Algèbre 2 - L1 MIASHS/Lettres-Maths. UFR MIME, Université Lille 3.

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1 Algèbre 2 - L1 MIASHS/Lettres-Maths AMIRI Aboubacar UFR MIME, Université Lille avril Université Lille 3

2 1 Définitions et notations Quelques matrices particulières Matrice d une famille sur une base Matrice de passage entre deux bases 2 Espace vectoriel des matrices Produit matriciel Algèbre des matrices carrées Matrice d une application linéaire Transposée d une matrice Matrice symétriques, matrices antisymétriques 3 Trace, déterminent et rang d une matrice Trace d une matrice carrée Déterminant d une matrice carrée Matrices inversibles Algorithme du pivot de Gauss Rang d une matrice

3 4 Matrices par blocs Trasposition par blocs Matrices quasi-diagonales 5 Diagonalisation des matrices carrées Matrices semblables Matrices diagonalisables Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Spectre et sous-espaces propres Critères de diagonalisabilité

4 Définitions et notations 1 Définitions et notations Quelques matrices particulières Matrice d une famille sur une base Matrice de passage entre deux bases 2 Espace vectoriel des matrices 3 Trace, déterminent et rang d une matrice 4 Matrices par blocs 5 Diagonalisation des matrices carrées

5 Définitions et notations Définitions et notations Dans l ensemble de ce cours, K un ensemble de nombres (exemple K = N, Z, Q, R, C) et n, p N. Définition Une matrice à n lignes et p colonnes est un tableau rectangulaire de n p éléments de K rangés en n lignes et p colonnes. On dit alors que la matrice est n p. Vocabulaire : Les éléments qui composent une matrice s appellent les coefficients de celle-ci.

6 Définitions et notations Notations L ensemble des matrices n p à coefficients dans K est noté M n,p (K). Soit A M n,p (K). On utilise traditionnellement la notation suivante : a a 1p A =.. = (a ij ) i=1,...,n, j=1,...,p. a n1... a np Si tous les coefficients de la matrice sont nuls, on parle de matrice nulle et on note 0 n,p (ou bien 0 lorsqu il n y a pas d ambiguité). Lorsque n = p, on parle de matrice carrée d ordre n et on note simplement M n (K).

7 Définitions et notations NB. M 1 (K) = K. Définition Une matrice à une seule colonne s appelle matrice-colonne. Une matrice à une seule ligne s appelle matrice-ligne. On définit la diagonale d une matrice A M n (K), comme le n-uplet : (a 11, a 22,..., a nn ).

8 Définitions et notations Exemples. A = i 2 π /5 1 et D = (1 3 5)., B = , C = 0 3 1,

9 Définitions et notations Quelques matrices particulières Quelques matrices particulières La matrice identité d ordre n : I n = (δ ij ) i,j=1,...,n avec δ ij = { 1 si i = j 0 si i j. Matrices diagonales d ordre n : A M n (K) est dite diagonale si a ij = 0 pour tout i j. On note A = diag(a 11,..., a nn ). Matrices scalaires : si tous les éléments diagonaux d une matrice diagonale sont égaux, alors on parle de matrice scalaire. A = ai n, a K.

10 Définitions et notations Quelques matrices particulières Matrices triangulaires : A M n (K) est dite triangulaire : supérieur si a ij = 0 pour tout i > j. inférieur si a ij = 0 pour tout i < j.

11 Définitions et notations Quelques matrices particulières Exemples. A = C = π π = diag(0, 2, π, 1); B = ; D = / = 2I 3 ;.

12 Définitions et notations Matrice d une famille sur une base Matrice d une famille sur une base Rappel. Soit B = {b 1,..., b n } une base de R n. Alors pour tout v R n, il existe un unique n uplet (v 1,..., v n ) tel que : v = v 1 b v n b n. Définition On appelle matrice du vecteur v dans la base B, la matrice colonne M B (v) := v 1. v n M n,1 (R). On peut aussi noter tout simplement v lorsqu il n y a pas d ambiguité.

13 Définitions et notations Matrice d une famille sur une base La définition précédente se généralise à une famille de vecteurs de R n. Définition On appelle matrice de la famille {v 1,..., v p } dans la base B, la matrice v v 1p M B (v 1,..., v p ) :=.. M n,p (R). v n1... v np avec v j = v 1j b 1 + v 2j b v nj b n pour tout j = 1,..., p.

14 Définitions et notations Matrice de passage entre deux bases Matrice de passage entre deux bases Remarque (i) Pour se souvenir de la définition précédente : v 1... v p v v 1p b 1 M B (v 1,..., v p ) =.... v n1... v np b n (iii) Lorsque la famille B = {v 1,..., v p } est une base de R n, alors la matrice P = M B (B ) s appelle matrice de passage de la base B à la base B.

15 Espace vectoriel des matrices 1 Définitions et notations 2 Espace vectoriel des matrices Produit matriciel Algèbre des matrices carrées Matrice d une application linéaire Transposée d une matrice Matrice symétriques, matrices antisymétriques 3 Trace, déterminent et rang d une matrice 4 Matrices par blocs 5 Diagonalisation des matrices carrées

16 Espace vectoriel des matrices Espace vectoriel des matrices Définition Soient A, B M n,p (K). (i) On définit la somme A + B par A + B = (a ij + b ij ) i=1,...,n j=1,...,p. L addition des matrices est une addition termes à termes (i) Soit λ K. On définit la matrice λa par λa = (λa ij ) i=1,...,n j=1,...,p. Tous les coefficients de A sont multipliés par λ.

17 Espace vectoriel des matrices Pour chaque couple (i, j) {1,..., n} {1,..., p}, on définit B ij M n,p (K), la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la position (i, j) qui vaut 1. Théorème (i) (M n,p (K), +, ) est un K- espace vectoriel. (ii) La famille B = {B ij, i = 1,..., n, j = 1,..., p} est une base de M n,p (K) et dim (M n,p (K)) = np.

18 Espace vectoriel des matrices Preuve. (i) 8 axiomes à vérifier. - Soient A, B, C M n,p (K) et (i, j) {1,..., n} {1,..., p}. + est une loi de composition interne dans M n,p (K), commutative et associative par définition de la somme matricielle. En effet : 1 a ij + b ij = b ij + a ij, donc A + B = B + A. 2 (a ij + b ij ) + c ij = a ij + (b ij + c ij ), donc (A + B) + C = A + (B + C). 3 Il est évident que A + 0 np = A et que 4 A + ( A) = 0 np.

19 Espace vectoriel des matrices - Soient µ, λ K. Comme pour (i), on montre aisément que (a) : λ(a + B) = λa + λb, (b) : (λ + µ)a = λa + µa (c) : (λµ)a = λ(µa), (d) : 1 A = A et 0 A = 0 n,p. (1) (4), (a) (d) prouvent que (M n,p (K), +, ) est un K- espace vectoriel.

20 Espace vectoriel des matrices (ii) La famille B est libre. En effet, pour tous λ 11,..., λ np K, n p λ ij B ij = 0 np entraîne que λ 11 = = λ np = 0. i=1 j=1 De plus pour tout A M n,p (K), on peut toujours écrire A = n p a ij B ij. i=1 j=1 Ainsi B est une famille libre et génératrice de M n,p (K). C est donc une base de cet espace vectoriel dont la dimension est le nombre de matrices qu il y a dans B i.e np.

21 Espace vectoriel des matrices Produit matriciel Produit matriciel Définition Soient A M n,p (K) et B M p,q (K). Le produit de A par B est défini par C = A B M n,q (K) et s écrit : C = (c ij ) i=1,...,n, j=1,...,q avec c ij = p a ik b kj. k=1 Le produit matriciel A B n est défini que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B (ici p). Lorsqu il n y a pas d ambiguité, on notera A B = AB.

22 Espace vectoriel des matrices Produit matriciel Exemple 1 1 1/ et B = ( / ) ; AB =?; BA =?

23 Espace vectoriel des matrices Produit matriciel Propriétés (i) AB et BA existent si et seulement si A M n,p (K) et B M p,n (K). (ii) Le produit matriciel n est pas commutatif : AB BA de manière générale. (iii) Le produit matriciel est associatif : (AB)C = A(BC). (iv) Si A M n,p (K), alors AI p = I n A = A. (v) Si A M n,p (K) et B M p,q (K), alors AB = 0 n,q A = 0 n,p ou B = 0 p,q.

24 Espace vectoriel des matrices Produit matriciel Preuve. (i) Evident, par la définition du produit matriciel. (ii) AB peut exister sans que BA le soit et vice versa. (iii) Soient A M n,p (K), B M p,q (K), C M q,r (K), i = 1,..., n, j = 1,..., p, k = 1,..., q et l = 1,..., r. On pose U = AB et V = BC.

25 Espace vectoriel des matrices Produit matriciel Soit τ il (resp. ψ il ) le coefficient de la position (i, l) de la matrice UC (resp. AV ). On a par définition du produit matriciel : u ik = p a ij b jk et v jl = j=1 q b jk c kl. k=1 Ainsi : Donc τ il = = q u ik c kl = k=1 p j=1 k=1 q k=1 j=1 q a ij (b jk c kl ) = p (a ij b jk )c kl p a ij v jl = ψ il. j=1 (AB)C = UC = AV = A(BC).

26 Espace vectoriel des matrices Produit matriciel (iv) Si on pose U = AI p, alors pour chaque couple (i, k), on a : u ik = p a ij δ jk = a ik δ }{{} kk + 1 j=1 p j=1 j k a ij δ jk = a ik. }{{} 0 Ainsi AI p = A. On montre de la même manière que I n A = A. (v) Prendre comme contre-exemple : ( ) 1 0 A = et B = 0 0 ( ).

27 Espace vectoriel des matrices Produit matriciel Remarque 1 À partir du produit matriciel on peut définir la puissance d une matrice carrée A d ordre n par : A k = A A A } {{ } k facteurs et A 0 = I n. 2 Pour tous A, B M n (K) telles que AB = BA, on a la formule du binôme de Newton : (A + B) k = k i=0 ( ) k A i B k i. i

28 Espace vectoriel des matrices Algèbre des matrices carrées Algèbre des matrices carrées Propriétés (i) Le produit matriciel est une loi de composition interne dans M n (K) : A, B M n (K), AB et BA M n (K), même si AB BA. (ii) (M n (K), +,, ) est un K-algèbre a de dimension n 2. a. Un K-algèbre est K-espace vectoriel, muni d une troisième loi de composition interne qui est bilinéaire (voir preuve pour la définition de la bilinéarité).

29 Espace vectoriel des matrices Algèbre des matrices carrées Preuve. Soient A M n,p (K), B M p,q (K), C M q,r (K), i = 1,..., n, j = 1,..., p, k = 1,..., q et l = 1,..., r. On pose U = AB et V = AC. (i) Dans le cas particulier n = p = q, les produits AB et BA sont définis et appartiennent à M n (K). Le produit matriciel est donc une loi de composition interne dans M n (K).

30 Espace vectoriel des matrices Algèbre des matrices carrées (ii) Il faut montrer que le produit matriciel est aussi bilinéaire dans M n (K), c est à dire : (a) : A(B + C) = AB + AC; (c) : A(λB) = (λa)b = λ(ab). (b) : (A + B)C = AC + BC;

31 Espace vectoriel des matrices Algèbre des matrices carrées Si τ ik est le coefficient de la position (i, k) de la matrice A(B + C), alors : Donc τ ik = p a ij (b jk + c jk ) = j=1 = u ik + v ik. p a ij b jk + j=1 p a ij c jk j=1 (a) : A(B + C) = U + V = AB + AC. On peut monter de la même manière (b) et (c), ce qui prouve la bilinéarité du produit matriciel. Ainsi, M n (K) est un algèbre de dimension n 2 sur K.

32 Espace vectoriel des matrices Algèbre des matrices carrées Remarque On se place dans le cas n = p = q = r à savoir A, B, C M n (K), mais les propriétés précédentes restent aussi vraies en dehors de M n (K), dès lors que les produits matriciels qui entrent en jeu ont un sens.

33 Espace vectoriel des matrices Matrice d une application linéaire Matrice d une application linéaire Définition Soient E R n, F R p et f : E F une application linéaire. On considère une base B = {b 1,..., b n } de E et une base B = {b 1,..., b p} de F. La matrice de f entre les bases B et B est définie par : Pour tout v E, on a : M B,B(f) := M B (f(b 1 ),..., f(b n )). M B (f(v)) = M B,B(f)M B (v). Lorsqu il n y a pas d ambiguité on écrit : f(v) = M B,B(f)v.

34 Espace vectoriel des matrices Matrice d une application linéaire M B,B(f) est la matrice dont les colonnes sont composées des coordonnées dans la base B des images des vecteurs de la base B. Le nombre de colonnes de M B,B(f) est défini par la dimension de l espace de départ, celui des lignes par la dimension de l espace d arrivée.

35 Espace vectoriel des matrices Matrice d une application linéaire Règle pratique Pour se souvenir de la définition : f(b 1 )... f(b n ) f f 1n b 1 M B,B(f) =..., f p1... f pn b p avec f(b j ) = f 1j b f pj b p pour tout j = 1,..., n. Notation : M B,B (f) := M B (f).

36 Espace vectoriel des matrices Matrice d une application linéaire Exemples : 1 La matrice de l application linéaire nulle est la matrice 0. 2 La matrice de l application identité sur un sous-espace vectoriel de dimension n est la matrice I n. 3 Plus généralement, la matrice d une application linéaire d un espace vectoriel de dimension n vers lui-même est une matrice carrée d ordre n.

37 Espace vectoriel des matrices Matrice d une application linéaire Exemple. Soit l application linéaire f : (x, y, z) (2x + 3y + z, x + y + z) et v = (a, 0, 1), a R. Calculer f(v).

38 Espace vectoriel des matrices Matrice d une application linéaire Propriété La matrice de la composée de deux applications linéaires est le produit des matrices associées à ces applications linéaires.

39 Espace vectoriel des matrices Matrice d une application linéaire Exemple. Soient B 2 et B 3 les bases canoniques de R 2 et R 3. On considère les applications f et g définies par ( ) ( ) M B2 (f) =, M 1 1 B2,B 3 (g) = et v = Calculer f g(v)

40 Espace vectoriel des matrices Transposée d une matrice Transposée d une matrice Soit v R n. Nous avons vu qu il est possible de caractériser v par ses coordonnées. Ainsi, on peut voir tous les vecteurs de R n comme des matrices-colonnes. Attention : en calcul matriciel, on fera la distinction entre une matrice ligne et une matrice colonne. Ainsi, on adoptera la convention : R n = M n,1 (R) M 1,n (R).

41 Espace vectoriel des matrices Transposée d une matrice Bien qu ils ne soient pas égaux, M n,1 (R) et M 1,n (R) sont des espaces vectoriels isomorphes par l application linéaire t qui transforme une colonne en ligne. Ainsi, on peut aussi identifier R n par l espace des matrices lignes.. Deux espaces vectoriels E et F sont isomorphes s il existe une application linéaire f : E F bijective.

42 Espace vectoriel des matrices Transposée d une matrice En effet : Soit B = {b 1,..., b n } une base de R n. Alors pour tout v R n, il existe des réels v 1,..., v n tels que (décomposition unique) : v = v 1 b v n b n. L application f, de R n vers M 1,n (R), définie par : f(v) = (v 1... v n ). est un une application linéaire bijective. Sa bijection réciproque est définie par : f 1 : M 1,n (R) R n (v 1... v n ) v = [b 1... b n ] v 1. v n. [b 1... b n ] = matrice dont les colonnes sont les b j.

43 Espace vectoriel des matrices Transposée d une matrice Plus généralement, on introduit la notion de transposée d une matrice. Définition La transposée d une matrice A M n,p (K) est la matrice A T M p,n (K), obtenue en échangeant les linges et les colonnes de A. A T = (a ji ) j=1,...,p, i=1,...,n. Autres notations : A t, t A, A,....

44 Espace vectoriel des matrices Transposée d une matrice Exemple. A = ; B = ( ) et C = A T =? ; B T =? et C T =?

45 Espace vectoriel des matrices Transposée d une matrice Théorème Soit t : M n,p (K) M p,n (K) A A T. (i) t est une application linéaire bijective. (ii) t est une symétrie a. (iii) Si A M n,p (K) et B M p,q (K), alors t(ab) = t(b)t(a). a. Une symétrie est une application linéaire f : E F telle que f f = id E.

46 Espace vectoriel des matrices Transposée d une matrice Preuve. (i) Puisque la somme matricielle est une somme termes à termes et que multiplier une matrice par un scalaire revient à multiplier ce salaire par tous les coefficients de la matrice, alors pour toutes matrices A, B M n,p (K) et λ K, on a : t(λa + B) = (λa + B) T = (λa) T + B T = λt(a) + t(b). Ce qui prouve que t est une application linéaire. La bijectivité de t est évidente. (ii) Echanger les colonnes et les lignes d une matrice A, ensuite répéter l opération une deuxième fois ne change pas la matrice A. Ainsi pour toute matrice A, on a : t t(a) = ( A T) T = A.

47 Espace vectoriel des matrices Transposée d une matrice (iii) On pose U = AB et V = t(b)t(a). Ona u ik = p a ij b jk et v ki = j=1 p b kj a ji. j=1 U T se calcule en échangeant les positions de i et de k dans u ik, on obtient alors u ki = p a ji b kj = v ki. j=1 D où U T = V.

48 Espace vectoriel des matrices Matrice symétriques, matrices antisymétriques Définition Si A est une matrice telle que A T = A, alors A est appelée matrice symétrique. Si A T = A, on dit que A est antisymétrique. Remarque Une matrice symétrique ou anti-symétrique est nécessairement carrée. Les éléments diagonaux d une matrice anti-symétrique sont tous nuls.

49 Espace vectoriel des matrices Matrice symétriques, matrices antisymétriques Propriétés (i) Pour tout A M n,p (K), A T A et AA T sont des matrices symétriques. (ii) De plus si n = p, alors A + A T est symétrique alors que A A T est antisymétrique. (iii) L ensemble des matrices symétriques et l ensemble des matrices antisymétriques sont deux espaces vectoriels supplémentaires de M n (K).

50 Espace vectoriel des matrices Matrice symétriques, matrices antisymétriques Preuve. (i)-(ii) Evidents. (iii) Il suffit de montrer que toute matrice carrée d ordre n s écrit de façon unique comme somme d une matrice symétrique et d une matrice antisymétrique. Soit A M n (K), alors on peut écrire de manière unique A = 1 2 ( A + A T) + 1 ( A A T). 2 Ensuite, on applique (ii).

51 Trace, déterminent et rang d une matrice Trace d une matrice carrée 1 Définitions et notations 2 Espace vectoriel des matrices 3 Trace, déterminent et rang d une matrice Trace d une matrice carrée Déterminant d une matrice carrée Matrices inversibles Algorithme du pivot de Gauss Rang d une matrice 4 Matrices par blocs 5 Diagonalisation des matrices carrées

52 Trace, déterminent et rang d une matrice Trace d une matrice carrée Trace d une matrice carrée Définition Soit A M n (K). On définit la trace de la matrice A par Tr(A) = n a ii. i=1 La trace est la somme des éléments diagonaux.

53 Trace, déterminent et rang d une matrice Trace d une matrice carrée Propriétés Soit Tr : M n (K) K A Tr(A). (i) Tr est une application linéaire (ii) Si A M n (K), alors Tr(A T ) = Tr(A). (iii) Si A M n,p (K) et B M p,n (K), alors Tr(AB) = Tr(BA).

54 Trace, déterminent et rang d une matrice Trace d une matrice carrée Preuve. (i)-(ii) Evidents. (iii) Si A M n,p (K) et B M p,n (K), alors : Tr(AB) = n p p n a ij b ji = b ji a ij = Tr(BA). i=1 j=1 j=1 i=1

55 Trace, déterminent et rang d une matrice Déterminant d une matrice carrée Déterminant d une matrice carrée Définition Soit ( ) a11 a A = 12 M a 21 a 2 (K). 22 Le déterminant de A est le scalaire det(a) = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 21 a 12 K.

56 Trace, déterminent et rang d une matrice Déterminant d une matrice carrée Définition Soit A = (a ij ) i,j=1,...,n M n (K). 1 On appelle matrice mineure d un coefficient a ij, la matrice A ij M n 1 (K) obtenue en barrant la ligne i et la colonne j de A. 2 On appelle déterminant de A, la quantité définie par la relation de récurrence suivante : n n det(a) = ( 1) k+j a kj det(a kj ) = ( 1) i+k a ik det(a ik ). k=1 } {{ } développement suivant la colonne j. k=1 } {{ } développement suivant la ligne i. A kj (resp. A ik ) est la matrice mineure du coefficient a kj (resp. a ik ).

57 Trace, déterminent et rang d une matrice Déterminant d une matrice carrée La définition précédente fait apparaître les quantités suivantes. Définition 1 Le déterminant de la matrice mineure associée au coefficient a ij s appelle le mineur de a ij. mineur(a ij ) = det(a ij ). 2 Le signe symbolique affecté au coefficient a ij est la quantité ss(a ij ) = ( 1) i+j. 3 On appelle cofacteur relatif au coefficient a ij, la quantité : a ij = ( 1) i+j det(a ij ) := ss(a ij ) mineur(a ij ).

58 Trace, déterminent et rang d une matrice Déterminant d une matrice carrée Remarquons qu il y a autant de cofacteurs que de coefficients dans A. On peut ainsi définir la matrice des cofacteurs associée à A. Définition La matrice Com(A) = (a ij) i,j=1,...,n M n (K), s appelle matrice des cofacteurs de A ou la comatrice de A. Sa transposée s appelle la matrice adjointe de A. Adj(A) = (Com(A)) T.

59 Trace, déterminent et rang d une matrice Déterminant d une matrice carrée Exemple. Soit la matrice A = det(a) = Com(A) = = Adj(A) = 4.

60 Trace, déterminent et rang d une matrice Déterminant d une matrice carrée Schéma de Sarrus (n = 3) On reproduit les deux premières colonnes de A à droite. On fait les produits des éléments obliques affectés de signes + (resp. ) s ils sont sur la première (resp. deuxième) diagonale. La somme algébrique donne la valeur du déterminant.

61 Trace, déterminent et rang d une matrice Déterminant d une matrice carrée Règle de Sarrus : Exemple det(a) = = 4.

62 Trace, déterminent et rang d une matrice Déterminant d une matrice carrée Propriétés Soient A M n (K) et λ K. 1. det(a) = det(a T ) 2. Si une ligne (ou une colonne) de A est multipliée par λ alors le déterminant de A est multiplié par λ. En particulier : a. une matrice avec une ligne (ou une colonne) nulle a un déterminant nul. b. et det(λa) = λ n det(a), pour tout λ K. 3. Si chaque élément d une ligne (ou colonne) d une matrice peut se représenter par la somme de deux ou plusieurs nombres, son déterminant peut s exprimer en fonction de la somme de deux ou plusieurs déterminants.

63 Trace, déterminent et rang d une matrice Déterminant d une matrice carrée 4. Le déterminant d une matrice ne change pas de valeur si l on ajoute aux éléments d une ligne (resp. colonne) une combinaison linéaire des autres lignes (resp. colonnes). 5. Si deux lignes (resp. colonnes) d une matrice sont identiques son déterminant est nul. 6. det(a) 0 si et seulement si toutes les lignes (resp. colonnes) de A sont linéairement indépendantes.

64 Trace, déterminent et rang d une matrice Déterminant d une matrice carrée Preuve. 1. Par définition le déterminant de A peut se développer suivant n importe quelle ligne ou colonne de A. La ligne numéro i de A étant exactement la colonne numéro i de A T alors on a l égalité det(a) = det(a T ).

65 Trace, déterminent et rang d une matrice Déterminant d une matrice carrée 2. Soit B la matrice obtenue en multipliant la ième ligne de A par λ. Alors d après la définition du déterminant, on a : det(b) = n ( 1) i+k b ik det(b ik ) = k=1 n ( 1) i+k λa ik det(b ik ), k=1 avec B ik la matrice mineure de b ik. Celle-ci étant obtenue en barrant la ligne i et la colonne k de B, alors B ik = A ik, i.e det(b ik ) = det(a ik ). Ainsi : det(b) = λ det(a). Même raisonnement pour la colonne j. (2.a) (2.b) sont des cas particuliers de (2.)

66 Trace, déterminent et rang d une matrice Déterminant d une matrice carrée 3. et 4. Admis. Illustration par un exemple A = On a : det(a) } {{ } = = = } {{ } } {{ }

67 Trace, déterminent et rang d une matrice Déterminant d une matrice carrée On a aussi : det(a) = = = C 1 C 2 9C 1 C 3 + 3C = 160.

68 Trace, déterminent et rang d une matrice Déterminant d une matrice carrée 5. Si les lignes L i et L k de A sont identiques, alors prendre comme combinaison linéaire L k et remplacer L i par L i L k, soit B la matrice obtenue. La ligne i de B est nulle. Or, d après (3.) et (2.a), det(a) = det(b) = 0. Même raisonnement pour les colonnes.

69 Trace, déterminent et rang d une matrice Déterminant d une matrice carrée 6. ( ) Supposons que det(a) 0 et montrons par l absurde que les lignes de A sont linéairement indépendantes. Si ce n était pas le cas, alors la dernière ligne de A s exprimerait de manière linéaire en fonction des autres. Donc : n 1 L n = α i L i = 0 n + combin. lin.(l 2,..., L n 1 ). i=1 Soit B la matrice obtenue en remplaçant la dernière ligne par 0 n. D après (2.a), det(b) = 0.

70 Trace, déterminent et rang d une matrice Déterminant d une matrice carrée Ensuite, une application de (4.) entraîne que det(a) = det(b) = 0, ce qui contredit det(a) 0. La réciproque est admise.

71 Trace, déterminent et rang d une matrice Déterminant d une matrice carrée On admet également la proposition suivante. Proposition (i) Lorsqu on échange deux lignes ou deux colonnes d une matrice son déterminant change de signe. (ii) Si A, B M n (K), alors : det(ab) = det(a) det(b) = det(ba), en particulier si AB = I n alors det(b) = 1 det(a).

72 Trace, déterminent et rang d une matrice Matrices inversibles Matrices inversibles Définition Soit A M n (K). On dit que A est une matrice inversible, s il existe une matrice A 1 M n (K) telle que A 1 est l inverse de A. A 1 A = AA 1 = I n. L ensemble des matrices carrées inversibles d ordre n à coefficients dans K s appelle groupe général linéaire d ordre n sur K et est noté GL n (K).

73 Trace, déterminent et rang d une matrice Matrices inversibles Exemples 1 Calculer l inverse de la matrice 2 Soit A M 2 (R), vérifiant : ( A 2 + A 2I 2 = 0. Montrer que A 1 = 1 2 (A + I 2). ).

74 Trace, déterminent et rang d une matrice Matrices inversibles Propriétés f est une application linéaire bijective d un espace dans lui-même si et seulement si la matrice de f dans la base considérée est inversible. Si c est le cas, la matrice de f 1 est l inverse de la matrice de f.

75 Trace, déterminent et rang d une matrice Matrices inversibles Propriétés (i) Lorsqu une matrice est inversible alors son inverse est unique. (ii) Pour tous A, B GL n (K), on a (AB) 1 = B 1 A 1. (iii) GL n (K) est invariant par transposition et pour tout A GL n (K), on a ( A T) 1 = ( A 1 ) T. (iv) A GL n (K) si et seulement si det(a) 0. Si c est le cas A 1 = 1 det(a) Adj(A).

76 Trace, déterminent et rang d une matrice Matrices inversibles Preuve. (i) Soient A 1 1 et A 1 2 deux matrices carrées telles que (a) : AA 1 1 = I n = A 1 1 A et (b) : AA 1 2 = I n = A 1 2 A. En pré-multipliant la première égalité de (a) par A 1 2 on obtient A 1 1 = A 1 2, grâce à la dernière égalité de (b). (ii) Grâce à l associativité du produit matriciel, on a (AB)(B 1 A 1 ) = A(BB 1 )A 1 = I n. (iii) (iv) Admis. A T (A 1 ) T = (A 1 A) T = I T n = I n.

77 Trace, déterminent et rang d une matrice Algorithme du pivot de Gauss Algorithme du pivot de Gauss Définition On appelle forme échelonnée en lignes d une matrice, une représentation de celle-ci, de sorte que le nombre de zéros précédant la première valeur non nulle d une ligne augmente ligne par ligne jusqu à ce qu il ne reste plus que des zéros. La forme échelonnée en colonnes est la matrice transposée de la forme échelonnée en lignes. Exemple / / , 1/2 et 4 sont les pivots.

78 Trace, déterminent et rang d une matrice Algorithme du pivot de Gauss L algorithme du pivot de Gauss permet d écrire une matrice sous forme échelonnée en lignes à l aide de trois types d opérations élémentaires sur les lignes : Échange de deux lignes ; Multiplication d une ligne par un scalaire non nul ; Ajout du multiple d une ligne à une autre ligne.

79 Trace, déterminent et rang d une matrice Algorithme du pivot de Gauss L algorithme de Gauss Pour une matrice A M n,p : 1 Initialisation : t = 0 (t est le numéro de ligne du dernier pivot). 2 Pour tout j = 1,..., p (j parcourt tous les numéros des colonnes) : 1 on cherche max a ij, soit k son numéro de ligne ; t+1 i n 2 si ce max est non nul alors : 1 on augmente t de 1 (t t + 1); 2 on échange les lignes k et t ; 3 on divise la ligne t par a tj (pour transformer ce coefficient en pivot) 4 pour i = 1... n, i t : on soustrait à la ligne i la ligne t multipliée par a ij (de façon à annuler a ij)

80 Trace, déterminent et rang d une matrice Algorithme du pivot de Gauss Exemple. Trouver la forme échelonnée en lignes de la matrice A =

81 Trace, déterminent et rang d une matrice Algorithme du pivot de Gauss Pas 1. 1 t = 0 2 j = 1 1 max 1 i 3 a i1 = 2 = a 11, donc k = , donc : 1 t = 1 (0 1) 2 t = 1 et k = 1, l échange n a pas de sens ici ; 3 t = 1, alors L 1 L 1 = L 1/a 11 = 1, 1/2, 0; 4 i = 2, alors L 2 L 2 = L 2 a 21L 1 = 0, 3/2, 1; i = 3, alors L 3 L 3 = L 3 a 31L 1 = 0, 1, 2. Ainsi : A = L 1 1 1/2 0 L 2 A = 0 3/2 1 L L 1 L 2 L 3.

82 Trace, déterminent et rang d une matrice Algorithme du pivot de Gauss Pas 2. 1 t = 1 (car le pivot précédent est en position (1, 1)). 2 j = 2 On arrive à : 1 max 2 i 3 a i2 = 3/2 = a 22, soit k = 2 2 3/2 0, donc : 1 t = 2 (1 2) 2 t = 2 et k = 2, l échange n a pas de sens ici ; 3 t = 2, alors L 2 L 2 = L 2/a 22 = 0, 1, 2/3; 4 i = 1, alors L 1 L 1 = L 1 a 12L 2 = 1, 0, 1/3; i = 3, alors L 3 L 3 = L 3 a 32L 2 = 0, 0, 4/3. 1 1/2 0 A = 0 3/ L 1 L 2 L /3 A = 0 1 2/ /3 L 1 L 2 L 3.

83 Trace, déterminent et rang d une matrice Algorithme du pivot de Gauss Pas 3. 1 t = 2 (car le pivot précédent est en position (2, 2)). 2 j = 3 1 max 3 i 3 a i3 = 4/3 = a 33, soit k = 3 2 4/3 0, donc : 1 t = 3 (2 3) 2 t = 3 et k = 3, l échange n a pas de sens ici ; 3 t = 3, alors L 3 L 3 = L 3 /a 33 = 0, 0, 1; 4 i = 1, alors L 1 L 1 = L 1 a 13L 3 = 1, 0, 0. i = 2, alors L 2 L 2 = L 2 a 23L 2 = 0, 1, 0. D où : 1 0 1/3 A = 0 1 2/ /3 L 1 L 2 L A = L 1 L 2 L 3.

84 Trace, déterminent et rang d une matrice Algorithme du pivot de Gauss Application au calcul de l inverse. Règle Pour calculer l inverse d une matrice A M n (K) : 1 On reporte la matrice I n à droite de A, pour obtenir une matrice n 2n : A I n. 2 Si A GL n (K), alors l application de l algorithme de Gauss à A I n conduit à I n A 1.

85 Trace, déterminent et rang d une matrice Algorithme du pivot de Gauss Exemple. Reprenons la matrice A, définie par : A = On a A I 3 = L 1 L 2 L 3.

86 Trace, déterminent et rang d une matrice Algorithme du pivot de Gauss En reprenant les trois étapes précédentes de l algorithme de Gauss, on obtient la forme échelonnée suivante : /4 1/2 1/4 L I 3 A 1 1 = /2 1 1/2 L /4 1/3 3/4 L 3 Ainsi : Vérifier que l on a bien : 3/4 1/2 1/4 A 1 = 1/2 1 1/2. 1/4 1/3 3/4 AA 1 = A 1 A = I 3.

87 Trace, déterminent et rang d une matrice Rang d une matrice Rang d une matrice Définition Le rang d une matrice A M n,p est la dimension de la plus grande sous matrice carrée inversible extraite de A. Exemple A = ; rang(a) =

88 Trace, déterminent et rang d une matrice Rang d une matrice Propriétés 1 A GL n (K) si et seulement si rang(a) = n. 2 Le rang d une matrice reste inchangé si : on permute deux lignes (ou deux colonnes). on multiplie les coefficients d une ligne ou d une colonne par un nombre non nul. à une ligne (resp. colonne) on ajoute un multiple d une ligne ( resp. colonne). on remplace une ligne (resp. une colonne) par une combinaison linéaire des lignes (resp. colonne) de la matrice.

89 Trace, déterminent et rang d une matrice Rang d une matrice Exemple. Soient A = B = Calculer rang(a) et rang(b)

90 Trace, déterminent et rang d une matrice Rang d une matrice Solution : Algorithme du pivot de Gauss A = rang(a) = 2. L L 2 A = L L 1 = L 1 L 2 = L 2 L 3 = L 3 2L 1

91 Trace, déterminent et rang d une matrice Rang d une matrice B = L 1 L 2 L 3 L L 1 = L 1 L 2 = L 2 2L 1 L 3 = L 3 L 1 L 4 = L 4 + L L 1 = L 1 L L 2 = L L 3 = L L 2 C 3 C L 4 = L 4 L L 1 = L 1 + L L 2 = L 2 2L L 3 = L 3 /3 rang(b) = L 4 = L 4 + 4L 3

92 Matrices par blocs 1 Définitions et notations 2 Espace vectoriel des matrices 3 Trace, déterminent et rang d une matrice 4 Matrices par blocs Trasposition par blocs Matrices quasi-diagonales 5 Diagonalisation des matrices carrées

93 Matrices par blocs Matrices par blocs Il arrive souvent que l on réduise des trop grandes matrices en procédant à une partition en cellules. On obtient une matrice partitionnée ou matrice par blocs. a a 1p0 a 1(p0 +1)... a 1p.... A = a n a n0 p 0 a n0 (p 0 +1)... a n0 p a (n0 +1)1... a (n0 +1)p 0 a (n0 +1)(p 0 +1)... a (n0 +1)p.... = [ a n1 ]... a np0 a n(p0 +1)... a np A11 A 12. A 21 A 22 A 11, A 12, A 21 et A 22 sont des sous matrices de A.

94 Matrices par blocs Trasposition par blocs Soit A M n,p (K) et B M p,q (K) avec A A 1s B B 1t A =.. et B =.., A r1... A rs B s1... B st où A ij et B jk sont des matrices.

95 Matrices par blocs Trasposition par blocs 1 La transposée de A peut être effectuée par blocs. A T A T r1 A T =... A T 1s... A T sr 2 Si pour tout (i, j, k), les produits A ij B jk existent, alors le produit matriciel C = AB peut être effectué par blocs : C C 1t C =.., C r1... C rt avec C ik = r j=1 A ij B jk, i = 1,..., s, k = 1,..., t.

96 Matrices par blocs Matrices quasi-diagonales Matrices quasi-diagonales Définition Soit A M n (K). On dit que A est quasi-diagonale ou diagonale par blocs s il existe des matrices carrées A 1,... A k avec (k n) telles que : A A A = A k

97 Matrices par blocs Matrices quasi-diagonales Propriétés Soit A M n (K) une matrice quasi-diagonale avec sur sa diagonale k des matrices A i M ni (K), i = 1,..., k avec n = n i. Alors : (i) Tr(A) = k Tr(A i ) et det(a) = i=1 i=1 k det(a i ). (ii) Si pour tout i = 1..., k, A i GL ni (K), alors A GL n (K) et A A 1 0 A = A 1 k i=1

98 Diagonalisation des matrices carrées Matrices semblables 1 Définitions et notations 2 Espace vectoriel des matrices 3 Trace, déterminent et rang d une matrice 4 Matrices par blocs 5 Diagonalisation des matrices carrées Matrices semblables Matrices diagonalisables Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Spectre et sous-espaces propres

99 Diagonalisation des matrices carrées Matrices semblables Critères de diagonalisabilité

100 Diagonalisation des matrices carrées Matrices semblables Matrices semblables Définition Deux matrices A, B M n (K) sont dites semblables s il existe une matrice inversible P GL n (K) telle que : B = P 1 AP i.e A = P BP 1. Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent la même application linéaire dans deux bases différentes.

101 Diagonalisation des matrices carrées Matrices semblables Exemple. ( ) 3a 2b 2a + 2b A = ; B = 3a 3b 2a + 3b ( ) a 0 ; P = 0 b ( )

102 Diagonalisation des matrices carrées Matrices semblables Propriétés 1 La similarité est une relation d équivalence. a 2 Deux matrices semblables ont la même trace. 3 Deux matrices inversibles semblables ont des transposées et des inverses semblables. a. On dit qu une relation est une relation d équivalence si elle est : réflexive : x x ; symétrique : x y y x; transitive : x y et y z x z.

103 Diagonalisation des matrices carrées Matrices semblables Preuve. 1 La similarité est une relation : réflexive : toute matrice A M n (K) est toujours semblable à elle-même (P = I n ) ; symétrique : transitive : si alors : P 1 AP = B ( P 1) 1 BP 1 = A; P 1 AP = B et Q 1 BQ = C, P 1 AP = QCQ 1 (P Q) 1 AP Q = C.

104 Diagonalisation des matrices carrées Matrices semblables 1 Si A M n (K), alors : ( ) ( Tr P 1 AP = Tr AP P 1) = Tr(AI n ) = Tr(A). 2 De même P 1 AP = B P 1 A 1 P = B 1. P T A T( P T) 1 = B T.

105 Diagonalisation des matrices carrées Matrices diagonalisables Matrices diagonalisables Définition Une matrice est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale. Diagonaliser une matrice A M n (K), c est donc trouver une matrice de passage P GL n (K) et une matrice diagonale D telles que P 1 AP = D.

106 Diagonalisation des matrices carrées Matrices diagonalisables Pourquoi c est utile? 1. Soit le système d équations récurrentes : v n+1 = Av n, A M n (R), v n R p avec v 0 = (v 10,..., v p0 ) T. On a facilement : v n = A n v 0, mais A n =? Si A est diagonalisable on a A n = P DP 1 P DP 1... P DP 1 = P D n P 1. L écriture de D n est immédiate (souvent P 1 = P T!).

107 Diagonalisation des matrices carrées Matrices diagonalisables 2. Soit le système d équations : Ax = v, A M n (R), x, v n R p. On a : x = A 1 v, mais A 1 =? Si A est diagonalisable on a Ecrire D 1 est facile. A 1 = P D 1 P 1.

108 Diagonalisation des matrices carrées Matrices diagonalisables 3. Les matrices diagonales sont simples à manipuler : addition, multiplication, puissance, déterminant, inversion (si possible), etc. Pour tous v 1..., v n R n, on a [v 1..., v n ] diag(λ 1,..., λ n ) = [λ 1 v 1..., λ n v n ], ou de manière équivalente : diag(λ 1,..., λ n ) v T 1. = λ 1 v T 1. v T n λ n v T n

109 Diagonalisation des matrices carrées Matrices diagonalisables Ainsi : post-multiplier (resp. pré-multiplier) une matrice A par une matrice diagonale D revient à multiplier chaque colonne (resp. ligne) de A par l élément diagonale de D qui lui correspond.

110 Diagonalisation des matrices carrées Matrices diagonalisables Exemple A = et B = diag(3, 1, π) AB =? BA =?

111 Diagonalisation des matrices carrées Valeurs propres et vecteurs propres Valeurs propres et vecteurs propres Définition Soient A M n (R), v R n et λ R. On dit que v est un vecteur propre de la matrice A associé à la valeur propre λ si v 0 et Av = λv. C est à dire que le système d équations : admet une solution non nulle. (A λi n )v = 0 n.

112 Diagonalisation des matrices carrées Valeurs propres et vecteurs propres Exemple. A = ( ) v 1 = ( ) 1 1 v 2 = ( ) 1 3 λ 1 = 1 et λ 2 = 3.

113 Diagonalisation des matrices carrées Valeurs propres et vecteurs propres Proposition Soient A M n (R) et λ R Les affirmations suivantes sont équivalentes. (i) λ est une valeur propre de la matrice A. (ii) det(a λi n ) = 0.

114 Diagonalisation des matrices carrées Valeurs propres et vecteurs propres Preuve. i) (ii) Si λ est une valeur propre de A, alors il existe v 0 tel que (A λi n )v = 0. Montrons par l absurde que dans ce cas det(a λi n ) = 0. Supposons que det(a λi n ) 0. Alors A λi n GL n (R), ce qui implique que (A λi n ) 1 (A λi n )v = 0, c est à dire v = 0 On obtient ainsi une contradiction avec le fait que v 0.

115 Diagonalisation des matrices carrées Valeurs propres et vecteurs propres i) (ii) Soit λ R tel que det(a λi n ) = 0. Montrons par l absurde que dans ce cas λ est une valeur propre de A. Supposons que λ n est pas une valeur propre de A. Cela implique que Autrement-dit pour tout v 0, (A λi n )v 0. si (A λi n )v = 0 alors v = 0. Cette dernière affirmation est vraie si et seulement si la matrice (A λi n ) est inversible, ce qui est en contradiction avec det(a λi n ) = 0.

116 Diagonalisation des matrices carrées Polynôme caractéristique Polynôme caractéristique Définition Soit A M n (R). On appelle polynôme caractéristique de A le polynôme de degré n défini par P A (λ) = det(a λi n ). Une valeur propre de A est précisément une racine du polynôme caractéristique de A.

117 Diagonalisation des matrices carrées Polynôme caractéristique Exemple. 1 Calculer le polynôme caractéristique de ( ) 0 1 A =. 3 4 Retrouver les valeurs propres et les vecteurs propres de A.

118 Diagonalisation des matrices carrées Polynôme caractéristique Exercice. 1 Déterminer le polynôme caractéristique de la matrice ( ) a11 a M = 12, a a 21 a 11, a 12, a 21, a 22 R Soient A M 2 (R), λ 1 et λ 2 deux valeurs propres de A. Montrer que Tr(A) = λ 1 + λ 2 et det(a) = λ 1 λ 2.

119 Diagonalisation des matrices carrées Spectre et sous-espaces propres Spectre et sous-espaces propres Définition 1 L ensemble des valeurs propres de A est appelé le spectre de A et noté Sp(A). 2 Si λ Sp(A), alors l ensemble { } E λ (A) = v R n tels que (A λi n )v = 0. est appelé sous espace propre associé à λ.

120 Diagonalisation des matrices carrées Spectre et sous-espaces propres Propriétés (i) E λ est un sous-espace vectoriel. (ii) Un seul vecteur propre ne peut être associé qu à une seule valeur propre. En particulier si λ 1, λ 2 Sp(A) avec λ 1 λ 2, alors : E λ1 (A) E λ2 (A) = {0}. (iii) Si λ Sp(A), alors toute combinaison linéaire non nulle de vecteurs propres associés à λ est elle même un vecteur propre associé à λ. En particulier si v est un vecteur propre alors αv avec α 0 l est aussi. (iv) Des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont linéairement indépendants. (v) Une matrice A M n (R) admet au plus n valeurs propres distinctes.

121 Diagonalisation des matrices carrées Spectre et sous-espaces propres Preuve. (i) On a E λ = {v R n tels que (A λi n )v = 0} = Ker(f A λin ), où f A λin est l application linéaire associée à la matrice A λi n. Le noyau d une application linéaire est un espace vectoriel. (ii) Soient λ 1, λ 2 Sp(A) tels que v est un vecteur propre associé à λ 1, λ 2. Alors Av = λ 1 v et Av = λ 2 v λ 1 v = λ 2 v λ 1 v T v = λ 2 v T v λ 1 = λ 2.

122 Diagonalisation des matrices carrées Spectre et sous-espaces propres (iii) Soient A M n (R) et λ Sp(A) et v 1,..., v p E λ. On a : Av k = λv k pour tout k = 1,..., p. Si α 1,..., α p R, on a ( p ) p p p A α k v k = α k Av k = α k λv k = λ α k v k. Donc k=1 k=1 k=1 k=1 p α k v k est un vecteur propre associé à λ. k=1

123 Diagonalisation des matrices carrées Spectre et sous-espaces propres (iv) Soient λ 1,..., λ p des valeurs propres deux à deux distinctes associées à des vecteurs propres v 1,..., v p. Montrons par récurrence sur k que p α k v k = 0 α 1 = α 2 = = α p = 0. (1) k=1 Initialisation : pour k = 1, on a α 1 v 1 = 0 α 1 = 0 car v 1 0. Hypothèse de récurrence : supposons que p 1 α k v k = 0 α 1 = α 2 = = α p 1 = 0. (2) k=1

124 Diagonalisation des matrices carrées Spectre et sous-espaces propres Hérédité : Montrons que (2) (1). On a : p α k v k = 0 k=1 p 1 A k=1 ( p 1 p 1 k=1 α k v k = α p v p (a) ) α k v k = A (α p v p ) k=1 α k λ k v k = α p λ p v p. (b) D autre part, en multipliant (a) par λ p, on obtient : p 1 α k λ p v k = α p λ p v p. k=1 (c)

125 Diagonalisation des matrices carrées Spectre et sous-espaces propres (b) (c) entraînent que : p 1 α k (λ k λ p )v k = 0. k=1 Ce qui implique (grâce à (2)) que : Donc α 1 (λ 1 λ p ) = α 2 (λ 2 λ p ) = = α p 1 (λ p 1 λ p ) = 0. α 1 = α 2 = = α p 1 = 0, dès lors que les valeurs propres λ k sont supposées être deux à deux distinctes. On obtient aussi grâce à (a) que : α p v p = 0 c est à dire α p = 0.

126 Diagonalisation des matrices carrées Spectre et sous-espaces propres (v) Dans un espace de dimension n, une famille libre compte au plus n vecteurs. Il ne peut donc pas y avoir plus de n vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes.

127 Diagonalisation des matrices carrées Spectre et sous-espaces propres Détermination des espaces propres Nous avons vu que la détermination du spectre de A revient à trouver les racines de P A. On privilégiera donc une méthode qui donne une forme factorisée de ce polynôme. Pour chaque λ Sp(A), la détermination de l espace propre E λ, se fait en résolvant le système d équations (A λi n )v = 0. On peut également utiliser la méthode dite des co-facteurs présentée dans le théorème suivant.

128 Diagonalisation des matrices carrées Spectre et sous-espaces propres Théorème Soient A M n (R) et λ Sp(A) avec λ une racine simple de P A. Considérons une ligne de la matrice A λi n, choisie de sorte qu au moins un de ses coefficients admette un mineur non nul. Alors le vecteur constitué des co-facteurs associés aux coefficients de cette ligne est un vecteur propre associé à λ.

129 Diagonalisation des matrices carrées Spectre et sous-espaces propres Exercice. Soit A = /2 2 1 Déterminer le polynôme caractéristique de A. 2 Déterminer le spectre et les sous-espaces propres de A.

130 Diagonalisation des matrices carrées Spectre et sous-espaces propres Matrices symétriques définies positives Définition Soit A M n (R). On dit que : (i) A est orthogonale si A 1 = A T. (ii) A est définie positive si pour tout v R n, v 0, on a v T Av > 0 Lorsque l inégalité est large, on dit que A est semi-définie positive. (iii) L écriture v T Av s appelle forme quadratique.

131 Diagonalisation des matrices carrées Critères de diagonalisabilité Critères de diagonalisabilité Propriétés Soit A M n (R). (i) A est diagonalisable si et seulement si A possède une famille de vecteurs propres {v 1,..., v n } formant une base. (ii) Si A est symétrique alors toutes les valeurs propres de A sont réelles et A est diagonalisable. (iii) Si A est symétrique définie positive, alors toutes les valeurs propres de A sont positives.

132 Diagonalisation des matrices carrées Critères de diagonalisabilité Preuve. (i) Soient λ 1,..., λ n les valeurs propres de A associées aux vecteurs propres v 1,..., v n. Posons P = [v 1,..., v n ] et D = diag(λ 1,..., λ n ). La famille des vecteurs propres {v 1,..., v n } est libre si et seulement si P est une matrice carrée dont les colonnes sont linéairement indépendantes, c est à dire P GL n (R). De plus, d après la propriété de multiplication des matrices par blocs, on a : et AP = A[v 1,..., v n ] = [Av 1,..., Av n ] = [λ 1 v 1,..., λ n v n ] P D = [v 1..., v n ] diag(λ 1,..., λ n ) = [λ 1 v 1..., λ n v n ].

133 Diagonalisation des matrices carrées Critères de diagonalisabilité On obtient ainsi AP = P D, c est à dire P 1 AP = D, ce qui prouve que A est diagonalisable. (ii) Admis. (iii) Si λ est une valeur propre de A, associé au vecteur propre v, alors on peut écrire Av = λv i.e. λ = vt Av v T v > 0, si A est définie positive.

134 Diagonalisation des matrices carrées Critères de diagonalisabilité Définition Soient A M n (R) et p {1,..., n}. On dit que le polynôme caractéristique de A est scindé s il existe m 1..., m p N, tels que : P A (λ) = (λ 1 λ) m 1 (λ 2 λ) m 2... (λ p λ) mp, où λ 1..., λ p sont les valeurs propres de A. Les entiers m 1..., m p sont appelés les multiplicités de λ 1..., λ p, respectivement.

135 Diagonalisation des matrices carrées Critères de diagonalisabilité Propriétés (i) Si A admet p valeurs propres λ 1,..., λ p de multiplicités respectives m 1,..., m p, alors pour tout i = 1,..., p 1 dim(e λi ) m i. (ii) Si A admet n valeurs propres distinctes (i.e toutes de multiplicité 1), alors A est diagonalisable a. a. Attention : dans le cas contraire, A peut être ou ne pas être diagonalisable.

136 Diagonalisation des matrices carrées Critères de diagonalisabilité (iii) Plus généralement, A est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé, i.e et si P A (λ) = (λ 1 λ) m 1 (λ 2 λ) m 2... (λ p λ) mp, dim(e λ1 ) = m 1,..., dim(e λp ) = m p. a Dans ce cas A est semblable à la matrice ( ) D = diag λ 1,..., λ } {{ } 1, λ 2,..., λ 2,..., λ } {{ } p,..., λ p. } {{ } m 1 fois m 2 fois m p fois a. Les multiplicités m 1,... m p des valeurs propres λ 1,... λ p sont égales aux dimensions de leurs espaces propres respectifs.

137 Diagonalisation des matrices carrées Critères de diagonalisabilité Exercice. Soit A = Déterminer le polynôme caractéristique de A. Est-il scindé? 2 Préciser la multiplicité de chacune des valeurs propres de A. 3 A est-elle diagonalisable? 4 Trouver une matrice diagonale D semblable à A. 5 Déterminer les sous-espaces propres de A.

138 Diagonalisation des matrices carrées Critères de diagonalisabilité Théorème Soient p {1,..., n} et A M n (R) diagonalisable. Si pour tout j = 1,..., p, λ j est une valeur propre de A de multiplicité m j associée aux vecteurs propres v j1,..., v jmj, alors : (i) et P 1 AP = D avec P = [v 11,..., v pmp ] ( D = diag λ 1,..., λ } {{ } 1 m 1 fois, λ 2,..., λ } {{ } 2,..., λ p,..., λ p } {{ } m 2 fois m p fois ). (ii) Tr(A) = n m i λ i et det(a) = i=1 n i=1 λ m i i.

139 Diagonalisation des matrices carrées Critères de diagonalisabilité Remarque (i) L écriture P 1 AP = D s appelle décomposition de A en éléments propres. (ii) La propriété (ii) est aussi vraie lorsque A n est pas diagonalisable.

140 Diagonalisation des matrices carrées Critères de diagonalisabilité Théorème de Caylay-Hamilton Théorème Soit A M n (R). Alors P A (A) = 0 n. Exemple. A = ( ) Tr(A) = 5 et det(a) = 2 donc P A (λ) = λ 2 5λ 2. On vérifie que : A 2 5A 2I 2 = 0.

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