pq, pq et pq. Montrer que, et sont lignés si et seulement si,,, sont cocycliques. Exercice 12 Soit un tringle, puis rs et E rs. Montrer que les droites peq et pq se coupent nécessirement, en un point que l on noter F. Montrer que les cercles 1, 2, 3 et 4 circonscrits à E, F, et EF sont concournts, en un point que l on noter M. Soit O 1, O 2, O 3 et O 4 les centres respectifs de 1, 2, 3 et 4 : montrer que M, O 1, O 2, O 3 et O 4 sont cocycliques. Exercice 13 Soit,,, qutre points deux à deux distincts, disposés dns cet ordre sur une droite. Soit et 1 les cercles de dimètres respectifs rs et rs. Soit X et Y les points d intersection de et 1, puis Z le point d intersection de pxy q et, et un point de pxy q distinct de Z. Soit M le point de X p q distinct de, et N le point de 1 X p q distinct de. Montrer que pmq, pnq et pxy q sont concourntes. Exercice 14 Soit un qudriltère inscriptible dns un cercle de ryon R, et tel qu il existe un point rs tel que. Montrer qu il existe effectivement de tels points,,,,, et qu lors R. 2

3 3 Solutions Solution 1 Il suffit de considérer des points,,, tels que ÝÑ u ÝÑ, ÝÑ v mnifestement vrie : p ÝÑ u, ÝÑ v q ` p ÝÑ v, ÝÑ w q α ` β γ p ÝÑ u, ÝÑ w q. ÝÑ pour voir que l églité demndée est γ β α Solution 2 Soit H le projeté orthogonl de sur pq. lors 2 2 H 2 ` H 2 pr ythgore H 2 ` ph ` q 2 H 2 ` H 2 ` 2H ` 2 ce qui étit bien l églité recherchée. 2 ` 2H ` 2 pr ythgore c 2 ` b 2 2bc cospαq cr H c cospαq, c H b 3

4 Solution 3 Soit le cercle circonscrit à, et soit O le centre de O. Les tringles O, O et O sont isocèles en O, de sorte que p, Oq po, q, p, Oq po, q et p, Oq po, q. insi, il vient po, Oq po, q ` p, Oq po, q ` p, q ` p, q ` p, Oq p, Oq ` p, q ` po, q 2p, q. En prticulier, si, lors p, q 1 2pO, Oq p, q. Réciproquement, si E R, soit le point d intersection de peq et de utre que lui-même. lors E et, puisque R pq peq, on en déduit que pq peq, donc que pq et peq ne sont ps prllèles. r conséquent, pe, Eq p, Eq p, q, ce qui conclut l exercice. O E Solution 4 Soit pq une utre droite pssnt pr et recoupnt le cercle. lors p, q p, q p, q p, q. e plus, que soit à l intérieur ou à l extérieur de, on p ÝÑ, ÝÑ b ÝÝÑ ÝÑ q p, q. Les tringles et sont semblbles et d orienttions opposées, de sorte que, cette églité restnt vrie si on considère des longueurs lgébriques. En prticulier, si pq est un dimètre de, lors p O ` Oq p O ` Oq O 2 ` O po ` Oq ` O O O 2 O 2 cr O O O 2 R 2. O 4

5 Solution 5 Soit O 1, O 2 et O 3 les milieux de 1, 2 et 3, et R 1, R 2, R 3 les ryons respectifs de ces cercles. Soit églement un point quelconque et c i p q l puissnce de pr rpport u cercle i. Enfin, soit H le point d intersection de p 1 1 q vec po 2 O 3 q et I le projeté orthogonl de sur po 2 O 3 q. Notons que po 2 O 3 q est l méditrice de r 1 2 s. insi, c 2 p q c 3 p q O2 2 R2 2 O3 2 R3 2 p I 2 ` IO2q 2 ph 2 1 ` HO2q 2 p I 2 ` IO3q 2 ph 2 1 ` HO3q 2 pio 2 2 HO 2 2q pio 2 3 HO 2 3q pio 2 HO 2 qpio 2 ` HO 2 q pio 3 HO 3 qpio 3 ` HO 3 q IHpIO 2 ` HO 2 IO 3 HO 3 q 2IH O 3 O 2, de sorte que c 2 p q c 3 p q si et seulement si I H, c est-à-dire si et seulement si p 1 1 q. e même, c 1 p q c 2 p q si et seulement si p 3 3 q, et c 1 p q c 3 p q si et seulement si p 2 2 q. Les trois «xes rdicux» p 1 1 q, p 2 2 q et p 3 3 q sont donc soit prllèles, soit concournts O O 2 H I O 3 1 5

6 f e Solution 6 Tout d bord, soit un tringle tel que { α et 1, puis soit H le projeté orthogonl de sur pq, le symétrique de pr rpport à pq et enfin E le projeté orthogonl de sur pq. Le tringle est d ire (lgébrique) E sinp { q sinp2αq 2 H 2H H 2 cospαq sinpαq 2 sinpαq cospαq, d où l églité sinp2αq 2 sinpαq cospαq. utre prt, soit F le symétrique de pr rpport à. lors ÝÑ ÝÝÑ F 2H, donc pf q et phq sont prllèles, de sorte que EF { H. { uisque F { E 90 H, { les tringles EF et H sont donc semblbles, et 1 ` cosp2αq F E E H H c est-à-dire cosp2αq 2 cos 2 pαq 1 cos 2 pαq sin 2 pαq. sinp2αq cospαq 2 cos 2 pαq, sinpαq g F H E Solution 7 Soit H le projeté orthogonl de sur pq. lors sinpγq H, donc est d ire S H bc sinpγq 2 2c, de c sorte que sinpγq bc 2S. e mnière symétrique, on trouve sinpαq b sinpβq bc 2S. Soit lors L le milieu de rs. lors OL et OL sont rectngles en L, vec OL z LO z 1 { 2 O { α. Il s ensuit que 2L 2OL sinploq z 2R sinpαq, c est-à-dire sinpαq 2R. α c b O R β L H γ 6

7 Solution 8 On note, et les cercles circonscrits à 1 1, 1 1 et 1 1. Soit I le point d intersection de et utre que 1. lors donc I, ce qui conclut l exercice. pi 1, I 1 q pi 1, I 1 q ` pi 1, I 1 q p 1, 1 q ` p 1, 1 q p, q ` p, q p, q p 1, 1 q, 1 I 1 1 Solution 9 Soit E l unique point tel que E et soient directement semblbles. lors E. e plus, E { {E`{ `{ { { et E, donc E et sont directement semblbles eux ussi. el montre que E. r inéglité tringulire, on donc ď pe `Eq `. e surcroît, il y églité si et seulement si E rs, c est-à-dire si { E { { et { E { { : cel signifie que,,, sont cocycliques vec rs X rs rs X rs H, c est-à-dire que est convexe. E 7

8 Solution 10 Soit R le ryon de Γ. r ppliction de l églité de tolémée u qudriltère M, il vient ce qui montre que M M ` M. M R M M ` M RpM ` Mq, M Solution 11 Les qudriltères, et ont chcun deux ngles droits donc sont inscriptibles. On en déduit que p, q p, q ` p, q p, q ` p, q p, q p, q. Les points,, sont lignés si et seulement si p, q 0, donc si p, q p, q, c est-à-dire si,,, sont cocycliques. 8

9 Solution 12 uisque et se trouvent de prt et d utre de pq et que E est du même côté de pq que, lors res coupe pq. e même, peq coupe rs, de sorte que F est le point d intersection des segments res et rs. uisque F res X rs, F est intérieur ux cercles 1 et 2. En ppliqunt le théorème des trois cercles u tringle et ux points pq, E pq et F pq, on trouve que 1, 3 et 4 sont concournts en un point M F ; de même, 2, 3 et 4 sont concournts en un point M 1 F. uisque tf, M, M 1 u Ď 3 X 4, il s ensuit que M M M 4 E 1 O 4 M 3 O 2 M 2 F O 3 O 1 MF est inscriptible donc pf, q pmf, Mq. e plus, M et F sont les deux points d intersection de 3 et 4, donc po 3 O 4, MF q 90. e même, M et sont les deux points d intersection de 2 et 3, donc pm, O 3 O 2 q 90. el montre que pf, q pmf, Mq 90 ` pmf, Mq ` 90 po 3 O 4, MF q ` pmf, Mq ` pm, O 3 O 2 q po 3 O 4, O 3 O 2 q. e même, on pe, q pme, Mq et po 1 O 4, MEq pm, O 1 O 2 q 90, donc On en déduit que pe, q pme, Mq 90 ` pme, Mq ` 90 po 1 O 4, MEq ` pmf, Mq ` pm, O 1 O 2 q po 1 O 4, O 1 O 2 q. po 1 O 4, O 1 O 2 q pe, q pf, q po 3 O 4, O 3 O 2 q, ce qui signifie que O 1, O 2, O 3, O 4 sont cocycliques. Mintennt, soit M 2 et M 4 les symétriques de M pr rpport à O 2 et O 4. lors MM 2 et MM 4 sont rectngles en, de sorte que, M 2, M 4 sont lignés. Il s ensuit que pmo 4, MO 2 q pmm 4, MEq ` pme, MM 2 q pm 4, Eq ` pme, MM 2 q cr EMM 4 est inscriptible pm 2, q ` pme, MM 2 q pr lignement de M 1 M 2 et de E pmm 2, Mq ` pme, MM 2 q pme, Mq po 1 O 4, O 1 O 2 q comme on le montre dix lignes plus hut, de sorte que M, O 1, O 2, O 4 sont cocycliques, ce qui conclut. 9

10 Solution 13 Le point est sur l xe rdicl de et 1, de sorte que N X Y M. Le qudriltère NM est donc inscriptible. e plus, les ngles { M et { N sont droits, donc pm, q pm, q pm, Mq ` pm, q 90 ` pm, q 90 ` pm, q 90 ` pnm, Nq pn, Nq ` pnm, Nq pnm, Nq, de sorte que MN est inscriptible. Soit lors 2 le cercle circonscrit à MN. Les droites pmq, pnq et pxy q sont les xes rdicux de, 1 et 2 et ne sont ps prllèles, puisque et M se trouvent de prt et d utre de pxy q : ces droites sont donc concourntes. 1 N X M 2 Y Solution 14 Une configurtion telle que décrite dns l énoncé est obtenue dès lors que, et sont tous trois équiltérux. onsidérons mintennt une configurtion plus générle. Notons M le milieu de rs et O le centre du cercle circonscrit à. lors O,, M sont lignés, de sorte que Le tringle O est donc isocèle en, ce qui montre que O R. 2p, Oq 2p, Mq 2p, q ` p, q cr p, Mq p M, q 2p, q ` p, q 2p, q ` 2p, q cr est le centre du cercle circonscrit de p, q ` 2p, q po, Oq ` po, Oq cr O est le centre du cercle circonscrit de 2pOM, Oq 2pO, Oq. O M 10

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