22 Cours - Espaces vectoriels.nb 1/8. Espaces vectoriels. I) Généralités II) Applications linéaires III) Sous espaces vectoriels IV) Générateurs

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1 22 Cours - Espaces vectoriels.nb /8 Espaces vectoriels K -espace vectoriel, loi de composition interne (commutative, associative), élément neutre, symétrique, loi externe, vecteur nul, E, sous espace vectoriel, F est stable pour + (par.), application linéaire, L HE, FL, endomorphisme, L HEL, isomorphisme, automorphisme, GL HEL, forme linéaire, E *, homothétie de rapport k, Ker f, Im f, noyau, image, combinaison linéaire, sous espace vectoriel de E engendré par A, Vect HAL, somme de sev, A + B, somme directe, A B, sev supplémentaires, projection sur F suivant la direction G, symétrie par rapport à F suivant la direction G, famille génératrice (libre, liée, base), base canonique de K n, coordonnées d un vecteur dans une base I) Généralités II) Applications linéaires III) Sous espaces vectoriels IV) Générateurs Dans tout le chapitre l ensemble K est égal à ou à I) Espace vectoriel, sous espace vectoriel ) Espace vectoriel Un ensemble E est un K-espace vectoriel (K -ev) pour les deux lois notées + et. lorsque: () La loi + a les propriétés suivantes: (a): " x, y œ E, x + y existe et x + y œ E (+ est une loi de composition interne sur E) (b): " x, y œ E, x + y = y + x (+ est une loi commutative) (c): " x, y, z œ E, Hx + yl + z = x + Hy + zl ( + est une loi associative) (d): $ e œ E ê " x œ E, x + e = x (il y a un élément neutre (ici e) pour + dans E) (e): " x œ E, $ x' œ E ê x + x' = e (tout élément x de E a un symétrique x' pour + dans E) (Les propriétés () traduisent le fait que E est un groupe commutatif pour la loi +) (2) La loi. a les propriétés suivantes: (2a) " l œ K, " x œ E, l.x existe et l.x œ E (. est une loi externe sur E) (2b) " l œ K, " x, y œ E, l.hx + yl = l.x + l.y (2c) " l, m œ K, " x œ E, Hl + ml.x = l.x + m.x (2d) " x œ E,. x = x (2e) " l, m œ K, " x œ E, l.hm.xl = Hl ml.x Les élements d un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. On adopte une notation additive de l élément neutre et du symétrique: Les vecteurs sont souvent notés x, y, z... et les éléments de K, (qu on appelle scalaires) sont souvent notés l, m, a, b... L'élément neutre de E pour la loi + est appelé vecteur nul de E et est noté E. Le symétrique x' de x pour + est noté -x. On a donc: " x œ E, x + E = E + x = x et " x, y œ E, x + y = E ñ y = -x. 2) Exemple de base 2 est un -ev pour les lois + et. définies par: " Ha, bl, Hc, dl œ 2, " l œ, ; Le vecteur nul de 2 est 2 = H, L, le symétrique de u = Hx, yl est -u = H-x, -yl. Ha, bl + Hc, dl = Ha + c, b + dl. l.ha, bl = Hl a, l bl

2 22 Cours - Espaces vectoriels.nb 2/8 On peut voir dans le plan usuel les opérations + et. sur 2 3) Autres exemples classiques a) K n est un K-ev pour les lois ; Hx, x 2,..., x n L + Hy, y 2,..., y n L = Hx + y, x 2 + y 2,..., x n + y n L. Le vecteur nul est (,,..,). l.hx, x 2,..., x n L = Hl x, l x 2,..., l x n L HP + QL HXL = P HXL + Q HXL b) est un K -ev pour les lois ;. Le vecteur nul est le polynôme nul. Hl.PL HXL = l P HXL Hf + gl HxL = f HxL + g HxL c) FHI, L (fonctions de I dans est un -ev pour les lois ;. Le vecteur nul est la fonction nulle. Hl.f L HxL = l f HxL d) L ensemble K des suites de K est un K -ev pour les lois ; Hu nl + Hv n L = Hu n + v n L. Le vecteur nul est la suite nulle (). l.hu n L = Hl u n L e) L ensemble M n,p HKL est un K -ev pour les lois Ia i,j M + Ib i,j M = Ia i,j + b i,j M. Le vecteur nul est la matrice nulle (). l.ia i,j M = Il a i,j M 4) Règles de calcul dans un espace vectoriel Soit HE, +,.L un K -ev. Alors: " l, m œ K, " x, y œ E on a: () l.x = E ñ l = ou x = E (2) l.h-xl = H-lL.x = - l.x et l.hx - yl = l.x - l.y et Hl - ml.x = l.x - m.x 5) Sous espace vectoriel a) Définition Une partie F du K -espace vectoriel HE, +,.L est un sous espace vectoriel de HE, +,.L ñ HF, +,.L est un K -ev. b) Théorème de caractérisation Soit F une partie du K -espace vectoriel HE, +,.L. Alors: F est un sous espace vectoriel de E HL ñ E œ F " x, y œ F, x + y œ F " l œ K, " x œ F, l.x œ F ñ H2L ; E œ F " x, y œ F, " l, m œ K, l.x + m.y œ F () Les propriétés ; " x, y œ F, x + y œ F F est stable pour + se traduisent par ; " l œ K, " x œ F, l.x œ F F est stable par. (2) E et 8 E < sont toujours des sous espaces vectoriels de E. c) Intérêt de la notion de sous espace vectoriel Chaque fois que l on doit montrer qu un ensemble A est un K -espace vectoriel pour des lois + et. on cherche (et on trouve presque toujours) un ensemble E qui contient A et qui est un K -ev pour les mêmes lois + et. Alors A est un K -espace vectoriel ñ A est un sous espace vectoriel de E: c est beaucoup plus simple à faire. 6) Exemples de sous espaces vectoriels a) Dans 2, montrer que D = 8 Hx, -2 xl ê x œ < est un sous espace vectoriel. Chercher d autres sous espaces vectoriels de 2. b) Montrer que P = 9Hx, y, zl œ 3 ë x - y + 2 z = = est un sous espace vectoriel de 3. c) Montrer que est un sous espace vectoriel c2) E = 8P ê PHX + L = X P HXL< est-il un sous espace vectoriel d) C n H L, l ensemble des fonctions de classe C n sur, est il un sous espace vectoriels de E = FH, L?. d2) L'ensemble des fonctions monotones sur est-il un sous espace vectoriel de E = FH, L?

3 22 Cours - Espaces vectoriels.nb 3/8 d3) Avec a : ö fonction continue, montrer que l'ensemble des fonctions y solutions sur de l'équation différentielle y' + ahxl y = est un sous espace vectoriel de F H, L. e) L ensemble des suites convergentes est-il un sous espace vectoriel de S = {suites de réels}? e2) L ensemble des suites ayant une limite (finie ou infinie) est-il un sous espace vectoriel de S? f) Montrer que les ensembles S et AS des matrices symétriques et antisymétriques sont des sous espaces vectoriels de M n HKL. 7) Intersection de sous espaces vectoriels Une intersection de sous espaces vectoriels est un sous espace vectoriel. C est faux pour une réunion. 8) Allègement occasionnel des notations du vecteur nul ou de la loi externe Dans la suite, le vecteur nul E d un espace vectoriel E sera noté souvent et la loi. sera omise. Par exemple, au lieu d écrire 2. x + 3. y = E, on pourra écrire 2 x + 3 y =. Pour s y retrouver: entre un scalaire l œ K et un vecteur x œ E, il y a un. implicite : l x désigne l.x Le symbole désigne le vecteur nul lorsque dans une expression c est un vecteur et le bon vieux zéro de ou lorsqu il doit être un nombre. II) Applications linéaires ) Définition et notation Soient E et F deux K -ev et f : EöF une application. Alors: " x, y œ E, f Hx + yl = f HxL + f HyL f : E öf est linéaire ñ; ñ" x, y œ E, " l, m œ K, f Hl.x + m.yl = l.f HxL + m.f HyL " l œ K, " x œ E, f Hl.xL = l.f HxL L ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L HE, FL. 2) Cas particuliers d applications linéaires Soit f œ LHE, FL une application linéaire de E dans F. Lorsque: () E = F, on dit que f est un endomorphisme. On note LHEL l ensemble des endomorphismes de E. (2) f est bijective, on dit que f est un isomorphisme. (3) E = F et f est bijective, on dit que f est un automorphisme. On note GL HEL l ensemble des automorphismes de E. (4) F = K, on dit que f est une forme linéaire de E. On note E * l ensemble des formes linéaires de E. 3) Image du vecteur nul Si f œ LHE, FL alors f H E L = F. C est utile par exemple pour montrer rapidement qu une application n est pas linéaire. 4) Exercices a) Pour k œ K, on appelle homothétie de rapport k l application h : EöE définie par " x œ E, hhxl = k.x Prouver que h est linéaire, montrer que h est un automorphisme lorsque k et calculer alors h -.

4 22 Cours - Espaces vectoriels.nb 4/8 b) Montrer que l application f définie sur E = 2 par: " Hx, yl œ E, f HHx, yll = H2 x + y, x - yl est un automorphisme de E. Calculer f ëf puis f - : sont-elles linéaires? c) Montrer que l application f définie sur E par: " P œ E, f HPL = X P' HXL - PHXL est un endomorphisme de E. Calculer f ë f : est-elle linéaire? d) Montrer que l application j définie sur E = C ( ) par: " f œ E, j Hf L = f '' + f est un endomorphisme de E. e) Trouver tous les endomorphismes de 2. 5) Quelques propriétés () La composée de deux applications linéaires est une application linéaire. (2) La bijection réciproque d un isomorphisme est linéaire (et donc est un isomorphisme). (3) HL HE, FL, +,.L est un K -espace vectoriel. () Soient f œ LHE, FL et g œ LHF, GL. Alors: " x, y E, " l, m œ K, gëf Hl x + m yl = ghf Hl x + m yll = ghlhf HxL + m f HyLL = l ghf HxLL + m ghf HyLL donc gëf œ LHE, GL. (2) Soit f œ L HE, FL bijective. " x, y œ F, " l, m œ K, f - Hl x + m yl = l f - HxL + m f - HyL ñ f If - Hl x + m ylm = f Il f - HxL + m f - HyLM (car f est injective) ñ l x + m y = l f If - HxLM + m f If - HyL M (car f est linéaire) ñ l x + m y = l x + m y. C est vrai donc f - est bien linéaire (3) Un peu fastidieux, mais facile à démontrer. 6) Image directe ou réciproque d un sous espace vectoriel par une application linéaire L image directe ou réciproque d un sous espace vectoriel par une application linéaire est un sous espace vectoriel. 7) Noyau et image d une application linéaire a) Définitions Soit f : E öf une application linéaire. Alors: Le noyau de f est Ker f = 8x œ E ê f HxL = F } = f - H8 F <L L image de f est Im f = 8f HxL ê x œ E< = f HEL Donc: x œ Ker f ñ Hx œ E et f HxL = F L et y œ Im f ñ Hy œ F et $ x œ E ê y = f HxLL b) Théorème Soit f œ L HE, FL. Alors Ker f est un sous espace vectoriel de E et Im f est un sous espace vectoriel de F. C est une conséquence du théorème 6) car 8 F < est un sev de F, donc Ker f = f - H8 F <L est un sev de E et E est un sev de E, donc Im f = f HEL est un sev de F. c) Caractérisation de l injectivité d une application linéaire Soit f œ L HE, FL. Alors: f est injective ñ Ker f = 8 E <. Notons que: f œ LHE, FL est surjective ñ Im f = F. (fi): f H E L = F donc E œ Ker f. Soit x œ Ker f. Alors f HxL = F = f H E L donc (f est injective) x = E. D où Ker f = 8 E <. ( ) Soient x, y œ E tels que f HxL = f HyL. Alors (f est linéaire), f Hx - yl = f HxL - f HyL = F, donc x - y œ Ker f = 8 E <, donc x - y = E et x = y. Donc f est injective. a) Chercher le noyau de l endomorphisme f de 3 défini par f Hx, y, zl = H-2 x + y + z, x - 2 y + z, x + y - 2 zl b) Chercher le noyau de l endomorphisme f tel que f HPL = 3 P - X P' (Vérifier déjà que f est linéaire) c) Chercher le noyau de l application j définie sur C 2 H L par: " f œ E, jhf L = f '' + f d) Soient f, g œ L HEL. Comparer pour l inclusion kerhf ëgl et ker g, puis ImHf ëgl et Im f. e) Soit f œ L HEL. Montrer que : Ker f = Ker Hf ëf L ñ Im f Ker f = 8 E }.

5 22 Cours - Espaces vectoriels.nb 5/8 III) Sous espaces vectoriels ) Combinaison linéaire d une famille de vecteurs Soit A = Ha, a 2,..., a n L une famille de vecteurs d un K -espace vectoriel E. Une combinaison linéaire de vecteurs de A est un vecteur x de E qui peut se mettre sous la forme x = l a + l 2 a l n a n avec l i œ K. Avec a = 2 et b = 3 4 dans E = 2, les combinaisons linéaires de la famille Ha, bl sont les vecteurs x = l a + m b =l 2 + m 3 4 = l + 3 m 2 l + 4 m avec l, m œ. 2) Sous espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs Soit A = Ha, a 2,..., a n L une famille de vecteurs d un K -espace vectoriel E. Alors: () L ensemble VectHAL = 8l a + l 2 a l n a n ê l i œ K < des combinaisons linéaires des vecteurs de A est un sev de E. (2)Vect HAL s appelle le sous espace vectoriel engendré par A. (3) VectHAL est le plus petit (pour l inclusion) sous espace vectoriel de E qui contient A. Notons CL HAL l ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de A. n n n (). a = E œ CLHAL. Soient x = S li a i, y = S l'i a' i œ CLHAL et a, b œ K. Alors a x + b y = S Ha li + bl' i L a i œ CLHAL qui est donc un sev de E. k= k= k= (2) Si B est un sev de E qui contient A, alors (stabilité pour + et par.) B contient CLHAL = vecthal qui est donc le plus petit (pour l inclusion) sous espace vectoriel de E qui contient A. Par exemple, si a, b, c sont trois vecteurs de E, alors Vect Ha, b, cl = 8a a + b b + g c ê a, b, g œ K< a) Dans 2, on pose a = H, L et b = H, 2L. Montrer que vectha, bl = 2. b) est-ce-que vect IX -, X 2 M = Vect IX 2 -, XM? 3) Somme de sous espaces vectoriels Soient A et B deux sev de E. Alors l ensemble A + B = 8a + b ê a œ A et b œ B< est un sev de E, appelé somme de A et B. 4) Somme directe La somme A + B des sous espaces vectoriels A et B est directe lorsque A B = 8 E <. Dans ce cas on note A B = A + B. Donc: A B = A + B sachant que A B = 8 E <. Soient A et B deux sev de E. Montrer que: A et B sont en somme directe ñ " Ha, bl œ AäB, a + b = E ñ a = b = E. 5) Sous espaces vectoriels supplémentaires a) Définition Les deux sous espaces vectoriels A et B de E sont supplémentaires dans E ñ A B = E ñ ; A + B = E A B = 8 E <. b) Théorème de caractérisation Les deux sous espaces vectoriels A et B de E sont supplémentaires dans E ñ " x œ E, $! Ha, bl œ AäB ê x = a + b ñ tout vecteur de E peut s écrire de façon unique comme somme d un vecteur de A et d un vecteur de B.

6 22 Cours - Espaces vectoriels.nb 6/8 a) Dans E = 3, a = H, 2, -L, b = H,, L et c = H,, L, puis F = vectha, bl et G = vect HcL. Démontrer que F G = E. b) Dans E = 4, on pose F = 9Hx, y, z, tl œ 4 ë x - y + 2 z - 3 t = = et G = VectHg = H,,, -LL. Prouver que F G = E. c) Dans E = F H, L, prouver que P = 8fonctions paires< et I = 8fonctions impaires< sont deux sev supplémentaires de E d) Soient E un espace vectoriel et u œ L HEL telle que uëu = Id E. a) Démontrer que A = kerhu - Id E ) et B = kerhu + Id E ) sont deux sous espaces vectoriels supplémentaires de E. b) Démontrer que l exercice c) est un cas particulier de d) 6) Projections et symétries a) Définitions Soient F et G deux sous espaces vectoriels supplémentaires d un espace vectoriel E. (C est à dire F G = E ) On sait que tout vecteur x œ E s écrit de façon unique sous la forme x = x F + x G avec x F œ F et x G œ G. Alors: () L application p : E öe définie par: " x œ E, phxl = x F est la projection sur F suivant la direction G. (2) L application s : E öe définie par: " x œ E, shxl = x F - x G est la symétrie par rapport à F suivant la direction G. b) Interprétation géométrique c) Théorème Les projections et les symétries de E sont des endomorphismes de E. d) Théorème de caractérisation Soit f œ L HEL. f est une projection ñ f ëf = f. Alors f est la projection sur F = Im f suivant la direction G = Ker f. f est une symétrie ñ f ëf = Id E. Alors f est la symétrie par rapport à F = KerHf - Id E L suivant la direction G = KerHf + Id E L. a) Dans E = 3, soient a = H, 2, -L, b = H,, L, c = H,, L, puis F = VectHa, bl et G = VectHcL. Vérifier que F G = E. Soient p la projection sur F suivant G et s la symétrie par rappport à F suivant G. Pour X = Hx, y, zl œ 3, calculer p HXL et s HXL. b) Soient f, g œ HEL. On suppose que f ëg = g et gëf = f. Prouver que f et g sont des projecteurs. c) Soit p une projection d un espace vectoriel E. Pour a œ, on pose f a = Id E + a p. Calculer f a ëf b et en déduire que f a est inversible, sauf peut-être pour une valeur de a. IV) Générateurs ) Famille génératrice, libre, liée, base La famille Hx, x 2,..., x n L de vecteurs d un K espace vectoriel Eest une famille: () génératrice de E ñ VectHx, x 2,... x n L = E ñ " x œ E, $ l, l 2,..., l n œ K ê x = l x + l 2 x l n x n ñ Tout vecteur de E peut s écrire comme combinaison linéaire des vecteurs x, x 2,..., x n (2) libre de E ñ " l, l 2,..., l n œ K, l x + l 2 x l n x n = E fl l = l 2 =... = l n = ñ La seule combinaison linéaire nulle des vecteurs x, x 2,..., x n est celle où tous les coefficients sont nuls (3) liée de E ñ Hx, x 2,..., x n L n est pas une famille libre de E ñ $ Hl, l 2,..., l n L œ K n î 8H,,..., L< ê l x + l 2 x l n x n = E ñ il existe une combinaison linéaire nulle à coefficients non tous nuls des vecteurs x, x 2,..., x n (4) base de E ñ Hx, x 2,... x n L est une famille libre et génératrice de E

7 22 Cours - Espaces vectoriels.nb 7/8 2) Propriétés des familles liées () Une famille contenant le vecteur nul est liée. (2) Une famille contenant plusieurs fois un même vecteur est liée. (3) Une famille est liée si et seulement si l un de ses vecteurs peut s écrire comme combinaison linéaire des autres. 3) Exercices a) On pose a = -2, b = -2, c = -2 et d = b) A = IX 2, X X +, X 2-2 X +, X + M est-elle une famille libre -. Les familles Ha, b, cl et Ha, b, dl sont-elles libres? c) Vrai ou faux? On rappelle que deux vecteurs a et b sont colinéaires ñ il existe l œ K tel que a = l b ou b = l a. a) Une famille contenant deux vecteurs colinéaires est liée. b) Une famille ne contenant pas deux vecteurs colinéaires est libre. g) La famille est liée si et seulement si elle contient deux vecteurs colinéaires. d) On pose f HxL = e x, g HxL = x et h HxL = sin HxL. La famille Hf, g, hl est-elle libre dans FH, L? 4) Bases des espaces vectoriels usuels Dans tout espace vectoriel E non réduit à 8 E < il y a une base. () B =, est une base de K 2 et B = ª, ª,... ª est une base de K n (base canonique de K n ) (2) B = I, X, X 2,..., X n M est une base de K et B = I, X, X 2,...M est une base de (3) Dans FH, L il y a des bases mais on ne sait pas en expliciter. (4) Dans M n,p HKL, une base est constituée de la famille des matrices dont tous les termes sont nuls sauf un qui vaut. a) Ecrire des bases de 3, et M 2 H L. b) Prouver que F = 9Hx, y, z, tl œ 4 ë x - y + 2 z - 3 t = = est un sev de 4 et trouver une base de F. 5) Coordonnées d un vecteur dans une base B = He, e 2,... e n L est une base de E ñ " x œ E, $! Hl, l 2,..., l n L de K n ê x = l e + l 2 e l n e n ñ Tout vecteur x de E s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de B. Si B = He, e 2,... e n L est une base de E, l unique n-uplet Hl, l 2,..., l n L de K n tel que x = l e + l 2 e l n e n s appelle le n-uplet des coordonnées du vecteur x dans la base B. On note alors x = Hl, l 2,..., l n L B ou encore x = l l 2 ª. Et donc: dans une base B = He, e 2,... e n L alors: x = Hl, l 2,..., l n L B ñ x = l e + l 2 e l n e n. l n B a) Prouver que B = Ha = H, 2L, b = H2, LL est une base de 2 et trouver les coordonnées d un vecteur u = Hx, yl de 2 dans B. b) Trouver les coordonnées du polynôme P = X 2 + X + 2 dans la base B = I, X, X 2 M puis C = IX 2, X -, X + M. c) On pose P k = X k + et B = HP, P,..., P n L. Montrer que B est une base de E = et trouver les coordonnées d un polynôme P de E dans la base B.

8 22 Cours - Espaces vectoriels.nb 8/8 d) Soit B = He, e 2,... e n L la base canonique de n. On pose f = e, f 2 = e + e 2,..., f n = e + e e n. Démontrer que C = Hf, f 2,..., f n L est une base de n. Trouver les coordonnées du vecteur e n, puis d un vecteur u = Hx,..., x n L de n dans la base C. e) On pose f k HxL = e k x pour k œ et x œ. Montrer que " n œ, la famille F = Hf, f,..., f n L est une famille libre de FH, L. 6) Propriétés des familles contenues ou contenant une famille libre, liée, génératrice ou base () Toute famille contenue dans une famille libre est libre. (2) Toute famille contenant une famille liée est liée. (3) Toute famille contenant une famille génératrice est génératrice. (4) Toute famille contenant strictement une base est liée et génératrice. (5) Toute famille contenue strictement dans une base est libre et non génératrice.

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