Bases mathématiques pour l économie et la gestion

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Bases mathématiques pour l économie et la gestion"

Transcription

1 Bases mathématiques pour l économie et la gestion

2 Bases mathématiques Pour l économie et la gestion - Table des matières PREMIERE PARTIE : QUELQUES OUTILS Chapitre : Traitement de systèmes d'équations.. Résolution de systèmes par substitution page 5.. Traitement de systèmes linéaires par la méthode dite de Gauss-Jordan page 8 Solutions des eercices (Chapitre ) page Chapitre : Matrices.. Calcul matriciel : somme produit multiplication par un réel page 4.. Inversion d une matrice par la méthode de la matrice compagnon page 5.. Calcul du déterminant d une matrice carrée page 6... Pour les matrices page 6... Pour les matrices quelconques page 7.4. Inversion d une matrice par la méthode de la matrice adjointe page.5. Résoudre un système linéaire par la méthode de Cramer page Solutions des eercices (Chapitre ) page 5 DEUXIEME PARTIE : VARIATIONS ET CALCUL DIFFERENTIEL Chapitre : Variations.. Modèles à variables page 9... Variation absolue (ou en valeur) page 9... Variation relative (ou en pourcentage) page.. Modèles à variables ou plus page 5 Solutions des eercices (Chapitre ) page 8

3 Chapitre 4 : Dérivées partielles de fonctions de plusieurs variables. Technique de dérivation page 4. Application : approimation linéaire page 4.. Méthode de Newton page 4 Chapitre 5 : Différentielles. Différentier une fonction page 49. Equations au variations différentielles page 5. Systèmes d équations au variations différentielles page 55 TROISIEME PARTIE : OPTIMISATION Chapitre 6 : Optimisation. Recherche d'etrema de fonctions d'une variable page 66. Recherche d'etrema de fonctions de plusieurs variables page 7. Recherche d'etrema de fonctions de plusieurs variables sous contrainte Méthode de Lagrange page 8 4. Vision graphique page 85 Chapitre 7 :

4 Première partie - Quelques outils 4

5 Chapitre : Traitement de systèmes d équations.. Résolution de systèmes par substitution Quand on travaille avec un système d équations on envisage plusieurs équations simultanément (l accolade { regroupant les équations du système est là pour nous le rappeler). Résoudre un système d équations consiste à trouver les solutions communes à toutes les équations du système. Une technique de résolution d un système : la substitution. Supposons qu on ait affaire à un système de deu équations à deu inconnues et y.. Utiliser l une des deu équations pour eprimer une inconnue disons en fonction de l autre disons y.. Substituer trouvé à l étape dans l autre équation pour obtenir une équation en y uniquement.. Trouver les solutions de l équation en y obtenue à l étape. 4. Substituer les valeurs de y trouvées à l étape dans l équation de l étape pour trouver les valeurs correspondantes de. La méthode «substitution» peut être étendue à des systèmes à plus de deu inconnues ou même à des systèmes indéterminés. Eercice résolu Résoudre le système en (y) : + y = 6 + y = Etape : On peut utiliser la seconde équation pour eprimer en fonction de y : = - y + Etape : On substitue trouvé à l étape dans la première équation : (- y + ) + y = 6 C est-à-dire y y = Etape : On résout l équation de l étape par rapport à y : = (-) 4.. (-) = 4+ = 6 ( ) + 6 ( ) 6 y = = ou y = = -.. Etape 4 : On substitue les valeurs de y trouvées à l étape dans l équation de l étape pour trouver les valeurs correspondantes de : Si y = alors = -. () + = -. 5

6 Si y = - alors = -. (-) + = 5. Les solutions du système d équations sont donc (-) et (5-) (on note S = {(-)(5-)}). Eercices. Résoudre le système en (y) :. y = + y =. Résoudre le système en (y) : y = y = -. Résoudre le système en (y) : y = y = - 4. Résoudre le système en (p q d q p ) : q d = p q p = p q p = q d 5. Résoudre le système en (p p* q d q p ) : q d = 7 p q p = p* p* = p q p = q d 6. Résoudre le système en (p p* q d q p ) : q d = p q p = p* p* = 4 p q p = q d 7. Résoudre le système en (λ ) : ( 4) + ( ) = λ ( 4) = 8 - λ ( ) = 8. Résoudre le système en (y) : = 8y = 6y 9. Résoudre le système en (y) : 6

7 + y = 7 log() + log(y) =. Résoudre le système en (y) : y log (+) = y = log () + log (+4). Résoudre le système en (yz) : y + z = y z = y + z =. Résoudre le système en ( ) : + = 5 + ( 4) = 9. Résoudre le système en ( ) : + = 5 + = 9 4. Résoudre le système en (λ ) : ( ) + = 4 - λ ( ) = - λ = 5. Résoudre le système en (yz) : 5 + 4y + z = + y + z = y + z = 4 6. Résoudre le système en (z) : y + = z = + 5 y 7

8 .. Traitement de systèmes linéaires par la méthode dite de GAUSS-JORDAN La méthode de Gauss-Jordan est une méthode qui permet de traiter un système linéaire quel que soit le nombre d équations et de variables que ce système contienne. Description de la méthode de GAUSS-JORDAN Supposons que le système à résoudre soit un système de équations linéaires à variables (yz).. Ordonner le système à résoudre a. a. a. + a. y + a. y + a. y + a. z + a. z + a. z = b = b = b en faisant attention à faire apparaître un réel non nul à la place du terme a. Il faut parfois permuter deu lignes du système.. Noter uniquement les coefficients dans l ordre : a a a a a a a b a b a b. Faire apparaître à la place du terme a par une combinaison linéaire utilisant uniquement la ligne et la ligne. Faire apparaître à la place du terme a par une combinaison linéaire utilisant uniquement la ligne et la ligne. On obtient * * * * * * * * * *. 4. Faire apparaître à la place du terme a par une combinaison linéaire utilisant uniquement la ligne et la ligne. On obtient * * * * * * * * *. 8

9 5. Faire apparaître à la place du terme a par une combinaison linéaire utilisant uniquement la ligne et la ligne. Faire apparaître à la place du terme a par une combinaison linéaire utilisant uniquement la ligne et la ligne. On obtient * * * * * * *. 6. Faire apparaître à la place du terme a par une combinaison linéaire utilisant uniquement la ligne et la ligne. On obtient * * * * * *. 7. Faire apparaître à la place du terme a par division de la ligne. Faire apparaître à la place du terme a par division de la ligne. Faire apparaître à la place du terme a par division de la ligne.... ( attention : pas de division par ) 8. Si le système admet une solution unique on obtient r s t ce qui est équivalent au système y +. y +. y +. z +. z +. z = r = s = t y z = r = s = t dont la solution unique évidente est le triple ( r s t ). Attention : Lors de l application de la méthode si on obtient une ligne constituée de alors le système est indéterminé ; une ligne constituée de sauf pour le terme indépendant alors le système est impossible. 9

10 Eercice résolu Traiter ce système en (yz) grâce à la méthode de «Gauss-Jordan» : + y z = y + z = + y z = Résolution - - L L L - L L L L L L - L L L -5 - L L + L L 5.L + L L L / L -L / L -L = est équivalent au système y = z = Le système admet donc une solution unique : le triple (). On note aussi S = { () }. Eercices Grâce à la méthode de «GAUSS-JORDAN» trouvez l ensemble des solutions des 6 systèmes suivants y + z = 4 y + z = + y 4 z = y + z = + y + 4 z = y + 6 z = 9

11 9. + y + z = + y z 4 = + y = 7 z z = y y z + t = + y + z t = y z + 5 t = y + z + t =. y + z t = - + y + z = 4 - z + t = 5 + y + t = 8. + y z = 4 + y = 7 z 4 z = 5 y + = 8 z y. Peut-on eprimer y et y en fonction de? y + y + = 5 4y + 6y = 4. Soit le système de équations à 6 variables r s t u v w : r + s t + u v = - r + s 5 t u + v w = r + s + t + u v = a) Ce système permet-il de définir les variables r s t en fonction des variables u v w? b) Ce système permet-il de définir les variables u v w en fonction des variables r s t? 5. Traiter analytiquement puis représenter graphiquement l'ensemble des solutions du système de équations linéaires à variables y z suivant : 6 + y + 5 z = 4 + y + 6 z = 5 y 8 z =

12 Solution des eercices (Chapitre ). S = { () () }. S =. S = { () } 4. S = { () (-4-5-5) } 5. S = { (4) ( ) } S = { ( ) ( ) } S = { (--) (77) } 8. S = {(4)} 9. S = { (5) (5) }. S = { ( + log (4) )}. S = { (-/5/) () (5//) }. S = { (.997/8) ; (-.997/8) }. S = { (4) (-4) ( -) (- -) } 4. S = { () ( ) (- - )} 5. S = { (4/7/7)} 6. = y z = 5 y + 6 y 7. S = {()} 8. S = 9. = z + y = 5z. 5. t. z =. z 7. t y =. S = {(-7)}. = 5z y = z

13 . Non on ne peut pas eprimer y et y en fonction de. Commentaires : Et pourtant le système n est pas impossible Cet eercice est là pour attirer votre attention sur le fait important suivant : en général les économistes ne cherchent pas à connaître les solutions d un système mais bien à savoir s ils peuvent eprimer certaines variables (les endogènes) en fonction d autres (les eogènes). 4. a) Non b) Oui 5. 5 =. y 8 z =. y + Graphiquement :

14 Chapitre : Matrices.. Calcul matriciel : somme produit multiplication par un réel Eercices Eercice Soient les matrices suivantes : A = Calculer si possible :. A+B. B+C. A+D 4. - A 5..B.C 6. B.A 7. A.B 8. C.B 9. B.C B = C = D =. 8 6 Eercice Si possible effectuer les multiplications suivantes ( ) ( ) 4. 4

15 .. Inversion d une matrice par la méthode de la matrice compagnon Inverser la matrice a b A = revient à trouver la matrice A = 4 c d telle que. a b = 4 c d Pour inverser la matrice A nn par la méthode de la matrice compagnon :. Ecrire côte à côte la matrice A et la matrice identité I : A nn I nn. Appliquer la méthode de Gauss Jordan à la matrice A jusqu à obtenir la matrice I. Appliquer au fur et à mesure les mêmes modifications à la matrice compagnon.. On obtient I nn A - nn La matrice inverse est A - nn. Remarque : La matrice I nn est la matrice identité. Elle comporte des partout sauf sur la diagonale «descendante» où elle ne comporte que des. Eemple : I X = Remarque : S il est impossible de faire apparaître la matrice I nn à gauche (par eemple si on obtient une ligne entière de zéros) c est que la matrice A nn n est pas inversible. Eercices Eercice Inverser les matrices suivantes par la méthode de la matrice compagnon. A = 5

16 6. B = C =.. Calcul du déterminant d une matrice carrée... Pour les matrices : ( ) 4 dét = 4 5 dét =.5. = dét = = -9 Remarque : La méthode appliquée ici (dite de SARRUS) n est valable que pour le calcul d un déterminant d une matrice X. Eercices Eercice 4 : calculer dét. 4 dét

17 . 4. a détd b e f c a dét b d c e f... Pour les matrices quelconques : Le mineur associé à un terme d une matrice A est le déterminant obtenu en supprimant dans la matrice A la ligne et la colonne comprenant ce terme. Eemple : Soit A = a a a a a a a a a calcul du mineur associé au terme a : dét a a = a a a a dét = a. a a. a a a calcul du mineur associé au terme a : dét a a = a a a a dét = a. a a. a a a calcul du mineur associé au terme a : dét a a = a a a a dét = a. a a. a a a 7

18 Le cofacteur associé à un élément a i j d une matrice A est le produit du mineur associé à cet élément par (-) i + j. Eemple : soit A = a a a a a a a a a calcul du cofacteur associé au terme a : (-) +. a a dét = (-). a a a a dét = a a a dét a a a calcul du cofacteur associé au terme a : (-) +. a a dét = (-). a a a a dét = a a a dét a a a calcul du cofacteur associé au terme a : (-) +. a a dét = (-) 4. a a a a dét = a a a dét a a a Calcul d un déterminant par la méthode des cofacteurs Le déterminant de la matrice A est égal à la somme des produits des éléments d une rangée de cette matrice par les cofacteurs associés à ces éléments. Eemple : Calcul du déterminant de la matrice A = a a a a a a a a a 8

19 par la méthode des cofacteurs en développant selon la première ligne de la matrice. a a a dét a a a = a. (-) +. a a a dét a a a a + a. (-) +. dét a a a a + a. (-) +. dét a a a a a a a dét a a a = a. (a. a a. a ) a a a a. (a. a a. a ) + a. (a. a a. a ) Intérêt de la méthode des cofacteurs ) La règle des cofacteurs est valable pour calculer le déterminant de toute matrice carrée nn. ) La règle des cofacteurs est très simple lorsqu elle est appliquée à une rangée qui comporte beaucoup d éléments nuls. Eemple : calculer dét La rangée comportant le plus de zéros est la deuième ligne : a a a = La règle des cofacteurs appliquée à cette ligne donne 9

20 dét =. cofacteur (a ) +. cofacteur (a ) +. cofacteur (a ) =. cofacteur (a ) =. (-) dét = dét = -4 Eercices Eercice 5 Calculer les déterminants suivants en utilisant la méthode des cofacteurs.. 4 dét. dét dét 4. 4 dét c f e b d a dét 6. f e c d b a dét.4. Inversion d une matrice par la méthode de la matrice adjointe Inverser la matrice A = 4 revient à trouver la matrice A - = d c b a telle que 4. d c b a = On peut inverser cette matrice en utilisant la méthode de la matrice compagnon.

21 On peut aussi inverser cette matrice en utilisant la méthode de la matrice adjointe. Inversion d une matrice par la méthode de la matrice adjointe. Calculer le déterminant de la matrice A à inverser. Si dét(a) = alors la matrice A n est pas inversible Si dét(a) alors la matrice A est inversible. Ecrire la matrice des cofacteurs.. Transposer la matrice des cofacteurs. On obtient la matrice adjointe adj(a). 4. La matrice inverse est donnée par A - =. adj(a) dét( A) Eercice résolu Inverser la matrice A =. Calculer le déterminant. 4 par la méthode des cofacteurs dét = - : la matrice A est inversible. 4. Ecrire la matrice des cofacteurs. Cofacteur du terme a : (-) +. dét 4 = 4 Cofacteur du terme a : (-) +. dét = - Cofacteur du terme a : (-) +. dét = -

22 Cofacteur du terme a : (-) +. dét = La matrice des cofacteurs est cft(a) = 4. Transposer la matrice des cofacteurs. 4 t = 4 = adj(a) 4. Ecrire la matrice inverse. A - = ) ( A dét. adj(a) =. 4 = Eercices Eercice 6 Pour chacune des matrices suivantes - déterminer si la matrice est inversible - si oui calculer la matrice inverse. A = B = C = 4

23 .5. Résoudre un système linéaire par la méthode de Cramer La méthode de Cramer permet de résoudre un système linéaire de n équations à n variables a. z a. z... an. z + a. z + a. z... + an. z a n. zn + a n. zn... + an n. zn = b = b... = b n écrit sous forme matricielle a a... an a a... an a n a n.... a n n z z... z n = b b... b n ou encore A nn. Z n = B n Résolution d un système linéaire par la méthode de Cramer. Calculer dét(a) ; si dét(a) alors le système possède une solution unique.. Quel que soit l indice i la valeur de la variable z i est donné par : a a... a a... dét a n a n... b b... b n... a n... a n a n n z i = dét( A) La i ème colonne de A est remplacée par la colonne B des termes indépendants

24 Eercice résolu Résoudre le système +. y = y = par la méthode de Cramer. Le système s écrit sous forme matricielle : 5. = 4 y A = 4 A. Z = B. Calculer le déterminant de A : dét A = dét = - le système possède une solution unique. 4. Cette solution est donnée par : la première variable = dét dét = = la deuième variable y = dét dét 5 4 = 4 = La solution du système est : = y = Eercices Eercice 7 Déterminer si les systèmes suivants ont une solution unique. Si oui utiliser la méthode de Cramer pour résoudre le système. 4

25 . + y + z = + y + z = + y + z = y z = 6. + z = + y + 4 t = - y + z = t = Eercice 8 Déterminer si les systèmes suivants ont une solution unique. Si oui utiliser la méthode de Cramer pour résoudre le système y = + y =. + 5 y + z = + y + z = + y + z =. + y - z = 5 - y + z = + y + z = 4. + y + z = z y = 4 + y = Eercice Solutions des eercices (Chapitre ). A + B impossible vu la dimension des matrices 9. B + C = 9 5

26 . A + D impossible vu la dimension des matrices 4. - A = B.C = 7 6. B.A impossible vu la dimension des matrices 7. A.B 8 = C.B = B.C = 69 Eercice ( 8 ) impossible vu la dimension des matrices

27 7 Eercice. A - = La matrice B = n est pas inversible.. C - = Eercice a.b.c 4. a.b.c Eercice a.b.c 6. -a.b.c Eercice 6. A - =

28 . La matrice B = n est pas inversible. 6. C - = Eercice 7. = y = z = système homogène à solution unique. Le système n a pas de solution unique. = 7 y = 7 6 z = t = 4 Eercice 8. = / y = -/. = -/ y = -/ z = /. = y = 4 z = 5 4. = / y = - z = / 8

29 Chapitre : Variations Remarque préliminaire importante!!! Dans tout ce chapitre nous travaillerons avec des modèles mathématiques pour lesquels il est possible d eprimer eplicitement les variables endogènes en fonctions des variables eogènes. Les autres cas devront être traités différemment comme nous le verrons plus tard dans ce cours... Modèles à deu variables Soit y = f () un modèle eplicitant la variable y en fonction de la variable. Objectif : étudier le comportement de la variable endogène y au voisinage de * valeur particulière de la variable eogène (on dit aussi étudier le comportement local de la fonction f au voisinage de *).... Variation absolue (ou en valeur) On envisage une variation en valeur de la variable à partir de *. Cette variation sera positive ou négative ; on la notera. Image de * par f * f (*) y *+ f (*+ ) Nous allons nous intéresser à la variation y (induite par la variation ) : comment varie y (c est-à-dire comment la fonction f réagit-elle) si * devient * +? (c est-à-dire si l on fait subir à une variation absolue de valeur?) 9

30 La variation absolue y de y (ou encore variation en valeur de la fonction f) est égale à : y = f (*+ ) f (*) La variation absolue d une variable s eprime dans la même unité que cette variable. Elle peut être un nombre positif ou négatif. Attention : Pour un même mais pour deu valeurs différentes de la variable le y peut être différent! y f (** + ) f (**) y ** y = f () f (* + ) f (*) y * * * + ** ** + DONC : Pour être précis il faudrait faire apparaître dans la notation que y dépend à la fois de * et de. Une notation du type y(* ) ou y * serait donc meilleure. Afin de ne pas alourdir la présentation nous continuerons cependant à écrire y (mais il faut veiller à garder cette remarque en mémoire). Eemple Considérons l epression suivante : C =.Q 8.Q + 6.Q + f(q) Nous allons faire varier Q et voir ce qui se passe.

31 Choisissons Q = et regardons comment C varie autour de Q* = autour de Q* = Pour Q* = f(q*) = Pour Q*+ Q = f(q*+ Q) = 89 Quand Q* = f(q*) = 5 Quand Q*+ Q = f(q*+ Q) = 5 C vaut donc C = 89 C = Remarquons que pour un même Q C varie d'après la valeur de Q*!!! Eercice Soit f : R R : y =. Partant de * = on donne à la variable une variation absolue de valeur a) b). Quelles sont les variations absolues de la variable y correspondantes? y Calculez aussi les rapports des variations absolues correspondants. Eercice Soit f : R R : y =. Partant de * = on donne à la variable une variation absolue de valeur a) b). Quelles sont les variations absolues de la variable y correspondantes? y Calculez aussi les rapports des variations absolues correspondants. Cas particulier : Fonction linéaire à une variable Soit le modèle linéaire y = a + b. Rappelons que la représentation graphique de ce modèle dans un repère oy est une droite de pente a. Nous travaillons au voisinage du point * et nous recherchons la variation y correspondant à une variation de. Rappel : La variation y de y est y = f (*+ ) f (*) En appliquant cette formule dans ce cas particulier on obtient : y = [a (* + ) +b] [a (*) + b] = a..

32 Dans le cas linéaire on a donc : y y = a. où a est la pente de la droite. y Donc si est constant y est constant aussi : * * + y ne dépend pas de la valeur * à partir de laquelle on considère la variation. y De plus on constate que le rapport est constant et vaut la pente de la droite d équation y = a + b. Eemple Soit un modèle linéaire de type y = a. + b : C = 5.Q + où C est la variable endogène et Q la variable eogène. Dans ce cas a = 5 et b=. Choisissons une variation en valeur d une unité de la variable Q ( Q = ) ; quelle que soit la valeur Q* de Q à partir de laquelle on travaille on obtient : Q* C (Q*) = 5.Q* + Q = Q* + C (Q* +) = 5.(Q* +) + ce qui donne C = C (Q*+) C (Q*) = 5. Quel que soit Q* on constate donc que la variation C correspondant à une variation en valeur d une unité de Q est égale à 5. Observons aussi que C = a. Q ( ce qui est caractéristique du linéaire ).... Variation relative (ou en pourcentage) Mathématiquement on appelle variation relative de la variable (en un point * par rapport à une variation absolue de valeur ) le rapport. * De la même manière la variation relative de la variable y (correspondant à une variation relative de la variable à partir du point *) est le rapport y. y *

33 Les variations relatives sont des nombres sans unités qui peuvent être positifs ou négatifs. Signalons que la tradition est d eprimer les variations relatives en pourcentages. Au lieu de «variation relative» on dit parfois «(tau de) variation en pourcentage». Il est parfois intéressant de calculer le rapport des variations relatives : y y *. * Eercice a) Augmenter la valeur de * de 5% revient à multiplier * par? b) Diminuer la valeur de * de % revient à multiplier * par? Eercice 4 Soit y = +. a) Quelle variation relative de la variable correspond à une variation absolue = 5 à partir de la valeur * =? (Eprimez votre réponse en %.) b) Calculez la variation absolue de la variable y correspondant à une variation absolue de de 5 à partir de la valeur. c) Calculez la variation relative de y correspondante. d) Calculez le rapport des variations absolues correspondant. e) Calculez le rapport des variations relatives correspondant. Eercice 5 : Même question avec * = 5 et = -. Eercice 6 : y d 5 a) Donnez l équation de la droite d et l epression de la fonction correspondante (dont le graphe est d). b) On donne à partir de * = 5 une variation relative à la variable de %.

34 Calculez le y correspondant ainsi que les rapports des variations absolues et relatives. c) Idem à partir de * = 7 avec la même variation relative de. d) Peut-on dire qu une même variation relative de la variable impliquera une même variation relative de la variable y? Eercice 7 : Soit f : R R :. On donne à la variable une augmentation relative de 5% à partir de a) * = 4 b) * = c) * =. Calculez les variations relatives de y correspondantes et les rapports des variations relatives correspondants. Que constate-t-on? Pouvait-on le prévoir? Eercice 8 : Mêmes questions en donnant à une augmentation relative de 5%. 4

35 .. Modèles à trois variables ou plus Soit y = f( n ) un modèle eplicitant la variable y en fonction des variables n. Question : comment varie y au voisinage de ( * n *) [valeurs particulières des variables eogènes n ]? On applique f ( * n *) f( * n *) = y n Variation y ( *+ n *+ n ) f( *+ n *+ n ) = y+ y Un point voisin de ( * n *) peut s écrire f( *+ n *+ n ) où chaque i représente une variation en valeur de la variable i. Au variations en valeur n des variables eogènes n [au départ de ( * n *)] correspond une variation en valeur de la variable y. Elle est notée y. C est à cette variation que nous allons nous intéresser. Il s agit là d une simple généralisation au cas de plusieurs variables eogènes de ce que nous venons de faire dans le cas où il n y a qu une seule variable eogène. Variation de valeur y de y (induite par... n ) : y = f ( * +... n * + ) f( *... * n n ) (variation de la valeur de la fonction f) N.B. Pour être précis il faudrait faire apparaître dans la notation que y dépend de * n * et de n. Une notation du type y( * n * n ) serait donc meilleure. Afin de ne pas alourdir la présentation nous continuerons cependant à écrire y mais il faut veiller à garder cette remarque en mémoire. 5

36 Eercice résolu Le revenu d une compagnie est donné par l équation : R = 5. W. A Nous avons donc un modèle du type y = f ( ) [R correspond à y W correspond à et A correspond à ]. W représentent les salaires payés (en millions de francs) et A les dépenses en publicité (en millions de francs). a) Si W* = et A* = alors R* = R(W*A*) =... b) Que devient le revenu (de combien s accroît-il?) si W augmente de 5% (au départ de W* = ) sans modifier A? c) Que devient le revenu si A diminue de % (au départ de A*=) sans modifier W? d) Que devient le revenu si à la fois W augmente de 5% (au départ de W* = ) et A diminue de % (au départ de A*=)? Résolution Quand on envisage une variation des salaires de 5% (au départ d une valeur donnée pour les salaires) on parle de variation relative. W Mathématiquement la variation relative en W* est égale à. W * Dans ce cas W*= et W W * = 5 la variation en valeur est : W = 5. W * 5 = =.5 Pour A nous avons : A = la variation en valeur est : A = A*. A * - = -.4 a) Notre modèle est R = 5. W. A et nous travaillons au départ de (W* A* ) = ( ) Nous avons R(W* A*) = 5. ()².()³ = 6. b) R ( W* + W A*) = 5. (+5)².()³ = 969. Donc la variation R de R est égale à = 69. c) R ( W* A*+ A) = 5. ()².(-4)³ = 889. Donc la variation R de R est égale à = 788. d) R ( W*+ W A*+ A) = 5. (+5)².(-4)³ = Donc la variation R de R est égale à = Eercice 9 : Soit y = + et prenons * = 4 et *=. a) Si = et = que vaut y? b) Si = et = que vaut y? 6

37 Cas particulier : fonction linéaire à plusieurs variables Soit le modèle linéaire y = a. + + a n. n + b. Nous travaillons au voisinage du point ( * n *) et nous recherchons la variation y correspondant à des variations de n de n. Rappel : La variation y de y est y = f ( *+ n *+ n ) f ( * n *). Comme dans ce cas f( n ) = a. + + a n. n + b il vient : 8 f( n ) = a. * + + a n. n * + b 8 f ( *+ n *+ n ) = a. ( * + ) + + a n. ( n * + n ) + b Donc y = a. * + a. + + a n. n * + a n. n + b [ a. * + +a n. n * + b] ce qui donne après simplifications : y = a an. n où a a n sont les coefficients du modèle linéaire sur lequel on travaille au départ ( ou encore où a a n sont les coefficients directeurs de l'hyperplan d'équation y = a. + + a n. n + b ). N.B. C est une généralisation directe de ce qui se passe pour des modèles du type y = a. + b : on a vu que dans ce cas y = a. où a est la pente de la droite d équation y = a. + b. eercice Soit f : R R : ( ) y = +. a) Calculez la variation de y correspondant à des variations = / et = - en partant du point ( * * *) = ( ). b) Partant de ( * * *) = ( ) on a effectué une variation absolue de unité sur l une des variables. La nouvelle valeur de la variable y (induite par cette variation) est de. Sur quelle variable a porté la variation? 7

38 Solution des eercices (Chapitre ) Eercice a) On donne f() = * = = ; on a donc f(*) = f() = et f(*+ ) = f(+) = f() = 9. La variation absolue de y est donnée par y = f(*+ ) - f(*) = 8. y Le rapport des variations absolues est donné par = 4. y b) Le rapport des variations absolues est donnée par =. Eercice a) Le rapport des variations absolues est donné par b) Le rapport des variations absolues est donné par y =. y = -. Eercice a) Augmenter la valeur de * de 5% revient à multiplier * par 5. b) Diminuer la valeur de * de % revient à multiplier * par 9. Eercice 4 La variation relative de est de 5%. a) La variation absolue de y est 5. b) La variation relative de y est de 875%. c) Le rapport des variations absolues est. d) Le rapport des variations relatives est 75. Eercice 5 a) La variation relative de est de - 4%. b) La variation absolue de y est- 6. c) La variation relative de y est de 5%. d) Le rapport des variations absolues est. e) Le rapport des variations relatives est 875. Eercice 6 a) f ( ) =. + b) Le rapport des variations relatives est c) Le rapport des variations relatives est d) Non. 8

39 Eercice 7 a) Le rapport des variations relatives est 5. b) Le rapport des variations relatives est 5. c) Le rapport des variations relatives est 5. Conclusion : La variation relative de y est constante pour une même variation relative de quelle que soit la valeur de *. Eercice 8 a) Le rapport des variations relatives est de 5. b) Le rapport des variations relatives est de 5. c) Le rapport des variations relatives est de 5. Remarque : On constate dans cet eercice qu en partant d une variation de plus petite qu à l eercice 8 le rapport des variations relatives se rapproche de la valeur. A la limite pour des variations de de plus en plus petite : y y * * y * * lim = lim =. f '( *) =. * = y * y * ( *) * c est l élasticité de type point (cf. syllabus théorie page -4) qui dans le cas d une fonction puissance est constante (et vaut l eposant de la fonction) Eercice 9 a) y = -46 b) y = 66 Eercice a) La fonction est linéaire : f( ) = +. Les coefficients sont a = a = - et a =. On a donc : y =.. (-) +. = 4. b) f(+ + + ) = (+ ) (+ ) + (+ ) = + + = or + + = si = = et =. La variation a donc porté sur la variable. 9

40 Chapitre 4 : Dérivées partielles de fonctions de plusieurs variables 4.. Technique de dérivation 4... Dérivées partielles du premier ordre Soit f : R n R : ( n ) f( n ) une fonction de n variables. Notation de la dérivée partielle du premier ordre de f par rapport à la variable i pour l économiste : pour le mathématicien : f ' i f i ou i f Eercice Eercice Calculer les dérivées partielles du premier ordre de la fonction f : R n R : ( n ) f( n ) dans les cas suivants. f( ) = ( ). f( ) = + e. f( ) = + ln 4. f( ) = ln ( ) 5. f( ) = sin + cos ( ) 6. f( ) =. e + ln ( ) 4... Dérivées partielles du second ordre Soit f : R n R une fonction de n variables. Notation de la dérivée partielle du second ordre de f par rapport à la variable i puis par rapport à la variable k ' pour l économiste : ( ) ' f ou i k '' f i k f pour le mathématicien : k i ou f ou f k i ki 4

41 NB : f est aussi noté f ii ( i ) Eercice Eercice Calculer les dérivées partielles du second ordre des fonctions n et données dans l eercice. 4.. Application : approimation linéaire 4... Fonctions d une variable (cf. cours p. 85) Soit f une fonction de R dans R soit * un élément du domaine de f. On appelle fonction approimation linéaire f lin de f en * la fonction définie comme suit : f lin (*) () = f(*) + f (*). ( *) Notons que f. ( * ( *) ) y = f(*) + f (*). ( *) est une équation de la droite tangente au graphe de f au point Eercice résolu Déterminer la fonction approimation linéaire f lin de la fonction f en * = si f est définie par : f : R R : f() = ln Résolution On sait que f lin (*) () = f(*) + f (*). ( *). Ici * = f(*) = f() = f () = ln + f (*) = f () = On en déduit que f lin () () = +. ( ) ou encore f lin () () = Graphiquement y = est une équation de la droite tangente au graphe de f au point (). 4

42 y= ln() y = () 4... Fonctions de plusieurs variables (cf. cours p. 96) Soit F une fonction de R dans R soit ( * *) un élément du domaine de F. On appelle fonction approimation linéaire F lin de F en ( * *) la fonction définie comme suit : F lin ( * *) ( ) = F( * *) + F ( * *). ( *) + F ( * *). ( *) Notons que y = F( * *) + F ( * *). ( *) + équation du plan tangent au graphe de F au point ( * F( * *)) F ( * *). ( *) est une *. De manière générale : Soit F une fonction de R n dans R soit ( * n *) un élément du domaine de F. On appelle fonction approimation linéaire F lin de F en ( * n *) la fonction définie comme suit : F lin ( *... n *) ( n ) = F( * n *) + F ( * n *). ( *) + + F n ( * n *). ( n n *) Notons que y = F( * n *) + F ( * n *). ( *) + + F ( * n *). ( n n *) est une équation de l hyperplan tangent au graphe de F au point ( *... n* F( *... n*) ) (plus de représentation graphique possible). n 4

43 Eercice résolu Déterminer la fonction approimation linéaire F lin de la fonction F en (-) avec F : R R : ( ) F( ) = (. ). + e +. Résolution On sait que F lin ( * *) ( ) = F( * *) + F ( * *). ( *) + Ici ( * *) = (-) F( * *) = F(-) = F ( ) =. + ) e + F (. ) ( ) = + e +. + ) e + F ( * *). ( *) F F ( * *) = (-) = F F ( * *) = (-) = La fonction approimation linéaire F lin de la fonction F en (-) est donc donnée par F lin(-) ( ) = +.( ) +.( + ) c est-à-dire F lin(-) ( ) =. + + Graphiquement y =. + + est une équation du plan tangent au graphe de F au point (-). Eercice Eercices. Déterminer la fonction approimation linéaire f lin de la fonction f en *= où. + f : R R : f() =. +. Déterminer la fonction approimation linéaire g lin de la fonction g en *= où g : R R : g() = e. Déterminer la fonction approimation linéaire G lin de la fonction G en (z * z * z *) = () où G : R R : (z z z ) G(z z z ) = (z + z z ). e 4. Déterminer la fonction approimation linéaire H lin de la fonction H en ( * * *) = (e) où H : R R : ( ) H( ) =. ln( ) + 4

44 4... Méthode de Newton (voir cours p. 9-) A quoi sert la méthode de Newton? La méthode de Newton permet de trouver une solution de l équation f() = (où f est une fonction d une variable ) ou du moins une approimation de cette solution. En d autres termes la méthode de Newton permet de trouver un réel * tel que f(*)=. Description de la méthode La formule de récurrence de la méthode de Newton est donné par n+ = n f ( n ) f ( n ) (pour comprendre l origine de cette formule voir cours p. ). Comment l appliquer? a) Choisir tel que f ( ) (tangente au graphe de f en non horizontale). f ( ) b) Calculer = f ( ) f ( ) c) Calculer = f ( ) d) etc... e) Si la suite de réels k converge vers un certain réel * alors * est une solution de l équation f() =. Eercice résolu En utilisant la méthode de Newton et en partant de = trouver la valeur approchée d une solution de l équation suivante : = Résolution Posons f() = ; donc f () = + 6. Valeur initiale : =. ère f ( ) f () 5 itération : = = = -958 f ( ) f () 44

45 ème itération : = ème itération : = 4 ème itération : 4 = f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 5 5 f ( ) = f ( ) = f ( ) f ( ) = f ( ) = - f ( ) Vérification : - est bien une solution de l équation = car 4.(-) + 8.(-).(-) 5 = Question subsidiaire : Comment pourrait-on continuer l eercice pour déterminer toutes les solutions de l équation? Eercices Eercice 4 En utilisant la méthode de Newton et en partant de = trouver la valeur approchée d une solution de chacune des équations suivantes obtenue après itérations. a) q + 7 q + q + 5 = b) = c) cos () = d) e = 4 Eercice 5 Dessinez le graphe d une fonction f telle que f() = et pour laquelle en prenant comme point de départ pour l application de la méthode de Newton la valeur = vous obtenez pour une solution de l équation f() =. Eercice 6 Trouver graphiquement (cf. graphe ci-dessous) vers quelle solution de l équation = la méthode de Newton convergerait en prenant comme valeur de départ =. Le graphe ci-dessous présente une représentation de la fonction f() =

46 46

47 47 Solutions des eercices (Chapitre 4) Eercice. f ( ) =. f ( ) = ) (. e + f ( ) = f ( ) = ) (. e +. f ( ) = f ( ) = f ( ) = ) ( + ln f ( ) = 5. f ( ) = cos sin ( ) 6. f ( ) =.. e + ln ( ) f ( ) = cos ( ) f ( ) =.. e + f ( ) = Eercice. ( ) f ( ) = 6. ( ) f ( ) ) ( ) (. 4.. e e =. f ( ) = -. f ( ) = 4 ) (. e + ( ) f ( ) = 6 ( ) f ( ) ) ( ) (. 4.. e e =. f ( )= -. f ( ) = 4 ) (. e +. ( ) ) ( f = ( ). ) ( f = ( ). f + = ( ). f + =

48 Eercice. f lin() () = g lin() () = +. G lin() (z z z ) = 4 z + z + 5 z H lin(e) ( ) = (54 + e). + ( + ). + 9 e 6 8 e e Eercice 4 a) q = q q q Solution réelle b) = Solution réelle = 5 c) Impossible d appliquer la méthode de Newton au départ de car sin () = d) = = Solution réelle Eercice 6 Convergence vers la valeur * =. 48

49 Chapitre 5 : Différentielles 5.. Différentier une fonction 5... Notion de différentielle d une fonction de R dans R Soit f une fonction de R dans R continûment différentiable sur un sous-ensemble D de son domaine de définition et soit * D. On appelle différentielle de f en * et on note df(*) l epression f (*).. Remarques ) df(*) est une epression linéaire en la variation de la variable (au départ de la valeur *). ) df(*) = f lin(*) (* ) (à vérifier) y = f() f (*+ ) f lin(*) (*+ ) f(* ) f lin(*) (* ) = df(*) y = f lin(*) () f(*) = f lin(*) (*) * *+ ) Pour la fonction identité I : R R : on a I (*) =. Par conséquent di(*) =. =. Comme la différentielle di(*) est conventionnellement notée d il vient : di(*) d =. On substitue généralement d à dans l écriture de la différentielle d une fonction d une variable et on obtient alors l epression : df(*) = f (*).d. On voit même parfois écrit : df() = f ().d 49

50 5... Notion de différentielle d une fonction de R n dans R Soit F une fonction de R n dans R continûment différentiable sur un sous-ensemble D de son domaine de définition et soit * = ( * * n *) D. On appelle différentielle de F en * et on note df(*) l epression linéaire en les F F F variations n : ( *). + ( * ) ( * ). n. n Remarques ) df(*) = F lin(*) (* ) ) Pour des raisons analogues à celles epliquées dans le cas d une fonction d une variable on écrit généralement : F F F df ( *) = ( *). d + ( *). d ( *). dn n où pour chaque valeur de i d i peut être considéré soit comme une variation de la variable i au départ de la valeur i * (d i = i i *) soit comme une différentielle (différentielle de la fonction identité). Eercices Eercice Calculer la différentielle de a) f() =. ln() b) f() = sin () c) F( ) = d) G(z z ) = (z z ) e) F(ytv) =.y + a. t v. + (où a est un paramètre) f) F(ytv) =.y + a. t v. + où a est un paramètre et où t(y) = e.y et v(y) = y g) H(z) = -5 Eercice a) On donne F : R R : ( ) f( ) =. Déterminer l approimation de la variation de valeur de F correspondant au variations de valeur = et = au point ( * *) = (). b) On donne F : R R : ( ) F( ) =. e Déterminer l approimation de la variation de valeur de F correspondant au variations de valeur = et = au point ( * *) = (4). 5.. Equations au variations différentielles 5

51 Soit E(y) = b un modèle mathématique qui ne permet pas nécessairement de définir y en fonction de. L équation linéaire «approchée» au voisinage de (*y*) du modèle E(y) = b est E E (*y*). (*) + (*y*). (yy*) = y C est l équation de la droite tangente en (*y*) à la courbe d équation E(y) = b. L équation au variations différentielles associée au modèle E(y) = b en sa solution (*y*) est E E (*y*). d + (*y*). dy = y L équation E(y) = b définit localement au voisinage de (*y*) la variable y en fonction de la variable si et seulement si son équation linéaire «approchée» en (*y*) définit (eplicitement) la variable y en fonction de la variable. si et seulement si son équation au variations différentielles en (*y*) définit (eplicitement) la variable dy en fonction de la variable d. Si l équation E(y) = b définit au voisinage de (*y*) la fonction y = y() (même si on ne possède pas eplicitement l epression de cette fonction) alors le nombre dérivé de cette fonction en * est égal à d dy y dy (*) = d 5

52 Eercice résolu a) L équation + y = 5 définit-elle globalement la variable y en fonction de la variable?... autre formulation : Peut-on eprimer eplicitement la variable y en fonction de la variable à partir de l équation + y = 5? b) L équation définit-elle localement autour de sa solution (*y*) = (4) la variable y en fonction de la variable? Déterminer le nombre dérivé de la fonction ainsi définie en (*y*) = (4). c) Quelle est l équation de la droite tangente à la courbe d équation + y = 5 en (*y*) = (4)? d) L équation définit-elle localement autour de sa solution (*y*) = (5) la variable y en fonction de la variable? Déterminer le nombre dérivé de la fonction ainsi définie en (*y*) = (5). e) Quelle est l équation de la droite tangente à la courbe d équation + y = 5 en (*y*) = (5)? Résolution : a) Non car y = 5 ou y = 5 b) Considérons l équation au variations différentielles en (4) E E associée à l équation de départ : (4). d + (4). dy = y E E (y) = (4) = 6 E E (y) = y (4) = 8 y y On obtient 6 d + 8 dy = dy = d 4 L équation au variations différentielles en (4) définit la variable dy en fonction de la variable d. L équation de départ définit donc localement au voisinage de (4) la variable y en fonction de la variable. En (4) y est positif et donc y = 5 Le nombre dérivé demandé est d dy y() = dy d = 4 c) L équation de la droite tangente en (4) E E est donnée par (4). (-) + (4). (y-4) = (équation linéaire approchée) y 6 (-) + 8 (y-4) = 5

53 6 + 8 y 5 = Notons que l équation linéaire approchée en (4) définit (eplicitement) 5 la variable y en fonction de la variable : y = d) Considérons l équation au variations différentielles en (5) E E associée à l équation de départ : (5). d + (5). dy = y E E Puisque (5) = 5 et (5) = on obtient 5 d + dy = y L équation au variations différentielles en (5) ne définit pas la variable dy en fonction de la variable d. L équation de départ ne définit donc pas localement au voisinage de (5) la variable y en fonction de la variable. e) La droite tangente en (5) eiste et a pour équation = 5 (tangente verticale). Eercices Eercice a) L équation y + y = définit-elle globalement la variable y en fonction de la variable?... autre formulation : Peut-on eprimer eplicitement la variable y en fonction de la variable à partir de l équation y + y =? b) Si non l équation définit-elle localement autour de sa solution (*y*) = () la variable y en fonction de la variable? Déterminer le nombre dérivé de la fonction ainsi définie en (*y*) = (). c) Quelle est l équation de la droite tangente à la courbe d équation y + y = en (*y*) = ()? Eercice 4 a) L équation. y.y = définit-elle globalement la variable y en fonction de la variable? b) Si non l équation définit-elle localement autour de sa solution (*y*) = () la variable y en fonction de la variable? Déterminer le nombre dérivé de la fonction ainsi définie en * =. c) Quelle est l équation de la droite tangente à la courbe d équation. y.y = en (*y*) = ()? d) Quelle est le nombre dérivée de y par rapport à en * =? 5

54 Eercice 5 : généralisation pour un modèle à trois variables a) L équation.. y +. y.. y +. y = définit-elle globalement la variable y en fonction des variables et? b) Si non l équation définit-elle localement au voisinage de sa solution ( * *y*) = () la variable y en fonction des variables et? c) Quelle est l équation du plan tangent à la courbe d équation.. y +. y.. y +. y = en ( * *y*) = ()? Eercice 6 : généralisation pour un modèle à trois variables. a) L équation e y y 4.. = définit-elle localement autour de ( * *y*) = () la variable y en fonction des variables et? b) Quelle est l équation du plan tangent à la courbe d équation.. e y y 4.. = en ( * *y*) = ()? Eercice 7 Soit l équation à variables et y :. y. y +.. y = Comme on le vérifie aisément cette équation permet d eprimer la variable y en fonction de la variable localement au voisinage de sa solution (*y*) = (). a) Déterminez le nombre dérivé de cette fonction en * =. b) Déterminez l élasticité de type point de y par rapport à au point (*y*). 54

55 5.. Systèmes d équations au variations différentielles Un modèle économique se présente en général sous la forme suivante : m variables endogènes n variables eogènes m équations non linéaires dans le cas général E ( y... ym... n ) = c E ( y... ym... n ) = c E m ( y... ym... n ) = cm eemple théorique : variables endogènes : y y variables eogènes : E( y y ) = c équations : E ( y y ) = c Parfois (comme c était aussi le cas pour certaines équations) ce système ne permet pas d eprimer les variables endogènes y et y en fonction des variables eogènes (car les équations en jeu sont trop compliquées les variables sont trop «mélangées» etc. ). Considérons le système d équations au variations différentielles (associé au système de départ) en un point (y * y * * * *) qui est solution du système de départ. Si on peut eprimer les variations des variables endogènes dy et dy en fonction des variations des variables eogènes d d d alors on dit que les variables endogènes y et y peuvent s eprimer localement au voisinage du point (y * y * * * *) en fonction des variables eogènes (... mais on n en connaît pas la forme eplicite pour autant). 55

56 Eercice résolu. y +. y = Le modèle y y y e = 5 ne définit pas globalement les variables y et y en fonction des variables et. Ce modèle définit-il localement au voisinage de sa solution ( * * y * y *) = () les variables y et y en fonction des variables et? (C est-à-dire le système d équations au variations différentielles définit-il dy et dy en fonction de d et d?) Résolution : NB : () est bien solution du modèle y. y y = y. y + e = 5 «Passage à la différentielle» en () (syst. d équ. au variations différentielles).. d +.. d y. d + y. d + (. y + + y. dy +. dy = y. y y.. y e ). dy + ( y. e ). dy = en () :. d +. d +. dy +. dy. d +. d + 4. dy +. dy = = On peut facilement eprimer dy en fonction de d d et dy en fonction de d d dy =. d 4. dy +. dy =. d dy =. d 4. dy =. d dy =. d 4. dy =. d. dy 4. dy dy =. d =. d.(. d ) dy =. d dy =. d ce qui prouve la capacité d eprimer dy et dy en fonction de d et d En conséquence le système de départ définit localement au voisinage de sa solution () les variables y et y en fonction des variables et. 56

57 57 Eercices Eercice 8 Le modèle = + = + ).( y y y e y y y ne définit pas globalement les variables y et y en fonction des variables et. Ce modèle définit-il localement au voisinage de sa solution ( * * y * y *) = (5) les variables y et y en fonction des variables et? Eercice 9 On donne le modèle = + + = y y y y y y y où on considère les variables y et y comme endogènes et les variables et comme eogènes. Ce modèle définit-il localement au voisinage de (y * y * * * *) = (--) les variables y et y en fonction des variables et? Si oui eprimer eplicitement dy en fonction de d d et d dy en fonction de d d et d. Eercice On donne le modèle = = y y y y y e y y e y y où on considère les variables y et y comme endogènes et les variables et comme eogènes. Ce modèle définit-il localement au voisinage de sa solution ( * * y * y *) = () les variables y et y en fonction des variables et? Si oui eprimer eplicitement dy en fonction de d et d dy en fonction de d et d.

58 Eercice Le modèle.. y. y. y =. y +. y. y 5. y. y = = y y y y y définit-il localement autour de sa solution ( * * y * y * y *) = () les variables y y et y en fonction des variables et? Si oui eprimer dy dy et dy en fonction de d et d. Eercice Le modèle. y. y. y. + y = définit-il localement au. +.. y + y. y y = voisinage de sa solution ( * * y * y *) = (-) les variables y et y en fonction des variables et? C est-à-dire le système d équations au variations différentielles définit-il dy et dy en fonction de d et d? Si oui eprimer eplicitement dy en fonction de d et d dy en fonction de d et d. Eercice Soit le système de équations à 5 variables y y y et = a.y + f(y ) y = g(y ) y = h(y ) où - a est une constante réelle - f( ) et h( ) sont deu fonctions d une variable de classe C - g( ) est une fonction de deu variables de classe C - les variables endogènes sont y y et y - les variables eogènes sont et. Soit d autre part (y * y * y * * *) une solution de ce système. a) Ecrire le système d équations au variations différentielles associé au système cidessus en (y * y * y * * *). b) Est-il possible d eprimer les variables y y et y en fonction des variables et localement autour de la solution (y * y * y * * *)? Justifiez votre réponse. 58

59 Eercice 4 Soit le système de équations à 5 variables y y et a.y.y +.. (a + ). =.y + a..y..a. = où - a désigne une constante réelle - les variables endogènes sont y et y - les variables eogènes sont et. On vérifie aisément que (y * y * * * *) = () est une solution de ce système. a) Ecrivez le système d équations au variations différentielles associé au système cidessus en ( y * y * * * * ) = (). b) Pour quelles valeurs de a est-il possible d eprimer les variables endogènes en fonction des variables eogènes localement au voisinage de ( y * y * * * * ) = ()? Justifiez votre réponse. c) En donnant à la constante réelle «a» la valeur écrivez le système au variations différentielles de la question a) en complétant les 6 cases ci-dessous : dy + dy = dy + dy = d) Au départ du système de la question c) et en utilisant la méthode de Cramer eprimez dy et dy en fonction de d d et d. e) Lorsque a = le système a.y. y +.. ( a + )..y + a.. y.. a. = = permet d eprimer les variables y y en fonction des variables et localement au voisinage de ( y * y * * * * ) = (). Notons F et G les deu fonctions ainsi définies : y = F ( ) et y = G ( ). Quelle est la valeur du nombre dérivée partielle par rapport à de la fonction F en ( * * * ) = ()? Justifiez votre réponse. 59

60 Solutions des eercices (Chapitre 4) Eercice a) df() = f'() d = (..ln() + ) d b) df() =.cos() d c) df( ) = d d d) dg(z z ) = (z z ) dz (z z ) dz e) df(ytv) = (y v) d + dy + a t dt dv f) NB : dt(y) = y e.y d + e.y dy et dv(y) = - dy df(y) = (y + a y e.y ) d + ( + e.y ) dy g) dh(z) = Eercice a) df(( * *)( )) = F ( * *) = F ( * *) = F F ( * *). + F () = 6 F () = 7 ( * *). Finalement df ( ()( ) ) = = 7... alors que la variation en valeur vaut F(( * *)( )) = F( *+ *+ ) - F( * *) F( ()( ) ) = F( ) F() = 9879 b) df ( (4)( ) ) = e 6... alors que la variation en valeur vaut 4 F( (4)( ) ) = F( ) F(4) = 444 6

61 Eercice a) non b) Equation au variations différentielles : 8. d + 6. dy = qui peut encore s écrire 9 dy =.d. 8 L équation au variations différentielles en () définit la variable dy en fonction de la variable d. L équation de départ définit donc localement au voisinage de ( ) la variable y en fonction de la variable (mais on ne sait pas comment on n a pas une écriture eplicite de cette fonction). d dy 9 Le nombre dérivé demandé est y() = = dy d 8 c) L équation de la droite tangente en ( ) est donnée par y 66 = Eercice 4 a) non b) Equation au variations différentielles : ( 9 4.ln ). d + (6 8.ln ). dy = qui peut (9 4.ln ) encore s écrire dy =. d (6 8.ln ) L équation au variations différentielles en () définit la variable dy en fonction de la variable d. L équation de départ définit donc localement autour de sa solution () la variable y en fonction de la variable (mais on ne sait pas comment on n a pas une écriture eplicite de cette fonction). Le nombre dérivé demandé est d dy y() = dy d (9 4.ln ) =. (6 8.ln ) c) L équation de la droite tangente en ( ) est donnée par ( 9 4.ln ). + (6 8.ln ). y + ( ln ) = Eercice 5 a) non b) Equation au variations différentielles : 4. d. d +. dy = qui peut encore s écrire dy =. d +. d 6 L équation au variations différentielles en () définit la variable dy en fonction des variables d et d. L équation de départ définit donc localement autour de sa solution ( ) la variable y en fonction des variables et (mais on ne sait pas comment on n a pas une écriture eplicite de la fonction). c) Le plan tangent en ( ) a pour équation y 4 = 6

Chapitre 1 : Évolution COURS

Chapitre 1 : Évolution COURS Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir

Plus en détail

Cours de mathématiques - Alternance Gea

Cours de mathématiques - Alternance Gea Cours de mathématiques - Alternance Gea Anne Fredet 11 décembre 005 1 Calcul matriciel Une matrice n m est un tableau de nombres à n lignes( et m colonnes. 1 0 Par exemple, avec n = et m =, on peut considérer

Plus en détail

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1 Définition Une matrice n m est un tableau rectangulaire de nombres (réels en général) à n lignes et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice. Notation.

Plus en détail

Fonctions de référence Variation des fonctions associées

Fonctions de référence Variation des fonctions associées DERNIÈRE IMPRESSION LE 9 juin 05 à 8:33 Fonctions de référence Variation des fonctions associées Table des matières Fonction numérique. Définition.................................. Ensemble de définition...........................3

Plus en détail

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01 Eo7 Dérivée d une fonction Vidéo partie. Définition Vidéo partie. Calculs Vidéo partie 3. Etremum local, théorème de Rolle Vidéo partie 4. Théorème des accroissements finis Eercices Fonctions dérivables

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3 Chapitre 5 Systèmes linéaires 1 Généralités sur les systèmes linéaires 2 11 Définitions 2 12 Opérations élémentaires 2 13 Systèmes échelonnés et triangulaires 3 2 Résolution des systèmes linéaires 3 21

Plus en détail

BAC PRO 1 MATHEMATIQUES Approche Logarithme décimal LOGARITHMES L D 01

BAC PRO 1 MATHEMATIQUES Approche Logarithme décimal LOGARITHMES L D 01 BAC PRO MATHEMATIQUES Approche Logarithme décimal LOGARITHMES L D 0. ECHELLE DES TEMPS. Il y a environ 5 milliards d années, le «big bang» donnait naissance à l univers. 0 milliards d années plus tard

Plus en détail

Dérivation : cours. Dérivation dans R

Dérivation : cours. Dérivation dans R TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition

Plus en détail

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque FNCTINS I Généralités sur les fonctions Définitions Soit D une partie de l'ensemble IR. n définit une fonction f de D dans IR, en associant à chaque réel de D, un réel et un seul noté f() et que l'on appelle

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Laboratoire de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan Module complémentaire de maths, année 2012 1 Rappel de l épisode précédent

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique Fonction polynôme du second degré : Forme canonique I) Introduction. Soit g(x) = a(x - s)²+h. Toute fonction polynôme du second degré peut s écrire sous cette forme. Le passage de la forme développée à

Plus en détail

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2. Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3

Plus en détail

LES DÉTERMINANTS DE MATRICES

LES DÉTERMINANTS DE MATRICES LES DÉTERMINANTS DE MATRICES Sommaire Utilité... 1 1 Rappel Définition et composantes d'une matrice... 1 2 Le déterminant d'une matrice... 2 3 Calcul du déterminant pour une matrice... 2 4 Exercice...

Plus en détail

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées.

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées. Chapitre 10 Calcul Matriciel 101 Qu est-ce qu une matrice? Définition : Soit K un ensemble de nombres exemples, K = N, Z, Q, R, C, n, p N On appelle matrice à n lignes et p colonnes la données de np nombres

Plus en détail

Cahier de vacances - Préparation à la Première S

Cahier de vacances - Préparation à la Première S Cahier de vacances - Préparation à la Première S Ce cahier est destiné à vous permettre d aborder le plus sereinement possible la classe de Première S. Je vous conseille de le travailler pendant les 0

Plus en détail

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté Chapitre 4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 4.1 Introduction Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

TS - Cours sur le logarithme népérien

TS - Cours sur le logarithme népérien Lcée Europole - R. Vidonne 1 TS - Cours sur le logarithme népérien Fonction carrée et racine carrée Considérons les fonctions f : R + R + g : R + R + 2 Dans un repère orthonormal, les courbes C f et C

Plus en détail

A. Déterminant d une matrice carrée

A. Déterminant d une matrice carrée IUT ORSAY Mesures Physiques Déterminants Initiation à la diagonalisation de matrice Cours du ème Semestre A Déterminant d une matrice carrée A-I Définitions élémentaires Si A est la matrice ( a ) on appelle

Plus en détail

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES. CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires

Plus en détail

Examen de l UE LM125 Janvier 2007 Corrigé

Examen de l UE LM125 Janvier 2007 Corrigé Université Pierre et Marie Curie Licence Sciences et Technologies MIME L énoncé est repris sur fond mauve. En prune : des commentaires. Examen de l UE LM15 Janvier 007 Corrigé Commentaires généraux barème

Plus en détail

Leçon N 1 : Taux d évolution et indices

Leçon N 1 : Taux d évolution et indices Leçon N : Taux d évolution et indices En premier un peu de calcul : Si nous cherchons t [0 ;+ [ tel que x 2 = 0,25, nous trouvons une solution unique x = 0, 25 = 0,5. Nous allons utiliser cette année une

Plus en détail

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre

Plus en détail

CHAPITRE 7 Fonction carré et fonction inverse

CHAPITRE 7 Fonction carré et fonction inverse CHAPITRE 7 Fonction carré et fonction inverse A) La fonction "carré" : f() = ² ) Domaine de définition Elle est définie sur ℝ complet (on peut toujours multiplier deu nombres entre eu). 2) Sens de variation

Plus en détail

Devoir surveillé n 1 : correction

Devoir surveillé n 1 : correction E1A-E1B 013-01 Devoir surveillé n 1 : correction Samedi 8 septembre Durée : 3 heures. La calculatrice est interdite. On attachera une grande importance à la qualité de la rédaction. Les questions du début

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Fonctions homographiques On donne ci-dessous deux définitions des fonctions homographiques, et on montre que ces deux définitions sont équivalentes. On décrit la courbe représentative d une fonction homographique.

Plus en détail

Second degré : Résumé de cours et méthodes

Second degré : Résumé de cours et méthodes Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : DÉFINITIN n appelle trinôme du second degré toute fonction f définie sur R par f () = a + b + c (a,b et c réels avec a 0). Remarque : Par abus

Plus en détail

III- Raisonnement par récurrence

III- Raisonnement par récurrence III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,

Plus en détail

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre 1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Les deux modes de représentation des sous-espaces vectoriels Il existe deux modes

Plus en détail

le triangle de Pascal - le binôme de Newton

le triangle de Pascal - le binôme de Newton 1 / 51 le triangle de Pascal - le binôme de Newton une introduction J-P SPRIET 2015 2 / 51 Plan Voici un exposé présentant le triangle de Pascal et une application au binôme de Newton. 1 2 3 / 51 Plan

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe

Plus en détail

1. x 4 7x 2 + 12 = 0. 2. x 4 + 3x 2 + 2 = 0. 3. 4x 4 + 4x 2 3 = 0. 4. x 3 x 4 = 0. Aide

1. x 4 7x 2 + 12 = 0. 2. x 4 + 3x 2 + 2 = 0. 3. 4x 4 + 4x 2 3 = 0. 4. x 3 x 4 = 0. Aide 1 Équations du e degré Résoudre dans R les équations suivantes : 1 3 5 = 0 5 + = 0 3 + 6 = 0 4 6 + 9 = 0 5 ( 3) = ( 1) 6 ( )( + 3) = ( )(4 + 1) Équations avec changements de variable Résoudre dans R les

Plus en détail

Séquence 6. Fonctions dérivées. Sommaire

Séquence 6. Fonctions dérivées. Sommaire Séquence 6 Fonctions dérivées Sommaire Pré-requis Définition Dérivées des fonctions usuelles Dérivation et opérations algébriques Applications de la dérivation Synthèse de la séquence Eercices d approfondissement

Plus en détail

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

Lycée Louise Michel. Cours de Mathématiques. pour. les T STG D. Spécialité : Sciences et Techniques de la Gestion (STG)

Lycée Louise Michel. Cours de Mathématiques. pour. les T STG D. Spécialité : Sciences et Techniques de la Gestion (STG) Lycée Louise Michel Cours de Mathématiques pour les T STG D Spécialité : Sciences et Techniques de la Gestion (STG) Option : Communication et Gestion des Ressources Humaines (CGRH). Olivier LE CADET Année

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Rappel mathématique Germain Belzile

Rappel mathématique Germain Belzile Rappel mathématique Germain Belzile Note : à chaque fois qu il est question de taux dans ce texte, il sera exprimé en décimales et non pas en pourcentage. Par exemple, 2 % sera exprimé comme 0,02. 1) Les

Plus en détail

Systèmes linéaires. 1. Introduction aux systèmes d équations linéaires. Exo7. 1.1. Exemple : deux droites dans le plan

Systèmes linéaires. 1. Introduction aux systèmes d équations linéaires. Exo7. 1.1. Exemple : deux droites dans le plan Exo7 Systèmes linéaires Vidéo partie 1. Introduction aux systèmes d'équations linéaires Vidéo partie 2. Théorie des systèmes linéaires Vidéo partie 3. Résolution par la méthode du pivot de Gauss 1. Introduction

Plus en détail

FctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines

FctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines FctsAffines.nb 1 Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008 Fonctions affines Supports de cours de mathématiques de degré secondaire II, lien hpertete vers la page mère http://www.deleze.name/marcel/sec2/inde.html

Plus en détail

Nombre dérivé et tangente

Nombre dérivé et tangente Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative

Plus en détail

Matrices et déterminants

Matrices et déterminants Matrices et déterminants Matrices Définition.. Une matrice réelle (ou complexe) M = (m i,j ) (m, n) à m lignes et n colonnes est un tableau à m lignes et n colonnes de réels (ou de complexes). Le coefficient

Plus en détail

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint 18 mars 2008 1 Généralités sur les opérateurs 1.1 Définitions Soient H et H deux espaces de Hilbert sur C. Définition 1.1

Plus en détail

SOMMES ET PRODUITS. 1 Techniques de calcul. 1.1 Le symbole. 1.2 Règles de calcul. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

SOMMES ET PRODUITS. 1 Techniques de calcul. 1.1 Le symbole. 1.2 Règles de calcul. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot SOMMES ET PRODUITS 1 Techniques de calcul 1.1 Le symbole Notation 1.1 Soient m et n deux entiers naturels. Alors { a m + a m+1 + + a + a n si m n, a = 0 sinon. On peut aussi noter m n =m a ou encore m,n

Plus en détail

3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements

3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements 3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements Développer une expression consiste à transformer un produit en une somme Qu est-ce qu une somme? Qu est-ce qu un produit?

Plus en détail

Programmation Linéaire - Cours 2

Programmation Linéaire - Cours 2 Programmation Linéaire - Cours 2 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 265 Sommaire 1 2 3 Retournons dans le yaourt! Reprenons l exemple du 1er cours Forme normale

Plus en détail

Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité).

Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité). Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité). Lycée Jacques Monod février 05 Exercice : Voici les graphiques des questions. et.. A 4 A Graphique Question. Graphique Question..

Plus en détail

avec des nombres entiers

avec des nombres entiers Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0

Plus en détail

TP Cours Focométrie des lentilles minces divergentes

TP Cours Focométrie des lentilles minces divergentes Noms des étudiants composant le binôme : TP Cours ocométrie des lentilles minces divergentes Estimer la distance focale image d une lentille divergente est moins aisé que de déterminer celle d une lentille

Plus en détail

I. FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

I. FONCTION LOGARITHME NEPERIEN www.mathsenligne.com STI2D - TN4 - LOGARITHME NEPERIEN COURS (/5) CONTENUS CAPACITES ATTENDUES COMMENTAIRES Fonction logarithme népérien. Utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une écriture.

Plus en détail

Cours de mathématiques : Equation du second degré

Cours de mathématiques : Equation du second degré Cours de mathématiques : Equation du second degré I ) Formes de l'équation du second degré. L'équation du deuxiéme degré à une inconnue est celle où l'inconnue est élévé à la puissance de 2, sans y etre

Plus en détail

Ressources pour le lycée technologique

Ressources pour le lycée technologique éduscol Enseignement de mathématiques Classe de première STMG Ressources pour le lycée technologique Dérivation : Approximation affine et applications aux évolutions successives Contexte pédagogique Objectifs

Plus en détail

Trépier avec règle, ressort à boudin, chronomètre, 5 masses de 50 g.

Trépier avec règle, ressort à boudin, chronomètre, 5 masses de 50 g. PHYSQ 130: Hooke 1 LOI DE HOOKE: CAS DU RESSORT 1 Introduction La loi de Hooke est fondamentale dans l étude du mouvement oscillatoire. Elle est utilisée, entre autres, dans les théories décrivant les

Plus en détail

Fonction inverse Fonctions homographiques

Fonction inverse Fonctions homographiques Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0.

FONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0. FONCTION EXPONENTIELLE I. Définition Théorème : Il eiste une unique fonction f dérivable sur R telle que f ' = f et f (0) =. Démonstration de l'unicité (eigible BAC) : L'eistence est admise - Démontrons

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle La fonction exponentielle L expression «croissance exponentielle» est passée dans le langage courant et désigne sans distinction toute variation «hyper rapide» d un phénomène. Ce vocabulaire est cependant

Plus en détail

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses

Plus en détail

f continue en x 0 lim Remarque On dit que f est continue sur un intervalle a; bœ si f est continue en tout point x 0 de a; bœ. sont continues sur R.

f continue en x 0 lim Remarque On dit que f est continue sur un intervalle a; bœ si f est continue en tout point x 0 de a; bœ. sont continues sur R. CHAPITRE I Fonctions d une variable réelle. Limites Soit f une fonction définie sur R : et soit R. f W R! R 7! f./ Définition. Limite finie en un point) On dit que f admet ` pour ite lorsque tend vers

Plus en détail

: 3 si x 2 [0; ] 0 sinon

: 3 si x 2 [0; ] 0 sinon Oral HEC 2007 Question de cours : Dé nition d un estimateur ; dé nitions du biais et du risque quadratique d un estimateur. On considère n (n > 2) variables aléatoires réelles indépendantes X 1,..., X

Plus en détail

Inégalités. c a + b 3 2,

Inégalités. c a + b 3 2, DOMAINE : Géométrie AUTEUR : Margaret BILU NIVEAU : Avancé STAGE : Montpellier 03 CONTENU : Eercices Inégalités - Quelques inégalités secondaires, mais utiles - Proposition. (Inégalité de Nesbitt) Soient

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version

Plus en détail

5. Étude de fonctions

5. Étude de fonctions ÉTUDE DE FONCTIONS 33 5. Étude de fonctions 5.1. Asymptotes Asymptote verticale La droite = a est dite asymptote verticale (A. V.) de la fonction f si l'une au moins des conditions suivantes est vérifiée

Plus en détail

ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 2007

ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 2007 ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 27 CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS DU CONTRÔLE DE LA NAVIGATION AÉRIENNE Épreuve commune obligatoire de MATHÉMATIQUES Durée : 4 Heures Coefficient

Plus en détail

Les matrices. 1 Définitions. 1.1 Matrice

Les matrices. 1 Définitions. 1.1 Matrice Les matrices 2012-2013 1 Définitions 11 Matrice Définition 1 Une matrice m n est un tableau de nombres à m lignes et n colonnes Les nombres qui composent la matrice sont appelés les éléments de la matrice

Plus en détail

2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh

2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh 2 Fonctions binaires 45 2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh On peut définir complètement une fonction binaire en dressant son tableau de Karnaugh, table de vérité à 2 n cases pour n variables

Plus en détail

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.

Plus en détail

Loi normale ou loi de Laplace-Gauss

Loi normale ou loi de Laplace-Gauss LivreSansTitre1.book Page 44 Mardi, 22. juin 2010 10:40 10 Loi normale ou loi de Laplace-Gauss I. Définition de la loi normale II. Tables de la loi normale centrée réduite S il y avait une seule loi de

Plus en détail

Introduction à l optimisation

Introduction à l optimisation Université du Québec à Montréal Introduction à l optimisation Donnée dans le cadre du cours Microéconomie II ECO2012 Baccalauréat en économique Par Dominique Duchesneau 21 janvier septembre 2008 Ce document

Plus en détail

Le raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence Le raisonnement par récurrence Nous notons N l ensemble des entiers naturels : N = {0,,, } Nous dirons naturel au lieu de entier naturel Le principe du raisonnement par récurrence Soit A une partie de

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Compter à Babylone. L écriture des nombres

Compter à Babylone. L écriture des nombres Compter à Babylone d après l article de Christine Proust «Le calcul sexagésimal en Mésopotamie : enseignement dans les écoles de scribes» disponible sur http://www.dma.ens.fr/culturemath/ Les mathématiciens

Plus en détail

Chapitre 9 Les équations différentielles

Chapitre 9 Les équations différentielles Chapitre 9 Les équations différentielles A) Généralités Une équation différentielle est une équation dont l inconnue est une fonction et dans laquelle apparaissent une ou plusieurs dérivées de cette fonction.

Plus en détail

Chapitre 06 : PROPORTIONNALITÉ ET FONCTIONS LINÉAIRES

Chapitre 06 : PROPORTIONNALITÉ ET FONCTIONS LINÉAIRES Chapitre 06 : PROPORTIONNALITÉ ET FONCTIONS LINÉAIRES 6 cm I) Synthèse sur la proportionnalité : 1) Définition : Grandeurs proportionnelles : Dire que deux grandeurs sont proportionnelles revient à dire

Plus en détail

CHAPITRE I TRIGONOMETRIE

CHAPITRE I TRIGONOMETRIE CHAPITRE I TRIGONOMETRIE ) Le cercle trigonométrique Un cercle trigonométrique est un cercle C de rayon qui est orienté, ce qui veut dire qu on a choisi un sens positif (celui des ronds-points) et un sens

Plus en détail

LIMITES EXERCICES CORRIGES

LIMITES EXERCICES CORRIGES ours et eercices de mathématiques LIMITES EXERIES ORRIGES M UAZ, http://mathscyrreer Eercice n Déterminer la ite éventuelle en de chacune des onctions suivantes : ) ) ) 4 ( ) Déterminer la ite éventuelle

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Les graphes planaires

Les graphes planaires Les graphes planaires Complément au chapitre 2 «Les villas du Bellevue» Dans le chapitre «Les villas du Bellevue», Manori donne la définition suivante à Sébastien. Définition Un graphe est «planaire» si

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version

Plus en détail

UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES

UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010 N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES 1 Les énoncés La plupart des phrases que l on rencontre dans un livre

Plus en détail

Équations et inéquations du 1 er degré

Équations et inéquations du 1 er degré Équations et inéquations du 1 er degré I. Équation 1/ Vocabulaire (rappels) Un équation se présente sous la forme d'une égalité constituée de nombres, de lettres et de symboles mathématiques. Par exemple

Plus en détail

MEÉF 1 - Mathématiques DS2-5 octobre 2015 Analyse - Géométrie

MEÉF 1 - Mathématiques DS2-5 octobre 2015 Analyse - Géométrie MEÉF - Mathématiques DS2-5 octobre 25 Analyse - Géométrie Eercice Soit E un K-espace vectoriel (K étant le corps R ou C). Deu normes N et N 2 sur E sont dites équivalentes s il eiste deu constantes réelles

Plus en détail

Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES

Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Capitre 4 Dérivation Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Dérivation Nombre dérivé d une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable

Plus en détail

Numération. On sait que dans 342 381, le chiffre 4 ne vaut pas 4 mais 40 000... Ainsi :

Numération. On sait que dans 342 381, le chiffre 4 ne vaut pas 4 mais 40 000... Ainsi : Numération Numération. 1 Les systèmes de numération 1.1 Le système décimal. 1.1.1 Les chiffres. Le système décimal est le système d écriture des nombres que nous utilisons habituellement dans la vie courante.

Plus en détail

Plusieurs exercices de la douzième séance de TD

Plusieurs exercices de la douzième séance de TD Plusieurs exercices de la douzième séance de TD Décembre 2006 1 Offre du travail 1.1 énoncé On considère un ménage dont les préférences portent sur la consommation et le temps consacré aux activités non

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2 ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2 Le sujet est numéroté de 1 à 5. L annexe 1 est à rendre avec la copie. L exercice Vrai-Faux est

Plus en détail

Etude de fonctions: procédure et exemple

Etude de fonctions: procédure et exemple Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons

Plus en détail

CHAPITRE 5 : LIMITE ET ORDRE ASYMPTOTES

CHAPITRE 5 : LIMITE ET ORDRE ASYMPTOTES CHAPITRE 5 : LIMITE ET ORDRE ASYMPTOTES La lettre grecque α désigne soit, soit, soit a un réel fini ( a R ) Le plan est muni d un repère ( O; i ; j), et on note C f la courbe représentative de la fonction

Plus en détail

BJ - RELATIONS BINAIRES

BJ - RELATIONS BINAIRES BJ - RELATIONS BINAIRES Définitions Soit A et B deux ensembles non vides, et G une partie de A B. On dit qu un élément x de A est relié à un élément y de B par une relation binaire de graphe G, si le couple

Plus en détail

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives.

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives. L G L G Prof. Éric J.M.DELHEZ ANALYSE MATHÉMATIQUE ÉALUATION FORMATIE Novembre 211 Ce test vous est proposé pour vous permettre de faire le point sur votre compréhension du cours d Analyse Mathématique.

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une

Plus en détail

Simplification d expressions contenant des valeurs absolues & applications

Simplification d expressions contenant des valeurs absolues & applications Simplification d epressions contenant des valeurs absolues & applications Rappelons la définition de la valeur absolue : si 0 ( R ) si 0 En d autres termes, la valeur absolue d un réel positif est ce réel,

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle La fonction exponentielle Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Existence et unicité de la fonction exponentielle 2 1.1 Deux résultats préliminaires.......................................

Plus en détail