Algorithmique et programmation Exercices de TD avec solutions

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1 Département d Informatique DUT Informatique S1 Année 2014/2015 Algorithmique et programmation Algorithmique et programmation Exercices de TD avec solutions Table des matières 1 Séquences d actions Écluse Radiateurs Gazon Heures, minutes, secondes Programme Gazon Conditionnelles Dérouler un algorithme Pizzas Coordonnées Mois de l année Itérations Lignes d étoiles Carrés et cubes Triangle de nombres Tables de multiplications Puissances Suite alternée Sommes de fractions Hauteurs de pluie Puissance de Chute libre Fonctions Calcul d âge Multiplication récursive Calculs de puissances Tours de Hanoï Flocon de Von Koch Tableaux Notes Températures Vote Mélange Nombres en toutes lettres Recherche dichotomique Reversi Tableaux 2D Transposée de matrice Matrice symétrique Somme et produit de matrices Jeu de la vie Version du 18 décembre

2 1 Séquences d actions 1.1 Écluse Écrire l idée de l algorithme permettant de modéliser le franchissement d une écluse par un bateau. Les portes d une écluse sont munies de vannes que l on peut ouvrir ou fermer et qui permettent de laisser passer l eau afin de mettre l écluse à niveau (figure 1). Les portes sont également équipées de feux pouvant être vert ou rouge, pour autoriser ou non le passage du bateau. feux Amont portes vannes Aval Figure 1 Schéma d un écluse On considérera dans un premier temps que le bateau descend la rivière et que lorsqu il se présente devant l écluse, celle-ci est en niveau bas. On suppose qu au départ, les deux portes sont fermées, les vannes sont fermées, et les deux feux sont au rouge. Une idée d algorithme est la suivante : ouvrir la vanne amont (l écluse se remplit) ouvrir la porte amont passer le feu amont au vert (le bateau entre dans l écluse) passer le feu amont au rouge fermer la porte amont fermer la vanne amont ouvrir la vanne aval (l écluse se vide, le bateau descend) ouvrir la porte aval passer le feu aval au vert (le bateau sort de l écluse) passer le feu aval au rouge fermer la porte aval fermer la vanne aval 1.2 Radiateurs 1. Concevoir un algorithme pour calculer le nombre de radiateurs dont on a besoin pour chauffer une pièce. On sait qu un radiateur est capable de chauffer 8 m 3. L utilisateur donnera la longueur, la largeur et la hauteur de la pièce en mètres. Aucune donnée. 2

3 Nombre de radiateurs nécessaires pour chauffer une pièce. Demander les dimensions de la pièce à l utilisateur, calculer le volume de la pièce et le diviser par la capacité de chauffage d un radiateur. En prendre ensuite la partie entière supérieure pour obtenir le nombre de radiateurs recherché. Lexique des constantes capacité (réel) = 8 capacité de chauffage d un radiateur (m 3 ) nombre (entier) nombre de radiateurs RÉSULTAT longueur (réel) longueur de la pièce INTERMÉDIAIRE largeur (réel) largeur de la pièce INTERMÉDIAIRE hauteur (réel) hauteur de la pièce INTERMÉDIAIRE volume (réel) volume de la pièce INTERMÉDIAIRE longueur lire largeur lire hauteur lire volume longueur largeur hauteur nombre volume/capacité 2. Détailler le déroulement de l algorithme pour une pièce de dimensions 6 4 2,5 m. Au cours du déroulement de l algorithme, les variables prennent les valeurs suivantes : longueur = 6, largeur=4, hauteur = 2,5, volume = 60, nombre = Traduire l algorithme dans un programme Java complet. import java. util. ; class Radiateurs { static final Scanner input = new Scanner(System.in); public static void main(string [] args) { final double capacite = 8; int nombre; double longueur; double largeur ; double hauteur; double volume; longueur = input.nextdouble(); largeur = input.nextdouble(); hauteur = input.nextdouble(); volume = longueur largeur hauteur; nombre = (int )Math.ceil(volume / capacite ); } System.out. println ("Nombre = " + nombre); } 1.3 Gazon On veut calculer la surface du gazon et le temps de tonte du gazon pour un terrain rectangulaire sur lequel sont bâtis une maison rectangulaire et un appentis triangulaire, et qui comporte une piscine circulaire. On sait que la tonte du gazon prend x secondes au m 2 (x est donné), et on donne les dimensions indiquées sur la figure 2. 3

4 longmais largter largmais longapp raypisc longter Figure 2 Schéma du terrain à tondre Dimensions du terrain et des éléments, comme sur le plan (m), temps de tonte unitaire (s/m 2 ). Surface de gazon et temps total de tonte. Calculer la surface de gazon en retranchant de la superficie du terrain, la superficie occupée par les différents éléments. Calculer ensuite le temps total de tonte en multipliant la surface de gazon par le temps de tonte unitaire. Lexique des constantes PI (réel) = 3, constante mathématique π longter (réel) longueur du terrain (m) DONNÉE largter (réel) largeur du terrain (m) DONNÉE longmais (réel) longueur de la maison (m) DONNÉE largmais (réel) largeur de la maison (m) DONNÉE longapp (réel) longueur de l appentis (m) DONNÉE raypisc (réel) rayon de la piscine (m) DONNÉE x (réel) temps de tonte unitaire (s/m 2 ) DONNÉE surface (réel) surface du terrain (m 2 ) RÉSULTAT temps (réel) temps total de tonte (s) RÉSULTAT surface longter largter surface surface longmais largmais surface surface (longapp largmais)/2 surface surface PI raypisc raypisc temps x surface 1.4 Heures, minutes, secondes Écrire un algorithme pour convertir un nombre de secondes en un nombre d heures, de minutes et de secondes. On utilisera les opérateurs modulo et division entière. Une durée, en secondes. La même durée, en heures, minutes, secondes. Décomposer le nombre total des secondes par division entières successives, sachant qu il y a 60 secondes dans une minute et 3600 secondes dans une heure. 4

5 duree (entier) durée à convertir, en secondes DONNÉE heures (entier) nombre d heures RÉSULTAT minutes (entier) nombre de minutes RÉSULTAT secondes (entier) nombre de secondes RÉSULTAT heures duree/3600 minutes (duree mod 3600)/60 secondes duree mod Programme Gazon Utiliser les algorithmes précédents pour écrire un programme Java qui calcule et affiche surface de gazon et temps de tonte. Les informations nécessaires seront demandées à l utilisateur. Le temps de tonte sera affiché en heures, minutes, secondes. Indications En Java, l opération modulo (mod) se note %. Par exemple : duree % la constante mathématique π est définie par Math.PI. 5

6 import java. util. ; class Gazon { static final Scanner input = new Scanner(System.in); public static void main(string [] args) { / de l algorithme du gazon / float longter; float largter ; float longmais; float largmais ; float longapp; float raypisc ; float x; / s de l algorithme du gazon / float surface ; float temps; / Donnée de l algorithme de la durée / int duree; / s de l algorithme de la durée / int heures; int minutes; int secondes; / Entrée des données / System.out. println ("Entrer la longueur et la largeur du terrain (m)"); longter = input.nextfloat (); largter = input.nextfloat (); System.out. println ("Entrer la longueur et la largeur de la maison (m)"); longmais = input.nextfloat (); largmais = input.nextfloat (); System.out. println ("Entrer la longueur de l appentis (m)"); longapp = input.nextfloat (); System.out. println ("Entrer le rayon de la piscine (m)"); raypisc = input.nextfloat (); System.out. println ("Entrer le temps de tonte unitaire (s/m^2)"); x = input.nextfloat (); / du gazon / surface = longter largter ; surface = longmais largmais; surface = (longapp largmais) / 2.0; surface = Math.PI raypisc raypisc; temps = x surface ; / Préparation des données pour l algorithme de la durée / duree = Math.round(temps); / de la durée / heures = duree / 3600; minutes = (duree % 3600) / 60; secondes = duree % 60; } / Affichage des résultats / System.out. println ("Surface de gazon : " + surface + " m^2"); System.out. println ("Temps de tonte : " + heures + " heures, " + minutes + " minutes, " + secondes + " secondes"); } 6

7 2 Conditionnelles 2.1 Dérouler un algorithme Réalisez l exécution de l algorithme suivant en donnant successivement les valeurs 20, 150, 50, 51 et 400 à valeur. valeur (entier) entier donné DONNÉE si valeur > 100 alors écrire A si valeur > 200 alors écrire B sinon écrire C sinon si valeur > 50 alors écrire D sinon écrire E Donnée Sorties de l algorithme (impression) 20 E 150 A C 50 E 51 D 400 A B 2.2 Pizzas On ne fait pas forcément des économies en achetant plus gros. Est-ce vrai quand on achète des pizzas? Concevoir un algorithme qui lit le diamètre de deux pizzas, leur numéro et leur prix puis qui imprime le numéro de celle qui a le meilleur rapport taille/prix. Aucune donnée. Aucun résultat (affichage). On remarquera que le «meilleur» rapport taille/prix est celui qui est le plus grand. Pour la définition de la taille, le plus naturel est d utiliser l aire de la pizza. Il suffit ensuite de calculer les rapports taille/prix de chacune des pizzas, et de les comparer pour afficher le numéro de celle qui a le meilleur rapport. Lexique des constantes PI (réel) = 3, constante mathématique π numéro 1 (entier) numéro de la première pizza INTERMÉDIAIRE numéro 2 (entier) numéro de la deuxième pizza INTERMÉDIAIRE diamètre 1 (réel) diamètre de la première pizza INTERMÉDIAIRE diamètre 2 (réel) diamètre de la deuxième pizza INTERMÉDIAIRE prix 1 (réel) prix de la première pizza INTERMÉDIAIRE prix 2 (réel) prix de la deuxième pizza INTERMÉDIAIRE rapport 1 (réel) Rapport taille/prix de la première pizza INTERMÉDIAIRE rapport 2 (réel) Rapport taille/prix de la deuxième pizza INTERMÉDIAIRE 7

8 écrire Entrer numéro, diamètre et prix de la première pizza numéro 1 lire diamètre 1 lire prix 1 lire écrire Entrer numéro, diamètre et prix de la deuxième pizza numéro 2 lire diamètre 2 lire prix 2 lire rapport 1 diamètre 1 diamètre 1 PI/(4 prix 1) rapport 2 diamètre 2 diamètre 2 PI/(4 prix 2) si rapport 1 > rapport 2 alors écrire C est la pizza, numéro 1, qui a le meilleur rapport taille/prix. sinon si rapport 1 < rapport 2 alors écrire C est la pizza, numéro 2, qui a le meilleur rapport taille/prix. sinon écrire Les deux pizzas on le même rapport taille/prix. Remarque : Ce n est pas équivalent de prendre le périmètre et l aire comme mesure de la taille. Par exemple, si diamètre 1 = 4, diamètre 2 = 6, prix 1 = 2 et prix 2 = 4, alors avec le périmètre, c est la pizza n o 1 qui a le meilleur rapport : périmètre 1 = 4π rapport 1 = 4π/2 = 2π périmètre 2 = 6π rapport 2 = 6π/4 = 1,5π avec l aire, c est la pizza n o 2 qui a le meilleur rapport : 2.3 Coordonnées aire 1 = (4/2) 2 = 4π rapport 1 = 4π/2 = 2π aire 2 = (6/2) 2 = 9π rapport 2 = 9π/4 = 2,25π Écrire un algorithme qui, étant donné les coordonnées x et y d un point, détermine dans quelle partie (A, B, C ou D) du plan se trouve le point (cf. figure 3). B A O C D Figure 3 Parties du plan Coordonnées (x, y) d un point. Affichage de la partie du point dans laquelle se trouve le point. Un simple enchaînement de structures conditionnelles. x (réel) abscisse du point DONNÉE y (réel) ordonnée du point DONNÉE 8

9 si x < 0 alors si y < 0 alors écrire C sinon si y > 0 alors écrire B sinon // y = 0 écrire BC sinon si x > 0 alors si y < 0 alors écrire D sinon si y > 0 alors écrire A sinon // y = 0 écrire AD sinon // x = 0 si y < 0 alors écrire CD sinon si y > 0 alors écrire AB sinon // y = 0 écrire O (ABCD) Pour aller plus loin. Écrire un algorithme de conversion des coordonnées du point en coordonnées polaires. La valeur de l angle doit être dans l intervalle [0 ; 2π[. 2.4 Mois de l année Écrire un algorithme qui demande un numéro de mois à l utilisateur et indique en retour son nom et le nombre de jours dans ce mois. Aucune donnée. Aucun (affichage). (i) demander un numéro de mois à l utilisateur ; (ii) afficher le nom et le nombre de jours correspondant au numéro de mois (utiliser pour cela une structure selon que). mois (entier) numéro de mois INTERMÉDIAIRE 9

10 écrire Entrer un numéro de mois mois lire selon que mois est cas 1 : écrire janvier (31 jours) cas 2 : écrire février (28 ou 29 jours) cas 3 : écrire mars (31 jours) cas 4 : écrire avril (30 jours) cas 5 : écrire mai (31 jours) cas 6 : écrire juin (30 jours) cas 7 : écrire juillet (31 jours) cas 8 : écrire août (31 jours) cas 9 : écrire septembre (30 jours) cas 10 : écrire octobre (31 jours) cas 11 : écrire novembre (30 jours) cas 12 : écrire décembre (31 jours) défaut : écrire numéro invalide fselon 10

11 3 Itérations 3.1 Lignes d étoiles 1. Concevoir un algorithme qui, pour un caractère imprimable et un nombre n donnés, imprime une barre horizontale de n de ces caractères. **************** Un caractère imprimable, une longueur de ligne n. Affichage d une ligne de n fois le caractère. Répéter n fois l affichage du caractère, à l aide d une boucle pour car (caractère) un caractère imprimable DONNÉE n (entier) longueur de la ligne DONNÉE i (entier) compteur de caractères INTERMÉDIAIRE pour i de 1 à n faire écrire car écrire \n 2. Modifier l algorithme pour l impression d une barre double. **************** **************** Un caractère imprimable, une longueur de ligne n. Affichage de deux lignes de n fois le caractère. Répéter 2 fois l algorithme précédent. car (caractère) un caractère imprimable DONNÉE n (entier) longueur de la ligne DONNÉE i (entier) compteur de caractères INTERMÉDIAIRE pour i de 1 à n faire écrire car écrire \n pour i de 1 à n faire écrire car écrire \n 3. Modifier l algorithme pour l impression d une barre d épaisseur quelconque donnée. 11

12 Un caractère imprimable, une longueur de ligne n, une épaisseur m. Affichage de m lignes de n fois le caractère. Répéter m fois le premier algorithme. Utiliser pour cela une boucle pour. car (caractère) un caractère imprimable DONNÉE n (entier) longueur de la ligne DONNÉE m (entier) nombre de lignes DONNÉE i (entier) compteur de lignes INTERMÉDIAIRE j (entier) compteur de caractères INTERMÉDIAIRE pour i de 1 à m faire pour j de 1 à n faire écrire car écrire \n 4. (optionnel) Transformer les algorithmes ci-dessus en fonctions. 5. Écrire un programme Java implémentant la dernière version de l algorithme (épaisseur quelconque). import java. util. ; class Lignes { static final Scanner input = new Scanner(System.in); public static void main(string [] args) { char car ; // caractère à imprimer int n; // longueur de ligne int m; // épaisseur int i ; // compteur de lignes int j ; // compteur de caractères System.out. print ("Caractère? "); car = input.next (). charat(0); System.out. print ("Longueur? "); n = input. nextint (); System.out. print ("Épaisseur? "); m = input.nextint (); } } for ( i = 1; i <= m; ++i) { for ( j = 1; j <= n; ++j) System.out. print (car ); System.out. println (); } 3.2 Carrés et cubes Écrire un algorithme qui imprime la suite des carrés et des cubes des entiers compris entre 10 et

13 Aucune donnée. Aucun (affichage). Énumérer les valeurs de borneinf à bornesup (utiliser une boucle pour), et utiliser la valeur de l indice de boucle pour en calculer le carré et le cube. Lexique des constantes borneinf (entier) = 10 borne inférieure de l intervalle bornesup (entier) = 100 borne supérieure de l intervalle i (entier) compteur INTERMÉDIAIRE carré (entier) valeur de i 2 INTERMÉDIAIRE cube (entier) valeur de i 3 INTERMÉDIAIRE pour i de borneinf à bornesup faire carré i i cube carré i écrire i, carré, cube 3.3 Triangle de nombres Concevoir un algorithme qui imprime pour n donné : n Un entier n. Aucun (affichage suivant énoncé). Énumérer les lignes et, pour chaque ligne, imprimer les nombres de 1 au numéro de ligne. Utiliser pour cela deux boucles imbriquées. n (entier) le paramètre donné DONNÉE i (entier) compteur de lignes INTERMÉDIAIRE j (entier) compteur de colonnes INTERMÉDIAIRE pour i de 1 à n faire pour j de 1 à i faire écrire j écrire \n 13

14 3.4 Tables de multiplications Concevoir un algorithme qui imprime l ensemble des tables de multiplication par 1, 2,..., 12. Modifier ensuite l algorithme pour qu il imprime 3 tables côte à côte. Affichage table par table Aucune. Aucun (affichage). Utiliser deux boucles imbriquées pour énumérer tous les produits : une première boucle sur les tables (de 1 à 12), et une seconde sur les lignes dans les tables (de 1 à 12 également). i (entier) compteur pour les tables INTERMÉDIAIRE j (entier) compteur pour les lignes dans les tables INTERMÉDIAIRE produit (entier) produit de i par j INTERMÉDIAIRE pour i de 1 à 12 faire pour j de 1 à 12 faire produit i j écrire i,, j, =, produit, \n écrire \n Affichage des tables trois par trois Aucune. Aucun (affichage). Utiliser trois boucles imbriquées pour énumérer tous les produits : une première boucle sur les lignes de tables (de 1 à 4), une seconde sur les lignes dans les tables (de 1 à 12), et une troisième sur les tables (3 tables à chaque fois, les bornes sont définies à partir de la ligne de table courante). i (entier) compteur pour les tables INTERMÉDIAIRE j (entier) compteur pour les lignes dans les tables INTERMÉDIAIRE k (entier) compteur pour les lignes de tables INTERMÉDIAIRE produit (entier) produit de i par j INTERMÉDIAIRE pour k de 1 à 4 faire pour j de 1 à 12 faire pour i de 3 (k 1) + 1 à 3 k faire produit i j écrire i,, j, =, produit écrire \n écrire \n 3.5 Puissances Imprimer la suite des puissances de x (nombre réel donné) : x, x 2,..., x n, avec n un entier positif donné. La solution ne devra pas utiliser d opération «puissance». 14

15 Un réel x et un entier positif n. Affichage de x, x 2,..., x n. La valeur de x k est calculée comme x x k 1, avec x 0 = 1. x (réel) paramètre DONNÉE n (entier) paramètre DONNÉE i (entier) compteur d itérations INTERMÉDIAIRE p (réel) valeurs successives de la suite des puissances x i INTERMÉDIAIRE p 1 pour i de 1 à n faire p p x écrire p 3.6 Suite alternée Imprimer les termes de la suite alternée : Un entier positif n. Affichage des termes de la suite donnée. 1, 2!, 3!, 4!,..., ( 1) n+1 n! Notons u k = ( 1) k+1 k! le k e terme de la suite. Il s agit alors d afficher les termes u 1, u 2,..., u n de la suite. On remarque que les termes de la suite peuvent être calculés par la relation u k = k u k 1, avec u 0 = 1. n (entier) paramètre DONNÉE i (entier) compteur d itérations INTERMÉDIAIRE u (entier) valeurs successives de la suite ( 1) i+1 i! INTERMÉDIAIRE u 1 pour i de 1 à n faire u i u écrire u 3.7 Sommes de fractions 1. Écrire un algorithme qui, pour n donné, calcule la somme : n 15

16 Un entier n. Valeur de n 1. k=1 k Énumérer les valeurs i = 1... n, et accumuler la somme des 1 i. n (entier) le paramètre donné DONNÉE somme (réel) valeur de n 1 RÉSULTAT k=1 k i (entier) compteur d itérations INTERMÉDIAIRE somme 0 pour i de 1 à n faire somme somme + 1,0/i // attention à la division entière! 2. Même question avec : n Un entier n. Valeur de n k=0 1 2 k. Énumérer les valeurs i = 0... n, et accumuler la somme des 1 2 i. On remarque que = 1, et 1 2 i = i 1. n (entier) le paramètre donné DONNÉE somme (réel) valeur de n 1 RÉSULTAT k=0 2 k i (entier) compteur d itérations INTERMÉDIAIRE u (réel) valeurs successives de 1 INTERMÉDIAIRE 2 i somme 0 u 1 pour i de 0 à n faire somme somme + u u u/2,0 3.8 Hauteurs de pluie Écrire un algorithme qui lit les hauteurs de pluie (en mm) tombée durant un an (de janvier à décembre), puis imprime la hauteur de pluie la plus forte ainsi que le numéro du mois où cela s est produit, la hauteur de pluie la plus faible ainsi que le numéro du mois où cela s est produit et la moyenne des hauteurs de pluie tombées par mois. On suppose que les hauteurs de pluie tombée sont différentes chaque mois et l on ne vérifie pas ce fait. 16

17 Aucune. Aucun. Lire une première hauteur, et initialiser les différentes variables en conséquence (hauteur et mois min., hauteur et mois max., somme des hauteurs). Lire ensuite les hauteurs suivantes, et mettre les variables à jour au fur et à mesure. Enfin calculer la moyenne et afficher les résultats. Lexique des constantes NB_MOIS (entier) = 12 nombre de mois à traiter mois (entier) numéro de mois INTERMÉDIAIRE hauteur (entier) hauteur de pluie pour le mois INTERMÉDIAIRE h_min (entier) hauteur minimale INTERMÉDIAIRE m_min (entier) mois avec la hauteur minimale INTERMÉDIAIRE h_max (entier) hauteur maximale INTERMÉDIAIRE m_max (entier) mois avec la hauteur maximale INTERMÉDIAIRE somme (entier) somme des hauteurs de pluie INTERMÉDIAIRE moyenne (entier) moyenne des hauteurs de pluie INTERMÉDIAIRE hauteur lire h_min hauteur m_min 1 h_max hauteur m_max 1 somme hauteur pour mois de 2 à NB_MOIS faire hauteur lire si hauteur < h_min alors h_min hauteur m_min mois si hauteur > h_max alors h_max hauteur m_max mois somme somme + hauteur moyenne somme/nb_mois écrire Hauteur min.:, h_min, pour le mois, m_min écrire Hauteur max.:, h_max, pour le mois, m_max écrire Hauteur moy.:, moyenne 3.9 Puissance de 2 On donne un réel x supposé positif, trouver le plus petit entier n tel que 2 n soit plus grand que x. Un nombre positif x. Plus petit entier n tel que 2 n x. L idée générale est de calculer les puissance de 2, jusqu à dépasser la valeur de x. Il faut cependant distinguer le cas où x 1 et le cas où x < 1. Dans le premier cas, on calcule les puissances 2 1, 2 2, 2 3,... jusqu à ce que 2 n x. Dans le second cas, on calcule les puissances 2 1, 2 2, 2 3,... jusqu à ce que 2 n < x. 17

18 x (réel) le nombre positif donné DONNÉE n (entier) plus petit entier tel que 2 n x RÉSULTAT p (réel) valeur de 2 n INTERMÉDIAIRE n 0 p 1 si x 1 alors tant que p < x faire n n + 1 p 2 p ftant sinon tant que p x faire n n 1 p p/2 ftant n n + 1 Remarque : la solution peut aussi être calculée directement par la formule n = log 2 x Chute libre On veut imprimer les effets de la gravité sur un objet qui tombe depuis une tour de hauteur donnée en mètres. Pour cela, on imprime la hauteur à laquelle l objet se trouve toutes les x (réel) secondes pendant sa chute. On sait que la distance d parcourue par un objet en fonction du temps de parcours t est donnée par la formule : d = 1 2 gt2 où g est la constante de gravitation (9,806 65). On écrira le message «boum» quand l objet heurte le sol. Hauteur de la tour h, intervalle de temps pour la simulation x. Aucun (affichage). Simuler la chute de l objet. Pour cela, calculer la hauteur de l objet en fonction du temps écoulé depuis le début. Si la hauteur est positive, recommencer en ajoutant x au temps écoulé. Finir par l affichage du message «boum». Lexique des constantes G (réel) = 9, constante de gravitation h (réel) hauteur de la tour, en mètres DONNÉE x (réel) intervalle de temps pour la simulation, en secondes DONNÉE t (réel) temps écoulé depuis le début INTERMÉDIAIRE haut (réel) hauteur de l objet INTERMÉDIAIRE t 0 haut h tant que haut 0 faire écrire t =, t, ; hauteur =, haut t t + x haut h G t t/2,0 ftant écrire BOUM! 18

19 4 Fonctions 4.1 Calcul d âge Écrire une fonction qui calcule le nombre d années (entières) qui s écoulent entre deux dates (jour, mois, année). L utiliser dans un algorithme qui doit imprimer l âge d une personne étant donné sa date de naissance et indique sous forme de message si la personne est mineure, adulte ou peut bénéficier de la carte Vermeil (plus de 60 ans)! La fonction... fonction diffdates(in ja : entier, in ma : entier, in aa : entier, in jb : entier, in mb : entier, in ab : entier) : ret entier Retourne le nombre d années entières écoulées entre les dates ja/ma/aa et jb/mb/ab. On suppose que la première date est antérieure à la seconde. Calculer la différence des années, et en retrancher 1 si la dernière année n est pas complète. Lexique local des variables diff (entier) nombre d année entières entre les deux dates de diffdates diff ab aa si mb < ma (mb = ma jb < ja) alors // la dernière année n est pas complète diff diff 1 retourner diff... et l algorithme... La date de naissance d une personne, et la date du jour, sous la forme jour/mois/année. Aucun (affichage). Utiliser la fonction définie précédemment pour calculer l âge de la personne. Lexique des fonctions fonction diffdates(in ja : entier, in ma : entier, in aa : entier, in jb : entier, in mb : entier, in ab : entier) : ret entier Retourne le nombre d années entières écoulées en les dates ja/ma/aa et jb/mb/ab. On suppose que la première date est antérieure à la seconde. jnaiss (entier) jour de naissance de la personne DONNÉE mnaiss (entier) mois de naissance de la personne DONNÉE anaiss (entier) année de naissance de la personne DONNÉE jcour (entier) jour courant DONNÉE mcour (entier) mois courant DONNÉE acour (entier) année courant DONNÉE age (entier) âge de la personne INTERMÉDIAIRE age diffdates(jnaiss, mnaiss, anaiss, jcour, mcour, acour) écrire Cette personne est âgée de, age, ans. si age < 18 alors écrire Elle est mineure. sinon écrire Elle est adulte. si age 60 alors écrire Et elle peut bénéficier de la carte Vermeil. 19

20 4.2 Multiplication récursive Écrire une fonction récursive qui fait le produit de deux nombres entiers positifs en utilisant des additions. L idée est que : { 0 si a = 0 a b = (a 1) b + b si a > 0 Exécuter la fonction pour a = 4 et b = 5 (pour cela, présenter les appels récursifs successifs sous forme d un arbre), puis pour a = 5 et b = 4. Pour quel appel l arbre est-il le plus haut? Noter sur quel argument porte la récursion. Conclure. fonction produit(in a : entier, in b : entier) : ret entier Retourne le produit a b. de produit si a = 0 alors retourner 0 sinon retourner produit(a 1, b) + b L arbre des appels pour le calcul de 4 5 est : -> produit(4, 5)...: 20 -> produit(3, 5)...: 15 -> produit(2, 5)...: 10 -> produit(1, 5)..: 5 -> produit(0, 5) : 0 L arbre des appels pour le calcul de 5 4 est : -> produit(5, 4)...: 20 -> produit(4, 4)...: 16 -> produit(3, 4)...: 12 -> produit(2, 4)...: 8 -> produit(1, 4)..: 4 -> produit(0, 4) : 0 On remarque que la hauteur de l arbre est égale a + 1 (avec a la valeur du premier paramètre). C est normal, car c est cette valeur qui est utilisée pour contrôler la récursion. Si on veut minimiser la hauteur de l arbre, et donc le nombre d appels de fonction, il faut donc passer la plus petite valeur en premier. 4.3 Calculs de puissances 1. Écrire une fonction récursive qui calcule x n sachant que : { x n 1 si n = 0 = x n 1 x si n > 0 fonction puissance1(in x : réel, in n : entier) : ret réel Retourne la valeur de x n. Lexique local des variables res (réel) résultat de la fonction 20

21 de puissance1 si n = 0 alors res 1 sinon res x puissance1(x, n 1) retourner res 2. Écrire une fonction récursive qui calcule x n sachant que : 1 si n = 0 x n ( = ) x n/2 2 pour n > 0 pair ( ) x (n 1)/2 2 x pour n > 0 impair fonction puissance2(in x : réel, in n : entier) : ret réel Retourne la valeur de x n. Lexique local des variables y (réel) pour la valeur de x n/2 res (réel) résultat de la fonction de puissance2 si n = 0 alors res 1 sinon si n mod 2 = 0 alors y puissance2(x, n/2) res y y sinon y puissance2(x, (n 1)/2) res y y x retourner res 3. Comparer les exécutions (avec arbre des appels) des deux fonctions ci-dessus pour n = 11 et x = 2. Quel est l arbre le plus court? Qu en conclure? Arbres des appels pour le calcul de 2 11, première version : -> puissance1 (2, 11)...: > puissance1 (2, 10)...: > puissance1 (2, 9)...: 512 -> puissance1 (2, 8)...: 256 -> puissance1 (2, 7)...: 128 -> puissance1 (2, 6)...: 64 -> puissance1 (2, 5)...: 32 -> puissance1 (2, 4)...: 16 -> puissance1 (2, 3)...: 8 -> puissance1 (2, 2)...: 4 -> puissance1 (2, 1)..: 2 -> puissance1 (2, 0) : 1 Arbres des appels pour le calcul de 2 11, deuxième version : -> puissance2 (2, 11)...: > puissance2 (2, 5)...: 32 -> puissance2 (2, 2)...: 4 -> puissance2 (2, 1)..: 2 -> puissance2 (2, 0) : 1 On peut montrer que la hauteur de l arbre est de n + 1 pour la première version, et de 1 + log 2 (n + 1) pour la deuxième. L arbre est donc plus court pour la deuxième version, dès que n > 2. On peut en déduire que la deuxième version s exécutera plus rapidement. 21

22 4.4 Tours de Hanoï Autrefois, à Hanoï, l empereur a conçu un puzzle de n disques et trois piquets : A (départ), B (échangeur) et C (arrivée). Les disques étaient tous de tailles différentes et avaient un trou au milieu afin que l on puisse passer les disques dans les piquets. À cause de leur poids important, on ne pouvait pas mettre un disque plus lourd au dessus de disques qui étaient plus petits. Le but du jeu est de transférer tous les disques du piquet A au piquet C, en ne déplaçant qu un seul disque à la fois. Concevoir une solution récursive qui imprime un message décrivant la solution. Pour lancer la résolution, il faut faire l appel de fonction suivant : hanoï(n, A, C, B ). fonction hanoï(in n : entier, in départ : caractère, in arrivée : caractère, in échangeur : caractère) : vide Imprime une description des étapes de résolution du problème des tours de Hanoï, où il faut déplacer n disques du piquet départ vers le piquet arrivée, en utilisant éventuellement un troisième piquet : échangeur. Le problème des tours de Hanoï à n disques se résout très simplement de manière récursive. Il suffit de remarquer que pour déplacer n disques du piquet A au piquet C, il faut : déplacer (n 1) disques du piquet A vers le piquet B ; déplacer le dernier disque du piquet A vers le piquet C ; déplacer (n 1) disques du piquet B vers le piquet C. de hanoï si n = 1 alors écrire déplacement de, départ, vers, arrivée sinon hanoï(n 1, départ, échangeur, arrivée) hanoï(1, départ, arrivée, échangeur) hanoï(n 1, échangeur, arrivée, départ) 4.5 Flocon de Von Koch Une famille de fonctions mathématiques donne des représentations graphiques intéressantes, il s agit des fractales. Le principe de dessin d une famille de fractales est de remplacer chaque segment de la figure initiale par un motif et de réitérer le processus sur les segments de la figure obtenue. On arrête le processus en fixant le nombre maximal de subdivisions à effectuer (niveau de récursion). Dans l exemple de la fractale de Von Koch (cf. figure 4), on considère l ajout des points C, D et E dans la figure initiale [AB], en considérant que les longueurs des nouveaux segments [AC], [CD], [DE] et [EB] sont toutes égales à 1/3 de la longueur du segment initial [AB]. E 1/3 1/3 A B A 1/3 1/3 C D niveau 0 niveau 1 E B lig A B col niveau 2 C D Figure 4 Exemple de la fractale de Von Koch 1. Écrire un algorithme permettant de calculer les coordonnées C, D et E, à partir des coordonnées des points A et B. 22

23 Coordonnées (Ax, Ay) et (Bx, By) des points A et B. Coordonnées (Cx, Cy), (Dx, Dy) et (Ex, Ey) des points C, D et E. Les point C et D sont placés respectivement à 1/3 et 2/3 du segment [AB]. En notant AB le vecteur AB, on a : et donc C = A + AC = A + 1 AB 3 D = A + 2 AD = A + AB 3 Cx = Ax (Bx Ax) = 1 (2Ax + Bx) 3 Cy = Ay (By Ay) = 1 (2Ay + By) 3 Dx = Ax (Bx Ax) = 1 (Ax + 2Bx) 3 Dy = Ay (By Ay) = 1 (Ay + 2By) 3 Le vecteur CE est l image du vecteur CD par la rotation d angle Π/3, et E = C+ CE. Soit (x, y) les coordonnées du vecteur CD, et (x, y ) les coordonnées du vecteur CE. Alors : et x = Dx Cx y = Dy Cy x = x cos( Π 3 ) y sin( Π 3 ) = 1 2 x 3 2 y = 1 2 (x 3y) y = x sin( Π 3 ) + y cos( Π 3 ) = 3 2 x y = 1 2 ( 3x + y) Or donc E = C + CE Ex = Cx + x = Cx (x 3y) Ey = Cy + y = Cy ( 3x + y) Ax (réel) abscisse du point A DONNÉE Ay (réel) ordonnée du point A DONNÉE Bx (réel) abscisse du point B DONNÉE By (réel) ordonnée du point B DONNÉE Cx (réel) abscisse du point C RÉSULTAT Cy (réel) ordonnée du point C RÉSULTAT Dx (réel) abscisse du point D RÉSULTAT Dy (réel) ordonnée du point D RÉSULTAT Ex (réel) abscisse du point E RÉSULTAT Ey (réel) ordonnée du point E RÉSULTAT x (réel) abscisse du vecteur CD y (réel) ordonnée du vecteur CD INTERMÉDIAIRE INTERMÉDIAIRE 23

24 Cx (2 Ax + Bx)/3 Cy (2 Ay + By)/3 Dx (Ax + 2 Bx)/3 Dy (Ay + 2 By)/3 x Dx Cx y Dy Cy Ex Cx + (x 3 y)/2 Ey Cy + ( 3 x + y)/2 2. Écrire une fonction récursive de dessin de la fractale de Von Koch pour deux points de départ et un niveau de récursion donnés. Pour effectuer le dessin, on considère que l on dispose d une fonction qui trace une ligne entre deux points donnés : fonction ligne(in x 1 : entier, in y 1 : entier, in x 2 : entier, in y 2 : entier) : vide Trace une ligne entre les points (x 1, y 1) et (x 2, y 2). fonction vonkoch(in recur : entier, in Ax : réel, in Ay : réel, in Bx : réel, in By : réel) : vide Trace la courbe de Von Koch entre les points A et B, avec le niveau de récursion donné. Calculer les coordonnées des points C, D et E, et recommencer récursivement sur chacun des segments tant que le niveau de récursion souhaité est supérieur à 0. Lexique local des fonctions fonction ligne(in x 1 : entier, in y 1 : entier, in x 2 : entier, in y 2 : entier) : vide Trace une ligne entre les points (x 1, y 1) et (x 2, y 2). Lexique local des variables Cx (réel) abscisse du point C Cy (réel) ordonnée du point C Dx (réel) abscisse du point D Dy (réel) ordonnée du point D Ex (réel) abscisse du point E Ey (réel) ordonnée du point E de vonkoch si recur > 0 alors //... // ici, // calculer les coordonnées des points C, D et E en utilisant l algorithme précédent //... vonkoch(recur 1, Ax, Ay, Cx, Cy) vonkoch(recur 1, Cx, Cy, Ex, Ey) vonkoch(recur 1, Ex, Ey, Dx, Dy) vonkoch(recur 1, Dx, Dy, Bx, By) sinon ligne(ax, Ay, Bx, By) 24

25 5 Tableaux 5.1 Notes Écrire un algorithme qui, étant donné les notes des 30 élèves d une classe, calcule le nombre de ceux qui ont obtenu une note supérieure à la moyenne et le nombre de ceux qui ont obtenu une note inférieure à la moyenne. Question subsidiaire Résoudre le même problème, mais en utilisant la moyenne de la classe. Les notes des 30 élèves d une classe. Le nombre d élèves qui ont une note 10, et le nombre de ceux qui ont une note < 10 Les notes sont stockées dans un tableau de réels. Parcourir ensuite les notes pour compter le nombre d élèves ayant la moyenne. Le nombre de ceux qui n ont pas la moyenne est ensuite obtenu par soustraction du nombre total d élèves. Lexique des constantes NB_NOTES (entier) = 30 le nombre de notes notes (tableau [NB_NOTES] de réels) les notes DONNÉE nb_sup (entier) nombre d élèves avec une note 10 RÉSULTAT nb_inf (entier) nombre d élèves avec une note < 10 RÉSULTAT i (entier) indice de parcours INTERMÉDIAIRE nb_sup 0 pour i de 0 à NB_NOTES 1 faire si notes[i] 10 alors nb_sup nb_sup + 1 nb_inf NB_NOTES nb_sup 5.2 Températures Écrire un algorithme qui, étant donné un relevé de températures sur un mois de 30 jours, imprime le ou les jours du mois où il y a eu le plus grand écart par rapport à la moyenne de ces températures. Un relevé de températures pour les 30 jours d un mois. Aucun (affichage des jours où il y a eu le plus grand écart par rapport à la moyenne des températures). Le relevé de températures va être modélisé à l aide d un tableau de 30 réels. Le calcul se fera ensuite à l aide de trois parcours successifs du tableau : (i) un premier parcours pour calculer la somme, puis la moyenne des températures ; (ii) un deuxième parcours pour calculer les écarts par rapport à la moyenne, et le plus grand d entre eux (ces écarts seront stockés dans un tableau) ; (iii) enfin un troisième parcours pour trouver les jours atteignant l écart maximal, et les afficher. Lexique des constantes NB_JOURS (entier) = 30 le nombre total de jours 25

26 températures (tableau [NB_JOURS] de réels) le relevé de températures DONNÉE somme (réel) la somme des températures INTERMÉDIAIRE moyenne (réel) la moyenne des températures INTERMÉDIAIRE écarts (tableau [NB_JOURS] de réels) les écarts de température par rapport à la INTERMÉDIAIRE moyenne écart_max (réel) la valeur du plus grand écart par rapport à INTERMÉDIAIRE la moyenne i (entier) indice de parcours INTERMÉDIAIRE // calcul de la moyenne des températures somme 0 pour i de 0 à NB_JOURS 1 faire somme somme + températures[i] moyenne somme/nb_jours // calcul des écarts à la moyenne, et de leur maximum écart_max 0 // un écart est toujours positif pour i de 0 à NB_JOURS 1 faire écarts[i] températures[i] moyenne // prendre la valeur absolue si écarts[i] > écart_max alors écart_max écarts[i] // affichage des jours atteignant l écart maximal pour i de 0 à NB_JOURS 1 faire si écarts[i] = écart_max alors écrire Écart maximal atteint au jour, i Vote Une organisation vote pour renouveler son directeur. Il y a 5 candidats numérotés de 1 à 5. Les noms des candidats sont, dans l ordre de leur numéros : Ariane, Jean, Lucie, Marc, et Michel. Chaque membre de l organisation envoie un bulletin de vote qui porte le numéro qui correspond au candidat de son choix. Écrire un algorithme pouvant servir à faire le décompte des voix, et afficher le ou les noms des candidats ayant le plus de voix. Aucune. Aucun (lecture des votes, puis affichage des vainqueurs). Chaque candidat se voit attribuer un numéro entre 1 et le nombre de candidats. De cette manière, les noms des candidats, et leurs nombres de voix peuvent être stockées dans des tableaux. Le calcul s effectue en trois étapes : (i) lecture des votes, et décomptes des voix ; (ii) calcul du nombre de voix maximal ; (iii) affichage des vainqueurs. Lexique des constantes NB_CANDIDATS (entier) = 5 le nombre de candidats CANDIDATS (tableau [NB_CANDIDATS] de chaînes) = { Ariane, Jean, Lucie, Marc, Michel } les noms des candidats 26

27 voix (tableau [NB_CANDIDATS] d entiers) le décompte des voix INTERMÉDIAIRE vote (entier) un vote INTERMÉDIAIRE voix_max (entier) le maximum de voix atteint par un INTERMÉDIAIRE candidat i (entier) indice de parcours INTERMÉDIAIRE // initialisation du décompte des voix pour i de 0 à NB_CANDIDATS 1 faire voix[i] 0 // saisie des votes vote Lire tant que vote EOF faire si vote 1 vote NB_CANDIDATS alors voix[vote 1] 1 + voix[vote 1] sinon écrire Vote invalide :, vote vote Lire ftant // calcul du maximum voix_max 0 pour i de 0 à NB_CANDIDATS 1 faire si voix[i] > voix_max alors voix_max voix[i] // affichage du résultat pour i de 0 à NB_CANDIDATS 1 faire si voix[i] = voix_max alors écrire Le gagnant est, CANDIDATS[i], avec, voix[i], voix. 5.4 Mélange Écrire une fonction permettant de mélanger les valeurs d un tableau d entiers. On suppose que l on dispose d une fonction de tirage aléatoire : fonction nombrealéatoire(in a : entier, in b : entier) : ret entier Retourne un nombre entier tiré aléatoirement dans l intervalle [a ; b[. fonction mélange(in-out tab : tableau d entiers, in taille : entier) : ret vide Mélange aléatoirement les valeurs du tableau tab de taille taille. Le tableau est parcouru de gauche à droite, et la valeur de chaque case est échangée avec celle d une autre case se trouvant après elle dans le tableau. Cette autre case est choisie de manière aléatoire. On utilise pour cela une fonction qui retourne un nombre aléatoire, et qui n est pas détaillée ici. Lexique local des fonctions fonction nombrealéatoire(in a : entier, in b : entier) : ret entier Retourne un nombre entier tiré aléatoirement dans l intervalle [a ; b[. Lexique local des variables i (entier) compteur pour le parcours du tableau j (entier) indice de la valeur à échanger tmp (réel) variable temporaire pour l échange 27

28 de mélange pour i de 0 à taille 2 faire j nombrealéatoire(i, taille) tmp tab[i] tab[i] tab[j] tab[j] tmp 5.5 Nombres en toutes lettres Écrire un algorithme qui lit des nombres entiers supposés positifs et inférieurs à et les imprime en toutes lettres. Par exemple, avec 367, on imprime trois cent soixante-sept. On utilisera des tableaux de constantes chaînes de caractères appropriés. Aucune donnée. Aucun résultat (affichage). L algorithme est très simple : dès qu un nombre est lu, on vérifie que ce nombre est valide et on utilise la fonction imprimenombre pour l affichage. Lexique des fonctions fonction imprimenombre999999(in nombre : entier) : vide Imprime en toutes lettres le nombre nombre compris entre 0 et nombre (entier) le nombre à afficher INTERMÉDIAIRE nombre lire tant que nombre EOF faire si nombre 0 nombre alors imprimenombre999999(nombre) sinon écrire Le nombre doit être compris entre 0 et nombre lire ftant Il faut cependant définir la fonction imprimenombre Avant cela, on définit des constantes globales (des tableaux de chaînes de caractères) et les fonctions auxiliaires imprimenombre99 et imprimenombre999. Quelques constantes globales L idée, pour ces constantes, est de définir des tableaux avec les valeurs correspondant aux indices (0 pour zéro dans CH_UNITÉS ou 2 pour vingt dans CH_DIZAINES par exemple). Plus tard, cela permettra de retrouver facilement les constantes. Lexique des constantes CH_UNITÉS (tableau [20] de chaînes) = [ zéro, un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix, onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize, dix-sept, dix-huit, dix-neuf ] CH_DIZAINES (tableau [9] de chaînes) = [,, vingt, trente, quarante, cinquante, soixante,, quatre-vingt ] La fonction imprimenombre99 fonction imprimenombre99(in nombre : entier, in esse : booléen) : vide Imprime en toutes lettres le nombre nombre compris entre 0 et 99. Si le paramètre esse est faux, n imprime pas de «s» terminal pour «quatre-vingts.» 28

29 On commence par imprimer les dizaines, en faisant attention aux cas soixante-... et quatre-vingt-... On imprime ensuite les unités restantes. Lexique local des variables dizaines (entier) nombre de dizaines unités (entier) nombre d unités restantes de imprimenombre99 si nombre 20 alors si nombre 60 alors // soixante ou quatre-vingt dizaines 2 (nombre/20) unités nombre mod 20 sinon dizaines nombre/10 unités nombre mod 10 écrire CH_DIZAINES[dizaines] si esse dizaines = 8 unités = 0 alors écrire s si unités mod 10 = 1 dizaines 8 alors écrire et sinon si unités 0 alors écrire - sinon unités nombre si nombre = 0 unités 0 alors écrire CH_UNITÉS[unités] La fonction imprimenombre999 fonction imprimenombre999(in nombre : entier, in esse : booléen) : vide Imprime en toutes lettres le nombre nombre compris entre 0 et 999. Si le paramètre esse est faux, n imprime pas de «s» terminal pour «quatre-vingts» et «cents.» On imprime le nombre de centaines, puis on utilise la fonction imprimenombre99 pour imprimer le reste. Lexique local des fonctions fonction imprimenombre99(in nombre : entier, in esse : booléen) : vide Lexique local des variables centaines (entier) nombre de centaines nombre99 (entier) dizaines et unités du nombre de imprimenombre999 centaines nombre/100 nombre99 nombre mod 100 si centaines 1 alors si centaines 2 alors écrire CH_UNITÉS[centaines] écrire écrire cent si esse centaines 2 nombre99 = 0 alors écrire s si nombre99 0 alors écrire si nombre = 0 nombre99 0 alors imprimenombre99(nombre99, esse) 29

30 La fonction imprimenombre fonction imprimenombre999999(in nombre : entier) : vide Imprime en toutes lettres le nombre nombre compris entre 0 et On utilise deux fois la fonction imprimenombre999 : une première fois pour imprimer le nombre de milliers et une deuxième fois pour imprimer le reste. Lexique local des fonctions fonction imprimenombre999(in nombre : entier, in esse : booléen) : vide Lexique local des variables milliers (entier) nombre de milliers nombre999 (entier) nombre modulo 1000 de imprimenombre milliers nombre/1000 nombre999 nombre mod 1000 si milliers 1 alors si milliers 2 alors imprimenombre999(milliers, faux) écrire écrire mille si nombre999 0 alors écrire si nombre = 0 nombre999 0 alors imprimenombre999(nombre999, vrai) 5.6 Recherche dichotomique Exécuter la trace de l algorithme de recherche dichotomique appliqué aux recherches successives des entiers 6, 1, 12, 30, 0, 21, 29 dans un tableau d entiers contenant les valeurs 1, 5, 9, 12, 15, 21, 29. Vous vous appuierez sur les deux versions (récursive et itérative) données en cours. Tableau: [ 1, 5, 9, 12, 15, 21, 29 ] Recherche de 6 =============== -> rechdichorec(tab, 0, 6, 6): milieu = 3, tab[milieu] = 12 -> rechdichorec(tab, 0, 2, 6): milieu = 1, tab[milieu] = 5 -> rechdichorec(tab, 2, 2, 6): milieu = 2, tab[milieu] = 9 -> rechdichorec(tab, 2, 1, 6): deb > fin <- -1 <- -1 <- -1 <- -1 -> rechdichoiter(tab, 0, 6, 6): min (0) <= max (6), milieu = 3, tab[milieu] = 12 min (0) <= max (2), milieu = 1, tab[milieu] = 5 min (2) <= max (2), milieu = 2, tab[milieu] = 9 min (2) > max (1) <- -1 Recherche de 1 =============== -> rechdichorec(tab, 0, 6, 1): milieu = 3, tab[milieu] = 12 -> rechdichorec(tab, 0, 2, 1): milieu = 1, tab[milieu] = 5 -> rechdichorec(tab, 0, 0, 1): milieu = 0, tab[milieu] = 1 30

31 <- 0 <- 0 <- 0 -> rechdichoiter(tab, 0, 6, 1): min (0) <= max (6), milieu = 3, tab[milieu] = 12 min (0) <= max (2), milieu = 1, tab[milieu] = 5 min (0) <= max (0), milieu = 0, tab[milieu] = 1 <- 0 Recherche de 12 =============== -> rechdichorec(tab, 0, 6, 12): milieu = 3, tab[milieu] = 12 <- 3 -> rechdichoiter(tab, 0, 6, 12): min (0) <= max (6), milieu = 3, tab[milieu] = 12 <- 3 Recherche de 30 =============== -> rechdichorec(tab, 0, 6, 30): milieu = 3, tab[milieu] = 12 -> rechdichorec(tab, 4, 6, 30): milieu = 5, tab[milieu] = 21 -> rechdichorec(tab, 6, 6, 30): milieu = 6, tab[milieu] = 29 -> rechdichorec(tab, 7, 6, 30): deb > fin <- -1 <- -1 <- -1 <- -1 -> rechdichoiter(tab, 0, 6, 30): min (0) <= max (6), milieu = 3, tab[milieu] = 12 min (4) <= max (6), milieu = 5, tab[milieu] = 21 min (6) <= max (6), milieu = 6, tab[milieu] = 29 min (7) > max (6) <- -1 Recherche de 0 =============== -> rechdichorec(tab, 0, 6, 0): milieu = 3, tab[milieu] = 12 -> rechdichorec(tab, 0, 2, 0): milieu = 1, tab[milieu] = 5 -> rechdichorec(tab, 0, 0, 0): milieu = 0, tab[milieu] = 1 -> rechdichorec(tab, 0, -1, 0): deb > fin <- -1 <- -1 <- -1 <- -1 -> rechdichoiter(tab, 0, 6, 0): min (0) <= max (6), milieu = 3, tab[milieu] = 12 min (0) <= max (2), milieu = 1, tab[milieu] = 5 min (0) <= max (0), milieu = 0, tab[milieu] = 1 min (0) > max (-1) <- -1 Recherche de 21 =============== -> rechdichorec(tab, 0, 6, 21): milieu = 3, tab[milieu] = 12 -> rechdichorec(tab, 4, 6, 21): milieu = 5, tab[milieu] = 21 <- 5 <- 5 -> rechdichoiter(tab, 0, 6, 21): min (0) <= max (6), milieu = 3, tab[milieu] = 12 min (4) <= max (6), milieu = 5, tab[milieu] = 21 <- 5 31

32 Recherche de 29 =============== -> rechdichorec(tab, 0, 6, 29): milieu = 3, tab[milieu] = 12 -> rechdichorec(tab, 4, 6, 29): milieu = 5, tab[milieu] = 21 -> rechdichorec(tab, 6, 6, 29): milieu = 6, tab[milieu] = 29 <- 6 <- 6 <- 6 -> rechdichoiter(tab, 0, 6, 29): min (0) <= max (6), milieu = 3, tab[milieu] = 12 min (4) <= max (6), milieu = 5, tab[milieu] = 21 min (6) <= max (6), milieu = 6, tab[milieu] = 29 < Reversi L algorithme doit simuler un jeu appelé Reversi. Le jeu commence par afficher les chiffres de 1 à 9 dans le désordre. Le joueur donne un entier compris entre 1 et 9 qui indique le nombres de chiffres à inverser à partir de la gauche. La nouvelle configuration du jeu est affichée. Par exemple pour la configuration : si le joueur donne l entier 5, la nouvelle configuration sera : Le jeu s arrête quand on atteint une configuration où les chiffres sont placés par ordre croissant. L objectif du joueur est de réaliser ce but avec le moins de tours possible. L algorithme permettra d imprimer en combien de tours le joueurs a réalisé le tri et lui permettra de recommencer le jeu sur la même configuration initiale autant de fois qu il le désire. La configuration initiale est supposée fournie par une fonction dont on ne décrira pas l algorithme : fonction inittab(out tab : tableau d entiers, in taille : entier) : ret vide Remplit le tableau tab avec les nombre de 1 à taille, dans le désordre. Aucune donnée. Aucun résultat (programme interactif). On utilisera des tableaux pour stocker les configurations. On commence par générer la configuration initiale. Pour une partie, on prend une copie de la configuration initiale, on l affiche et on initialise le nombre de tours à 0. Ensuite, les tours de jeu sont enchaînés tant que les valeurs ne sont pas dans l ordre (une fonction sera définie pour vérifier ce fait). Pour chaque tour, le joueur entre son choix (k), puis les k premières valeurs du tableau sont inversées à l aide d une fonction appropriée. Le nombre de tours est incrémenté et le nouvel état du tableau est affiché. À la fin de la partie, le nombre de tours est affiché et il est proposé au joueur de recommencer une partie. Lexique des constantes TAILLE (entier) = 9 taille du tableau de jeu 32