Chapitre 2 Maîtrise des flux. - Chapitre 2 - Maîtrise des flux

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1 - - Facteurs agissant sur les flux Les modèles pour les SP Les réseaux de files d attente 1 Facteurs agissant sur les flux Au niveau physique : L implantation Le nombre de machines Automatisation (robots, chariots filo-guidés, ) Flexibilité des postes (CN, lignes de transfert, ) Nombre et spécialisation du personnel Le stockage (emmagasinage, zones tampons, ) Au niveau gestion : Stratégie d affectation des ressources Règles de choix des tâches en attente Règles de gestion des stocks et des approvisionnements Politiques de maintenance

2 Moyens d étude d un système ETUDE D'UN SYSTEME Buts de connaissance: - comprendre comportement - prédire comportement - dimensionner/optimiser Existence? Expérimentation avec le système réel Coût? Perturbations? Temps? Souplesse? (p.ex. implantation d une nouvelle politique de gestion de production) Expérimentation avec un modèle du système Modèle physique Modèle mathématique Abstraction/ Simplification Entités (attributs) Relations Modèle analytique Modèle de simulation souple rapide 2. 3 Modélisation d un système Un système: : le système (existant ou pas) auquel se réfère le modèle Un modèle: : une représentation simplifiée et abstraite du système Un objectif: : le(s) but(s) pour lequel le modèle a été élaboré Un critère de rentabilité: : un critère économique qui justifie l utilisation du modèle en lieu et place du système

3 Les modèles analytiques Les modèles sont des modèles mathématiques Les résultats sont obtenus par calcul Exemples : Les réseaux de files d attente (Queuing Networks) L analyse opérationnelle (algèbre de dioïdes) Les réseaux de Petri Les processus et chaînes de Markov 2. 5 Exemples de modèles analytiques : gestion des stocks Calcul mathématique sur les moyennes Éléments : variables et constantes Interactions : opérateurs mathématiques stock Q... Qe = 2NL a.t Stock de sécurité T T temps

4 Exemple : guichet de banque Objectifs: Comprendre le système Réduire les temps d attente (moyen, max.) Alternatives 1 ou 2 guichets 1 ou 2 files d attente Exemple: guichet de banque 2. 7 Modélisation du problème par les files d attente C3 C2 C1 Système arrivée de clients file d attente guichet fin du service Modèle générateur de clients file d attente serveur out

5 Schéma des alternatives file d attente guichet file d attente guichet guichet file d attente guichet file d attente guichet 2. 9 Acquisition des données temps d attente des clients distribution du temps d inter-arrivée des clients distribution des temps de service des clients en gras: les données en entrée en italique: les données en sortie

6 Généralités Les RFA Etude d une file d attente M/ M/ 1 Le théorème de Jackson Mesure des performances des RFA Généralités Une station de service dans un SP est un système aléatoire composé de 1 file d attente 1 ou plusieurs serveurs exécutant des tâches identiques Un réseau de files d attente (RFA) est un ensemble de stations de d service formant un système global et caractérisé par : Sa politique de gestion des files (FIFO, LIFO, ) Les distributions de probabilité des durées de service Capacité de chaque file d attente Lois d arrivée des pièces au réseau

7 Notation de Kendall Un RFA est noté A : loi d arrivée B : loi de service A / B / m / k / M m : nombre de serveurs dans le réseau k : nombre max de clients dans le réseau M : discipline de gestion Lois de probabilité : M : loi exponentielle ; H R : loi hyperexponentielle ; D : loi déterministe ; G: : loi générale ; E: : loi d Erlang ; N : loi normale ; P : loi de poisson Ex : M / M / Des notions RFA ouvert : les clients proviennent de l extérieur, progressent dans le système et le quittent RFA fermé : le nombre de client est fixe à tout instant Loi exponentielle de paramètre λ loi expo de moyenne 1/ λ Une loi expo définit d totalement une loi de poisson

8 File M/ M/ 1 1/λ 1/µ Arrivée : M ditribution des temps d interarrivd interarrivée e expo processus poissonien Service : M distribution du temps de service expo de moyenne 1/µ File d attente d : FIFO et capacité infinie Objectif : mesurer les performances de la file en terme de : Nombre moyen de clients dans le système Taux d occupation d du serveur Temps moyen de séjour s dans le système Quelques probabilités Soit p(n,t) la proba qu à l instant t, il y ait n clients dans le système p(n,t+dt) = p(n,t).(1-µdt- λdt) [pas de changement] + p(n-1,t).( 1,t).(λdt) [1 arrivée e d un d client] + p(n+1,t).(µdt) [1 départ d un client du système] + o(dt) [les autres possibilités] P (n,t) =lim dt-> [p(n,t+dt) - p(n,t)]/dt = (-µ-( λ).p(n,t) + p(n+1,t).µ + p(n-1,t). 1,t).λ Les conditions limites : si n = 0, aucun client ne peut quitter la station : p(n-1,t) = 0 Quand t -> l état stationnaire est atteint : p(n,t) = p(n), d où» p (0,t) = 0 et p (n,t) = 0 quand t -> Exercice : 1-1 à partir des équations aux limites, donner l expression de p(n) en fct de p(0). 2- en utilisant Σp(n) = 1, calculer p(0) et donner la condition de validité de ce calcul

9 Quelques résultats On montre par récurrence que p(n) = p(0).(λ/ µ) n p(0).σ(λ/ µ) n = 1 il n y n y a de solution que si λ/ µ < 1 (condition d existence d éd état stationnaire) p(0) = 1-1 λ/µ p(n) = (1- λ/µ).(.(λ/µ) n Taux d occupation du serveur T o = p(1)+ p(2)+ +p( ) = 1-1 p(0) = λ/µ Nombre moyen de clients dans la station L= n.p(n) 0 L= (1-?/µ) n n(? / µ ) = µ? 1? Temps moyen de séjour : formule de Little W = L / λ = 1/ (µ( -λ) Le théorème de Jackson 1 Soit un RFA de k stations, tel que : Le nombre de serveurs dans chaque station n i est fixé Les clients arrivent de l extérieur au système selon un processus s de Poisson de paramètre λ Les temps de service sont exponentiellement distribués de paramètres µ i Règles de service FIFO Changement de station avec des probabilités Théor orème de Jackson : Sous les conditions d ergodicitd ergodicité,, chaque station du réseau r se comporte comme une file M/M/n i isolée, alimentée e par un flot d entrd entrée e de valeur λe i Le théor orème de Jackson se base sur les équations de conservation des flux

10 Le théorème de Jackson 2 [ T T E = Q+ E P] E = [e 1,e 2,,e k ] T sont les solutions de l équation de conservation des flux Q est le vecteur d entrée au système (q i est la proba d entrée par la station i) P est la matrice de transition (p ij est la proba d aller de la station i à la station j) Mesures de performance des RFA Conditions d ergodicité Taux d utilisation (d occupation) du serveur i To i = λe i /µ i Nombre moyen de clients dans la station i L i = λe i /(µ i -λe i ) Temps moyen de séjour s dans une station i Wi = L i / λe i = 1/(µ i -λe i ) Temps moyen de séjour s dans le réseaur W= L/ λ = (1/ λ) Σ L i

11 Conclusion sur les RFA Basés sur la modélisation graphique Calcul de valeurs moyennes uniquement Hypothèses simplificatrices Résultats réduits Pr M B M 23 = 0, M 3 Pr 24 = 0,3 M Exemple d application: file d attente avec recyclage 1/λ 1/µ p q Déterminer les solutions de l équation de conservation des flux et en déduire l expression de P(n) Déterminer le nombre moyen de clients dans la station et le temps moyen de séjour

12 Correction d application: file d attente avec recyclage 1/λ P: (dimension =1 station) => p 11 = p Q: proba d entrée au système par la station 1=> Q =1 Equation de conservation des flux : e = 1 + ep => e(1-p) = 1, e = 1/q P(k) = (1- λ/qµ)( )(λ/qµ) k Signification: La file est équivalente à l état stationnaire à une file M/M/1 de paramètre d entrd entrée λ et qµ. q 1/µ p [ T T E = Q+ E P] q = 1- p