MATHEMATIQUES 1ère ANNEE : Cours de remise niveau de mathématiques élémentaires pour les étudiants de 1ère année de l UCTM - Sofia

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1 MATHEMATIQUES 1ère ANNEE : Cours de remise niveau de mathématiques élémentaires pour les étudiants de 1ère année de l UCTM - Sofia Philippe MORVAN Dimitar KOLEV Rennes/Sofia 2007

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3 Table des matières 1 Notion d ensemble 5 1 Appartenance, inclusion Union, intersection, complémentaire, produit Equations, systèmes d équations, inéquations 11 1 Equations polynomiales Equation du premier degré Résolution des équations du second degré Equation x n = a dans R Systèmes linéaires Système à 2 équations et 2 inconnues Gas général : la méthode du pivot de Gauss Inéquations Règles de calculs sur les inégalités Système de 2 inéquations à une inconnue Applications et fonctions numériques 23 1 Généralités sur les applications et les fonctions Définitions Notion de bijection Injection, Surjection Fonctions élémentaires Fonctions affines Fonctions quadratiques Fonction logarithme népérien Logarithme de base a Fonction exponentielle de base e Exponentielle de base a Etude de la fonction puissance Trigonométrie et fonctions circulaires 41 1 Définitions des fonctions circulaires Définitions de sin et cos Définitions de tan et cot Formulaire de trigonométrie

4 Table des matières 4

5 1 Notion d ensemble La plupart des objets mathématiques sont décrits en terme d ensembles : ensembles de nombres, ensemble des points ou des vecteurs du plan, ensemble des fonctions continues,... 1 Appartenance, inclusion On ne définira pas de manière précise la notion d ensemble : on retiendra juste qu un ensemble est une collection d objets. Ces objets peuvent être des nombres ou de n importe quelle autre nature. Exemple 1.1 {1, 2, 3}, N = {0, 1, 2,...} = ensemble des entiers naturels, {x R / x 2 2}, {vert, jaune, rouge},... Soit A un ensemble. La notation x A signifie que x appartient à A (ou que x est un élément de A). Sa négation est notée x / A et veut dire que x n est pas élément de A. On appelle ensemble vide et on note l ensemble qui n a aucun élément. Un ensemble ayant un unique élément x est appelé un singleton et sera noté {x}. Un ensemble ayant 2 éléments est appelé une paire : par exemple, les paires {x, y} et {x, y} sont en fait le même ensemble. Pour décrire un ensemble, on a deux possibilités : on énumère tous ses éléments. On dit que l on définit l ensemble en extension. on donne une propriété qui caractérise ses éléments. C est l écriture des ensembles la plus utilisée. On dit que l on définit l ensemble en compréhension. Exemple 1.2 L ensemble A = {1, 2, 3, 4, 5} est donné en extension. Une façon de l écrire en compréhension est A = {n N : 1 n 5} 5

6 1 Notion d ensemble Définition 1.3 (Notion de sous-ensemble) Une partie B de l ensemble A (ou un sous-ensemble de A), est un ensemble B dont tous les éléments appartiennent également à A. On dit aussi que B est inclus dans A et on note B A. Définition 1.4 (Ensemble des parties d un ensemble) L ensemble des parties de A est noté P (A) : si M est un sous-ensemble de A, on peut écrire M A ou bien M P (A). Exemple L ensemble A lui-même et l ensemble vide sont des sous-ensembles particuliers de A, donc des éléments de P (A). 2. Si A = {1, 2, 3}, alors P (A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A} 3. P ( ) = { }, P (P ( )) = {, { }},... Remarque 1.6 Pour deux ensembles A et B, si on a A B et B A, alors A = B. L inverse est aussi vrai : si on a A = B, alors A B et B A. Il y a donc l équivalence (A = B) (A B et B A). On utilise souvent cette équivalence pour prouver l égalité de deux ensembles. Exemple 1.7 Ensembles usuels de nombres On donne ci-dessous quelques ensembles de nombres à connaitre : N = {0, 1, 2, 3,...} = ensemble des entiers naturels Z = {, 3, 2, 1, 0, +1, +2, +3, } = ensemble des entiers relatifs Z + = {0, +1, +2, +3, } = ensemble des entiers relatifs positifs = N Z = {, 3, 2, 1, 0 } = ensemble des entiers relatifs négatifs = {+1, +2, +3, } = ensemble des entiers relatifs strictement positifs Z + Z = {, 3, 2, 1} = ensemble des nombres relatifs strictement négatifs Q = ensemble des nombres rationnels R = ensemble des nombres réels On a, de plus, les inclusions suivantes : N Z Q R. Exemple 1.8 Les nombres 1/5, 9/4, 0, 273, 1/3 = 0, Q, mais les nombres π, e, 2 sont des irrationnels, c est à dire que π, e, 2 / Q,. Ce sont des éléments de R\Q. 6

7 2 Union, intersection, complémentaire, produit 2 Union, intersection, complémentaire, produit Définition 2.1 (Intersection de 2 ensembles) Soient A, B des parties de M. L intersection de A et B est la partie de M formée des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B notée : A B = {x M : x A et x B} Exemple 2.2 Intersection d ensembles : (i) {1, 2} {rouge, blanc} =. On a ici A = {1, 2}, B = {rouge, blanc}. (ii) {1, 2, vert} {rouge, blanc, vert} = {vert}. (iii) {1, 2} {1, 2} = {1, 2}. Exemple 2.3 Soit p Z. On note pz, l ensemble des multiples de p dans Z. On a donc : pz = {kp avec k Z}. On considère l ensemble des nombres pairs, qui peut être noté 2Z et 3Z. On a alors : 2Z 3Z = 6Z. Exemple 2.4 Soient A, B R 2, leur intersection A B peut être représentée comme suit : Fig. 1.1: intersection de A et et B Définition 2.5 (Réunion de 2 ensembles) La réunion de A et B est la partie de M formée des éléments qui appartiennent à au moins une des deux parties A et B, notée : A B = {x M : x A ou x B} 7

8 1 Notion d ensemble Exemple 2.6 Réunion d ensembles : (i) {1, 2} {rouge, blanc} = {1, 2, rouge, blanc}. On a A = {1, 2}, B = {rouge, blanc}, A B = {1, 2} {rouge, blanc}. (ii) {1, 2, rouge, blanc} {rouge, blanc, vert} = {1, 2, rouge, blanc, vert}, (iii) {1, 2} {1, 2} = {1, 2}. Exemple 2.7 Soient A, B R 2, leur réunion A B R 2 peut être représentée comme suit : Fig. 1.2: réunion de A et B Définition 2.8 (Complémentaire d un ensemble) Soient E un ensemble et A un sous-ensemble de E. Le complémentaire de A dans E est la partie de E formée des éléments qui n appartiennent pas à A, notée C E A ou E\A ou encore Ā. On a donc : C E A = {x E : x / A}. On a les relations importantes suivantes : A B = Ā B et A B = Ā B Exemple 2.9 Complémentaires d ensembles : (i) {1, 2} \ {rouge, blanc} = {1, 2}, (ii) {1, 2, vert} \ {rouge, blanc, vert} = {1, 2}, (iii) {1, 2} \ {1, 2} =. Exemple 2.10 Soient A, B R 2, le complémentaire de B dans A, B \ A R 2 peut être représenté comme suit : 8

9 2 Union, intersection, complémentaire, produit Fig. 1.3: complémentaire de A dans E Définition 2.11 (produit cartésien d ensembles) Le produit cartésien des ensembles P et Q est l ensemble P Q des couples (x, y) où x appartient à P et y à Q : P Q = {(x, y) tel que x A et y B}. Plus généralement, le produit cartésien des ensembles P 1, P 2,..., P n, est l ensemble P 1 P 2... P n des n-uplets (x 1, x 2,..., x n ) où x 1 P 1,..., x n P n. Exemple Soient A = {,, } et B = {a, b}, le produit cartésien est A B = {(, a), (, b), (, a), (, b), (, a), (, b)}. 2. La notation R 2 désigne le produit cartésien R R, c est à dire l ensemble de tous les couples de réels. Plus généralement, la notation R n désigne le produit cartésien } R R {{... R }, n fois c est à dire l ensemble de tous les n-upplets de réels. Voir les livres : [1] - [3], [16] 9

10 1 Notion d ensemble 10

11 2 Equations, systèmes d équations, inéquations Les résultats de ce chapitre sont énoncés sur R. 1 Equations polynomiales 1.1 Equation du premier degré On considère l équation du 1er degré, ax + b = 0, où a, b R. (2.1) La résolution de cette équation amène à distinguer les cas suivants : 1er cas : si a 0, l équation admet une solution unique : x = b a. Le signe de l expression ax + b est alors x b a signe de ax + b signe de a 0 signe de a L interprétation géométrique d une telle équation est que la solution est l abscisse du point d intersection de la droite d équation y = ax + b et de l axe des abscisses. 2nd cas : si a = 0, alors 1. si b = 0, l ensemble des solutions est R. 2. si b 0, il n y a pas de solution. 11

12 2 Equations, systèmes d équations, inéquations 1.2 Résolution des équations du second degré Résolution Soient a, b, c R avec a 0. L équation se résout en calculant le discriminant et en considérant son signe. ax 2 + bx + c = 0, a 0, = b 2 4ac si > 0, l équation admet 2 racines réelles x 1 = b + 2a, x 2 = b. 2a On en déduit, pour x R, le signe de l expression ax 2 + bx + c : x x 2 x 1 signe de ax 2 + bx + c signe de a 0 signe de a 0 signe de a si = 0, l équation admet 1 racine réelle double : x 1 = b 2a. Dans ce cas, le signe de l expression ax 2 + bx + c pour x R est : x x 1 signe de ax 2 + bx + c signe de a 0 signe de a si < 0, l équation n admet pas de racine réelle. Le signe de l expression ax 2 + bx + c est, pour tout x R, le même que celui de a. Somme et produit des racines Soient les nombres a, b, c R, on considère l équation du second degré : ax 2 + bx + c = 0, a 0, où x est l inconnue. On suppose que cette équation admet deux racines x 1 et x 2 (éventuellement confondues) : cela revient à supposer 0. On a alors les deux relations suivantes entre les coefficients et les racines de l équation : x 1 + x 2 = b a et x 1 x 2 = c a. Il suffit de considérer le produit (x x 1 ) (x x 2 ). 12

13 1 Equations polynomiales Recherche de deux nombres dont on connait la somme et le produit Inversement, soient S et P des réels donnés. Le couple de réels (a, b) est solution du système, { a + b = S a b = P si et seulement si a et b sont les racines de l équation du second degré : 1.3 Equation x n = a dans R x 2 Sx + P = 0. (2.2) Soient a un réel donné et n N. On considère l équation d inconnue réelle x. x n = a, (2.3) 1er cas : si n est impair, l équation (2.3) admet une solution unique : x = a 1 n. 2ème cas : si n est pair, il y a 3 possibilités selon la valeur de a. Si a > 0, l équation (2.3) admet deux solutions : x = a 1 n et x = a 1 n. Si a = 0, l équation (2.3) admet une solution unique 0. Si a < 0, l équation (2.3) n a pas de solution. 13

14 2 Equations, systèmes d équations, inéquations 2 Systèmes linéaires 2.1 Système à 2 équations et 2 inconnues Considérons le système linéaire { a1 x + b 1 y = c 1, a 2 x + b 2 y = c 2, (2.4) où a i, b i, c i R (i = 1, 2) sont des réels donnés, ne s annulant pas simultanément. L inconnue est le couple de réels (x, y). On distingue plusieurs méthodes pour la résolution de ce système. 1. La méthode graphique. On utilise les graphes des équations a 1 x + b 1 y = c 1 et a 2 x + b 2 y = c 2 qui sont des droites du plan. Selon les positions respectives de ces droites, il y a 3 possibilités : a) si les droites se coupent en un unique point, ses coordonnées forment l unique solution du système (2.4), b) si les droites sont parallèles et distinctes, il n y a pas de solution au système (2.4), c) si les droites sont confondues, il y a une infinité de solutions au système (2.4). 2. La méthode de substitution. Si a 1 0, alors on obtient x en fonction de y dans la 1 re équation de (2.4), x = c 1 b 1 y a 1 et on remplace dans la 2 nde équation. Si a 1 b 2 a 2 b 1 0, on a alors une unique solution (x 0, y 0 ) telle que : x 0 = b 2c 1 b 1 c 2 a 1 b 2 a 2 b 1, y 0 = b 2c 1 b 1 c 2 a 1 b 2 a 2 b 1. (2.5) 3. La méthode de réduction. On élimine y et x dans les équations (2.4) et en multipliant la première équation par b 2, la seconde par b 1 et en les additionnant pour éliminer y. On fait de même pour x : + { a1 x + b 1 y = c 1 b 2 + a 2 x + b 2 y = c 2 ( b 1 ) (a 1 b 2 a 2 b 1 )x = b 2 c 1 b 1 c 2 { a1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 ( a 2 ) a 1 (a 1 b 2 a 2 b 1 )y = a 1 c 2 a 2 c 1 14

15 2 Systèmes linéaires Si a 1 b 2 a 2 b 1 0, alors on obtient une solution unique (x 0, y 0 ) qui correspondent aux formules (2.5). Si a 1 b 2 a 2 b 1 = 0, alors : i) si b 2 c 1 b 1 c 2 0 ou a 1 c 2 a 2 c 1 0 le système est incompatible, ii) si b 2 c 1 b 1 c 2 = 0 ou a 1 c 2 a 2 c 1 = 0, alors le système est compatible et il y a une infinité de solutions. 2.2 Gas général : la méthode du pivot de Gauss La méthode du pivot de Gauss est la méthode la plus efficace pour résoudre des systèmes linéaires à partir d un nombre d inconnues égal à 3. Le but est de ramener, à l aide d opérations élémentaires sur les lignes, le système a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,n x n = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,n x n = b 2. a m,1 x 1 + a m,2 x a m,n x n = b m, (2.6) où les variables x 1,..., x n sont des inconnues et a ij, b j (1 i n et 1 j m) sont des données réelles ou complexes non toutes nulles, à un système équivalent (c est à dire ayant les mêmes solutions) sous forme échelonnée qui se résout en remontant à partir de la dernière équation : a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + a 1,3 x a 1,n x n = b 1 ã 2,2 x 2 + ã 2,3 x ã 2,n x n = b 2 ã 3,3 x ã 3,n x n = b 3. (2.7)..... ã k,m k x m k ã k,n x n = b k Un tel système peut avoir une unique solution ou bien une infinité ou alors aucune solution. Cas particulier : suivante, si le système précédent est sous la forme dite triangulaire a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + a 1,3 x = b 1 ã 2,2 x 2 + ã 2,3 x = b 2 ã 3,3 x = b 3. ã n,n x n = b n avec autant d équations que d inconnues et les coefficients a 1,1, ã k,k, k = 2,..., n, tous non nuls, alors le système admet une solution unique. 15

16 2 Equations, systèmes d équations, inéquations Si le système n est pas échelonné, on utilise des opérations sur les lignes pour le mettre sous cette forme. Les opérations élémentaires autorisées sur les lignes sont : permuter 2 lignes ou plus, multiplier une ligne par un nombre non nul, ajouter à une ligne une combinaison linéaire des autres lignes. Plus précisément, si on considère le système (2.6), la suite des opérations à mener pour le transformer en un système équivalent échelonné est : étape 1 : si le coefficient a 1,1 n est pas nul, on l utilise comme pivot pour remplacer le système (2.6) par un système équivalent. On note que si a 1,1 est nul, on peut réordonner les équations de (2.6) de sorte que l inconnue x 1 apparaisse dans la première équation avec un coefficient non nul. étape 2 : pour chacune des équations L q, q = 2,..., m, on remplace cette ligne par l équation L q L q = L q a q,1 a 1,1, q = 2,..., m. On obtient alors le système équivalent : a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + a 1,3 x a 1,n x n = b 1 a 2,2x 2 + a 2,3x a 2,nx n = b 2 a 3,2x 2 + a 3,3x a 3,nx n = b a m,2x 2 + a m,3x a m,nx n = b m L inconnue x 1 n apparait plus que dans la première équation. étape 3 : on examine le nouveau système obtenu. Il se peut qu on a obtenu une équation de la forme 0 = b avec b 0 ou bien 2 équations clairement incompatibles : même parties gauches (à un coefficient multiplicatif près éventuellement) et des parties droites différentes. Dans ce cas, le procédé s arrête et le système n a pas de solutions! Il se peut également que 2 équations soient identiques (à un coefficient multiplicatif près). Dans ce cas, on peut en supprimer une des 2 avant de passer à l étape suivante. étape 4 : on reprend pour les lignes L q, q = 2,..., m, la démarche suivie à partir de l étape 1 en utilisant comme pivot a 2,2 (s il n est pas nul).... étape finale : à la fin, si on n est pas dans le cas d un système sans solution, le système est sous forme échelonnée (2.7). Selon les cas, on aura une solution unique si il y a le même nombre d équations et d inconnues ou bien une infinité de solutions si le nombre d équations est inférieur au nombre d inconnues.. 16

17 2 Systèmes linéaires Remarque On peut toujours multiplier une équation par un coefficient non nul. Ceci est intéressant dans le cas où le système initial n a que des coefficients entiers : on remplace alors l équation L q par une autre équation à coefficients entiers L q L q = a 1,1 L q a q,1 L Le choix du pivot est important : les calculs qui en découlent seront plus ou moins compliqués. Si c est possible, il est préférable d utiliser des pivots égaux à 1 quitte à permuter des lignes pour rendre ce choix possible. Exemple 2.2 Cas d un système à 3 équations et 3 inconnues : x + y + z = 1 1 x + y + z = 1 L 1 L 1 x y + 2z = 3 L 3 L 3 L 1 2x y + z = 2 L2 L 2 2L 1 ( 3) y z = 0 L 2 L 2 2y + z = 2 L3 3L 3 2L 2 x + y + z = 1 3y z = 0 5z = 6 On en déduit que le système admet une unique solution : z = 6/5, y = 2/5 et x = 1/5. On note qu un système à 3 équations et 3 inconnues peut avoir une solution unique, une infinité de solutions ou bien aucune solution! Exemple 2.3 Cas d un système à 4 équations et 3 inconnues : x + y + z = 1 1 x + y + z = 1 L 1 L 1 2x y + z = 2 L2 L 2 2L 1 x y + 2z = 3 L 3 L 3 L 1 x 3y z = 4 L 4 L 4 L 1. ( 3) y z = 0 L 2 L 2 2y + z = 2 L3 3L 3 2L 2 4y 2z = 3 L3 3L 4 4L 2 x + y + z = 1 3y z = 0 5z = 6 2z = 1 Les 2 dernières équations du système obtenu sont clairement incompatibles. Le système initial n admet donc pas de solution. Exemple 2.4 Cas d un système à 2 équations et 3 inconnues : { { 1 x + y + z = 1 L 1 L 1 x + y + z = 1 2x y + z = 2 L2 L 2 2L 1 3y z = 0 { x = 1 y z = 1 + 2y z = 3y. 17

18 2 Equations, systèmes d équations, inéquations Le système admet dans ce cas une infinité de solutions. On a choisi de paramétrer les solutions avec la variable y. Le choix d un autre paramêtre (ici x ou z) est tout à fait possible! Exemple 2.5 La méthode de Gauss est très bien adaptée aux systèmes avec paramêtres. Par exemple, si on considère le système suivant : x + y + mz = 1 mx y + 4z = 1 L 3 L 3 ml 1 x + my + 2z = 2 L2 L 2 +L 1. On le résout en utilisant comme premier pivot le coefficient 1 de x dans la première ligne. On obtient alors : x + y + mz = 1 (m + 1) y + (m + 2) z = 1 (m + 1) y + (4 m 2 ) z = 1 + m L3 L 3 +L 2. Si m + 1 0, on peut l utiliser comme pivot et on obtient : x + y + mz = 1 (m + 1) y + (m + 2) z = 1. (6 + m m 2 ) z = 2 + m Or 6 + m m 2 = (2 + m) (3 m). On en déduit que si m / { 1, 2, 3}, le système admet une solution unique qui est : m + 4 x = y = 3 + 2m m 2 1 2m 3 + 2m m 2 z = 1 3 m Il reste {a étudier les cas particuliers : 1. si m = 1, le second système se réécrit : x + y z = 1 z = 1 3z = 0 Ce système est clairement incompatible : pas de solution dans ce cas. 2. si m = 3, le troisième système se réécrit : x + y + 3z = 1 4y + 5z = 1 0 = 5 Ce système est clairement incompatible : pas de solution dans ce cas non plus

19 2 Systèmes linéaires 3. si m = 2, le troisième système se réécrit : x + y 2z = 1 y = 1 0 = 0. Il y a donc une infinité de solutions : { x = 2z y = 1. 19

20 2 Equations, systèmes d équations, inéquations 3 Inéquations Tous les nombres considérés dans ce paragraphe sont des réels. 3.1 Règles de calculs sur les inégalités 1. Soient les nombres a, b R. Si a b, alors 0 b a, et si 0 b a, alors a b. On a donc l équivalence suivante : a b 0 b a. Exemple 3.1 Pour démontrer l inégalité suivante (x, y) R, xy 1 2 (x2 + y 2 ), on écrit : 1 2 (x2 + y 2 ) xy = 1 2 (x y)2 0. On liste ci-dessous les propriétés des inégalités à connaitre. a) Addition d inégalités. { a a b b a + b a + b. Plus généralement, on peut toujours ajouter des inégalités de même sens : n n ( i {1, 2,..., n}, a i b i ) a i b i. b) Soustraction d inégalités. On se ramène à une addition en utilisant a b = a+( b). Par exemple, i=1 i=1 { a a b b { a a b b a b a b. c) Multiplication d une inégalité par un réel. On peut multiplier une inégalité par un réel positif : a b et t 0 t a t b. Quand on veut multiplier une inégalité par un nombre négatif, attention à ne pas oublier de changer le sens de l inégalité : a b et t 0 t a t b. 20

21 3 Inéquations Exemple 3.2 comme 7 < 9, en multipliant par le nombre 2, on a 14 > 18. On ne peut multiplier entre elles que des inégalités de même sens concernant des réel positifs. n n i {1, 2,..., n} 0 a i b i a i b i. d) Passage aux inverses dans une inégalité. La fonction qui à x associe 1 est strictement décroissante sur l intervalle (, 0) d une part et sur (0, + ) d autre part. On a donc, si a x et b sont non nuls et de même signe : a < b 1 b < 1 a. e) Division d inégalités. On se ramène à la multiplication par l inverse, en écrivant a b = a 1 b. Attention, on ne divise pas entre elles des inégalités, même entre nombres strictement positifs! i=1 i=1 Exemple 3.3 comme 2 < 3, en multipliant par le nombre 1 4, on obtient 1 2 > 3 4. f) Valeur absolue. Définition : Propriétés : a = max (a, a) = { a si a 0 a si a 0. a R, a a a, (a, b) R 2, (a, b) R 2, ab = a b, a + b a + b, a 1, a 2,..., a n R, n a i n a i, i=1 i=1 (a, b) R 2, a b a b, (a, b) R 2, a b a + b. 21

22 2 Equations, systèmes d équations, inéquations 3.2 Système de 2 inéquations à une inconnue Soient a, b, c, d > 0 tels que l on a la relation b a < d c. On considère le système de deux inégalités linéaires à une inconnue : { ax + b > (<)0 cx + d > (<)0 ou { ax + b > (<)0 cx + d < (>)0. Alors, les solutions de ce systèmes peuvent être de la forme : x > d c, x < b a ou b ( a < x < d c, x < b ) a et x > d c (dans ce cas, le système est incompatible) Exemple 3.4 Considérons le système { x 1 > 0 3x + 2 > 0. Alors x > 1 et x > 2. Les solutions du système sont donc les x réels 3 appartenant à ]1, + [ ] 23 [, + = ]1, + [. Exemple 3.5 Considérons le système { x x + 5 > 0. Alors x 4 et x > 5. Les solutions du système sont donc les x réels 2 appartenant à ], 4] ] 52 [, + = ] 52 ], 4. Voir les livres : [1] - [7], [9] - [17]. 22

23 3 Applications et fonctions numériques 1 Généralités sur les applications et les fonctions 1.1 Définitions. Soient E et F deux ensembles. La notation f : E F désigne une application de E dans F, c est à dire une relation qui associe à tout élément x de E (dit ensemble de départ) une unique image y = f(x) dans F (dit ensemble d arrivée). On dit que y est l image de x par f ou que x est un antécédent de y par f. On note que l image d un élément est toujours unique. Par contre, un élément y F peut avoir un antécédent ou plusieurs ou alors aucun. On appelle image de A le sous-ensemble de F, noté f(a) tel que, f(a) = {y F : x E, y = f(x) }. Définition 1.1 (Fonction numérique) Soit D une partie de R : en général, D sera un intervalle ou une réunion d intervalles de R. Une fonction numérique est une application f : D M R qui, à tout réel x D, associe un réel unique y = f(x) R. La partie D de R, ensemble de départ de f, est appelée domaine de définition de la fonction f. Dans la relation ci-dessus, la variable x est dite indépendante et la variable y variable dépendante. Exemple 1.2 La relation y = ax + b (a, b R) définit une fonction affine, f : R R telle que f(x) = ax + b. 23

24 3 Applications et fonctions numériques Par contre, la relation y 2 = ax + b ne permet pas de définir une fonction. Elle n est qu une relation entre x et y : en effet, à la plupart des x, on peut faire correspondre 2 valeurs de y. Définition 1.3 (Graphe d une fonction) Soit f une fonction numérique, définie sur l ensemble de définition et à valeurs dans M R. Le graphe Γ f de la fonction f est le sous-ensemble de R R défini par l égalité, Γ f = {(x, y) : x D, y Met y = f(x)}. Un tel graphe peut être représenté comme une courbe de R 2. On parle également de courbe représentative de la fonction f. Attention, le graphe de la fonction et la fonction sont deux objets mathématiques différents. La graphe n est qu un ensemble (qui représente la fonction). Exemple 1.4 Soit la relation y = f(x) entre la variable indépendante x D R (ici D est l ensemble de définition de la fonction f) et la variable dépendante y M R (M est l image de la fonction f). Un exemple de graphe d une telle fonction est représenté ci-dessous : Fig. 3.1: graphe de f : D M 24

25 1.2 Notion de bijection 1 Généralités sur les applications et les fonctions Définition 1.5 (Bijection) Soit f une application de D dans M. On dit que f est bijective si tout élément de l ensemble d arrivée M admet un unique antécédent dans D par f. Autrement dit, pour tout élément y de M, l équation y = f(x), d inconnue x admet une unique solution. Définition 1.6 (Application réciproque d une bijection) Soit f une bijection de D dans M. L application de M dans D qui associe à tout élément y M son unique antécédent x dans D est appelée application réciproque de f et est notée f 1 en général. On a donc : (x, y) D M, y = f(x) x = f 1 (y). Exemple 1.7 a) La relation y = 2x + 1 (D = R, M = R) définit une bijection de R dans lui même. La fonction réciproque est définie par la relation x = (1/2)(y 1). b) Les fonctions ln : R + R et exp : R R + sont des fonctions réciproques l une de l autre. Proposition 1.8 (Propriétés des bijections) a) Soit f une bijection de D dans M. Alors, on a : i. x D, f 1 (f(x)) = x, c est à dire que f 1 f = I D, ii. y M, f(f 1 (y)) = y, c est à dire que f f 1 = I M, où I D et I M sont les applications identités qui agissent respectivement sur D et M. b) Si g est une bijection de D dans M et h une bijection de M dans N, alors la composée h g est une bijection de D dans N et on a : 1.3 Injection, Surjection (h g) 1 = g 1 h 1. Définition 1.9 (Injection, Surjection) Soit f une application de D dans M. a) On dit que f est injective si tout élément de M admet au plus un antécédent dans D. Pour tout élément y de M, l équation y = f(x), d inconnue x dans D admet au plus une solution, ce qui équivaut à : (x, x ) D D, f(x) = f(x ) x = x. 25

26 3 Applications et fonctions numériques b) On dit que f est surjective si tout élément de M admet au moins un antécédent dans D. Pour tout élément y de M, l équation y = f(x), d inconnue x dans D admet au moins une solution, ce qui équivaut à : y M, x D, y = f(x). Proposition 1.10 (Propriétés) a) Une application f est bijective si et seulement si f est à la fois injective et surjective. b) L application f : D M est surjective si et seulement si f(d) = M. 26

27 2 Fonctions élémentaires. 2 Fonctions élémentaires. 2.1 Fonctions affines Ce sont les fonctions f définies par la relation : f(x) = ax + b, a, b R, où x est la variable indépendante. On a D = R, M = R. Le graphe d une fonction affine est une droite du plan. Le nombre a est appelée coefficient directeur de la droite et b est l ordonnée à l origine. Si a est nul, alors la fonction f est constante. Si b est nul, alors la fonction est dite linéaire et sa droite représentative passe par l origine. La représentation graphique d une droite d équation y = ax + b est donnée ci-dessous : Fig. 3.2: droite d équation y = ax + b Exemple 2.1 On donne ci-dessous quelques graphes pour différentes valeurs de a et b : 27

28 3 Applications et fonctions numériques Fig. 3.3: f (x) = ax + b pour quelques valeurs de a et b On note que les droites d équations x = a où a R, ne représentent pas des fonctions de la variable x. 2.2 Fonctions quadratiques Ce sont les fonctions f définies par la relation : f(x) = ax 2 + bx + c, a, b, c R et a 0, où x est la variable indépendante. On a D = R, M = R. On appelle discriminant le nombre = b 2 4ac. La valeur de ce discriminant permet de donner les différents graphes possibles de ces fonctions quadratiques. a) Si b 2 4ac > 0, alors l équation f(x) = 0, c est à dire ax 2 + bx + c = 0, a deux racines réelles distinctes x 1 et x 2. Les deux graphes possibles sont : 28

29 2 Fonctions élémentaires. cas a > 0 cas a < 0 Fig. 3.4: représention graphique si b 2 4ac > 0 b) Si b 2 4ac = 0, alors la même équation f(x) = 0 a une unique racine réelle, c est à dire que x 1 = x 2. Les deux graphes possibles sont : cas a > 0 cas a < 0 Fig. 3.5: représention graphique si b 2 4ac = 0 c) Si b 2 4ac < 0, alors l équation f(x) = 0 n a pas de racine réelle. Les deux graphes possibles sont : 29

30 3 Applications et fonctions numériques cas a > 0 cas a < 0 Fig. 3.6: représention graphique si b 2 4ac < 0 Dans ce cas, le signe de l expression f(x) est le même que celui de a. 2.3 Fonction logarithme népérien Définition : La fonction x 1 est continue sur ]0, + [. Elle admet donc des primitives sur cet intervalle. x On appelle fonction logarithme népérien et on note ln, l unique primitive de x 1 x qui s annule en 1. On en déduit que : x > 0, ln (x) = 1 x et ln 1 = 0. Par définition, la fonction ln est dérivable et continue sur ]0, + [ et sa dérivée y est strictement positive. D où ln est strictement croissante sur ]0, + [. Elle réalise donc une bijection de ]0, + [ dans ln (]0, + [) = R. D où : a) 1 a un unique antécédent (noté e) par ln. Le nombre e est un irrationnel tel que 2 < e < 3 et plus précisément : e 2, b) x, y > 0, ln x = ln y x = y et ln x < ln y x < y. Logarithme d un produit : On pose f(x) = ln(ax). En dérivant cette expression, on vérifie que f est aussi une primitive de x 1 sur ]0, + [. Par suite, f ne diffère de ln x que d une constante que l on détermine en prenant x = 1. D où la formule : 30

31 2 Fonctions élémentaires. x, y > 0, ln (xy) = ln x + ln y. Logarithme d un quotient : On déduit de la formule précédente que : x, y > 0, ln ( ) ( ) 1 x = ln y et ln = ln x ln y. y y Pour la première égalité, on applique le résultat précédent pour a = 1/b. Pour la seconde, on écrit que a/b = a 1/b et on applique le résultat précédent. Logarithme d une puissance : Par exemple, on a ln a = 1 ln a. 2 x > 0, p Q, ln (x p ) = p ln x. Cette propriété se démontre comme suit. Par récurrence sur p, on obtient la formule pour tout p N. Ensuite, on considère q N et on obtient ( ) ln a = ln a 1 q ( ) q = q ln a 1 q. D où ln a 1 q = 1 ln a et ln a p 1 q q = ln a q p = p ln a. On conclut pour les rationnels q négatifs à l aide de la propriété précédente. Etude de la fonction ln On a vu que ln est strictement croissante sur ]0, + [. On a de plus les limites suivantes : On a également l inégalité : lim ln x = et lim ln x = +. x 0 + x + x R +, ln x x + 1. Ceci se démontre facilement en étudiant les variations de la fonction g (x) = ln x (x + 1). 31

32 3 Applications et fonctions numériques Représentation graphique L étude précédente permet de tracer la courbe représentative de la fonction ln. On remarque en particulier que celle-ci admet une branche parabolique de direction asymptotique (Ox). Fig. 3.7: la fonction ln On note que les droites représentées sur le graphe ci-dessus sont respectivement y = x 1, tangente à la courbe représentant ln au point (1, 0) et y = x/e, tangente au point (e, 1). Autres limites importantes : ln (1 + x) lim x 0 x ln x = 1 et lim x 1 x 1 = 1. En effet, on a ln x ln x ln 1 ln x = et donc lim = x 1 x 1 x 1 x 1 ln (1) = 1. Le premier résultat se déduit du second ou se démontre de la même façon. Croissance comparée de ln et Id R Proposition 2.2 (croissance comparée) ln x lim x + x = 0 et lim +x ln x = 0. x 0 32

33 2 Fonctions élémentaires. Preuve. Soit la fonction f définie sur ]0, + [ par f (x) = ln x x. On montre que f est croissante sur ]0, 4] et décroissante sur [4, + [. D où c est à dire que ln x x 0 et On a donc : x > 0, f (x) f (4) 0, x > 0, ln x x x x = 1 x. x > 1, 0 ln x x 1 x. Le premier résultat se déduit du théorème des gendarmes. Pour le second, on note que ln (1/x) x ln x = 1/x et le résultat précédent permet de conclure. Notion de dérivée logarithmique Si la fonction u est dérivable et strictement positive sur l intervalle I, alors la fonction ln u est dérivable sur I et sa fonction dérivée est u u. Cette fonction est appelée dérivée logarithmique de u. Remarque 2.3 Si u est strictement négative, on a (ln ( u)) = u u = u u. On peut donc dire que si la fonction u est dérivable et ne s annule pas sur l intervalle I, alors la fonction f = u admet des primitives sur I et ces u primitives sont de la forme F = ln ( u ) + cte. 2.4 Logarithme de base a Soit a > 0 et différent de 1. On pose x R +, log a x = ln x ln a. On a notamment log a a = 1. La fonction ln est parfois appelée logarithme de base e. La dérivée de la fonction log a est alors : x R +, log a (x) = 1 ln a 1 x. 33

34 3 Applications et fonctions numériques Le signe de cette dérivée et donc le sens de variation dépend de la valeur de ln a. Parmi les fonctions logarithmes les plus utilisées, on peut citer la fonction logarithme de base 10 ou logarithme décimal notée log ou lg en général, ainsi que la fonction logarithme de base 2 qui est utile dans l étude de la complexité des algorithmes en informatique. Exemple 2.4 Soient y = log 2 x, y = ln x et y = log x, donc x > 1, log 2 x > ln x > log x. Lorsque x = 1, elles ont toutes la même valeur nulle. Si x < 1, alors on a log 2 x < ln x < log x. Fig. 3.8: graphes de y = log 2 x, y = ln x et y = log x Exemple 2.5 Soient y = log 1/2 x et y = log 1/10 x, donc x > 1, log 1/2 x > log 1/10 x. Lorsque x = 1, elles ont la même valeur nulle. Si x < 1, log 1/2 x < log 1/10 x. 34

35 2 Fonctions élémentaires. Fig. 3.9: graphes de y = log 1/2 x et y = log 1/10 x 2.5 Fonction exponentielle de base e Définition et notation La fonction ln est définie, continue et strictement croissante sur ]0, + [. Elle réalise donc une bijection de ]0, + [ sur R. Sa bijection réciproque, définie sur R, est appelée fonction exponentielle de base e et notée exp e ou exp. On a donc : y = exp e x x = ln y et y ]0, + [. Pour r Q, ln (exp e r) = r. Or ln (e r ) = r donc exp e r = e r. Cette propriété, vraie sur Q, est adoptée comme notation sur R. Premières propriétés Les propriétés suivantes se déduisent de celles de ln en utilisant les résultats sur les fonctions réciproques : y = e x x = ln y, x R, e x > 0, exp e est définie, continue et strictement croissante sur R, exp e est dérivable sur R et x R, (exp(x)) = exp(x). De la formule du logarithme d un produit, on déduit que x, y R, e x+y = e x e y. 35

36 3 Applications et fonctions numériques Variations et représentation graphique exp e est croissante sur R, e 0 = 1 et e 1 = e. La fonction exponentielle étant la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien, sa courbe représentative dans un repère orthonormé est la courbe symétrique par rapport à la droite d équation y = x de celle de la fonction ln. Fig. 3.10: les fonctions ln et exp Limites On déduit les limites suivantes des propriétés des fonctions réciproques : On a également, lim x ex = 0 et lim x + ex = +. e x lim x + x e x 1 = + et lim x 0 x = 1. La dernière limite étant la limite du taux d accroissement en Exponentielle de base a Définition Soit a > 0, a 1. La fonction log a est continue et strictement monotone sur ]0, + [. Elle réalise donc une bijection de ]0, + [ sur R. Elle admet une fonction réciproque définie sur R appelée fonction exponentielle de base a et notée exp a. On a donc : x R, exp a (x) = e x ln a. 36

37 2 Fonctions élémentaires. Notation Pour tout r Q, log a (exp a r) = r. Or log a (a r ) = r log a a = r donc exp a r = a r. Cette propriété vraie sur Q est adoptée comme notation sur R. y = exp a x x = log a y, soit D où x = ln y ln a ou encore x ln a = ln y. y = exp a x y = e x ln a. En convenant que x R, 1 x = e x ln 1 = 1, on a : a > 0, x R, a x = e x ln a. Exemple 2.6 On donne ci-dessous les graphes des 3 fonctions exp 2, exp et exp 4. On a ainsi que 2 0 = e 0 = 4 0 = 1. x > 0, 2 x < e x < 4 x et x < 0, 4 x < e x < 2 x, Fig. 3.11: graphes de y = 2 x, y = e x et y = 4 x Exemple 2.7 On donne ci-dessous les graphes des 3 fonctions exp 1/4, exp 1/2 et exp 1/ e. On a x > 0, ( ) x 1 < 4 ( ) x 1 et x < 0, 2 ( ) x 1 < 2 ( ) x

38 3 Applications et fonctions numériques Fig. 3.12: graphes de y = a x pour a { 1, 1, } 1 2 e 4 Propriétés Elles se déduisent de celles de l exponentielle de base e. En particulier, pour tous x, y R et tous a, b > 0, on a : a x+y = a x a y a xy = (a x ) y = (a y ) x a x y = ax ( a y a ) x (ab) x = a x b x a x = b b x a x < a y lorsque a > 1 et m < n a x > a y lorsque 0 < a < 1 et m < n 2.7 Etude de la fonction puissance Définition Pour tout réel a, on appelle fonction puissance a, la fonction f a définie sur ]0, + [ par f a (x) = x a = e a ln x, avec la convention 1 a = 1. Remarque 2.8 La notation f a = x a désigne bien une fonction définie uniquement sur ]0, + [ : il faut pouvoir calculer ln x. Cependant, si a est fixé, le domaine de définition de f a peut être étendu dans le cas où a est entier. Attention, pour a rationnel, il faudra parfois distinguer deux notations : par exemple, x x 1 3 est définie sur ]0, + [, mais x 3 x est définie sur R comme fonction réciproque de la fonction x x 3 qui est bijective de R dans lui même. 38

39 2 Fonctions élémentaires. Variations et représentation La fonction f a est continue et dérivable sur ]0, + [ comme composée de fonctions dérivables et on a : f a (x) = a x ea ln x = ax a 1. Les variations de f a dépendent donc du signe de a. Les limites en 0 et + sont immédiates. L étude des branches infinies conduit à distinguer trois cas : si a < 0, la fonction est décroissante de + vers 0. si 0 < a < 1, la fonction est croissante de 0 vers +. Il y a une tangente verticale en 0 et une branche parabolique de direction asymptotique l axe des abscisses. si a > 1, la fonction est croissante de 0 vers +. Il y a une tangente horizontale en 0 et une branche parabolique de direction asymptotique l axe des ordonnées. Fig. 3.13: les fonctions x a Remarque 2.9 Si a 0, f a réciproque est f 1. a est bijective de ]0, + [ sur ]0, + [ et sa 39

40 3 Applications et fonctions numériques 40

41 4 Trigonométrie et fonctions circulaires 1 Définitions des fonctions circulaires On définit les fonctions sinus, cosinus, tangente et cotangente en utilisant le cercle trigonométrique, c est à dire le cercle de rayon égal à 1 et de centre l origine d un repère orthonormé. 1.1 Définitions de sin et cos. Soit a un réel quelconque. On considère le point M situé sur le cercle trigonométrique tel que a soit la mesure de l angle (Ox, OM). On définit le sinus (respectivement le cosinus) de l angle a comme étant est la projection orthogonale sur l axe des ordonnées (resp. projection orthogonale sur l axe des abscisses) comme sur la figure ci-dessous : Fig. 4.1: définition de sin a et cos a On en déduit les propriétés élémentaires suivantes : 41

42 4 Trigonométrie et fonctions circulaires a R, 1 sin a 1, 1 cos a 1, sin 2 a + cos 2 a = 1. Les propriétés importantes suivantes se déduisent aussi aisément de la définition : et a R, sin( a) = sin a et sin(π a) = sin a. a R, cos( a) = cos a et cos(π a) = cos a. On peut alors définir les deux fonctions sin et cos sur R tout entier. Ce sont des fonctions 2π périodiques, c est à dire que x R, cos (x + 2π) = cos x et sin (x + 2π) = sin x. Pour étudier ces deux fonctions, on commence par réduire l intervalle d étude : La périodicité entraine qu il suffit de les étudier sur l intervalle [ π, π] : les courbes représentatives sont invariantes par translation horizontale de longueur un multiple de 2π. cosinus est paire et sinus impaire, l étude peut donc être réduite à [0, π] : la droite d équation x = 0 est axe de symétrie pour la courbe représentative de cosinus et le point O est centre de symétrie pour celle de sinus. De la relation cos (π x) + cos x = 0, on déduit que la courbe représentative de cosinus est symétrique par rapport au point de coordonnée ( π 2, 0). De même, sin (π x) = sin x et la courbe représentative de sinus est symétrique par rapport à la droite d équation x = π 2. On peut donc réduire l étude de ces deux fonctions à l intervalle [ 0, π ]. 2 Le calcul des dérivées donne : x R, sin (x) = cos x et cos (x) = sin x. On en déduit que sin est croissante et cos décroissante sur graphes de ces 2 fonctions : [ 0, π ]. D où les 2 42

43 1 Définitions des fonctions circulaires Fig. 4.2: graphe de la fonction sin Fig. 4.3: graphe de la fonction cos 43

44 4 Trigonométrie et fonctions circulaires 1.2 Définitions de tan et cot. On définit la tangente de l angle a et on note tan a, le quotient de sin a par cos a si il existe : Pour tout réel a π 2 + kπ (k Z), tan a = sin a cos a et 1 + tan2 a = 1 cos 2 a. Graphiquement, le nombre tan a est la longueur algébrique de la ligne vertical noire sur le dessin suivant : Fig. 4.4: définition de tan a On définit alors la fonction tan qui est π-périodique et impaire. Un calcul élémentaire donne sa dérivée : { π } x R\ 2 + kπ avec k Z, tan (x) = 1 + tan 2 x = 1 cos 2 x. On en déduit son graphe : 44

45 1 Définitions des fonctions circulaires Fig. 4.5: graphe de la fonction tan On définit la fonction cotangente et on note cot a ou cotan a, le quotient de cos a par sin a si il existe : Pour tout réel a kπ (k Z), cot a = cos a sin a = a et 1 + cot2 a = 1 sin 2 a. Le nombre cot a est la longueur de la sécante horizontale noire sur le dessin ci-dessous : Fig. 4.6: définition de cot a La fonction cot est π-périodique et impaire. Un calcul élémentaire donne sa dérivée : x R\ {kπ avec k Z}, cot (x) = 1 + cot 2 x = 1 sin 2 x. 45

46 4 Trigonométrie et fonctions circulaires On en déduit son graphe : Fig. 4.7: graphe de la fonction cot On a aussi la relation x kπ (k Z), cot x = 1 tan x 46

47 2 Formulaire de trigonométrie a) Formules élémentaires : 2 Formulaire de trigonométrie cos 2 a + sin 2 a = 1 cos (a + 2π) = cos x sin (a + 2π) = sin x b) Dérivées des fonctions circulaires : x R, sin (x) = cos x et cos (x) = sin x { π } x R\ 2 + kπ avec k Z, tan (x) = 1 + tan 2 x = 1 cos 2 x. x R\ {kπ avec k Z}, cot (x) = 1 + cot 2 x = 1 sin 2 x. c) Tableau de valeurs particulières : Les valeurs particulières des fonctions sin, cos et tan aux points particuliers suivants sont à connaitre absolument : π x 0 6 cos x 1 1 sin x tan x 0 π π 3 1 π π d) Formules trigonométriques : A partir des lignes trigonométriques de a, on peut obtenir sans calculs celles de a, a + π, π a, π 2 a, π 2 + a : cos ( a) = cos a sin ( a) = sin a tan ( a) = tan a cos (a + π) = cos a sin (a + π) = sin ( a) tan (a + π) = tan a cos (π a) = cos a sin(π a) = sin a tan(π a) = tan a cos ( π = sin a sin ( ( π π ) + a) = cos a 2 2 tan 2 + a = 1 ( tan a π ) cos 2 a = sin a sin ( ( π π ) a) = cos a 2 tan 2 a = 1 tan a 47

48 4 Trigonométrie et fonctions circulaires On peut aussi retenir ces formules sous la forme de schémas : a, a, π + a, π a a, π 2 a, π 2 + a Fig. 4.8: lignes trigonométriques des angles associés à a e) Formules d addition : cos (a + b) = cos a cos b sin a sin b sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b tan (a + b) = tan a + tan b 1 tan a tan b cos (a b) = cos a cos b + sin a sin b sin (a b) = sin a cos b cos a sin b tan (a b) = tan a tan b 1 + tan a tan b 48

49 2 Formulaire de trigonométrie En particulier, quand a = b, on a : cos 2a = cos 2 a sin 2 a = 2 cos 2 a 1 = 1 2 sin 2 a sin 2a = 2 sin a cos a tan 2a = 2 tan a 1 tan 2 a f) Transformation de sommes en produits : Les formules suivantes de transformation de sommes en produits se déduisent des formules d addition vues plus haut : cos p cos q = 2 sin p + q 2 sin p + sin q = 2 sin p + q 2 sin p q 2 cos p q 2 cos p + cos q = 2 cos p + q 2 sin p sin q = 2 cos p + q 2 cos p q 2 sin p q 2 g) Changement de variable : Les fonctions circulaires peuvent s exprimer en fonction de t = tan a 2. Ce résultat sera utile pour le calcul intégral et, en particulier, le calcul des primitives des fractions rationnelles en sinus et cosinus. cos a = 1 t2 2t, sin a = et tan a = 2t 1 + t2 1 + t 2 1 t. 2 h) Quelques limites classiques : i. En utilisant la limite du taux d accroissement de la fonction sin en 0, on obtient : sin x lim x 0 x = 1. ii. La fonction cosinus est dérivable en 0 de nombre dérivé sin 0 = 0 donc : cos x 1 lim = 0. x 0 x iii. On déduit du 1er résultat et de la continuité de cosinus en 0 que : tan x lim x 0 x = 1. 49

50 4 Trigonométrie et fonctions circulaires iv. On a également cos x 1 lim = 1 x 0 x 2 2. Voir les livres : [1] - [7], [18] - [33]. 50

51 Bibliographie [1] Ph. Morvan, Mathematiques et Maple 1ère Année (les lectures pour ENSCR), Rennes, 2007 (382p.). [2] S. Martin, J. Ponsaud, J. Turner, Maths (MPSI-PCSI-PTSI), édition spéciale, HACHETTE Livre, 2003 (176p.). [3] J.-P. Bouvier, J. Chadenas, P. Daudin, A. Leroy, Y. Olivier. A. Pressiat, MATH terminales CE, Geometrie (programme 1991), BELIN, 1992 (326p.). [4] Ch.G. Lozanov, T.A. Vitanov & P.S Nedevski Mathematics for 9-th class, Anubis, Sofia, [5] Ch.G. Lozanov, T.A. Vitanov & P.S Nedevski Mathematics for 10-th class, Anubis, Sofia, [6] Ch.G. Lozanov, T.A. Vitanov & P.S Nedevski Mathematics for 11-th class, Anubis, Sofia, [7] Ch.G. Lozanov, T.A. Vitanov, P.S Nedevski & Ev.Stoimenowa Mathematics for 12-th class, Anubis, Sofia, [8] B.D. Milkoeva & S.K. Beev, Mathematical Handbook, Vega-74, Bulgaria, [9] http ://en.wikipedia.org/wiki/bounded _function [10] http ://en.wikipedia.org/wiki/cube_% 28geometry %29 [11] http ://en.wikipedia.org/wiki/euclidean_plane#axiomatic_approach [12] http ://en.wikipedia.org/wiki/even_function [13] http ://en.wikipedia.org/wiki/exponent [14] http ://en.wikipedia.org/wiki/frustum [15] http ://en.wikipedia.org/wiki/graph_(functions) [16] http ://en.wikipedia.org/wiki/integers [17] http ://en.wikipedia.org/wiki/logarithm [18] http ://en.wikipedia.org/wiki/trigonometric_functions#right_triangle_definitions [19] http :// [20] Eric W. Weisstein, Cartesian Product. From MathWorld A Wolfram Web Resource, http ://mathworld.wolfram.com/cartesianproduct.html 51

52 Bibliographie [21] Eric W. Weisstein, Euclidean Geometry. From MathWorld A Wolfram Web Resource, http ://mathworld.wolfram.com/euclideangeometry.html [22] Eric W. Weisstein, Exponent. From MathWorld A Wolfram Web Resource, http ://mathworld.wolfram.com/exponent.html [23] Eric W. Weisstein, Function. From MathWorld A Wolfram Web Resource, http ://mathworld.wolfram.com/function.html [24] Eric W. Weisstein, Periodic Function. From MathWorld A Wolfram Web Resource, http ://mathworld.wolfram.com/periodic#function.html [25] Eric W. Weisstein, Polyhedron. From MathWorld A Wolfram Web Resource, http ://mathworld.wolfram.com/polyhedron.html Prism. From MathWorld A Wolfram Web Resource, http ://mathworld.wolfram.com/prism.html [26] http ://planetmath.org/encyclopedia/coplanar.html%incidence [27] http ://planetmath.org/encyclopedia/increasingdecreasingmonotonefunction.html [28] http ://planetmath.org/encyclopedia/nthroot.html [29] http :// [30] http :// /lecture_notes / precalculus_algebra_folder / increasing _and _ ecreasing _functions.htm [31] http :// [32] http :// [33] http :// 52